algebra usach

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE

FACULTAD DE CIENCIA

Departamento de Matematica y Ciencia de la Computacion

ALGEBRA IPRIMERA VERSION

En revision

RICARDO SANTANDER BAEZA

2008

1

A mi adorada esposa Carmen,y a mis amados hijos Francisco, Ricarda,

Fernando y Pablo

2

PrefacioLa matematica viene impresa en el cerebro y,solo se hace carne cuando palpita en el corazon.

La idea que me motiva a escribir estas notas esta sustentada en la firme creencia que, “una condicion nece-saria y suficiente para que en algun instante se produzca aprendizaje en el aula, es que la interseccion entrelos deseos de ensenar del que ensena, y los deseos de aprender del que aprende, sea no vacıa.”

Lo anterior es con seguridad una muy difıcil tarea, no obstante poseo la esperanza que las ideas vertidas eneste libro contribuiran, a generar la motivacion en los actores para que ingresen a esa ”interseccion.”

Con esta motivacion, espero conseguir al menos alguno de los siguientes objetivos:

Contribuir al acrisolamiento de las ideas algebraicas basicas en los Alumnos de un primer curso de Algebra.

Servir de hilo conductor para que los Alumnos recorran las primeras ideas algebraicas, hasta llegar a lasbases del algebra Lineal, y puedan posteriormente reflexionar, respecto de las ilimitadas aplicaciones queesta disciplina posee en sus respectivas especialidades.

Generar un ambiente de dialogo permanente, entre el Profesor y el Alumno del cual se concluya al menosque, “lo abstracto deja de serlo cuando se hace tangible en la mente, y se plasma a traves de la mano.”

Motivar al Alumno para transformarse en Estudiante y ası profundizar dıa a dıa, cada uno de los topicosdiscutidos en clases en conjunto con su Profesor, en la busqueda permanente del equilibrio entre la teorıa yla practica.

Motivar al Profesor, para que complemente estas ideas, dandoles la contundencia y versatilidad necesariapara mantener vivo en el Alumno su interes por la asignatura.

Los contenidos de este libro estan esencialmente dedicados a iniciar al lector: En primer lugar en las estruc-turas basicas que cubren de apariencia finita a los procesos infinitos, tales como los metodos inductivos, lageneracion de listas progresivas. En segundo lugar en las herramientas que permiten clasificar situacionesy por ende apuntan hacia un trabajo eficiente, y en tercer lugar, examinar las forma de estructuracion quepermiten ordenar de forma eficiente la informacion, tales como grupos, anillos y cuerpos.

Deseo enfatizar que desde hoy, estas notas estaran en constante revision con el unico objetivo de mejorar yası llegar a ser alguna vez, un razonable material de apoyo, para la ensenanza y aprendizaje de esta disciplina.

Este trabajo se realizo en el marco del proyecto de docencia “Version final del texto guıa de Algebrapara Ingenierıa Civil y Ciencia” con el apoyo y financiamiento de la Vicerrectorıa Academica de laUniversidad de Santiago de Chile.

Finalmente deseo agradecer las observaciones hechas por mis colegas, quienes han compartido conmigo laCoordinacion del curso de Algebra para Ingenierıa Civil en todas sus especialidades, por largo tiempo, enparticular al Profesor Luis Arancibia Morales, quien ha hecho importantes observaciones acerca de los con-tenidos de los primeros capıtulos de este libro.

UNIDAD 1

Bases Numericas y Polinomios

1. Introduccion

El capitulo, ”Bases numericas y Polinomios” esta destinado a presentar contenidos y actividades que de-berıan haber sido expuestos y discutidas, por los profesores y estudiantes en los correspondientes cursos deSegundo, Tercero y Cuarto de su Ensenanza Media, razon por la cual deseo abordar topicos que permitanal estudiante, dentro de lo posible y en directa proporcion a su trabajo, fortalecer y mejorar su operatoriabasica. La herramienta escogida para el efecto son los polinomios, y la idea es introducir informalmente elconcepto, el cual sera abordado posteriormente desde el punto de vista de las estructuras algebraicas.

El punto de partida sera escoger el fundamento natural de los polinomios en el numero. El cual satisfacetodos los atributos de un buen axioma, porque buscando una buena respuesta para ¿ que es un numero?,podemos pasar por todas las epocas citando personajes fabulosos como: Pitagoras, indexPitagoras Hermes,Hiram, entre otros, sin encontrar una respuesta satisfactoria, sin embargo todos tenemos, una idea que nosdeja tranquilo respecto de lo que un numero es, probablemente la mas comun de las interpretaciones, esasociar un numero con la idea de cantidades de cosas, por ejemplo un maestro, tres malos albaniles, nueveescogidos caballeros, etc. Ası que para una primera aproximacion nos contentaremos con lo que el paranosotros representa, claro esta del punto de vista que nos conviene para nuestro proposito, y en ese tenorpodemos citar algunos ejemplos.

(1) 33 = 3 · 101 + 3 · 100

(2) 987 = 9 · 102 + 8 · 101 + 7 · 100

La idea es que en la representacion en potencias del numero 10 (objetos del tipo 10n), aceptamos comocoeficientes ( los numeros que multiplican a las potencias de 10) numeros mayores o iguales a 0 y menoresque 10.Para el caso del 33, lo hacemos ası,

33 : 10 = 3− 30

−−−3

⇐⇒ 33 = 3 · 101 + 3 · 100

Para el numero 987 tenemos que

987 : 100 = 9− 900

−−−87

⇔ 987 = 9 · 102 + 87 ∧87 : 10 = 8

− 80−−7

⇐⇒ 87 = 8 · 101 + 7

Sustituyendo, la representacion de 87 obtenemos que:

987 = 9 · 102 + 8 · 101 + 7 · 100

Definicion 1.1. Si (n ∈ N) tal que

n = as10s + as−110

s−1 + · · · + a1101 + a010

0; (0 ≤ aj ≤ 9); (0 ≤ j ≤ s)3

4 1. BASES NUMERICAS Y POLINOMIOS

entonces

n = asas−1as−2as−3 · · · a2a1a0 (1)

La llamaremos representacion del numero n en base 10

Observacion 1.1.1. La idea de representar un numero de la forma (1) no es una exclusividad de la base10 (del numero 10), mas aun, si uno se fija en la idea central obtiene un algoritmo o procedimiento pararepresentar numeros en cualquier base entera mayor o igual a 2.

(1) Por ejemplo n = 10 lo podemos representar en base “2”, como sigue,

10 = 8 + 2= 1 · 23 + 1 · 21

= 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20

Ası que,

10 = 1010 ( base 2) (2)

(2) Para n = 33 tenemos que

33 = 2 · 16 + 1= 2 · 24 + 1= 25 + 1= 1 · 25 + 0 · 24 + 0 · 23 + 0 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20

Luego,

33 = 100001 (base 2)

(3) Para n = 10 en base 3 tenemos

10 = 9 + 1= 32 + 1= 1 · 32 + 1 · 30

= 1 · 32 + 0 · 31 + 1 · 30

Ası que,

10 = 101 ( base 3) (3)

(4) Para n = 33 tambien en base 3, tenemos que

33 = 27 + 6= 33 + 2 · 3= 1 · 33 + 0 · 32 + 2 · 31 + 0 · 30

Luego,

33 = 1020 (base 3)

2. CONSTRUCCION INFORMAL DE POLINOMIOS 5

2. Construccion Informal de polinomios

Hemos observado que es posible representar un numero n, (n ∈ N) en base m, (m ∈ N), es decir,

n = aqaq−1 · · · a1a0 (base m)⇐⇒ n = aqmq + · · ·+ a1m

1 + a0m0 (0 ≤ ai < m) (4)

porque,

• Las potencias de m estan definidas, es decir, m0 = 1 y mr ·mt = mr+t

• Los coeficientes ai de la representacion en base m verifican la propiedad 0 ≤ ai ≤ m, esta propiedadpermite ver a m, no como el numero que es, sino como un “sımbolo ”• Por tanto, para obtener una estructura similar, no podemos dejar de llevar en consideracion estas

propiedades...

Definicion 2.1. Una expresion se llama un polinomio en la variable “x”, y con coeficientes en los numerosreales si:

(1) Es de la forma;

p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 + · · ·+ anxn (5)

(2) Los numeros as, donde s = 0, 1, 2, . . . , n, se llaman los coeficientes del polinomio y son en este casonumeros reales.

(3) La variable x satisface las propiedades:

(a) x no es un numero complejo

(b) x0 = 1

(c) xs · xt = xs+t

(4) Los exponentes son numeros enteros no negativos, es decir n ∈ (Z+ ∪ {0})

Ejemplo 2.1.1. Algunos ejemplos de polinomios son:

(1) p(x) = 0+0x+0x2 +0x3+· · ·+0xn; se llama el polinomio nulo y lo escribiremos de la forma abreviada:p(x) = 0

(2) p(x) = 1− 3 · x2 + x5

(3) q(x) =√

3 x+5

7x3

(4) De acuerdo a estudios hechos por la policıa la cantidad de robos por cada 100.000 habitantes, a partirde 1990 puede calcularse aproximadamente por el polinomio:

r(x) = 251− 17.24 · x+ 1.76 · x2 (6)

• ¿Cuantos robos por cada 100.000 habitantes hubo aproximadamente en 1990?

Para este caso, tenemos el siguiente analisis del problema: 1990 es el primer ano ası que en r(x)hacemos x = 0, y obtenemos ;


r(0) = 251− 17.24 · 0 + 1.76 · 02

= 251

• ¿Cuantos robos por cada 100.000 habitantes hubo aproximadamente en 2000?

Para este caso, debemos hacer en r(x), x = 10, y obtenemos;

r(10) = 251− 17.24 · 10 + 1.76 · 102

= 251− 172.4 + 176≈ 255

• ¿Cuantos robos por cada 100.000 habitantes habra aproximadamente en 2010?Para este caso, haciendo en r(x), x = 20, obtendremos;

r(20) = 251− 17.24 · 20 + 1.76 · 202

≈ 610

• ¿Sera posible que en algun instante los robos se aproximen a cero por cada 100000 habitantes?Para este caso, debemos hacer r(x) = 0, es decir;

251 − 17.24 · x+ 1.76 · x2 = 0 =⇒

x =17.24 ±

√(17.24)2 − 4 · 1.76 · 251

2 · 1.76

=17.24 ±

√297.2176 − 1767.04

3.52

=17.24 ±

√−1463.8224

3.526∈ R

• La conclusion es que no existe x ∈ R tal que r(x) = 0, es decir, esta formula indica que es necesariotomar otras medidas adicionales, caso contrario la delincuencia triunfara.!!!

Definicion 2.2. Llamaremos grado de un polinomio al mayor exponente de la variable x, cuyo coeficientees distinto de cero.

Notacion: ∂(p(x)) = grado del polinomio p(x)

Ejemplo 2.2.1. Algunos ejemplos del grado de un polinomio son:

(1) ∂(1 + 3x3 − 2x7) = 7

(2) ∂(a0) = 0 a0 ∈ (R− {0})

(3) ∂(2 + 3x− 5x2 + x4) = 4

3. Adicion de Polinomios

Si p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn y q(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bmx

m entonces diremos que estos polinomios soniguales si poseen el mismo grado y coinciden todos sus coeficientes. Es decir

p(x) = q(x)⇐⇒ n = m ∧ ai = bi (i = 0, 1, 2, . . . , n) (7)

3. ADICION DE POLINOMIOS 7

Sabemos que la adicion o suma de numeros se realiza en la forma usual, es decir

+347

+310233

+328500153300

Esta forma de disponer los numeros para sumarlos no es al azar, en realidad corresponde a un ordenamientologico, por ejemplo en base 10

+3 · 100

4 · 100

7 · 100+

3 · 101 + 1 · 100

0 · 101 + 2 · 100

3 · 101 + 3 · 100+

3 · 103 + 2 · 102 + 8 · 101 + 5 · 100

0 · 103 + 0 · 102 + 1 · 101 + 5 · 100

3 · 103 + 3 · 102 + 0 · 101 + 0 · 100

Otra posible escritura, que emule la escritura en base 10 es por ejemplo:

• 2 = 1 · 21 + 0 · 20 =⇒ 2 = 10 (base2)

• 10 = 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 = 1010 (base2)

• 12 = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20 = 1100 (base2)

y podemos sumarlos como antes en su base...

+2 = 0 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 (base2)

10 = 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 (base2)12 = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20 (base2)

Para concluir esta motivacion observen que nuestros polinomios se escriben ” en base x ”, aunque ya di-jimos que x no es un numero, sin embargo podemos imitar el procedimiento para sumar representacionesnumericas con las debidas precauciones.

Si p(x) = 5 + x+ 2x2 + 3 · x3 + x5 y q(x) = 4x+ 3x2 − 7x4 entonces aplicando el formato utilizado para larepresentacion de los numeros en las diversas bases tenemos que:

p(x) = 5x0 + 2x1 + 0x2 + 3x3 + 0x4 + 1 · x5

+q(x) = 0x0 + 4x1 + 3x2 + 0x3 + (−7)x4 + 0x5

p(x) + q(x) = (5 + 0)x0 + (2 + 4)x1 + (0 + 3)x2 + (3 + 0)x3 + (0 + (−7))x4 + (1 + 0)x5

Luego,

p(x) + q(x) = 5 + 6x1 + 3x2 + 3x3 − 7x4 + x5

Definicion 3.1. Si consideramos los polinomios p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + a4x4 + · · · + anx

n yq(x) = b0 + b1x+ b2x

2 + b3x3 + · · ·+ bnx

n entonces


p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ (a2 + b2)x2 + (a3 + b3)x

3 + · · ·+ (an + bn)xn (8)

representara la adicion de polinomios o la forma de sumar dos polinomios.

Ejemplo 3.1.1. Si p(x) = x2 + 5x− 2 y q(x) = 3x2 + 7x+ 4 entonces p(x) + q(x) = 4x2 + 12x+ 2

Ejemplo 3.1.2. Si p(x) = 4x3 + 2x+ 21 y q(x) = x2 + x entonces p(x) + q(x) = 4x3 + x2 + 3x+ 21

Observacion 3.1.3. Si recordamos que la resta de dos reales puede ser interpretada como la operacioninversa de la adicion, esto es, a− b = a+ (−b) entonces en nuestra optica tenemos

45− 12 = (4 · 101 + 5 · 100)− (1 · 101 + 2 · 100)

= 4 · 101 + 5 · 100 + (−1) · 101 + (−2) · 100

= 3 · 101 + 3 · 100

= 33

Ası que la resta de polinomios la definimos como sigue.

Definicion 3.2. Si p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 + · · ·+ anxn y q(x) = b0 + b1x+ b2x

2 + b3x3 + · · ·+ bnx

n

entonces

p(x)− q(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x+ (a2 − b2)x2 + (a3 − b3)x3 + · · ·+ (an − bn)xn (9)

representara la sustraccion de polinomios o la forma de restar dos polinomios.

Ejemplo 3.2.1. Si p(x) = x2 + 5x− 2 y q(x) = 3x2 + 7x+ 4 entonces p(x)− q(x) = −2x2 − 2x− 6

Ejemplo 3.2.2. Si p(x) = 4x3 + 2x+ 21 y q(x) = x2 + x entonces p(x)− q(x) = 4x3 − x2 + x+ 21

Definicion 3.3. Notaremos al conjunto de polinomios como:

(1) R[x] = {p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn | ai ∈ R; (0 ≤ i ≤ n) ∧ n ∈ N}

(2) Rs[x] = {p(x) ∈ R[x] | ∂(p(x)) ≤ s}

3.4. Propiedades de la Adicion de Polinomios. Si consideramos p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn ∈ R[x],

q(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bnxn ∈ R[x] y r(x) = c0 + c1x+ · · ·+ cnx

n ∈ R[x] entonces

(1) Verifican la llamada Propiedad Asociativa, la cual permite sumar un numero finito de polinomio

p(x) + [q(x) + r(x)] = [p(x) + q(x)] + r(x) (10)

En efecto

4. PRODUCTO DE POLINOMIOS 9

p(x) + [q(x) + r(x)] = (a0 + a1x+ · · ·+ anxn) + [(b0 + b1x+ · · ·+ bnx

n) + (c0 + c1x+ · · · + cnxn)]

= (a0 + a1x+ · · ·+ anxn) + [(b0 + c0) + (b1 + c1)x+ · · ·+ (bn + cn)x

n]= (a0 + [b0 + c0]) + (a1 + [b1 + c1])x+ · · · + (an + [bn + cn])x

n)= ([a0 + b0] + c0) + ([a1 + b1] + c1)x+ · · · + ([an + bn] + cn)x

n)= ([a0 + b0] + [a1 + b1]x+ · · ·+ [an + bn]x

n) + (c0 + c1x+ · · ·+ cnxn)

= [(a0 + a1x+ · · ·+ anxn) + (b0 + b1x+ · · ·+ bnx

n)] + (c0 + c1x+ · · ·+ cnxn)

= [p(x) + q(x)] + r(x)

(2) Existe el polinomio 0 que llamaremos neutro aditivo tal que

p(x) + 0 = p(x) = 0 + p(x) (11)

En efecto

p(x) + 0 = (a0 + a1x+ · · · anxn) + (0 + 0x+ · · ·+ 0xn)= (a0 + 0) + (a1 + 0)x+ · · · (an + 0)xn

= a0 + a1x+ · · · anxn= p(x)

(3) Para p(x) existe el polinomio inverso aditivo −p(x) tal que

p(x) + (−p(x)) = 0 (12)

En efecto

p(x) + (−p(x)) = (a0 + a1x+ · · · + anxn) + (−[a0 + a1x+ · · · + anx

n])= (a0 + a1x+ · · · + anx

n) + (−a0 − a1x− · · · − anxn])= 0 + 0x+ · · ·+ 0xn

= 0

(4) Verifican la llamada Propiedad Conmutativa

p(x) + q(x) = q(x) + p(x) (13)

En efecto

p(x) + q(x) = (a0 + a1x+ · · ·+ anxn) + (b0 + b1x+ · · ·+ bnx

n)

= (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ · · ·+ (an + bn)xn

= (b0 + a0) + (b1 + a1)x+ · · ·+ (bn + an)xn

= (b0 + b1x+ · · ·+ bnxn) + (a0 + a1x+ · · ·+ anx

n)

= q(x) + p(x)

4. Producto de Polinomios

La multiplicacion usual de numeros nos dice que 3 · 11 = 33, pero conforme a lo que observamos antes,tambien tenemos que:

3 · 11 = (3 · 100) · (1 · 101 + 1 · 100)= (3 · 100) · ((1 · 101) + (3 · 100) · (1 · 100)= (3 · 1) · 100+1 + (3 · 1) · 100+0

= 3 · 101 + 3 · 100

Del mismo modo, 231 · 27 = 6237, y en base 10


231 · 27 = (2 · 100 + 3 · 10 + 1 · 100) · (2 · 10 + 7 · 100)

= (2 · 102 + 3 · 101 + 1 · 100) · (2 · 10 + 7 · 100)

= (2 · 102) · (2 · 10 + 7 · 100) + (3 · 101) · (2 · 10 + 7 · 100) + (1 · 100) · (2 · 10 + 7 · 100)

= (2 · 102) · (2 · 10) + (2 · 102)(7 · 100) + (3 · 101) · (2 · 10) + (3 · 101)(7 · 100)+

(1 · 100) · (2 · 10) + (1 · 100)(7 · 100)

= 4 · 103 + 14 · 102 + 6 · 102 + 21 · 101 + 2 · 10 + 7 · 100

= 4 · 103 + (101 + 4 · 100) · 102 + 6 · 102 + (2 · 101 + 1 · 100) · 101 + 2 · 10 + 7 · 100

= 4 · 103 + 103 + 4 · 102 + 6 · 102 + 2 · 102 + 1 · 101 + 2 · 10 + 7 · 100

= 5 · 103 + 12 · 102 + 3 · 101 + 7 · 100

= 5 · 103 + (101 + 2 · 100) · 102 + 3 · 101 + 7 · 100

= 5 · 103 + 103 + 2 · 102 + 3 · 101 + 7 · 100

= 6 · 103 + 2 · 102 + 3 · 101 + 7 · 100

= 6237

(14)

(15)

La forma de multiplicar los numeros en base 10, sugiere definir el producto de polinomios en un caso pequenocomo sigue:

Si p(x) = a0 +a1x+a2x2 +a3x

3 y q(x) = b0 + b1x+ b2x2 son dos polinomios de grado 3 y 2 respectivamente

entonces imitando la idea podemos hacer lo siguiente:

p(x) · q(x) = (a0 + a1x + a2x2 + a3x

3) · (b0 + b1x + b2x2)

= (a0 + a1x + a2x2 + a3x

3)b0 + (a0 + a1x + a2x2 + a3x

3)b1x + (a0 + a1x + a2x2 + a3x

3)b2x2

= (a0b0 + a1b0x + a2b0x2 + a3b0x

3) + (a0b1x + a1b1x2 + a2b1x

3 + a3b1x4) + (a0b2x

2 + a1b2x3 + a2b2x

4 + a3b2x5)

= a0b0x0 + (a1b0 + a0b1)x + (a2b0 + a1b1 + a0b2)x

2 + (a3b0 + a2b1 + a1b2)x3 + (a3b1 + a2b2)x

4 + a3b2x5

La idea anterior nos permite generar una definicion de producto de polinomios:

Definicion 4.1. Si p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · · + anx

n y q(x) = b0 + b1x+ b2x2 + · · · + bmx

m entonces

p(x) · q(x) = c0 + c1x+ c2x2 + c3x

3 + · · · + cn+mxn+m (16)

dondec0 = a0b0c1 = a1b0 + a0b1c2 = a2b0 + a1b1 + a0b2c3 = a3b0 + a2b1 + a1b2 + a0b3· · · · · · · · ·

4. PRODUCTO DE POLINOMIOS 11

En general

cs = asb0 + as−1b1 + as−2b2 + · · ·+ a2bs−2 + a1bs−1 + a0bs 0 ≤ s ≤ n+m

Ejemplo 4.1.1. Si p(x) = 2 + 5x− 4x3 y q(x) = x− 7x2 + 6x4 entonces el producto es el siguiente:

p(x)q(x) = c0 + c1x+ c2x2 + c3x

3 + c4x4 + c5x

5 + c6x6 + c7x

7

= 0 + 2x− 9x2 − 35x3 + 8x4 + 2x5 + 0x6 − 24x7

= 2x− 9x2 − 35x3 + 8x4 + 2x5 − 24x7

Donde,

c0 = a0b0 = 0c1 = a1b0 + a0b1 = 2c2 = a2b0 + a1b1 + a0b2 = −9c3 = a3b0 + a2b1 + a1b2 + a0b3 = −35c4 = a4b0 + a3b1 + a2b2 + a1b3 + a0b4 = 8c5 = a5b0 + a4b1 + a3b2 + a2b3 + a1b4 + a0b5 = 2c6 = a6b0 + a5b1 + a4b2 + a3b3 + a2b4 + a1b5 + a0b6 = 0c7 = a7b0 + a6b1 + a5b2 + a4b3 + a3b4 + 21b5 + a1b6 + a0b7 = −24

4.2. Algunas Propiedades del Producto de Polinomios. Si p(x) = p0+p1x+p2x2 + · · ·+pnxn ∈ R[x]

q(x) = q0+q1x+q2x2+· · ·+qmxm ∈ R[x] y s(x) = s0+s1x+s2x

2+· · ·+stxt ∈ R[x] donde n ≤ m ≤ t entonces

(1) Se verifica la propiedad distributiva del producto respecto de la adicion

p(x)[q(x) + s(x)] = p(x)q(x) + p(x)s(x) (17)

En efecto

p(x) · q(x) = c0 + c1x+ c2x2 + c3x

3 + · · ·+ cn+mxn+m

p(x) · s(x) = d0 + d1x+ d2x2 + d3x

3 + · · ·+ dn+txn+t

donde,

cr = prq0 + pr−1q1 + pr−2q2 + · · ·+ p2qr−2 + p1qr−1 + p0qr (0 ≤ r ≤ n+m)dr = prs0 + pr−1s1 + pr−2s2 + · · ·+ p2sr−2 + p1sr−1 + p0sr (0 ≤ r ≤ n+ t)

ahora,

p(x)[q(x) + s(x)] = (p0 + p1x+ p2x2 + · · · + pnx

n) · [(q0 + s0) + (q1 + s1)x+ · · · + (qt + st)xt]

= u0 + u1x+ · · ·+ un+txn+t (∗)

donde,

ur = pr(q0 + s0) + pr−1(q1 + s1) + · · ·+ p0(qt + st) 0 ≤ r ≤ n+ t

Pero,

ur = pr(q0 + s0) + pr−1(q1 + s1) + · · ·+ p0(qt + st)= prq0 + prs0 + pr−1q1 + pr−1s1 + · · ·+ p0qt + p0st= (prq0 + pr−1q1 + · · ·+ p0qt) + (prs0 + pr−1s1 + · · ·+ p0st)= cr + dr 0 ≤ r ≤ n+ t (∗∗)


Sustituyendo (*) en (**), tenemos finalmente que

p(x)[q(x) + s(x)] = u0 + u1x+ · · ·+ un+txn+t

= (c0 + d0) + (c1 + d1)x+ · · ·+ (cn+t + dn+t)xn+t

= (c0 + c1x+ · · ·+ cn+txn+t) + (d0 + d1x+ · · ·+ dn+tx

n+t)= p(x)q(x) + p(x)s(x)

(2) Existe el elemento neutro multiplicativo, e(x) = 1 pues,

p(x)e(x) = (p0 + p1x+ p2x2 + · · ·+ pnx

n) · (1 + 0x+ 0x2 + 0x3 + · · · + 0xn)= p0 + p1x+ p2x

2 + · · ·+ pnxn

= p(x)

5. Divisibilidad en R[x]

Sabemos que para polinomios, el proceso inverso de sumar es restar, es decir, si sumar significa hacer en-tonces restar significa deshacer y viceversa. Pregunta ¿el producto de polinomios tiene proceso inverso?

La pregunta tiene sentido, pues el concepto de inverso esta ligada directamente a la construccion de algorit-mos (procedimientos, formulas) que permiten realizar operaciones en forma rapida y eficiente, por ejemplola formula:

1 dolar = 550 pesos⇐⇒ 1 peso =1

550dolar

Nos permite usar sin problemas las monedas dolar y peso indistintamente, pues a la hora de comprar pode-mos hacer lo siguiente:

Si un articulo vale 300 dolares entonces sacamos la calculadora y hacemos

300 dolares = 300 · 1dolar= 300 · 550 pesos= 165000 pesos

Por el contrario si un articulo vale 165000 pesos y solo tenemos dolares entonces sacamos la calculadora yhacemos

165000 pesos = 165000 · 1 peso

= 165000 · 1

550dolares

=165000

550dolares

= 300 dolares

Como se ve la existencia de una operacion inversa esta ligada a la ”resolucion de ecuaciones”´es decir,cuando vale la equivalencia en el caso aditivo

x+ a = b⇐⇒ x = b− a (18)

O en el caso multiplicativo

ax = b⇐⇒ x =b

a(a 6= 0) (19)

Por ahora seguiremos actuando en forma intuitiva y haremos lo siguiente.

5. DIVISIBILIDAD EN R[x] 13

• ¿ Que significa que8

2= 4?

◦ Interpretacion practica

• • • •parte 1 parte 2 parte 3 parte 4

Figura 1: 8÷ 2

◦ Interpretacion basica

8 : 2 = 4(−) 4 · 2

−−−0 (resto)

• ¿ Que significa que9

2= 4.5?

◦ Interpretacion practica

• • • • •parte 1 parte 2 parte 3 parte 4 parte 4

media

Figura 2: 9÷ 2

◦ Interpretacion basica

9 : 2 = 4(−) 4 · 2

−1 (resto)

En resumen, esto se representa normalmente como

8 = 2 · 4 + 0⇐⇒ 8

2= 4 +

0

2∧ 9 = 2 · 4 + 1⇐⇒ 9

2= 4 +

1

2

Conclusion 5.1. Si n y m son dos numeros enteros entonces diremos que n divide m si existe un numeroentero s tal que m = n · s. En sımbolos podemos escribir como sigue:


n|m ⇐⇒ (∃s; s ∈ Z) : m = n · s

Motivados por el comportamiento de los numeros, preguntamos: ¿ Como generalizar estas ideas a los poli-nomios?.

Podemos copiar el algoritmo anterior, en algunos casos conocidos:

(1) Como x2 − 1 = (x− 1)(x + 1), pues (x− 1)(x+ 1) = x2 + x− x− 1 = x2 − 1 entonces

(x2 − 1):(x− 1)

x2 − x(-)

= x+1

x− 1(-)

x− 1

0

Es decir,

x2 − 1 = (x+ 1)(x− 1) +0

x− 1

(2) Como x2 − 1 = (x− 1)(x + 1), entonces las soluciones de la ecuacion x2 − 1 = 0 son x = 1 o x = −1

(3) Si escribimos p(x) = x2 − 1 entonces este polinomio puede ser interpretado como una formula llamadafuncion que estudiaremos mas adelante, por ahora esta formula funciona como sigue:

p(a) = a2 − 1, a ∈ R

En particular,

p(2) = 22 − 1 = 3p(−2) = (−2)2 − 1 = 3p(5) = 52 − 1 = 24p(1) = 12 − 1 = 0p(−1) = (−1)2 − 1 = 0etc...

(4) Si consideramos el conjunto

Graf(p(x)) = {(x, p(x)) | x ∈ R} = {(x, x2 − 1) | x ∈ R}

entonces el grafico en el plano de este es el siguiente:

5. DIVISIBILIDAD EN R[x] 15

•(0,−1)

•(1, 0)

•(−1, 0)

• (1.5, 1.2)•(1.5, 1.2)

Figura 3: p(x) = x2 − 1

Esto, nos permite adoptar por ahora, un convenio para evaluar polinomios:

Definicion 5.2. Si p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 + · · · + anxn entonces

(1) p(c) = a0 + a1c+ a2c2 + a3c

3 + · · · + ancn, para cada c ∈ R

(2) p(c) = 0⇐⇒ (x− c)|p(x)⇐⇒ el resto de la division p(x)÷ (x− c) es 0

Ejemplo 5.2.1. La idea es descomponer en factores usando un pseudo algoritmo de la division.

(1) Si p(x) = x3 − 1 entonces p(1) = 13 − 1 = 0, luego podemos dividir:

(x3 − 1): (x− 1)=x2

x3 − x2-

x2 − 1

+ x

-x2 − xx− 1

+ 1

- x− 1

0

Ası que, x3 − 1 = (x− 1)(x2 + x+ 1)

(2) Si p(x, y) = x3 − y3 entonces p(y, y) = y3 − y3 = 0, luego podemos dividir:

(x3 − y3):(x− y)=x2

x3 − x2y-

x2y − y3

+xy

-x2y − xy2

xy2 − y3

+ y2

-xy2 − y3

0

Ası que, x3 − y3 = (x− y)(x2 + xy + y2)

(3) En general, xn − yn = (x− y)(xn−1 + xn−2y + xn−3y2 + · · · + yn−1)

(4) Extendamos esta idea para el caso h(x, y) =√x−√y, como sigue


• a =√x⇐⇒ x = a2 ∧ b =

√y ⇐⇒ y = b2

• a2 − b2 = (a− b)(a+ b) =⇒ x− y = (√x−√y)(√x+

√y)

(5) Como, xn− yn = (x− y)(xn−1 + xn−2y+ xn−3y2 + · · ·+ yn−1) entonces para a = xn y b = yn tenemosla formula:

a− b = ( n√a− n√b)(( n√a)n−1 + ( n

√a)n−2(

n√b) + ( n

√a)n−3(

n√b)2 + · · · + (

n√b)n−1)

6. Ejercicios Propuestos

6.1. Factorizacion directa de trinomios. Descomponga en factores

(1) p(x) = x5 − x

(2) p(x) = 2x3 + 6x2 + 10x

(3) p(x) = 2x3 + 6x2 − 10x

(4) p(x) = x4 − 5x2 − 36

(5) p(x, y) = 3xy + 15x− 2y − 10

(6) p(x) = 2xy + 6x+ y + 3

6.2. Factorizacion de trinomios usando sustitucion. Ideas para resolver

Consideremos el trinomio; p(x) = (x− 2)2 + 3(x− 2)− 10 entonces podemos desarrollar el siguiente proced-imiento o algoritmo:

• Sea u = x− 2

• Sustituyendo en p(x) tenemos que

p(x) = (x− 2)2 + 3(x− 2)− 10⇐⇒ q(u) = u2 + 3u− 10 (20)

• Resolvemos la ecuacion de segundo grado para la variable u.

q(u) = 0 ⇐⇒ u =−3±

√9 + 40

2

⇐⇒ u =−3± 7

2

⇐⇒ u =

u = 2

∨u = −5

⇐⇒ q(2) = 0 ∨ q(−5) = 0

⇐⇒ q(u) = (u− 2)(u+ 5)

6. EJERCICIOS PROPUESTOS 17

• Volvemos a la variable original y obtenemos:

p(x) = ((x− 2)− 2)((x− 2) + 5)

= (x− 4)(x + 3)

Usando el procedimiento anterior factorize los siguientes:

(1) p(x) = (x− 3)2 + 10(x − 3) + 24

(2) p(x) = (x+ 1)2 − 8(x+ 1) + 15

(3) p(x) = (2x+ 1)2 + 3(2x+ 1)− 28

(4) p(x) = (3x− 2)2 − 5(3x− 2)− 36

(5) p(x) = 6(x− 4)2 + 7(x− 4)− 3

6.3. Planteamiento y resolucion de ecuaciones polinomiales. A modo de ejemplo, consideren elproblema:

Una sala de clases posee 78 sillas universitarias. Si el numero de sillas por fila es uno mas que el doble delnumero de filas entonces determine el numero de filas y de sillas por fila.

• Planteamiento del problema

Si x es la variable que representa el numero de filas entonces x(2x + 1) representa el numero de sillaspor fila, ası que

x(2x+ 1) = 78 representa el numero total de sillas (21)

• Resolvemos la ecuacion 2x2 + x− 78 = 0

2x2 + x− 78 = 0 ⇐⇒ x =−1±

√1 + 624

4

⇐⇒ x =−1± 25

4

⇐⇒ x = 6 ∨ x = −13

2

• Decidimos la factibilidad de los resultados:

Como el numero de filas es un natural, ası que desechamos x = −13

2y x = 6 es el resultado posible y

hay 13 sillas por fila.

Resuelva los siguientes problemas:

(1) Determine dos enteros consecutivos cuyo producto sea 72


(2) Determine dos enteros cuyo producto sea 105 y uno de ellos debe ser uno mas que el doble del otro.

(3) El perımetro de un rectangulo mide 32 cm y su area es de 60 cm2. Determine las dimensiones delrectangulo.

(4) Si el largo de un rectangulo excede en 2 cm al triple de su ancho y su area es 56 cm2. Determine lasdimensiones del rectangulo.

(5) La suma de las areas de dos cırculos es 65π centımetros cuadrados. Si el radio del cırculo mayor mideun centımetro menos que el doble del radio del cırculo menor entonces determine el radio de cada cırculo.

6.4. Division de polinomios. Realice las divisiones que se indican:

(1) (x2 − 7x− 78) ÷ (x+ 6)

(2) (2x3 + x2 − 3x+ 1)÷ (x2 + x− 1)

(3) (5a3 + 7a2 − 2a− 9)÷ (a2 + 3a− 4)

(4) (2n4 + 3n3 − 2n2 + 3n− 4)÷ (n2 + 1)

(5) (x5 + 1)÷ (x+ 1)

(6) (x5 − 1)÷ (x− 1)

6.5. Ecuaciones con radicales. Resuelva las ecuaciones

(1)√x+ 2 = 7−

√x+ 9

(2)√x2 + 13x+ 37 = 1

(3)√x+ 19−

√x+ 28 = −1

(4) 3√x+ 1 = 4

(5) 3√

3x− 1 = −4

(6) 3√

3x− 1 = 3√

2− 5x

6.6. Ejercicios miscelaneos.

(1) Sea g(x) = 6x2 − 24:

(a) Determine las soluciones de la ecuacion g(x) = 0

(b) Determine las soluciones de la ecuacion g(x) = 0 en base 2

(2) Realice la operacion pedida: (5a3 + 7a2 − 3a− 9)÷ (a2 + 3a− 4)


(3) Si f(x) =2x3 + x2 − 3x

x2 − x entonces grafique f(x) en el plano R2

(4) Determine la o las soluciones de la ecuacion. 3√

3x− 1− 3√

2− 5x = 0

(5) Define hs(x, y) = xs − ys para cualquier s ∈ N. Demuestre que existe una expresion u(x, y) tal quehn(x, y) = h1(x, y) · u(x, y)

(6) Determine el conjunto

S = {x ∈ R |√x+ 19−

√x+ 28 + 1 = 0}

(7) Si p(x) = 6(x− 1)3 + 7(x− 1)2 − 3x+ 3 entonces determine el conjunto

S = {x ∈ R | p(x) = 0}

(8) Demuestre que p(x) = xn+1− (n+ 1)x+n es divisible por (x− 1)2 y no por (x− 1)3, para cada n ∈ N

(9) Sean p(x) = x3 +mx− 6 ∈ R[x] y q(x) = x2 +mx− 2 ∈ R[x]. Determine el conjunto

S = {m ∈ R | (∃α;α ∈ R) : p(α) = 0}

(10) Sea a ∈ Z tal que su representacion en potencias de 10 es de la forma.

a = a0 + a1 · 10 + a2 · 102 + a3 · 103 + · · ·+ as · 10s

Demuestre que

a es divisible por 5 ⇐⇒ a0 = 0 ∨ a0 = 5

(11) Sean p(x) ∈ R[x] y q(x) ∈ R[x] tal que ∂(p(x)) = n y ∂(q(x)) = m. Demuestre que

∂(p(x) · q(x)) = n+m

UNIDAD 2

Rudimentos sobre Logica Matematica

El capitulo Rudimentos sobre Logica Matematica esta destinado esencialmente a desarrollar tecnicas, quepermitan validar o refutar formulas proposicionales a traves de procesos concretos y abstractos. Para ellose generara un proceso de validacion, con sustento en la definicion de tablas de verdad y falsedad para lasoperaciones logicas iniciales; conjuncion, disyuncion, implicacion (inferencia) y doble implicacion (equivalen-cia), para posteriormente dar origen a una base de datos que permita validar o negar proposiciones mascomplejas (proposiciones compuestas), y finalmente prescindir de la estructura de ”tablas de verdad”, paravalidar en forma abstracta las proposiciones logicas.

1. Proposiciones Logicas

Para demostrar que una situacion es correcta o incorrecta, deben ocurrir algunas situaciones que aparente-mente son tan naturales, que ni siquiera nos damos cuenta de su existencia.En efecto

• Para demostrar la veracidad o falsedad de ”algo”, debe existir una situacion, la cual debe ser decididade acuerdo a ciertas claves enmarcadas en un sistema comprensible (logico) para los que estan involu-crados en el suceso.

• Dicha situacion para ser infalible en su decision, debe poseer dos y solo dos ”opciones de verdad”, esdecir, verdadera o falsa (creıble o no creıble).

• La argumentacion total debe estar compuesta de una sucesion de estas situaciones las cuales inter-actuan armoniosamente, ya sea para obtener un valor de verdad verdadero o un valor de verdad falso.

Definicion 1.1. Llamaremos proposicion logica a una oracion declarativa que es verdadera o falsa, peronunca ambas.

Ejemplo 1.1.1. p: Algebra es una asignatura anual de Ingenierıa Civil en la Universidad de Santiago deChile

Ejemplo 1.1.2. q: 23 = 6

Ejemplo 1.1.3. r: Colo Colo es el mejor equipo de futbol de Chile

Con toda seguridad, p y q son proposiciones logicas, y aunque pese, r en las actuales condiciones, no es unaproposicion, pues un hincha de la ”Universidad de Chile”, por ejemplo no comparte mi idea.

2. Generacion de Proposiciones y Tablas de Verdad

Definicion 2.1. Si p es una proposicion logica entonces le asociaremos una ”Tabla de verdad” de la forma:

p01

(22)

donde, 0 representa el valor de verdad falso(apagado) y 1 representa el valor de verdad verdadero(encendido).

21

22 2. RUDIMENTOS SOBRE LOGICA MATEMATICA

Definicion 2.2. Si p es una proposicion logica entonces ∼ p representara la proposicion negacion de p, yle asociaremos una ”Tabla de verdad” de la forma:

p ∼ p0 11 0

(23)

Definicion 2.3. Una proposicion logica se dira compuesta si es formada por mas de una proposicion logica.Para las proposiciones p y q, las siguientes proposiciones compuestas por ellas seran consideradas basicas

Definicion 2.3.1. Llamaremos Conjuncion o Producto logico de p y q a p ∧ q, y le asignaremos la ”Tablade verdad”

p q p ∧ q0 0 00 1 01 0 01 1 1

(24)

Sintetiza el concepto de interseccion en el sentido que: p ∧ q sera verdadera solo si p y q lo son si-multaneamente

Definicion 2.3.2. Llamaremos Disyuncion o Suma logica de p y q a p ∨ q, y le asignaremos la ”Tabla deverdad”

p q p ∨ q0 0 00 1 11 0 11 1 1

(25)

Sintetiza el concepto de union en el sentido que: Para que p ∨ q sea verdadera basta que una de ellas lo sea

Definicion 2.3.3. Llamaremos Implicacion logica de p y q a p =⇒ q, y le asignaremos la Tabla de verdad

p q p =⇒ q0 0 10 1 11 0 01 1 1

(26)

Sintetiza el concepto de relacion causal, en el sentido que p =⇒ q sera falsa solo cuando la hipotesis p esverdadera y la conclusion q es falsa. Caso contrario la nueva proposicion es verdadera.

Definicion 2.3.4. Llamaremos Bicondicional logico de p y q, o equivalencia logica, a la proposicionp⇐⇒ q, o (p ≡ q) y le asignaremos la ”Tabla de verdad”

p q p⇐⇒ q0 0 10 1 01 0 01 1 1

(27)

Sintetiza el concepto de equivalencia, concepto central en el proceso de clasificacion, p⇐⇒ q sera verdaderasolo cuando ambas tengan el mismo valor de verdad.

3. EJERCICIOS RESUELTOS 23

Definicion 2.4. Una proposicion compuesta se llama una Tautologıa si su valor de verdad es siempre ver-dadero, independiente del valor de verdad de las proposiciones que la componen

Ejemplo 2.4.1. Si p es una proposicion logica entonces ∼ (∼ p)⇐⇒ p es una tautologıa

En efecto

p ∼ p ∼ (∼ p) ⇐⇒ p0 1 0 1 01 0 1 1 1

T

Definicion 2.5. Una proposicion compuesta se llama una Contradiccion si su valor de verdad es siemprefalso, independiente del valor de verdad de las proposiciones que la componen

Ejemplo 2.5.1. Si p es una proposicion logica entonces p ∧ ∼ p es una contradiccion

En efecto

p ∼ p p ∧ ∼ p0 1 0 0 11 0 1 0 0

C

3. Ejercicios Resueltos

3.1. Ejercicios Resueltos Usando Tablas de Verdad.

(1) Si p, q y r son proposiciones logicas entonces son equivalentes p ∧ (q ∧ r) y (p ∧ q) ∧ r, es decir laproposicion

p ∧ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∧ r (28)

es una tautologıa conocida como: Asociatividad de la conjuncion

En efecto

p q r q ∧ r p ∧ (q ∧ r) ⇐⇒ p ∧ q (p ∧ q) ∧ r0 0 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 0 00 1 1 1 0 1 0 01 0 0 0 0 1 0 01 0 1 0 0 1 0 01 1 0 0 0 1 1 01 1 1 1 1 1 1 1


(2) Si p, q y r son proposiciones logicas entonces son equivalentes p ∧ (q ∨ r) y (p ∧ q) ∨ (p ∧ r), es decir laproposicion

p ∧ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (29)

es una tautologıa conocida como: Distributividad de la conjuncion

En efecto

p q r q ∨ r p ∧ (q ∨ r) ⇐⇒ p ∧ q p ∧ r (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 1 1 0 1 0 0 00 1 0 1 0 1 0 0 00 1 1 1 0 1 0 0 01 0 0 0 0 1 0 0 01 0 1 1 1 1 0 1 11 1 0 1 1 1 1 0 11 1 1 1 1 1 1 1 1

(3) Si p y q son proposiciones logicas entonces son equivalentes p =⇒ q y ∼ p ∨ q, es decir la proposicion

(p =⇒ q) ⇐⇒ (∼ p ∨ q) (30)

es una tautologıa conocida como: Transformacion de la implicacion o inferencia en disyuncion

En efecto

p q ∼ p p =⇒ q ⇐⇒ ∼ p ∨ q0 0 1 1 1 10 1 1 1 1 11 0 0 0 1 01 1 0 1 1 1

(4) Si p y q son proposiciones logicas entonces son equivalentes ∼ (p∨q) y (∼ p ∧ ∼ q)es decir la proposicion

∼ (p ∨ q) ⇐⇒ (∼ p ∧ ∼ q) (31)

es una tautologıa conocida como: Ley de De Morgan para la disyuncionEn efecto

p q ∼ p ∼ q p ∨ q ∼ (p ∨ q) ⇐⇒ ∼ p ∧ ∼ q0 0 1 1 0 1 1 10 1 1 0 1 0 1 01 0 0 1 1 0 1 01 1 0 0 1 0 1 0


(5) Si p y q son proposiciones entonces

[p ∧ (p =⇒ q)] =⇒ q (32)

es una tautologıa conocida como: Modus Ponens o Metodo de AfirmacionEn efecto

p q p =⇒ q p ∧ p =⇒ q [p ∧ (p =⇒ q)] =⇒ q0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 1 1 1

(6) Si p, q y r son proposiciones entonces

[(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ r)] =⇒ (p =⇒ r) (33)

es una tautologıa conocida como: Implicacion Logica o Ley del SilogismoEn efecto

p q r p =⇒ q q =⇒ r (p =⇒ q) ∧ (q =⇒ r) =⇒ p =⇒ r0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 10 1 0 1 0 0 1 00 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 0 1 01 0 1 0 1 0 1 11 1 0 1 0 0 1 01 1 1 1 1 1 1 1

(7) Si p y q son proposiciones entonces

[(p =⇒ q)∧ ∼ q] =⇒∼ p (34)

es una tautologıa conocida como: Modus Tollens o Metodo de NegacionEn efecto

p q p =⇒ q ∼ q (p =⇒ q)∧ ∼ q ⇐⇒ ∼ p0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 0 1 11 0 0 1 0 1 01 1 1 0 0 1 0


(8) Si p es una proposicion y C una contradiccion entonces

(∼ p =⇒ C) =⇒ p (35)

es una tautologıa conocida como: Metodo de Contradiccion o Reduccion al Absurdo

En efecto

p ∼ p C ∼ p =⇒ F (∼ p =⇒ F ) =⇒ p0 1 0 0 11 0 0 1 1

3.2. Ejercicios Resueltos Usando Propiedades. 1

(1) Si p1, p2, . . . , pn y q son proposiciones logicas entonces

[(p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn) =⇒ q] ≡ [(p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ∧ ∼ q) =⇒ C]

En efecto

Si hacemos p = (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn) entonces

p =⇒ q ⇐⇒ p ∧ ∼ q =⇒ q ∧ ∼ q⇐⇒ p ∧ ∼ q =⇒ C

(2) Si p, q, r y s son proposiciones logicas entonces

[(p =⇒ r) ∧ (∼ p =⇒ q) ∧ (q =⇒ s)] =⇒ [(∼ r =⇒ s)]

es una inferencia logica, (implicacion verdadera)

En efecto

(p =⇒ r) ∧ (∼ p =⇒ q) ∧ (q =⇒ s) ⇐⇒ (∼ r =⇒∼ p)︸︷︷︸contrapositiva

∧(∼ p =⇒ q) ∧ (q =⇒ s)

=⇒ (∼ r =⇒ q)︸︷︷︸silogismo

∧(q =⇒ s)

=⇒ ∼ r =⇒ s︸︷︷︸silogismo

1Observen que el termino propiedades, aquı significa que podemos usar nuestra base de datos, ya probada con las Tablas deVerdad

4. USO DE CUANTIFICADORES 27

(3) Si p, q, r y s son proposiciones logicas entonces

[(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ (r ∧ s)) ∧ (∼ r ∨ (∼ t ∨ u)) ∧ (p ∧ t)] =⇒ u

es una inferencia logica

En efecto

Si hacemos w = [(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ (r ∧ s)) ∧ (∼ r ∨ (∼ t ∨ u)) ∧ (p ∧ t)] entonces

w =⇒ (p =⇒ (r ∧ s)) ∧ (∼ r ∨ (∼ t ∨ u)) ∧ (p ∧ t) silogismo=⇒ (p =⇒ r) ∧ (∼ r ∨ (∼ t ∨ u)) ∧ p [(a ∧ b) =⇒ a]tautologıa=⇒ p ∧ (p =⇒ r) ∧ (∼ r ∨ (∼ t ∨ u)) conmutatividad de ∧=⇒ r ∧ (∼ r ∨ (∼ t ∨ u)) Modus ponens=⇒ r ∧ ((∼ r∨ ∼ t) ∨ u) Asociatividad de ∨=⇒ r ∧ (∼ (r ∧ t) ∨ u) De Morgan=⇒ r ∧ (∼ r ∨ u) [(a ∧ b) =⇒ a]tautologıa=⇒ (r∧ ∼ r) ∨ (r ∧ u) distributividad de ∧ en ∨=⇒ C ∨ (r ∧ u) ley del inverso=⇒ r ∧ u ley del neutro=⇒ u [(a ∧ b) =⇒ b]tautologıa

4. Uso de Cuantificadores

Una forma natural de generar proposiciones es a traves de formulas para hacer proposiciones, como porejemplo:

(1) p(x): x es un natural mayor que 3

En este caso

Si notamos por I el conjunto de naturales x para los cuales p(x) es verdadera y por O el conjuntode naturales x para los cuales p(x) es falsa entonces

I = {x ∈ N | p(x) verdadera} = {4, 5, 6, . . . }O = {x ∈ N | p(x) falsa} = {1, 2, 3}

(2) q(x, y) : x ∈ R e y ∈ R ∧ x2 + y2 = 1

En este caso, como veremos mas tarde, I define un circulo con centro en (0, 0) y radio 1 y O es elresto del plano cartesiano R2

Definicion 4.1. p(x1, x2, . . . , xn) se llama una formula proposicional definida en un conjunto A si:

◦ Cada xi para 1 = 1, 2, . . . , n son variables en A, es decir pueden tomar valores en el conjunto A

◦ Para cada sustitucion de las variables en A la formula se transforma en una proposicion logica


Ejemplo 4.1.1. Ya observamos que (p(x) : x es un natural mayor que 3), es una formula proposicional, yen particular tenemos:

• p(1) es falsa

• p(2) es falsa

• p(3) es falsa

• p(x) es verdadera para cada x ∈ N y x ≥ 4

Ası p(x) es verdadera para algunos numeros naturales y tambien p(x) es falsa para algunos numeros natu-rales.

Definicion 4.2. Si p(x) es una formula proposicional entonces

(1) ” Para algun x; p(x)” es una proposicion y la notaremos por [∃x; p(x)].

(2) ” Para un unico x; p(x)” es una proposicion y la notaremos por [∃! x; p(x)].

(3) ” Para todo x; p(x)” es una proposicion y la notaremos por [∀x; p(x)]

Ejemplo 4.2.1. Definamos en R las proposiciones:

⋄ p(x) : x ≥ 0

⋄ q(x) : x2 ≥ 0

⋄ r(x) : x2 − 3x− 4 = 0

⋄ s(x) : x2 − 3 > 0

entonces

◦ ∃x : (p(x) ∧ r(x)) es verdadera, pues existe 4 ∈ R tal que p(4) y r(4) son verdaderas.

◦ ∀x : (p(x) =⇒ q(x)) es verdadera, pues para cualquier valor real a, q(a) es verdadera.

◦ ∀x : (q(x) =⇒ s(x)) es falsa, pues por ejemplo q(1) es verdadera y s(1) es falsa.

