guía de ejercicios resueltos sumatorias (mii - usach 2015)

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Ejemplo Ejercicios Sumatorias

Un/a psicólogo/a ha medido el grado de eszquizotipia en 14 personas obteniendo

los siguientes resultados:

N° Caso Esquizotipia (𝑿𝒊) N° Caso Esquizotipia (𝑿𝒊)

1 21 8 2

2 25 9 6

3 13 10 23

4 2 11 9

5 21 12 3

6 5 13 24

7 22 14 22

𝑋 (Promedio o media aritmética) = 14,1429

Por otra parte, para clasificar los puntajes obtenidos se ha aplicado la siguiente

transformación lineal creando una nueva variable:

𝑌𝑖 = 1,0833 ∙ (𝑋𝑖 − 𝑋) + 50

De esta manera el puntaje mínimo que se puede obtener es 1 y el máximo 100.

De igual modo la nueva media corresponde a 𝑌 = 50.

- A partir de la información presentada, calcule:

1.∑𝑋𝑖

7

𝑖=1

2.∑𝑌𝑖

10

𝑖=6

3. ∑ 𝑋𝑖2

13

𝑖=10

4. (∑ 𝑋𝑖

13

𝑖=10

)

2

2

5.∑𝑌𝑖2

3

𝑖=1

6.∑𝑋𝑖 ∙ 𝑌𝑖

5

𝑖=1

7.∑𝑋𝑖

5

𝑖=1

∙∑𝑌𝑖

5

𝑖=1

- Soluciones:

1.∑𝑋𝑖

7

𝑖=1

= 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4 + 𝑋5 + 𝑋6 + 𝑋7 = 21 + 25 + 13 + 2 + 21 + 5 + 22 = 109

2. Para realizar este ejercicio NO hay que calcular, para los datos especificados, los

valores correspondientes en la nueva variable. Tan sólo es necesario aplicar las

propiedades de las sumatorias.

- Recuérdese que: 𝑌𝑖 = 1,0833 ∙ (𝑋𝑖 − 𝑋) + 50. Por lo tanto:

∑𝑌𝑖

10

𝑖=6

= ∑[1,0833 ∙ (𝑋𝑖 − 𝑋) + 50]

10

𝑖=6

- Resolvemos el primer paréntesis:

∑𝑌𝑖

10

𝑖=6

= ∑[1,0833 ∙ 𝑋𝑖 − 1,0833 ∙ 𝑋 + 50]

10

𝑖=6

- Reemplazamos 𝑋 por 14,1429 y desarrollamos:

∑𝑌𝑖

10

𝑖=6

= ∑[1,0833 ∙ 𝑋𝑖 − 1,0833 ∙ 14,1429 + 50]

10

𝑖=6

∑𝑌𝑖

10

𝑖=6

= ∑[1,0833 ∙ 𝑋𝑖 − 15,3210 + 50]

10

𝑖=6

∑𝑌𝑖

10

𝑖=6

= ∑[1,0833 ∙ 𝑋𝑖 + 34.679]

10

𝑖=6

3

- Pasamos el signo de sumatoria dentro del paréntesis:

∑𝑌𝑖

10

𝑖=6

= ∑1,0833 ∙ 𝑋𝑖

10

𝑖=6

+∑34.679

10

𝑖=6

- Obsérvese que, en la primera parte de la expresión, nos piden sumar desde el

número 6 al 10. Por lo tanto tenemos que sumar en total 5 números. A saber:

1,0833 ∙ 𝑋6 + 1,0833 ∙ 𝑋7 + 1,0833 ∙ 𝑋8 + 1,0833 ∙ 𝑋9 + 1,0833 ∙ 𝑋10. Por otra parte

téngase presente que 1,0833 y 34.679 son constantes arbitrarias, por lo que al

aplicar las propiedades de las sumatorias queda lo siguiente:

∑𝑌𝑖

10

𝑖=6

= 1,0833 ∙∑𝑋𝑖

10

𝑖=6

+ 5 ∙ 34.679

- Resolvemos el último término de la expresión y nos queda la ecuación que

debemos aplicar:

∑𝑌𝑖

10

𝑖=6

= 1,0833 ∙∑𝑋𝑖

10

𝑖=6

+ 173,395

- Teniendo la igualdad anterior resolvemos la sumatoria de los 𝑋𝑖 desde el valor N°6

al N°10. Vale decir decir:

∑𝑋𝑖

10

𝑖=6

= 𝑋6 + 𝑋7 + 𝑋8 + 𝑋9 + 𝑋10 = 5 + 22 + 2 + 6 + 23 = 58

- Sustituimos este valor en la ecuación y resolvemos:

∑𝑌𝑖

10

𝑖=6

= 1,0833 ∙ 58 + 173,395

∑𝑌𝑖

10

𝑖=6

= 62,8314 + 173,395

∑𝑌𝑖

10

𝑖=6

= 236,2264

- En consecuencia, la suma de los valores de la variable Y, desde el número 6 al

10, es igual a 236,2264.

