clase 1- sumatorias
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Introduccion
SUMATORIAS
Martha C. Moreno
2 de febrero de 2015
Martha C. Moreno SUMATORIAS
-
Introduccion
SUMATORIAS
Martha C. Moreno
2 de febrero de 2015
Departamento de Matematicas
Universidad Nacional de Colombia
Martha C. Moreno SUMATORIAS
-
Introduccion
Sea {a1, a2, a3, , an} un conjunto de numeros reales:La suma:
Martha C. Moreno SUMATORIAS
-
Introduccion
Sea {a1, a2, a3, , an} un conjunto de numeros reales:La suma:
a1 + a2 + a3 + + an
Martha C. Moreno SUMATORIAS
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Introduccion
Sea {a1, a2, a3, , an} un conjunto de numeros reales:La suma:
a1 + a2 + a3 + + an
Se puede expresar usando la notacion de sumatoria:
a1 + a2 + a3 + + an =n
k=1 ak
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Introduccion
Sea {a1, a2, a3, , an} un conjunto de numeros reales:La suma:
a1 + a2 + a3 + + an
Se puede expresar usando la notacion de sumatoria:
a1 + a2 + a3 + + an =n
k=1 ak
k se denomina ndice de sumatoria y toma valores enterosconsecutivos.
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Introduccion
Ejemplos
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Introduccion
Ejemplos
4k=1
k
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Introduccion
Ejemplos
4k=1
k=
1 +
2 +
3 +
4
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Introduccion
Ejemplos
4k=1
k=
1 +
2 +
3 +
4
3i=2 x
i
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Introduccion
Ejemplos
4k=1
k=
1 +
2 +
3 +
4
3i=2 x
i =1
x2+
1
x+ 1 + x + x2 + x3
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Introduccion
Ejemplos
4k=1
k=
1 +
2 +
3 +
4
3i=2 x
i =1
x2+
1
x+ 1 + x + x2 + x3
5i=0
k
k + i
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Introduccion
Ejemplos
4k=1
k=
1 +
2 +
3 +
4
3i=2 x
i =1
x2+
1
x+ 1 + x + x2 + x3
5i=0
k
k + i= 1 +
k
k + 1+
k
k + 2+
k
k + 3+
k
k + 4+
k
k + 5
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Introduccion
Ejemplos
4k=1
k=
1 +
2 +
3 +
4
3i=2 x
i =1
x2+
1
x+ 1 + x + x2 + x3
5i=0
k
k + i= 1 +
k
k + 1+
k
k + 2+
k
k + 3+
k
k + 4+
k
k + 54
j=1 j2(j + 2)
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Ejemplos
4k=1
k=
1 +
2 +
3 +
4
3i=2 x
i =1
x2+
1
x+ 1 + x + x2 + x3
5i=0
k
k + i= 1 +
k
k + 1+
k
k + 2+
k
k + 3+
k
k + 4+
k
k + 54
j=1 j2(j + 2)
nk=1 f (xk)
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Ejemplos
Escribir las sumas usando la notacion sigma:
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Introduccion
Ejemplos
Escribir las sumas usando la notacion sigma:
3
5+
4
6+
5
7+
6
8+
7
9
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Ejemplos
Escribir las sumas usando la notacion sigma:
3
5+
4
6+
5
7+
6
8+
7
9=
7k=3
k
k + 2
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Ejemplos
Escribir las sumas usando la notacion sigma:
3
5+
4
6+
5
7+
6
8+
7
9=
7k=3
k
k + 2
1 x + x2 x3 + x4 x5 + x6
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Ejemplos
Escribir las sumas usando la notacion sigma:
3
5+
4
6+
5
7+
6
8+
7
9=
7k=3
k
k + 2
1 x + x2 x3 + x4 x5 + x6= 6k=0(1)kxk
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Ejemplos
Escribir las sumas usando la notacion sigma:
3
5+
4
6+
5
7+
6
8+
7
9=
7k=3
k
k + 2
1 x + x2 x3 + x4 x5 + x6= 6k=0(1)kxk1 + x x2 + x3 x4 + x5 x6
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Ejemplos
Escribir las sumas usando la notacion sigma:
3
5+
4
6+
5
7+
6
8+
7
9=
7k=3
k
k + 2
1 x + x2 x3 + x4 x5 + x6= 6k=0(1)kxk1 + x x2 + x3 x4 + x5 x6= 6k=0(1)k+1xk
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Introduccion
Ejemplos
Escribir las sumas usando la notacion sigma:
3
5+
4
6+
5
7+
6
8+
7
9=
7k=3
k
k + 2
1 x + x2 x3 + x4 x5 + x6= 6k=0(1)kxk1 + x x2 + x3 x4 + x5 x6= 6k=0(1)k+1xk15 +
22 +
29 +
36 +
43 +
50
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Ejemplos
Escribir las sumas usando la notacion sigma:
3
5+
4
6+
5
7+
6
8+
7
9=
7k=3
k
k + 2
1 x + x2 x3 + x4 x5 + x6= 6k=0(1)kxk1 + x x2 + x3 x4 + x5 x6= 6k=0(1)k+1xk15 +
22 +
29 +
36 +
43 +
50=
7i=2
7i + 1
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Introduccion
Ejemplos
Escribir las sumas usando la notacion sigma:
3
5+
4
6+
5
7+
6
8+
7
9=
7k=3
k
k + 2
1 x + x2 x3 + x4 x5 + x6= 6k=0(1)kxk1 + x x2 + x3 x4 + x5 x6= 6k=0(1)k+1xk15 +
22 +
29 +
36 +
43 +
50=
7i=2
7i + 1
1
2f (x3) +
2
3f (x4) +
3
4f (x5) +
4
5f (x6) +
5
6f (x7)
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Ejemplos
Escribir las sumas usando la notacion sigma:
3
5+
4
6+
5
7+
6
8+
7
9=
7k=3
k
k + 2
1 x + x2 x3 + x4 x5 + x6= 6k=0(1)kxk1 + x x2 + x3 x4 + x5 x6= 6k=0(1)k+1xk15 +
22 +
29 +
36 +
43 +
50=
7i=2
7i + 1
1
2f (x3) +