La siguiente tabla especifica el comportamiento de los cuantificadores (∃) y (∀)

5. EJERCICIOS PROPUESTOS DE LOGICA 29

Proposicion Verdadera Falsa

∃x : p(x) Para al menos un a, p(a) es verdadera Para cada a, p(a) es falsa

∀x : p(x) Para cada a, p(a) es verdadera Existe a tal que p(a) es falsa

∃x :∼ p(x) Existe a tal que p(a) es falsa Para cada a, p(a) es verdadera

∀x :∼ p(x) Para cada a, p(a) es falsa Existe a tal que p(a) es verdadera

5. Ejercicios Propuestos de Logica

(1) Usando una tabla de verdad muestre que la proposicion es una equivalencia

(p =⇒ q) ⇐⇒ [(p ∧ ∼ q) =⇒ (r ∧ ∼ r)]

(2) Usando una tabla de verdad muestre que la siguiente proposicion es una equivalencia

(p =⇒ [q ∨ r]) ⇐⇒ (∼ [q ∨ r] =⇒∼ p)

(3) Demuestre que la proposicion siguiente es una tautologıa

[((∼ p ∨ q) =⇒ r) ∧ (r =⇒ (s ∨ t)) ∧ (∼ s∧ ∼ u) ∧ (∼ u =⇒∼ t)] =⇒ p

(4) Muestre usando propiedades que la siguiente proposicion es una inferencia logica

∼ (p =⇒ q) =⇒ (∼ p =⇒∼ q)

(5) Si p, q, r y t son proposiciones que satisfacen:

◦ (p ∧ q) =⇒∼ r es una proposicion falsa

◦ q ⇐⇒ t es una proposicion falsa

entonces determine el valor de verdad de la proposicion:

{[ t ∧ (p ∨ ∼ r)] =⇒ q} ⇐⇒ {(∼ p ∨ q) ∧ r}

(6) Muestre justificando paso a paso, (usando propiedades, no tablas de verdad), que la siguiente proposiciones una inferencia logica:


∼ [{(∼ q =⇒∼ p) ∧ (r =⇒ s)} ∧ (∼ q ∨ ∼ s)] =⇒ [(p ∧ r)]

(7) Si para las proposiciones logicas p y q, se define el conectivo logico ∗ como sigue:

p ∗ q es Falsa si y solo si p y q son verdaderas, caso contrario p ∗ q es verdadera

Demuestre usando propiedades, que la siguiente proposicion es una tautologıa

[(p =⇒ q) ∨ q]⇐⇒ [(p ∧ ∼ q)∗ ∼ q]

(8) Sean p y q dos proposiciones logicas. Si definimos el nuevo conectivo logico:

p#q ≡ [(q ∧ p) =⇒∼ p]∧ ∼ qEntonces demuestre que

{q ∧ [p =⇒ (p#q)]}∨ ∼ p ≡∼ p

(9) Sean p y q dos proposiciones logicas. Si definimos los dos nuevos conectivos logicos:

(p ∗ q =∼ p =⇒∼ q) ∧ (p#q =∼ p ∧ q)Entonces demuestre que

(∼ p ∗ q)#(∼ q#p) ≡ p ∧ q

(10) Demuestre usando propiedades que

{[p =⇒ (q∧ ∼ r)] ∧ [p ∧ (q =⇒ r)]} ∨ {(p ∧ q) ∨ [r ∧ (∼ r ∨ q) ∧ p]} ≡ p ∧ q

UNIDAD 3

Induccion Matematica

El capitulo de Induccion Matematica, esta destinado a presentar contenidos y actividades que permitiranal estudiante operar con simbologıa matematica, describir analizar y aplicar el principio de InduccionMatematica, en particular usando esta tecnica ”comprobara rapida y eficientemente, la veracidad o falsedadde formulas proposicionales definidas en los numeros naturales”

1. Axiomas de Peano: Una Construccion Axiomatica de los Numeros Naturales

Si aceptamos que una teorıa, se construye esencialmente en base a dos objetos:

◦ Conceptos primitivos, en el sentido que no son definidos, pero de una simple interpretacion intuitiva y,◦ Axiomas o verdades reveladas que se aceptan sin demostrar, y que rigen el comportamiento de los

conceptos primitivos, y de ellos se deducen proposiciones y teoremas

Un muy buen ejemplo de una construccion axiomatica que obedece este patron, es la de los NumerosNaturales, a traves de los geniales Axiomas de Peano, los que pasamos a enunciar y analizar solo con laprofundidad necesaria, para situar y resolver nuestro objetivo de estudiar mas en detalle el Principio deInduccion

1.1. Axiomas de Peano.

El Concepto Primitivo aquı es la idea de sucesor. Es decir para cada n ∈ N, el sımbolo n + 1 se entenderacomo el sucesor de dicho numero n

Ejemplo 1.2. 3 es el sucesor de 2, pues 3 = 2 + 1



El Cuerpo Axiomatico consiste en los siguientes cinco Axiomas:

Ax1: 1 es un numero natural

◦ Esto significa que existe al menos un numero natural

Ax2 : Si n ∈ N entonces n + 1 ∈ N

◦ Todo numero natural tiene un sucesor

31

32 3. INDUCCION MATEMATICA

◦ n+ 1 debe ser entendido como el sımbolo sucesor de n

Ax3 : No existe un numero natural n, tal que su sucesor sea 1

◦ Esto significa que N posee un primer elemento

Ax4 : Si n ∈ N y m ∈ N tal que n + 1 = m + 1 entonces n = m

◦ Esto significa que podemos escribir sin ambiguedad N = {1, 2, 3, · · · }

Ax5 : Si S ⊂ N es tal que verifica simultaneamente las dos siguientes propiedades:

• 1 ∈ S

• n ∈ S =⇒ n + 1 ∈ S

entonces S = N

◦ Ax5 se conoce como el axioma de induccion o principio de induccion

◦ Es una de las mas bellas estrategias que utiliza el intelecto humano, para ”hacer finito lo infinito”

◦ La idea expresada en el comando 1 ∈ S, es simbolica solo dice que a partir de un cierto momento,comienza a realizarse sistematicamente, (quizas la idea intuitiva del nacimiento) un algoritmo.

◦ En nuestro contexto, reinterpretaremos la idea de sucesor, para obtener un metodo para validar formulasproposicionales definidas en los naturales

2. Formalizacion y Verificacion de Formulas Usando el Axioma de Induccion

En esta seccion transformaremos el axioma de induccion de Peano, en una formidable herramienta paraverificar el valor de verdad de formulas proposicionales, para ello procederemos como sigue

◦ Realizaremos en primer lugar la adecuacion del axioma para la validacion de formulas proposicionales,para ello enunciaremos y probaremos el teorema central de la seccion, al cual lo llamaremos ”Peano ylas formulas proposicionales”

◦ En Segundo lugar, construiremos en forma concreta, ayudados por la intuicion y conocimientos geometricosbasicos algunas formula proposicionales

◦ Finalmente, construiremos un ”macro” llamado sumatoria que nos permitira comprimir, simplificar ycomprender de mejor forma la informacion representada por estas formulas proposicionales

Teorema 2.1. Peano y las formulas proposicionales Sea F (n) una formula proposicional para cadan ∈ N. Si

◦ F (1) es verdadera, y◦ F (n) verdadera =⇒ F (n+ 1) verdadera

Entonces F (s) es verdadera (∀s; s ∈ N)

3. CONSTRUCCION DE ALGUNAS FORMULAS PROPOSICIONALES 33

Demostracion

Para aplicar el axioma de induccion Ax5 definimos el conjunto

S = {n ∈ N | F (n) es verdadera}

Y entonces

◦ F (1) verdadera ⇐⇒ 1 ∈ S◦ [F (n) verdadera =⇒ F (n + 1) verdadera ]⇐⇒ [n ∈ S =⇒ (n+ 1) ∈ S]

Ası que,

1 ∈ Sn ∈ S =⇒ (n+ 1) ∈ S

}=⇒ S = N =⇒ F (n) es verdadera (∀n;n ∈ N)

Usaremos la siguiente Notacion: La etapa n, es decir F (n) la llamaremos ”Hipotesis de Induccion”, y a laetapa n+ 1, la llamaremos ”Tesis de Induccion.”

3. Construccion de Algunas Formulas Proposicionales

3.1. Una formula para ”La suma de los n primeros numeros naturales”: Generemos una formulaque permita calcular el numero maximo de intersecciones de n lıneas rectas distintas, para cada n ∈ N

� Para entender el problema, llamaremos n al numero de rectas e I al numero de intersecciones de ellas

⋄ Si n = 2 tenemos la situacion:

L1

L2

I

Lo que nos hace concluir que: n = 2 =⇒ I = 1

⋄ Para n = 3 tenemos que la situacion, es la siguiente:


L1

L2

L3

I1I2

I3

De donde concluimos que: n = 3 =⇒ I = 3 = (1) + 2

⋄ Para n = 4 tenemos que:

L1

L2

L3

L4

I1I2

I3

I4I5

I6

En este caso tenemos que: n = 4 =⇒ I = 6 = (1 + 2) + 3

⋄ Ahora para n = 5

L1

L2

L3

L4

L5

I1I2

I3

I4I5

I6

I7

I8

I9

I10

La situacion es la siguiente: n = 5 =⇒ I = 10 = (1 + 2 + 3) + 4


� Podemos intentar seguir realizando la interseccion de mas rectas, pero se ve que cada vez sera mas difıcilgraficar como lo hemos hecho hasta ahora, por tanto es el momento de intentar un modelamiento mas abs-tracto del problema

⋄ Partamos con n = 6

L1

L2

L3 L4 L5 L6

L1

L3

L4

L5

1

2

3

4

5

Aquı como antes tenemos que: n = 6 =⇒ 15 = (1 + 2 + 3 + 4) + 5

Desde el punto de vista algebraico tenemos la siguiente situacion para analizar:

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

= 5 + 4 + 3 + 2 + 1

= 5 + (5− 1) + (5− 2) + (5 − 3) + (5− 4)

= (5 + 1)− 1 + (5 + 1)− 2 + (5 + 1)− 3 + (5 + 1)− 4 + (5 + 1)− 5

= 5(5 + 1)− 1− 2− 3− 4− 5

= 5(5 + 1)− 15

Luego, 2(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 5(5 + 1), ası que

1 + 2 + 3 + 4 + 5 =5(5 + 1)

2

⋄ Para n = 7

L1

L2

L3 L4 L5 L6 L7

L1

L3

L4

L5

L6

1

2

3

4

5

6

En este caso tenemos que: n = 7 =⇒ 21 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 6


Procediendo en forma analoga al caso anterior tenemos que:

21 = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

= 6 + (6− 1) + (6− 2) + (6− 3) + (6− 4) + (6− 5)

= (6 + 1)− 1 + (6 + 1)− 2 + (6 + 1)− 3 + (6 + 1)−4 + (6 + 1)− 5 + (6 + 1)− 6

= 6(6 + 1)− 1− 2− 3− 4− 5− 6

= 6(6 + 1)− 21

Luego, 2(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 6(6 + 1), ası que,

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =6(6 + 1)

2

Pero, tambien podemos obtener el mismo resultado, razonando como sigue

21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

=5(5 + 1)

2+ 6

=5(5 + 1)

2+ (5 + 1)

=5(5 + 1) + 2(5 + 1)

2

=7(5 + 1)

2

=6 · 72

=6(6 + 1)

2

[z]

� En el caso general emulando la primera forma de razonar tenemos que

1 + 2 + · · · + n = n+ (n− 1) + (n − 2) + · · · + (n− n+ 1)

= (n+ 1)− 1 + (n+ 1)− 2 + · · ·+ (n+ 1)− n= n(n+ 1)− 1− 2− 3− · · · − n= n(n+ 1)− (1 + 2 + · · ·+ n)

Ası que,

1 + 2 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2

Luego, la formula F (n), que define el numero maximo de intersecciones de n rectas, para cada n ∈ N es dela forma


F (n) : 1 + 2 + 3 + · · · + n =n(n+ 1)

n(36)

Ahora aprovechando la idea obtenida en [z], y aplicando el Teorema (2.1), podemos hacer lo siguiente:

◦ Mostremos inicialmente que F (1) es verdadera

Como1(1 + 1)

2= 1 entonces 1 =

1(1 + 1)

2, y F (1) es verdadera.

◦ Si suponemos que F (n) es verdadera debemos mostrar que F (n+ 1) es verdadera

En primer lugar, F (n) verdadera si y solo si

1 + 2 + 3 + 4 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2(H)

Ahora, F (n+ 1) sera verdadera si y solo si

1 + 2 + 3 + 4 + · · ·+ n+ (n + 1) =(n + 1)(n + 1 + 1)

2=

(n+ 1)(n + 2)

2

Entonces

1 + 2 + 3 + · · ·+ n+ (n+ 1) = [1 + 2 + 3 + · · ·+ n]︸︷︷︸(H)

+(n+ 1)

=

[n(n+ 1)

2

]+ (n+ 1)

=n(n+ 1) + 2(n + 1)

2

=(n+ 1)(n + 2)

2

Ası que, F (n+ 1) es verdadera, y N = {n ∈ N | F (n) es verdadera}

3.2. Una formula para ”La suma de los n primeros numeros naturales impares”: Si notamospor NI = {1, 3, 5, · · · } a los numeros impares entonces ¿Sera posible obtener una formula para la suma delos n primeros impares?. Es decir

1 + 3 + · · · + (2n− 1) = ?

� Estudiemos en abstracto el problema:


1 + 3 = 1 + 2 · 1 + 1 = (1 + 1)2 = 22

1 + 3 + 5 = 22 + 2 · 2 + 1 = (2 + 1)2 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 32 + 2 · 3 + 1 = (3 + 1)2 = 42

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 42 + 2 · 4 + 1 = (4 + 1)2 = 52

......

...

� Estudiemos ahora el problema en concreto:

Teorıa

1 + 3 = 4

Diseno Analisis Formula

=⇒ 1 + 3 = 22

1 + 3 22

Teorıa

1 + 3 + 5 = 9


=⇒ 1 + 3 + 5 = 32

1 + 3 + 5 32

Teorıa

1 + 3 + 5 + 7 = 16


=⇒ 1 + 3 + 5 + 7 = 42

1 + 3 + 5 + 7 42

� En el caso general deberıamos mostrar en concordancia con nuestra intuicion que

1 + 3 + · · ·+ (2n − 1) = n2


⋄ Si notamos por F (n) : 1 + 3 + · · · + (2n − 1) = n2, para cada n ∈ N entonces tenemos por calculodirecto que F (n) es verdadera o falsa.

⋄ Si concordamos en que S = {n ∈ N | F (n) es verdadera} entonces tenemos lo siguiente:

◦ 1 ∈ S, pues F (1) es verdadera, ya que 1 = 12

◦ Si suponemos que n ∈ S, es decir asumimos que F (n) es verdadera, o equivalentemente

1 + 3 + · · ·+ (2n − 1) = n2 (H)

Entonces

1 + 3 + · · ·+ (2n − 1) + (2(n + 1)− 1) = [1 + 3 + · · · + (2n − 1)]︸︷︷︸(H)

+

(2(n + 1)− 1)

= n2 + (2(n + 1)− 1)

= n2 + 2n+ 1

= (n+ 1)2

Ası que F (n+1) es verdadera y luego, (n+1) ∈ S, y entonces para cada n ∈ N es verdadera la formula

1 + 3 + · · ·+ (2n − 1) = n2 (37)

3.3. Una formula para ”La suma de los n primeros numeros naturales pares”: Si notamos ahorapor NP = {2, 4, 6, · · · } entonces ¿Sera posible obtener una formula para la suma de los n primeros numerospares?. Es decir

2 + 4 + · · ·+ 2n = ?

� Estudiemos intuitivamente el problema:

2 = 1 · 22 + 4 = 1 · 2 + (2 · 2) = 2 · 3

2 + 4 + 6 = 2 · 3 + (2 · 3) = 3 · 42 + 4 + 6 + 8 = 3 · 4 + (2 · 4) = 4 · 5

2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 4 · 5 + (2 · 5) = 5 · 62 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 5 · 6 + (2 · 6) = 6 · 7

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 6 · 7 + (2 · 7) = 7 · 82 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 7 · 8 + (2 · 8) = 8 · 9

......

...

� Estudiemos ahora el problema en concreto:


Teorıa

2 + 4 = 6


=⇒ 2 + 4 = 2 · 3

2(1 + 2)2 · 3

Teorıa

2 + 4 + 6 = 12


=⇒ 2 + 4 + 6 = 3 · 4

2(1 + 2 + 3)

3 · 4

� Estudiemos en abstracto el problema:

Si llamamos F (n) : 2+4+6+ ·+2n = n(n+1) para cada n ∈ N entonces aplicando nuestro procedimientoformal, tenemos que definir el conjunto S = {n ∈ N | F (n) es verdadera}, y verificar si este conjunto sa-tisface o no el axioma 5

⋄ Por demostrar que F (1) es verdadera, es decir 1 ∈ S. Esto se verifica porque,

2 = 1(1 + 1)

⋄ Supongamos que F (n) es verdadera, es decir, n ∈ S, y

2 + 4 + 6 + ·+ 2n = n(n+ 1) (H)

⋄ Por demostrar que F (n+ 1) es verdadera, es decir por demostrar que (n+ 1) ∈ S

En efecto

2 + 4 + 6 + ·+ 2n︸︷︷︸(H)

+2(n+ 1) = n(n+ 1) + 2(n + 1)

= (n + 1)(n + 2)

Luego, N = S y F (n) es verdadera (∀n;n ∈ N), es decir,

2 + 4 + 6 + ·+ 2n = n(n+ 1) (38)

4. SUMATORIAS: 41

� Podemos responder en forma alternativa, con lo que hemos aprendido:

2 + 4 + · · ·+ 2n = 2(1 + 2 + 3 + ·+ n)

= 2

(n(n+ 1)

2

)(Aplicando la formula (36))

= n(n+ 1)

4. Sumatorias:

En esta etapa construiremos y estudiaremos las propiedades de una herramienta matematica que nos per-mita comprimir, presentar y manipular eficientemente formulas proposicionales, que involucran sumas deuna cantidad finita de numeros reales. Para ver una construccion de los Numeros Reales les sugiero ver [2]

Definicion 4.1. Dada la lista A = {a1, a2, a3, . . . } ⊂ R definimos para cada n ∈ N, el nuevo listado denumeros reales:

S = {S1, S2, S3, · · · }donde,

◦ S1 =

1∑

i=1

ai = a1, y

◦ Sn+1 =n+1∑

i=1

ai = Sn + an+1

Para cada n ∈ N

n∑

i=1

ai = a1 + a2 + a3 + · · · + an−1 + an (39)

sera llamada la ”Sumatoria” de los n primeros elementos de la lista A

Observacion 4.1.1. La lista S ha sido construida, a partir de una nueva forma de usar el Axioma 5. dePeano pues, lo que hemos hecho en realidad es lo siguiente:

1∑

i=1

ai = a1

2∑

i=1

ai = S1 + a2 = a1 + a2

3∑

i=1

ai = S2 + a2 = a1 + a2 + a3

...n∑

i=1

ai = Sn−1 + an = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an−1 + an


Ejemplo 4.1.2. Si ai = i para i = 1, 2, 3, . . . , n entonces

n∑

i=1

ai = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an ⇐⇒n∑

i=1

i = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n

Ası que, usando la formula (36) tenemos que

n∑

i=1

i =n(n+ 1)

2

Ejemplo 4.1.3. Si ai = 2i− 1 para i = 1, 2, 3, . . . , n entonces

n∑

i=1

ai = a1 + a2 + a3 + · · · + an ⇐⇒n∑

i=1

(2i − 1) = 1 + 3 + 5 + · · · + 2n− 1


n∑

i=1

(2i− 1) = n2

Ejemplo 4.1.4. Si ai = 2i para i = 1, 2, 3, . . . , n entonces

n∑

i=1

ai = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an ⇐⇒n∑

i=1

2i = 2 + 4 + 6 + · · ·+ 2n


n∑

i=1

2i = n(n+ 1)

4.2. Propiedades de las Sumatorias. Si A = {a1, a2, · · · , an} ⊂ R; B = {b1, b2, · · · , bn} ⊂ R y c ∈ Rentonces

(1)

n∑

i=1

(ai ± bi) =

n∑

i=1

ai ±n∑

i=1

bi

Si hacemos ci = ai + bi para i = 1, 2, . . . , n entonces

n∑

i=1

(ai + bi) =

n∑

i=1

ci

= c1 + c2 + c3 + · · · + cn= (a1 + b1) + (a2 + b2) + (a3 + b3) + · · · + (an + bn)= (a1 + a2 + a3 + · · ·+ an) + (b1 + b2 + b3 + · · ·+ bn)

=

n∑

i=1

ai +

n∑

i=1

bi

Analogamente si hacemos ci = ai − bi obtenemos

n∑

i=1

(ai − bi) =

n∑

i=1

ai −n∑

i=1

bi

4. SUMATORIAS: 43

Ası que,

n∑

i=1

(ai ± bi) =

n∑

i=1

ai ±n∑

i=1

bi (40)

(2)

n∑

i=1

cai = c

n∑

i=1

ai

Si hacemos di = cai para i = 1, 2, . . . , n entonces

n∑

i=1

cai =

n∑

i=1

di

= d1 + d2 + d3 + · · ·+ dn= ca1 + ca2 + ca3 + · · ·+ can= c(a1 + a2 + a3 + · · ·+ an)

= cn∑

i=1

ai

Ası que,

n∑

i=1

cai = c

n∑

i=1

ai (41)

(3)

n∑

i=1

1 = n. En particular

n∑

i=1

c = cn

Si hacemos ci = 1 para i = 1, 2, . . . , n entoncesn∑

i=1

1 =

n∑

i=1

ci

= c1 + c2 + c3 + · · ·+ cn= 1 + 1 + 1 + · · ·+ 1︸︷︷︸

n−veces

= nAsı que,

n∑

i=1

1 = n (42)

Ademas, para c ∈ R:

n∑

i=1

c =

n∑

i=1

c · 1 (41)= c

n∑

i=1

1(42)= c · n

Ası que,

n∑

i=1

c = cn (43)


(4)

n∑

i=1

ai =

s∑

i=1

ai +

n∑

i=s+1

ai

Define ci = ai, para i = 1, 2, . . . , s y di = as+i, para i = 1, 2, . . . , n− s entonces

s∑

i=1

ci +

n∑

i=1

di = (c1 + c2 + · · ·+ cs) + (d1 + d2 + · · ·+ ds)

= (a1 + a2 + · · · + as) + (as+1 + as+2 + · · · + as+n−s= a1 + a2 + · · ·+ as + as+1 + as+2 + · · · + an

=

n∑

i=1

ai

Ahora, por otra parte,

s∑

i=1

ci +n∑

i=1

di = (c1 + c2 + · · ·+ cs) + (d1 + d2 + · · ·+ ds)

=

s∑

i=1

ai +

n−s∑

i=1

as+i Si hacemos j = s+ i entonces

=s∑

i=1

ai +n∑

j=s+1

aj

=

s∑

i=1

ai +

n∑

i=s+1

ai

Ası que,

n∑

i=1

ai =

s∑

i=1

ai +

n∑

i=s+1

ai (44)

(5)

n∑

i=1

(ai − ai+1) = a1 − an+1 (Propiedad Telescopica1)

n∑

i=1

(ai − ai+1)(40)=

n∑

i=1

ai −n∑

i=1

ai+1

= (a1 + a2 + a3 + · · ·+ an)− (a2 + a3 + · · ·+ an + an+1)

= a1 − an+1

1Observe que en un telescopio la imagen es traslada hacia su ojo a traves de los lentes

5. EJERCICIOS RESUELTOS DE INDUCCION MATEMATICA 45

Ası que,

n∑

i=1

(ai − ai+1) = a1 − an+1 (45)

(6)r∑

i=s

ai =r+t∑

i=s+t

ai−t (Propiedad del reloj2)

r∑

i=s

ai =r+t∑

j=s+t

aj−t (Si hacemos i = j − t)

Ası que,

r∑

i=s

ai =

r+t∑

i=s+t

ai−t (46)

5. Ejercicios Resueltos de Induccion Matematica

(1) Demostremos usando Induccion Matematica que la formula:

F (n) :n∑

k=1

(1

k(k + 1)(k + 2)

)=

n(n+ 3)

4(n+ 1)(n + 2)

Es verdadera (∀n;n ∈ N)

Solucion

� Por mostrar que F (1) es verdadera, observamos los hechos:

⋄1∑

i=1

(1

k(k + 1)(k + 2)

)=

1

1(2)(3)=

1

6, y

⋄ 1(1 + 3)

4(1 + 1)(1 + 2)=

1(4)

4(2)(3)=

1

6

2Observe que por ejemplo las 2.00 horas mas 45 minutos, es lo mismo que las 3 horas menos 15 minutos


Luego, comparando los resultados concluimos que

1∑

i=1

(1

k(k + 1)(k + 2)

)=

1(1 + 3)

4(1 + 1)(1 + 2)

Por ende, F (1) es verdadera.

� Hipotesis de Induccion: Suponemos que F (n) es verdadera. Esto es

n∑

k=1

(1

k(k + 1)(k + 2)

)=

n(n+ 3)

4(n + 1)(n + 2)(H)

� Tesis de Induccion: Por demostrar que F (n+ 1) es verdadera, es decir debemos verificar que:

n∑

k=1

1

k(k + 1)(k + 2)=

(n+ 1)(n + 4)

4(n + 2)(n + 3)

En efecton∑

k=1

1

k(k + 1)(k + 2)=

n∑

k=1

1

k(k + 1)(k + 2)+

n+1∑

k=n+1

1

k(k + 1)(k + 2)

(H)=

n(n+ 3)

4(n + 1)(n + 2)+

1

(n+ 1)(n + 2)(n + 3)

=n(n+ 3)2 + 4

4(n + 1)(n + 2)(n + 3)

=n(n2 + 6n+ 9) + 4

4(n + 1)(n + 2)(n + 3)

=n3 + 6n2 + 9n+ 4

4(n + 1)(n + 2)(n + 3)

=(n+ 1)2(n+ 4)

4(n + 1)(n + 2)(n + 3)

=(n+ 1)(n + 4)

4(n + 2)(n + 3)

Ası que F (n+ 1) es verdadera y F (n) es verdadera (∀n;n ∈ N)

(2) Si A = {a1, a2, a3, a4, . . . } ⊂ R es tal que:

◦ ai = i para i = 1, 2

◦ as =s−1∑

i=1

ai (s ≥ 3)

entonces demostremos usando Induccion Matematica que es verdadera (∀n;n ∈ N;n ≥ 3) la formula:

F (n) : an = 3 · 2n−3

5. EJERCICIOS RESUELTOS DE INDUCCION MATEMATICA 47

Solucion

� Por demostrar que F (3) es verdadera.

En efecto

a1 = 1 ∧ a2 = 2 =⇒ a3 = a1 + a2 = 1 + 2 = 3 = 3 · 23−3

� Hipotesis de Induccion: Supongamos que F (n) es verdadera, es decir que

an = 3 · 2n−3 (H)

� Por demostrar que F (n+ 1) es verdadera, esto es; Por demostrar que:

an+1 = 3 · 2n−2

En efecto

an+1 =

n∑

i=1

ai

= an + an−1 + an−2 + an−3 + ·+ a3 + a2 + a1

(H)= 3 · 2n−3 + 3 · 2n−4 + 3 · 2n−5 + 3 · 2n−6 + 3 · 2n−7 + · · ·+ 3 + 3

= 3(2n−3 + 2n−4 + 2n−5 + 2n−6 + 2n−7 + · · ·+ 1) + 3

= 3 · 2n−2 − 1

2− 1+ 3

= 3 · 2n−2 − 3 + 3

= 3 · 2n−2

Ası que, F (n+ 1) es verdadera y F (n) es verdadera (∀n;n ∈ N)


F (n) : n3 + (n + 1)3 + (n+ 2)3 es divisible por 9

Es verdadera (∀n : n ∈ N)

Solucion

� Por demostrar que F (1) es verdadera

En efecto

13 + (1 + 1)3 + (1 + 2)3 = 32 = 9 · 4 =⇒ 13 + (1 + 1)3 + (1 + 2)3 es divisible por 9


.

� Hipotesis de Induccion: Supongamos que F (n) es verdadera. Es decir, existe q, tal que

n3 + (n+ 1)3 + (n+ 2)3 = 9 · q (H)

� Por demostrar que F (n+ 1) es verdadera, es decir por demostrar que existe r, tal que

(n+ 1)3 + (n+ 2)3 + (n+ 3)3 = 9 · rEn efecto

Por una parte (n+ 1)3 + (n+ 2)3 + (n+ 3)3 = 3n3 + 18n2 + 42n+ 36

Y por hipotesis n3 + (n+ 1)3 + (n+ 2)3 = 3n3 + 9n2 + 15n + 9

Realizando la division:

3n3 + 18n2 + 42n + 36 : 3n3 + 9n2 + 15n + 9 = 1(−)

3n3 + 9n2 + 15n + 9−−−−−−−−−−9n2 + 27n + 27

Tenemos que:

(n+ 1)3 + (n+ 2)3 + (n+ 3)3 = 1 · (3n3 + 9n2 + 15n + 9) + 9n2 + 27n + 27

(H)= 9 · q + 9 · (n2 + 3n + 3)

= 9 (q + n2 + 3n+ 3)︸︷︷︸r

Ası que, F (n+ 1) es verdadera y F (n) es verdadera (∀n : n ∈ N)


F (n) : (n ∈ N : n impar ) =⇒ n(n2 − 1) es divisible por 24

Es verdadera

Solucion

� Por demostrar que F (1) es verdadera

(12 − 1) = 1 · 0 = 0 = 24 · 0 =⇒ 1(12 − 1) = 24 · 0 =⇒ F (1) es verdadera.

6. EJERCICIOS PROPUESTOS DE INDUCCION MATEMATICA 49

� Hipotesis de Induccion: Supongamos que F(n) es verdadera. Esto es

(n ∈ N : n impar ) =⇒ n(n2 − 1) es divisible por 24

m(∃s; s ∈ N) ∧ (∃r; r ∈ N) : n = (2s− 1) ∧ (2s − 1)((2s − 1)2 − 1) = 24 · r

m(∃s; s ∈ N) ∧ (∃r; r ∈ N) : n = (2s− 1) ∧ (2s − 1)(4s2 − 4s) = 24 · r

m(∃s; s ∈ N) ∧ (∃r; r ∈ N) : n = (2s− 1) ∧ 8s3 − 12s2 + 4s︸︷︷︸

∗= 24 · r

� Tesis de Induccion: Por demostrar que F(n + 2) es verdadera. Esto es, debemos mostrar que

(n+ 2 ∈ N : n impar ) =⇒ (n+ 2)((n + 2)2 − 1) es divisible por 24

Equivalentemente, hay que mostrar que

(n+ 2 ∈ N : n impar ) =⇒ (∃s; s ∈ N)(∃u;u ∈ N) : n = (2s − 1) ∧ (n+ 2)((n + 2)2 − 1) = 24 · u=⇒ (∃s; s ∈ N)(∃u;u ∈ N) : n = (2s − 1) ∧ 8s3 + 12s2 + 4s︸︷︷︸

∗∗= 24 · u (T )

Entonces dividiendo (**) por (*) tenemos que

8s3 + 12s2 + 4s : 8s3 − 12s2 + 4s = 1(−)

8s3 − 12s2 + 4s−−−−−−−

24s2

Ası que,

8s3 + 12s2 + 4s = 1 · (8s3 − 12s2 + 4s) + 24s2

(∗)= 24r + 24s2

= 24 (r + s2)︸︷︷︸u

Luego, F(n+2) es verdadera y por tanto la formula proposicional F(n) es verdadera, para cada numeronatural impar

6. Ejercicios Propuestos de Induccion Matematica

Demuestre usando Induccion Matematica que las siguientes formulas son verdaderas (∀n;n ∈ N)


(1) F (n) :

n∑

i=1

1

i2 + i)=

n

n+ 1

(2) F (n) :

n∑

i=1

i4 =n(n+ 1)(6n3 + 9n2 + n− 1)

30

(3) F (n) :

n∑

i=1

i(i + 1)

2=n(n+ 1)(n + 2)

6

(4) F (n) :

n∑

i=1

i(i+ 1)(i+ 2) =n(n+ 1)(n + 2)(n + 3)

4

(5) F (n) :

n∑

i=1

i 2i−1 = 1 + (n− 1)2n

(6) F (n) :n∑

k=0

(−1)k(n

k

)= 0

(7) F (n) : (0 ≤ r ≤ n) =⇒(n

r

)∈ N

(8) F (n) : (n + 1)(n + 2) · · · (n + n) = 2n(

(2n − 1)!

(2(n − 1))!

)

(9) F (n) : 2n−1 ≤ n!

(10) F (n) : 3n ≤ 3n

(11) F (n) : 4n3 + 5n es divisible por 3

(12) F (n) : n3 − n es divisible por 6

(13) F (n) : 5n3 + 7n es divisible por 6

(14) F (n) : 10n + 3 · 4n+2 + 5 es divisible por 9

(15) F (n) : 52n + (−1)n+1 es divisible por 13

(16) F (n) : n ∈ N impar =⇒ 7n + 1 es divisible por 8

(17) F (n) : 72n + 16n − 1 es divisible por 64

UNIDAD 4

Progresiones

Este capitulo esta destinado a presentar contenidos y actividades que permitiran al estudiante, verificar queun conjunto de numeros satisface las propiedades que definen a una progresion aritmetica o geometrica, y queen forma natural observe que el ordenamiento de los elementos de un conjunto en esta forma, permite generarun algoritmo para obtener rapida y eficientemente cada termino en forma independiente, y determinar lasuma de sus elementos en cualquier instante.

1. Progresiones Aritmeticas

Extenderemos las ideas de Peano aprovechando la operatoria que poseen los Numeros Reales (R), paraconstruir listados de estos numeros que emulen el comportamiento de los numeros naturales.

Motivacion 1.1. Supongamos que una persona deposita 50.000 pesos en un banco a un interes del 3% anual.

(1) ¿Cuanto dinero gana esa persona en un ano?

� Como el interes que produce 1 peso en 1 ano es de3

100= 0.03 pesos entonces el interes total en

el ano es de 50.000 · 0, 03 = 1.500 pesos

� Luego, la persona al cabo de un ano, posee en total la cantidad de 50.000 + 1.500 = 51.500 pesos

(2) ¿Cuanto dinero gana esa persona en dos anos. Si deposita al segundo ano los mismos 50.000 pesos?

� Al final del primer ano si se retiran los intereses, el capital sigue siendo el mismo: 50.000 pesos.Luego, el capital vuelve a producir 1.500 pesos. Ası que en los dos anos el interes producido es de1.500 + 1.500 = 3.000 pesos

� Luego, la persona al cabo de 2 anos, posee en total la cantidad de 50.000 + 3.000 = 53.000 pesos

(3) ¿Cuanto gana a los t anos. Si cada ano retira los intereses.?

� La situacion hasta aquı es la siguiente

Capital inicial : 50.000Primer ano : 51.500Segundo ano : 53.000

=⇒ A = {50.000, 50.000 + 1500, 50.000 + 2 · 1500}

� Sı el proceso continua en el tiempo debemos tener un listado como el siguiente

A = {50.000, 50.000 + 1 · 1.500, 50.000 + 2 · 1.500, 50.000 + 3 · 1.500, . . . } (47)

Es decir, la constante del listado es fijada por las identidades

◦ (50.000 + (t+ 1) · 1.500) − (50.000 + t · 1.500) = 1.500

51

52 4. PROGRESIONES

◦ 50.000 + t · 1.500 = 50.000 +3

100· 50.000 · t = 50.000

(1 +

3

100· t)

(t = 0, 1, 2, . . . )

(4) En general, si notamos

� a1 al capital inicial

� i =r

100· a1 interes anual simple

� t tiempo en anos

Entonces el listado y las propiedades que se intuyen son las siguientes

1. A = {a1, a1 + i, a1 + 2i, a1 + 3i, a1 + 4i, . . . , }

2. ak = a1 + (k − 1)i, o bien, ak = a1

[1 + (k − 1)

r

100

], para cada k = 1, 2, 3, . . .

3. La suma de los t primeros terminos, para cada t ∈ N

St =

t∑

k=1

(a1 + (k − 1)i)

= a1

t∑

k=1

1 + i

t∑

k=1

(k − 1)

= a1t+ i(t− 1)t

2Ver (36)

=t

2(2a1 + (t− 1) i)

3’. Equivalentemente, por nuestra definicion tenemos, St =t

2(a1 + at)

Definicion 1.2. A = {a1, a2, a3, · · · , } ⊂ R sera llamada una Progresion Aritmetica. Si existe d ∈ R, talque an+1 = an + d (∀m;m ∈ N); d se llama la diferencia de la progresion aritmetica

Ejemplo 1.2.1. Si definimos an = n ∈ N y d = 1 entonces A = {a1, a2, a3, · · · , } = {1, 2, 3, · · · , } = N.Luego, N es una progresion aritmetica, con diferencia d = 1

Ejemplo 1.2.2. A = {−1, −2, −3, −3, −7, · · · } es una progresion aritmetica con a1 = −1 y d = −1

Ejemplo 1.2.3. A =

{√2,

1

2+√

2, 1 +√

2, · · ·}

es una progresion aritmetica con a1 =√

2 y d =1

2

Observacion 1.3. Del ejemplo 1.2.1, sabemos que

◦ El termino de orden o posicion n en el listado es exactamente n. Es decir en un sistema grafico queinvolucre a cada termino versus su valor numerico, tenemos que

1. PROGRESIONES ARITMETICAS 53

termino

valor del termino

◦

a1

1

◦

a2

2

◦

a3

3•••◦

an

n

◦ La suma de los n primeros terminos es Sn =

n∑

i=1

ai =

n∑

i=1

i =n(n+ 1)

2, como lo obtuvimos en la

formula (36)

Sin embargo, en el ejemplo 1.2.3, no es tan claro:

◦ ¿Cual es el termino de orden o posicion n en el listado?. Porque si procedemos como en la situacionanterior la situacion grafica es la siguiente

termino

valor del termino

◦

a1

√2

◦

a2

1

2+√

2

◦

a3

1 +√

2 •••◦

an

?

◦ Y menos sabemos, ¿Cual es la suma de los n primeros terminos Sn?

Ahora, estas cuestiones son importantes para nosotros toda vez, que estos son los problemas que debemosaprender a resolver

1.4. Propiedades de las progresiones aritmeticas.

(1) Si A = {a1, a2, a3, . . . , } ⊂ R, es una Progresion Aritmetica de diferencia d entonces el termino de ordenn se obtiene como

54 4. PROGRESIONES

an+1 = a1 + n · d ; n ∈ N (∗)En efecto

◦ Por demostrar que an+1 = a1 + n · d ; n ∈ N

◦ Gestion de la informacion. Si A = {a1, a2, a3, . . . , } ⊂ R, una Progresion Aritmetica de diferenciad entonces de la Definicion 1.2 tenemos que

a2 = a1 + da3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2da4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d

...

◦ Luego, el metodo sugerido es Induccion, para probar que la formulaF(n): an+1 = a1 + n · d ; n ∈ N, es verdadera (∀n;n ∈ N)

� Ası que iniciamos mostrando que F(1) es verdadera.a1+1 = a2 = a1 + d.

Ası que F(1) es verdadera

� Hipotesis de Induccion: Suponemos que F(k) es verdadera, es decir

ak = a1 + (k − 1)d (H)

� Tesis de Induccion: Por demostrar que F (k + 1) es verdadera

ak+1 = ak + d(H)= a1 + (k − 1)d+ d= a1 + kd

Ası F(k+1) es verdadera y F (n) entonces es verdadera (∀n;n ∈ N)

(2) Si A = {a1, a2, a3, . . . , } ⊂ R, es una Progresion Aritmetica de diferencia d entonces la suma de losn-primeros terminos se obtiene de la formula.

Sn =

n∑

i=1

ai =

n2 (2a1 + (n− 1)d) (∀n;n ∈ N)

∨n2 (a1 + an) (∀n;n ∈ N)

(48)

En efecto

Para demostrar quen∑

i=1

ai =n

2(2a1 + (n − 1)d), haremos uso de la informacion an = a1 + (n − 1)d, y

aplicaremos Induccion para concluir que la formula

F (n) :

n∑

i=1

ai =n

2(2a1 + (n− 1)d), (n ∈ N) es verdadera (∀n;n ∈ N)

1. PROGRESIONES ARITMETICAS 55

� Iniciamos mostrando que F(1) es verdadera

[1∑

i=1

ai = a1 ∧ 1

2(2a1 + (1− 1)d) =

1

2· 2a1 = a1

]=⇒

1∑

i=1

ai =1

2(2a1 + (1− 1)d)

Ası que F(1) es verdadera.

� Seguimos con la Hipotesis de induccion: Suponiendo que F(k) es verdadera, es decir:

k∑

i=1

ai =k

2(2a1 + (k − 1)d) (H)

� Y como Tesis de induccion debemos demostrar que F (k + 1) es verdadera.

En efecto

sk+1 =

k+1∑

i=1

ai

=

k∑

i=1

ai + ak+1

(H)=

k

2(2a1 + (k − 1)d) + ak+1

=k

2(2a1 + (k − 1)d) + (a1 + kd)

=2ka1 + k2d− kd+ 2a1 + 2kd

2

=2a1(k + 1) + k(k + 1)d

2

=(k + 1)

2[2a1 + kd]

Ası, F(k+1) es verdadera, y efectivamente

n∑

i=1

ai =n

2(2a1 + (n− 1)d) (∀n;n ∈ N)

En particular, como a1 + (n− 1)d = an entonces

n∑

i=1

ai =n

2(2a1 + (n − 1)d)

=n

2(a1 + [a1 + (n− 1)d])

=n

2(a1 + an)

(3) Como aplicacion inmediata tenemos que la suma de los n-primeros naturales es:

56 4. PROGRESIONES

n∑

i=1

i =n

2(1 + (n− 1) · 1)

=n(n+ 1)

2

(4) Finalmente para la progresion del Ejemplo 1.2.3, tenemos que

◦ an =√

2 +n− 1

2, y

◦ Sn =n

2

(2√

2 +n− 1

2

)

2. Progresiones Geometricas

Motivacion 2.1. Supongamos que una persona deposita 50.000 pesos en un banco a un interes del 3%anual, al igual que en la motivacion (1.1)

(1) ¿Cuanto dinero gana en dos anos?

� Como ya sabemos, el interes que produce 1 peso en 1 ano es de 0.03 pesos entonces el interestotal en el ano es, 50.000 · 0, 03 = 1.500 pesos

� Sin embargo la diferencia esta en que, al no retirar los intereses ganados en el ano, se genera unaumento en el capital, y por ende el interes de este periodo debe cambiar, y es, 51.500 · 0, 03 = 1.545pesos. Ası que el interes acumulado al fin de los dos anos es 1.500 + 1.545 = 3.045 pesos, y el dineroacumulado es entonces 50000 + 3.045 = 53.045 pesos

(2) ¿Cuanto gana a los t anos. Si cada ano retira no los intereses.?

� La situacion en los periodos anuales es la siguiente

Capital Inicial : 50.000

Primer ano : 50.000 + 1500 = 50.000

(1 +

3

100

)

Segundo ano : 51.500 + 1545 = 50.000

(1 +

3

100

)2

� Sı el proceso continua en el tiempo debemos tener un listado como el siguiente

A = {50.000, 50.000 ·(

1 +3

100

), 50.000 ·

(1 +

3

100

)2

, 50.000 ·(

1 +3

100

)3

, . . . }

� Luego, tenemos que el ano t tiene el siguiente comportamiento

ano t : 50.000

(1 +

3

100

)t−1

(3) En el caso general si modelamos la situacion como,

2. PROGRESIONES GEOMETRICAS 57

a1 = capital inicial

i =r

100· a1 interes anual compuesto(sin retirar los intereses)

t : tiempo en anos

Entonces obtenemos

a1 = a1

a2 = a1 + i = a1

(1 +

r

100

)

a3 = a1 + i+ (a1 + i)r

100= a1

(1 +

r

100

)2

... =...

at = a1

(1 +

r

100

)t−1

Definicion 2.2. G = {a1, a2, · · · , } ⊂ R es una Progresion Geometrica. Si existe r ∈ R,tal que r 6= 0y r 6= 1, y am+1 = am · r (∀m;m ∈ N); r se llama la razon de la progresion geometrica

Ejemplo 2.2.1. G = {2, 4, 8, 10, · · · } es una progresion geometrica con a1 = 2 y r = 2

Ejemplo 2.2.2. G = {√

3,−3, 3√

3,−9, · · · } es una progresion geometrica con a1 =√

3 y r = −√

3

2.3. Propiedades de las progresiones geometricas. Si G = {a1, a2, a3, . . . , } ⊂ R, es una ProgresionGeometrica de razon r entonces:

(1) El termino de orden n se obtiene directamente de la formula

an = a1 · rn−1 (∀n;n ∈ N) (49)

(2) La suma de los n primeros terminos se obtiene a traves de la formula

Sn =

n∑

i=1

ai = a1

[rn − 1

r − 1

](∀n;n ∈ N) (50)

Para mostrar, (49), usaremos Induccion Matematica

� a1 = a1 · r1−1, ası que nuestra formula es verdadera en su primera etapa.

� Supongamos que la formula es verdadera en la etapa n, es decir que,

an = a1 · rn−1 (∗)� Debemos para terminar, mostrar que

an+1 = a1 · rn

En efecto

an+1 = an · r (Por definicion de progresion geometrica)

= a1 · rn−1 · r (Usando la informacion provista por(∗))= a1 · rn

58 4. PROGRESIONES

Finalmente para mostrar, (50), hacemos lo siguiente:

n∑

i=1

ai =n∑

i=1

a1 · ri−1 (Usamos la informacion de (49))

= a1

n∑

i=1

ri−1

= a1(1 + r + r2 + ·+ rn−1)

= a1

[rn − 1

r − 1

]

3. Ejercicios Resueltos de Progresiones

(1) Si A = {a1, a2, . . . } es una Progresion Aritmetica que verifica simultaneamente las condiciones:

◦ d=40

◦ La suma de los 20 primeros terminos es 650 ( Es decir,

20∑

i=1

ai = 650)

entonces determine a10

Solucion

� Sea A = {a1, a2, . . . } la Progresion Aritmetica pedida.

� Gestion de la informacion

A = {a1, a2, . . . } es una Progresion Aritmetica entonces

650 =20

2(2a1 + 19 · 40)

= 10 · (2a1 + 760)

⇓65 = (2a1 + 760)

⇓a1 = −695

� Luego, a10 = −695 + 9 · 40 = −335

(2) Si G = {a1, a2, a3, · · · }, es una progresion geometrica que satisface simultaneamente las siguientescondiciones:

◦ a2 = 4

◦ a4

a6=

25

4

3. EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRESIONES 59

entonces determine la progresion G

Solucion

� Sea A = {a1, a2, . . . } la Progresion Aritmetica pedida.


⋄ a2 ∈ G =⇒ a1 · r = 4

⋄ a4 ∈ G ∧ a3 ∈ G =⇒ a4 = a1 · r3 ∧ a6 = a1 · r5

Luego,

a4

a6=

1

r2=⇒ r2 =

4

25=⇒ r = ±2

5

� Finalmente como, a1 · r = 4 entonces a1 = ±10. Ası que las posibles progresiones son:

⋄ G =

{10, 4,

8

5, · · ·

}

⋄ G =

{−10, 4,−8

5, · · ·

}

(3) Si A = {a, b, c} ⊂ R− {0} tal que satisface las siguientes propiedades:

◦ A es una Progresion Aritmetica◦ a, b y c son los coeficientes de una ecuacion cuadratica. es decir ax2 + bx+ c = 0

◦ x1 + x2 =1

3(a+ b+ c)

◦ x1 · x2 + 7 = b. Donde x1 y x2 son las raıces de la ecuacion cuadratica

entonces determine los numeros a, b y c.

Solucion

� Sea A = {a, b, c} el conjunto pedido.


⋄ A es una progresion aritmetica si:

a = b− d y c = b+ d (∗)Donde d es la diferencia de la progresion aritmetica.

⋄ Las raıces de una ecuacion de segundo grado son de la forma:

x1 =−b+

√b2 − 4ac

2ay x2 =

−b−√b2 − 4ac

2a� Ası que,

x1 + x2 = − ba

y x1 · x2 =c

a

60 4. PROGRESIONES

Por tanto,

− ba

=1

3(b− d+ b+ b+ d) =⇒ − b

a= b =⇒ a = −1

Luego, sustituyendo el valor de a = −1 en (∗) obtenemos que

b = d− 1 y c = 2d− 1 (∗∗)

De la ultima informacion suministrada,

( ca

+ 7 = b)

=⇒(

2d− 1

−1+ 7 = d− 1

)=⇒ (8− 2d = d− 1) =⇒ d = 3

Finalmente sustituyendo los valores obtenidos en (∗∗) tenemos que: a = −1; b = 2 y c = 5

(4) Si A =

{1

a,1

b,1

c

}⊂ R− {0} tal que:

◦ A es una progresion aritmetica.

◦ a+ b 6= 0, a− b 6= 0, a+ c 6= 0 y a− c 6= 0

entonces demuestre quea(a− c)

(a− b)(a+ c)= 1

Solucion

� Debemos verificar quea(a− c)

(a− b)(a+ c)= 1


A es una progresion aritmetica ⇐⇒ 1

b− 1

a=

1

c− 1

b

⇐⇒ 2

b=

1

c+

1

a

⇐⇒ 2

b=a+ c

ac

⇐⇒ b =2ac

a+ c

3. EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRESIONES 61

� Luego,

a(a− c)(a− b)(a+ c)

=a(a− c)

(a− 2ac

a+ c)(a+ c)

=a(a− c)(

a(a+ c)− 2ac

a+ c

)(a+ c)

=a(a− c)

(a2 + ac− 2ac)

=a(a− c)(a2 − ac)

=a(a− c)a(a− c)

= 1

(5) Si la suma de tres numeros en progresion aritmetica es 24. Si ademas al primero de ellos se le resta 1,al segundo se le suma 4, y al tercero se le suma 25, se obtiene una progresion geometrica. Determineambas progresiones.

Solucion

� Sea A = {x, y, z} la progresion aritmetica pedida y G = {x− 1, y + 4, z + 25} la progresion geometricapedida.


⋄ A es una progresion aritmetica si x = y − d y z = y + d

Luego;

A = {y − d, y, y + d}G = {y − d− 1, y + 4, y + d+ 25}

⋄ Ahora, y − d+ y + y + d = 24 =⇒ y = 8

Ası que,

A = {8− d, 8, 8 + d}G = {7− d, 12, 33 + d}

⋄ Ademas G es una progresion geometrica si:

12

7− d =33 + d

12

62 4. PROGRESIONES

Por tanto,

144 = (7− d)(33 + d) =⇒ d2 + 26d− 87 = 0 =⇒ d1 = 3 ∧ d2 = −29

� Finalmente tenemos dos casos.

⋄ d = 3 =⇒{A = {8− 3, 8, 8 + 3} = {5, 8, 11}G = {7− 3, 12, 33 + 3}{4, 12, 36}

⋄ d = −29 =⇒{A = {8 + 29, 8, 8 − 29} = {37, 8,−21}G = {7 + 29, 12, 33 − 29}{36, 12, 4}

4. Ejercicios Propuestos de Progresiones

(1) Si el conjunto A = { 32 , a2, a3, a4, · · · , a2n} es una Progresion Aritmetica que satisface las

siguientes condiciones:

◦ a1 + a3 + a5 + a7 + · · · + a2n−1 = 24

◦ a2 + a4 + a6 + a8 + · · · + a2n = 30

◦ a2n = a1 + 212

entonces determine, si es posible, el numero de terminos de la progresion aritmetica, (es decir, deter-mine n)

(2) Si en una progresion geometrica u1 = 4, un =243

8, Sn =

665

8entonces determine n y su razon r

(3) La suma de tres numeros en progresion aritmetica es 27 y la suma de sus cuadrados es 293. Determinetales numeros

(4) Si en una progresion aritmetica el quinto termino es 15 y el decimo termino es 30 entonces determinela progresion

(5) Si la suma de tres numeros en progresion geometrica es 26 y su producto es 216 entonces determinetales numeros.

(6) La suma de tres numeros en progresion aritmetica es 30. Si al primero de ellos se le agrega 1, al segundo5 y al tercero 29 se obtiene una progresion geometrica entonces determine ambas progresiones

(7) Determine 5 numeros reales en progresion geometrica, tales que la suma de los dos primeros es 24, yla razon es la cuarta parte del primer numero.

(8) Si en una progresion aritmetica A, se verifica que: El producto del segundo con el quinto termino es 364,y ademas la diferencia de estos mismos terminos es 15 entonces determine, si es posible la progresion A.

4. EJERCICIOS PROPUESTOS DE PROGRESIONES 63

(9) Dada la progresion T =

{a+ b

2, a,

3a− b2

, . . .

}.

(a) Calcule S21. La suma de los primeros 21 terminos.

(b) Exprese Sn usando el operador sumatoria.

(10) Sea S = {b1, b2, . . . } una sucesion de numeros reales, tales que:

(a) bm = n; bn = m y n 6= m

(b) Si ademas construimos una progresion aritmetica A = {a1, a2, . . . , } tal que ai =1

bi(∀i; i ∈ N)

entonces demuestre que la diferencia de la progresion es d =1

mn

(11) Dada la progresion A = {a, a+ d, a+ 2d, . . . , } y S la suma de sus n+ 1 primeros terminos. Demuestreque

n∑

k=0

(n

k

)(a+ kd) =

2nS

n+ 1

(12) La suma de tres numeros en progresion geometrica es 70. Si se multiplican los numeros ubicados en losextremos por 4 y el numero ubicado en el centro 5, se obtiene una progresion aritmetica. Determineambas progresiones.

(13) Si se tienen tres terminos en progresion geometrica, y se resta 8 del segundo termino se obtiene unaprogresion aritmetica, y si en ”esta” se resta 64 del tercer termino resulta nuevamente una progresiongeometrica. Determine, si es posible, todas las progresiones involucradas en el problema.

(14) Considere las progresiones

⋄ G = {g1, g2, g3, . . . } progresion geometrica

⋄ A = {3, a2, a3, . . . } progresion aritmetica

tal que

◦ g3 = 12 y g7 = 192

◦11∑

i=1

gi =50∑

i=1

ai

Determine la diferencia de la progresion A

UNIDAD 5

Teorema del Binomio

Este capitulo esta destinado a presentar contenidos y actividades que permitiran al estudiante: Operar consimbologıa matematica, desarrollar expresiones que involucren un numero finito de productos binomiales, yemplear el concepto de busqueda instantanea, a fin de determinar rapida y eficientemente los terminos endesarrollos binomiales mediante un algoritmo

1. Introduccion a los Factoriales

Definicion 1.1. Para cada n ∈ N llamaremos n factorial a n! = 1 · 2 · 3 · · · n, y definimos ademas 0! = 1

Ejemplo 1.1.1. n! = (n− 1)! · n para cada n ∈ N

En efecto

n! = 1 · 2 · 3 · · · (n− 1) · n= [1 · 2 · 3 · · · (n− 1)] · n= (n− 1)! · n

Definicion 1.2. Para cada n ∈ N, k ∈ N y k ≤ n llamaremos numero combinatorio a

(n

k

)=

n!

(n− k)!k! (51)

Ejemplo 1.2.1.

(4

3

)=

4!

(4− 3)! 3!=

3! · 41! · 3! = 4

Observacion 1.2.2. Consideremos un conjunto con cuatro elementos, digamos C = {1, 2, 3, 4} ⊂ N en-tonces

⋄ La cantidad de subconjuntos de C con cardinalidad 3 son los siguientes

C1 = {1, 2, 3}, C2 = {1, 2, 4}, C3 = {1, 3, 4}, C3 = {2, 3, 4}

Son como se ve cuatro conjuntos lo que coincide con

(4

3

)

⋄ La cantidad de subconjuntos de C con cardinalidad 2 son los siguientes seis conjuntos

C1 = {1, 2}, C2 = {1, 3, }, C3 = {1, 4}, C3 = {2, 3}, C3 = {2, 4}, C3 = {3, 4}

Y que tambien coincide con

(4

2

)=

4!