4

3. ∑ 𝑋𝑖2

13

𝑖=10

= 𝑋102 + 𝑋11

2 + 𝑋122 + 𝑋13

2 = 232 + 92 + 32 + 242 = 1195

4. (∑ 𝑋𝑖

13

𝑖=10

)

2

= (𝑋10 + 𝑋11 + 𝑋12 + 𝑋13)2 = (23 + 9 + 3 + 24)2 = (59)2 = 3481

5. Para resolver este ejercicio, realizamos un proceso similar al utilizado en el ejercicio

N°2:

- Recuérdese que 𝑌𝑖 = 1,0833 ∙ (𝑋𝑖 − 𝑋) + 50, por consiguiente:

∑𝑌𝑖2

3

𝑖=1

= ∑[1,0833 ∙ (𝑋𝑖 − 𝑋) + 50]2

3

𝑖=1

- Teniendo presente que 𝑋 = 14,1429, resolvemos la expresión del paréntesis

mayor:

∑𝑌𝑖2

3

𝑖=1

= ∑[1,0833 ∙ (𝑋𝑖 − 14,1429) + 50]23

𝑖=1

∑𝑌𝑖2

3

𝑖=1

= ∑[1,0833 ∙ 𝑋𝑖 − 1,0833 ∙ 14,1429 + 50]23

𝑖=1

∑𝑌𝑖2

3

𝑖=1

= ∑[1,0833 ∙ 𝑋𝑖 − 15,321 + 50]23

𝑖=1

∑𝑌𝑖2

3

𝑖=1

= ∑[1,0833 ∙ 𝑋𝑖 + 34,679]23

𝑖=1

- Obsérvese que el cuadrado del paréntesis mayor, [1,0833 ∙ 𝑋𝑖 + 34,679]2,

corresponde a un cuadrado de binomio de la forma (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑏2,

con 𝑎 = 1,0833 ∙ 𝑋𝑖 y 𝑏 = 34,679. Por ende, al elevar al cuadrado dicho paréntesis

la expresión queda de la siguiente forma:

∑𝑌𝑖2

3

𝑖=1

= ∑[(1,0833 ∙ 𝑋𝑖)2 + 2 ∙ 1,0833 ∙ 𝑋𝑖 ∙ 34,679 + 34,6792]

3

𝑖=1

- Resolviendo cada término:

5

∑𝑌𝑖2

3

𝑖=1

= ∑[1,08332 ∙ 𝑋𝑖2+ 75,1355 ∙ 𝑋𝑖 + 1202,633]

3

𝑖=1

∑𝑌𝑖2

3

𝑖=1

= ∑[1,1735 ∙ 𝑋𝑖2 + 75,1355 ∙ 𝑋𝑖 + 1202,633]

3

𝑖=1

- Ahora pasamos al signo de sumatoria dentro del paréntesis y aplicamos las

propiedades:

∑𝑌𝑖2

3

𝑖=1

= ∑1,1735 ∙ 𝑋𝑖2

3

𝑖=1

+∑75,1355 ∙ 𝑋𝑖

3

𝑖=1

+∑1202,633

3

𝑖=1

∑𝑌𝑖2

3

𝑖=1

= 1,1735 ∙∑𝑋𝑖2

3

𝑖=1

+ 75,1355 ∙∑𝑋𝑖

3

𝑖=1

+ 3 ∙ 1202,633

∑𝑌𝑖2

3

𝑖=1

= 1,1736 ∙∑𝑋𝑖2

3

𝑖=1

+ 75,1355 ∙∑𝑋𝑖

3

𝑖=1

+ 3607,899

- Ya tenemos la ecuación que nos permite calcular lo que se nos solicita. Sólo resta

calcular las sumatorias de la expresión:

∑𝑋𝑖2

3

𝑖=1

= 𝑋12 + 𝑋2

2 + 𝑋32 = 212 + 252 + 132 = 1235

∑𝑋𝑖

3

𝑖=1

= 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 = 21 + 25 + 13 = 59

- Reemplazamos los valores obtenidos en la ecuación:

∑𝑌𝑖2

3

𝑖=1

= 1,1735 ∙∑𝑋𝑖2

3

𝑖=1

+ 75,1355 ∙∑𝑋𝑖

3

𝑖=1

+ 3607,899

∑𝑌𝑖2

3

𝑖=1

= 1,1735 ∙ 1235 + 75,1355 ∙ 59 + 3607,899

∑𝑌𝑖2

3

𝑖=1

= 1449,2725 + 4432,9945 + 3607,899

∑𝑌𝑖2

3

𝑖=1

= 9490,166

6

6. En primer lugar debemos obtener los valores 𝑌𝑖 correspondientes a los valores 𝑋𝑖. Para

ello realizamos la siguiente tabla (recuérdese que 𝑌𝑖 = 1,0833 ∙ (𝑋𝑖 − 𝑋) + 50):

N° Caso Esquizotipia (𝑿𝒊) 𝒀𝒊 = 𝟏, 𝟎𝟖𝟑𝟑 ∙ (𝑿𝒊 − 𝑿) + 𝟓𝟎

1 21

2 25

3 13

4 2

5 21

- Posteriormente aplicamos la ecuación reemplazando cada valor 𝑋𝑖, de modo tal

que obtenemos lo siguiente (recuérdese que 𝑋 = 14,1429)

N° Caso Esquizotipia (𝑿𝒊) 𝒀𝒊 = 𝟏, 𝟎𝟖𝟑𝟑 ∙ (𝑿𝒊 − 𝑿) + 𝟓𝟎

1 21 𝑌1 = 1,0833 ∙ (21 − 14,1429) + 50 = 57,4283

2 25 𝑌2 = 1,0833 ∙ (25 − 14,1429) + 50 = 61,7615

3 13 𝑌3 = 1,0833 ∙ (13 − 14,1429) + 50 = 48,7619

4 2 𝑌4 = 1,0833 ∙ (2 − 14,1429) + 50 = 36,8456

5 21 𝑌5 = 1,0833 ∙ (21 − 14,1429) + 50 = 57,4283

- Ahora que tenemos los valores 𝑌𝑖 podemos calcular la sumatoria solicitada:

∑𝑋𝑖 ∙ 𝑌𝑖

5

𝑖=1

= 𝑋1 ∙ 𝑌1 + 𝑋2 ∙ 𝑌2 + 𝑋3 ∙ 𝑌3 + 𝑋4 ∙ 𝑌4 + 𝑋5 ∙ 𝑌5

∑𝑋𝑖 ∙ 𝑌𝑖

5

𝑖=1

= 21 ∙ 57,4283 + 25 ∙ 61,7615 + 13 ∙ 48,7619 + 2 ∙ 36,8456 + 21 ∙ 57,4283

∑𝑋𝑖 ∙ 𝑌𝑖

5

𝑖=1

= 1205,9952 + 1544,0386 + 633,9053 + 73,6913 + 1205,9952

∑𝑋𝑖 ∙ 𝑌𝑖

5

𝑖=1

= 4663,6255

7. Antes de calcular el producto, debemos obtener la sumatoria de los valores de las

variables 𝑋𝑖 e 𝑌𝑖, desde el 1 al 5.

- Para 𝑋𝑖:

7

∑𝑋𝑖

5

𝑖=1

= 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4 + 𝑋5 = 21 + 25 + 13 + 2 + 21 = 82

- Para 𝑌𝑖 los valores los obtenemos de la tercera columna creada en el ejercicio

anterior:

∑𝑌𝑖

5

𝑖=1

= 𝑌1 + 𝑌2 + 𝑌3 + 𝑌4 + 𝑌5

∑𝑌𝑖

5

𝑖=1

= 57,4283 + 61,7615 + 48,7619 + 36,8456 + 57,4283 = 262,2258

- Finalmente reemplazamos las sumatorias obtenidas y calculamos el producto:

∑𝑋𝑖

5

𝑖=1

∙∑𝑌𝑖

5

𝑖=1

= 82 ∙ 262,2258 = 21505,5156