2
3f (x4) +
3
4f (x5) +
4
5f (x6) +
5
6f (x7)
=5
k=1
k
k + 1f (xk+2)
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Introduccion
1/3
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1/3
1/9
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Introduccion
1/3
1/9
1/27
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Introduccion
1/3
1/9
1/27
1/81
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Introduccion
1/3
1/9
1/27
1/81
Martha C. Moreno SUMATORIAS
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Introduccion
1/3
1/9
1/27
1/81
1
3+
1
9+
1
27+ +
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Introduccion
1/3
1/9
1/27
1/81
1
3+
1
9+
1
27+ + 1
3n=
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Introduccion
1/3
1/9
1/27
1/81
1
3+
1
9+
1
27+ + 1
3n=
ni=1
1
3i=
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Introduccion
1/3
1/9
1/27
1/81
1
3+
1
9+
1
27+ + 1
3n=
ni=1
1
3i=
1
2
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Propiedades
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Propiedades
nk=1 C
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Propiedades
nk=1 C = nC
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Propiedades
nk=1 C = nCnk=p C
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Propiedades
nk=1 C = nCnk=p C = (n p + 1)C
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Propiedades
nk=1 C = nCnk=p C = (n p + 1)C
nk=m ak =
n+pk=m+p
akp
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Propiedades
nk=1 C = nCnk=p C = (n p + 1)C
nk=m ak =
n+pk=m+p
akp=np
k=mpak+p
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Propiedades
nk=1 C = nCnk=p C = (n p + 1)C
nk=m ak =
n+pk=m+p
akp=np
k=mpak+p
nk=1(ak bk) =
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Propiedades
nk=1 C = nCnk=p C = (n p + 1)C
nk=m ak =
n+pk=m+p
akp=np
k=mpak+p
nk=1(ak bk) =
nk=1 ak
nk=1 bk
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Propiedades
nk=1 C = nCnk=p C = (n p + 1)C
nk=m ak =
n+pk=m+p
akp=np
k=mpak+p
nk=1(ak bk) =
nk=1 ak
nk=1 bkn
k=1 Cak =
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Propiedades
nk=1 C = nCnk=p C = (n p + 1)C
nk=m ak =
n+pk=m+p
akp=np
k=mpak+p
nk=1(ak bk) =
nk=1 ak
nk=1 bkn
k=1 Cak = Cn
k=1 ak
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Sumas Especiales
Algunas sumas que aparecen con frecuencia en nuestro curso son:
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Sumas Especiales
Algunas sumas que aparecen con frecuencia en nuestro curso son:
nk=1 k =
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Sumas Especiales
Algunas sumas que aparecen con frecuencia en nuestro curso son:
nk=1 k = 1 + 2 + 3 + n
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Sumas Especiales
Algunas sumas que aparecen con frecuencia en nuestro curso son:
nk=1 k = 1 + 2 + 3 + n
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Sumas Especiales
Algunas sumas que aparecen con frecuencia en nuestro curso son:
nk=1 k = 1 + 2 + 3 + n
nk=1 k =
Martha C. Moreno SUMATORIAS
-
Introduccion
Sumas Especiales
Algunas sumas que aparecen con frecuencia en nuestro curso son:
nk=1 k = 1 + 2 + 3 + n
nk=1 k = 1 + 2 + 3 + n =
n2
2+
n
2=
Martha C. Moreno SUMATORIAS
-
Introduccion
Sumas Especiales
Algunas sumas que aparecen con frecuencia en nuestro curso son:
nk=1 k = 1 + 2 + 3 + n
nk=1 k = 1 + 2 + 3 + n =
n2
2+
n
2=
n(n+ 1)
2
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Sumas Especialesn
k=1 k2 =
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Sumas Especialesn
k=1 k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
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Introduccion
Sumas Especialesn
k=1 k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6n
k=1 k3 =
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Introduccion
Sumas Especialesn
k=1 k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6n
k=1 k3 = (
n(n + 1)
2)2
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Introduccion
Sumas Especialesn
k=1 k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6n
k=1 k3 = (
n(n + 1)
2)2 =
n2(n + 1)2
4
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Ejemplos
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Ejemplos
nk=1(3k
2 2k + 1)
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Ejemplos
nk=1(3k
2 2k + 1)98
k=2 k3
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Ejemplos
nk=1(3k
2 2k + 1)98
k=2 k3
limnn
k=1
6
n(2 + 6k
n)2
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Ejemplos
nk=1(3k
2 2k + 1)98
k=2 k3
limnn
k=1
6
n(2 + 6k
n)2
limnn
k=1
2
n(4 3k2)
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Introduccin