(4− 2)! 2!=

2! · 3 · 42! · 2! = 6

En realidad esto no es una coincidencia, ya que en la practica el numero combinatorio

(n

k

)con k ≤ n,

fue construido para contar la cantidad de grupos con k elementos a partir de n elementos dados, (de

65

66 5. TEOREMA DEL BINOMIO

allı la restriccion k ≤ n)

1.3. Propiedades de los Numeros Combinatorios. Entre muchas propiedades de los numeros combi-natorios, solo exhibiremos las que necesitamos estrictamente para conseguir nuestros objetivos.

(1)

(nk

)=

(n

n− k

)

En efecto

(n

k

)=

n!

(n− k)!k! =n!

(n− k)!(n − (n− k))! =

(n

n− k

)

En particular,

(n

0

)=

(n

n

)= 1, para verificar esta igualdad, basta hacer k = 0 y recordar que el

conjunto vacıo no tiene elementos y es subconjunto de todos los conjuntos

(2)

(n+ 1k

)=

n+ 1

n− (k − 1)

(nk

)

En efecto

(n+ 1

k

)=

(n+ 1)!

k!(n + 1− k)! =n!(n+ 1)

k!(n + 1− k)! =n!

k!· (n+ 1)

(n− k + 1)!

=n!

k!· (n+ 1)

(n− k)!(n − k + 1)=

n!

k!(n− k)! ·(n+ 1)

n− (k − 1)=

(n

k

)· (n+ 1)

n− (k − 1)

(3)

(n+ 1

k + 1

)=n+ 1

k + 1

(n

k

)

En efecto

(n+ 1

k + 1

)=

(n+ 1)!

(k + 1)!(n − k)! =n!(n+ 1)

k!(k + 1)(n − k)! =n!

k!(n− k)! ·n+ 1

k + 1=

(n

k

)· n+ 1

k + 1

(4)

(n

k + 1

)=n− kk + 1

(n

k

)

En efecto

2. TEOREMA DEL BINOMIO 67

(n

k + 1

)=

n!

(k + 1)!(n − k − 1)!=

n!

k!(k + 1)(n − k − 1)!=n!

k!· 1

(k + 1)(n− k − 1)!

=n!

k!· n− k(k + 1)(n − k)! =

n!

k!(n− k)! ·n− kk + 1

=

(n

k

)· n− kk + 1

(5)

(n

k

)+

(n

k + 1

)=

(n+ 1

k + 1

)

En efecto

(n

k

)+

(n

k + 1

)=

n!

k!(n − k)! +n!

(k + 1)!(n − k − 1)!=n!(k + 1) + n!(n− k)

(n− k)!(k + 1)!

=n!(k + 1 + n− k)(n− k)!(k + 1)!

=n!(n+ 1)

(n− k)!(k + 1)!=

(n+ 1)!

(n − k)!(k + 1)!=

(n+ 1

k + 1

)

2. Teorema del Binomio

Teorema 2.1. (Teorema del Binomio). Si n ∈ N, a ∈ R y b ∈ R tal que a+ b 6= 0 entonces

(a+ b)n =

n∑

k=0

(n

k

)an−kbk

Demostracion

� Debemos verificar que (a+ b)n =

n∑

k=0

(n

k

)an−kbk

� Gestion de la informacion: Como n ∈ N entonces podemos usar el proceso de induccion matematica,para verificar la validez de la formula

F (n) : (a+ b)n =

n∑

k=0

(n

k

)an−kbk (∀n;n ∈ N)

⋄ Debemos mostrar que F(1) es verdadera

Por una parte tenemos que (a+ b)1 = (a+ b), y por otra,

1∑

k=0

(1

k

)an−kbk =

(1

0

)a1−0b0 +

(1

1

)a1−1b1 = a+ b

Ası que, (a+ b)1 =

1∑

k=0

(1

k

)an−kbk, y F (1) es verdadera

⋄ Hipotesis de induccion: Supongamos que F(n) es verdadera, es decir


(a+ b)n =n∑

k=0

(n

k

)an−kbk (H)

⋄ Tesis de induccion. Debemos mostrar que F(n+1) es verdadera

◦ Desarrollando F(n+1) tenemos que

(a+ b)n+1 = (a+ b)n(a+ b)

(H)= (a+ b)

n∑

k=0

(n

k

)an−kbk

=n∑

k=0

(n

k

)an−k+1bk +

n∑

k=0

(n

k

)an−kbk+1 (⋆)

◦ Aplicando la propiedad del reloj (46), a la segunda parcela en (⋆) tenemos que

n∑

k=0

(n

k

)an−kbk+1 =

n+1∑

k=0+1

(n

k − 1

)an+1−kbk

=

n+1∑

k=1

(n

k − 1

)an+1−kbk

◦ Reemplazando en (⋆) tenemos que:

(a+ b)n+1 =

n∑

k=0

(n

k

)an−k+1bk +

n+1∑

k=1

(n

k − 1

)an+1−kbk

=

(n

0

)an+1 +

n∑

k=1

(n

k

)an−k+1bk +

n∑

k=1

(n

k − 1

)an+1−kbk +

(n

n

)bn+1

=

(n+ 1

0

)an+1 +

n∑

k=1

(n

k

)an−k+1bk +

n∑

k=1

(n

k − 1

)an+1−kbk +

(n+ 1

n+ 1

)bn+1

=

(n+ 1

0

)an+1 +

n∑

k=1

((n

k

)+

(n

k − 1

))an+1−kbk +

(n+ 1

n+ 1

)bn+1

=

(n+ 1

0

)an+1 +

n∑

k=1

(n+ 1

k

)an+1−kbk +

(n+ 1

n+ 1

)bn+1

=n+1∑

k=0

(n+ 1

k

)an+1−kbk

Ası que F(n+1) es verdadera, y

(a+ b)n =n∑

k=0

(n

k

)an−kbk

3. EJERCICIOS RESUELTOS DE TEOREMA DEL BINOMIO 69

Corolario 2.2. En Teorema (2.1) Para cada k = 0, 1, . . . , n− 1 el termino de orden k+1 es de la forma:

tk+1 =

(n

k

)an−kbk

En efecto

Del teorema (2.1) sigue que

(a+ b)n =

n∑

k=0

(n

k

)an−kbk

=

(n

0

)an−0b0

︸︷︷︸t1

+

(n

1

)an−1b1

︸︷︷︸t2

+

(n

2

)an−2b2

︸︷︷︸t3

+ · · ·+(n

n

)an−nbn

︸︷︷︸tn+1

Ası que tk+1 =

(n

k

)an−kbk, para k = 0, 1, 2, . . . , n

3. Ejercicios Resueltos de Teorema del Binomio

(1) En el desarrollo binomial, B =

(x− 1

x3

)npara (n ∈ N). Demostremos que si existe un termino de la

forma x−4m entonces n debe ser un multiplo de 4.

Solucion

� Debemos mostrar que n = 4 · r


⋄ ts+1 es el termino pedido si y solo si

ts+1 =

(ns

)xn−s

(−1x3

)s

=

(ns

)xn−s (−1)s

x3s

=

(ns

)xn−4s(−1)s

⋄ x−4m aparecera en el termino ts+1 si y solo si

x−4m = xn−4s =⇒ −4m = n− 4s

=⇒ 4s − 4m = n

=⇒ 4(s −m) = n


� Conclusion : ” n es un multiplo de 4.”

(2) Determinemos, (si existe) el termino independiente de x en el desarrollo binomial

(2x+ 1)

(1 +

2

x

)n

Solucion

� Debemos determinar el termino independiente de x, es decir aquel en que aparece x0 = 1.


⋄ Del Teorema del Binomio (2.1) sigue que(

1 +2

x

)n=

n∑

k=0

(n

k

)1(n−k)

(2

x

)k=

n∑

k=0

(n

k

)2k x−k

⋄ Multiplicando por (2x+ 1) tenemos que

(2x+ 1)

(1 +

2

x

)n= (2x+ 1)

n∑

k=0

(n

k

)2k x−k =

n∑

k=0

(n

k

)2k+1 x(−k+1) +

n∑

k=0

(n

k

)2k x−k

⋄ Luego, existira el termino independiente de x si

−k + 1 = 0 ∧ −k = 0 ⇐⇒ k = 1 ∧ k = 0

� Ası que el termino pedido es

(n

1

)· 22 +

(n

0

)· 20 = 4n+ 1

(3) Demostremos usando el teorema del binomio que

n∑

s=0

(−1)s(n

s

)= 0

Solucion

[(1− 1)n = 0 ∧ (1− 1)n

Teo(2.1)=

n∑

s=0

(n

s

)(1)(n−s)(−1)s

]=⇒ 0 =

n∑

s=0

(n

s

)(−1)s

(4) Si (n ∈ N), y A =

(x2 +

1

x

)ny B =

(x3 +

1

x2

)n, son dos desarrollos binomiales tales que tk(A) es el

k- esimo termino de A y tk(B) es el k- esimo termino de B, (k ≥ 1) entonces demostremos que

tk(A) = tk(B) =⇒ n es un numero par

Solucion

� Debemos verificar que n = 2 · s, para algun entero s.

4. EJERCICIOS PROPUESTOS DEL TEOREMA DEL BINOMIO 71


⋄ Para el binomio A tenemos que:

tk(A) =

(n

k − 1

)(x2)n−(k−1) · 1

xk−1=

(n

k − 1

)(x)2n−3(k−1)

⋄ Para el binomio B tenemos que:

tk(B) =

(n

k − 1

)(x3)n−(k−1) · 1

(x2)k−1=

(n

k − 1

)(x)3n−5(k−1)

� Finalmente comparando terminos tenemos que n es par, pues,

tk(A) = tk(B) ⇐⇒(

n

k − 1

)(x)2n−3(k−1) =

(n

k − 1

)(x)3n−5(k−1)

⇐⇒ (x)2n−3(k−1) = (x)3n−5(k−1)

⇐⇒ 2n− 3(k − 1) = 3n − 5(k − 1)

⇐⇒ n = 2 (k − 1)︸︷︷︸s

4. Ejercicios Propuestos del Teorema del Binomio

(1) Determine el septimo termino en el desarrollo binomial

(2x− y)12

(2) Determine el noveno termino en el desarrollo binomial

(2 +

x

4

)15

(3) Determine el decimocuarto termino del desarrollo binomial

(4x2y − 1

2xy2

)20

(4) Determine el termino que contiene a x2 en el desarrollo binomial

(3√x− 2

x2

)27

(5) Determine el termino que contienex2

y2en el desarrollo binomial

(x

y− y2

2x2

)8


(6) Determine el termino que contiene a xr en el desarrollo binomial

(x+

1

x

)n

(7) Si uno de los terminos en el desarrollo binomial(2x2 − 1

x

)60es de la forma a ·x−54. Determine el valor

de a

(8) Determine el termino independiente de x (si existe) en el desarrollo binomial(x3 − 1

x2

)30

(9) Determine el valor de a en el desarrollo binomial

(x

a+

1

x

)20

, de tal forma que el termino independiente

de x sea igual al coeficiente de x2

(10) En el desarrollo binomial

(x√x+

1

x2

)n” el coeficiente binomial” del 3er termino es mayor que el

coeficiente binomial del 2do termino en 44 unidades. Determine, si existe, el termino independiente dex.

(11) Muestre que el coeficiente del termino central del desarrollo binomial (1 + x)2n, es igual a la suma delos coeficientes de los dos terminos centrales del desarrollo binomial (1 + x)2n−1

(12) Dados los desarrollos binomiales

(x2 +

1

x

)n, y

(x3 +

1

x2

)n. Determine el conjunto

T = {n ∈ N | Los terceros terminos de los binomios sean iguales}

(13) Si en el desarrollo binomial (1 + x)43, los coeficientes de la posicion (2m + 1) y (m + 2) son iguales.Determine, si es posible, el valor de m

(14) Determine el coeficiente de xn en el desarrollo binomial (1− x+ x2)(1 + x)2n+1

(15) En el desarrollo binomial(xa− y2

)15, el termino que contiene a y22 presenta el coeficiente numerico

−455

27. Determine el valor de a

(16) Demuestre que

n∑

i=0

(ni)

= 2n

(17) Considere los reales positivos p y q tales que, p+ q = 1. Demuestre que

rk =

(n

k

)· pk · qn−k (0 ≤ k ≤ n) =⇒

n∑

k=0

(k · rk) = n · p.

UNIDAD 6

Relaciones

El capitulo esta destinado a presentar contenidos y actividades que permitiran al estudiante generar rela-ciones entre los elementos de uno o mas conjuntos, a fin de dotar, emular o copiar estructuras algebraicascon propiedades interesantes, las cuales le permitiran gestionar, identificar y clasificar de forma eficientesituaciones algebraicas complejas

1. Ideas Basicas

� ¿ Por que admitir que2

2=

3

3, si son de formas absolutamente diferentes?

Quizas se dira porque, existe una unica forma de repartir dos partes de dos, es decir2

2= 1 y lo mismo para

tres, es decir,3

3= 1

� Lo mismo diremos para justificar1

2=

2

4, pues

1

2=

2

4= 0.5

� Si en un rectangulo ABCD hacemos por decreto AC = BD, obtenemos una figura geometrica cono-cida como cilindro

En efecto

A B

C D

=⇒

figura 4: Rectangulo figura 5: Cilindro

Aquı, podemos observar lo que significa ”pegar en el lenguaje de la Matematica”, es decir ”basta con definirque esos lados son iguales”. Ası que en resumen un cilindro es un rectangulo con sus lados ”identificados”como iguales.

En cualquier caso la cuestion es la misma, se ”identifican” elementos diferentes en su forma y terminanconfundiendose

73

74 6. RELACIONES

Definicion 1.1. Convengamos en primera instancia que, dos enteros estaran relacionados (”dos enterosseran considerados iguales bajo estas circunstancias”), si al dividir a cada uno de ellos por dos el resto escero.

Adoptaremos la siguiente notacion: Si m ∈ N ∧ n ∈ N entonces

m ℜ1 n ⇐⇒ (∃k1; k1 ∈ Z) : m = 2k1 ∧ (∃k2; k2 ∈ Z) : n = 2k2

⋄ En primer lugar, los enteros pares estan todos relacionados, es decir son todos iguales bajo esta ley,pues si n ∈ Z es par entonces n = 2k + 0 para algun k ∈ Z.

⋄ En segundo lugar, como debemos comparar enteros entonces generaremos un espacio para escribir lainformacion:

Z× Z = {(m,n) | m ∈ Z ∧ n ∈ Z}

Ejemplo 1.1.1. (2, 4) ∈ Z× Z

Ejemplo 1.1.2. (−1, 6) ∈ Z× Z

Ejemplo 1.1.3. (4, 11) ∈ Z× Z

Ejemplo 1.1.4. (−3, 13) ∈ Z× Z

⋄ De acuerdo a los ejemplos y nuestra experiencia solo estan relacionados los enteros pares, sin embargo,si n = 2k + 1 y m = 2s+ 1 entonces n−m = 2(k − s) es decir, aunque el 3 no es divisible por 2 y el 5tampoco, pero si lo es (5-3)

Motivados por lo anterior podemos definir la relacion mas general:

Definicion 1.2. Si (r, s) ∈ Z× Z entonces

r ∼= s (mod 2) ⇐⇒ (∃k, k ∈ Z) | r − s = 2k

⋄ Esta definicion tiene el siguiente significado: Dos elementos se relacionaran o seran consideradosiguales, si al dividir a cada uno de ellos por 2 poseen el mismo resto

⋄ Esta forma de relacionar elementos enteros se acostumbra a leer como: ”r congruente a s modulo 2”

⋄ Por ejemplo:

1. IDEAS BASICAS 75

• 2 ∼= 4 (mod 2) pues 2 = 2 · 1 + 0 y 4 = 2 · 2 + 0. Es decir

2 : 2 = 120

- 4 : 2 = 440

-

Igual resto

Figura 6: Equivalentes modulo 2

• 18 6∼= 7 (mod 2), pues 18 = 2 · 9 + 0 y 7 = 2 · 3 + 1

18 : 2 = 920

- 7 : 2 = 341

-

Distinto resto

Figura 7: No equivalentes modulo 2

Observacion 1.3. Despues de definir esta relacion podemos observar lo siguiente

(r, s) ∈ Z× Z =⇒ r ∼= s (mod 2) ∨ r 6∼= s (mod 2) (∗)

entonces tiene sentido preguntar, si existe o no un criterio para caracterizar uno u otro caso en (∗)

⋄ Para responder a esta interrogante, precisemos que aunque se analizan pares de enteros, la comparacionse hace al interior de Z, (No debemos olvidar el dilema inicial 2

2 = 33).

⋄ En la misma linea de reflexion, podemos preguntar ¿Como se comporta esta relacion entre enteros,con la suma y multiplicacion de enteros?. Es decir, si r ∼= s (mod 2) entonces para p ∈ Z,¿(r + p ∼= s+ p (mod 2)? y ¿r · p ∼= s · p (mod 2)?

• Por ejemplo, [2 ∼= 4 (mod 2)] y [2+5 ∼= 4+5 (mod 2)], pues 7−9 = −2 y [2·5 ∼= 4·5 (mod 2)],pues 10− 20 = −10

• En general, como r ∼= s (mod 2)⇐⇒ r − s = 2k entonces

r + p− (s + p) = r − s = 2k =⇒ r + p ∼= s+ p (mod 2)

r · p− s · p = (r − s) · p = 2kp =⇒ r + p ∼= s+ p (mod 2)

⋄ Motivados por la idea anterior podemos definir lo siguiente

r = {s ∈ Z | s ∼= r (mod 2)}Es decir,

76 6. RELACIONES

s ∈ r ⇐⇒ s ∈ Z ∧ s ∼= r (mod 2)

⇐⇒ s ∈ Z ∧ s− r = 2k

⇐⇒ s ∈ Z ∧ s = r + 2k

Por tanto,

r = {r + 2k | k ∈ Z}

Ejemplo 1.3.1. 0 = {0 + 2k | k ∈ Z} = {. . . ,−2, 0, 2, 4, . . . } = {Numeros pares}

Ejemplo 1.3.2. 1 = {1 + 2k | k ∈ Z} = {. . . ,−3,−1, 1, 3, . . . } = {Numeros impares}

Conclusion 1.4. Si escogemos z ∈ Z entonces z = 2u o z = 2u+ 1, para algun u ∈ Z. Luego

• Z = 0 ∪ 1 y 0 ∩ 1 = {0}

En efecto

z = 2u ∨ 2u+ 1

= {2u+ 2k | k ∈ Z} ∨ {2u+ 1 + 2k | k ∈ Z}= {2(u + k) | k ∈ Z} ∨ {2(u+ k) + 1 | k ∈ Z}= 0 ∨ 1

Ası que, Z ⊂ 0 ∪ 1 y como 0 ⊂ Z y 1 ⊂ Z entonces 0 ∪ 1 ⊂ Z, y por tanto 0 ∪ 1 = Z

Ademas,

z ∈ [0 ∩ 1] ⇐⇒ z ∈ 0 ∧ z ∈ 1

⇐⇒ z = 0 + 2k1 Para algun k1 ∈ Z ∧ z = 1 + 2k2 Para algun k2 ∈ Z

⇐⇒ 2k1 = 1 + 2k2

⇐⇒ 2(k1 − k2) = 1

⇐⇒ (k1 − k2) =1

2/∈ Z

Ası que tales k1 y k2 no existen, y 0 ∩ 1 = ∅

• Si llamamos Z2 = {0, 1}, este conjunto se conoce como los enteros modulo 2, entonces por lo visto,hasta aquı, podemos definir las operaciones

r + s = r + s

r · s = r · s

• Por ejemplo 5 + 3 = 5 + 3 = 8 = 0 y 5 · 3 = 15 = 1

1. IDEAS BASICAS 77

Aplicacion 1.5. Si r ∈ Z entonces se recuerda que en base 10 este entero se representa como:

r = as · 10s + as−1 · 10s−1 + · · ·+ a1 · 101 + a0 · 100 =

s∑

i=0

ai10i (0 ≤ ai ≤ 9)

Por ejemplo,

233 = 2 · 102 + 3 · 101 + 3 · 100

42 = 4 · 101 + 2 · 100

7 = 7 · 100

Ahora, podemos intentar aplicar lo que aprendimos, en la siguiente secuencia de calculos:

� r = as · 10s + as−1 · 10s−1 + · · ·+ a1 · 101 + a0 · 100

� r ∼= as · 10s + as−1 · 10s−1 + · · ·+ a1 · 101 + a0 · 100

� r ∼= as · 10s + as−1 · 10s−1 + · · ·+ a1 · 101 + a0 · 100

� r ∼= as · 10s + as−1 · 10s−1 + · · ·+ a1 · 101 + a0 · 1

� r ∼= as · (10)s + as−1 · (10)s−1 + · · ·+ a1 · (10)1 + a0

� r ∼= as · (0)s + as−1 · (0)s−1 + · · · + a1 · (0)1 + a0

� r = a0

(52)

Luego la aplicacion que obtenemos es la siguiente:

r ∈ Z ∧ r =

s∑

i=0

ai10i =⇒ r ∼= a0 (mod 2)

Lo que significa que r es par si y solo si su ultima cifra es par

Ejemplo 1.5.1. 146 es par

En efecto

146 = 1 · (10)2 + 4 · (10)1 + 6 · (10)0

= 1 · 0 + 0 · (0) + 0 · 1= 0

Ejemplo 1.5.2. 233 es impar

En efecto

233 = 2 · (10)2 + 3 · (10)1 + 3 · (10)0

= 0 · 0 + 1 · 0 + 1 · 1= 1 · 1= 1

78 6. RELACIONES

Ahora generalizamos el comportamiento modulo 2 a cualquier entero n:

Definicion 1.6. Para n ∈ Z fijo definimos la relacion ”Congruencia modulo n”, como sigue:

r ∼= s (mod n) ⇐⇒ (∃k; k ∈ Z) : r − s = nk

Esta definicion tiene el siguiente significado: Dos elementos se relacionaran o seran considerados iguales,si al dividir a cada uno de ellos por n poseen el mismo resto

Ejemplo 1.6.1. 5 ∼= 14 (mod 3), pues 5− 14 = −9 = 3(−3). Observen que al dividir 5 y 14 por 3 el restoes 2.

Ejemplo 1.6.2. 16 6∼= 5 (mod 3), pues 16− 5 = 11 no es divisible por 3. Observen que al dividir 16 por 3el resto es 1, y al dividir 5 por 3 el resto es 2.

Definicion 1.7. Si r ∈ Z entonces llamaremos clase de equivalencia modulo n de r, al conjunto

r = {s ∈ Z | s ∼= r (mod n)}Equivalentemente los elementos de una clase de equivalencia se caracterizan como:

s ∈ r ⇐⇒ s ∈ Z ∧ s ∼= r (mod n)

⇐⇒ s ∈ Z ∧ (∃k; k ∈ Z) : s− r = nk

⇐⇒ s ∈ Z ∧ s = r + nk

Ası que,

r = {r + nk | k ∈ Z}

Ejemplo 1.7.1. Para n = 3 tenemos que

• 0 = {0 + 3k | k ∈ Z} = {· · · ,−3, 0, 3, 6, · · · }

• 1 = {1 + 3k | k ∈ Z} = {· · · ,−2, 1, 4, 7, · · · }

• 2 = {2 + 3k | k ∈ Z} = {· · · ,−1, 2, 5, 8, · · · }

• Z = 0 ∪ 1 ∪ 2, pues los restos posible al dividir por 3 son exactamente 0, 1, 2

Ejemplo 1.7.2. En general, Z = 0 ∪ 1 ∪ 2 · · · ∪ · · · ∪ n− 1, pues los restos al dividir un entero por n, sonexactamente 0, 1, 2, . . . , n − 1

Definicion 1.8. Para n ∈ Z, llamaremos enteros modulo n, al conjunto

Zn = {0, 1, . . . , n− 1}Ejemplo 1.8.1. Ası tenemos para N = 2, 3, 4

• Z2 = {0, 1}• Z3 = {0, 1, 2}• Z4 = {0, 1, 2, 3}

2. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 79

Observacion 1.9. Ahora que tenemos caracterizadas las clases de equivalencia, podemos hacer lo siguiente:

m ∈ (r + s) ⇐⇒ (∃k1; k1 ∈ Z) ∧ (∃k2; k2 ∈ Z) : m = (r + nk1) + (s + nk2)

⇐⇒ (∃k1; k1 ∈ Z) ∧ (∃k2; k2 ∈ Z) : m = r + s+ n(k1 + k2)

⇐⇒ m ∈ (r + s)

Luego,

r + s = r + s

Analogamente,

m ∈ (r · s) ⇐⇒ (∃k1; k1 ∈ Z) ∧ (∃k2; k2 ∈ Z) : m = (r + nk1) · (s+ nk2)

⇐⇒ (∃k1; k1 ∈ Z) ∧ (∃k2; k2 ∈ Z) : m = rs+ n(k1s+ k2r + k1k2)

⇐⇒ m ∈ (r · s)

r · s = r · s

Ejemplo 1.9.1. Para n = 5

7 + 9 = 16 = 1, y7 · 9 = 63 = 3

Ejemplo 1.9.2. Para n = 11

23 + 45 = 68 = 2, y23 · 45 = 1035 = 1

2. Criterios de divisibilidad

Aplicaremos las congruencias modulo n, para construir criterios de divisibilidad de los numeros enteros.Consideraremos en forma sucinta, las siguientes etapas:

Definicion 2.1. Diremos que p ∈ Z divide a q ∈ Z si existe k ∈ Z tal que q = pk. Usaremos la siguientenotacion:

p | q ⇐⇒ (∃k; k ∈ Z) : q = pk

Ejemplo 2.1.1. 2 | 6, pues 6 = 2 · 3

Ejemplo 2.1.2. 7 | 154, pues 154 = 7 · 22

Ejemplo 2.1.3. 2 6 | 5, pues la ”ecuacion 2x = 5 no tiene solucion en Z”

Definicion 2.2. Dado n ∈ Z. Diremos que poseemos un criterio de divisibilidad para n si poseemos unprocedimiento ”simple y eficiente” para responder la pregunta: Si p ∈ Z entonces ¿n | p?

80 6. RELACIONES

Definicion 2.3. Para obtener criterios de divisibilidad usaremos la misma idea empleada en (52). Es decir

si r ∈ Z es tal que r =

s∑

i=0

ai10i (0 ≤ ai ≤ 9) entonces aplicando la relacion congruencia modulo n tenemos

la ecuacion fundamental

r =

s∑

i=0

ai 10i

(mod n) (53)

Teorema 2.4. Criterio de divisibilidad para n = 3

3 | r ⇐⇒ r =

s∑

i=0

ai10i (0 ≤ ai ≤ 9) ∧ 3

∣∣∣∣∣

s∑

i=0

ai (54)

En efecto, de la formula (53) sigue que,

3 | r ⇐⇒ (∃k; k ∈ Z) : r = 3k

⇐⇒ r = 0 (mod 3)

⇐⇒s∑

i=0

ai 10i= 0 (mod 3)

⇐⇒s∑

i=0

ai = 0 (mod 3) (10 = 1)

⇐⇒s∑

i=0

ai = 0 (mod 3) (10 = 1)

Ejemplo 2.4.1. 3 | 78, pues 78 = 7 · 10 + 8 · 100 y 7 + 8 = 15 = 3 · 5

Ejemplo 2.4.2. 3 | 691872, pues 6 + 9 + 1 + 8 + 7 + 2 = 33 = 3 · 11

Ejemplo 2.4.3. 3 6 | 333333333331, pues 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 1 = 34 y 3 6 | 34


5 | r⇐⇒[r =

s∑

i=0

ai10i (0 ≤ ai ≤ 9)

]∧ [a0 = 0 ∨ a0 = 5] (55)

En efecto, de la formula (53) sigue que

3. EL CONCEPTO DE RELACION 81

5 | r ⇐⇒ (∃k; k ∈ Z) : r = 5k

⇐⇒ r = 0 (mod 5)

⇐⇒s∑

i=0

ai10i= 0 (mod 5)

⇐⇒ a0 = 0 (mod 5) (10 = 0)

⇐⇒ 5 | a0

Ejemplo 2.5.1. 5 | 90

Ejemplo 2.5.2. 5 | 4444444445

Ejemplo 2.5.3. 5 6 | 55555555555554


11 | r ⇐⇒[r =

s∑

i=0

ai10i (0 ≤ ai ≤ 9)

]∧ 11

∣∣∣∣∣

s∑

i=0

(−1)iai (56)

En efecto, de la formula (53) sigue que,

11 | r ⇐⇒ (∃k; k ∈ Z) : r = 11k

⇐⇒ r = 0 (mod 11)

⇐⇒s∑

i=0

ai 10i= 0 (mod 11)

⇐⇒s∑

i=0

ai (−1)i = 0 (mod 11) (10 = −1)

Ejemplo 2.6.1. 11 | 99

Ejemplo 2.6.2. 11 | 3443

Ejemplo 2.6.3. 11 6 | 11111

3. El concepto de Relacion

Ya observamos que la idea de una relacion es comparar dos o mas elementos, por tanto lo primero quedebemos hacer es construir un ambiente, donde sea posible comparar elementos y clasificar conjuntos

Definicion 3.1. Si A y B son dos conjuntos entonces llamaremos producto cartesiano de A y B al conjunto

A×B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}

82 6. RELACIONES

En particular, notaremos A×A = A2

Ejemplo 3.1.1. Si A = {1, 2, 3} y B = {a, b} entonces

A×B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}, y

B ×A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}

Ejemplo 3.1.2. Si A = {1, 2, 3} entonces

A×A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}

Definicion 3.2. Diremos que R es una relacion de A en B si R ⊂ A×B

Ejemplo 3.2.1. Si A = {1, 2, 3} y B = {a, b} entonces

R1 = {(p, q) ∈ A×B | p = 1}= {(1, a), (1, b)} ⊂ A×B es una relacion de A en B

R2 = {(p, q) ∈ B ×A | q = 1}= {(a, 1), (b, 1)} ⊂ B ×A es una relacion de B en A

Ejemplo 3.2.2. Si A = {1, 2, 3} entonces define las relaciones

U1 = {(m,n) ∈ A×A | m = n}= {(m,m) | m ∈ A} = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

U2 = {(m,n) ∈ A×A | m+ n = 4}= {(m, 4 −m) | m ∈ A} = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}

Observen que la situacion grafica en este caso es la siguiente.

•(1, 1)

•(1, 2)

•(1, 3)

•(2, 1)

•(2, 2)

•(2, 3)

•(3, 1)

•(3, 2)

•(3, 3)

A×AU1 U2

Figura 8 : Grafico de las relaciones U1 y U2

4. CONSTRUCCION DE RELACIONES 83

3.3. Elementos basicos de una Relacion.

Definicion 3.3.1. Si A y B son dos conjuntos y R ⊂ A×B entonces

• Notaremos (a.b) ∈ R⇐⇒ a R b

• El Dominio de R, sera el conjunto dom(R) = {a ∈ A | (∃b; b ∈ B) : a R b}

• La Imagen de R, sera el conjunto Img(R) = {b ∈ B | (∃a; a ∈ A) : a R b}

• La Imagen de un elemento a ∈ A, sera el conjunto Img(a) = {b ∈ B | a R b}

• El Grafico de R, sera el conjunto Graf(R) = {(a, b) ∈ A×B | a ∈ dom(R)}

Ejemplo 3.3.2. Si A = {1, 2, 3} y B = {a, b} y

R = {(p, q) ∈ A×B | p = 1} = {(1, a), (1, b)} ⊂ A×Bentonces

• dom(R) = {1} ⊂ A

• Img(R) = {a, b} ⊂ BEjemplo 3.3.3. Sea A = R+ ∪ {0} y define la relacion R = {(x, y) ∈ A2 | y = x2} entonces su grafico esdel tipo:

R

figura 9 : Grafico de R

4. Construccion de Relaciones

Definicion 4.1. Si A y B son dos conjuntos y R ⊂ A × B entonces la Relacion Inversa de R sera elconjunto R−1 = {(b, a) ∈ B ×A | (a, b) ∈ R}. Es decir

[(a, b) ∈ R ⇐⇒ (b, a) ∈ R−1

]⇐⇒

[a R b⇐⇒ b R−1 a

]

Ejemplo 4.1.1. Si A = R+ ∪ {0} y R = {(x, y) ∈ A2 | y = x2} entonces su grafico, como vimos, es el dela figura 9, y su relacion inversa es definida por

R−1 = {(x, y) ∈ A2 | x =√y}

Es decir

y = x2 ⇐⇒ x =√y (x ∈ R+ ∪ {0})

84 6. RELACIONES

Y su grafico es

R−1

figura : 10: Grafico de R−1

Observacion 4.1.2. Juntando los graficos de R y R−1 obtenemos el siguiente diseno:

R

R−1

figura 11 : Grafico de R y R−1

Motivados por la figura : 11 definiremos una nueva relacion, la relacion compuesta

Definicion 4.2. Si A, B y C son tres conjuntos y R1 ⊂ A×B y R2 ⊂ B×C entonces llamaremos relacioncompuesta de las relaciones R1 y R2 al conjunto

R2 ◦R1 = {(a, c) ∈ A× C | (∃b, b ∈ B) : (a, b) ∈ R1 ∧ (b, c) ∈ R2}

Es decir

a (R2 ◦R1) c ⇐⇒ (∃b, b ∈ B) : [ a R1 b ∧ b R2 c]

Podemos esquematizar la situacion como sigue:

AR17−→ B

R27−→ Ca 7−→ b 7−→ c︸︷︷︸

R2 ◦R1

Ejemplo 4.2.1. Si A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d} y C = {p, q, r, s, t} y R1 = {(1, a), (1, b), (2, c)(3, b)} yR2 = {(a, p), (a, r), (b, s), (d, t)} entonces

R2 ◦R1 = {(1, p), (1, r), (1, s), (3, s)}

Su esquema es el siguiente:

4. CONSTRUCCION DE RELACIONES 85

1

2

3

a

b

c

d

p

q

r

s

t

figura 12 : Grafico de R2 ◦R1

Ejemplo 4.2.2. Si A = R+ ∪ {0}, R = {(x, y) ∈ A2 | y = x2} y R−1 = {(x, y) ∈ A2 | y =√x} entonces

(x, y) ∈ (R−1 ◦ R) ⇐⇒ x (R−1 ◦ R) y

⇐⇒ (∃b; b ∈ R+ − {0}) : (x, b) ∈ R ∧ (b, y) ∈ R−1

⇐⇒ (∃b; b ∈ R+ − {0}) : (x R b) ∧ (b R−1 y)

⇐⇒ (∃b; b ∈ R+ − {0}) : (b = x2) ∧ (y =√b)

⇐⇒ (∃b; b ∈ R+ − {0}) : y =√x2

⇐⇒ (∃b; b ∈ R+ − {0}) : y = x (x ≥ 0)

Luego,

R−1 ◦ R = {(x, x) | x ∈ R+ − {0}}

Analogamente tenemos que

(x, y) ∈ (R ◦ R−1) ⇐⇒ x (R ◦ R−1) y

⇐⇒ (∃b; b ∈ R+ − {0}) : (x, b) ∈ R−1 ∧ (b, y) ∈ R⇐⇒ (∃b; b ∈ R+ − {0}) : (x R−1 b) ∧ (b R y)

⇐⇒ (∃b; b ∈ R+ − {0}) : (b =√x) ∧ (y = b2)

⇐⇒ (∃b; b ∈ R+ − {0}) : y = (√x)2 (x ≥ 0)

⇐⇒ (∃b; b ∈ R+ − {0}) : y = x

Luego,

R ◦ R−1 = {(x, x) | x ∈ R+ − {0}}

El grafico de (R−1 ◦ R) es el siguiente:

86 6. RELACIONES

R

R−1

R−1 ◦R

Figura 13: Grafico de R−1 ◦R

Observen que la recta y = x divide a la nueva figura en ” partes iguales” !!!

5. Relaciones de equivalencia

Definicion 5.1. Si A 6= ∅ y R ⊂ A2. Diremos que R es una relacion reflexiva o refleja si

a R a (∀a; a ∈ A)


• R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3)} es una relacion reflexiva o refleja

• R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 1)} no es una relacion reflexiva o refleja, pues (3, 3) 6∈ R

Definicion 5.2. Si A 6= ∅ y R ⊂ A2. Diremos que R es una relacion simetrica si

a R b =⇒ b R a


• R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1)} es una relacion simetrica

• R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)} no es una relacion simetrica, pues (2, 1) 6∈ R

Definicion 5.3. Si A 6= ∅ y R ⊂ A2. Diremos que R es una relacion transitiva si

a R b ∧ b R c =⇒ a R c


• R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 3)} es una relacion transitiva

• R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 2)} no es una relacion transitiva, pues (2, 2) 6∈ R

5. RELACIONES DE EQUIVALENCIA 87

Definicion 5.4. Si A 6= ∅ y R ⊂ A2. Diremos que R es una relacion de equivalencia si es simultaneamente

• Una relacion Reflexiva

• Una relacion Simetrica

• Una relacion Transitiva

Ejemplo 5.4.1. En Z×Z la relacion congruencia modulo n definida en 1.6, es una relacion de equivalencia.

En efecto

• (∀m,m ∈ Z) : m−m = 0 = n · 0 =⇒ m ∼= m (mod n). Luego la relacion es reflexiva.

• Si suponemos que r ∼= s (mod n) entonces existe k ∈ Z tal que m− s = nk. Ahora

m− s = nk =⇒ −(m− s) = −nk =⇒ s−m = n(−k) =⇒ s ∼= r (mod n)

Ası que la relacion es simetrica

• Si suponemos que r ∼= s (mod n) ∧ s ∼= t (mod n) entonces existen k1 ∈ Z y k2 ∈ Z tal quem− s = nk1 y s− t = nk2. Ahora

(m− s = nk1) ∧ (s− t = nk2) =⇒ m− s+ s− t = nk1 + nk2 =⇒ m− t = n(k1 + k2)

Ası que la relacion es transitiva y por ende es una relacion de equivalencia

5.5. Clases de equivalencia de una relacion de equivalencia.

Definicion 5.5.1. Si R ⊂ A2 es una relacion de equivalencia. Llamaremos clase de equivalencia de a ∈ Ral conjunto

a = {b ∈ A | a R b} (57)

Ejemplo 5.5.2. Para la relacion de congruencia modulo n definida en Z × Z que es una relacion deequivalencia, tenemos para cada r ∈ Z

r = {r − nk | k ∈ Z}

Propiedad 5.5.3. a = {b ∈ A | a R b} 6= ∅

En efecto

R es una relacion de equivalencia, y entonces en particular es reflexiva, esto es (a R a) (∀a; a ∈ A), asıque a ∈ a, y a 6= ∅

Propiedad 5.5.4. b ∈ a =⇒ a = b

En efecto

88 6. RELACIONES

b ∈ a ⇐⇒ b ∈ A ∧ a R b (∗)

En primer lugar,

c ∈ b =⇒ c ∈ A ∧ b R c(∗)=⇒ a R b ∧ b R c

=⇒ c ∈ A ∧ a R c ( R es transitiva)

=⇒ c ∈ a

Luego, b ⊂ a

En segundo lugar,

c ∈ a =⇒ c ∈ A ∧ a R c(∗)=⇒ a R b ∧ a R c

=⇒ b R a ∧ a R c (R es simetrica)

=⇒ c ∈ A ∧ b R c ( R es transitiva)

=⇒ c ∈ b

Luego, a ⊂ b, y por tanto, a = b

Propiedad 5.5.5. A =⋃

a∈Aa

En efecto

a ∈ A ⇐⇒ a ∈⋃

a∈Aa

Propiedad 5.5.6. a 6= b =⇒ a ∩ b = ∅

En efecto

c ∈ a ∩ b ⇐⇒ c ∈ a ∧ c ∈ b⇐⇒ c ∈ A ∧ [ c = a ∧ c = b ]

=⇒ a = b

6. Aplicacion de las Relaciones de Equivalencia: Construccion de los Numeros Enteros

6.1. Necesidad de plantear el problema. Si consideramos la ecuacion

x+m = n con m ∈ N ∧ n ∈ N (58)

entonces ¿cuales son todas las soluciones de (58)?.

6. APLICACION DE LAS RELACIONES DE EQUIVALENCIA: CONSTRUCCION DE LOS NUMEROS ENTEROS 89

Ejemplo 6.1.1. Algunas ecuaciones de la forma son:

• x+ 8 = 10 tiene solucion en N, pues 2 + 8 = 10

• x+ 6 = 7 tiene solucion en N , pues 1 + 6 = 7

• x+ 5 = 8 tiene solucion en N, pues 3 + 5 = 8

• x+ 8 = 5 no tiene solucion en N, pues (6 ∃n;n ∈ N) : n+ 8 = 5

Problema 6.2. Para responder al problema planteado en 6.1 debemos considerar la siguiente restriccion:

• Si m < n entonces x0 = n−m ∈ N es una solucion de la ecuacion x+m = n

• Si m ≥ n entonces n−m, no solo no es un natural sino que ni siquiera esta definido

Problema 6.3. x0 ∈ N puede ser solucion de mas de una ecuacion del tipo (58).

Ejemplo 6.3.1. Algunas soluciones que consideran la restriccion de la idea 6.2

1 + 1 = 21 + 2 = 31 + 3 = 41 + 4 = 51 + 5 = 6︸︷︷︸x0 = 1

2 + 1 = 32 + 2 = 42 + 3 = 52 + 4 = 62 + 5 = 7︸︷︷︸x0 = 2

3 + 1 = 43 + 2 = 53 + 3 = 63 + 4 = 73 + 5 = 8︸︷︷︸x0 = 3

4 + 1 = 54 + 2 = 64 + 3 = 74 + 4 = 84 + 5 = 9︸︷︷︸x0 = 4

5 + 1 = 65 + 2 = 75 + 3 = 85 + 4 = 95 + 5 = 10︸︷︷︸

x0 = 5

Idea 6.4. Si asociamos a cada ecuacion un par de elementos naturales como sigue:

( x+m = n ) (n,m) ∈ N2

entonces tenemos un modelo grafico para visualizar los problemas 6.1 y 6.3

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)

(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)

1 2 3 4 . . .?

?

?

?

?

...

?

1

2

3

4

...

-1

?

?

?...

figura 14: Primera aproximacion de los naturales a los enteros

90 6. RELACIONES

Idea 6.5. Para responder a los problemas planteados podemos intentar la siguiente estrategia

• En primer lugar, estudiamos que significa que un natural sea solucion de dos ecuaciones del tipo (58).

Para ello supongamos que existe x0 ∈ N tal que x0 + m = n y x0 + m′ = n′ entonces de su analisisobtenemos que:

x0 +m = n ⇐⇒ x0 = n−mx0 +m′ = n′ ⇐⇒ x0 = n′ −m′

}=⇒ n+m′ = n′ +m (59)

• La respuesta es parcial porque x0 ∈ N⇐⇒ n > m, y por otra parte, si n ≤ m entonces x0 /∈ N.

• Como queremos todas las soluciones de las ecuaciones de la forma (58) entonces siguiendo el resultadoobtenido en (59), y recordando la asociacion fundamental hecha en la idea (6.4), podemos archivar estoen la siguiente definicion

Definicion 6.6. En N2, definimos la relacion ℜ como sigue:

(n,m) ℜ (n′,m′) ⇐⇒ n+m′ = n′ +m (60)

Pregunta 6.6.1. ¿ Que significa la relacion ℜ definida en (60)?

En forma intuitiva podemos interpretar la relacion ℜ como sigue

� (n,m) ℜ (n′,m′)⇐⇒ n+m′ = n′ +m???⇐⇒ n−m = n′ −m′

� Ahora si observamos la igualdad n−m = n′ −m′ entonces recordando lo hecho en (59), y en la iden-tificacion de una ecuacion del tipo (58) con un par de naturales hecha en (6.4) podemos concluir losiguiente:

n−m = n′ −m′ =⇒ (n,m)ℜ(n′,m′)

Y si ℜ fuese un relacion de equivalencia entonces tendrıamos que las ecuaciones que tienen la mismasolucion son identificables (iguales las clases de pares de naturales bajo la relacion). es decir

n−m = n′ −m′ =⇒ (n,m) = (n′,m′)

� Es importante observar expresamente que para n ∈ N y m ∈ N, el objeto (n −m) solo tiene sentidohasta ahora, para n > m, en cuyo caso (n−m) ∈ N

Teorema 6.7. La relacion ℜ es una relacion de equivalencia.

Demostracion

• (∀(n,m); (n,m) ∈ N2) tenemos que n+m = n+m. Ası que (n,m) ℜ (n,m) y ℜ es una relacion reflexiva


• Si (n,m) ℜ (n′,m′) entonces

(n,m) ℜ (n′,m′) ⇐⇒ n+m′ = n′ +m

=⇒ n′ +m = n+m′

=⇒ (n′,m′) ℜ (n,m)

Ası que ℜ es una relacion simetrica

• Si (n,m) ℜ (n′,m′) ∧ (n′,m′) ℜ (n′′,m′′) entonces

(n,m)ℜ(n′,m′) ∧ (n′,m′)ℜ(n′′,m′′) ⇐⇒ (n+m′ = n′ +m) ∧ (n′ +m′′ = n′′ +m′)

=⇒ n+m′ + n′ +m′′ = n′ +m+ n′′ +m′

=⇒ n+m′′ + (m′ + n′) = n′′ +m+ (m′ + n′)

=⇒ n+m′′ = n′′ +m

=⇒ (n,m) ℜ (n′′,m′′)

Ası que ℜ es transitiva, y con las propiedades anteriores ℜ se torna una relacion de equivalencia

Corolario 6.7.1. Para cada (n,m) ∈ N2, el conjunto (n,m) = {(r, s) ∈ N2 | (n,m) ℜ (r, s)} corresponde a

su clase de equivalencia y N2 =⋃

(n,m)∈N2

(n,m)

En efecto

Como ℜ es una relacion de equivalencia podemos determinar sus clases de equivalencia (ver (57)), y entonces

(n,m) = {(r, s) ∈ N2 | n+ s = r +m}

Ademas de la propiedad 5.5.5, sigue que N2 =⋃

(n,m)∈N2

(n,m)

Ejemplo 6.7.2. (2, 1) = {(2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), . . . }

Ejemplo 6.7.3. (2, 2) = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), . . . }

Ejemplo 6.7.4. (2, 3) = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), . . . }

Observacion 6.8. Como el ”ambiente de trabajo” es N2, y los enteros son comparables respecto de larelacion de orden < entonces podemos consolidar alguno de los casos posibles, en el contexto de las clasesde equivalencia. Ası para el caso n > m tenemos los siguientes resultados:

(1) Podemos ser mas explıcitos en el calculo de la clase de equivalencia de (n,m) en el siguiente sentido.

(r, s) ∈ (n,m) ⇐⇒ (r, s) ∈ N2 ∧ (r, s) ℜ (n,m)

⇐⇒ (r, s) ∈ N2 ∧ r +m = n+ s

⇐⇒ (r, s) ∈ N2 ∧ r = n−m︸︷︷︸∈N

+s

92 6. RELACIONES

Luego,

(n,m) = {(n −m+ s, s) | s ∈ N} = {(r, s) ∈ N | r − s = n−m} (61)

(2) Ademas recordando que en la idea 6.4 identificamos la ecuacion x + m = n con el par (n,m) ∈ N2

entonces tenemos que

n > m =⇒ x0 = n−m ∈ N ∧ x0 +m = n (n,m)

(3) Ası que para n > m hacemos la siguiente identificacion (una nueva mirada a los naturales)

n−m! (n,m) (62)

(4) A esta alturas del analisis, les sugiero remirar la figura :14, para concluir por ejemplo que

(i) 1 = (2, 1) = (3, 2) = (4, 3) = · · ·

(ii) 5 = (6, 1) = (7, 2) = (8, 3) = · · ·

(iii) 6 = (7, 1) = (8, 2) = (9, 3) = · · ·

(5) Mirando los ejemplos anteriores podemos observar que,

+1 = (2, 1) = (3, 2) = (4, 3) = · · ·5 = (6, 1) = (7, 2) = (8, 3) = · · ·−− −− −− −− −−6 = (7, 1) = (8, 2) = (9, 3) = · · ·

Y nos sugiere el siguiente resultado

Lema 6.9. Sean (n,m) ∈ N2 y (r, s) ∈ N2 entonces

(n,m)ℜ(r, s) =⇒ [n > m =⇒ r > s] ∨ [n = m =⇒ r = s] ∨ [n < m =⇒ r < s]

En efecto

Supongamos que (n,m)ℜ(r, s) tal que n > m ∧ r ≤ s entonces

r ≤ s =⇒ r +m ≤ s+m

=⇒ r +m < s+ n

=⇒ (n,m) 6 ℜ (r, s)

Corolario 6.10. Una nueva caracterizacion de los numeros naturales es la siguiente:

⋃

n>m

(n,m) = N

En efecto


• En primer lugar, aplicando la formula obtenida en la idea 6.4, y fundamentalmente en la asociacion(61) tenemos que

⋃

n>m

(n,m) =⋃

n>m

(n−m+ s, s) (∀s; s ∈ N)

• En segundo lugar, recordando las propiedades de la union de conjuntos y especialmente como Peanoconstruyo los naturales tenemos que,

⋃

n>m

(n−m+ s, s) =⋃

r∈N

(r + 1, 1)

• En tercer y ultimo lugar, por la genial asociacion obtenida en (62), obtenemos

⋃

r∈N

(r + 1, 1) =⋃

r∈N

(r + 1− 1) =⋃

r∈N

r = N

Definicion 6.11. Llamaremos numeros enteros al conjunto

Z =

[⋃

n>m

(n,m)

]⋃[⋃

n∈N

(n, n)

]⋃[⋃

n<m

(n,m)

](63)

Lema 6.12. En N2 la relacion ℜ ”respeta la operacion suma de naturales”. Es decir

[(n,m)ℜ(r, s) ∧ (n′,m′)ℜ(r′, s′)] =⇒ (n+ n′,m+m′)ℜ(r + r′, s+ s′)

En efecto

(n+ n′) + (s+ s′) = (n+ s) + (n′ + s′)

= (r +m) + (r′ +m′)

= (r + r′) + (m+m′)

Ası que, (n+ n′,m+m′) ℜ (r + r′, s+ s′)

Definicion 6.13. En virtud del lema 6.12 definimos en Z la adicion (relacion de adicion) como sigue,

(r, s) + (p, q) = (r + p, s+ q) (64)

Ejemplo 6.14. (8, 5) + (4, 2) = (12, 7)

Observen que aquı podemos identificar segun lo convenido antes:

(8, 5) + (4, 2) = (12, 7) ⇐⇒ (8− 5) + (4− 2) = (12 − 7)⇐⇒ 3 + 2 = 5

94 6. RELACIONES

Ejemplo 6.15. (9, 12) + (7, 5) = (16, 17)

Ene este ejemplo, aun no tenemos interpretacion ”practica” para (9, 12) y (16, 17)

Observacion 6.16. Estudiemos en el espıritu de 6.8 los casos en que n ≤ m

(1) Por una parte, por definicion de adicion en Z, sabemos que (n,m) + (s, s) = (n+ s,m+ s)

Y por otra parte, (n+ s,m+ s) = (n,m). Pues, n+ s+m = m+ s+ n.

Ası que,

(n,m) + (s, s) = (n,m) (∀(n,m); (n,m) ∈ N2), (∀s; s ∈ N)

(2) Por definicion (n,m) + (m,n) = (n+m,m+ n)

Definicion 6.17. En virtud de la observacion 6.16 adoptaremos las siguientes convenciones:

• Asignaremos el sımbolo ”0” a la clase (s, s). Es decir

0 : = (s, s)

• Si n > m entonces (m− n) ∈ N, y como (n,m) + (m,n) = (n+m,m+ n) = 0, asignaremos

−(n−m) = (n,m)

Conclusion 6.18. Podemos resumir los hitos mas importantes en nuestra construccion en los siguientes:

(1) Finalmente completamos la figura: 14.

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)

(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)

1 2 3 4 . . .0

-1

-2

-3

-4

...

0

1

2

3

4

...

-1

-2

-3-4...

figura 15: Los numeros enteros

7. APLICACION DE LAS RELACIONES DE EQUIVALENCIA: CONSTRUCCION DE LOS NUMEROS RACIONALES 95

(2) Z = {· · · ,−4,−3,−2,−1} ∪ {0} ∪ {1, 2, 3, 4, · · · }

Ejemplo 6.19. En el nuevo lenguaje en el conjunto Z

• 2 + 5 = 7⇐⇒ (3, 1) + (6, 1) = (8, 1)

• 4− 6 = −2⇐⇒ (5, 1) + (1, 7) = (2, 4)

• 9− 9 = 0⇐⇒ (10, 1) + (1, 10) = (1, 1)

7. Aplicacion de las Relaciones de Equivalencia: Construccion de los Numeros Racionales

7.1. Necesidad de plantear el problema. Si consideramos la ecuacion

mx = n con m ∈ Z ∧ n ∈ Z (65)

entonces ¿cuales son todas las soluciones de (65)?

Ejemplo 7.1.1. Algunas ecuaciones de la forma son:

• 2x = 6 tiene solucion en Z, pues 2 · 3 = 6

• 3x = 7 no tiene solucion en Z, pues (6 ∃z; z ∈ Z) : 3z = 7

Observacion 7.2. Ya adquirimos una experiencia al construir los numeros enteros, y entonces debemosintentar capitalizarla en este caso. Ası que

• Si m|n, es decir (∃k; k ∈ Z) : n = mk entonces x =n

m= k es una solucion de la ecuacion mx = n

• z0 ∈ Z puede ser solucion de mas de una ecuacion del tipo (65). Por ejemplo

1 · 2 = 22 · 2 = 43 · 2 = 64 · 2 = 85 · 2 = 10︸︷︷︸z0 = 2

1 · 3 = 32 · 3 = 63 · 3 = 94 · 3 = 125 · 3 = 15︸︷︷︸z0 = 3

1 · 4 = 42 · 4 = 83 · 4 = 124 · 4 = 165 · 4 = 20︸︷︷︸z0 = 4

1 · 5 = 52 · 5 = 103 · 5 = 154 · 5 = 205 · 5 = 25︸︷︷︸z0 = 5

1 · 6 = 62 · 6 = 123 · 6 = 184 · 6 = 245 · 6 = 30︸︷︷︸z0 = 6

• Si suponemos que z0 es solucion de dos ecuaciones del tipo (65) entonces del analisis de la situacionpodemos colegir los siguiente

mz0 = n ⇐⇒ z0 =n

m

m′z0 = n′ ⇐⇒ z0 =n′

m′

=⇒ nm′ = n′m (66)

• La idea de divisibilidad nace de la relacion de dos numeros enteros, ası que podemos transferir elproblema de la ecuacion al producto cartesiano de enteros, a traves de la identificacion.

