guΓa de ejercicios resueltos sumatorias (mii - usach 2015)
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GuΓa de Ejercicios Resueltos SumatoriasTRANSCRIPT
1
Ejemplo Ejercicios Sumatorias
Un/a psicΓ³logo/a ha medido el grado de eszquizotipia en 14 personas obteniendo
los siguientes resultados:
NΒ° Caso Esquizotipia (πΏπ) NΒ° Caso Esquizotipia (πΏπ)
1 21 8 2
2 25 9 6
3 13 10 23
4 2 11 9
5 21 12 3
6 5 13 24
7 22 14 22
π (Promedio o media aritmΓ©tica) = 14,1429
Por otra parte, para clasificar los puntajes obtenidos se ha aplicado la siguiente
transformaciΓ³n lineal creando una nueva variable:
ππ = 1,0833 β (ππ β π) + 50
De esta manera el puntaje mΓnimo que se puede obtener es 1 y el mΓ‘ximo 100.
De igual modo la nueva media corresponde a π = 50.
- A partir de la informaciΓ³n presentada, calcule:
1.βππ
7
π=1
2.βππ
10
π=6
3. β ππ2
13
π=10
4. (β ππ
13
π=10
)
2
2
5.βππ2
3
π=1
6.βππ β ππ
5
π=1
7.βππ
5
π=1
ββππ
5
π=1
- Soluciones:
1.βππ
7
π=1
= π1 + π2 + π3 + π4 + π5 + π6 + π7 = 21 + 25 + 13 + 2 + 21 + 5 + 22 = 109
2. Para realizar este ejercicio NO hay que calcular, para los datos especificados, los
valores correspondientes en la nueva variable. Tan sΓ³lo es necesario aplicar las
propiedades de las sumatorias.
- RecuΓ©rdese que: ππ = 1,0833 β (ππ β π) + 50. Por lo tanto:
βππ
10
π=6
= β[1,0833 β (ππ β π) + 50]
10
π=6
- Resolvemos el primer parΓ©ntesis:
βππ
10
π=6
= β[1,0833 β ππ β 1,0833 β π + 50]
10
π=6
- Reemplazamos π por 14,1429 y desarrollamos:
βππ
10
π=6
= β[1,0833 β ππ β 1,0833 β 14,1429 + 50]
10
π=6
βππ
10
π=6
= β[1,0833 β ππ β 15,3210 + 50]
10
π=6
βππ
10
π=6
= β[1,0833 β ππ + 34.679]
10
π=6
3
- Pasamos el signo de sumatoria dentro del parΓ©ntesis:
βππ
10
π=6
= β1,0833 β ππ
10
π=6
+β34.679
10
π=6
- ObsΓ©rvese que, en la primera parte de la expresiΓ³n, nos piden sumar desde el
nΓΊmero 6 al 10. Por lo tanto tenemos que sumar en total 5 nΓΊmeros. A saber:
1,0833 β π6 + 1,0833 β π7 + 1,0833 β π8 + 1,0833 β π9 + 1,0833 β π10. Por otra parte
tΓ©ngase presente que 1,0833 y 34.679 son constantes arbitrarias, por lo que al
aplicar las propiedades de las sumatorias queda lo siguiente:
βππ
10
π=6
= 1,0833 ββππ
10
π=6
+ 5 β 34.679
- Resolvemos el ΓΊltimo tΓ©rmino de la expresiΓ³n y nos queda la ecuaciΓ³n que
debemos aplicar:
βππ
10
π=6
= 1,0833 ββππ
10
π=6
+ 173,395
- Teniendo la igualdad anterior resolvemos la sumatoria de los ππ desde el valor NΒ°6
al NΒ°10. Vale decir decir:
βππ
10
π=6
= π6 + π7 + π8 + π9 + π10 = 5 + 22 + 2 + 6 + 23 = 58
- Sustituimos este valor en la ecuaciΓ³n y resolvemos:
βππ
10
π=6
= 1,0833 β 58 + 173,395
βππ
10
π=6
= 62,8314 + 173,395
βππ
10
π=6
= 236,2264
- En consecuencia, la suma de los valores de la variable Y, desde el nΓΊmero 6 al
10, es igual a 236,2264.