96 6. RELACIONES

( mx = n ) (n,m) ∈ Z2 (67)

Definicion 7.3. Motivados por la formula obtenida en (66), y por la asociacion generada en (67) definimosla siguiente relacion ℑ ⊂ (Z× Z− {0})2 como sigue

(a, b) ℑ (c, d) ⇐⇒ ad = cb

Ejemplo 7.3.1. Algunos pares relacionados y no relacionados

• (1, 1) ℑ (33, 33) pues 1 · 33 = 33 = 33 · 1

• (3, 4) ℑ (12, 16) pues 3 · 16 = 48 = 12 · 4

• (7, 13) 6 ℑ (2, 3) pues 7 · 3 = 21 y 2 · 13 = 26

Teorema 7.4. La relacion ℑ es una relacion de equivalencia

Demostracion

(1) Como ab = ba (∀(a, b); (a, b) ∈ Z× Z− {0}) entonces

(a, b) ℑ (a, b) (∀(a, b); (a, b) ∈ Z× Z− {0})Ası que ℑ es una relacion reflexiva

(2) Si (a, b) ℑ (c, d) entonces ad = bc. Pero ad = da y bc = cb entonces cb = da

Luego,(a, b)R(c, d) =⇒ (c, d)R(a, b)

Ası que ℑ es una relacion simetrica

(3) Si (a, b) ℑ (c, d) ∧ (c, d) ℑ (e, f) entonces ad = cb ∧ cf = ed. Luego,

adf = bcf =⇒ adf = bde

=⇒ af = be (d 6= 0)

Luego, (a, b) ℑ (e, f) y ℑ es una relacion transitiva y entonces ℑ es una relacion de equivalencia

Corolario 7.4.1. como ℑ es una relacion de equivalencia entonces

• Para cada (a, b) ∈ (Z×Z−{0}) su clase de equivalencia es un conjunto bien definido y no vacıo. Es decir

(a, b) = {(c, d) ∈ Z× Z− {0} | ad = bc} 6= ∅ (∀(a, b); (a, b) ∈ (Z× Z− {0})) (68)

• Z× Z− {0} =⋃

(a,b)∈Z×Z−{0}(a, b)

8. APLICACION DE LAS RELACIONES DE EQUIVALENCIA: TRANSFORMACIONES DEL PLANO Y DEL ESPACIO 97

Conclusion 7.5. Formalizacion de los numeros racionales

(1) Si (a, b) ℑ (c, d) entonces b|a =⇒ d|c

En efecto

[ (a, b) ℑ (c, d) ∧ b|a ] =⇒ [ ad = bc ∧ a = bk ] =⇒ bkd = bc =⇒ kd = c =⇒ d|c

(2) Si b|a entonces existe k ∈ Z tal que (a, b) = (k, 1). Ası que tenemos el importante resultado

⋃

b|a(a, b) =

⋃

k∈Z

(k, 1)

(3) Si identificamos (a, b) cona

bentonces llamaremos numeros racionales al conjunto

Q ={ab| a ∈ Z ∧ b ∈ Z− {0}

}

Esta notacion nos permite recuperar una copia de los enteros Z, dentro de Q,

⋃

k∈Z

(k, 1) =⋃

k∈Z

k

1 Z

Ası que, para z ∈ Z tenemos que

z

1=

{· · · , z

1,2z

2,3z

3,4z

4, · · ·

}

En particular,

1

1=

{· · · , 1

1,2

2,3

3,4

4, · · ·

}

8. Aplicacion de las Relaciones de Equivalencia: Transformaciones del Plano y del Espacio

8.1. Un primer ejemplo.

Dado el conjunto W = {(x, y) ∈ R2 | y = 0}, definamos en el plano la relacion L0, como sigue

(x1, y1) L0 (x2, y2) ⇐⇒ (x1 − x2, y1 − y2) ∈W

� Observamos en primer lugar que,

(x, y)− (x, y) = (x− x, y − y) = (0, 0) ∧ 0 = 0 =⇒ (0, 0) ∈W ∧ (x, y)L0(x, y)

Ası que L0 es una relacion reflexiva.

98 6. RELACIONES

� En segundo lugar,

(x, y)L0(a, b) ⇐⇒ (x− a, y − b) ∈W

⇐⇒ (y − b) = 0

=⇒ −(y − b)] = 0

=⇒ b− y = 0

=⇒ (a− x, b− y) ∈W

=⇒ (a, b)L0(x, y)

Ası que L0 es una relacion simetrica.

� En tercer lugar,

(a, b)L0(c, d) ∧ (c, d)L0(e, f) ⇐⇒ (a− c, b− d) ∈W ∧ (c− e, d− f) ∈W

⇐⇒ (b− d) = 0 ∧ (d− f) = 0

=⇒ b− d+ d− f = 0

=⇒ b− f = 0

=⇒ (a− e, b− f) ∈W

=⇒ (a, b)L0(e, f)

Ası que L0 es una relacion transitiva, y junto a lo anterior es una relacion de equivalencia

� Ahora, podemos calcular las clases de equivalencia que origina esta relacion.

(x, y) ∈ (a, b) ⇐⇒ (x, y) ∈ R2 ∧ (x, y)L0(a, b)

⇐⇒ (x, y) ∈ R2 ∧ (x− a, y − b) ∈W

⇐⇒ (x, y) ∈ R2 ∧ (y − b) = 0

⇐⇒ (x, y) ∈ R2 ∧ y = b

⇐⇒ (x, b) : x ∈ R

Es decir,

(a, b) = {(x, b) | x ∈ R}

� La primera conclusion que podemos sacar es que:

(a, b) = {(x, y) ∈ R2 | y = b)}

Representa una linea recta que tiene pendiente 0, es decir es paralela al Eje x, y podemos graficaralgunas de estas infinitas clases.


(0, 0) y = 0Eje x

Eje y

(0,−1) y = −1

(0, 1) y = 1...

...

...

...

Figura 16

� Si llamamos R2 al conjunto de todas las clases de equivalencia obtenidas, vıa la relacion L0 entoncestenemos

R2 =⋃

(a, b) (a ∈ R, b ∈ R)

= {(a, b) | a ∈ R ∧ b ∈ R}

= {(0, b) | b ∈ R}

(69)

8.2. Un segundo ejemplo.

Dado el conjunto W = {(x, y) ∈ R2 | x− y = 0}, definamos en el plano la relacion L1, como sigue

(x1, y1) L1 (x2, y2) ⇐⇒ (x1 − x2, y1 − y2) ∈W


(x, y)− (x, y) = (x− x, y − y) = (0, 0) ∧ 0− 0 = 0 =⇒ (0, 0) ∈W ∧ (x, y)L(x, y)

Ası que L1 es una relacion reflexiva.


(x, y)L1(a, b) ⇐⇒ (x− a, y − b) ∈W

⇐⇒ (x− a)− (y − b) = 0

=⇒ −[(x− a)− (y − b)] = 0

=⇒ −(x− a) + (y − b)] = 0

=⇒ (a− x)− (b− y) = 0

=⇒ (a− x, b− y) ∈W

=⇒ (a, b)L1(x, y)

100 6. RELACIONES

Ası que L1 es una relacion simetrica.


(a, b)L1(c, d) ∧ (c, d)L1(e, f) ⇐⇒ (a− c, b− d) ∈W ∧ (c− e, d− f) ∈W

⇐⇒ (a− c)− (b− d) = 0 ∧ (c− e)− (d− f) = 0

=⇒ (a− c)− (b− d) = 0 ∧ (c− e)− (d− f) = 0

=⇒ (a− c)− (b− d) + (c− e)− (d− f) = 0

=⇒ a− c− b+ d+ c− e− d+ f = 0

=⇒ a− b− e+ f = 0

=⇒ (a− e)− (b− f) = 0

=⇒ (a− e, b− f) ∈W

=⇒ (a, b)L1(e, f)

Ası que L1 es una relacion transitiva, y junto a lo anterior es una relacion de equivalencia


(x, y) ∈ (a, b) ⇐⇒ (x, y) ∈ R2 ∧ (x, y)L1(a, b)

⇐⇒ (x, y) ∈ R2 ∧ (x− a, y − b) ∈W

⇐⇒ (x, y) ∈ R2 ∧ (x− a)− (y − b) = 0

⇐⇒ (x, y) ∈ R2 ∧ x− a− y + b = 0

⇐⇒ (x, y) ∈ R2 ∧ x− a+ b = y

⇐⇒ (x, x+ b− a) ∧ x ∈ R

Es decir,

(a, b) = {(x, x + b− a) | x ∈ R}


(a, b) = {(x, y) ∈ R2 | y = x+ b− a)}

Representa una linea recta que tiene pendiente 1 e intersecta al Eje y en el punto (0, b− a), y podemosgraficar algunas de estas infinitas clases.


Eje x

Eje y

(0, 1) y = x+ 1

(0, 0) y = x

(0,−1) y = x− 1

Figura 17

� Si llamamos R2 al conjunto de todas las clases de equivalencia obtenidas, vıa la relacion L1 entoncestenemos

R2 =⋃

(a, b) (a ∈ R, b ∈ R)

= {(a, b) | a ∈ R,∧b ∈ R}

= {(0, b − a) | a ∈ R,∧b ∈ R}

= {(0, c) | c ∈ R}

(70)

8.3. Un tercer ejemplo.

Dado el conjunto W = {(x, y, z) ∈ R3 | y = 0}, definamos en el espacio la relacion P0, como sigue

(x1, y1, z1) P0 (x2, y2, z2) ⇐⇒ (x1 − x2, y1 − y2, z1 − z2) ∈W


(x, y, z) − (x, y, z) = (x− x, y − y, z − z) = (0, 0, 0) ∧ 0 = 0 =⇒ (0, 0, 0) ∈W ∧ (x, y, z)P0(x, y, z)

Ası que P0 es una relacion reflexiva.


(x, y, z)P(a, b, c) ⇐⇒ (x− a, y − b, z − c) ∈W

⇐⇒ (z − c) = 0

=⇒ −(z − c)] = 0

=⇒ z − c = 0

=⇒ (a− x, b− y, z − c) ∈W

=⇒ (a, b, c)P0(x, y, z)

102 6. RELACIONES

Ası que P0 es una relacion simetrica.


(a, b, r)P0(c, d, s) ∧ (c, d, s)P0(e, f, t) ⇐⇒ (a− c, b− d, r − s) ∈W ∧ (c− e, d− f, s− t) ∈W

⇐⇒ (r − s) = 0 ∧ (s− t) = 0

=⇒ r − s+ s− t = 0

=⇒ r − t = 0

=⇒ (a− e, b− f, r − t) ∈W

=⇒ (a, b, r)P0(e, f, t)

Ası que P0 es una relacion transitiva, y junto a lo anterior es una relacion de equivalencia


(x, y, z) ∈ (a, b, c) ⇐⇒ (x, y, z) ∈ R3 ∧ (x, y, z)P0(a, b, c)

⇐⇒ (x, y, z) ∈ R3 ∧ (x− a, y − b, z − c) ∈W

⇐⇒ (x, y, z) ∈ R3 ∧ z − c = 0

⇐⇒ (x, y, z) ∈ R3 ∧ z = c

⇐⇒ (x, y, c) : (x, y) ∈ R2

Es decir,

(a, b, c) = {(x, y, c) | (x, y) ∈ R2}


(a, b, c) = {(x, y, z) ∈ R2 | z = c)}

Representa un plano, y podemos graficar algunas de estas infinitas clases.

9. EJERCICIOS PROPUESTOS DE RELACIONES 103

Figura 18

� Si llamamos R3 al conjunto de todas las clases de equivalencia obtenidas, vıa la relacion P0 entoncestenemos

R3 =⋃

(a, b, c) (a ∈ R, b ∈ R, c ∈ R)

= {(a, b, c) | a ∈ R ∧ b ∈ R ∧ c ∈ R}

= {(0, 0, c) | c ∈ R}

(71)

9. Ejercicios Propuestos de Relaciones

(1) En el conjunto de los numeros naturales N se define la relacion:

aRb⇐⇒ a es un factor de b (a divide b)

Demuestre que R es una relacion reflexiva y transitiva, pero no simetrica.

(2) En N define la relacion

mRn⇐⇒ m+ n = 10

¿ Es R, refleja, simetrica o transitiva ?

(3) En el conjunto de numeros enteros Z× Z se define la relacion

(x, y)R(z,w) ⇐⇒ (∃k; k ∈ Z) : x− z = 8k ∧ y − w = 7k

(a) Demuestre que R es una relacion de equivalencia

(b) Determine (1, 0)

104 6. RELACIONES

(4) Sea f : Z 7−→ Z una funcion. Define en Z, la relacion

z1Rz2 ⇐⇒ f(z1) = f(z2)

(a) Demuestre que R es una relacion de equivalencia

(b) Si f(z) = 2z (∀z; z ∈ Z). Determine z para cada z ∈ Z

(5) En el conjunto de los numeros enteros Z. Define la relacion R como sigue:

aRb⇐⇒ a2 − b = b2 − a(a) Demuestre que R es una relacion de equivalencia

(b) Determine 1, 2, 3.

(6) En R×R se define la relacion

(a, b)R(c, d) ⇐⇒ ac ≥ 0 ∧ bd ≥ 0

Determine si R es una relacion de equivalencia.

(7) Sea R una relacion de equivalencia definida en un conjunto A. Demuestre que

• Si cRa y cRb , entonces aRb

• Si b ∈ a , entonces b = a

• Si a ∩ b 6= ∅ entonces a = b

(8) Define en Q+, los racionales positivos, la relacion

q1 R q2 ⇐⇒ (∃p; p ∈ Z) : q1 · (q2)−1 = 3p (∗)

• Demuestre que (∗) define una relacion de equivalencia

• Determine

(4

5

)=

{a

b∈ Q+ | a

bR

4

5

}

(9) Defina en R2[x], el conjunto de polinomios de grado menor o igual que 2 y con coeficientes reales, lasiguiente relacion:

p(x) ℜ q(x) ⇐⇒ (p(x)− q(x)) ∈ U

Donde, U = {f(x) = c0 + c1x+ c2x2 ∈ R2[x] | c0 − c1 + c2 = 0}

• Demuestre que ℜ es una relacion de equivalencia

• Demuestre que 1 + 2x+ x2 = U

(10) Suponga que R1 y R2 son relaciones de equivalencia. Demuestre que R1 ∩ R2 es una relacion deequivalencia.

UNIDAD 7

Preliminares sobre Funciones

Este Capitulo esta destinado a presentar contenidos y actividades que permitiran al estudiante, clasificarconjuntos, usando como herramienta central las propiedades cualitativas de las funciones y de sus graficos.Estudiaremos en primer lugar, la tecnica de inyectar un conjunto A en otro conjunto B, con el fin de copiarB por defecto (por el interior).En segundo lugar, estudiaremos la tecnica de cubrir un conjunto B por otro conjunto A, con el fin de copiarB por exceso (por el exterior).Finalmente haremos coexistir, si es posible, ambas tecnicas y concluiremos si los conjuntos son comparableso no.

1. Ideas Basicas

Si deseamos inyectar un conjunto en otro entonces, ya tenemos predeterminado un orden de actuacion, esdecir debe haber una relacion entre los elementos del conjunto que se inyecta y los del conjunto inyectado.

Ejemplo 1.1. Si A = {2z | z ∈ Z} y B = Z entonces podemos definir naturalmente la relacion ψ:

2z ψ 2z (∀z; z ∈ Z)

Es decir, una inclusion natural de los enteros pares en los enteros y la podemos simbolizar como

{· · · ,−2, 0, 2, 4, · · · }︸︷︷︸2 Z

→ {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4 · · · }︸︷︷︸Z

Aquı podemos identificar los pares en los enteros, e incluso podemos graficar este comportamiento en el planocartesiano:

Eje x

Eje y

···•(−2,−2)

•(0, 0)

• (2, 2)

• (4, 4)

• (6, 6)···

Figura 19

Respecto del dominio y la imagen de la relacion ψ tenemos:

• dom(ψ) = 2 Z = {2k | k ∈ Z} = {· · · ,−2, 0, 2, 4, · · · }

105

106 7. PRELIMINARES SOBRE FUNCIONES

• Img(ψ) = 2 Z ( Z, (Por ejemplo 3 6∈ Img(ψ))

• Img(2k) = {2k}, para cada k ∈ Z. Ası que podemos notar sin ambiguedad ψ(2k) = 2k para cadak ∈ Z, y en este caso, ψ se comporta como la relacion identidad

• Ademas, ψ(2k1) = ψ(2k2) =⇒ 2k1 = 2k2. Ası que

2k1 6= 2k2 =⇒ ψ(2k1) 6= ψ(2k2)

Ejemplo 1.2. Podemos tambien definir la relacion ϕ como sigue

z ϕ 2z (∀z; z ∈ Z)

Es decir, una relacion entre enteros y pares y la podemos simbolizar como

{· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4 · · · }︸︷︷︸Z

{· · · ,−4,−2, 0, 2, 4, · · · }︸︷︷︸2 Z

Aquı, a cada entero le asociamos o lo transformamos en un par, es decir la accion es multiplicar por 2, aligual que en el caso anterior podemos graficar este comportamiento en el plano cartesiano:

Eje x

Eje y

···•(−1,−2)

•(0, 0)

• (1, 2)

• (2, 4)

• (3, 6)···

Figura 20

Respecto del dominio y la imagen de la relacion ψ tenemos:

• dom(ϕ) = Z

• Img(ϕ) = 2 Z ( Z, (Por ejemplo 3 6∈ Img(ϕ))

• Img(k) = {2k}, para cada k ∈ Z. Ası que podemos notar sin ambiguedad ϕ(k) = 2k para cada k ∈ Z,y en este caso, ϕ no se comporta como la relacion identidad

• Ademas, ϕ(k1) = ϕ(k2) =⇒ 2k1 = 2k2 =⇒ k1 = k2. Ası que

k1 6= k2 =⇒ ϕ(k1) 6= ϕ(k2)

Ejemplo 1.3. Ahora consideremos la relacion entre enteros φ definida como sigue:

z φ z2 (∀z; z ∈ Z)

1. IDEAS BASICAS 107

La podemos simbolizar como

{· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4 · · · }︸︷︷︸Z

{· · · , 0, 1, 4, 9, · · · }︸︷︷︸Z

Aquı, a cada entero le asociamos su cuadrado, al igual que en el caso anterior podemos graficar este com-portamiento en el plano cartesiano:

Eje x

Eje y

•

•

• • •

•

•

3

9 (3, 9)

−3

9(−3, 9)

Figura 21

Respecto del dominio y la imagen de la relacion φ tenemos:

• dom(φ) = Z

• Img(φ) = {0, 1, 4, 9, . . . }

• Img(k) = {k2}, para cada k ∈ Z. Ası que podemos notar sin ambiguedad ϕ(k) = k2, para cada k ∈ Z

• Ademas, φ(k1) = φ(k2) =⇒ k21 = k2

2 =⇒ (k1 + k2)(k1 − k2) = 0 =⇒ k1 = k2 ∨ k1 = −k2. Ası que

k1 6= k2 6=⇒ φ(k1) 6= φ(k2)

Pues, 2 6= −2 ∧ φ(2) = φ(−2) = 4

Ejemplo 1.4. Ahora consideremos la relacion entre enteros θ definida como sigue:

z θ√z (∀z; z ∈ Z)

Aquı tenemos un problema porque, la raız merece un analisis cuidadoso en el siguiente sentido:

√z ∈ Z⇐⇒ z ≥ 0 ∧ z = u2 (Para algun u;u ∈ Z)

{· · · , 0, 1, 4, 9, 16 · · · }︸︷︷︸cuadrados

{· · · , 0,±1,±2,±3,±4 · · · }︸︷︷︸Z

El comportamiento grafico en el plano cartesiano es el siguiente:


Eje x

Eje y

••

•

•

•

•

•

•

•

Figura 22

Respecto del dominio y la imagen de la relacion θ tenemos:

• dom(θ) = {· · · , 0, 1, 4, 9, 16 · · · }

• Img(θ) = Z

• Img(k2) = {±k}, para cada k ∈ N ∪ {0}. Ası que no podemos notar como antes, θ(k2) =?, porque laimagen de un cuadrado es dupla, salvo para el 0

Observacion 1.5. En los ejemplos expuestos encima observamos distintas maneras de relacionar elemen-tos, en los ejemplos 1.1, 1.2, y 1.3, a cada elemento le asociamos un unico elemento, pero en 1.4, elcomportamiento es diferente y en realidad no es posible escoger una imagen, porque no hay una polıticaclara para hacerlo. Ası que en la seccion siguiente debemos aclarar estas diferencias

2. El Concepto de Funcion

Definicion 2.1. Sean A y B dos conjuntos no vacıos. Diremos que f es una funcion del conjunto A en elconjunto B si:

(1) f ⊂ A×B, es decir f es una relacion de A en B.

(2) dom(f) = A

(3) f(a) = {b ∈ B | a f b} posee un unico elemento (∀a; a ∈ A)

Ası que una funcion es una relacion especial pues;

• Su dominio coincide con el conjunto de salida de la relacion.

• Todo elemento del dominio posee una unica imagen.

Notaciones usuales para describir una funcion:

2. EL CONCEPTO DE FUNCION 109

f : A 7−→ Ba 7−→ f(a) = b

Af7−→ B

a 7−→ ba ∈ A 7−→ f(a) = b ∈ B

A continuacion exhibiremos un listado de ejemplos, que nos permita por una parte, valga la redundancia, serun ejemplo para el concepto actual de estudio, y por otra nos permita obtener conclusiones que enriquezcanel analisis y nos permita avanzar en la consecucion de nuestros objetivos

Ejemplo 2.1.1. f : N 7−→ N tal que y = f(x) = 2 · x+ 1. Con esta formula podemos obtener algunos paresque la satisfagan

• f(1) = 2 · 1 + 1 = 3

• f(2) = 2 · 2 + 1 = 5

• f(3) = 2 · 3 + 1 = 7

• f(4) = 2 · 4 + 1 = 9

Ejemplo 2.1.2. f : Z 7−→ Z tal que y = f(x) = 2 ·x+1. Para esta formula tenemos tambien algunos paresque la satisfacen

• f(−1) = 2 · (−1) + 1 = −1

• f(−2) = 2 · (−2) + 1 = −3

• f(−3) = 2 · (−3) + 1 = −5

• f(−4) = 2 · (−4) + 1 = −7

• f(1) = 2 · 1 + 1 = 3

• f(2) = 2 · 2 + 1 = 5

• f(3) = 2 · 3 + 1 = 7

• f(4) = 2 · 4 + 1 = 9

Ejemplo 2.1.3. f : R 7−→ R tal que y = f(x) = 2 ·x+1. Para esta formula tenemos tambien algunos paresque la satisfacen

• f(−π) = 2 · (−π) + 1 = −2π + 1

• f(−1) = 2 · (−1) + 1 = −1

• f(−1

2

)= 2 · (−1

2) + 1 = 0


• f(0) = 2 · 0 + 1 = 1

• f(

1

2

)= 2 · (1

2) + 1 = 2

• f(1) = 2 · 1 + 1 = 3

• f(2) = 2 · 2 + 1 = 5

• f(3) = 2 · 3 + 1 = 7

• f(π) = 2 · π + 1 = 2π + 1

Observando los ejemplos, 2.1.1, 2.1.2 y 2.1.3, vemos que la misma relacion (formula), se comporta segunel conjunto que provee los elementos !!!. Ası que en la definicion que sigue debemos precisar los elementosrelevantes que la distinguen

Definicion 2.2. Sea f una funcion entonces

(1) Llamamos dominio de f al conjunto

dom(f) = {a ∈ A | (∃b; b ∈ B) : f(a) = b}En particular, si A = B = R entonces

dom(f) = {x ∈ R | f(x) ∈ R}(2) Llamamos imagen o recorrido de f al conjunto

Img(f) = {b ∈ B | (∃a; a ∈ dom(f) : f(a) = b}En particular, si A = B = R entonces

Img(f) = {f(x) | x ∈ dom(f)}(3) Llamaremos grafico de f al conjunto

graf(f) = {(a, b) | b = f(a)}Ejemplo 2.2.1. Si f : N 7−→ N tal que y = f(x) = 2 · x+ 3 entonces

◮ dom(f) = N

En efecto

x ∈ dom(f) ⇐⇒ x ∈ N ∧ f(x) ∈ N

⇐⇒ x ∈ N ∧ 2x+ 1 ∈ N

⇐⇒ x ∈ N (Los naturales son cerrados para el producto y la adicion)

◮ Img(f) = {2x+ 1 | x ∈ N}

En efecto

y ∈ Img(f) ⇐⇒ (∃x, x ∈ N) : y = f(x)

⇐⇒ (∃x, x ∈ N) : y = 2x+ 1


Es decir, Img(f) = {2x+ 1 | x ∈ N}

◮ Su grafico es de la forma:

• (1, f(1))

• (2, f(2))

• (3, f(3)

Eje x

Eje y

Figura 23: f(x) = 2x+ 1 (x ∈ N)

Ejemplo 2.2.2. Si f : Z 7−→ Z tal que y = f(x) = 2 · x+ 1 entonces

◮ dom(f) = Z

En efecto

x ∈ dom(f) ⇐⇒ x ∈ Z ∧ f(x) ∈ Z

⇐⇒ x ∈ Z ∧ 2x+ 1 ∈ Z

⇐⇒ x ∈ Z (Los enteros son cerrados para el producto y la adicion)

◮ Img(f) = {2x+ 1 | x ∈ N}

En efecto

y ∈ Img(f) ⇐⇒ (∃x, x ∈ N) : y = f(x)

⇐⇒ (∃x, x ∈ N) : y = 2x+ 1

Es decir, Img(f) = {2x+ 1 | x ∈ Z}



•(−2, f(−2))

•(−1, f(−1))

• (0, f(0))

• (1, f(1))

• (2, f(2))

• (3, f(3)

Eje x

Eje y

Figura 24: f(x) = 2x+ 1 (x ∈ Z)

Ejemplo 2.2.3. Si f : R 7−→ R tal que y = f(x) = 2 · x+ 1 entonces

◮ dom(f) = R

En efecto

x ∈ dom(f) ⇐⇒ x ∈ R ∧ f(x) ∈ R

⇐⇒ x ∈ R ∧ 2x+ 1 ∈ R

⇐⇒ x ∈ R (Los enteros son cerrados para el producto y la adicion)

◮ Img(f) = R

En efecto

y ∈ Img(f) ⇐⇒ (∃x, x ∈ R) : y = f(x)

⇐⇒ (∃x, x ∈ R) : y = 2x+ 1

⇐⇒ (∃x, x ∈ R) : x =y − 1

2⇐⇒ y ∈ R

Es decir, Img(f) = R



Eje x

Eje y

y = 2x+ 1

Figura 25: f(x) = 2x+ 1 (x ∈ R)

Ejemplo 2.2.4. Definamos f : R2 7−→ R2 tal que f(x, y) = (x+ y, 3x+ 3y) entonces

(1) Determinemos dom(f)

(x, y) ∈ dom(f) ⇐⇒ (x, y) ∈ R2 ∧ f(x, y) ∈ R2

⇐⇒ (x, y) ∈ R2 ∧ (x+ y, 3x+ 3y) ∈ R2

⇐⇒ (x, y) ∈ R2

Luego, dom(f) = R2

(2) Determinemos Img(f)

(u, v) ∈ Img(f) ⇐⇒ (∃(x, y); (x, y) ∈ R2) ∧ f(x, y) = (u, v)⇐⇒ (∃(x, y); (x, y) ∈ R2) ∧ (x+ y, 3x+ 3y) = (u, v)

⇐⇒ (∃(x, y); (x, y) ∈ R2) ∧ x + y = u3x + 3y = v

⇐⇒ (∃(x, y); (x, y) ∈ R2) ∧x + y = u

x + y =v

3⇐⇒ u =

v

3∨ 3u = v


Ası que, Img(f) = {(x, y) ∈ R2 | y = 3x} = {(x, 3x)| x ∈ R}. Luego, esta funcion transforma el planoen una recta

(3) Graficamente la situacion puede ser vista como sigue:

R2 R2

v = 3u

(x, y)

f (x+ y, 3(x+ y))

Figura 26: El plano se comprime a una recta

Observacion 2.3. En este ultimo ejemplo, observamos que el plano se trasforma en una recta, y entoncesno podemos esperar que la geometrıa del plano se mantenga.

(1) Necesariamente ”debemos tener que a algunos puntos de la recta le corresponde mas de un punto deldominio, o mejor una imagen tiene mas de una preimagen”.

En efecto

Si llamamos f−1(u, v) = {(x, y) ∈ R2 | f(x, y) = (u, 3u)} entonces por ejemplo

(x, y) ∈ f−1(0, 0) ⇐⇒ (x, y) ∈ R2 ∧ f(x, y) = (0, 0)

⇐⇒ (x, y) ∈ R2 ∧ x + y = 03x + 3y = 0

⇐⇒ (x, y) ∈ R2 ∧ x+ y = 0

⇐⇒ (x, y) ∈ R2 ∧ y = −x⇐⇒ (x,−x), x ∈ R

Graficamente la situacion es la siguiente.

3. CLASIFICACION DE FUNCIONES 115

R2

···

•

R2

y = −x

Figura 27: La recta y = −x se comprime a un punto

(2) Ademas, sabemos que toda relacion R, digamos R ⊂ A×B tiene una relacion inversa R−1 ⊂ B×A talque R−1 ◦R ⊂ ∆(A) y R ◦R−1 ⊂ ∆(B), donde ∆(A) = {(a, a) | a ∈ A}, y ∆(B) = {(b, b) | b ∈ B} sonlas diagonales de A2 y B2 respectivamente. Sin embargo para una funcion podemos tener problemas,justo como en el ejemplo de encima, f−1 es una relacion pero no funcion, porque falla, cuando menospara f−1(0, 0) = {(x,−x) | x ∈ R}!!!.

(3) Es necesario tambien observar que existe una funcion que permite mirar, a un conjunto, como su do-minio y su imagen simultaneamente.

En efectoPara cualquier conjunto A se puede definir la funcion identidad del conjunto A, como sigue

1A : A 7−→ A tal que 1A(a) = a (∀a; a ∈ A) (72)

Es claro que dom(1A) = A e Img(1A) = A y que graf(1A) = ∆(A) = {(a, a) | a ∈ A}

3. Clasificacion de funciones

Definicion 3.1. Sea f : A 7−→ B una funcion entonces diremos que f es inyectiva si

x1 6= x2 en el dom(f) =⇒ f(x1) 6= f(x2)

Equivalentemente

f(x1) = f(x2) =⇒ x1 = x2

Ejemplo 3.1.1. Sea f : R2 7−→ R2 tal que f(x, y) = (x+ y, x− y) entonces f es inyectiva

En efecto


f(x1, y1) = f(x2, y2) ⇐⇒ (x1 + y1, x1 − y1) = (x2 + y2, x2 − y2)

⇐⇒ x1 + y1 = x2 + y2

x1 − y1 = x2 − y2

⇐⇒ 2x1 = 2x2 ∧ 2y1 = 2y2

⇐⇒ x1 = x2 ∧ y1 = y2

⇐⇒ (x1, y1) = (x2, y2)

Luego, f es inyectiva

Ejemplo 3.1.2. La funcion f : R2 7−→ R2 tal que f(x, y) = (x + y, 3x + 3y) definida inicialmente en elejemplo 2.2.4 no es una funcion inyectiva, porque

(1,−1) 6= (2,−2) sin embargo f(1,−1) = (0, 0) = f(2,−2)

Definicion 3.2. Sea f : A 7−→ B una funcion entonces diremos que f es sobreyectiva si

Img(f) = B

Ejemplo 3.2.1. Sea f : R2 7−→ R2 tal que f(x, y) = (x+ y, x− y) entonces f es sobreyectiva

En efecto

Para verificar la sobreyectividad debemos verificar que Img(f) = R2, es decir debemos demostrar que,Img(f) ⊂ R2 y R2 ⊂ Img(f), ası que esto sugiere naturalmente el siguiente algoritmo de trabajo:

• En primer lugar, como f : R2 7−→ R2 es una funcion entonces naturalmente Img(f) ⊂ R2

• En segundo lugar, par demostrar que R2 ⊂ Img(f), debemos verificar que si (u, v) ∈ R2 entonces existe(x, y) ∈ R2 tal que f(x, y) = (u, v), es decir f sera sobreyectiva si y solo si tiene solucion en R2 laecuacion f(x, y) = (u, v)

Ası que veamos si nos son favorables las condiciones para resolver dicha ecuacion:

f(x, y) = (u, v) ⇐⇒ (x+ y, x− y) = (u, v)

⇐⇒ x+ y = ux− y = v

(i)(ii)

=⇒ x =u+ v

2︸︷︷︸(i)+(ii)

∧ y =u− v

2︸︷︷︸(i)−(ii)

Ası que,

f

(u+ v

2,u− v

2

)= (u, v) (∀(u, v); (u, v) ∈ R2) =⇒ (u, v) ∈ Img(f)

Ejemplo 3.2.2. La funcion f : R2 7−→ R2 tal que f(x, y) = (x + y, 3x + 3y) definida inicialmente en elejemplo 2.2.4 no es una funcion sobreyectiva, porque por ejemplo, la ecuacion f(x, y) = (1, 1), no tienesolucion en R2, es decir porque R2 * Img(f)

En efecto


f(x, y) = (1, 1) ⇐⇒ x + y = 13x + 3y = 1

=⇒ 3 = 1(⇒⇐)

Definicion 3.3. Sea f : A 7−→ B una funcion entonces diremos que f es biyectiva si f es inyectiva y f essobreyectiva

Ejemplo 3.3.1. Sea f : R2 7−→ R2 tal que f(x, y) = (x+ y, x− y) entonces f es biyectiva como lo hemosmostrado en los ejemplos 3.1.1 y 3.2.1

Ejemplo 3.3.2. Sea f : R3 7−→ R2 tal que f(x, y, z) = (x+ y + z, x+ y − z) entonces estudiemos si f es ono biyectiva

(1) f es sobreyectiva si tiene solucion la ecuacion: f(x, y, z) = (a, b), para cada par (a, b) ∈ R2

f(x, y, z) = (a, b) ⇐⇒ (x+ y + z, x+ y − z) = (a, b)

⇐⇒ x+ y + z = ax+ y − z = b

(i)(ii)

=⇒ z =a− b

2︸︷︷︸(i)−(ii)

∧ (x+ y) =a+ b

2︸︷︷︸(i)+(ii)

=⇒ z =a− b

2∧ y =

a+ b

2− x

Luego, f es sobreyectiva y

f

(x,a+ b

2− x, a− b

2

)= (a, b) (∗)

(2) f es inyectiva si se verifica la propiedad

(x1, y1, z1) 6= (x2, y2, z2) =⇒ f(x1, y1, z1) 6= f(x2, y2, z2) o bien

f(x1, y1, z1) = f(x2, y2, z2) =⇒ (x1, y1, z1) = (x2, y2, z2)

De acuerdo con la formula (∗) f no es inyectiva pues, por ejemplo

f(1,−1, 0) = (0, 0) y f(2,−2, 0) = (0, 0), y (1,−1, 0) 6= (2,−2, 0)

Ası que f no es una biyeccion.

Definicion 3.4. Sean f : A 7−→ B y g : B 7−→ C, dos funciones entonces adaptamos la definicion decomposicion de relaciones para funciones poniendo,

(g ◦ f) : A 7−→ C tal que (g ◦ f)(a) = g(f(a)) (∀a; a ∈ A)

La idea aquı es la siguiente:

Aa

fBf(a)

gC

g(f(a))

g ◦ f

Figura 28: Esquema para g ◦ f


Lema 3.4.1. (g ◦ f) es una funcion de A en C.

En efecto

• Como f y g son relaciones de A en B y B en C respectivamente, entonces de acuerdo a la definicion4.2, g ◦ f es una relacion de A en C

• Como f es una funcion de A en B entonces dom(f) = A, es decir para cada a ∈ A, f(a) ∈ B, comotambien g es una funcion de B en C entonces dom(g) = B, es decir, para cada b ∈ B, g(b) ∈ C, enparticular como f(a) ∈ B entonces g(f(a)) ∈ C. Luego dom(g ◦ f) = A

• Finalmente, supongamos que (g ◦ f)(a) = c1 y (g ◦ f)(a) = c2, es decir, g(f(a)) = c1 y g(f(a)) = c2 ycomo g es una funcion entonces c1 = c2.

Luego, g ◦ f es una funcion.

Ejemplo 3.4.2. Consideremos las funciones f : R2 7−→ R1[x] tal que f(a, b) = a + bx y g : R1[x] 7−→ R2

tal que g(a0 + a1x) = (a0, a1) entonces para cada (a, b) ∈ R2

(g ◦ f)(a, b) = g(f(a, b))

= g(a+ bx)

= (a, b)

Es decir, aquı vemos que la funcion (g ◦ f) se comporta como la funcion 1R2

R2

(a, b)

fR1[x]

a+ bx

gR2

(a, b)

g ◦ f

Figura 29

Analogamente, podemos componer las funciones

(f ◦ g)(a0 + a1x) = f(g(a0 + a1x))

= f(a0, a1)

= a0 + a1x

Ahora f ◦ g se comporta como la funcion 1R1[x]

R1[x]

a0 + a1x

gR2

(a0, a1)

fR1[x]

a0 + a1x

f ◦ g

Definicion 3.5. Sean h1 : A 7−→ B y h2 : A 7−→ B dos funciones. Diremos que h1 = h2 si h1(a) = h2(a)∀a; a ∈ AObservacion 3.5.1. Del ejemplo 3.4.2 podemos colegir algunas importantes cuestiones, al momento dequerer comparar conjuntos.


(1) La funcion f y g son biyectivas

En efecto

• Si f(a, b) = f(c, d) entonces por definicion a+ bx = c+ dx, luego usando la definicion de igualdadde polinomios, tenemos que a = c y b = d, ası que

f(a, b) = f(c, d) =⇒ (a, b) = (c, d)

Y por tanto la funcion f es inyectiva

• Para verificar que f es sobreyectiva, aplicamos la tecnica, consistente en resolver la ecuacionf(a, b) = a0 + a1x, para cada polinomio a0 + a1x ∈ R1[x]

f(a, b) = a0 + a1x ⇐⇒ a+ bx = a0 + a1x

⇐⇒ a+ bx = a0 + a1x

⇐⇒ a = a0 ∧ b = a1

Ası que f(a0, a1) = a0 + a1x, lo que muestra que siempre hay solucion para esta ecuacion y poreso, que f es sobreyectiva, y por ende una biyeccion

• Para ver que g es una biyeccion procedemos en forma analoga que para f , es decir

g(a0 + a1x) = g(b0 + b1x) =⇒ (a0, a1) = (b0, b1

=⇒ a0 = b0 ∧ a1 = b1

=⇒ a0 + a1x = b0 + b1x

Ası que g es una funcion inyectiva

Para ver que g es sobreyectiva nos basta resolver la ecuacion g(a0 + a1x) = (a, b), para cada(a, b) ∈ R2.

g(a0 + a1x) = (a, b) =⇒ (a0, a1) = (a, b)

=⇒ a0 = a ∧ a1 = b

Ası que g(a+ bx) = (a, b) y g es sobreyectiva y por ende una biyeccion

(2) Ademas (g ◦ f) = 1R2 y (f ◦ g) = 1R1[x]

Definicion 3.6. Sea f : A 7−→ B una funcion. Diremos que f , es una funcion invertible o que tiene inversasi existe una funcion g : B 7−→ A tal que

f ◦ g = 1Bg ◦ f = 1A

A una tal funcion la llamamos la inversa de f y la notamos f−1, es decir g = f−1


Ejemplo 3.6.1. Si Consideramos las funciones definidas en el ejemplo 3.4.2, es decir f : R2 7−→ R1[x]tal que f(a, b) = a + bx y g : R1[x] 7−→ R2 tal que g(a0 + a1x) = (a0, a1) entonces f−1 = g, es decirf−1(a0 + a1x) = (a0, a1).

Ejemplo 3.6.2. Sea T : R3 7−→ R3, tal que T (x, y, z) = (x− y, x+ 2y + 3z, x+ y) entonces

◮ T es inyectiva

En efecto

Supongamos que T (x, y, z) = T (x′, y′, z′) entonces

T (x, y, z) = T (x′, y′, z′) ⇐⇒ (x− y, x+ 2y + 3z, x+ y) = (x′ − y′, x′ + 2y′ + 3z′, x′ + y′)

⇐⇒x− y = x′ − y′x+ 2y + 3z = x′ + 2y′ + 3z′

x+ y = x′ + y′⊛

Sumando a la primera ecuacion la tercera ecuacion en ⊛ tenemos que x = x′, sustituyendo este resultadodirectamente en la tercera ecuacion obtenemos y = y′, y finalmente reemplazando estos resultados enla segunda ecuacion de ⊛ tenemos que z = z′. Ası que (x, y, z) = (x′, y′, z′) y entonces T es inyectiva,es decir

T (x, y, z) = T (x′, y′, z′) =⇒ (x, y, z) = (x′, y′, z′)

◮ T es sobreyectiva

En efecto

Debemos resolver para cada (p, q, r) ∈ R3 la ecuacion, T (x, y, z) = (p, q, r), o equivalentemente, re-solvemos el sistema

x− y = px+ 2y + 3z = qx+ y = r

⊛

Sumando a la primera ecuacion la tercera obtenemos que 2x = p + r, es decir x =p+ r

2. Ahora

sustituyendo en la primera ecuacion tenemos quep+ r

2− y = p, es decir que y =

r − p2

, finalmente

reemplazando los valores de x y de y en la segunda ecuacion se obtiene quep+ r

2+2

[r − p

2

]+3z = q,

es decir z =2q + p− 3r

6. Luego la solucion encontrada es de la forma

T

(p+ r

2,r − p

2,2q + p− 3r

6

)= (p, q, r)

Observamos para concluir que dicha solucion solo depende de (p, q, r) lo que garantiza que T es so-breyectiva y ademas nos permite construir su inversa T−1, definiendola como:


T−1(p, q, r) =

(p+ r

2,r − p

2,2q + p− 3r

6

)

Para estar seguros que nuestro trabajo es correcto, aplicamos la definicion 3.6

(T ◦ T−1)(p, q, r) = T ((T−1(p, q, r))

= T

(p+ r

2,r − p

2,2q + p− 3r

6

)

=

(p+ r

2− r − p

2,p+ r

2+ 2

r − p2

+ 32q + p− 3r

6,p+ r

2+r − p

2

)

=

(p+ r

2− r − p

2,p+ r

2+

2r − 2p

2+

2q + p− 3r

2,p+ r

2+r − p

2

)

= (p, q, r)

Es decir que, T ◦ T−1 = 1R3 . Un calculo analogo muestra que T−1 ◦ T = 1R3

Observacion 3.6.3. En los ejemplos anteriores, hemos mostrado que es posible para algunas funciones,construir su correspondiente funcion inversa, pero no tenemos dimensionado el problema de su existencia ysu unicidad, para remediar esto tenemos el siguiente resultado

Teorema 3.7. Sea f : A 7−→ B una funcion entonces son equivalentes las siguientes propiedades:

(1) f biyectiva

(2) Existe una unica funcion f−1 : B 7−→ A tal que f−1 ◦ f = 1A y f ◦ f−1 = 1B

Antes de probar este teorema, que de suyo, es una importante herramienta es necesario precisar algunascosas que sera util conocer:

◮ Cuando decimos que estas propiedades son equivalentes estamos queriendo indicar que, “ellas sonsinonimos en el lenguaje matematico, por ende podemos usar libremente el uno o el otro segun nosparezca conveniente”.

◮ Para probar este tipo de proposiciones se procede usualmente de la siguiente forma:

• En primer lugar se prueba segun las reglas de la logica basica que: (1) =⇒ (2), en este caso en-tonces la hipotesis sera f biyectiva, y la tesis sera que: Existe una unica funcion f−1 : B 7−→ Atal que f−1 ◦ f = 1A y f ◦ f−1 = 1B

• En segundo lugar, procedemos de forma absolutamente analoga al punto anterior para probar que(2) =⇒ (1), y ası completar la validacion del enunciado.

Demostracion

(1) =⇒ (2) si definimos f−1 : B 7−→ A tal que f−1(b) = a⇐⇒ f(a) = b entonces

• Claramente f−1 ⊂ B ×A, es decir f−1 es una relacion de A en B.


• Si b ∈ B entonces como f es sobreyectiva existe a ∈ A tal que f(a) = b, es decir f−1(b) = a, ası queB ⊂ dom(f−1) y como dom(f−1 ⊂ B entonces dom(f−1) = B

• Si f−1(b) = a1 y f−1(b) = a2 entonces f(a1) = b = f(a2), como f es inyectiva entonces a1 = a2 ypodemos concluir que f−1 es una funcion

• Finalmente, como por definicion, f(a) = b⇐⇒ f−1(b) = a entonces

(f−1 ◦ f)(a) = f−1(f(a))= f−1(b)= a

=⇒ f−1 ◦ f = 1A

Analogamente

(f ◦ f−1(b)) = f(f−1(b))= f(a)= b

=⇒ f ◦ f−1 = 1B

El razonamiento anterior muestra que (1) =⇒ (2)

Ahora para mostrar que (2) =⇒ (1), debemos verificar que f es biyectiva:

• Para ver la inyectividad de f observamos que:

f(a1) = f(a2) =⇒ f−1(f(a1)) = f−1(f(a2)

=⇒ (f−1 ◦ f)(a1) = (f−1 ◦ f)(a2)

=⇒ 1A(a1) = 1A(a2)

=⇒ a1 = a2

Para la sobreyectividad de f observamos que:

b ∈ B =⇒ f−1(b) = a ∈ A=⇒ f(f−1(b)) = f(a) ∈ B=⇒ f(a) = b ∈ B

Luego, B ⊂ Img(f) y como siempre Img(f) ⊂ B entonces Img(f) = B y f es sobreyectiva, y porende biyectiva.

Ası que (2) =⇒ (1), y (1) es equivalente a (2).

4. Ejercicios Propuestos de Funciones y sus Propiedades Cualitativas

(1) Sea f : N 7−→ N tal que f(x) = x+ 2. Demuestre que f es inyectiva, pero no sobreyectiva.

(2) Sea f : Q 7−→ Q tal que f(x) = 3x− 22. Demuestre que f es biyectiva

(3) Sea f : R 7−→ R tal que f(x) = −x, y g : R 7−→ R tal que g(x) =

{1x

si x 6= 0

0 si x = 0. Demuestre que

4. EJERCICIOS PROPUESTOS DE FUNCIONES Y SUS PROPIEDADES CUALITATIVAS 123

(a) f ◦ f = 1R (la identidad de R)

(b) g ◦ g = 1R

(c) f ◦ g = g ◦ f

(4) Sea f : R 7−→ R tal que f(x) = 5x − 1 y g : R 7−→ R tal que g(x) =2− 3x

2. Determine, si es posible

una funcion h : R 7−→ R tal que h ◦ f = g

(5) Sea f : R 7−→ R tal que f(x) = x+ c, para c, un numero real fijo. Demuestre que

fn(x) = x+ nc (∀n;n ∈ N) (donde, fn = f ◦ f ◦ · · · ◦ f (n veces ) yf0 = 1R)

(6) Sean f : A 7−→ B y g : B 7−→ C dos funciones.

(a) Demuestre que g ◦ f inyectiva =⇒ f inyectiva

(b) Demuestre que g ◦ f sobreyectiva =⇒ g sobreyectiva

(7) Considere los conjuntos A y B y las funciones f : A 7−→ B y g : B 7−→ A. Demuestre que

g ◦ f = 1A =⇒ f inyectiva y g sobreyectiva

(8) Considere los conjuntos A y B y las funciones biyectivas f : A 7−→ B y g : B 7−→ A. Demuestre que

g = f−1 ⇐⇒ f = g−1

(9) Considere los conjuntos A, B C y las funciones f : A 7−→ B y g : B 7−→ C. Demuestre que

f biyectiva y g biyectiva =⇒ (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1

(10) Sea f : R2 7−→ R2 tal que f(x, y) = (x+ 2y, x− y).

(a) Demuestre que f es biyectiva

(b) Determine f−1

(11) Sea T : R2 7−→ R2 tal que T (x, y) = (x− y, 2x+ 3y) y H : R2 7−→ R2 tal que H(x,y)=(-2y,y-2x)

(a) Pruebe que H es una biyeccion

(b) Pruebe que T es inyectiva

(c) Determine T ◦H−1

(12) Sea f : R2 7−→ R2 tal que f(x, y) = (ax+ 3y, bx+ 2y), donde a y b son numeros reales.

(a) Determine el conjunto B = {(a, b) ∈ R2 | f es biyectiva}

(b) Si (a, b) ∈ B entonces determine f−1


(13) Sea f : R3 7−→ R3 tal que f(x, y, z) = (x+ y + z, x− y + z, 3z)

(a) Demuestre que f es una biyeccion

(b) Determine explıcitamente f−1

(14) Sea f : R2 7−→ R2 tal que f(x, y) = (αx+ y, x+ 3y). Determine el conjunto

D = {α ∈ R | f es invertible}

(15) Considere T : R3 7−→ R3 tal que

T (x, y, z) = ((1− a)x+ y + z, 2x+ (2− a)y + 2z, x + y + (1− a)z); (a ∈ R)

Determine los conjuntos:

S1 = {a ∈ R | T no es una biyeccion}

S2 = {a ∈ R | T es una biyeccion}

(16) Sean f : R 7−→ R y g : R 7−→ R dos funciones biyectivas definidas por y = f(x) e y = g(x) respecti-vamente

(a) Si h : R 7−→ R tal que y = h(x) es una funcion. Demuestre que

h ◦ f = g ◦ f =⇒ h = g

(b) Si H : R2 7−→ R2 tal que H(x, y) = (f(x), g(y)). Demuestre que H es biyectiva

(17) Sea h : R3 7−→ R2 tal que h(x, y, z) = (x+ y + z, x− y + z).

(a) Demuestre que h no es inyectiva

(b) ¿h es sobreyectiva?

(c) Grafique el conjunto K = {(x, y, z) ∈ R3 | h(x, y, z) = (0, 0)}

5. Proyecto de Integracion: Relaciones de Equivalencia y Funciones

El punto aquı es inaugurar un espacio, donde podamos fundir ideas de dos o mas topicos para generar nuevainformacion, en este caso, por ser incipiente aun nuestro estudio, no haremos analisis formal de los detalles,pero en compensacion trataremos de ”agudizar en cuanto podamos nuestra intuicion.”

Consideremos la funcion f del ejemplo 3.3.2, es decir f : R3 7−→ R2 tal que f(x, y, z) = (x+y+z, x+y−z),sabemos que f es sobreyectiva pero no inyectiva, es decir

La ecuacion f(x,y, z) = (a,b) tiene mas de una solucion para cada (a,b) ∈ R2

Ya vimos que f(1,−1, 0) = (0, 0) y f(2,−2, 0) = (0, 0), incluso mas, f(x,−x, 0) = (0, 0) (∀x;x ∈ R) en-tonces la unica forma que esta funcion fuese inyectiva es que el conjunto

f−1(0, 0) = {(x,−x, 0) | x ∈ R} (73)

5. PROYECTO DE INTEGRACION: RELACIONES DE EQUIVALENCIA Y FUNCIONES 125

Deberıa tener ”cardinalidad 1”, lo que es imposible en condiciones normales, porque solo de muestra,(1,−1, 0) 6= (2,−2, 0), por tanto, ”la cirugıa que debemos hacer es mayor”

El problema general es que hay que hacer cirugıa reductiva en todos los conjuntos del tipo

f−1(a, b) =

{(x,a+ b

2− x, a− b

2

)| x ∈ R

}Para cada (a, b) ∈ R2

como son muchos es necesario buscar algun detalle cuantificable que nos permita, aunque sea en teorıa,manejarlos con un proceso finito.

(1) Supongamos que tomamos u ∈ f−1(a, b) y v ∈ f−1(a, b) tal que u 6= v entonces existen los reales x1 yx2 tales que

u =

(x1,

a+ b

2− x1,

a− b2

)∧ v =

(x2,

a+ b

2− x2,

a− b2

)

entonces

u− v = (x1 − x2,−(x1 − x2), 0) ∈ f−1(0, 0) (∗)

(2) Motivados por lo obtenido en (∗) y por los resultados del Capitulo de Relaciones definamos en, R3 larelacion ≡ como sigue:

(x1, y1, z1) ≡ (x2, y2, z2) ⇐⇒ [(x1, y1, z1)− (x2, y2, z2)] ∈ f−1(0, 0)

Deseo que observen que la relacion definida en encima, significa lo siguiente:

(x1, y1, z1) ≡ (x2, y2, z2) ⇐⇒ [(x1, y1, z1)− (x2, y2, z2)] ∈ f−1(0, 0)

⇐⇒ (x1 − x2, y1 − y2, z1 − z2) ∈ f−1(0, 0)

⇐⇒ f(x1 − x2, y1 − y2, z1 − z2) = (0, 0)

⇐⇒ (x1 − x2 + y1 − y2 + z1 − z2, x1 − x2 + y1 − y2 − z1 + z2) = (0, 0)

⇐⇒ x1 − x2 + y1 − y2 + z1 − z2 = 0x1 − x2 + y1 − y2 − z1 + z2 = 0

⇐⇒ z1 = z2 ∧ (x1 + y1) = (x2 + y2)

Entonces tenemos una definicion mas operacional para la relacion, es decir, para u = (x1, y1, z1) yv = (x2, y2, z2)

u ≡ v ⇐⇒ (x1 + y1) = (x2 + y2) ∧ z1 = z2 (74)

Entonces la relacion definida en (74) es una relacion de equivalencia

En efecto

• Si u = (x, y, z) entonces z = z y x+ y = x+ y, entonces de (74) sigue que (x, y, z) ≡ (x, y, z), y ≡es una relacion reflexiva


• Sean u = (x1, y1, z1) y v = (x2, y2, z2) tal que u ≡ v entonces

u ≡ v ⇔ (x1 + y1) = (x2 + y2) ∧ z1 = z2 ⇒ (x2 + y2) = (x1 + y1) ∧ z2 = z1 ⇒ v ≡ u

Por tanto, ≡ es una relacion simetrica

• Sean u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) y w = (x3, y3, z3) tal que u ≡ v ∧ v ≡ w entonces

u ≡ v ⇔ (x1 + y1) = (x2 + y2) ∧ z1 = z2v ≡ w ⇔ (x2 + y2) = (x3 + y3) ∧ z2 = z3

}⇒ (x1 + y1) = (x3 + y3) ∧ z1 = z3⇒ u ≡ w

Luego, ≡ es una relacion transitiva, y producto de verificar simultaneamente las propiedades dereflexividad, simetrıa y transitividad, es una relacion de equivalencia.

• Como consecuencia de los ıtemes anteriores, si u = (x, y, z) entonces su clase de equivalencia secaracteriza por definicion como sigue

v ∈ u ⇐⇒ v = (a, b, c) ∧ u ≡ v⇐⇒ x+ y = a+ b ∧ z = c

⇐⇒ b = x+ y − a ∧ c = z

⇐⇒ v = (a, x+ y − a, z)

Por tanto, una clase de equivalencia generica es de la forma

(x, y, z) = {(a, x + y − a, z) | a ∈ R} (75)

(3) Ahora, debemos entender aun mejor, lo que hemos hecho, a fin de conectar el proceso de relacionar loselementos de esta forma con la funcion que f que estamos estudiando

• Observando la forma de los elementos del conjunto descrito en (75), podemos concluir que

(x, y, z) = f−1(x+ y + z, x+ y − z)

En efecto

En primer lugar,

f(a, x+ y − a, z) = (x+ y + z, x+ y − z)⇓

(a, x+ y − a, z) ∈ f−1(x+ y + z, x+ y − z), (∀a; a ∈ R)

⇓(x, y, z) ⊂ f−1(x+ y + z, x+ y − z)

En segundo lugar,

5. PROYECTO DE INTEGRACION: RELACIONES DE EQUIVALENCIA Y FUNCIONES 127

u ∈ f−1(x+ y + z, x+ y − z) ⇐⇒ u ∈ R3 ∧ f(u) = (x+ y + z, x+ y − z)⇐⇒ u = (p, q, r) ∧ f(p, q, r) = (x+ y + z, x+ y − z)⇐⇒ (p+ q + r, p + q − r) = (x+ y + z, x+ y − z)

⇐⇒ p+ q + r = x+ y + zp+ q − r = x+ y − z

=⇒ r = z ∧ (p+ q) = (x+ y)

=⇒ u = (p, x+ y − p, z)=⇒ u ∈ (x, y, z)

=⇒ f−1(x+ y + z, z + y − z) ⊂ (x, y, z)

Por tanto, efectivamente f−1(x+ y + z, z + y − z) = (x, y, z)

• Ahora vamos a conectar nuestro trabajo definiendo los siguientes comandos basicos

◦ R3 ={

(x, y, z) | (x, y, z) ∈ R3}

representara al conjunto de clases de equivalencia generadas

por la relacion de equivalencia ≡.

◦ π : R3 7−→ R3 tal que π(x, y, z) = (x, y, z), sera la funcion proyeccion

◦ f : R3 7−→ R2 tal que f((x, y, z)

)= f(x, y, z)

◦ Finalmente conectamos a traves de un diagrama matematico para que el ingenio funcione:

R3 fR2

π

R3

f

• f es una biyeccion y R3 es comparable con R2.

En efecto

◮ f es sobreyectiva

(a, b) ∈ R2 =⇒ (∃(x, y, z); (x, y, z) ∈ R3) : f(x, y, z) = (a, b) (Pues, f es sobreyectiva)

=⇒ (∃(x, y, z); (x, y, z) ∈ R3) : f((x, y, z)

)= (a, b)

Luego, R2 ⊂ Img(f)

y entonces R2 = Img(f). Ası que f hereda la sobreyectividad de f .

◮ f es inyectiva. (Aquı debemos concluir que la cirugıa funciono)


f((x1, y1, z1)

)= f

((x2, y2, z2)

)=⇒ f(x1, y1, z1) = f(x2, y2, z2)

=⇒ (x1 + y1 + z1, x1 + y1 − z1) = (x2 + y2 + z2, x2 + y2 − z2)

=⇒ x1 + y1 + z1 = x2 + y2 + z2x1 + y1 − z1 = x2 + y2 − z2

=⇒ z1 = z2 ∧ x1 + y1 = x2 + y2

=⇒ (x1, y1, z1) ≡ (x2, y2, z2)

=⇒ (x1, y1, z1) = (x2, y2, z2)

Y f es inyectiva, y juntando la sobreyectividad es una biyeccion.

5.1. Ejercicios Propuestos.

(1) Sea f : R3 7−→ R2 tal que f(x, y, z) = (x+ y, x− y).

(a) Muestre que f es sobreyectiva y no inyectiva

(b) Si definimos en R3 la relacion uℜv ⇐⇒ (u− v) ∈ f−1(0, 0) entonces demuestre que:

• ℜ es una relacion de equivalencia

• (0, 0, 0) = f−1(0, 0)

(c) Muestre que f : R3 7−→ R2 tal que f(u) = f(u) es una funcion biyectiva

(d) Grafique R3

(2) Sea h : R2[x] 7−→ R1[x] tal que h(a0 + a1x+ a2x2) = a0 − a1 + a2x.

(a) Muestre que h es sobreyectiva y no inyectiva

(b) Si definimos en R3 la relacion u ℜ v ⇐⇒ (u− v) ∈ h−1(0, 0) entonces demuestre que:


• (0, 0, 0) = h−1(0, 0)

(c) Muestre que h : R2[x] 7−→ R1[x] tal que h(p(x)) = h(u) es una funcion biyectiva

(3) Sea f : Rm 7−→ Rn tal que n < m una funcion sobreyectiva

(a) Si definimos en Rm la relacion u ℜ v ⇐⇒ (u− v) ∈ f−1(0Rn) entonces demuestre que:

• ℜ es una relacion de equivalencia• 0Rm = f−1(0Rn)

(b) Muestre que f : Rm 7−→ Rn tal que f(u) = f(u) es una funcion biyectiva

6. PROYECTO COLABORATIVO: CONSTRUCCION DEL GRAFICO DE ALGUNAS FUNCIONES 129

6. Proyecto Colaborativo: Construccion del Grafico de Algunas Funciones

El punto aquı es inaugurar un espacio, donde podamos fundir ideas de dos o mas ramas de la matematicapara generar nueva informacion, para mejorar el estudio y comprension de un topico.

6.1. Caso de la funcion f(x) =1

x. Dada la relacion real y = f(x) =

1

x, determinaremos en primera

instancia las condiciones para que f se transforme en una funcion real a valores reales, posteriormente grafi-caremos su comportamiento y finalmente intentaremos deducir alguna propiedad en lo posible generalizablea otros casos.

� Partamos determinando el dominio de f .

x ∈ dom(f)⇐⇒ x ∈ R ∧ f(x) ∈ R⇐⇒ x ∈ R ∧ 1

x∈ R⇐⇒ x ∈ R ∧ x 6= 0⇐⇒ x ∈ R− {0}

Ası que dom(f) = R− {0}

� Determinemos la imagen de f .

y ∈ img(f)⇐⇒ y = f(x) para x ∈ R⇐⇒ y =1

x: x 6= 0⇐⇒ x =

1

y∈ R− {0} ⇐⇒ y 6= 0

Ası que Img(f) = R− {0}Por tanto la funcion f es la siguiente

f : R− {0} 7−→ R− {0} tal que x ∈ R− {0} 7−→ y = f(x) =1

x∈ R− {0}

� f es una funcion biyectiva

En efecto

• (f ◦ f)(x) = f(f(x)) = f

(1

x

)=

1(1

x

) = x

=⇒ (f ◦ f) = 1R−{0} =⇒ f−1 = f

Ası que, de acuerdo al teorema 3.7, f es biyectiva.

� Determinemos el grafico de f .

• P ∈ graf(f)⇐⇒ P = (x, f(x)) ∧ f(x) = 1x

x 6= 0⇐⇒ P =

(x,

1

x

)∧ x 6= 0

• Analicemos los puntos del grafico buscando regularidades:

f(101) = 0.1 =⇒ (101, 0.1) ∈ graf(f)f(102) = 0.01 =⇒ (102, 0.01) ∈ graf(f)f(103) = 0.001 =⇒ (103, 0.001) ∈ graf(f)f(104) = 0.0001 =⇒ (104, 0.0001) ∈ graf(f)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f(10n) = 0. 0 · · · 0︸︷︷︸n−1

1 =⇒ (10n, 0.0 · · · 01) ∈ graf(f)

• Si notamos a 7→ +∞ cuando a es “grande, grande y positivo” y b 7→ 0+ cuando b “pequeno, pequenoy positivo” entonces


x 7→ +∞ =⇒ f(x) 7→ 0+;

x 7→ 0+ =⇒ f(x) 7→ +∞

Figura 30: y =1

x; x > 0

• Analogamente, si notamos a 7→ −∞ cuando a es “pequeno, pequeno y negativo” y b 7→ 0− cuando b“grande, grande y negativo” entonces

x 7→ −∞ =⇒ f(x) 7→ 0−;

x 7→ 0− =⇒ f(x) 7→ −∞

Figura 31: y =1

x; x < 0

• Finalmente si juntamos ambas informaciones obtenemos que, su comportamiento grafico es:

x 7→ +∞ =⇒ f(x) 7→ 0+;

x 7→ 0+ =⇒ f(x) 7→ +∞

x 7→ −∞ =⇒ f(x) 7→ 0−;x 7→ 0− =⇒ f(x) 7→ −∞

Figura 32: y =1

x; x 6= 0


Aplicacion 6.1.1. Si definimos f(x) =1

ax+ b; con a ∈ R, b ∈ R y no ambos nulos entonces la idea es

aprovechar lo que hemos aprendido en el punto 6.1, para estudiar este caso.

(1) Si a = 0 entonces f(x) =1

bcon b 6= 0, (segun las hipotesis que hemos puesto) entonces

• Como f(x) =1

b∈ R, (∀x;x ∈ R), sigue que dom(f) = R e Img(f) =

{1

b

}. En estas condi-

ciones la funcion f se encuadra en las llamadas funciones constantes

• Como graf(f) =

{(x,

1

b

)| b ∈ R− {0}

}entonces los posibles graficos son:

Eje x

Eje y

(0, 1

b

)

Figura 33: y =1

b; b > 0

Eje x

Eje y

(0, 1

b

)

Figura 34: y =1

b; b < 0

(2) Si a 6= 0 entonces f(x) =1

ax+ b

• Como f(x) =1

ax+ b∈ R,⇐⇒ ax+ b 6= 0, sigue que dom(f) = R−

{− ba

}

• Para calcular la imagen observamos que

y ∈ Img(f) ⇐⇒(∃x;x ∈ R−

{− ba

}): y =

1

ax+ b

⇐⇒(∃x;x ∈ R−

{− ba

}): y(ax+ b) = 1

⇐⇒(∃x;x ∈ R−

{− ba

}): x =

1

ay− b

a

⇐⇒ y 6= 0

Por tanto Img(f) = R− {0}


• Como graf(f) =

{(x,

1

ax+ b

)| x 6= − b

a

}entonces los posibles graficos son:

Figura 35: y =1

ax; b = 0 ∧ a > 0 Figura 36: y =

1

ax; b = 0 ∧ a < 0

x = − ba

Figura 37: y =1

ax+ b; b < 0 ∧ a > 0

x = − ba

Figura 38: y =1

ax+ b; b > 0 ∧ a > 0


x = − ba

Figura 39: y =1

ax+ b; b > 0 ∧ a < 0

x = − ba

Figura 40: y =1

ax+ b; b < 0 ∧ a < 0

Aplicacion 6.1.2. Si ahora, definimos f(x) =1

ax+ b+ c; con a ∈ R, b ∈ R, no ambos nulos y c ∈ R

entonces podemos calcular en forma semejante al caso anterior.

En efecto

Si a 6= 0 entonces f(x) =1

ax+ b+ c

• Como f(x) =1

ax+ b+ c ∈ R,⇐⇒ ax+ b 6= 0, sigue que dom(f) = R−

{− ba

}

• Para calcular la imagen observamos que

y ∈ Img(f) ⇐⇒(∃x;x ∈ R−

{− ba

}): y =

1

ax+ b+ c

⇐⇒(∃x;x ∈ R−

{− ba

}): (y − c)(ax+ b) = 1

⇐⇒(∃x;x ∈ R−

{− ba

}): x =

1

a(y − c) −b

a

⇐⇒ y 6= c

Por tanto Img(f) = R− {c}


• Como graf(f) =

{(x,

1

ax+ b+ c

)| x 6= − b

ae y 6= c

}entonces algunos de los posibles graficos son:

x = − ba

y = c

Figura 41: y =1

ax+ b+ c; b < 0 a > 0;

c > 0

x = − ba

y = c

Figura 42: y =1

ax+ b+ c; b > 0; a > 0;

c < 0

x = − ba

y = c

Figura 43: y =1

ax+ b+ c; b > 0; a < 0;

c > 0

x = − ba

y = c

Figura 44: y =1

ax+ b+ c; b < 0; a < 0;

c < 0


Aplicacion 6.1.3. Para concluir esta primera clase de aplicaciones definiremos f(x) =cx+ d

ax+ b; con a ∈ R,

b ∈ R, c ∈ R y d ∈ R, no ambos nulos entonces intentaremos aplicar nuestras tecnicas para analizar estafuncion.

(1) Observamos que ∂(ax+ b) = ∂(cx + d) = 1, ası que procedemos efectuar la division de polinomios degrado 1, aplicando la division usual de polinomios:

cx+ d : ax+ b =c

a

cx+bc

a

-

d− bc

a

⇐⇒ cx+ d

ax+ b=c

a+d− bc

aax+ b

(>)

(2) Si en (>) hacemos p =c

ay q = d− bc

aentonces tenemos que (>) se transforma en:

f(x) =cx+ d

ax+ b= p+

q

ax+ b= p+ q

(1

ax+ b

)(>>)

Ası que podemos aplicar lo estudiado (>>), y tenemos entonces algunos de los posibles casos:

� Caso 1: Si p > 0; a > 0; b < 0; q > 0 entonces su grafico es del tipo presentado en la Figura 41

� Caso 2: Si p < 0; a > 0; b < 0; q < 0 entonces su grafico es del tipo presentado en la Figura 42

� Caso 3: Si p > 0; a > 0; b < 0; q < 0 entonces su grafico es del tipo presentado en la Figura 43

� Caso 4: Si p < 0; a < 0; b < 0; q < 0 entonces su grafico es del tipo presentado en la Figura 44

Ejemplo 6.1.4. Si f(x) =x+ 1

x− 1entonces aplicando nuestro proceso de division obtenemos que:

f(x) =x+ 1

x− 1= 1 +

2

x− 1

� Ası que dom(f) = R− {1}

� E, Img(f) = R− {1}

� Su grafico es una variante de la Figura 41, mas precisamente


Eje y

x = 1

Eje x

y = 1

Figura 45: y =x+ 1

x− 1

6.1.5. Ejercicios Propuestos de Funciones cuyo Grafico envuelve a f(x) =1

x.

(1) Si f(x) =1

3xentonces determine:

(a) dom(f)

(b) Img(f)

(c) gra(f)

(2) Si f(x) =1

−3xentonces determine:

(a) dom(f)

(b) Img(f)

(c) gra(f)

(3) Si f(x) =x

x− 1entonces determine:

(a) dom(f)

(b) Img(f)

(c) gra(f)

(4) Si f(x) =x

1− x entonces determine:


(a) dom(f)

(b) Img(f)

(c) gra(f)

(5) Si f(x) =

(x

x− 1

)2

entonces determine:

(a) dom(f)

(b) Img(f)

(c) gra(f)

(6) Si f(x) =1

(x− 1)(5− x) entonces determine:

(a) dom(f)

(b) Img(f)

(c) graf(f)

(7) Si f(x) =1√

1 + x2entonces determine:

(a) dom(f)

(b) Img(f)

(c) graf(f)

6.2. Caso de las funcion parabola canonica P(x) = ax2, a ∈ R.

� Para determinar el dominio de la funcion P observamos, segun nuestra tecnica que:

x ∈ dom(P ) ⇐⇒ x ∈ R ∧ P (x) ∈ R

⇐⇒ x ∈ R ∧ ax2 ∈ R

⇐⇒ x ∈ R ( Pues, ax2 ∈ R ∀x;x ∈ R)

luego, dom(P ) = R

� Para determinar la Img(P ), procedemos segun nuestro proceso, es decir:

Img(P ) = {P (x)|x ∈ R}= {ax2|x ∈ R}

Ası que, para la funcion P tenemos: P : R 7−→ {ax2|x ∈ R}x 7−→ ax2


� Para su grafico graf(P ) = {(x, ax2) | x ∈ R} encontramos las siguientes opciones:

• Si a = 0 entonces el grafico es graf(P ) = {(x, 0) | x ∈ R} = Eje x

Eje x

Figura 46: y = 0

• Si a 6= 0 entonces podemos hacer el siguiente analisis:

◦ x2 ≥ 0, pues (−x)2 = x2 para cada x ∈ R

◦ a > 0 =⇒ ax2 ≥ 0 y

◦ a < 0 =⇒ ax2 ≤ 0

Luego, los posibles graficos son del tipo:

Eje x

Figura 47: y = ax2, a > 0

Eje x

Figura 48: y = ax2, a < 0

Aplicacion 6.2.1. Si definimos f(x) = a(x + h)2 para a 6= 0 y h ∈ R entonces para usar la informaciongenerada en (6.2), podemos hacer lo siguiente:

� Si llamamos a u = x+ h entonces f(u) = au2, que ya se parece al caso original.

� Ahora x = 0 =⇒ u = h ası que el nuevo ”eje x” es x = h y el origen correspondiente es (h, 0). Esdecir tenemos segun el valor de h, los siguientes casos:

• a > 0 ∧ h ∈ R


Eje y

(x = 0)

Eje x

(x = −h)

Figura 49: y = a(x+ h)2, a > 0; h ≤ 0

Eje y

(x = 0)

Eje x

(x = −h)

Figura 50: y = a(x+ h)2, a > 0; h > 0

• a < 0 ∧ h ∈ R

(x = 0) (x = −h)

Eje x

Figura 51: y = a(x+ h)2, a < 0; h ≤ 0

(x = 0)(x = −h)

Eje x

Figura 52: y = a(x+ h)2, a < 0; h > 0

Aplicacion 6.2.2. Si definimos ahora, g(x) = ax2+k para a 6= 0 y k ∈ R entonces para usar la informaciongenerada en (6.2), podemos hacer lo siguiente:

� En este caso, x = 0 =⇒ g(0) = k ası que el nuevo ”eje y” es y = k y el origen correspondiente es(0, k). Es decir tenemos segun el valor de k, los siguientes casos:

• a > 0 ∧ k ∈ R


y = k

Eje y

Eje x

Figura 53: y = ax2 + k, a > 0; k ≥ 0

Eje x

y = k

Eje y

Figura 54: y = ax2 + k, a > 0; k < 0

• a < 0 ∧ h ∈ R

Eje x

Eje y

y = k

Figura 55: y = ax2 + k, a < 0; k ≥ 0

Eje y

y = k

Eje x

Figura 56: y = ax2 + k, a < 0; k < 0

Aplicacion 6.2.3. Si q(x) = ax2 + bx+ c, a ∈ R − {0}, b ∈ R y c ∈ R entonces para aplicar lo aprendidoa esta funcion podemos hacer lo siguiente:

ax2 + bx+ c = a

(x2 +

b

ax

)+ c

= a

(x2 +

b

ax+

(b

2a

)2

−(b

2a

)2)

+ c

= a

[(x+

b

2a

)2

−(b

2a

)2]

+ c

= a

(x+

b

2a

)2

+ c− a(b

2a

)2

= a

(x+

b

2a

)2

+

(4ac− b2

4a

)


Luego, la funcion se representa como:

q(x) = a

(x+

b

2a

)2

+

(4ac− b2

4a

)

Para compatibilizar con nuestras tecnicas notemos, h =b

2ay k =

(4ac− b2

4a

), y de paso obtengamos algu-

nas conclusiones utiles para identificar el grafico de la funcion:

� q

(− b

2a

)=

(4ac− b2

4a

)=⇒

(− b

2a,4ac− b2

4a

)∈ graf(q)

� Como, a

(x+

b

2a

)2

= q(x) −(

4ac− b24a

)y

(x+

b

2a

)2

≥ 0 entonces, ya sabemos que tenemos dos

casos segun el ”signo de a”

• a > 0 =⇒ q(x)−(

4ac− b24a

)≥ 0 =⇒ q(x) ≥

(4ac− b2

4a

)(∀x;x ∈ dom(q))

De donde sigue que, k =

(4ac− b2

4a

)es el valor mınimo alcanzado por la imagen de la funcion q, en

el ”Eje x = − b

2a” y el punto V =

(− b

2a,4ac− b2

4a

)es un punto mınimo del grafico de q

• a < 0 =⇒ q(x)−(

4ac− b24a

)≤ 0 =⇒ q(x) ≤

(4ac− b2

4a

)(∀x;x ∈ dom(q))

Aquı, k =

(4ac− b2

4a

)es el valor maximo alcanzado por la imagen de la funcion q, en el ”Eje x = − b

2a”

y el punto V =

(− b

2a,4ac− b2

4a

)es un punto maximo del grafico de q

� Si x0 ∈ R y x1 ∈ R tal que x1 −(− b

2a

)=

(− b

2a

)− x0 entonces

q(x0) = a

(x0 +

b

2a

)2

+

(4ac− b2

4a

)

= a

(−x1 −

b

2a

)2

+

(4ac− b2

4a

)

= a

(x1 +

b

2a

)2

+

(4ac− b2

4a

)

= q(x1)

� Despues de este analisis, podemos asignar nombres y notaciones:

• Al punto V =

(− b

2a,4ac− b2

4a

)lo llamaremos el vertice de la parabola


• La recta x = − b

2ala llamaremos el eje de Simetrıa de la parabola

• q(x) = ax2 + bx+ c con a ∈ R, b ∈ R y c ∈ R. La llamaremos Funcion Cuadratica.

� Finalmente, podemos decidir el comportamiento grafico de la funcion a traves exclusivamente de loscoeficientes, a, b y c.

• En primer lugar, para la imagen tenemos:

y ∈ Img(q) ⇐⇒ q(x) = y (para algun x ∈ R)

⇐⇒ y = ax2 + bx+ c

⇐⇒ ax2 + bx+ (c− y) = 0

⇐⇒ x =−b±

√b2 − 4a(c− y)

2a

⇐⇒ b2 − 4a(c− y) ≥ 0

⇐⇒ b2 ≥ 4a(c− y)⇐⇒ b2 ≥ 4ac− 4ay

⇐⇒ 4ay ≥ 4ac− b2

⇐⇒ ay ≥ 4ac− b24

Ası que tenemos dos casos posibles para la imagen de q:

Img(q) =

{q(x) ∈ R | q(x) ≥ 4ac− b2

4a

}: si a > 0

∨{q(x) ∈ R | q(x) ≤ 4ac− b2

4a

}: si a < 0

� En particular, como ax2 + bx+ c = 0⇐⇒ x =−b±

√b2 − 4ac

2a

Podemos concluir que:

◦ Si b2 − 4ac ≥ 0 entonces la parabola intersecta al eje x en a lo mas dos puntos a saber:

∗ b2 − 4ac > 0 =⇒ x =−b±

√b2 − 4ac

2a

∗ b2 − 4ac = 0 =⇒ x =−b2a

◦ Si b2 − 4ac < 0 entonces la parabola no intersecta al eje x.

� En resumen los graficos posibles para una funcion cuadratica son:• a > 0 ∧ (b2 − 4ac) > 0


V =(− b

2a, 4ac−b2

4a

)

x = − b

2a

Figura 57

• a > 0 ∧ (b2 − 4ac) = 0

Figura 58

• a > 0 ∧ (b2 − 4ac) < 0

Figura 59


6.2.4. Ejercicios Propuestos de Funciones cuyo Grafico envuelve a q(x) = ax2 + bx + c.

(1) Determine Dominio, imagen, vertice, eje de simetrıa, Intersecciones con el eje x, con el eje y, y graficode las siguientes funciones cuadraticas.

• q(x) = x2 + 2x+ 1

• q(x) = x2 + 2x− 1

• q(x) = x2 + x+ 1

• q(x) = (x− 1)(x− 3)

(2) Grafique las siguiente funciones.

• f(x) = x4 + 2x2 + x; (x ∈ R)

• h(x) =x3 − 1

x− 1; (x ≤ 0)

• h(x) =x3 − 1

x− 1; (x ≥ 0)

• h(x) =x3 − 1

x− 1; (x ∈ R)

• g(x) =x3 + 6x2 + 12x+ 8

x+ 2

• p(x) = 6(x− 4)3 + 7(x− 4)2 − 3(x− 4)

(3) Si q : R 7−→ R tal que q(x) = ax2 +bx+c es una funcion cuadratica. Determine los siguientes conjuntos

• S = {q | q(0) = 0}

• S = {q | q(−1) = 1}

• S = {q | q(0) = 0 ∧ q(1) = 1}

(4) Si q1(x) = x2 + 1 y q2(x) = 3− 2x2.

• Determine el conjunto graf(q1) ∩ graf(q2)

• Determine la region del palno encerrada por los graficos de q1 y q2 respectivamente.

(5) Si q(x) = ax2 + bx+ c es una funcion cuadratica con vertice V = (h, k). Demuestre que

V ∈ Eje y ⇐⇒ b = 0

(6) Considere las funciones l : R 7−→ R tal que l(x) = bx + c con b ∈ R y c ∈ R, y la funcion cuadraticaq : R 7−→ R tal que q(x) = ax2. Determine el conjunto

S = graf(l) ∩ graf(q)

UNIDAD 8

Introduccion a la Estructura Algebraica de Grupos

Este Capitulo estara destinado a presentar contenidos y actividades que permitiran al estudiante, clasificarconjuntos que poseen una estructura especial, la estructura de grupos, usando como herramienta central lasfunciones llamadas homomorfismos de grupos:

1. Definiciones y Ejemplos Basicos

Nuestra experiencia con los numeros nos muestra que en forma natural, ”podemos realizar mezclas de el-los”, incluso somos capaces de aplicar propiedades para mejorar nuestros desarrollos, y ası optimizar nuestrotiempo de ejecucion. En suma para muy pocos, al menos eso creo, resulta incomprensible o desconocida lapalabra operatoria de numeros.

En este contexto se realiza por ejemplo la adicion de enteros y el formato usual es n + m = r. Ahoraformalmente esta, es una funcion cuyo dominio es Z× Z, y su imagen es Z, pues en primer lugar podemosmodelar + como:

+ : Z× Z 7−→ Z(z1, z2) 7−→ +(z1, z2) = z1 + z2

Y como z + 0 = z (∀z; z ∈ Z) entonces Img(+) = Z, es decir + es una funcion sobreyectiva. En honor aestas cuestiones historicas y a su caracter propio, haremos la distincion para estas funciones en la siguientedefinicion:

Definicion 1.1. Sea C un conjunto no vacıo, ∗ se llamara una operacion binaria en C si

∗ : C × C 7−→ C(c1, c2) 7−→ c1 ∗ c2

Es una funcion.

Ejemplo 1.1.1.

(1) La suma o adicion usual de enteros es una operacion binaria.

(2) En general la adicion de reales y el producto de reales constituyen ejemplos de operaciones binarias.

(3) Sea Z+ = {z ∈ Z | z > 0}, es decir los enteros positivos entonces define la operacion binaria,

∗ : Z+ × Z+ 7−→ Z+ tal que a ∗ b =

{min(a, b) si a 6= b

a si a = b

Por ejemplo:

• 2 ∗ 5 = 2

145

146 8. INTRODUCCION A LA ESTRUCTURA ALGEBRAICA DE GRUPOS

• 3 ∗ 3 = 3

• etc.

(4) En Z define la operacion binaria,

a ∗ b = a+ b+ 12

Por ejemplo

• 2 ∗ 3 = 17

• 1 ∗ 1 = 14

• 5 ∗ (−12) = 5

• En general, a ∗ (−12) = a (∀a; a ∈ Z)

Estamos prestos para definir la estructura que por ahora nos interesa.

Definicion 1.2. Sea G un conjunto no vacıo, ∗ una operacion binaria en G entonces diremos que (G, ∗)posee estructura de grupo o es un grupo si ∗ satisface en G las siguientes propiedades:

(1) g1 ∗ (g2 ∗ g3) = (g1 ∗ g2) ∗ g3, es decir ∗ asocia los elementos de G

(2) Existe eG ∈ G tal que (∀g; g ∈ G) tenemos,

g ∗ eG = g ∧ eG ∗ g = g

eG lo llamaremos elemento neutro de G respecto de ∗

(3) Para cada g ∈ G existe g′ ∈ G tal que:

g ∗ g′ = g′ ∗ g = eG

El elemento g′ se llama el inverso de g y es usual notarlo como, g′ = g−1

Si ademas ∗ satisface la propiedad conmutativa en G, es decir:

g1 ∗ g2 = g2 ∗ g1 (∀g1; g1 ∈ G), (∀g2; g2 ∈ G)

entonces (G, ∗), se llama grupo Abeliano o Conmutativo.

Ejemplo 1.2.1.

(1) (R,+) es un grupo abeliano, en este caso: eR = 0 y r−1 = −r

(2) (Q,+) es un grupo abeliano, en este caso: eQ =0

1= 0 y

(ab

)−1= −a

b

(3) (Z,+) es un grupo abeliano, en este caso: eZ = 0 y z−1 = −z

(4) (N,+) no es un grupo, pues no tiene solucion en general en N la ecuacion x+ n = 0

(5) (R− {0}, ·) es un grupo abeliano, en este caso: eR = 1 y r−1 =1

r

1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS BASICOS 147

(6) (Q− {0}, ·) es un grupo abeliano, en este caso: eQ =1

1= 1 y

(ab

)−1=b

a

(7) (Z, ·) no es un grupo, pues no tiene solucion en general en Z la ecuacion: a · x = b

(8) Sea Rn = {(x1, x2, x3, . . . , xn) | xi ∈ R (i = 1, 2, . . . , n)}

• Si (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn y (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn. Diremos que

(x1, x2, . . . , xn) = (y1, y2, . . . , yn)⇐⇒ xi = yi (∀i; i = 1, 2, . . . n)

• Ahora si definimos

(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

entonces (Rn,+) es un grupo abeliano (∀n; n ∈ N), y en este caso:

• eRn = (0, 0, . . . , 0) y

• (x1, x2, x3, . . . , xn)−1 = (−x1,−x2,−x3, . . . ,−xn)

Ejemplo 1.2.2. Si definimos en Z la siguiente operacion binaria:

Z× Z∗7−→ Z

(a, b) 7−→ a ∗ btal que a ∗ b = a+ b+ n, donde n es un entero fijo; entonces el par (Z, ∗) es un grupo abeliano.

En efecto

• (Z, ∗) es una estructura cerrada

Como (Z,+) es un grupo con la adicion usual de enteros entonces

a ∗ b = (a+ b+ n) ∈ Z (∀a; a ∈ Z)(∀b; b ∈ Z)

• (Z, ∗) es una estructura asociativa, pues

(a ∗ b) ∗ c = (a ∗ b) + c+ n= (a+ b+ n) + c+ n como (Z,+) es asociativo= a+ (b+ n+ c) + n como (Z,+) es conmutativo= a+ (b+ c+ n) + n= a+ (b ∗ c) + n= a ∗ (b ∗ c)

• En (Z, ∗) existe elemento neutro, porque(∀a; a ∈ Z)

a ∗ e = a ⇐⇒ a+ e+ n = a⇐⇒ e = −nAsı, ahora podemos comprobar directamente que e = −n es el elemento neutro respecto de la operacion∗:


a ∗ (−n) = a+ (−n) + n = a ∧−n ∗ a = −n+ a+ n = a (∀a; a ∈ Z)

• En (Z, ∗) cada elemento admite inverso, pues tiene solucion la ecuacion

a ∗ a′ = e ⇐⇒ a+ a′ + n = −n⇐⇒ a′ = −a− 2n

Ahora si denotamos a−1 = −a− 2n entonces

a ∗ a−1 = a+ (−a− 2n) + n = −n ∧ a−1 ∗ a = −a− 2n + a+ n = −n (para cada a ∈ Z)

• Finalmente, (Z, ∗), es un grupo conmutativo o Abeliano, porque

a ∗ b = a+ b+ n = b+ a+ n = b ∗ a• Si n = 0 entonces (Z, ∗) = (Z,+)

• Si por ejemplo n = −5 entonces

◮ a ∗ b = a+ b− 5

◮ e = 5

◮ a−1 = −a+ 10

◮ Si definimos x2 = x ∗ x entonces podemos resolver por ejemplo la ecuacion

x2 + 2 ∗ x− 1 = 0 (76)

Solucion

0 = x2 + 2 ∗ x− 1= x+ x− 5 + 2 + x− 5− 1= 3x− 9

Luego, x = 3

En general la operacion ∗ transforma un grupo en otro grupo, o bien traslada la estructura en −nunidades.

—————

2. El grupo de matrices

Dado un conjunto de datos, un problema siempre interesante es como ordenarlos de una forma rapida yeficiente, es claro que la rapidez y eficiencia dependen de las necesidades que plantea la situacion; en estadireccion tenemos por ejemplo la forma como se ordenan los departamentos en un edificio A de n-pisos. Unaforma serıa la siguiente: El departamento aij, esta en el piso i y ocupa la posicion j en dicho piso; de esta

2. EL GRUPO DE MATRICES 149

forma A = (aij) es una buena representacion del edificio, esto es:

A =

a11 a12 a13 . . . a1m

a21 a22 a23 . . . a2m

a31 a32 a33 . . . a3m...

...... . . .

...an1 an2 an3 . . . anm

(77)

Definicion 2.1. A sera llamada una Matriz de n-filas y m-columnas ( orden n×m) sobre R si A es de laforma modelada en (77).

Usaremos la notacion:

MR (n×m) = { matrices de orden n×m sobre R}

MR (n) = MR (n× n)

2.2. Algunas Matrices Especiales. Si A = (aij) ∈MR(n×m) entonces

� A sera llamada Matriz fila si n = 1. Por ejemplo

A =(2 3 −5 7 0

)fila de largo 5

� A sera llamada Matriz columna si m = 1. Por ejemplo

A =

13479

columna de largo 5

� A sera llamada Matriz nula si aij = 0 (∀i; 1 ≤ i ≤ n); (∀j; 1 ≤ j ≤ m). Por ejemplo

(0)(2×3) =

(0 0 00 0 0

)nula de orden 2× 3

� A sera llamada Matriz cuadrada si n = m. Por ejemplo

A =

2 −4 91 5 0−1 7 18

cuadrada de orden 3

� A sera llamada Matriz diagonal si:

• n = m

• aij = 0 si i 6= j


Por ejemplo

A =

2 0 00 5 00 0 18

diagonal de orden 3

� A sera llamada Matriz identidad si:

• n = m

• aij =

{1 : i = j

0 : i 6= j

Y se denota por In

Por ejemplo

I3 =

1 0 00 1 00 0 1

identidad de orden 3

� A sera llamada Matriz triangular superior si:

• n = m

• aij = 0 si i > j

Por ejemplo

A =

2 3 70 5 40 0 11

triangular superior de orden 3

� A sera llamada Matriz triangular inferior si:

• n = m

• aij = 0 si i < j

Por ejemplo

A =

7 0 04 5 011 8 0

triangular inferior de orden 3

� A sera llamada Matriz simetrica si:

• n = m

• aij = aji

Por ejemplo

A =

2 3 73 5 47 4 11

simetrica de orden 3


� A sera llamada Matriz antisimetrica si:

• n = m

• aij = −aji

Por ejemplo

A =

0 3 7−3 0 4−7 −4 0

antisimetrica de orden 3

� At sera llamada Matriz traspuesta de A si: At = (aji) ∈MR(m× n) Por ejemplo, si

A =

2 3 78 5 43 0 11

entonces At =

2 8 33 5 07 4 11

En general A simetrica si A = At y A antisimetrica si A = −At

2.3. Adicion de matrices.

� Sean A = (aij) ∈MR (n×m) y B = (bij) ∈MR (n×m) entonces definimos:

A = B ⇐⇒ aij = bij (1 ≤ i ≤ n); (1 ≤ j ≤ m)

� Sean A = (aij) ∈ MR (n ×m) y B = (bij) ∈ MR (n ×m) entonces definimos una operacion binaria”+”, como sigue:

+ : MR (n×m)×MR (n×m) 7−→ MR (n×m)(A,B) 7−→ A+B

tal que A+B = (aij + bij) (78)

Ejemplo 2.3.1. Si A =

[2 3 91 0 7

]y B =

[−2 3 6

3 8 −7

]entonces

A+B =

[2 3 91 0 7

]+

[−2 3 6

3 8 −7

]

=

[0 6 154 8 0

]

En general,


A+B =

a11 a12 a13 . . . a1m

a21 a22 a23 . . . a2m...

...... . . .

...an1 an2 an3 . . . anm

+

b11 b12 b13 . . . b1mb21 b22 b23 . . . b2m...

...... . . .

...bn1 bn2 bn3 . . . bnm

=

(a11 + b11) (a12 + b12) (a13 + b13) . . . (a1n + b1n)(a21 + b21) (a22 + b22) (a23 + b23) . . . (a2n + b2n)...

...... . . .

...(am1 + bm1) (am2 + bm2) (am3 + bm3) . . . (amn + bmn)

Teorema 2.4. (MR (n×m),+) es un grupo abeliano

Demostracion

� La relacion definida en (78) es una operacion en el conjunto de matrices.

� Si A = (aij) ∈ MR (n×m)), B = (bij) ∈ MR (n ×m)) y C = (aij) ∈ MR (n×m)) entonces usando laadicion definida en (78) tenemos que

(A+B) + C = ((aij) + (bij)) + cij

= ((aij + bij)) + cij

= ((aij + bij) + cij)

= (aij + (bij + cij)) ( usamos la asociatividad de R)

= aij + ((bij) + (cij))

= A+ (B + C)

Luego, (A + B) + C = A+ (B + C), y la importancia de la asociatividad estriba en que la operacioninicialmente definida para dos sumados se extiende naturalmente a un numero finito de sumandos.

� (0)(n×m) es el elemento neutro aditivo en MR (n×m), porque si

Suponemos que A = (aij) ∈MR (n×m)) entonces

A+ (0)(n×m) = (aij) + (0)= (aij + 0)= (aij) ( usamos la propiedad del neutro aditivo de R)= A

Luego, A+ (0)(n×m) = A = (0)(n×m +A (∀A;A ∈MR(n×m))

� Si A = (aij) ∈MR (n×m) entonces −A = (−aij) es el inverso aditivo de A, ya que

Si A = (aij) ∈MR (n×m) entonces

A+−A = (aij) + (−aij)= (aij − aij)= (0)(n×m) ( usamos la propiedead del inverso aditivo de R)

En particular, A−B := A+ (−B) en MR (n×m)


� Si A = (aij) ∈MR (n×m), y B = (bij) ∈MR (n ×m) entonces A+B = B +A, pues

A+B = (aij) + (bij)= (aij + bij)= (bij + aij) ( usamos la conmutatividad de R)= (bij) + (aij)= B +A

2.5. Ejercicios Resueltos.

(1) Determine la matriz A = (aij) ∈MR (1000); tal que

aij =

{i : i ≤ j0 : i > j

(79)

(80)

Ademas calcule la ”traza,”(en sımbolos tr) de la matriz A donde:

tr(A) =1000∑

i=1

aii (81)

Solucion

(i) De la definicion hecha en (79) tenemos que, por ejemplo:

a23 = 2 pues la ”fila 2 es menor que la columna 3”

a32 = 0 pues la ”fila 3 es mayor que la columna 2”

Despues de lo anterior tenemos que:

a11 a12 a13 . . . a11000

a21 a22 a23 . . . a21000

a31 a32 a33 . . . a31000...

......

. . ....

a10001 a10002 a10003 . . . a10001000

=

1 1 1 . . . 10 2 2 . . . 20 0 3 . . . 3...

......

. . ....

0 0 0 . . . 1000

(ii) Finalmente,

tr(A) =

1000∑

i=1

aii

=1000∑

i=1

i

=1000 · 1001

2

= 500500


(2) En el conjunto de matrices MR (2), considera el siguiente subconjunto:

S = {A ∈MR (2) | A = At} (82)

Donde At, es la matriz traspuesta de la matriz A. En sımbolos.

Si A =

(a11 a12

a21 a22

)entonces At =

(a11 a21

a12 a22

)(83)

Ası por ejemplo:

(1 33 5

)∈ S ∧

(0 −1−1 4

)∈ S

En general para entender al conjunto S, debemos ingresar al conjunto:

A ∈ S ⇐⇒ A ∈MR (2) ∧A = At

⇐⇒ A =

(a11 a12

a21 a22

)∧(a11 a12

a21 a22

)=

(a11 a12

a21 a22

)t

⇐⇒ A =

(a11 a12

a21 a22

)∧(a11 a12

a21 a22

)=

(a11 a21

a12 a22

)

⇐⇒ A =

(a11 a12

a21 a22

)∧

a11 = a11

a12 = a21

a21 = a12

a22 = a22

⇐⇒ A =

(a11 a12

a21 a22

)∧ a12 = a21

⇐⇒ A =

(a11 a12

a12 a22

)

Ahora si A = (aij) ∈ S y B = (bij) ∈ S entonces A+B = (aij + bij) ∈MR (2).

Por otra parte,

(A+B)t = (aij + bij)t = (aji + bji) = At +Bt = A+B

Conclusion A+B ∈ S

Ademas, (0) =

(0 00 0

)∈ S y si A =

(a11 a12

a12 a22

)∈ S entonces −A =

(−a11 −a12

−a12 −a22

)∈ S.

Ası que (S,+) es un grupo abeliano

Observen que si A ∈ S entonces

A =

(a11 00 0

)

︸︷︷︸∈S

+

(0 a12

a12 0

)

︸︷︷︸∈S

+

(0 00 a22

)

︸︷︷︸∈S



(1) Sea A = (aij) ∈MR (100). Determine la matriz A correspondiente en cada caso:

• aij =

{1 : i ≤ j0 : en otro caso

• aij =

{j : i ≤ j1 : en otro caso

• aij =

{i+ j : i ≥ ji− j : en otro caso

• aij =

{i2 − j2 : i ≤ j0 : en otro caso

(2) Calcule Tr(A) (traza de A) en el ejercicio anterior.

(3) Demuestre en MR (3) que:

• (At)t = A

• (A+B)t = At +Bt

• A = At ⇐⇒ (aij) = (aji)

(4) En MR (3) determine los conjuntos

• SA = {A ∈MR (3) | A = At} matrices simetrica de orden 3.

• ASA = {A ∈MR (3) | A = −At} matrices antisimetrica de orden 3.

(5) Demuestre que:

• A ∈MR (3) =⇒ A+At ∈ SA

• A ∈MR (3) =⇒ A−At ∈ ASA

(6) Demuestre que MR (3) = SA ⊕ASA. Es decir que se satisfacen simultaneamente las propiedades1

• MR (3) = SA +ASA

• SA ∩ASA = {0MR (3)}

(7) Complete las siguientes sentencias:

• Sea A =

(2 x2

2x− 1 0

). Si A = At entonces x =

• Si A es simetrica entonces A−At =

1En este caso se dice que MR (3) es suma directa de los conjuntos SA y ASA


• Si A es una matriz triangular superior entonces At es

• Si A es una matriz diagonal entonces At =

(8) Define una nueva operacion en MR (2) como sigue:

λ

(a bc d

)=

(λa λbλc λd

)(λ ∈ R)

Consideremos el siguiente conjunto:

G =

⟨{(1 00 0

),

(1 11 1

)}⟩=

{λ1

(1 00 0

)+ λ2

(1 11 1

)| λi ∈ R(i = 1, 2)

}

• Muestre que

(1 00 0

)∈ G y

(1 11 1

)∈ G

• Demuestre que (G,+) es un grupo

• Si G′ =

⟨{(2 11 1

),

(0 −1−1 −1

)}⟩. Demuestre que G = G′

3. Grupo de polinomios

Definicion 3.1. Un polinomio p(x) con coeficientes en R en la ”indeterminada x”, es una suma formalinfinita de la forma:

∞∑

i=0

aixi = a0 + a1x+ a2x

2 + · · · + anxn + · · ·

donde los coeficientes ai ∈ R son nulos, salvo para un numero finito de valores de i.

Ejemplo 3.1.1. (1) p(x) = 2 + 3x+ 0x2 − 5x3 + 0x4 + 0x5 + · · · = 2 + 3x− 5x3

(2) q(x) = 0 + x+ 0x2 + 0x3 + 0x4 + x5 + · · · = x+ x5

(3) h(x) = 0 + 0x+ 0x2 + · · · = 0

(4) En general, notaremos un polinomio de la forma,

p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n (n ∈ N ∪ {0})Definicion 3.1.2. El conjunto de polinomios sera notado como:

R[x] =

{n∑

i=0

aixi | (ai ∈ R), (n ∈ N ∪ {0})

}(84)

Observacion 3.1.3. Sea p(x) ∈ R[x] entonces tenemos dos casos posibles:

� Existe al menos un i tal que ai 6= 0 en tal caso p(x) 6= 0, y el mayor de los i no nulos es llamado elgrado del polinomio y lo notamos ∂p(x)

3. GRUPO DE POLINOMIOS 157

� Caso contrario todos los ai son cero, en este caso decimos que p(x) es el polinomio nulo y lo notamosp(x) = 0 y decimos que su grado no existe.

Ejemplo 3.1.4.

(1) p(x) = 2 + 3x− 5x3 =⇒ ∂p(x) = 3

(2) q(x) = x+ x5 =⇒ ∂p(x) = 5

(3) En general,

p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n ∧ an 6= 0 =⇒ ∂p(x) = n

3.2. Adicion de polinomios.

(1) Igualdad de polinomios

Sean p(x) =n∑

i=0

aixi y q(x) =

m∑

i=0

bixi dos polinomios entonces

p(x) = q(x)⇐⇒ n = m ∧ ai = bi (∀i; i = 1, 2, . . . , n)

(2) Adicion de polinomios

Sean p(x) =

n∑

i=0

aixi y q(x) =

m∑

i=0

bixi en R[x] entonces definimos la operacion binaria.

+ : R[x]× R[x] 7−→ R[x](p(x), q(x)) 7−→ p(x) + q(x)

Tal que

p(x) + q(x) =n∑

i=0

(ai + bi)xi (85)

Ejemplo 3.2.1.

(1) Si p(x) = 1 + 2x− 3x5 y q(x) = −4 + 3x+ 4x2 + 7x5 + 2x7 entonces

p(x) + q(x) = −3 + 5x+ 4x2 + 4x5 + 2x7

(2) Si p(x) = 3− x3 y q(x) = x3 entonces p(x) + q(x) = 3

Observacion 3.2.2. En general por la forma de sumar dos polinomios tenemos en los ejemplos que:

∂(p(x) + q(x)) ≤ max{∂p(x), ∂q(x)}Teorema 3.3. (R[x],+) es un grupo abeliano.

Demostracion


� Ya vimos que ”+” es una operacion en R[x]

� Si p(x), q(x) y r(x) son elementos de R[x] entonces

[p(x) + q(x)] + r(x) = p(x) + [q(x) + r(x)]

Si p(x) =

n∑

i=0

aixi, q(x) =

n∑

i=0

bixi y r(x) =

n∑

i=0

cixi entonces

[p(x) + q(x)] + r(x) =

[n∑

i=0

aixi +

n∑

i=0

bixi

]+

n∑

i=0

cixi =

n∑

i=0

[ai + bi]xi +

n∑

i=0

cixi

=n∑

i=0

([ai + bi] + c− i)xi =n∑

i=0

(ai + [bi + ci])xi

=n∑

i=0

aixi +

n∑

i=0

[bi + ci]xi =

n∑

i=0

aixi +

[n∑

i=0

bixi +

n∑

i=0

cixi

]

= p(x) + [q(x) + r(x)]

Luego ”+” es asociativa en R[x]

� eR[x] = 0 es el neutro en R[x], respecto de ”+”, pues

p(x) + 0 = p(x) ∧ 0 + p(x) = p(x) (∀p(x); p(x) ∈ R[x])

� Si p(x) =

n∑

i=0

aixi entonces [p(x)]−1 =

n∑

i=0

−aixi = −p(x), es el inverso de p(x) en R[x], respecto de

”+”, pues

p(x) + [p(x)]−1 =

n∑

i=0

aixi +

n∑

i=0

−aixi =

n∑

i=0

[ai − ai]xi =

n∑

i=0

0xi = 0 = eR[x]

� Si p(x) =

n∑

i=0

aixi y q(x) =

n∑

i=0

bixi entonces

p(x) + q(x) =

n∑

i=0

aixi +

n∑

i=0

bixi =

n∑

i=0

(ai + bi)xi =

n∑

i=0

(bi + ai)xi =

n∑

i=0

bixi +

n∑

i=0

aixi = q(x) + p(x)

Corolario 3.4. Si definimos Rn[x] = {p(x) ∈ R[x] | ∂p(x) ≤ n} ∪ {0Rn[x]} entonces (Rn[x],+) es un grupoabeliano (∀n; n ∈ N). Observe que Rn[x] es el conjunto de todos los polinomios hasta grado n unidos con elpolinomio nulo.

4. Un ejemplo de grupo no conmutativo

Consideremos un conjunto A, para fijar ideas, con tres elementos, quizas los vertices de un triangulo, o trespersonas distintas sentadas en una mesa o mejor;

A = {1, 2, 3}Define a partir del conjunto A el nuevo conjunto:

S3(A) = {ϕ : A 7−→ A | ϕ es una funcion biyectiva}

4. UN EJEMPLO DE GRUPO NO CONMUTATIVO 159

� En primer lugar, determinemos ¿ Quien es S3(A) ?

Sabemos que ϕ ∈ S3(A) ⇐⇒ ϕ inyectiva y sobreyectiva. Ası que para cada uno de los elementos deS3(A) podemos adoptar la siguiente notacion:

ϕ0 :

(1 2 31 2 3

)inyectiva sin duda

ϕ1 :

(1 2 31 3 2

)inyectiva sin duda

ϕ2 :

(1 2 33 2 1

)inyectiva sin duda

ϕ3 :

(1 2 32 1 3

)inyectiva sin duda

ϕ4 :

(1 2 33 1 2

)inyectiva sin duda

ϕ5 :

(1 2 32 3 1

)inyectiva sin duda

Son las unicas!!!. Ası que

S3(A) = {1S3(A), ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ4, ϕ5}

� Si definimos en S3(A), la operacion binaria composicion de funciones:

◦ : S3(A) 7−→ S3(A)(ϕi, ϕj) 7−→ (ϕi ◦ ϕj)

entonces (S3(A), ◦) es un grupo no abeliano.

Para verificar esto, seguiremos la siguiente rutina:

• Aprendiendo a operar:

(ϕ2 ◦ ϕ3) :

(1 2 33 2 1

)◦(

1 2 32 1 3

)=

(1 2 32 3 1

)= ϕ5

Trabaja por definicion, es decir lee ası:

En ϕ3 el ”1 va al 2” y en ϕ2 ”2 va al 2”, luego, ”1 va al 2”.



• De acuerdo a esta forma de operar, tenemos que en general:

ϕ0 ◦ ϕi = ϕi ∧ ϕi ◦ ϕ0 = ϕi (i = 1, 2, 3, 4, 5)


Luego, ϕ0 = 1S3(A) es el neutro en S3(A)

• Buscando los inversos:

(ϕ1)−1 = ϕ1

(ϕ2)−1 = ϕ2

(ϕ3)−1 = ϕ3

(ϕ4)−1 = ϕ5

(ϕ5)−1 = ϕ4

• ϕ3 ◦ ϕ2 = ϕ4 6= ϕ2 ◦ ϕ3 = ϕ5

Luego, (S3(A), ◦), es un grupo no conmutativo (o no abeliano).

5. Homomorfismos de grupos

Consideremos para fijar ideas los conjuntos: MR(1×2), R1[x] y R2 (en esta direccion no aporta mayor infor-macion el hecho de tomar ”n” elementos en vez de 2) entonces podemos hacer las siguientes observacionesy preguntas:

(1) (MR(1 × 2),+), (R1[x],+) y (R2,+) son grupos abelianos, cada uno con su operacion binaria corres-pondiente.

(2) ¿ Es diferente sustantivamente el arreglo de dos datos en forma de; columna o de fila o de par ordenado ?

En esta direccion tenemos lo siguiente:

• Podemos colocar entre estos conjuntos biyecciones naturales, a saber:

MR(1× 2)ϕ7−→ R1[x](

a11 a12

)7−→ a11 + a12x

(86)

R1[x]ϕ−1

7−→ MR(1× 2)a11 + a12x 7−→

(a11 a12

) (87)

R1[x]φ7−→ R2

a0 + a1x 7−→ (a0, a1)(88)

R2 φ−1

7−→ R1[x](a, b) 7−→ a+ bx

(89)

MR(1× 2)ψ7−→ R2

(a11 a12

)7−→ (a11, a12)

(90)

R2 ψ−1

7−→ MR(1× 2)(a11, a12) 7−→

(a11 a12

) (91)

5. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 161

• Por ejemplo, la funcion ϕ satisface la siguiente propiedad:

Si A =(a11 a12

)y B =

(b11 b12

)entonces

ϕ(A +B) = ϕ[(a11 a12

)+(b11 b12

)]

= ϕ(a11 + b11 a12 + b12

)

= a11 + b11 + (a12 + b12)x= a11 + a11x+ b11 + b12x= ϕ(A) + ϕ(B)

Observen que A+B representa la suma de matrices fila de orden (1×2) y ϕ(A)+ϕ(B), representala suma de polinomios hasta de grado 1.