4
3. β ππ2
13
π=10
= π102 + π11
2 + π122 + π13
2 = 232 + 92 + 32 + 242 = 1195
4. (β ππ
13
π=10
)
2
= (π10 + π11 + π12 + π13)2 = (23 + 9 + 3 + 24)2 = (59)2 = 3481
5. Para resolver este ejercicio, realizamos un proceso similar al utilizado en el ejercicio
NΒ°2:
- RecuΓ©rdese que ππ = 1,0833 β (ππ β π) + 50, por consiguiente:
βππ2
3
π=1
= β[1,0833 β (ππ β π) + 50]2
3
π=1
- Teniendo presente que π = 14,1429, resolvemos la expresiΓ³n del parΓ©ntesis
mayor:
βππ2
3
π=1
= β[1,0833 β (ππ β 14,1429) + 50]23
π=1
βππ2
3
π=1
= β[1,0833 β ππ β 1,0833 β 14,1429 + 50]23
π=1
βππ2
3
π=1
= β[1,0833 β ππ β 15,321 + 50]23
π=1
βππ2
3
π=1
= β[1,0833 β ππ + 34,679]23
π=1
- ObsΓ©rvese que el cuadrado del parΓ©ntesis mayor, [1,0833 β ππ + 34,679]2,
corresponde a un cuadrado de binomio de la forma (π + π)2 = π2 + 2 β π β π + π2,
con π = 1,0833 β ππ y π = 34,679. Por ende, al elevar al cuadrado dicho parΓ©ntesis
la expresiΓ³n queda de la siguiente forma:
βππ2
3
π=1
= β[(1,0833 β ππ)2 + 2 β 1,0833 β ππ β 34,679 + 34,6792]
3
π=1
- Resolviendo cada tΓ©rmino:
5
βππ2
3
π=1
= β[1,08332 β ππ2+ 75,1355 β ππ + 1202,633]
3
π=1
βππ2
3
π=1
= β[1,1735 β ππ2 + 75,1355 β ππ + 1202,633]
3
π=1
- Ahora pasamos al signo de sumatoria dentro del parΓ©ntesis y aplicamos las
propiedades:
βππ2
3
π=1
= β1,1735 β ππ2
3
π=1
+β75,1355 β ππ
3
π=1
+β1202,633
3
π=1
βππ2
3
π=1
= 1,1735 ββππ2
3
π=1
+ 75,1355 ββππ
3
π=1
+ 3 β 1202,633
βππ2
3
π=1
= 1,1736 ββππ2
3
π=1
+ 75,1355 ββππ
3
π=1
+ 3607,899
- Ya tenemos la ecuaciΓ³n que nos permite calcular lo que se nos solicita. SΓ³lo resta
calcular las sumatorias de la expresiΓ³n:
βππ2
3
π=1
= π12 + π2
2 + π32 = 212 + 252 + 132 = 1235
βππ
3
π=1
= π1 + π2 + π3 = 21 + 25 + 13 = 59
- Reemplazamos los valores obtenidos en la ecuaciΓ³n:
βππ2
3
π=1
= 1,1735 ββππ2
3
π=1
+ 75,1355 ββππ
3
π=1
+ 3607,899
βππ2
3
π=1
= 1,1735 β 1235 + 75,1355 β 59 + 3607,899
βππ2
3
π=1
= 1449,2725 + 4432,9945 + 3607,899
βππ2
3
π=1
= 9490,166
6
6. En primer lugar debemos obtener los valores ππ correspondientes a los valores ππ. Para
ello realizamos la siguiente tabla (recuΓ©rdese que ππ = 1,0833 β (ππ β π) + 50):
NΒ° Caso Esquizotipia (πΏπ) ππ = π, ππππ β (πΏπ β πΏ) + ππ
1 21
2 25
3 13
4 2
5 21
- Posteriormente aplicamos la ecuaciΓ³n reemplazando cada valor ππ, de modo tal
que obtenemos lo siguiente (recuΓ©rdese que π = 14,1429)
NΒ° Caso Esquizotipia (πΏπ) ππ = π, ππππ β (πΏπ β πΏ) + ππ
1 21 π1 = 1,0833 β (21 β 14,1429) + 50 = 57,4283
2 25 π2 = 1,0833 β (25 β 14,1429) + 50 = 61,7615
3 13 π3 = 1,0833 β (13 β 14,1429) + 50 = 48,7619
4 2 π4 = 1,0833 β (2 β 14,1429) + 50 = 36,8456
5 21 π5 = 1,0833 β (21 β 14,1429) + 50 = 57,4283
- Ahora que tenemos los valores ππ podemos calcular la sumatoria solicitada:
βππ β ππ
5
π=1
= π1 β π1 + π2 β π2 + π3 β π3 + π4 β π4 + π5 β π5
βππ β ππ
5
π=1
= 21 β 57,4283 + 25 β 61,7615 + 13 β 48,7619 + 2 β 36,8456 + 21 β 57,4283
βππ β ππ
5
π=1
= 1205,9952 + 1544,0386 + 633,9053 + 73,6913 + 1205,9952
βππ β ππ
5
π=1
= 4663,6255
7. Antes de calcular el producto, debemos obtener la sumatoria de los valores de las
variables ππ e ππ, desde el 1 al 5.
- Para ππ:
7
βππ
5
π=1
= π1 + π2 + π3 + π4 + π5 = 21 + 25 + 13 + 2 + 21 = 82
- Para ππ los valores los obtenemos de la tercera columna creada en el ejercicio
anterior:
βππ
5
π=1
= π1 + π2 + π3 + π4 + π5
βππ
5
π=1
= 57,4283 + 61,7615 + 48,7619 + 36,8456 + 57,4283 = 262,2258
- Finalmente reemplazamos las sumatorias obtenidas y calculamos el producto:
βππ
5
π=1
ββππ
5
π=1
= 82 β 262,2258 = 21505,5156