Se puede comprobar directamente que las otras funciones satisfacen una propiedad similar en sucontexto, ası que vamos a archivar esta propiedad en una definicion.

Definicion 5.1. Sean (G, ∗) y (G′, ⋆) dos grupos y h : G 7−→ G′ una funcion. Diremos que h es unhomomorfismo de grupos si satisface la siguiente propiedad.

h(u ∗ v) = h(u) ⋆ h(v) (∀u;u ∈ G), (∀v; v ∈ G)

Ejemplo 5.1.1. Si definimos h : R2 7−→ R2 tal que h(x, y) = (x+ 2y, 3x − y) entonces h es un homomor-fismo de grupos

En efecto, si u ∈ R2 y v ∈ R2, debemos mostrar que h(u+ v) = h(u) + h(v). En consecuencia:

u ∈ R2 ⇐⇒ u = (x1, y1)v ∈ R2 ⇐⇒ u = (x2, y2)

}=⇒ u+ v = (x1 + x2, y1 + y2)

Luego,

h(u+ v) = h(x1 + x2, y1 + y2)= (x1 + x2 + 2(y1 + y2), 3(x1 + x2)− (y1 + y2))= (x1 + x2 + 2y1 + 2y2, 3x1 + 3x2)− y1 − y2)= (x1 + 2y1, 3x1 − y1) + (x2 + 2y2, 3x2 − y2)= h(x1, y1) + h(x2, y2)= h(u) + h(v)

Ejemplo 5.1.2. Si h : MR (n) 7−→ R tal que para A = (aij) ∈ MR (n), h(A) =

n∑

i=1

aii entonces h es un

homomorfismo de grupos.

En efecto, si A = (aij) ∈MR (n) y B = (bij) ∈MR (n) entonces

h(A+B) = h(aij + bij)

=n∑

i=1

(aii + bii)

=

n∑

i=1

aii +

n∑

i=1

bii

= h(A) + h(B)


Ejemplo 5.1.3. Si h : R2[x] 7−→ R2[x] tal que h(a0 + a1x + a2x2) = a1 − a2x + a0x

2 entonces h es unhomomorfismo de grupos

En efecto, si p(x) = a0 + a1x+ a2x2 ∈ R2[x] y q(x) = b0 + b1x+ b2x

2 ∈ R2[x] entonces

h(p(x) + q(x)) = h(a0 + a1x+ a2x2 + b0 + b1x+ b2x

2)= h(a0 + b0 + (a1 + b1)x+ (a2 + b2)x

2)= (a1 + b1)− (a2 + b2)x+ (a0 + b0)x

2

= a1 + b1 − a2x− b2x+ a0x2 + b0x

2

= a1 − a2x+ a0x2 + b1 − b2x+ b0x

2

= h(p(x)) + h(q(x))

Ejemplo 5.1.4. Las funciones definidas en (86), (87), (88), (89), (90), (91), son homomorfismos de grupo

Definicion 5.2. Si (G, ∗) y (G′, ⋆) son dos grupos entonces notaremos

Hom(G,G′) = {h : G 7−→ G′ | h homomorfismo} (92)

Lema 5.2.1. Si (G, ∗) y (G′, ⋆) son dos grupos, y h ∈ Hom(G,G′) entonces

(1) h(eG) = eG′

Observamos en primer lugar que

h(eG) = h(eG ∗ eG) ( propiedad del neutro)

= h(eG) ⋆ h(eG) (h ∈ Hom(G,G′))

Y luego,

(h(eG) ⋆ (h(eG))−1 = h(eG)) =⇒ h(eG) = eG′

(2) (h(g))−1 = h(g−1)Para verificar esta propiedad podemos proceder como sigue

eG′ = h(eG)

= h(g ∗ g−1)

= h(g) ⋆ h(g−1)

Ası que.

(eG′ = h(g) ⋆ h(g−1)) =⇒ (h(g))−1 = h(g−1)

Definicion 5.3. Si (G, ∗) y (G′, ⋆) son dos grupos, y h ∈ Hom(G,G′) entonces

(1) ker(h) = {g ∈ G | h(g) = eG′} se llama el nucleo del homomorfismo h.

(2) Img(h) = {h(g) ∈ G′ | g ∈ G} se llama la imagen del homomorfismo h.

Teorema 5.4. Si (G, ∗) y (G′, ⋆) son dos grupos, y h ∈ Hom(G,G′) entonces

h inyectivo ⇐⇒ ker(h) = {eG}Demostracion

5. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 163

� Si suponemos que h es inyectiva entonces para g ∈ Gg ∈ ker(h) ⇐⇒ h(g) = eG′ (definicion de kernel)

=⇒ h(g) = h(eG) (h(eG) = eG′)=⇒ g = eG (h inyectiva)=⇒ ker(h) ⊂ {eG}=⇒ ker(h) = {eG} (Pues, eG ∈ ker(h))

� Recıprocamente, si suponemos que ker(h) = {eG} entonces

h(g1) = h(g2) =⇒ h(g1) ⋆ (h(g2))−1 = eG′

=⇒ h(g1) ⋆ h((g2)−1) = eG′

=⇒ h(g1 ∗ (g2)−1) = eG′

=⇒ g1 ∗ (g2)−1 ∈ ker(h)

=⇒ g1 ∗ (g2)−1 = eG′

=⇒ g1 = g2

Ejemplo 5.4.1. Sea h : R3 7−→ R2[x] tal que h(a, b, c) = a+ bx+ cx2 entonces

• h es un homomorfismo de grupos, pues

Si u = (a1, b1, c1) ∈ R3 y v = (a2, b2, c2) ∈ R3 entonces

h(u+ v) = h(a1 + a2, b1 + b2, c1 + c2)= a1 + a2 + (b1 + b2)x+ (c1 + c2)x

2

= (a1 + b1x+ c1x2) + (a2 + b2x+ c2x

2)= h(a1, b1, c1) + h(a2, b2, c2)= h(u) + h(v)

• h es inyectivo, de acuerdo al teorema (5.4) si ker(h) = {(0, 0, 0)}, ası que

u ∈ ker(h) ⇐⇒ u = (a, b, c) ∈ R3 ∧ h(u) = eR2[x]

⇐⇒ u = (a, b, c) ∈ R3 ∧ h(a, b, c) = 0 + 0x+ 0x2

⇐⇒ u = (a, b, c) ∈ R3 ∧ a+ bx+ cx2 = 0 + 0x+ 0x2

⇐⇒ u = (a, b, c) ∈ R3 ∧ (a = 0 ∧ b = 0 ∧ c = 0)⇐⇒ u = (0, 0, 0) ∈ R3

Luego, h es inyectivo

Ejemplo 5.4.2. Si T : R3 7−→ R3, tal que T (x, y, z) = (x + 2y + z, x − y − z, z) entonces T es un homo-morfismo de grupos.

Para ello debemos verificar que T (u+ v) = T (u) + T (v) para cada u y v en R3

Por tanto, si u = (u1, u2, u3) ∈ R3 y v = (v1, v2, v3) ∈ R3 entonces u+ v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3), y

T (u+ v) = T ((u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3))= ((u1 + v1) + 2(u2 + v2) + (u3 + v3), (u1 + v1)− (u2 + v2)− (u3 + v3), (u3 + v3))= (u1 + v1 + 2u2 + 2v2 + u3 + v3, u1 + v1 − u2 − v2 − u3 − v3, u3 + v3)= (u1 + 2u2 + u3, u1 − u2 − u3, u3) + (v1 + 2v2 + v3, v1 − v2 − v3, v3)= T (u1, u2, u3) + T (v1, v2v3)= T (u) + T (v)


Ası que, T es un homomorfismo de grupos.

Ahora, calculemos el ”Nucleo de (T )” o kernel de T o ker(T ), para concluir acerca de su inyectividad.

u ∈ ker(T ) ⇐⇒ u ∈ R3 ∧ T (u) = 0R3

⇐⇒ u = (u1, u2, u3) ∧ T ((u1, u2, u3)) = (0, 0, 0)⇐⇒ u = (u1, u2, u3) ∧ (u1 + 2u2 + u3, u1 − u2 − u3, u3) = (0, 0, 0)

⇐⇒ u = (u1, u2, u3) ∧u1 + 2u2 + u3 = 0u1 − u2 − u3 = 0

u3 = 0

⇐⇒ u = (u1, u2, u3) ∧[u3 = 0 ∧ u1 + 2u2 = 0

u1 − u2 = 0

]

⇐⇒ u = (u1, u2, u3) ∧ u3 = u1 = u2 = 0

⇐⇒ u = (0, 0, 0)

Luego, ker(T ) = {(0, 0, 0)}, y T es un homomorfismo inyectivo.

Finalmente determinemos la imagen de T , para concluir acerca de la sobreyectividad.

v ∈ Img(T ) ⇐⇒ v ∈ R3 ∧ (∃u;u ∈ R3) : T (u) = v⇐⇒ v = (v1, v2, v3) ∧ T (u1, u2, u3) = (v1, v2, v3)

⇐⇒ v = (v1, v2, v3) ∧u1 + 2u2 + u3 = v1u1 − u2 − u3 = v2

u3 = v3

⇐⇒ v = (v1, v2, v3) ∧[u3 = v3 ∧

u1 + 2u2 = v1 − v3u1 − u2 = v2 + v3

]

⇐⇒ v = (v1, v2, v3) ∧[u3 = v3 ∧ 3u2 = v1 − v2 − 2v3

]

⇐⇒ v = (v1, v2, v3) ∧

u3 = v3 ∧

u2 =v1 − v2 − 2v3

3

u1 =v3 + 2v2 + v1

3

Luego, tenemos que existe u =

(v3 − 2v2 + v1

3,v1 − v2 − 2v3

3, v3

), tal que

T

(v3 + 2v2 + v1

3,v1 − v2 − 2v3

3, v3

)= (v1, v2, v3) (93)

Ası concluimos que T es sobreyectiva, pues Img(T ) = R3

En particular, si definimos la funcion H : R3 7−→ R3 tal que

H(v1, v2, v3) =

(v3 + 2v2 + v1

3,v1 − v2 − 2v3

3, v3

)(94)

entonces de (93) y (94), sigue que:

6. ISOMORFISMOS DE GRUPOS 165

(T ◦H)(v1, v2, v3) = T

(v3 + 2v2 + v1

3,v1 − v2 − 2v3

3, v3

)

=

(v3 + 2v2 + v1

3+ 2

v1 − v2 − 2v33

+ v3,v3 + 2v2 + v1

3− v1 − v2 − 2v3

3− v3, v3

)

= (v1, v2, v3)

Analogamente,

(H ◦ T )(u1, u2, u3) = (u1, u2, u3). Es decir, T posee inversa y H, la es. Es decir H = T−1

6. Isomorfismos de Grupos

Definicion 6.1. Sea h ∈ Hom(G,G′) entonces h se llama un isomorfismo de grupos si h es biyectiva, esdecir h es inyectiva y sobreyectiva. En tal caso diremos que G y G′ son isomorfos y notaremos G ∼= G′

Al conjunto de isomorfismos entre los grupos G y G′, lo notaremos como:

Iso(G;G′) = {h ∈ Hom(G,G′) | h isomorfismo }, y Aut(G) = Iso(G;G), sera el conjunto de automorfismode G.

6.2. Isomorfismos Canonicos. Para cada n ∈ N, tenemos los isomorfismos canonicos.

(1) Rn ∼= MR (1× n)

Basta definir el homomorfismo canonico:

h : Rn 7−→MR (1× n) : h(x1, x2, . . . , xn) =(x1 x2 · · · xn

)

Y su homomorfismo inverso

h−1 : MR (1× n) 7−→ Rn : h−1(x1 x2 · · · xn

)= (x1, x2, . . . , xn)

(2) Rn+1 ∼= Rn[x]

Basta definir el homomorfismo canonico:

h : Rn+1 7−→ Rn[x] : h(a0, a1, . . . , an) = a0 + a1x+ · · · + anxn

Y su homomorfismo inverso

h−1 : Rn[x] 7−→ Rn+1 : h−1(a0 + a1x+ · · ·+ anxn) = (a0, a1, . . . , an)

(3) En suma, como grupos tenemos que (∀n;n ∈ N):

Rn ∼= MR (1× n) ∼= Rn−1[x] (95)


6.3. Isomorfismos Elementales de Matrices. Llamaremos operaciones elementales de matrices a lasfunciones.

(1) Permutacion de filas:

(Lr ←→ Ls) : MR(n×m) 7−→ MR(n×m)A 7−→ (Lr ←→ Ls)(A)

(96)

Donde (Lr ←→ Ls)(A) es igual que A salvo que tiene permutada la fila r con la fila s

(2) Ponderacion de una fila por una constante no nula.

(Lr −→ αLr) : MR(n×m) 7−→ MR(n×m)A 7−→ (Lr ←→ αLr)(A)

(97)

Donde (Lr −→ Ls)(A) es igual que A salvo que tiene multiplicada la fila r por la constante no nula α

(3) Adicion de un multiplo de una fila a otra fila.

(Lr ←→ Lr + αLs) : MR(n×m) 7−→ MR(n×m)A 7−→ (Lr ←→ Lr + αLs)(A)

(98)

Donde (Lr ←→ Lr + αLs)(A) es igual que A, salvo que tiene la fila r sustituida por la fila r mas α veces lafila s, con α 6= 0

Ejemplo 6.3.1. Si consideramos la matriz

A =

2 4 −8 63 −5 4 129 2 7 1

entonces como la ”composicion de funciones” es una funcion podemos hacer lo siguiente:

2 4 −8 63 −5 4 129 2 7 1

(L1 −→ 1

2L1)

1 2 −4 33 −5 4 129 2 7 1

(L2 −→ L2 − 3L1)

1 2 −4 30 −11 16 39 2 7 1

(L2 −→ L3 − 9L1)

1 2 −4 30 −11 16 30 −16 43 −26

Teorema 6.3.2. Las operaciones elementales de matrices definidas en (96), (97) y (98) son isomorfismosde grupos.

En efecto

Que son homomorfismos, es inmediato, y su biyectividad sigue de los siguientes hechos

• Ls ←→ Lr es inversa de Lr ←→ Ls.

• Li −→1

αLi es inversa de Li −→ αLi

• Li −→ Li +1

αLj es inversa de Li −→ Li + αLj

7. EJERCICIOS PROPUESTOS DE HOMOMORFISMOS 167

7. Ejercicios Propuestos de Homomorfismos

(1) Sea T : R3 7−→ R2 tal que T (x, y, z) = (x− y, z)• Demuestre que T es un homomorfismo de grupos.• Demuestre que T es sobreyectivo.• Grafique ker(T )

(2) Sea T : R3 7−→ R3 tal que T (x, y, z) = (x− y, x− z, y − x)• Demuestre que T es un homomorfismo de grupos.• Demuestre que T no es un Isomorfismo.• Grafique ker(T )

(3) Sea T : R3 7−→ R3 tal que T (x, y, z) = (x− y, x− z, y)• Demuestre que T es un homomorfismo de grupos.• Demuestre que T es un Isomorfismo.• Determine T−1

(4) Sea T : R3 7−→ R3 tal que T (x, y, z) = (x− y, x− z, y)• Demuestre que T ◦ T es un Isomorfismo.• Determine (T ◦ T )−1

(5) Sea T : MR (3) 7−→ R tal que T (aij) =

3∑

i=1

aii

• Demuestre que T es un homomorfismo de grupos.• demuestre que T es sobreyectivo.• Determine ker(T )

(6) Sea h : MR(2) 7−→ R2 tal que h

(a bc d

)= (a+ d, b− c).

• Muestre que h es un homomorfismo de grupos• Determine el ker(h)• Muestre que h es sobreyectivo


(a bc d

)= (a− b, b, c − b, d− a)

• Demuestre que h es un isomorfismo de grupos• Determine h−1


(a bc d

)= (a− b, b− a, c− b, d− a)

• Demuestre que h no es un isomorfismo de grupos• Determine ker(h)

(9) Sea T : MR (3) 7−→ MR (3) tal que T (aij) = (aji)• Demuestre que T es un homomorfismo de grupos.• demuestre que T es un isomorfismo.

(10) Sea h : MR(2) 7−→MR(2) tal que h

(a bc d

)=

(a− b bc− b d− a

)

• Demuestre que h es un isomorfismo de grupos


• Determine h−1

(11) Sea h : MR(2) 7−→MR(2) tal que h

(a bc d

)=

(a− b a− bc− b d− a

)

• Demuestre que h no es un isomorfismo de grupos• Determine Img(h)

(12) Si (G, ∗) un grupo y T : G 7−→ G una funcion tal que• T es un homomorfismo de grupos• T 6= (0) y T 6= IG• T ◦ T = T

entonces demuestre que T no es inyectiva.(13) Sea T : R2[x] 7−→ R3 tal que T (a0 + a1x+ a2x

2) = (a0 + a1, a0 − a1, a1)

• Demuestre que T es un homomorfismo de grupos• Determine ker(T )• Grafique Img(T )

(14) Sea T : R2[x] 7−→ R2[x] tal que T (a0 + a1x+ a2x2) = a2 + a0x− a1x

2

• Demuestre que T es un homomorfismo de grupos• Demuestre que T es un isomorfismo• Determine T−1

(15) Sea T : R2[x] 7−→ R3[x] tal que T (a0 + a1x+ a2x2) = a0x+

a1

2x2 +

a2

3x3

• Demuestre que T es un homomorfismo de grupos• Determine Img(T )

(16) Exhiba un isomorfismo entre los grupos Rn[x] y Rn+1 y MR (1× (n+ 1))

(17) Sea T : R2[x] 7−→ R2[x] tal que T (a0 + a1x+ a2x2) = a2 − λa1x+ a0x

2. Determine el conjunto

I = {λ ∈ R | T es un isomorfismo de grupos}(18) Sea (G,+) un grupo abeliano y h : G 7−→ G un homomorfismo de grupos tal que

• h 6= 0 (no es el homomorfismo nulo)• h 6= 1G (no es el homomorfismo identidad)• h ◦ h = h

Demuestre que h no es un isomorfismo

8. Proyecto de Integracion: Relaciones de Equivalencia, Grupos y Homomorfismos

Consideremos a la luz de lo que hemos analizado hasta ahora, la idea desarrollada en el proyecto integrado(5). Recordemos que allı tenıamos los siguientes ingredientes:

� R3 = {(x, y, z) | x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R}, un grupo con la adicion ”+” (Ver ejemplo 1.2.1, (8))

� R2 = {(x, y) | x ∈ R, y ∈ R}, tambien un grupo con la adicion ”+”

8. PROYECTO DE INTEGRACION: RELACIONES DE EQUIVALENCIA, GRUPOS Y HOMOMORFISMOS 169

� f : R3 7−→ R2 tal que f(x, y, z) = (x+ y + z, x+ y − z), no es solo una funcion sino que tambien es unhomomorfismo de grupos, porque.

Si u = (x1, y1, z1) ∈ R3 y v = (x1, y1, z1) ∈ R3 entonces

f(u+ v) = f(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)

= (x1 + x2 + y1 + y2 + z1 + z2, x1 + x2 + y1 + y2 − (z1 + z2))

= (x1 + x2 + y1 + y2 + z1 + z2, x1 + x2 + y1 + y2 − z1 − z2)= (x1 + y1 + z1, x1 + y1 − z1) + (x2 + y2 + z2, x2 + y2 − z2)= f(x1, y1, z1) + f(x2, y2, z2)

= f(u) + f(v)

� Ademas, f−1(0, 0) = ker(f), pues.

u ∈ f−1(0, 0) ⇐⇒ u ∈ R3 ∧ f(u) = (0, 0) ⇐⇒ u ∈ ker(f)

Ası que, f−1(0, 0) = ker(f)

� ker(f) es un grupo con la adicion en R3, (Cuando un subconjunto de un grupo es ademas un grupocon las mismas operaciones del grupo ambiente, se lo llama un subgrupo), ya que.

• Si u ∈ ker(f) y v ∈ ker(f) entonces

u ∈ ker(f) ⇐⇒ u ∈ R3 ∧ f(u) = 0R2

v ∈ ker(f) ⇐⇒ v ∈ R3 ∧ f(v) = 0R2

}=⇒ f(u+ v) = f(u) + f(v) = 0R2

Ası que + es una operacion cerrada en el ker(f).

• Si u ∈ ker(f), v ∈ ker(f) y w ∈ ker(f) entonces

f [(u+ v) + w] = f(u+ v) + f(w) = f(u) + f(v) + f(w) = 0R2

f [u+ (v + w)] = f(u) + f(v + w) = f(u) + f(v) + f(w) = 0R2

Ası que,+ es asociativa en ker(f)

• 0R2 = 0ker(f), pues f(0, 0, 0) = (0, 0), ver Lema 5.2.1

• Del Lema 5.2.1 sigue tambien que, f(−u) = −f(u), ası que u ∈ ker(f) =⇒−u ∈ ker(f)

� Si en R3 = {u | u ∈ R3}, donde u = {v ∈ R3 | (u− v) ∈ ker(f)}, definimos la operacion +, como sigue:

u+ v = u+ v

entonces R3,+ es un grupo abeliano, donde ker(f) = eR3 = (0, 0, 0), (se los dejo como un ejercicio,

para familiarizarse aun mas, con el trabajo de clases de equivalencia).

� π : R3 7−→ R3 tal que π(u) = u es un homomorfismo sobreyectivo, porque.

π(u+ v) = u+ v = u+ v = π(u) + π(v)


Se lo llama usualmente homomorfismo proyeccion.

� Ademas, f : R3 7−→ R2 tal que f(u) = f(u) es un isomorfismo de grupos, y para verificarlo bastaprobar que f es un homomorfismo, pues ya verificamos que es biyectiva en el proyecto integrado (5)

• Que f es un homomorfismo sigue de que

f(u+ v) = f(u+ v) = f(u+ v) = f(u) + f(v) = f(u) + f(v)

• Sin embargo, para usar nuestras tecnicas, podemos mostrar que es inyectiva a traves del estudiodel nucleo o kernel de f .

u ∈ ker(f) ⇐⇒ u ∈ R3 ∧ f(u) = (0, 0)

⇐⇒ u ∈ R3 ∧ f(u) = (0, 0)

⇐⇒ u ∈ ker(f)

⇐⇒ u ∈ (0, 0, 0)

⇐⇒ u = (0, 0, 0)

Luego, ker(f = {(0, 0, 0)}) y f es inyectiva

� Finalmente, R3 ∼= R2. Se llama a R3 grupo cuociente y se lo denota en este caso por R3�ker(f)∼= R2


(1) Sea h : R2[x] 7−→ R1[x] tal que h(a0 + a1x+ a2x2) = a0 − a1 + a2x.

(a) Muestre que h es un homomorfismo sobreyectivo y no inyectivo

(b) Si definimos en R2[x] la relacion p(x)ℜq(x)⇐⇒ (p(x)−q(x)) ∈ h−1(0+0x) entonces demuestre que:


• (0 + 0x+ 0x2) = h−1(0 + 0x)

• Muestre que R2[x]�ker(h)∼= R1[x]

(2) Sean (G, ·) y (G′, ·) dos grupos y h : G 7−→ G′ un homomorfismo sobreyectivo

• Demuestre que G�ker(h)∼= G′

• Concluya que G ∼= G′ ⇐⇒ ker(h) = {0G}

UNIDAD 9

Preliminares acerca del Anillo de Matrices y Polinomios

Este capitulo estara destinado a presentar contenidos y actividades que permitiran al estudiante, determinarel grupo de unidades o de elementos invertibles del anillo de matrices, utilizando como herramienta centralel determinante de matrices.

1. Definiciones y Ejemplos de anillos en general

Definicion 1.1. Sea A un conjunto. Diremos que (A, ∗, ◦) posee la estructura de anillo si

(1) (A, ∗) es un grupo abeliano

(2) (A, ◦) es asociativo, es decir, (∀a; a ∈ A), (∀b; b ∈ A), (∀c; c ∈ A) tenemos que:

(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)(3) (A, ∗, ◦) es distributiva, es decir, (∀a; a ∈ A), (∀b; b ∈ A), (∀c; c ∈ A) tenemos que:

a ◦ (b ∗ c) = (a ◦ b) ∗ (a ◦ c) distributividad izquierda

(b ∗ c) ◦ a = (b ◦ a) ∗ (c ◦ a) distributividad derecha

Si ademas en (A, ◦) es conmutativo y existe neutro eA, respecto de la operacion ◦ es decir, (∀a; a ∈ A),(∀b; b ∈ A) tenemos que:

a ◦ b = b ◦ a ∧ a ◦ eA = eA ◦ a = a

Entonces (A, ∗, ◦) se llama un anillo conmutativo con identidad eA.

Ejemplo 1.1.1.

(1) (Z,+, ·), es un anillo conmutativo con identidad 1.

(2) (Q,+, ·), es un anillo conmutativo con identidad 1.

(3) (R,+, ·), es un anillo conmutativo con identidad 1.

(4) Si definimos el conjunto: 2Z = {2z | z ∈ Z} entonces (2Z,+, ·), es un anillo conmutativo sin identidad.

Definicion 1.2. Sea (A, ∗, ◦) un anillo con identidad eA entonces a ∈ A se dice una unidad o invertible enA si existe b ∈ A tal que a ◦ b = eA y b ◦ a = eA y llamamos unidades de A al conjunto:

U(A) = {a ∈ A | a es una unidad}

Ejemplo 1.2.1.

(1) En Z, U(Z) = {−1, 1}(2) En Q, U(Q) = Q− {0}(3) En R, U(R) = R− {0}

171

172 9. PRELIMINARES ACERCA DEL ANILLO DE MATRICES Y POLINOMIOS

2. Anillo de Matrices

Sabemos que (MR(n),+) es un grupo abeliano ası que, para hacer un anillo de las matrices debemos definirun producto asociativo y distributivo.

Definicion 2.1. Sean A = (aij) ∈MK(n×m) y B = (bij) ∈MK(m× s) y entonces definimos la operacionproducto de matrices como sigue:

· : MK(n×m) × MK(m× s) 7−→ MK(n× s)(A , B) 7−→ A ·B = C

Donde C = (cij), y

cij =m∑

k=1

aikbkj (99)

Ejemplo 2.1.1.

(1) Sea A =

(1 3 52 7 0

)y B =

1 3 0 42 7 −3 5−1 9 2 6

entonces A ·B =

(2 69 1 49

16 55 −21 43

)

(2) Supongamos que tenemos el sistema de ecuaciones lineales:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = b3a41x1 + a42x2 + a43x3 + a44x4 = b4a51x1 + a52x2 + a53x3 + a54x4 = b5

(⋆)

entonces (⋆) puede ser escrito en forma matricial como sigue:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = b3a41x1 + a42x2 + a43x3 + a44x4 = b4a51x1 + a52x2 + a53x3 + a54x4 = b5

⇐⇒

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

a51 a52 a53 a54

x1

x2

x3

x4

=

b1b2b3b4b5

(3) Supongamos que tenemos tres tiendas, digamos A, B, C, y cada una de ellas tiene en stock dos artıculos,art1 y art2, distribuidos como sigue, la tienda A posee 2 art1 y 4 art2; la tienda B posee 5 art1 y 7art2 y la tienda C posee 4 art1 y 3 art2 entonces podemos distribuir segun la matriz:

M(art× tiendas) =

A B C− − −

art1 | 2 5 4art2 | 4 7 3

entonces

•(

1 1)·M(art× tiendas) =

(6 12 7

)representa la cantidad total de artıculos por tienda.

• M(art× tiendas) ·

111

=

(1114

)representa la cantidad total de artıculos del tipo uno y dos

en stock

2. ANILLO DE MATRICES 173

Teorema 2.1.2. (MR(n),+, ·) es un anillo no conmutativo con identidad In, (∀n;n ∈ N)

Demostracion

� En primer lugar, sabemos del teorema (78) que (M,+) es un grupo abeliano

� Si A = (aij) ∈MK(n×m), B = (bij) ∈MK(m× s) y C = (cij) ∈MK(s× t) entonces

A · (B · C) = (A · B) · C

El resultado sigue de los siguientes hechos: Como

• B · C=(dij) donde dij =

s∑

k=1

bikckj , y

• A · (B · C) = (eij) donde eij =m∑

p=1

aipdpj

entonces

eij =m∑

k=1

aikdkj =m∑

k=1

aik

(s∑

r=1

bkrcrj

)=

s∑

r=1

(m∑

k=1

aikbkr

)crj = (A · B) · C

� Si A = (aij) ∈ MK(n ×m), B = (bij) ∈ MK(m× s) y C = (cij) ∈ MK(m× s) entonces A · (B + C) =A · B +A · C

Porque si hacemos, A · (B + C) = (aij)[(bij + cij ] = (dij), con dij =

m∑

k=1

aik[bkj + ckj] obtenemos que

dij =

m∑

k=1

aik[bkj + ckj ] =

m∑

k=1

[aik · bkj + aik · ckj] =

m∑

k=1

[aik · bkj] +m∑

k=1

[aik · ckj] = A · B +A · C

Es, decir tenemos que A · (B + C) = A · B + A · C. Procediendo en forma analoga podemos verificartambien que (B + C) · A = B ·A+ C · A

� Si A = (aij) e In = (bij) tal que bij =

{1 : si i = j

0 : si i 6= jentonces AIn = InA = A (∀A;A ∈MR(n))

Para verificar que In es el neutro multiplicativo debemos verificar que esta satisface la ecuacion AX = A.De hecho

Si A · In = (tij) entonces por definicion tij =

n∑

k=1

aikbkj = aijbjj. Ası que (tij) = A.

Analogamente, InA = (tij) entonces por definicion tij =n∑

k=1

bikakj = biiaij . Ası que (tij) = A

� Finalmente, si A =

(0 10 0

)y B =

(1 23 4

)tenemos que

A ·B =

(0 10 0

)·(

1 23 4

)=

(3 40 0

)


y

B ·A =

(1 23 4

)·(

0 10 0

)=

(0 10 3

)

Ası que, A · B 6= B · A.

3. Ejercicios Propuestos de Producto de Matrices

(1) Verdadero o Falso

• (−A)t = −(At)

• (A+B)t = At +Bt

• A · B = (0) =⇒ A = (0) ∨B = (0)

• (k1A)(k2B) = (k1k2)AB

• (−A)(−B) = −(AB)

• Se A y B son simetricas entonces AB = BA

• Si podemos multiplicar A · A entonces A es cuadrada

(2) Sea A =

(3 −2−4 3

)entonces determine el conjunto:

S = {B ∈MR(2) | B2 = A}

(3) Demuestre que (A · B)t = Bt ·At ( siempre que el producto tenga sentido )

(4) Sea A = (aij) ∈ MR(3) tal que aij =

{i+ j si i = j

2i− j si i 6= jy B = (bij) ∈ MR(3)) tal que bij = j − i + 1.

Determine el conjunto

S = {X ∈MR(3) | AX = At − 2B}

(5) Si A =

1 1 10 1 10 0 1

∈MR(3). Determine An, para n ∈ N.

(6) Demuestre usando Induccion matematica que

a 1 00 a 10 0 a

n

=

an nan−1 n(n−1)2 an−2

0 an nan−1

0 0 an

(∀n;n ∈ N)

3. EJERCICIOS PROPUESTOS DE PRODUCTO DE MATRICES 175

(7) Sea A ∈MR(n). demuestre que

A = At =⇒ Adj(A) = (Adj(A))t

(8) Un constructor tiene contrato para construir tres (3) estilos de casa: moderno, mediterraneo y colonial.La cantidad de material empleada en cada tipo de casa es dada por la matriz:

Fierro Madera Vidrio Pintura LadrilloModerno 5 20 16 7 17Mediterraneo 7 18 12 9 21Colonial 6 25 8 5 13

• Si el va a construir 5,7 y 12 casas de los tipos moderno, mediterraneo y colonial respectivamente,¿cuantas unidades de cada material seran empleadas?.

• Suponga ahora que los precios por unidad de fierro, madera, vidrio, pintura, ladrillo sean 15,8,5,1y 10 unidades monetarias, respectivamente. ¿ Cual es el precio unitario de cada tipo de casa ?.

• ¿ Cual es le costo total del material empleado ?

(9) Consideremos la matriz:

0 1 1 1 11 0 1 1 00 1 0 1 00 0 1 0 10 0 0 1 0

(⋆)

Una red de comunicacion tiene cinco locales con transmisores de potencias distintas. Estableceremospara la matriz (⋆) las siguientes condiciones:

(i) aij = 1 significa que la estacion i transmite directamente a la estacion j.

(ii) aij = 0 significa que la estacion i no alcanza a la estacion j. Observe que aii = 0 significa que unaestacion no transmite directamente para si misma.

• ¿ Cual sera el significado de la matriz A2 = A ·A. Observe que si A2 = (cij) entonces

c42 =

5∑

k=1

a4kak2 = 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 1

Ademas el unico valor no nulo 1 proviene del producto a43 · a32 = 1. Esto significa que la estacion4 transmite para la estacion 2 a traves de una retransmision por la estacion 3, aunque no existauna transmision directa de 4 a 2.

• Calcule A2

• ¿ Cual es el significado de c13 = 2 ?• Discuta el significado de los terminos no nulos, iguales a 1 y mayores que 1 de modo que pueda

justificar la afirmacion:”La matriz A2 representa el numero de caminos disponibles para ir de una estacion a otra con unaunica retransmision”.• ¿ Cual es el significado de las matrices A+A2, A3 y A+A2 +A3


• Si A fuese simetrica ¿ que significarıa ?

4. Unidades en el anillo MR(n)

4.1. Introduccion. Consideremos el sistema de ecuaciones

a11x + a12y = b1a21x + a22y = b2

Resolver el sistema significa encontrar el valor de x e y de tal forma que se satisfagan ambas ecuacionessimultaneamente.

El sistema se puede reescribir matricialmente como.

(a11 a12

a21 a22

)(xy

)=

(b1b2

)

entonces resolver el sistema significa determinar la matriz X =

(xy

)

Equivalentemente encontraremos la matriz X si y solo si la podemos “despejar ”, es decir.

(xy

)=

(a11 a12

a21 a22

)−1(b1b2

)

Entonces la pregunta es ¿ quien es

(a11 a12

a21 a22

)−1

? y ¿existe siempre? y ¿es facil de encontrar?.

En cualquier caso, la respuesta sigue del analisis algebraico de la situacion.

a11x + a12y = b1a21x + a22y = b2

⇒ a11a22x + a12a22y = b1a22

a21a12x + a22a12y = b2a12⇒ (a11a22 − a21a12)x = b1a22 − b2a12

Y de,

a11x + a12y = b1a21x + a22y = b2

⇒ a11a21x + a12a21y = b1a21

a21a11x + a22a11y = b2a11=⇒ (a11a22 − a21a12)y = b2a11 − b1a21

Luego la respuesta es afirmativa si y solo si (a11a22 − a21a12) 6= 0. Mas aun, ahora estamos en condicionesde responder el problema para este caso:

(xy

)=

b1a22 − b2a12

a11a22 − a21a12

b2a11 − b1a21

a11a22 − a21a12

=

a22

a11a22 − a21a12

−a12

a11a22 − a21a12

−a21

a11a22 − a21a12

a11

a11a22 − a21a12

(b1b2

)

Si definimos para A =

(a11 a12

a21 a22

)su determinante como: det(A) = a11a22 − a21a12 entonces tenemos lo

siguiente:

El sistema matricial

(a11 a12

a21 a22

)(xy

)=

(b1b2

)Tiene solucion si y solo si

4. UNIDADES EN EL ANILLO MR(n) 177

(1) det(A) 6= 0, y

(2)

(xy

)=

b1a22 − b2a12

det(A)

b2a11 − b1a21

det(A)

, y

(3)

(a11 a12

a21 a22

)−1

=

a22

det(A)

−a12

det(A)

−a21

det(A)

a11

det(A)

En el caso general podemos definir de la siguiente forma:

Si A ∈MR(n), para n ≥ 2 y A = (aij) entonces

det(A) =n∑

k=1

∆ikaik (Metodo de Laplace) (100)

representa el determinante de la matriz A, calculado por la fila “i′′; donde:

Aij = matriz obtenida de la matriz A eliminando la fila i y la columna j, y

∆ij = (−1)(i+j) det(Aij) para (i = 1, 2, . . . , n); (j = 1, 2, . . . , n), representa el cofactor de la posicion ij.


1 2 34 5 67 8 9

entonces

• A11 =

(5 68 9

)∧ A12 =

(4 67 9

)∧ A13 =

(4 57 8

)

• A21 =

(2 38 6

)∧ A22 =

(1 37 9

)∧ A23 =

(1 27 8

)

• A31 =

(2 35 6

)∧ A32 =

(1 34 6

)∧ A33 =

(1 24 5

)


1 2 34 5 67 8 9

entonces para la fila uno (1) tenemos:

∆11 = (−1)2(−3) ∧ ∆12 = (−1)3(−6) ∧ ∆13 = (−1)4(−3)

Ası que para esta matriz tenemos:

det(A) = ∆11a11 + ∆12a12 + ∆13a13

= (−3) · 1 + 6 · 2 + (−3) · 3= 0

4.2. Propiedades del Determinante. Aunque el desarrollo de Laplace calcula un determinante, no ob-stante su proceso recurrente es demasiado caro en tiempo para matrices de tamano grande, ası que esnecesario mejorar tal metodo obteniendo consecuencias utiles desde la definicion:


(1) Si A = (aij) ∈MR(n) entonces det(A) = det(At). Pues det(A) =

n∑

k=1

∆ikaik =

n∑

s=1

∆sjasj

(2) Si A = (aij) ∈MR(n) posee una fila o una columna nula entonces det(A) = 0

En efecto

det(A) =

n∑

k=1

∆ik · 0 = 0, calculando por la fila nula

(3) Si α ∈ R; α 6= 0

det(Li → αLi)(A) = α det(A)

En efecto

det((Li ↔ αLi)(A)) =

n∑

k=1

∆ikαaik = α

n∑

k=1

∆ikaik = α det(A)

(4) det(Li ↔ Li+1)(A) = − det(A)

En efecto

det((Li ↔ Li+1)(A)) =

n∑

k=1

∆(i+1)kaik

=

n∑

k=1

(−1)(i+1+k) det(Aik)aik

= −n∑

k=1

(−1)(i+k) det(Aik)aik

= −n∑

k=1

∆ikaik

= − det(A)

Ası por ejemplo; det

(1 24 5

)= −3 y det

(4 51 2

)= 3

(5) Si A posee dos filas (o columnas) iguales entonces det(A) = 0

En efecto

Esta propiedad es un corolario de la propiedad anterior, pues si la fila i y la fila j son iguales entonces

det(A) = det((Li ↔ Lj)(A)) = − det(A)

Ası por ejemplo; det

(1 21 2

)= 0

Las siguientes propiedades quedaran de ejercicios:

(6) det(A) = det((Li → Li + αLj)(A))

5. EJERCICIOS RESUELTOS DE DETERMINANTE 179

Ası por ejemplo;

det

1 2 34 5 67 8 9

(L2→L2−4L1)

= det

1 2 30 −3 −67 8 9

(L3→L3−7L1)

= det

1 2 30 −3 −60 −6 −12

= det

(−3 −6−6 −12

)= 0

(7) Adicion en una fila:

det

a11 . . . a1n...

...bi1 + ci1 . . . bin + cin

......

an1 . . . ann

= det

a11 . . . a1n...

...bi1 . . . bin...

...an1 . . . ann

+ det

a11 . . . a1n...

...ci1 . . . cin...

...an1 . . . ann

(8) Determinante de un producto, (esta propiedad la mostraremos mas adelante)

det(A ·B) = det(A) · det(B) (101)

5. Ejercicios Resueltos de Determinante

(1) Si A = (aij) es una matriz triangular entonces det(A) = a11 · · · ann

En efecto

Aplicamos la definicion por la primera fila si es triangular inferior, o por la primera columna si estriangular superior.

(2) Calculemos usando propiedades el siguiente determinante:

A = det

0 1 0 1 0−1 a 0 0 0

0 0 a 0 0−1 0 0 a 0

0 0 0 0 a

Solucion

det

0 1 0 1 0−1 a 0 0 0

0 0 a 0 0−1 0 0 a 0

0 0 0 0 a

(definicion)= a · det

0 1 0 1−1 a 0 0

0 0 a 0−1 0 0 a

(L4−→L4−L2)= a ·

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 0 1−1 a 0 0

0 0 a 00 −a 0 a

∣∣∣∣∣∣∣∣

(definicion)= a · det

1 0 10 a 0−a 0 a

(definicion)

= a2 · det

(1 1−a a

)(definicion)

= 2a3

(3) Demuestre que

det

1 1 1x y zx2 y2 z2

= (x− y)(y − z)(z − x)

En efecto


det

1 1 1x y zx2 y2 z2

(L2→L2−xL1)

= det

1 1 10 (y − x) (z − x)x2 y2 z2

(L3→L3−x2L1)= det

1 1 10 (y − x) (z − x)0 (y2 − x2) (z2 − x2)

(definicion)= det

((y − x) (z − x)

(y2 − x2) (z2 − x2)

)

= (y − x)(z2 − x2)− (z − x)(y2 − x2)

= (y − x)(z − x)(z + x− y − x)

= (y − x)(z − x)(z − y)

= (x− y)(y − z)(z − x)

6. Ejercicios Propuestos de Determinantes

(1) Dadas las matrices A =

(1 21 0

)y B =

(3 −10 −2

). Calcule explıcitamente:

(a) det(A+B)

(b) det(A) + det(B)

(2) Sean A ∈ MR(n) y B ∈ MR(n) dos matrices. Determine si son verdaderas o falsas las siguientes afir-maciones:

(a) det(2A) = 2det(A)

(b) det(A2) = (det(A))2

(c) det(Aij) < det(A)

(3) Dada la matriz

A =

2 3 1 −25 3 1 40 1 2 23 −1 −2 4

Determine:

(a) A23

(b) det(A23)

(c) ∆23

(d) det(A)

6. EJERCICIOS PROPUESTOS DE DETERMINANTES 181

(4) Calcule el determinante de las siguientes matrices:

(a) det

−2 3 6

4 1 8−2 0 0

(b) det

2 −1 34 0 65 −2 3

(c) det

2 −3 1 40 −2 0 03 7 −1 24 1 −3 8

(d) det

1 1 −1 0−3 4 6 0

2 5 −1 34 0 3 0

(e) det

3 −1 5 00 2 0 12 0 −1 31 1 2 0

(f) det

0 a 0 0b 0 0 00 0 0 c0 0 d 0

(g) det

a b 0 0c d 0 00 0 a −b0 0 c d

(h) det

3 0 0 0 019 18 0 0 0−6 π −5 0 0

4√

2√

3 0 08 3 5 6 −1

(i) det

1 −1 2 0 03 1 4 0 02 −1 5 0 00 0 0 2 30 0 0 −1 4

(j) det

a 0 0 0 00 0 b 0 00 0 0 0 c0 0 0 d 00 e 0 0 0

(k) det

0 1 0 0 0 0−1 0 1 0 0 0

0 −1 0 1 0 00 0 −1 0 1 00 0 0 −1 0 10 0 0 0 −1 0

(5) Si det

a b cx y zp q r

= 3 entonces calcule det

a+ b b+ c c+ ax+ y y + z z + xp+ q q + r r + p

(6) Demuestre que

det

1 1 tan γ− tan γ tan β 1tanα 0 1

= tanα+ tanβ + tan γ − tanα tan β tan γ

(7) Si A(n) =

α+ β αβ 0 . . . 0 0 01 α+ β αβ . . . 0 0 00 1 α+ β . . . 0 0 0...

......

......

...0 0 0 . . . 1 α+ β αβ0 0 0 . . . 0 1 α+ β

∈MR(n).

Demuestre que

det(A(n)) = (α+ β) det(A(n − 1))− det(A(n − 2)) (n ≥ 3)

(8) Sea A = (aij) ∈MR(3) tal que det(A) = 3. Calcule el determinante de las siguientes matrices


• det((L1 ←→ L3)(A))

• det((L1 ←→ L2)(A))

• det((L2 −→ 2L2)(A))

• det

({(L1 −→ −3L1)

(L2 −→ 2L− 2)(A)

)

• det((L1 −→ L1 − 3L2)(A))

(9) Demuestre que :

det

1 + x1 x2 x3 . . . xnx1 1 + x2 x3 . . . xnx1 x2 1 + x3 . . . xn...

...... xn

x1 x2 x3 . . . 1 + xn

= 1 +

n∑

i=1

xi

(10) Sea A ∈MR(n) tal que A = −At, es decir A es antisimetrica. Demuestre que

det(At) = (−1)n det(A)

(11) Sea A ∈MR(n) tal que A = −At. Demuestre que

n impar =⇒ det(A) = 0

(12) Sea A ∈MR(n) tal que As = 0 y As−1 6= 0, una tal matriz se llama matriz nilpotente. Demuestre quedet(A) = 0

(13) Sea A ∈MR(n) tal que A2 = A, una tal matriz se llama matriz idempotente. Determine det(A)

7. Determinante y Matriz Inversa

Recordemos que el sistema matricial

(a11 a12

a21 a22

)(xy

)=

(b1b2

)

Tiene solucion si y solo si, det(A) 6= 0 y

(xy

)=

a22

det(A)− a12

det(A)

− a21

det(A)

a11

det(A)

(b1b2

)

Es decir,

7. DETERMINANTE Y MATRIZ INVERSA 183

(a11 a12

a21 a22

)−1

=

a22

det(A)

−a12

det(A)

−a21

det(A)

a11

det(A)

Esto quiere decir que A ∈ U(MR(2)), pues

A · A−1 =

(a11 a12

a21 a22

)·

a22

det(A)

−a12

det(A)

−a21

det(A)

a11

det(A)

=

(1 00 1

)= I2

Entonces lo que corresponde ahora, es verificar si el papel que juega el determinante para determinar alconjunto U(MR(2)), puede ser generalizado para la determinacion de U(MR(n)). Para fijar algunos nombresde uso corriente haremos la siguiente.

Definicion 7.1. Diremos que A ∈ MR(n) es invertible o no singular o una unidad, si A ∈ U(MR(n)), esdecir, si existe B ∈MR(n) tal que A · B = B · A = In, y en tal caso notamos B = A−1.

Para conectar esta definicion con nuestro estudio de determinantes iniciamos con el siguiente.

Lema 7.1.1. A ∈ U(n) =⇒ det(A) 6= 0 ∧ det(A−1) = (det(A))−1

En efecto

A ∈ U(n) ⇐⇒(∃A−1;A−1 ∈MR(n)

): A · A−1 = In

=⇒ det(A ·A−1) = det(In)

=⇒ det(A) · det(A−1) = 1

=⇒ det(A) 6= 0 ∧ det(A−1) =1

det(A)= (det(A))−1

Definicion 7.2. Sea A ∈MR(n) tal que A = (aij) entonces

(1) Llamaremos matriz de cofactores a la matriz A = (∆ij), y

(2) Matriz adjunta de A a la matriz adj(A) = At


2 1 0−3 1 4

1 6 5

entonces su matriz de cofactores y adjunta son respectivamente:

A =

−19 19 −19−5 10 −11

4 −8 5

, y adj(A) =

−19 −15 4

19 10 −8−19 −11 5

Observamos de este ejemplo los siguientes hechos:

• A · adj(A) =

2 1 0−3 1 4

1 6 5

−19 −15 4

19 10 −8−19 −11 5

=

−19 0 0

0 −19 00 0 −19


• det(A) = 2∆11 + 1 ·∆12 + 0 ·∆13 = 2 · (−19) + 19 = −19. Ası que

A · adj(A) =

det(A) 0 00 det(A) 00 0 det(A)

(102)

• Aunque este paso no sea necesario, sin embargo es una cuestion que mas tarde de todas formas abordare-mos, y permite simplificar nuestro acercamiento a la obtencion de las unidades del anillo de matrices.Si definimos la operacion de matrices

· : R×MR(n) 7−→ MR(n)(λ, (aij)) 7−→ (λ · aij)

Ası que, aplicando esta funcion en (102) obtenemos que,

A · adj(A) = det(A)

1 0 00 1 00 0 1

=⇒ A−1 =

1

det(A)adj(A) =

(∆ij

det(A)

)t

• El resultado anterior no es una casualidad, en realidad tenemos el siguiente:

Teorema 7.3. A · adj(A) = adj(A) ·A = det(A)In

En efecto

• Si A = (aij) ∈MR(n) entonces Adj(A) = (∆ij)t = (∆ji)

• A · adj(A) = (cij) ∈MR(n), donde cij =

n∑

s=1

ais∆js, para (1 ≤ i ≤ n) y (1 ≤ j ≤ n)

• Si i = j entonces

cii =

n∑

s=1

ais∆is = det(A) (1 ≤ i ≤ n)

• Si i 6= j entonces

cij =

n∑

s=1

ais∆js

= det

a11 a12 · · · a1n...

... · · · ...ai1 ai2 · · · ain...

... · · · ...ai1 ai2 · · · ain...

... · · · ...an1 an2 · · · ann

← fila i

← fila j

= 0

Corolario 7.3.1. Si U(n) = {A ∈MR(n) | A invertible} entonces

A ∈ U(n)⇐⇒ det(A) 6= 0

8. EJERCICIOS PROPUESTOS DE MATRIZ INVERSA 185

En tal caso,

det(A−1) =1

det(A)∧ A−1 =

1

det(A)adj(A)


(6 2

11 4

)entonces det(A) = 6 · 4 − 11 · 2 = 2, Luego existe A−1, y usando el

teorema anterior podemos calcular la inversa:

En efecto

• A = (∆ij) =

(4 −11−2 6

)

• adj(A) =

(4 −2

−11 6

)

• A−1 =1

2

(4 −2

−11 6

)=

(2 −1

−112 3

)

Ejemplo 7.3.3. Sean A ∈MR(n) y B ∈MR(n) entonces

A ∈ U(n) ∧B ∈ U(n) =⇒ A ·B ∈ U(n)

En efecto

A ∈ U(n) ⇐⇒ (∃A−1;A−1 ∈ U(n)) : A ·A−1 = In

B ∈ U(n) ⇐⇒ (∃B−1;B−1 ∈ U(n)) : B ·B−1 = In

Luego,

(AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AInA−1 = AA−1 = In

Ası que,

A · B ∈ U(n) ∧ (A · B)−1 = B−1A−1

8. Ejercicios Propuestos de Matriz Inversa

(1) Determine det(A) y si es posible A−1 para las siguientes matrices:

(a)

(3 21 2

)(b)

(3 −61 2

)(c)

1 1 10 2 35 5 1

(d)

3 2 10 2 20 1 −1

(e)

1 1 10 1 10 0 1

(f)

1 0 x1 1 x2

2 2 x2

(g)

1 1 1 11 2 −1 21 −1 2 11 3 3 2

(h)

1 −3 0 −23 −12 −2 −6−2 10 2 5−1 6 1 3

(i)

4 −1 2 −23 −1 0 02 3 1 00 7 1 1


(2) Demuestre que

A ∈ U(n)⇐⇒ At ∈ U(n)

(3) Si A =

α β −α1 α 0β α −β

∈MR(3) entonces

(a) Determine el conjunto

I = {(α, β) ∈ R2 | A ∈ U(MR(3)}(b) Para u ∈ I, (si I 6= ∅ ), determine A−1

(4) Sea A =

(α −34 (1− α)

). Determine el conjunto:

U(A) = {α ∈ R | A ∈ U(2)}

(5) Sea A =

−α (α− 1) α+ 1)1 2 3

(2− α) (α+ 3) (α+ 7)

. Determine el conjunto:

U(A) = {α ∈ R | A ∈ U(3)}

(6) Sea A ∈MR(n). Demuestre que

A 6∈ U(n) =⇒ A · adj(A) = (0)

(7) Demuestre que A =

(cos θ sen θ− sen θ cos θ

)∈ U(MR(2)) y determine A−1

(8) Si U(n) = {A ∈MR(n) | A invertible} entonces demuestre que U(MR(n)) es un grupo no abeliano conel producto de matrices.

9. Operaciones Elementales: Rango de una Matriz

Sabemos que una operacion elemental es una de las funciones definidas en (96), (97) o (98) es decir:

1. (li ↔ lj) : MR(n×m) 7−→ MR(n×m) Que consiste en permutar la fila i con la fila jA 7−→ (li ↔ lj)(A)

2. (li → α · li) : MR(n×m) 7−→ MR(n×m) Que consiste en multiplicar la fila i por α 6= 0A 7−→ (li → α · li)(A)

3. (li → li + α · lj) : MR(n×m) 7−→ MR(n×m) Que consiste en permutar la fila iA 7−→ (li → li + αlj)(A) por la fila i mas α veces la fila j

9. OPERACIONES ELEMENTALES: RANGO DE UNA MATRIZ 187

Ahora relacionaremos lo anterior con las matrices a traves de la siguiente definicion:

Definicion 9.1. Sea A ∈ MR(n ×m) y B ∈ MR(n ×m). diremos que A ∼= B por filas si B es obtenida deA por un numero finito de operaciones elementales

Ejemplo 9.1.1. Si consideramos la matriz

A =

2 4 −8 63 −5 4 129 2 7 1

entonces como la ”composicion de isomorfismos” es un isomorfismo podemos hacer lo siguiente:

2 4 −8 63 −5 4 129 2 7 1

(L1 −→ 1

2L1)

1 2 −4 33 −5 4 129 2 7 1

(L2 −→ L2 − 3L1)

1 2 −4 30 −11 16 39 2 7 1

(L2 −→ L3 − 9L1)

1 2 −4 30 −11 16 30 −16 43 −26

Ejemplo 9.1.2. Sea A = (aij) ∈MR(4) tal que aij = i (1 ≤ i ≤ 4)(1 ≤ j ≤ 4) entonces

A =

1 1 1 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4

(L2 ←→ L2 − 2L1)(L3 −→ L3 − 3L1)(L4 −→ L4 − 4L1)

1 1 1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

Observacion 9.1.3. En los ejemplos anteriores podemos notar que:

(1) La operacion elemental (Lr ←→ Ls), nos permite trasladar a voluntad las filas de la matriz, como porejemplo acumular, si las hubiera, las filas nulas ( de puros ceros) en las filas inferiores (de abajo) dela matriz.

(2) La operacion elemental (Lr −→ αLr), nos permite crear unos (1) en cualquier posicion de la matriz.

(3) La operacion elemental (Lr −→ Lr + αLs), nos permite crear ceros (0) en cualquier posicion de lamatriz.

Esta observacion nos permite construir una clase especial de matriz, que de ahora en adelante sera muyimportante, como lo iremos viendo en el transcurso de nuestro estudio, por lo pronto la formalizaremos atraves de la siguiente.

Definicion 9.2. Sea A ∈MR(n×m) entonces

(1) A sera llamada ”Matriz Escalonada Reducida por Filas” si:

(a) En cualquier fila no nula, el primer elemento no nulo (partiendo de la izquierda) es un uno (1).A este elemento lo llamaremos el pivote de esa fila.


(b) Todas las filas (si las hay) cuyos elementos son todos ceros (filas nulas), aparecen bajo las filas nonulas.

(c) Si una columna contiene el pivote de un fila entonces es nula en todas las otras posiciones.

(d) Si dos filas sucesivas son no nulas entonces el primer elemento no nulo en la fila inferior, esta ala derecha del primer elemento no nulo de la fila superior.

(2) A sera llamada ”Matriz Escalonada por Filas” si:

(a) En cualquier fila no nula, el primer elemento no nulo (partiendo de la izquierda) es un uno (1).A este elemento lo llamaremos el pivote de esa fila.

(b) Todas las filas (si las hay) cuyos elementos son todos ceros (filas nulas), aparecen bajo las filas nonulas.

(c) Si dos filas sucesivas son no nulas entonces el primer elemento no nulo en la fila inferior, esta ala derecha del primer elemento no nulo de la fila superior.

Ejemplo 9.2.1. Cinco matrices en la forma escalonada reducida por filas.

(a)

1 0 00 1 00 0 1

(b)

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

(c)

(1 0 0 50 0 1 2

)(d)

(1 00 1

)(e)

1 0 2 50 1 3 60 0 0 0

Ejemplo 9.2.2. Cinco matrices en la forma escalonada por filas. Note la diferencia con (9.2.1)

(a)

1 2 30 1 50 0 1

(b)

1 −1 6 40 1 2 80 0 1 0

(c)

(1 0 2 50 0 1 2

)(d)

(1 20 1

)(e)

1 3 2 50 1 3 60 0 0 0

Lema 9.3. Si A ∈MR(n×m) entonces existe una unica B ∈MR(n×m) tal que A ∼= B por filas donde Bes una matriz escalonada por filas.

En efecto

El resultado sigue, de observar que el orden de una matriz es finito, es decir (n × m), es una pareja denumeros naturales finitos.

Definicion 9.4. Sea A ∈ MR(n ×m) entonces llamaremos ”rango ” de la matriz A al numero de filas nonulas de su correspondiente matriz escala reducida por filas.

La notacion que usaremos para el rango de una matriz A sera ρ(A)

Ejemplo 9.4.1. Calculemos el ρ(A) si A =

1 2 1 0−1 0 3 5

2 4 2 0

10. OPERACIONES ELEMENTALES: MATRICES ELEMENTALES 189

Aplicando operaciones elementales orientadas, es decir guiados por la definicion de matriz escala reducidapor filas tenemos que.

1 2 1 0−1 0 3 5

2 4 2 0

(L2 −→ L2 + L1)

(L3 −→ L3 − 2L1)

1 2 1 00 2 4 50 0 0 0

(L2 −→

1

2L2

)

1 2 1 00 1 2 5

20 0 0 0

(L1 −→ L1 − 2L2)

1 0 −3 −50 1 2 5

20 0 0 0

Ası que ρ(A) = 2


(1) Reducir a la forma escalonada por filas las matrices:

(a)

1 −2 3 −12 −1 2 33 1 2 3

(b)

0 2 21 1 33 −4 22 −3 1

(c)

(0 1 3 −22 1 −4 3

)

(d)

1 3 2 3 −7 142 6 1 −2 5 −21 3 −1 0 2 −1

(e)

(1 2 −1 3 1

)(f)

1 1 1 1 01 1 1 −1 41 1 −1 1 −41 −1 1 1 2

(2) Reducir a la forma escalonada reducida por filas las matrices del ejercicio (1)

(3) Calcular el rango de las matrices del ejercicio (2)

(4) Describa todas las posibles matrices de orden 2, que esten en la forma escalonada reducida por filas

(5) Demuestre que la relacion definida en la Definicion 9.1, es una relacion de equivalencia

(6) Demuestre que toda matriz escalonada reducida por filas es una matriz escalonada por filas.

10. Operaciones Elementales: Matrices elementales

Definicion 10.1. Una matriz E ∈MR(n) se llamara matriz elemental si es obtenida de la matriz identidadIn, a traves de una unica operacion elemental.

Ejemplo 10.1.1. E =

(0 11 0

)es matriz elemental pues E = (l1 ↔ l2)

(1 00 1

)

Ejemplo 10.1.2. E =

(7 00 1

)es matriz elemental pues E = (l1 → 7l1)

(1 00 1

)

Ejemplo 10.1.3. E =

(1 02 1

)es matriz elemental pues E = (l2 → l2 + 2l1)

(1 00 1

)

Teorema 10.2. Si A = (aij) ∈MR(n) entonces (li ↔ lj)(A) = (li ↔ lj)(In) ·A

En efecto


Si A =

a11 a12 a13 · · · a1n...

......

......

ai1 ai2 ai3 · · · ain...

......

......

aj1 aj2 aj3 · · · ajn...

......

......

an1 an2 an3 · · · ann

entonces (li ↔ lj)(A) =

a11 a12 a13 · · · a1n...

......

......

aj1 aj2 aj3 · · · ajn...

......

......

ai1 ai2 ai3 · · · ain...

......

......


Por otra parte, (li ↔ lj)

1 0 0 · · · 0...

......

......

0 1 0 · · · 0...

......

......

0 0 1 · · · 0...

......

......

0 0 0 · · · 1

=

1 0 0 · · · 0...

......

......

0 0 1 · · · 0...

......

......

0 1 0 · · · 0...

......

......

0 0 0 · · · 1

= Eij

Ası,

Eij ·A =

1 0 0 · · · 0...

......

......

0 0 1 · · · 0...

......

......

0 1 0 · · · 0...

......

......

0 0 0 · · · 1

a11 a12 a13 · · · a1n...

......

......

ai1 ai2 ai3 · · · ain...

......

......

aj1 aj2 aj3 · · · ajn...

......

......


=

a11 a12 a13 · · · a1n...

......

......

aj1 aj2 aj3 · · · ajn...

......

......

ai1 ai2 ai3 · · · ain...

......

......


De donde sigue que, (li ↔ lj)(A) = (li ↔ lj)(In) ·A

Teorema 10.3. Si A = (aij) ∈MR(n) entonces (li → α · li)(A) = (li → α · li)(In) · A

En efecto

Si A =

a11 a12 a13 · · · a1n...

......

......

ai1 ai2 ai3 · · · ain...

......

......


entonces (li → α · li)(A) =

a11 a12 a13 · · · a1n...

......

......

αai1 αai2 αai3 · · · αain...

......

......


10. OPERACIONES ELEMENTALES: MATRICES ELEMENTALES 191

Por otra parte, (li → α · li)

1 0 0 · · · 0...

......

......

0 0 1 · · · 0...

......

......

0 0 0 · · · 1

=

1 0 0 · · · 0...

......

......

0 0 α · · · 0...

......

......

0 0 0 · · · 1

= Ei

Ası que,

Ei · A =

1 0 0 · · · 0...

......

......

0 0 α · · · 0...

......

......

0 0 0 · · · 1

a11 a12 a13 · · · a1n...

......

......

ai1 ai2 ai3 · · · ain...

......

......


=

a11 a12 a13 · · · a1n...

......

......

αai1 αai2 αai3 · · · αain...

......

......


Por tanto, (l1 ↔ α · l1)(A) = (l1 ↔ α · l1)(In) · A

Teorema 10.4. Si A = (aij) ∈MR(n) entonces (li → li + α · lj)(A) = (li → li + α · lj)(I3) · A

En efecto

A =

a11 a12 · · · a1n...

......

...ai1 ai2 · · · ain...

......

...aj1 aj2 · · · ajn...

......

...a11 a12 · · · a1n

, entonces (li → li + αlj)(A) =

a11 a12 · · · a1n...

......

...ai1 + αaj1 ai2 + αaj1 · · · ain + αaj1

......

......

aj1 aj2 · · · ajn...

......

...a11 a12 · · · a1n

Por otra parte, (li → li + αlj)

1 0 0 · · · 0...

......

...0 1 0 · · · 0...

......

...0 0 1 · · · 0...

......

...0 0 0 · · · 1

=

1 0 0 · · · 0...

......

...0 1 α · · · 0...

......

...0 0 1 · · · 0...

......

...0 0 0 · · · 1

= Ei


Ası que,

Ei · A =

1 0 0 · · · 0...

......

...0 1 α · · · 0...

......

...0 0 1 · · · 0...

......

...0 0 0 · · · 1

a11 a12 · · · a1n...

......

...ai1 ai2 · · · ain...

......

...aj1 aj2 · · · ajn...

......

...a11 a12 · · · a1n

=

a11 a12 · · · a1n...

......

...ai1 + αaj1 ai2 + αaj1 · · · ain + αaj1

......

......

aj1 aj2 · · · ajn...

......

...a11 a12 · · · a1n

Luego, (li ↔ li + αlj)(A) = (li ↔ li + αlj)(In) · ACorolario 10.4.1. Si A = (aij) ∈MR(n) entonces EA = Es ·Es−1 · · ·E1 · A

En efecto

• La relacion ser equivalentes por filas es una relacion de equivalencia. ver Ejercicios Propuestos 9.5,ejercicio (5)

• Por definicion, para cada matriz A existe en su clase de equivalencia, una unica matriz escala reducidapor filas EA.

• Luego a partir de A, para obtener EA se necesita realizar un numero finito de operaciones elementales,digamos ϕi con i = 1, 2, . . . , s, es decir

(ϕs ◦ · · · ◦ ϕ2 ◦ ϕ1)(A) = EA (103)

• Aplicando la definicion de matriz elemental y los teoremas (10.2), (10.3) y (10.4), a cada operacioϕicon i = 1, 2, . . . , s le corresponde una matriz elemental Ei con i = 1, 2, . . . , s. Ası que

EA = (ϕs ◦ · · · ◦ ϕ2) ◦ (ϕ1(A))

= (ϕs ◦ · · · ◦ ϕ2) ◦ (E1 ·A)

= (ϕs ◦ · · · ◦)ϕ2(E1 ·A)

= (ϕs ◦ · · · ◦ (E2 · E1 ·A)

= Es · · · · E2 ·E1 ·A

Corolario 10.4.2. Si A = (aij) ∈MR(n) entonces A ∈ U(MR(n))⇐⇒ EA = In

En efecto

Como EA = Es · · · · E2 ·E1 ·A entonces en primer lugar,

A ∈ U(MR(n)) =⇒ ρ(A) = n =⇒ EA = In. (Definicion de matriz escala reducida por filas)

En segundo lugar,

EA = In =⇒ Es · · · · E2 ·E1 ·A = I3 =⇒ det(A) 6= 0 =⇒ A ∈ U(MR(3))

11. MATRICES ELEMENTALES Y MATRIZ INVERSA 193

Corolario 10.4.3. Si A = (aij) ∈MR(3) entonces ρ(A) = n⇐⇒ A ∈ U(MR(n))

En efecto

ρ(A) = n⇐⇒ EA = In ⇐⇒ A ∈ U(MR(3))

11. Matrices Elementales y Matriz Inversa

Sabemos de los corolarios (10.4.1) y (10.4.2) que para una matriz A ∈MR(n) tenemos que

(1) EA = Es · Es−1 · · ·E1 · A, y

(2) A ∈ U(MR(n))⇐⇒ EA = In

Ası que, juntando la informacion tenemos el siguiente resultado:

A ∈ U(MR(n))⇐⇒ In = Es · Es−1 · · ·E1 ·A⇐⇒ A ∼= In (104)

Es decir, A ∈ U(MR(n)) si y solo si la identidad es obtenida de A por s operaciones elementales.

Ademas es inmediato que,

A ∈ U(MR(n))⇐⇒ In = Es · Es−1 · · ·E1 ·A⇐⇒ A−1 = Es · Es−1 · · ·E1 (105)

Por otra parte,

A ∈ U(MR(n)) ⇐⇒ In = Es ·Es−1 · · ·E1 · A⇐⇒ A−1 = Es ·Es−1 · · ·E1In ⇐⇒ In ∼= A−1 (106)

Es decir, A ∈ U(MR(n)) si y solo si A−1 es obtenida de In por las mismas s operaciones elementales usadasen (104)

Ası que de (104), de (105) y (106) obtenemos el “Algoritmo”

A In∼= ∼=In A−1

Ejemplo 11.1. Si A =

(1 23 4

)entonces det(A) = −2 y A ∈ U(MR(2)), por tanto podemos aplicar

nuestra tecnica para encontrar A−1.


A Inq q(

1 23 4

) (1 00 1

)

l2 → l2 − 3l1 l2 → l2 − 3l1

(1 20 −2

) (1 0−3 1

)

l2 → −12 l2 l2 → −1

2 l2

(1 20 1

) (1 032 −1

2

)

l1 → l1 − 2l2 l1 → l1 − 2l2

(1 00 1

) (−2 1

32 −1

2

)

q qIn A−1

11.2. Ejercicios Propuestos. Determine, si es posible, A−1 para las siguientes matrices:

(a)

(3 21 2

)(b)

(3 −61 2

)(c)

1 1 10 2 35 5 1

(d)

3 2 10 2 20 1 −1

(e)

1 1 10 1 10 0 1

(f)

1 0 x1 1 x2

2 2 x2

(g)

1 1 1 11 2 −1 21 −1 2 11 3 3 2

(h)

1 −3 0 −23 −12 −2 −6−2 10 2 5−1 6 1 3

(i)

4 −1 2 −23 −1 0 02 3 1 00 7 1 1

12. Ejercicios Resueltos Miscelaneos del Anillo de Matrices

(1) Sean A ∈MR(n), B ∈MR(n) y C ∈MR(n) tal que

(a) det(A) 6= 0

(b) CtB +A)t = (At +Bt)(In + C)

Demuestre que C = (−BA−1)t

Solucion

12. EJERCICIOS RESUELTOS MISCELANEOS DEL ANILLO DE MATRICES 195

Etapa 1. P.d.q. C = (−BA−1)t

Etapa 2. Gestion de la informacion

(i) Como CtB +A)t = (At +Bt)(In + C) entonces (CtB)t +At = At +AtC +Bt +BtC

Pues, la operacion traspuesta es un homomorfismo de grupos. es decir en el espaciode matrices vale la propiedad

(R + S)t = Rt + St

(ii) Como (CtB)t +At = At +AtC +Bt +BtC entonces BtC +At = At +AtC +Bt +BtC

Pues, la operacion traspuesta en el producto de matrices satisface la propiedad

(RS)t = RtSt

(iii) Finalmente como (MR(n),+) es un grupo entonces

AtC + Bt = 0⇐⇒ −Bt = AtC

(iv) Como det(A) 6= 0 entonces A es invertible (A ∈ U(n)). Ademas como det(A) = det(At) entoncesAt es invertible, y (A−1)t = (At)−1

Luego,

C = (At)−1(−Bt) = (A−1)t[−(Bt)] = −(A−1)t(Bt) = −(BAt)−1

(2) Sean D ∈MR(4) y E ∈MR(4) tal que

• det(D) = 3

• det(E) = −2

Si G = D−1 · 2Et ·D2 entonces calcule det(G).

Solucion

Calculemos directamente det(G). usando propiedades:

det(G) = det(D−1 · 2Et ·D2) (Por hipotesis)= det(D−1) · det(2Et) · det(D2) (det(AB) = det(A) det(B))

= (det(D))−1 · 24det(E) · (det(D))2 (detA−1 = [det(A)]−1 y det(αA) = αn det(A), si A ∈MR(n))

=1

3· 24 · (−2) · 32

= −96

(3) Determine si las siguientes afirmaciones son Verdaderas o Falsas.

(a) Si A ∈MR(n) tal que A−1 = A entonces

(1

2(I +A)

)2

=1

2(I +A)

Solucion : Verdadero


Como A−1 = A entonces A2 = I. Ası que

(1

2(I +A)

)2

=1

4(I2 +A+A+A2) =

1

4(I + 2A+ I) =

1

4(2I + 2A) =

1

2(I +A)

(b) Sean D ∈MR(4) y E ∈MR(4) tal que

• det(D) = 3

• det(E) = −2

Si G = D−1 · Et ·D2 entonces det(G) = −12

Solucion : Falso, pues,

det(G) = det(D−1EtD2) = det(D−1) det(Et) det(D2) =1

detDdet(E)(detD)2 = det(E) det(D) = −6

(4) Sea A ∈MR(n). Demuestre que

A2 = 0 =⇒((In +A) ∈ U(MR(n)) ∧ (In +A)−1 = (In −A)

)

Solucion

Etapa 1. P.d.q. (In + A) ∈ U(MR(n)), es decir (In + A)(In − A) = In = (In − A)(In + A) o biendet(I +A) 6= 0


Usemos directamente la opcion (I +A)(I −A) y A2 = (0), para obtener

(In +A)(In −A) = I2n −A+A−A2 = I2

n −A2 = I2n = In

Analogamente

(In −A)(In +A) = I2n +A−A−A2 = I2

n −A2 = I2n = In

Ası, que por definicion , se tiene que la matriz (I +A) es invertible y su inversa es la matriz (I −A).

(5) Si A =

a+ b a a a

a a+ b a a

a a a+ b a

a a a a+ b

∈MR(4) entonces determine el conjunto

S = {(a, b) ∈ (R− {0} × R− {0}) | A ∈ U(MR(4))}Solucion:

13. INTRODUCCION AL ANILLO DE POLINOMIOS 197

Etapa 1. Debemos determinar condiciones sobre a y b para que A ∈ U(MR(4))). Es decir, debemosdeterminar condiciones sobre a y b para que det(A) 6= 0.Etapa 2. Aplicaremos operaciones elementales, para calcular el det(A)

a+ b a a a

a a+ b a a

a a a+ b a

a a a a+ b

L1 7−→ L1 − L4

L1 7−→ L2 − L4

L1 7−→ L3 − L4

b 0 0 −b

0 b 0 −b

0 0 b −b

a a a a+ b

L4 7−→ L4 −a

bL1

L4 7−→ L4 −a

bL2

L4 7−→ L4 −a

bL3

b 0 0 0

0 b 0 0

0 0 b 0

a a a 4a+ b

Ası que det(A) = b3(4a+ b)

Etapa 3. Finalmente

A ∈ U(n) ⇐⇒ A ∈MR(4) ∧ det(A) 6= 0

⇐⇒ A ∈MR(4) ∧ b3(4a+ b) 6= 0

⇐⇒ A ∈MR(4) ∧ (4a+ b) 6= 0 (Pues, b 6= 0)

Por tanto S = {(a, b) ∈ (R− {0} × R− {0}) | b 6= −4a}

13. Introduccion al Anillo de Polinomios

Sean p(x) ∈ R[x] y q(x) ∈ R[x] tal que p(x) =n∑

i=0

aixi y q(x) =

m∑

i=0

bixi, donde (ai ∈ R; 1 ≤ i ≤ n),

(bi ∈ R; 1 ≤ i ≤ n) entonces

(1) (R[x],+) es un grupo abeliano, con la adicion definida por:

p(x) + q(x) =

n∑

i=0

aixi +

n∑

i=0

bixi =

n∑

i=0

(ai + bi)xi

(2) (R[x],+, ·) es un anillo conmutativo, con identidad 1, si un producto es definido por:

p(x) · q(x) =

n+m∑

i=0

cixi tal que ci =

i∑

k=0

akbi−k (0 ≤ i ≤ n+m)


Donde,

c0 = a0b0

c1 = a0b1 + a1b0

c2 = a0b2 + a1b1 + a2b0...

......

cn+m = a0bn+m + a1bn+m−1 + a2bn+m−2 + · · ·+ an+mb0

En efecto

� En primer lugar, se verifica la propiedad distributiva del producto respecto de la adicion

p(x)[q(x) + s(x)] = p(x)q(x) + p(x)s(x)

Pues, por una parte

p(x) · q(x) = c0 + c1x+ c2x2 + c3x

3 + · · ·+ cn+mxn+m

p(x) · s(x) = d0 + d1x+ d2x2 + d3x

3 + · · ·+ dn+txn+t

donde,

cr = prq0 + pr−1q1 + pr−2q2 + · · · + p2qr−2 + p1qr−1 + p0qr (0 ≤ r ≤ n+m)dr = prs0 + pr−1s1 + pr−2s2 + · · · + p2sr−2 + p1sr−1 + p0sr (0 ≤ r ≤ n+ t)

Y por otra,

p(x)[q(x) + s(x)] = (p0 + p1x+ p2x2 + · · ·+ pnx

n) · [(q0 + s0) + (q1 + s1)x+ · · ·+ (qt + st)xt]

= u0 + u1x+ · · ·+ un+txn+t

(∗)

Tal que, ur = pr(q0 + s0) + pr−1(q1 + s1) + · · · + p0(qt + st) 0 ≤ r ≤ n+ t

Pero,

ur = pr(q0 + s0) + pr−1(q1 + s1) + · · ·+ p0(qt + st)= prq0 + prs0 + pr−1q1 + pr−1s1 + · · ·+ p0qt + p0st= (prq0 + pr−1q1 + · · · + p0qt) + (prs0 + pr−1s1 + · · ·+ p0st)= cr + dr 0 ≤ r ≤ n+ t

(∗∗)

Ası que sustituyendo (*) en (**), tenemos finalmente que

p(x)[q(x) + s(x)] = u0 + u1x+ · · ·+ un+txn+t

= (c0 + d0) + (c1 + d1)x+ · · ·+ (cn+t + dn+t)xn+t

= (c0 + c1x+ · · ·+ cn+txn+t) + (d0 + d1x+ · · ·+ dn+tx

n+t)= p(x)q(x) + p(x)s(x)

� La conmutatividad en R[x], sigue de los siguientes hechos,

• En primer lugar, por definicion de producto de polinomios tenemos que,

p(x) · q(x) =

n+m∑

i=0

cixi tal que ci =

i∑

k=0

akbi−k (0 ≤ i ≤ n+m)

13. INTRODUCCION AL ANILLO DE POLINOMIOS 199

• En segundo lugar, si hacemos la sustitucion u = i− k en ci para cada i = 1, 2, . . . n+m entoncesobtenemos que

(ci =

i∑

k=0

akbi−k =

0∑

u=i

ai−ubu =

i∑

u=0

buai−u

)=⇒ q(x) · p(x) = p(x) · q(x)

� Existe el elemento neutro multiplicativo, e(x) = 1 pues,

p(x) · e(x) = (p0 + p1x+ p2x2 + · · ·+ pnx

n) · (1 + 0x+ 0x2 + 0x3 + · · ·+ 0xn)= p0 + p1x+ p2x

2 + · · ·+ pnxn

= p(x)

Lo anterior lo consignaremos en el siguiente teorema

Teorema 13.1. (R[x],+, ·) es un anillo conmutativo con identidad e(x) = 1

Corolario 13.1.1. U(R[x]) = R− {0}

En efecto

Si p(x) =n∑

i=0

aixi ∈ R[x] entonces

p(x) ∈ U(R[x]) ⇐⇒(∃q(x); q(x) =

n∑

i=0

bixi ∈ R[x]

): p(x)q(x) = 1

=⇒ ∂(p(x)q(x) = ∂(1)

=⇒ ∂(p(x)) + ∂(q(x)) = 0

=⇒ ∂(p(x)) = 0 ∧ ∂(q(x)) = 0

=⇒ p(x) ∈ R ∧ q(x) ∈ R

Es decir, ambos polinomios deben ser constantes, y entonces U(R[x]) = R− {0}

De acuerdo a nuestro desarrollo, en esta nueva estructura podemos definir el concepto de homomorfismo deanillos como sigue:

Definicion 13.2. Sean (A, ∗, ◦) y (A′, ∗′, ◦′) dos anillos y h : A 7−→ A′ una funcion. Diremos que h es unhomomorfismo de anillos si

• h(a ∗ b) = h(a) ∗ h(b)

• h(a ◦ b) = h(a) ◦′ h(b)

Ejemplo 13.2.1. En primer lugar, para cada r ∈ R podemos definir naturalmente la funcion ϕ(r) comosigue:

ϕ(r) : R[x] 7−→ R tal que ϕ(r)(p(x)) = ϕ(r)

(n∑

i=0

aixi

)=

n∑

i=0

airi = p(r)


Ası por ejemplo para r = 2 y r = −1 tenemos que

• ϕ(2)(1 + x2 − x3) = 1 + 22 − 23 = −3

• ϕ(−1)(1 + x3) = 1 + (−1)3 = 0

En segundo lugar constatamos directamente que, para cada r ∈ R, ϕ(r) satisface las siguientes propiedades:

• ϕ(r)(p(x) + q(x)) = ϕ(r)(p(x)) + ϕ(r)(q(x)), es decir

ϕ(r)(p(x) + q(x)) = p(r) + q(r)

• ϕ(r)(p(x)q(x)) = ϕ(r)(p(x))ϕ(r)(q(x)), es decir

ϕ(r)(p(x)q(x)) = p(r)q(r)

Luego, para cada r ∈ R ϕ(r) es un homomorfismo de anillos, al cual llamaremos ” homomorfismo evalua-cion”

Podemos continuar estudiando el homomorfismo evaluacion, peguntando ¿Quien es el nucleo de ϕ(r)?.Es decir preguntamos ¿Quien es para cada r ∈ R, el conjunto ker(ϕ(r)) = {p(x) ∈ R[x] | ϕ(r)(p(x)) = 0}?

Para responder procedemos con nuestra acostumbrada tecnica

p(x) ∈ ker(ϕ(r)) ⇐⇒ ϕ(r)(p(x)) = 0

⇐⇒ p(r) = 0

Ası que

ker(ϕ(r)) = {p(x) ∈ R[x] | p(r) = 0} (107)

Ejemplo 13.2.2. (1 + x3) ∈ ker(ϕ(−1)), pues ϕ(−1)(1 + x3) = 0

UNIDAD 10

Algebra del Cuerpo de Numeros Complejos

1. Construccion intuitiva del Cuerpo de Numeros Complejos

Lo desarrollado entorno al homomorfismo evaluacion en el capitulo anterior, nos permite dar una nuevamirada el concepto de ”raız de un polinomio” en el siguiente sentido:

Si r ∈ R, r se llamara una raız o cero de un polinomio p(x) ∈ R[x] si p(x) ∈ ker(ϕ(r)) o equivalentementep(r) = 0

(1) Aplicando esta idea al polinomio q(x) = ax2 + bx+ c ∈ R[x] tenemos para r ∈ R que

q(x) ∈ ker(ϕ(r)) ⇐⇒ ϕ(r)(q(x)) = 0⇐⇒ ar2 + br + c = 0

⇐⇒ r =−b±

√b2 − 4ac

2a∈ R

⇐⇒ b2 − 4ac ≥ 0

(2) Si b2 − 4ac < 0 entonces q(x) = ax2 + bx+ c 6∈ ker(ϕ(r)) (∀r; r ∈ R) y entonces los posibles graficospara la funcion q(x) son las siguientes:

Figura 10 : a > 0 ∧ (b2 − 4ac) < 0 Figura 11 : a < 0 ∧ (b2 − 4ac) < 0

Por tanto, en este caso, la situacion algebraica q(x) = ax2 + bx+ c 6∈ ker(ϕ(r)) (∀r; r ∈ R), significageometricamente que ”el grafico de q(x) no intersecta al Eje x”

201

202 10. ALGEBRA DEL CUERPO DE NUMEROS COMPLEJOS

(3) Si b2 − 4ac < 0 entonces −(b2 − 4ac) > 0. Ası que, en ese caso ”nos gustarıa tener” que:

r =−b±

√b2 − 4ac

2a

=−b±

√−(4ac− b2)2a

=−b±

√4ac− b2

√−1

2a(∗)

=−b2a︸︷︷︸∈R

±√

4ac− b22a︸︷︷︸∈R

√−1

Ası

r1 = c+ d√−1 6∈ R ∧ r2 = c− d

√−1 6∈ R

Donde

c = − b

2a∈ R ∧ d =

√4ac − b2

2a∈ R

(4) En (∗) encima hemos operado sin fundamento matematico, pues;

(a) En los numeros reales se verifica:

(a ≥ 0) ∧ (b ≥ 0) =⇒√ab =

√a√b

(b) Nada sabemos en otros casos posibles, como por ejemplo:

(a ≤ 0) ∧ (b ≤ 0)?

=⇒√ab =

√a√b (Pues, en este caso ni

√a /∈ R, ni tampoco

√b 6∈ R)

(c) En particular no podemos asegurar que√−1

?= 1 ·

√−1

(d) En cualquier caso el punto a observar es el siguiente, basta definir un conjunto donde exista√−1,

y en ese conjunto deberıan tener solucion las ecuaciones del tipo ax2 + bx+ c = 0.

En efecto

ax2 + bx+ c = 0 =⇒

x =−b±

√b2 − 4ac

2a∈ R Si (b2 − 4ac) ≥ 0

x =−b2a±√

4ac− b22a

√−1 ∈

(R + R

√−1)

Si (b2 − 4ac) < 0

Definicion 1.1. Llamaremos numeros complejos al conjunto

C = {u = a+ bi | a ∈ R ∧ b ∈ R ∧ i =√−1}

Analisis 1.1.1. Estudiemos este nuevo conjunto, en particular su operatoria, pues si no existe esta, es queel conjunto es equivalente a ser vacıo.

(1) C es un conjunto no vacıo, es decir C 6= ∅, pues u = 0 + 1 · i = i ∈ C

(2) Si definimos la funcion ϕ : R2 7−→ C tal que ϕ(x, y) = x + iy entonces ϕ es una biyeccion, porque esposible definir la funcion ϕ−1 : C 7−→ R2, tal que ϕ−1(x+ iy) = (x, y).

En efecto, por una parte vemos que,

1. CONSTRUCCION INTUITIVA DEL CUERPO DE NUMEROS COMPLEJOS 203

R2 ϕ7−→ Cϕ−1

7−→ R2

(x, y) 7−→ x+ iy 7−→ (x, y)

}=⇒ (ϕ−1 ◦ ϕ)(x, y) = (x, y)

Y por otra

Cϕ−1

7−→ R2 ϕ7−→ Cx+ iy 7−→ (x, y) 7−→ x+ iy

}=⇒ (ϕ ◦ ϕ−1)(z + iy) = x+ iy

Ası que ϕ es invertible y por tanto es una biyeccion.

(3) Como R2 es un grupo con la adicion, entonces usando la biyeccion construida podemos dotar a C deuna operatoria que lo transforme tambien en un grupo.

La idea es la siguiente, si

u1 = (x1, y1) 7−→ z1 = ϕ(x1, y1) = x1 + iy1

u2 = (x2, y2) 7−→ z2 = ϕ(x2, y2) = x2 + iy2

entonces definimos:

z1 + z2 := (x1 + x2) + i(y1 + y2) ( Pues, u1 + u2 = (x1 + x2, y1 + y2)

Como resultado de la gestion anterior tenemos el siguiente resultado

Teorema 1.1.2. (C,+) es un grupo abeliano, donde:

• 0C = 0 + 0 · i es el neutro aditivo.

• Si z = x+ iy entonces −z = −x− iy es el inverso aditivo de z

La accion geometrica del isomorfismo es:

(x, y)• z = x+ iy

ϕ

Figura 12: Isomorfismo entre R2 y C


En particular, tenemos que:

(1) (0, 1) ∈ R2 ϕ←→ i ∈ C

(2) Si z = x+ iy entonces llamaremos parte real de z a Re(z) = x y parte imaginaria de z a Im(z) = y

Ejemplo 1.1.3. Si z = 2− 3i entonces Re(z) = 2 e Im(z) = −3

1.2. Anillo de Numeros Complejos. Iniciamos esta seccion definiendo un producto de numeros com-plejos,

Definicion 1.2.1. Si z1 = x1 + iy1 ∈ C y z2 = x2 + iy2 ∈ C entonces definimos el producto de numeroscomplejos

z1 · z2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1)

Ejemplo 1.2.2. Si z1 = 2 + 3i y z2 = 1− 4i entonces

z1z2 = (2 + 3i)(1 − 4i)

= (2− (−12)) + i(3 + (−8))

= 14− 5i

Teorema 1.2.3. (C,+, ·) es un anillo conmutativo con identidad 1. Mas aun (C − {0}, ·) es un grupoabeliano.

Para verificar este resultado hacemos las siguientes etapas:

(1) Mostramos la propiedad asociativa, es decir que z1(z2z3) = (z1z2)z3 (∀zj ; zj ∈ C; j = 1, 2, 3)

En efecto

Si tomamos zj = aj + ibj ∈ C para j = 1, 2, 3 entonces aplicando la definicion de producto obtenemos:

z1(z2z3) = (a1 + ib1)((a2 + ib2)(a3 + ib3))

= (a1 + ib1)(a2a3 − b2b3) + i(a2b3 + a3b2)

= (a1(a2a3 − b2b3)− b1(a2b3 + a3b2)) + i(a1(a2b3 + a3b2) + b1(a2a3 − b2b3))= ((a1a2 − b1b2)a3 − (b1a2 + a1b2)b3) + i((a1b2 + b1a2)a3 + (a1a2 − b1b2)b3)= (z1z2)z3

(2) A seguir mostramos que el complejo 1 = 1 + 0i es el neutro multiplicativo

En efecto

Si z = a+ ib ∈ C entonces z · 1 = (a+ ib)(1 + i · 0) = (a− 0) + i(0 + b) = a+ ib = z

Analogamente, 1 · z = z. Ası que 1 + 0i es el neutro para el producto de complejos.

(3) Para la distributividad, z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 (∀zi : zi ∈ C; i = 1, 2, 3). Calculamos directamente

2. CONSTRUCCION ALGEBRAICA DE C 205

z1(z2 + z3) = (a1 + ib1)((a2 + ib2) + (a3 + ib3))

= (a1 + ib1)((a2 + a3) + i(b2 + b3))

= a1(a2 + a3)− b1(b2 + b3) + i(a1(b2 + b3) + b1(a2 + a3))

= (a1a2 − b1b2) + (a1a3 − b1b3) + i((a1b2 + a2b1) + (a1b3 + b1a3))

= (a1a2 − b1b2) + i(a1b2 + a2b1) + (a1a3 − b1b3) + i(a1b3 + b1a3)

= z1z2 + z1z3

(4) Para la conmutatividad z1z2 = z2z1 (∀zi : zi ∈ C; i = 1, 2) procedemos como antes, y obtenemos que

z1z2 = (a1 + ib1)(a2 + ib2) = (a1b1 − a2b2) + i(a1b2 + a2b1) = (b1a1 − b2a2) + i(b1a2 + b2a1) = z2z1

(5) Finalmente, si z = x+ iy ∈ C− {0} entonces

z−1 =x

x2 + y2− i y

x2 + y2

es el inverso multiplicativo de z.

En efecto

z · z−1 = (x+ iy)

(x

x2 + y2− i y

x2 + y2

)=x2 + y2

x2 + y2+ i

(−xy + xy

x2 + y2

)= 1 + 0i

Analogamente,

z−1 · z =

(x

x2 + y2− i y

x2 + y2

)(x+ iy) =

x2 + y2

x2 + y2+ i

(xy − xyx2 + y2

)= 1 + 0i

Ası que U(C) = C− {0 + 0i}

Luego, (C,+, ·) es un anillo conmutativo con identidad 1. Mas aun (C− {0}, ·) es un grupo abeliano.

Definicion 1.2.4. Sea A un conjunto no vacıo. Diremos que A es un cuerpo conmutativo con identidad 1si (A, ∗, ◦) es un anillo conmutativo con identidad 1 y todo elemento no nulo tiene inverso multiplicativo,es decir U(A) = A− {0}Ejemplo 1.2.5.

(1) C es el cuerpo de numeros complejos

(2) R es el cuerpo de numeros reales

(3) Q es el cuerpo de numeros racionales

(4) Zp es el cuerpo de enteros modulo p, si p es un numero primo

2. Construccion algebraica de C

Para esta construccion usaremos las ideas desarrolladas en el proyecto de integracion (5).

Ası que iniciamos definiendo en el anillo de polinomios R[x] la siguiente relacion

p(x) ℧ q(x) ⇐⇒ (x2 + 1)|(p(x) − q(x))⇐⇒ (∃ c(x); c(x) ∈ R[x]) : p(x)− q(x) = (x2 + 1)c(x)


Y concluiremos, despues de pasar las siguientes etapas:

Etapa 1. ℧ es una relacion de equivalencia

Etapa 2. 0 = {p(x) ∈ R[x] | (x2 + 1)|p(x)}Etapa 3. Si definimos i2 = −1 entonces p(x) ∈ 0⇐⇒ p(i) = 0

Etapa 4.⋃

p(x)∈R[x]

p(x) = {a+ bi | a ∈ R ∧ b ∈ R}

Etapa 1. ℧ es una relacion de equivalencia

En efecto

• p(x)− p(x) = 0 = 0 · (x2 + 1). Ası que p(x) ℧ p(x) y ℧ es una relacion reflexiva.

• Si p(x) ℧ q(x) entonces (∃ c(x); c(x) ∈ R[x]) : p(x)− q(x) = (x2 + 1)c(x), Pero

q(x)− p(x) = −(p(x)− q(x))= −[(x2 + 1)c(x)]= (x2 + 1)(−c(x))

=⇒ q(x)℧p(x)

Ası que q(x) ℧ p(x) y ℧ es una relacion simetrica

• Si suponemos que p(x) ℧ q(x) y q(x) ℧ h(x) entonces (∃ r1(x); r1(x) ∈ R[x]) y r2(x); r2(x) ∈ R[x] talque p(x)− q(x) = (x2 + 1)r1(x) y q(x)− h(x) = (x2 + 1)r2(x). Luego tenemos que

p(x)− q(x) + q(x)− h(x) = (x2 + 1)r1(x) + (x2 + 1)r2(x) =⇒ p(x)− h(x) = (x2 + 1)[r1(x) + r2(x)]

Ası que p(x) ℧ h(x) y ℧ es una relacion transitiva, y en consecuencia es una relacion de equivalencia.

Etapa 2. 0 = {p(x) ∈ R[x] | (x2 + 1)|p(x)}

En efecto

p(x) ∈ 0 ⇐⇒ p(x) ∈ R[x] ∧ p(x) ℧ 0

⇐⇒ p(x) ∈ R[x] ∧ (x2 + 1)|(p(x) − 0)

⇐⇒ p(x) ∈ R[x] ∧ (∃ c(x); c(x) ∈ R[x] ∧ p(x) = (x2 + 1)c(x))

Por tanto,

0 = {(x2 + 1)c(x) | c(x) ∈ R[x]}

Etapa 3. Si definimos i2 = −1 entonces p(x) ∈ 0⇐⇒ p(i) = 0

En efecto

p(x) ∈ 0 ⇐⇒ p(x) ∈ R[x] ∧ (∃ c(x); c(x) ∈ R[x]) : p(x) = (x2 + 1)c(x)

⇐⇒ p(x) ∈ R[x] ∧ (∃ c(x); c(x) ∈ R[x]) : p(i) = (i2 + 1)r(i)

⇐⇒ p(x) ∈ R[x] ∧ p(i) = 0

3. INTERPRETACION GEOMETRICA DE C 207

Etapa 4.⋃

p(x)∈R[x]

p(x) = {a+ bi | a ∈ R ∧ b ∈ R}

En efecto

Sea p(x) ∈ R[x] entonces p(x) = (x2 + 1)s(x) + r(x), donde ∂(p(x)) ≤ 1

p(x) = (x2 + 1)s(x) + r(x) =⇒ p(i) = (i2 + 1)s(i) + r(i) =⇒ p(i) = r(i)

Concluimos que:

• 0 = x2 + 1 =⇒ x = i

• p(x) = (x2 + 1)s(x) + r(x) : ∂(p(x)) ≤ 1 =⇒ p(x) = r(x) = a+ bx

• p(x) = a+ bx =⇒ p(x) = a+ bx = a+ bi

•⋃

p(x)∈R[x]

p(x) =⋃

p(x)∈R[x]

p(x) =⋃

p(x)∈R[x]

p(i) = {a+ bi | a ∈ R ∧ b ∈ R}

3. Interpretacion Geometrica de C

Inicialmente asociemos a un complejo z un angulo α, segun la figura:

z = x+ iy

y

x

α

Figura 13 : Un complejo y su angulo

Y si llamamos modulo del complejo z, a |z| =√x2 + y2 entonces aplicando ideas basicas de trigonometrıa

obtenemos que

x = |z| cosα ∧ y = |z| senα

Definicion 3.1. Llamaremos forma polar o trigonometrica de z a

z = |z|(cosα+ i senα)

Ejemplo 3.1.1. Si z = 1 + i entonces ϕ(1, 1) = 1 + i. Ası que


x = |1 + i| cos π4

y = |1 + i| sen π4

=⇒ (1 + i) =√

2(cos

π

4+ i sen

π

4

)

3.2. Raıces de la Unidad. En lo que sigue estaremos interesados en resolver la ecuacion xn = 1, es deciren determinar el conjunto

R(n) = {u ∈ C | un = 1}Definicion 3.2.1. u ∈ C se llamara una raız n esima, (n ∈ N) de la unidad si u ∈ R(n), equivalentementesi satisface la ecuacion xn = 1, es decir, si verifica que un = 1

Para determinar el conjunto R(n) = {u ∈ C | un = 1} usaremos una estrategia, basada esencialmente en laspropiedades que se desprenden de la forma polar de un complejo z.

(1) Aplicamos el metodo de Induccion para mostrar la formula de Abraham de Moivre

(cosα+ i senα)n = (cosnα+ i sennα) (∀n;n ∈ N) (108)

� Si n = 2 entonces

(cosα+ i senα)2 = cos2 α+ 2i cosα senα− sen2 α

= cos2 α− sen2 α+ 2i cosα senα

= cos 2α+ i sen 2α

� Ahora para n = k suponemos verdadero que (cosα+ i senα)k = cos kα+ i sen kα

� Finalmente mostramos que (108) se verifica para n = k + 1

(cosα+ i senα)k+1 = (cosα+ i senα)k(cosα+ i senα)= (cos kα+ i sen kα)(cosα+ i senα)= cos kα cosα+ i(cos kα senα+ sen kα cosα)− sen kα senα= cos kα cosα− sen kα senα+ i(cos kα senα+ sen kα cosα)= cos(kα+ α) + i sen(kα+ α)= cos(k + 1)α+ i sen(k + 1)α)

Ası que

(cosα+ i senα)n = cosnα+ i sennα (∀n;n ∈ N)

(2) Aplicando el resultado obtenido en (108) tenemos que

zn = 1 ⇐⇒ |z|n(cosnα+ i sennα) = 1 + 0i⇐⇒ |z| cos nα = 1|z| sen nα = 0

=⇒ |z|2 cos2 nα = 1|z|2 sen2 nα = 0

=⇒ |z|2(cos2 nα+ sen2 nα) = 1 =⇒ |z|2 = 1 =⇒ |z| = 1

Luego,

zn = 1 ⇐⇒ cosnα = 1sennα = 0

=⇒ nα = 2kπ (k ∈ Z) =⇒ α =2kπ

n(k ∈ Z)

3. INTERPRETACION GEOMETRICA DE C 209

Finalmente, haciendo las respectivas sustituciones tenemos que

zn = 1 ⇐⇒ z = cos2kπ

n± i sen 2kπ

n

Por tanto las soluciones de la ecuacion zn − 1 = 0 son

R(n) =

{z = cos

2kπ

n± i sen 2kπ

n| k ∈ Z

}

(3) Faltan aun algunas importantes precisiones. Si notamos por

ωn = cos2π

n− i sen 2π

n(109)

entonces

(a) ωnn = cos2nπ

n− i sen 2nπ

n= cos 2π − i sen 2π = 1

(b) (ωkn)n = (ωnn)k = 1 (∀k; k ∈ Z)

(c) De los resultados anteriores, sigue que las soluciones de la ecuacion zn = 1 son

R(n) = {ω0n, ω

1n, ω

2n, . . . , ω

n−1n } = {1, ωn, ω2

n, . . . , ωn−1n } (110)

Ejemplo 3.2.2.

Si n=2 entonces

R(2) = {1, ω2} =

{1, cos

2π

2− i sen 2π

2

}= {1,−1}

Graficamente tenemos:

(1, 0)ω2

Figura 14 : R(2)


Si n=3 entonces

R(3) = {1, ω3, ω23}

=

{1, cos

2π

3− i sen 2π

3, cos

4π

3− i sen 4π

3

}

= {1, cos 120− i sen 120, cos 240 − i sen 240}

Graficamente tenemos:

(1, 0)

ω3

ω23

Figura 15 : R(3)

Concluimos esta seccion, en primer lugar observando que R(n) divide en n partes iguales al cırculounitario, y para identificar estas raıces de ahora en adelante haremos la siguiente definicion.

Definicion 3.2.3. ωn se llamara una raız n-esima primitiva de la unidad y ωkn se llamara una raızn-esima de la unidad.

4. Aplicaciones

4.1. Solucion de la ecuacion zn = u. Este caso lo solucionamos aplicando los resultados obtenidos en laseccion anterior.

(1) zn = u⇐⇒ zn

u= 1⇐⇒

(z

n√u

)n= 1

(2) Si llamamos q =z

n√u

entonces las soluciones de la ecuacion qn = 1 son dadas por R(n), ası que la

solucion final debe ser del tipo, zk = n√u · ωkn, para k = 0, 1, 2, . . . , n− 1.

(3) Por otra parte, como u = |u|(cosα+ i senα) entonces

n√u = |u| 1n (cosα+ i senα)

1

n

= |u| 1n(cos

α

n+ i sen

α

n

)

4. APLICACIONES 211

(4) Finalmente las soluciones son del tipo:

zk = n√u · ωkn

= |u| 1n(cos

α

n+ i sen

α

n

)·(

cos2kπ

n− i sen 2kπ

n

)

= |u| 1n[cos

α− 2kπ

n+ i sen

α− 2kπ

n

]k = 0, 1, 2, . . . , n− 1

(111)

Ejemplo 4.1.1. Si z3 = 1 + i determinamos en primer lugar, la forma polar del complejo 1 + i. Es decir

1 + i = |1 + i|(cosα+ i senα) =⇒√

2 cosα = 1√2 senα = 1

=⇒ α =π

4

Por tanto

1 + i =√

2(cos

π

4+ i sen

π

4

)

Luego aplicando (111) a la ecuacion z3 = 1 + i tenemos que las soluciones son del tipo

zk = 21

6

(cos

45− 2kπ

3+ i sen

45− 2kπ

3

)k = 0, 1, 2

Es decir,

z0 = 21

6 (cos 15 + i sen 15)

z1 = 21

6 (cos 315 − i sen 315)

z2 = 21

6 (cos 675 − i sen 675)

4.2. La Matriz de Fourier. Dada la periodicidad de ωn, es decir una raız primitiva n-esima de la unidadsatisface las propiedades:

(1) ωnn = 1

(2) Si s ∈ Z y s > n como s = rn+ t, con t < n entonces ωsn = ωrn+tn = ωrnn ω

t = ωt

Podemos construir una matriz de orden n sobre C.

Definicion 4.2.1. Llamaremos matriz de Fourier de orden n a la matriz, Fn = (ωn)i·j ∈ MC(n); tal que

(0 ≤ i ≤ n− 1) (0 ≤ j ≤ n− 1)

Es decir,

Fn =

ω0·0n ω0·1

n ω0·2n · · · ω

0·(n−1)n

ω1·0n ω1·1

n ω1·2n · · · ω

1·(n−1)n

ω2·0n ω2·1

n ω2·2n · · · ω

2·(n−1)n

......

......

...

ω(n−1)·0n ω

(n−1)·1n ω

(n−1)·2n · · · ω

(n−1)·(n−1)n

=

1 1 1 · · · 1

1 ω1·1n ω1·2

n · · · ω1·(n−1)n

1 ω2·1n ω2·2

n · · · ω2·(n−1)n

......

......

...

1 ω(n−1)·1n ω

(n−1)·2n · · · ω

(n−1)·(n−1)n


Ejemplo 4.2.2.

(i) F2 =

(1 11 −1

)(ii) F3 =

1 1 11 ω3 ω2

31 ω2

3 ω3

(iii) F4 =

1 1 1 11 −i −1 i1 −1 1 −11 i −1 −i

Observacion 4.2.3. Si consideramos la ecuacion Fn ·X = X, donde

X =

x0

x1...

x(n−1)

︸︷︷︸Datos

∧ X =

x0

x1...

x(n−1)

︸︷︷︸Transformados

Entonces de acuerdo al producto de matrices y a la igualdad de matrices tenemos que cada datotransformado se calcula de la forma:

xk =

n−1∑

s=0

xsωksn (k = 0, 1, 2, . . . , n− 1)

Para n = 2 tenemos

xk =1∑

n=0

xnwkn2 (k = 0, 1)

=1∑

n=0

xn(−1)kn (k = 0, 1)

= x0(−1)k·0 + x1(−1)k·1 (k = 0, 1)

⇓x0 = x0 + x1

x1 = x0 − x1

Es decir,

(1 11 −1

)(x0

x1

)=

(x0

x1

)=

(x0 + x1

x0 − x1

)

Para n = 22 tenemos para (k = 0, 1, 2, 3) que

xk =

22−1∑

n=0

xnωkn4

= x0ωk·04 + x1ω

k·14 + x2ω

k·24 + x3ω

k·34

= x0 + x1ωk4 + x2ω

2k4 + x3ω

3k4

= x0 + x1ωk4 + x2(ω

k4 )2 + x3(ω

k4 )3

4. APLICACIONES 213

Ahora como ω4 =

(cos

2π

4− i sen 2π

4

)entonces tenemos la siguiente util formula de reduccion

ω24 =

(cos

2π

4− i sen 2π

4

)2

=

(cos

2 · 2π4− i sen 2 · 2π

4

)

=

(cos

2π

2− i sen 2π

2

)

= ω2

Ası que reordenamos la expresion de xk, para posteriormente aplicar la formula,

xk = x0 + x1ωk4 + x2(ω

24)k + x3(ω

34)k

= x0 + x1ωk4 + x2(ω

24)k + x3(ω

24ω4)

k

= x0 + x1ωk4 + x2(ω

24)k + x3(ω

24)kωk4

= x0 + x1ωk4 + x2ω

k2 + x3(ω2)

kωk4

= x0 + x2ωk2 + (x1 + x3ω

k2 )ωk4

= x0 + x2(−1)k + (x1 + x3(−1)k)ωk4 (recordar que ω2 = (−1))

Para cada k = 0, 1, 2, 3 obtenemos

x0 = (x0 + x2) + (x1 + x3)x1 = (x0 − x2) + (x1 − x3)ω4

x2 = (x0 + x2) + (x1 + x3)ω24

x3 = (x0 − x2) + (x1 − x3)ω34

⇐⇒x0 = (x0 + x2) + (x1 + x3)x1 = (x0 − x2) + (x1 − x3)ω4

x2 = (x0 + x2)− (x1 + x3)x3 = (x0 − x2)− (x1 − x3)ω4

Luego, tenemos para calcular la transformada de orden 4, el siguiente algoritmo.

xk =

22−1∑

n=0

xnωkn4 =

1∑

n=0

x2nωkn2 + ωk4

1∑

n=0

x2n+1ωkn2

Podemos esquematizar para n = 2 este procedimiento como sigue:

x0

x1

x0

x1

Para n = 4


x0

x1

x2

x3

x0 x0 + x2

x2 x0 − x2

x1 x1 + x3

x3 x1 − x3

x0

x1

ω4

ω4

x2

x3

Etapa de

Permutacion

Aplicacion de

F2

Aplicacion de

F2 alterada

Datos

Originales

Datos

transformados

Finalmente, si n = 2s obtenemos la formula de reduccion:1

xk =

2s−2

2∑

n=0

x2nωkn2s−1 + ωk2s

2s−2

2∑

n=0

x2n+1ωkn2s−1

5. Ejercicios Resueltos

(1) Si x1 = α− α4 y x2 = α2 − α3 entonces demostremos que

α5 = 1 =⇒ x21 + x2

2 + 5 = 0

En efecto

x21 + x2

2 = (α− α4)2 + (α2 − α3)2

= α2 − 2α5 + α8 + α4 − 2α5 + α6

= α2 − 2 + α3 + α4 − 2 + α

= −4 + α+ α2 + α3 + α4

Pero, 1 + α+ α2 + α3 + α4 = 0, puesα5 − 1

α− 1= 1 + α+ α2 + α3 + α4 y α5 − 1 = 0.

Ası que α+ α2 + α3 + α4 = −1 y x21 + x2

2 = −5

(2) Demostremos quen∑

i=0

ωin = 1

Solucion

(i) ωnn = 1, pues ωn = cos2π

n+ i sen

2π

ny entonces ωnn = cos

2πn

n+ i sen

2πn

n= 1

(ii)ωnn − 1

ωn − 1= 1 + ωn + ω2

n + · · ·+ ωn−1n =⇒ 1 + ωn + ω2

n + · · ·+ ωn−1n = 0

1Todo lo anterior es descrito por el famoso y popular ” Algoritmo de Cooley - Tukey ”


Ası que,

n∑

i=0

ωin = 1 + ωn + ω2n + · · · + ωn−1

n︸︷︷︸0

+ωnn = ωnn = 1

(3) Si w ∈ C tal que w3 = i ∧ Re(w) < 0 entonces calculemos |w − i|

Solucion

Como w3 = i entonces w es raız cubica de i , esto es:

w3 = i = cos(π

2

)+ i sen

(π2

)

=⇒ w = cos

( π2 + 2kπ

3

)+ i sen

( π2 + 2kπ

3

), k ∈ {0, 1, 2}.

Y como por hipotesis Re(w) < 0 =⇒ w = cos

( π2 + 2π

3

)+ i sen

( π2 + 2π

3

)

=⇒ w = cos

(5π

6

)+ i sen

(5π

6

)= −√

3

2+i

2

(Si k = 0 =⇒ Re(w) > 0 y si k = 2 =⇒ Re(w) = 0)

Ası |w − i| =∣∣∣∣∣−√

3

2+i

2− i∣∣∣∣∣ = 1

(4) Demostremos que ω22s = ωs para cada (s ∈ N)

En efecto

Para cada (s ∈ N) tenemos:

ω22s =

(cos

2π

2s− i sen 2π

2s

)2

= cos2 · 2π

2s− i sen 2 · 2π

2s

= cos2π

s− i sen 2π

s= ωs

(5) Si consideramos la ecuacion F8 ·X = X, donde

X =

x0

x1...

x7)

︸︷︷︸Datos

∧ X =

x0

x1...

x(7)

︸︷︷︸Transformados


entonces para cada (k = 0, 1, 2, . . . , 7) se tiene que:

xk =

3∑

n=0

x2nωkn4 + ωk8

3∑

n=0

x2n+1ωkn4

En efecto

Si n = 23 tenemos para (k = 0, 1, 2, . . . , 7) por definicion que

xk =

23−1∑

n=0

xnωkn8

= x0ω08 + x1ω

k8 + x2ω

2k8 + x3ω

3k8 + x4ω

4k8 + x5ω

5k8 + x6ω

6k8 + x7ω

7k8

= x0ω08 + x1ω

k8 + x2ω

k4 + x3ω

k4ω

k8 + x4ω

2k4 + x5ω

2k4 ωk8 + x6ω

3k4 + x7ω

3k4 ωk8

= x0 + x2ωk4 + x4ω

2k4 + x6ω

3k4 + x1ω

k8 + x3ω

k4ω

k8 + x5ω

2k4 ωk8 + x7ω

3k4 ωk8

= x0 + x2ωk4 + x4ω

2k4 + x6ω

3k4 + (x1 + x3ω

k4 + x5ω

2k4 + x7ω

3k4 )ωk8

=

3∑

n=0

x2nωkn4 + ωk8

3∑

n=0

x2n+1ωkn4


(1) Resuelva las siguientes ecuaciones:

(i) x3 − 27 = 0(ii) x5 + 32 = 0(iii) x6 − i = 0(iv) x6 − 1 = 0

(2) Si definimos eix = cos x+ i senx, (formula de Euler) entonces:(i) Demuestre que

cosx =eix + e−ix

2∧ senx =

eix − e−ix2i

(ii) Demuestre que

cos2 y · sen2 y = −1

8cos 4y +

1

8

(iii) Demuestre que

2 + i =√

5 ei arctan( 1

2)

(3) Si z ∈ C y r ∈ R entonces demuestre que:

z =i− r

1 + 2ir=⇒

∣∣∣∣z −3

4i

∣∣∣∣ =1

4

(4) Demuestre que(√

3

2+

1

2i

)(−1− i

√3)(cos

π

5+ i sen

π

5

)10n= −2i

(5) Si x1 = α− α4 y x2 = α2 − α3 entonces demuestre que

α5 = 1 =⇒ x21 + x2

2 = −5


(6) Demuestre que

i

(1− eix1 + eix

)= tan

x

2

(7) Calcule

1 + i tanα

1− i tanα(8) Determine el conjunto

S = {z ∈ C | z = z2}

(9) Si z ∈ C− {0} demuestre que

z +1

z∈ R =⇒ Im(z) = 0 ∨ |z| = 1

(10) Si z ∈ C− {0} y z 6= ±i entonces demuestre que

z · z = 1 =⇒ z

1 + z2∈ R

(11) Demuestre que las raıces cubicas de la unidad son los vertices de un triangulo equilatero.

(12) Demuestre que

z ∈ R(7)− {1} =⇒ z

1 + z2+

z2

1 + z4+

z3

1 + z6= −2

(13) Si z = n! + i(n − 1)! y w = n+ i entonces demuestre que∣∣∣z

w

∣∣∣ = (n− 1)!

(14) Si z = cos θ + i sen θ entonces demuestre que

zn +1

zn= 2cos nθ

(15) Demuestre que

(√

3− i)n = 2n[cos

nπ

6− i sen nπ

6

]

(16) Si z = 6

√1− i√3 + i

. Determine Re(z) e Im(z)

(17) Si xn + iyn =(2− 2i

√3)n

entonces demuestre quex10

x8+y10

y8= 0

(18) Si xn + iyn = (√

3 + i)6n entonces demuestre que xn + 26xn−1 = 0

(19) Si xn + iyn =

(1 + i√

2

)nentonces demuestre que xnyn−1 − xn−1yn = −1

2

√2


(20) Determine el conjunto

S =

{(x, y) ∈ R2 | 1

x+ iy+

2

x− iy = 1 + i

}

(21) si ρ = |a+ bi| entonces demuestre que

√a+ bi = ±

[√ρ+ a

2+ i

√ρ− a

2

]

(22) Si p(z) = z6 + 2z5 + 2z4 + 2z3 + 2z2 + 2z + 1 ∈ C[z]. Determine el conjunto

S = {u ∈ C | p(u) = 0}Ayuda: Observe que p(−1) = 0

(23) Descomponga en fracciones parciales

u(x) =3x+ 1

x6 − 1

(24) Para el sistema lineal

(1 + i)z − iw = 2 + i(2 + i)z + (2− i)w = 2i

(∗)

Determine el conjunto

S = {(z,w) ∈ C2 | (∗) tiene solucion}

UNIDAD 11

Raıces de Polinomios

1. Introduccion

El objetivo principal de esta seccion es exponer y analizar algunos resultados relacionados con la obtencionde las raıces de polinomios. Para ello desarrollaremos algunas etapas, (no debemos olvidar que este es untexto para ser estudiado y analizado en primer ano).

Etapa 1. Sean p(x) =

n∑

s=0

asxss ∈ C[x] y q(x) =

m∑

s=0

bsxs ∈ C[x] entonces dividiendo p(x) entre q(x) tenemos

que existen unicos g(x) ∈ C[x] y r(x) ∈ C[x] tal que

p(x) = q(x)g(x) + r(x) (∂(r(x)) < ∂(q(x))) (112)

Ejemplo 1.1. Sea p(x) = 3x5 − 2x3 + 5x2 − 4 y q(x) = x− 1 entonces efectuando la division tenemos que

3x5 − 2x3 + 5x2 − 4 : x− 1 = 3x4 + 3x3 + x2 + 6x+ 6(−) 3x5 − 3x4

−−−−−−−−−3x4 − 2x3 + 5x2 − 4

(−) 3x4 − 3x3

−−−−−−−−−x3 + 5x2 − 4

(−) x3 − x2

−−−−−−−−−6x2 − 4

(−) 6x2 − 6x−−−−−−−−−6x− 4

(−) 6x− 6−−−−−−−−−2

Luego,

3x5 − 2x3 + 5x2 − 4︸︷︷︸p(x)

= (x− 1)︸︷︷︸q(x)

(3x4 + 3x3 + x2 + 6x+ 6)︸︷︷︸g(x)

+ 2︸︷︷︸r(x)

Etapa 2. Como consecuencia inmediata de (112) tenemos que:

α ∈ C es una raız de p(x) ∈ C[x]⇐⇒ p(x) = (x− α)g(x)

Pues, de (112) sigue que existe c ∈ C tal que

p(x) = (x− α)g(x) + c =⇒ p(α) = (α − α)g(α) + c =⇒ p(α) = c

Ası que, si α es una raız de p(x) entonces p(α) = 0 y c = 0 y p(x) = (x− α)g(x).

219

220 11. RAICES DE POLINOMIOS

Recıprocamente, si p(x) = (x− α)g(x) entonces p(α) = 0 y α es una raız de p(x).

Etapa 3. Como consecuencia inmediata de la Etapa 2. tenemos que ”Todo polinomio de grado n en C[x]tiene a lo mas n raıces”.

En efecto

Si p(x) ∈ C[x] es un polinomio de grado n y posee una raız α1 ∈ C entonces p(x) = (x − α1)q1(x), dondeq1(x) ∈ C[x] y ∂(q1(x)) = n− 1. Aplicando iteradamente esta idea debemos tener que

p(x) = (x− α1)(x− α2) · · · (x− αs)qs(x) (donde qs(x) no tiene mas raıces)

Es claro que s ≤ n y que p(x) tiene a lo mas n raıces en C

Etapa 4. Si asumimos el resultado conocido como ”Teorema Fundamental del Algebra”1 el cual dice queTodo polinomio en C[x], tiene una raız en C entonces ”Todo polinomio de grado n en C[x] tiene exactamenten raıces”.

Ejemplo 1.1.1. Si p(x) = c0 + c1x+ c2x2 + x3 entonces determinemos el conjunto

S = {(c0, c1, c2) ∈ R3 | p(2) = 3 ∧ p(1) = 2 ∧ p(−1) = 4}Antes de determinar S observemos que:

p(2) = 3 significa que p(x) = (x− 2)q(x) + 3

p(1) = 2 significa que p(x) = (x− 1)s(x) + 2

p(−1) = 4 significa que p(x) = (x+ 1)t(x) + 4

Ahora, iniciemos nuestro analisis:

u ∈ S ⇐⇒ u = (c0, c1, c2) ∈ R3 ∧ (p(x) = c0 + c1x+ c2x2 + x3 ∧ p(2) = 3 ∧ p(1) = 2 ∧ p(−1) = 4)

⇐⇒ u = (c0, c1, c2) ∈ R3 ∧c0 + 2c1 + 4c2 + 8 = 3c0 + c1 + c2 + 1 = 2c0 − c1 + c2 − 1 = 4

⇐⇒ u = (c0, c1, c2) ∈ R3 ∧c0 + 2c1 + 4c2 = −5c0 + c1 + c2 = 1c0 − c1 + c2 = 5

(1)(2)(3)

=⇒ u = (c0, c1, c2) ∈ R3 ∧ De (2)− (3) sigue que c1 = −2 ∧c0 − 4 + 4c2 = −5c0 − 2 + c2 = 1c0 + 2 + c2 = 5

(1)(2)(3)

=⇒ u = (c0,−2, c2) ∈ R3 ∧ c0 + 4c2 = −1c0 + c2 = 3

(1)(2)

=⇒ u = (c0,−2, c2) ∈ R3 ∧ De (1)− (2) sigue que c2 = −4

3∧ c0 =

13

3

=⇒ u =

(13

3,−2,−4

3

)

1La demostracion de este genial resultado excede las posibilidades de este texto, sin embargo, sera intere-sante leer su evolucion desde Gauss en adelante, (Ver por ejemplo el sitio web del Instituto Schiller enhttp://www.schillerinstitute.org/newspanish/InstitutoSchiller/Ciencia/VisibleTFalgebra.html).

2. DIVISION SINTETICA DE HORNER 221

Luego, S =

{(13

3,−2,−4

3

)}y p(x) =

13

3− 2x− 4

3x2 + x3

Observacion 1.1.2. Podemos rebobinar lo expuesto y concluir que

(1) (∀c; c ∈ R) p(x) = (x− c)q(x) + r(x) tal que ∂(r(x)) = 0

(2) (∀c; c ∈ R) p(x) = (x− c)q(x) + r(x) =⇒ p(c) = r(c)

(3) Si p(x) = (x− c)q(x) + r(x) entonces p(c) = 0⇐⇒ r(c) = 0

(4) Luego, tiene sentido investigar la relacion que existe entre el nucleo del homomorfismo evaluacion ϕ(c)descrito en (107) y el resto de la division. En ese sentido tenemos la siguiente idea, conocida como”Division Sintetica de Horner”.

2. Division Sintetica de Horner

Si p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + ·+ an−1x

n−1 + anxn tal que ∂(p(x)) = n, es decir an 6= 0 entonces procedemos

segun el siguiente algoritmo:

Etapa 1. Evaluamos el polinomio en c ∈ R, y obtenemos:

p(c) = ancn + an−1c

n−1 + an−2cn−2 + · · ·+ a2c

2 + a1c+ a0 (113)

Etapa 2. Factorizamos c en forma anidada en (113), es decir:

p(a) = (· · · (((anc+ an−1)c+ an−2)c+ an−3)c+ · · · )c+ a0 (114)

Etapa 2.1 Si p(x) = a3x3 + a2x

2 + a1x+ a0 entonces para c = 2 tenemos que

p(2) = a323 + a22

2 + a12 + a0

= (a322 + a22 + a1)2 + a0

= ((a32 + a2)2 + a1)2 + a0

En particular, si p(x) = 3x3 + 5x2 + x+ 7 entonces

p(2) = ((3 · 2 + 5)2 + 1)2 + 7

= 53

Etapa 3. Definimos la secuencia de calculos.

cn = an · c+ an−1

cn−1 = cn · c+ an−2

cn−2 = cn−1 · c+ an−3...

......

cn−k = cn−(k−1) · c+ an−(k+1)...

......

c1 = c2 · c+ a0 = p(c)


Etapa 4. Finalmente procedemos con la implementacion del proceso

an an−1 an−2 · · · a0 c

an · c cn · c c2 · c· · ·

an cn cn−1 · · · p(c)

Figura 16: Algoritmo de Horner

Todo lo anterior lo archivamos en el siguiente teorema

Teorema 2.1. Division Sintetica de Horner. Si p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · · + a2x2 + a1x + a0 tal

que ∂(p(x)) = n entonces

p(x) = (x− c)(anxn−1 + cnxn−2 + · · ·+ c1) + r

Donde,

cn = an · c+ an−1

cn−1 = cn · c+ an−2

cn−2 = cn−1 · c+ an−3...

......

cn−k = cn−(k−1) · c+ an−(k+1)...

......

c1 = c2 · c+ a0 = p(c)

Ejemplo 2.1.1. Si p(x) = 3x3 + 5x2 + x+ 7 entonces para x = 0 el algoritmo se comportarıa como sigue:

3 5 1 7 0

3 · 0 5 · 0 1 · 0

3 5 1 7

Ası que, p(x) = 3x3 + 5x2 + x+ 7 = (x− 0)(3x2 + 5x+ 1) + 7 = x(3x2 + 5x+ 1) + 7 y p(0) = 7

Ejemplo 2.1.2. Si p(x) = 3x3 + 5x2 + x+ 7 entonces para x = 2 el algoritmo se comportarıa como sigue:

3 5 1 7 2

6 22 46

3 11 23 53

3. RAICES RACIONALES PARA POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS 223

Ası que, p(x) = 3x3 + 5x2 + x+ 7 = (x− 2)(3x2 + 11x+ 23) + 53

Ejemplo 2.1.3. Si p(x) = 3x3 + 5x2 +x+ 6 entonces para x = −2 el algoritmo se comportarıa como sigue:

3 5 1 6 −2

−6 2 −6

3 −1 3 0

Ası que, p(x) = 3x3 + 5x2 + x+ 2 = (x− (−2))(3x2 + 5x+ 1) + 0 = (x+ 2)(3x2 + 5x+ 1) y p(−2) = 0

3. Raıces Racionales para polinomios con coeficientes enteros

Sea p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 ∈ Z[x], es decir ai ∈ Z, para (0 ≤ i ≤ n). Si existe c =r

s∈ Q

tal que r y s no tienen factores comunes2 y p(c) = 0 entonces a0 es multiplo de r y an es multiplo de s. Esdecir r|a0 y s|an

En efecto

Si p(c) = 0 entonces debemos tener que

p(c) = 0 =⇒ an

(rs

)n+ an−1

(rs

)n−1+ · · ·+ a1

(rs

)+ a0 = 0

=⇒ an

(rn

sn

)+ an−1

(rn−1

sn−1

)+ · · · + a1

(rs

)+ a0 = 0

=⇒ anrn + an−1r

n−1s+ · · · + a1rsn−1 + a0s

n = 0

(115)

De (115), sigue que s|an, pues, r y s no tienen factores comunes y

anrn = −(an−1r

n−1s+ · · ·+ a1rsn−1 + a0s

n)

= −(an−1rn−1 + · · · + a1rs

n−2 + a0sn−1)s

Del mismo modo de (115), sigue que r|a0, pues, r y s no tienen factores comunes y

aosn = −(anr

n + an−1rn−1s+ · · ·+ a1rs

n−1)

= −(anrn−1 + an−1r

n−2 + · · · + a1sn−2)r

Ejemplo 3.1. Sea p(x) = 6x3 + 5x2 + −3x − 2 entonces si queremos aplicar el resultado descrito en laseccion 3, procedemos como sigue:

2Esto es siempre posible, pues si en Q,c

d=

a · r

a · sentonces

c

d=

r

s, ver para mayor informacion la construccion de los numeros

racionales.


(1) Determinamos los divisores para este caso; Div(2) = {±1,±2} y Div(6) = {±1,±2,±3,±6}.

(2) Construimos los candidatos a raıces para este polinomio, en el caso son:

R =

{±1,±1

2,±1

3,±1

6,±2,±2

3

}

(3) Aplicamos, por ejemplo Horner para testear los candidatos:

6 5 −3 −2 −1

−6 1 2

3 −1 −2 0

Ası que, el polinomio se reescribe como

p(x) = 6x3 + 5x2 +−3x− 2 = (x− (−1))(6x2 − x− 2)

Ahora resolviendo la ecuacion encontramos que sus raıces son: x = −1

2y x =

2

3. ası que

p(x) = 6x3 + 5x2 +−3x− 2 = (x+ 1)(2x+ 1)(3x − 2)

4. Conjugacion Compleja y raıces de polinomios

La primera idea que abordaremos sera la de la Conjugacion Compleja, con la intencion de mostrar que ”siun complejo es raız de un polinomio entonces su conjugado tambien lo es”, esto nos permitira concluir que,todo polinomio en R[x] de grado impar tiene una raız real.

Definicion 4.1. Llamaremos conjugacion compleja a la funcion, − : C 7−→ C tal que x+ iy 7−→ x− iy. Lanotacion estandarizadas es z = x− iy, y se llama el complejo conjugado de z = x+ iy

Ejemplo 4.1.1.

(1) 1 + i = 1− i

(2) 3− 5i = 3 + 5i

4.2. Propiedades de la Conjugacion Compleja.

(1) Si z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 entonces z1 + z2 = z1 + z2

En efecto

z1 + z2 = x1 + x2 + i(y1 + y2) = x1 + x2 − i(y1 + y2) = x1 − iy1 + x2 − iy2 = z1 + z2

(2) Si z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 entonces z1 · z2 = z1 · z2

En efecto

4. CONJUGACION COMPLEJA Y RAICES DE POLINOMIOS 225

z1 · z2 = x1x2 − y1y2 + i(x1y2 + x2y1) = x1x2 − y1y2 − i(x1y2 + x2y1)

Y por otra,

z1 · z2 = (x1 − iy1)(x2 − iy2) = x1x2 − y1y2 + i(−x1y2 − x2y1) = x1x2 − y1y2 − i(x1y2 + x2y1)

(3) Si z = x+ iy entonces ¯z = z

En efecto

¯z = x+ iy = x− iy = x+ iy = z

(4) Si z = x+ iy entonces |z| = |z|

En efecto

|z| = |x+ iy| =√x2 + y2 =

√x2 + (−y)2 = |x− iy| = |z|

(5) Si z = |z|(cosα+ i senα) entonces z = |z|(cos(−α) + i sen(−α)).

En efecto

z = |z|(cosα+ i senα) = |z|(cosα − i senα) = |z|(cos(−α) + i sen(−α)), pues cos(−α) = cosα ysen(−α) = − senα.

(6) Si z = x+ iy entonces Re(z) =z + z

2e Im(z) =

z − z2i

En efecto

z + z = x+ iy + x− iy = 2x =⇒ Re(z) =z + z

2

Y,

z − z = x+ iy − x+ iy = 2iy =⇒ Im(z) =z − z

2i

(7) Si z = x+ iy entonces z = z ⇐⇒ Im(z) = 0

En efecto

De (6) sigue que z = z ⇐⇒ Im(z) =0

2i= 0

(8) Si p(x) ∈ R[x] entonces p(α) = 0 =⇒ p(α) = 0

En efecto

En primer lugar, si p(x) =n∑

i=0

aixi ∈ R[x] y α ∈ C una raız de p(x) entonces p(α) =

n∑

i=0

aiαi = 0 o

bien p(x) ∈ ker(ϕ(α))

Finalmente p(α) =

n∑

i=0

aiαi =

n∑

i=0

aiαi =

n∑

i=0

aiαi = 0 = 0


Conclusion 4.2.1. De las propiedades (1), (2) y (3), sigue que la conjugacion compleja es un isomorfismode anillos.

Conclusion 4.2.2. De las propiedades (4) y (5), sigue que geometricamente un complejo y su conjugadoson los siguientes.

z = x+ iy

α

z = x− iy

−α

Figura 17: Un complejo y su complejo conjugado

Conclusion 4.2.3. De (8), sigue que todo polinomio de grado impar en R[x], tiene una raız real.

5. Calculo de Raıces Reales

Sabemos que si p(x) =n∑

i=0

aixi ∈ R[x] entonces podemos observar las siguientes propiedades:

(1) p(x) puede ser visto como una funcion real a valores reales si la definimos como:

p(x) : R 7−→ R tal que p(x)(a) = p(a)

Por ejemplo,

• Si p(x) = 1 + x+ x2 entonces p(x)(a) = 1 + a+ a2 = p(a)

• Si p(x) = 6x3 + 5x2 +−3x− 2 entonces p(x)(−1) = p(−1) = 0

(2) En el contexto anterior, tenemos ademas que p(x) es una funcion continua en R, pues para c ∈ Rtenemos que

limx→c

p(x) = limx→c

n∑

i=0

aixi =

n∑

i=0

aici = p(c)

(3) Ahora combinando ambas visiones, como polinomio y como funcion tenemos que

p(c) = 0⇐⇒ graf (p(x)) ∩ eje x = {(c, 0)}

(4) Consideremos ahora, p(x) =

n∑

i=0

aixi tal que p(a) · p(b) < 0, donde a ∈ R y b ∈ R con (a < b) entonces

Etapa 1. De la continuidad de p(x) y del hecho que p(a) y p(b) tienen signo distinto en el intervalo [a, b],sigue que debe existir c ∈ R tal que p(c) = 0, es decir geometricamente tenemos.

5. CALCULO DE RAICES REALES 227

(a, p(a))

(a, 0)

(b, p(b))

(b, 0)

Figura 18: Caso p(a) · p(b) < 0 y c =a+ b

2

Etapa 2. Si c =a+ b

2entonces p(a) · p(c) < 0 ∨ p(a) · p(c) ≥ 0

• Si p(c) = 0 entonces el proceso termina

• Si p(c) 6= 0 entonces existe un nuevo intervalo, digamos [a1, b1], donde las posibilidades son: a1 = a yb1 = c si p(a) · p(c) < 0, o bien a1 = c y b1 = b si p(c) · p(b) < 0, por tanto tenemos nuevamente quep(a1) · p(b1) < 0.

• Iterando el proceso, podemos construir una sucesion real S = {c, c1, c2 . . . } tal que ci =bi + ai

2, pero el

problema es determinar un proceso para que esta busqueda termine sabiendo ”al menos que tan cerca”se esta de la raız buscada.

Etapa 3. Paralelo a este proceso podemos calcular la amplitud del intervalo [ai, bi], l([ai, bi])].

• En primer lugar l([a, b]) =b− a20

• En segundo lugar, si b1 = c

l([a1, b1]) = l([a, c]) = c− a =a+ b

2− a =

b− a21

Y si a1 = c entonces

l([a1, b1]) = l([c, b]) = b− c = b− a+ b

2=b− a21

• Supongamos que l([an−1, bn−1]) = bn−1 − an−1 =b− a2n−1

• Entonces si bn = cn−1

l([an, bn]) = l([an−1, cn−1]) = cn−1 − an−1 =an−1 + bn−1

2− an−1 =

bn−1 − an−1

2=b− a2n

Etapa 4. Del resultado anterior observamos que, limn→∞

b− a2n

= 0, esto significa que podemos gestionar el

error que se comete al iterar este proceso. en este contexto si consideramos ǫ ∈ R; ǫ > 0 entonces

b− a2n

< ǫ ⇐⇒ b− aǫ

< 2n =⇒ ln

(b− aǫ

)< n ln 2 =⇒ ln(b− a)− ln ǫ

ln 2< n


Ejemplo 5.1. Consideremos el polinomio p(x) = x3 − 2 entonces

Paso 1. Si consideramos a = 0 y b = 2 entonces p(0) · p(2) = (−2) · 6 = −12, luego existe c ∈ (0, 2) tal quep(c) = 0.

Si consideramos ǫ = 10−1 entonces

ln 2− ln ǫ

ln 2=

ln 2− ln 10−1

ln 2=

ln 2 + ln 10

ln 2= 4, 3219

Ası que, para conseguir un error menor ǫ = 10−1 debemos considerar n ≥ 5

Paso 2. procedemos a las iteraciones

• Sea c =2 + 0

2= 1 entonces p(1) · p(2) = (−1)(6) = −6. Luego existe una raız en el intervalo (1, 2)

• Sea c =1 + 2

2= 1.5 entonces p(1.5) = 1.375. Luego existe una raız en el intervalo (1, 1.5)

• Sea c =1, 1.5

2= 1.25 entonces p(1.25) = −0.046875. Luego existe una raız en el intervalo (1.25, 1.5)

• Sea c =1.25 + 1.5

2= 1.375 entonces p(1.375) = 0.5996. Luego existe una raız en el intervalo

(1.25, 1.375)

• Sea c =1.25 + 1.375


(1.25, 1.3125).

• Sea c =1.25 + 1.3125

2= 1.28125 entonces p(1.28125)=0.10330. Luego existe una raız en el intervalo

(1.25, 1.28125).

• Sea c =1.25 + 1.28125


(1.25, 1.2656).

• Sea c =1.25 + 1.2656

2= 1.2578 entonces p(1.2578) = −0.01. Luego existe una raız en el intervalo

(1.2578, 1.2656), y (1.2656 − 1.2578) = 0.0078 < 0.1. Ası que obtenemos una raız α con un errormenor que ǫ = 0.1

α =1.2578, 1.2656

2= 1.2617

5.2. Variante de la secante. Observamos que el tipo de razonamiento anterior, tiene como punto fun-

damental la existencia del valor c =a+ b

2, o punto medio del intervalo, pero entonces este tipo de analisis

puede ser hecho si conseguimos un buen ”sustituto de c”. A este caso lo llamaremos la variante de la secantey puede ser graficado como sigue:El caso aquı es conseguir que {(c, 0)}, sea el punto de interseccion de la recta que pasa por los puntos(a, p(a)) y (b, p(b)) y el eje x.


(a, p(a))

(a, 0)

(b, p(b))

L : y − p(b) =p(b)− p(a)b− a (x− b)

(b, 0)

(c, 0)

Figura 19: Caso p(a) · p(b) < 0 y Eje x ∩ L = {(c, 0)}

Inicialmente determinamos c

Como (c, 0) ∈ L y dado que la pendiente de una recta es unica entonces deben verificarse las siguientesigualdades:

p(b)− p(a)b− a =

p(b)

b− c ⇐⇒ c = b− (b− a)p(b)− p(a) p(b)

p(b)− p(a)b− a =

p(a)

a− c ⇐⇒ c = a− (b− a)p(b)− p(a) p(a)

ahora procedemos al analisis del problema:

Dados los datos: a, b, p(x) tal que p(a) · p(b) < 0, ǫ > 0 el error escogido, para el calculo entonces

|b− c| < ǫ =⇒ |b− c| → 0 ∧ (c− a)p(c)− p(a) p(c)→ 0

=⇒ p(c)→ 0

Ası que c es la raız buscada.

De la misma forma,

|a− c| < ǫ =⇒ |a− c| → 0 ∧ (b− c)p(b)− p(c) p(c)→ 0

=⇒ p(c)→ 0

Ası que c es la raız buscada.

Podemos estructurar un procedimiento inteligente o algoritmo, para este caso como sigue:

Etapa 1. Dados a, b, p(x) tal que p(a) · p(b) < 0 y ǫ > 0

Etapa 2. Hacemos c := b− (b− a)p(b)− p(a) p(b)

Etapa 3. Si min{|a− c|, |b − c|} < ǫ entonces imprimir ”c es la raız buscada”


Etapa 4. Si min{|a− c|, |b − c|} ≥ ǫ y

p(c) · p(b) < 0 entonces a = c e ir a la Etapa 2

∨p(c) · p(a) < 0 entonces b = c e ir a al Etapa 2

Ejemplo 5.2.1. Sea p(x) = x2 − 2 el polinomio dado y consideremos a = 0, b = 2 y ǫ = 0.1

Etapa 1. p(x) = x2 − 2 y p(0) · p(2) = (−2) · 2 < 0

Etapa 2. Sea c = 2− 2− 0

p(2)− p(0) p(2) = 2− 2

4· 2 = 1

Etapa 3. min{|a− c|, |b− c|} = min{|0− 1|, |2 − 1|} = 1 > ǫ y p(c) = p(1) = −1 < 0.

• Luego, repetimos el proceso para a = c = 1

• Ası que c = 2− 2− 1

p(2)− p(1) p(2) = 2− 1

3· 2 =

4

3= 1.33

• Y, min{|a− c|, |b − c|} = min{|1− 1.33|, |2 − 1.33|} = 0.33 > ǫ y p(c) = p(1.33) = −0.23 < 0.

• Luego, repetimos el proceso para a = c = 1.33

• Ası que, c = 2− 2− 1.33

p(2)− p(1.33) p(2) = 2− 0.67

2.23· 2 = 1.39

• Y, min{|a− c|, |b − c|} = min{|1.33 − 1.39|, |2 − 1.39|} = 0.06 > ǫ y p(c) = p(1.39) = −0.06 < 0.

• Luego, repetimos el proceso para a = c = 1.39

• Ası que, c = 2− 2− 1.39

p(2)− p(1.39) p(2) = 2− 0.61

2.06· 2 = 1.4

• Y, min{|a− c|, |b − c|} = min{|1.39 − 1.4|, |2 − 1.4|} = 0.01 < ǫ

Etapa 4. ”c = 1.4 es la raız buscada”

5.3. Variante Newton Raphson. Aquı, para determinar c hacemos lo siguiente:

(1) Determinamos la recta tangente a y = p(x) =n∑

i=0

aixi en un punto P = (x0, p(x0)), cuya ecuacion es

del tipo

tg : y − p(x0) = p′(x0)(x− x0) ⇐⇒ y = p′(x0)(x− x0) + p(x0)

donde p′(x0) es la derivada del polinomio p(x) y como sabemos representa la pendiente de la rectatangente a la curva en el punto P = (x0, p(x0)).

(2) La situacion la podemos ver modelada genericamente en la siguiente:


(a, p(a))

(a, 0)

(b, p(b))

tg : y = p′(x0)(x− x0) + p(x0)

(b, 0)

(c, 0)

Figura 20: Caso p(a) · p(b) < 0 y {(c, 0)} = Eje x ∩ tg

(3) Observamos que:• El punto (c, 0) puede ser obtenido como sigue:

p′(x0)(c− x0) + p(x0) = 0 ⇐⇒ c = x0 −p(x0)

p′(x0)

• Si hacemos c = x1 y determinamos la tangente al grafico de y = p(x) en el punto P1 = (x1, p(x1))entonces obtenemos una nueva interseccion con el eje x en (x2, 0) y un calculo analogo al hechoencima muestra que

x2 = x1 −p(x1)

p′(x1)

• Iterando el proceso obtenemos una sucesion real S =

{xk+1 = xk −

p(xk)

p′(xk)| k ∈ N

}tal que

p( limk→∞

xk) = 0

Ejemplo 5.3.1. Si p(x))x2 − 2 entonces p′(x) = 2x, y para x0 = 2 obtenemos la sucesion:

x1 = 2− 2

4= 1.5

x2 = 1.5 − 0.25

3= 1.416

x3 = 1.416 − 0.005

2.832= 1.4142

Como se observa tanto x1 como x2 representan buenas aproximaciones para el valor de√

2

Ejemplo 5.3.2. Si p(x))x3 − 2 entonces p′(x) = 3x2, y para x0 = 2 obtenemos la sucesion:

x1 = 2− 6

12= 1.5

x2 = 1.5− 1.375

6.75= 1.2962

x3 = 1.2962 − 0.1777

5.0404= 1.2609

x4 = 1.2609 − 0.0046

4.7696= 1.2599

Como se ve la convergencia a 3√

2 es rapida, usando esta variante.


6. Soluciones de la ecuacion Cubica

6.1. motivacion. Consideremos q(x) = ax2 + bx+ c ∈ R2[x] con a 6= 0 entonces sabemos que su grafico esdel tipo

V =(− b

2a ,4ac−b2

4a

)

x = − b2a

Figura 21: q(x) = ax2 + bx+ c ∈ R2[x]

Ahora como q′(x) = 2ax+b es la primera derivada de q(x) entonces su punto crıtico se encuentra exactamente

en q′(x) = 0, es decir en x = − b

2a. Ası que si hacemos en q(x) una sustitucion del tipo x = u− b

2aobtenemos

lo siguiente:

q(u) = a

(u− b

2a

)2

+ b

(u− b

2a

)+ c

= a

(u2 − bu

a+

b2

4a2

)+ b

(u− b

2a

)+ c

= au2 − bu+b2

4a+ bu− b2

2a+ c

= au2 +

(c− b2

4a

)

La conclusion es la siguiente:

(1) Hemos trasladado el eje y al nuevo eje u determinado por la recta x = − b

2a.

(2) El eje u es el nuevo eje de simetrıa de la parabola q(u) = au2 +

(c− b2

4a

), pues

q(−u) = a(−u)2 +

(c− b2

4a

)= au2 +

(c− b2

4a

)= q(u)

Este es el ”significado geometrico de la eliminacion de la parte lineal de q(x)”, es decir de la desapariciondel termino que contiene a x.

(3) En particular, podemos obtener las soluciones que ya conocemos para la ecuacion q(x) = 0,

6. SOLUCIONES DE LA ECUACION CUBICA 233

q(u) = 0 ⇐⇒ au2 +

(c− b2

4a

)= 0

⇐⇒ au2 = −(c− b2

4a

)

⇐⇒ u2 =

(b2 − 4ac

4a2

)

⇐⇒ u = ±√(

b2 − 4ac

4a2

)

⇐⇒ x+b

2a= ±

√(b2 − 4ac

4a2

)

⇐⇒ x = − b

2a±√b2 − 4ac

2a

6.2. Soluciones de una ecuacion cubica. El objetivo es determinar un algoritmo que nos permitadeterminar las raıces de la ecuacion cubica general ax3 + bx2 + cx+ d = 0.

(1) Nuestro analisis del problema estudiando regularidades en el comportamiento de la cubica c(x) = x3,cuyo grafico es del tipo

y

x(0, 0)

Figura 22: c(x) = x3

(a) Observamos que la cubica c(x) es una funcion impar, es decir, verifica la relacion:

c(−x) = (−x)3 = −x3 = −c(x)(b) Es una curva que presenta cambios de concavidad a lo largo de su dominio. Pues

c(x) = x3 =⇒ c′(x) = 3x2 =⇒ c′′(x) = 6x

Luego, c(x) = x3 tiene un punto de inflexion en x = 0, ya que c′′(x) < 0 para x < 0 y c′′(x) > 0para x > 0. Ası que su ”eje de imparidad” en el caso el eje y pasa por su punto de inflexion.

(2) Para seguir con el analisis, hagamos una traslacion de esta cubica, por ejemplo si t(x) = (x − 1)3

entonces su grafico es del tipo


y

x(1, 0)

Figura 23: t(x) = (x− 1)3

Recıprocamente, si consideramos la cubica t(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1 entonces determinemos su puntode inflexion:

t(x) = x3 − 3x2 + 3x+ 1 =⇒ t′(x) = 3x2 − 6x+ 3 =⇒ t′′(x) = 6x− 6.

Ası que 6x− 6 = 0 =⇒ x = 1 y I = (1, 0) es un punto de inflexion pues

−∞ 1 ∞

t′′(x)

t(x)

t′′(0) < 0 t′′(2) > 0

⌢ ⌣

Y si hacemos el cambio de variable u = x− 1 entonces x = u+ 1 y tenemos que

t(u) = (u+ 1)3 − 3(u+ 1)2 + 3(u+ 1)− 1

= u3 + 3u2 + 3u+ 1− 3u2 − 6u− 3 + 3u+ 3− 1

= u3

(3) Ahora tratemos de aplicar lo observado a la cubica c(x) = ax3 + bx2 + cx+ d ∈ R3[x], donde a 6= 0.

(a) En conformidad con lo observado, buscamos el punto de inflexion de c(x).

c(x) = ax3 + bx2 + cx+ d =⇒ c′(x) = 3ax2 + 2bx+ c=⇒ c′′(x) = 6ax+ 2b

Ası que,

c′′(x) = 0⇐⇒ 6ax+ 2b = 0⇐⇒ x = − b

3a

6. SOLUCIONES DE LA ECUACION CUBICA 235

(b) Si hacemos u = x+b

3a, es decir u es el nuevo eje definido por x = − b

3a, y sustituimos en la cubica

obtenemos

c(u) = a

(u− b

3a

)3

+ b

(u− b

3a

)2

+ c

(u− b

3a

)+ d

= a

(u3 − 3u2b

3a+

3ub2

9a2− b3

27a3

)+ bu2 − 2b2u

3a+

b3

9a2+ cu− bc

3a+ d

= au3 − u2b+ub2

3a− b3

27a2+ bu2 − 2b2u

3a+

b3

9a2+ cu− bc

3a+ d

= au3 +ub2

3a− 2b2u

3a+ cu− b3

27a2+

b3

9a2− bc

3a+ d

= au3 −(c− b2

3a

)u+ d− b3

27a2+

b3

9a2− bc

3a

= au3 +

(b2 − 3ac

3a

)u+

27a2d+ 2b3 − 9abc

27a2

= a

(u3 + 3

(b2 − 3ac

9a2

)u+

27a2d+ 2b3 − 9abc

27a3

)

Luego, el cambio de variable u = x+b

3anos permite ”eliminar” el termino cuadratico, y si hacemos

g =

(b2 − 3ac

9a2

)y h =

27a2d+ 2b3 − 9abc

27a3; tenemos que la cubica se transforma en

c(u) = a(u3 + 3gu + h

)(116)

(4) Finalmente deseamos resolver la ecuacion c(x) = 0 entonces como a 6= 0 debemos resolver la ecuacionu3 + 3gu+ h = 0

(a) Observemos en primer lugar que (−r − s)3 = −r3 − 3r2s − 3rs2 − s3. Ası que sustituyendou = −r − s en (116) tenemos que

u3 + 3gu+ h = (−r − s)3 + 3g(−r − s) + h

= −r3 − 3r2s− 3rs2 − s3 − 3gr − 3gs + h

= (−r3 − s3 + h)− 3(r2s+ rs2 + gr + gs)

= (−r3 − s3 + h)− 3(r + s)(rs+ g)

(b) Si anulamos la cubica obtenemos que,

u3 + 3gu+ h = 0 =⇒ (r3 + s3 − h) + 3(r + s)(3rs+ g) = 0

=⇒ (r3 + s3 − h) = −3(r + s)(rs+ g)

Luego, al dividir (r3 + s3 − h) entre (r + s) el resto es cero, pero un calculo de divisibilidad nosdice que

r3 + s3 − hr + s

= r2 − rs+ s2 − h

r + s

Entonces inmediatamente tenemos dos casos:


(i) Si h = 0 entonces la cubica es del tipo, u3 + 3gu = 0 y entnces tenmos las soluciones

u3 + 3gu = 0 =⇒ u(u2 + 3g) = 0

⇐⇒ u = 0 ∨ u = ±√−3g

(ii) Si h 6= 0 debemos tener dos condiciones

r3 + s3 − h = 0 ⇐⇒ r3 + s3 = h

rs+ g = 0 ⇐⇒ g = −rsEs decir, la ecuacion de la cubica (116) se escribe como

u3 + r3 + s3 − 3rsu = 0 ⇐⇒ (u+ r + s)(u+ ωr + ωs2)(u+ ωs+ ω2r) = 0 (117)

(c) Observamos finalmente que estas condiciones satisfacen las relaciones r3 + s3 = h y r3 · s3 = −g3,ası que son raıces de la ecuacion de segundo grado u2 − hu− g3 = 0 entonces de lo que sabemosde la solucion de una ecuacion cuadratica tenemos que.

u2 − hu− g3 = 0 =⇒ u =h±

√h2 + 4g3

2

De donde podemos colegir que ∆ = h2 + 4g3 es el discriminante de la cubica en el sentido quedetermina si existe una raız real y dos complejas o tres reales.

Ejemplo 6.2.1. Consideremos la cubica x3−6x2 +3x+16 entonces aplicando el algoritmo descrito encimatenemos que

(1) En primer lugar determinaremos el punto de inflexion, en este caso el tiene por abscisa x = 2.(2) Ahora hacemos la sustitucion u = (x − 2) y entonces la cubica en las nuevas coordenadas queda de la

forma

c(u) = (u+ 2)3 − 6(u+ 2)2 + 3(u+ 2) + 16 = u3 − 9u+ 6 (∗)(3) La cubica (∗) la comparamos con u3 + r3 + s3 − 3rsu, y al hacerlo sucede que

r3 + s3 = 6−3rs = −9

}=⇒ r3 + s3 = 6

rs = 3

Luego, r3 y s3 son raıces de la ecuacion u2 − 6u+ 27 = 0, y entonces

u2 − 6u+ 27 = 0 =⇒ u = 3± 3√

2i

Para continuar escogemos por ejemplo r3 = 3 + 3√

2i y s3 = 3− 3√

2i. como queremos determinar r ys entonces debemos escribir los complejos en su forma polar.

3 + 3√

2i = |3 + 3√

2i|(cosα+ i senα) =⇒{

3√

3 cosα = 3

3√

3 senα = 3√

2=⇒ tanα =

√2

De donde, sigue que r =√

3(cos

α

3+ i sen

α

3

)y s =

√3(cos

α

3− i sen α

3

)

(4) Finalmente las soluciones son:

u1 = −r − s = −2√

3 cosα

3o

u2 = −rω − sω2 = −2√

3 cos

(α

3+

2π

3

)o

u3 = −rω2 − sω = −2√

3 cos

(α

3− 2π

3

)

7. FRACCIONES PARCIALES 237

Como tanα =√

2 entonces α ≈ 55o, y las raıces pedidas son aproximadamente

x1 ≈ −1.29

x2 ≈ 2.70

x3 ≈ 4.58

6.3. Ejercicios propuestos. Determine las raıces de las siguientes ecuaciones cubicas.

(1) x3 − 6x2 + 6x+ 8 = 0

(2) x3 + x2 + x+ 1 = 0

(3) x3 − 3x2 + 2x = 0

7. Fracciones Parciales

De las secciones anteriores tenemos las siguiente conclusiones:

(1) Todo polinomio de grado impar tiene una raız real.

(2) Si p(x) ∈ R[x] entonces tenemos las unicas posibilidades:

p(x) = (a1 + b1x)(a2 + b2x)(a3 + b3x) · · · (as + bsx) o bien

p(x) = (a1 + b1x+ c1x2)(a2 + b2x+ c2x

2)(a3 + b3x+ c3x2) · · · (as + bsx+ csx

2)donde b2i − 4aici < 0 o bien

p(x) = (a1 + b1x)(a2 + b2x)(a3 + b3x) · · · (at + btx) · · ·

= · · · (a′1 + b′1x+ c′1x2)(a′2 + b′2x+ c′2x

2)(a′3 + b′3x+ c′3x2) · · · (a′s + b′sx+ c′sx

2)

donde b′2i − 4a′ic

′i < 0

(3) Si definimos en R[x]× R[x]− {0} la relacion:

(p(x), q(x)) ∼= (p′(x), q′(x)) ⇐⇒ p(x)q′(x) = q(x)p′(x) (118)

entonces (118) es una relacion de equivalencia y escribiendo (p(x), q(x)) =p(x)

q(x)podemos formar el

conjunto de fracciones de polinomios, (recordar la construccion de los numeros racionales como frac-ciones de enteros):

R(x) =

{p(x)

q(x)| p(x) ∈ R[x] ∧ q(x) ∈ R[x]− {0}

}

Definicion 7.1. Diremos que f(x) =p(x)

q(x)∈ R(x) es una fraccion propia si y solo si ∂(p(x)) < ∂(q(x))

Ejemplo 7.1.1.

(1) f(x) =x2 + 2

(x− 1)(x2 + 1)es una fraccion racional propia


(2) f(x) =x3 + 5

(x2 − 4)no es una fraccion racional propia, pues:

∂(x3 + 5) = 3 > ∂(x2 − 4) = 2

En este caso podemos hacer lo siguiente:

x3 + 5 : (x2 − 4) = x+ 1x3 − 4x

4x+ 5

Luego,

x3 + 5

(x2 − 4)= (x+ 1)︸︷︷︸

∈R[x]

+4x+ 5

x2 − 4︸︷︷︸propia

Teorema 7.2. Si f(x) =p(x)

q(x)∈ R(x) no es una fraccion propia entonces existe un polinomio a(x) y una

fraccion parcial propia u(x) tal que f(x) = a(x) + u(x)

En efectoAplicando el algoritmo de la division a los polinomios p(x) y q(x), tenemos que existen polinomios a(x) yr(x) tales que:

p(x) = a(x)q(x) + r(x); (∂(r(x)) < ∂(q(x))) =⇒ p(x)

q(x)= a(x)︸︷︷︸

∈R[x]

+r(x)

q(x)︸︷︷︸propia

Conclusion 7.2.1. Finalmente, tenemos el compilado:

Si f(x) =p(x)

q(x), es una fraccion propia en R(x) entonces tenemos los siguientes casos:

(1) f(x) es una suma de fracciones propias del tipo:

Aiai + bix

; (i = 1, 2, · · · s) ∧ r 6= t =⇒ ar + brx 6= at + btx


Aiai + bix

; (i = 1, 2, · · · s)

Y existen terminos del tipo, ai + bix repetidos.


Ai +Bix

ai + bix+ cix2; (i = 1, 2, · · · s) ∧ r 6= t =⇒ (ar + brx+ crx

2) 6= (at + btx+ ctx2)


Ai +Bix

ai + bix+ cix2; (i = 1, 2, · · · s)

7. FRACCIONES PARCIALES 239

Y existen terminos del tipo ai + bix+ cix2, repetidos.

(5) f(x) es una suma de fracciones propias de los dos tipos definidos encima.

Ejemplo 7.2.2. Si f(x) =x− 1

(x− 2)(x − 3)entonces

x− 1

(x− 2)(x− 3)=

A

x− 2+

B

x− 3

=A(x− 3) +B(x− 2)

(x− 2)(x− 3)

Luego,

x− 1 = Ax− 3A+Bx− 2B =⇒ A+B = 1−3A− 2B = −1

=⇒ B = 2 ∧A = −1

Ası que,

x− 1

(x− 2)(x− 3)=

−1

x− 2+

2

x− 3

7.3. Ejercicios Propuestos de Fracciones Parciales.

(1) Determine ”k” de forma que p(x) = 2x3 − 3x2 + 4kx− 2 ∈ ker(ϕ(2))

(2) Determine las raıces de p(x) = x4 − 1

(3) Descomponer en fracciones parciales sobre R, los siguientes elementos de R(x)

(a)1

x(x3 − 1)(b)

x

(x− 1)(x2 + 1)2(c)

x6

(x2 − 5x+ 6)(x − 1)3

(d)1

x(x2 + x+ 1)(e)

2x+ 3

(x+ 1)2(x2 + 1)(f)

x4 − 5x3 + 10x2 − 8x− 1

(x− 1)3(x− 2)

(g)−3x− 4

(x− 2)2(x2 + 1)(h)

1

x4 + 1(i)

1

(2x+ 1)(x+ 1)

(j)2x+ 4

x3 + 4x(k)

x− 1

x3 − x2 − 2x(l)

1

(x2 − 1)2

APENDICE A

Preliminares sobre Secciones Conicas

1. Relaciones Basicas y Geometrıa Analıtica

El ambiente de trabajo sera el plano R2 = {(x, y) | x ∈ R ∧ x ∈ R}, es decir

u ∈ R2 ⇐⇒ u = (x, y) : x ∈ R ∧ y ∈ R

Y la necesaria forma de diferenciar los elementos del plano.

(x1, y1) = (x2, y2) ⇐⇒ x1 = x2 ∧ y1 = y2

Y su diseno es el tradicional:

(x1, y1)

(x2, y2)•

•

Eje y

Eje x(0, 0)

Figura 13: Plano Cartesiano

Observacion 1.1. Si hacemos P = (x1, y1) y Q = (x2, y2) entonces podemos calcular la distancia de P aQ, como sigue.

(1) Completamos el dibujo de la figura anterior:

P = (x1, y1)

Q = (x2, y2)

R

Eje y

Eje x(0, 0)

Figura 14: Distancia entre puntos

241

242 A. PRELIMINARES SOBRE SECCIONES CONICAS

(2) Aplicamos el Teorema de Pitagoras al triangulo rectangulo PRQ para obtener la representacion for-mulıstica:

PQ2

= PR2+RQ

2 ⇐⇒ PQ =√

(y2 − y1)2 + (x2 − x1)2 distancia de P a Q

Esto motiva hacer la siguiente definicion.

Definicion 1.2. Llamaremos distancia del punto P al punto Q, en sımbolos d(P,Q) a:

d(P,Q) =√

(y2 − y1)2 + (x2 − x1)2 (119)

Ejemplo 1.2.1. d((2, 3), (1, 4)) =√

(2− 1)2 + (4− 3)2 =√

2

Ejemplo 1.2.2. d((4, 2), (0, 0)) =√

(4− 0)2 + (2− 0)2 = 2√

5

Ejemplo 1.2.3.d((2, 3), (2, 3)) =

√(2− 2)2 + (3− 3)2 = 0

Lema 1.3. La distancia definida en (119) verifica las siguientes propiedades:

(1) d(P,Q) ≥ 0 y d(P,Q) = 0⇐⇒ P = Q

(2) d(P,Q) = d(Q,P )

(3) d(P,Q) ≤ d(P,R) + (R,Q)


(1) Calcule la distancia entre los puntos que se proponen:

(a) d((4, 1), (1,−2)) (b) d((1, 0), (0, 1)) (c) d((1, 1), (5,−1))

(2) Determine y grafique el conjunto S = {(x, y) ∈ R2 | d((x, y), (0, 0)) = 4}

(3) Determine y grafique el conjunto S = {(x, y) ∈ R2 | d((x, y), (0, 0)) = 0}

(4) Determine y grafique conjunto S = {(x, y) ∈ R2 | y = x2 + 1}

(5) Demuestre las propiedades plantadas en el lema 1.3

2. Funcion Lineal

Definicion 2.1. Una funcion se llamara funcion lineal en U ⊆ R si existen a ∈ R y b ∈ R tal que

l(x) = ax+ b (x ∈ U ⊆ R) (120)

Ejemplo 2.1.1. l(x) = 3

Ejemplo 2.1.2. l(x) = 5x

Ejemplo 2.1.3. l(x) = −2x+ 4

2. FUNCION LINEAL 243

Si l(x) = ax+ b tal que x ∈ U ⊆ R es una funcion lineal entonces para determinar la funcion completamentebasta con conocer sus elementos esenciales, es decir, su dominio U ⊂ R, a ∈ R y b ∈ R. en consecuenciainiciamos con los casos posibles.

(1) Si a = 0 entonces l(x) = b para x ∈ U, y la llamaremos funcion constante y su grafico es el conjunto:

C(x) = {(x, y) ∈ R2 | (x ∈ U) ∧ y = b} (121)

Ası que tenemos tres casos posibles, segun b > 0 ∨ b = 0 ∨ b < 0.• U = [−4, 4] ∧ (b > 0)

Eje y

Eje x

y = b

(0, 0)(−4, 0)

•(4, 0)

•

Figura 4: y = b > 0

• U = [−4, 4] ∧ (b = 0)Eje y

y = b = 0(0, 0)

Figura 5: y = 0

• U = [−4, 4] ∧ (b < 0)

Eje y

Eje x

y = b

(0, 0)

Figura 6: y = b < 0


(2) si a 6= 0 entonces su grafico es el conjunto

L(x) = {(x, y) ∈ R2 | y = ax+ b}Como a ∈ R− {0} entonces tenemos dos subcasos:

2.1 a > 0, cuyo comportamiento es el siguiente:

x1 < x2 =⇒ ax1 < ax2 =⇒ ax1 + b < ax2 + b =⇒ l(x1) < l(x2)

Es decir que el grafico es del tipo:

Eje y

Eje x

•

x1

l(x1)

•l(x2)

x2

l(x) = ax+ b

Figura 7: y = ax+ b a > 0

Este comportamiento caracteriza un proceso creciente, y corresponde a la definicion de una funcioncreciente, es decir,

lր⇐⇒ (x1 < x2 =⇒ l(x1) < l(x2)) (122)

2.2 a < 0 cuyo comportamiento es el siguiente:

x1 < x2 =⇒ ax1 > ax2 =⇒ ax1 + b > ax2 + bLongrightarrowl(x1) > l(x2)

Es decir que el grafico es del tipo:

Eje y

Eje x

l(x) = ax+ b

•

•

x1

l(x1)

x2

l(x2)

Figura 8: y = ax+ b a < 0

2. FUNCION LINEAL 245

Esta representa a una funcion decreciente, es decir

lց⇐⇒ (x1 < x2 =⇒ l(x1) > l(x2)) (123)

Definicion 2.2. Si l(x) = ax+b es una funcion lineal con dominio U ⊆ R entonces su grafico es el conjuntode puntos:

L(x) = {(x, ax+ b) | x ∈ U ⊆ R} (124)

A este grafico (124) lo llamaremos lınea recta y a la ecuacion y = ax+ b la llamaremos ecuacion canonicade la recta y lo notaremos como sigue:

L : y = ax+ b (125)

Ası que, tenemos la siguiente formula proposicional

u ∈ L⇐⇒ u = (x0, y0) ∧ y0 = ax0 + b (126)

Ejemplo 2.2.1. Si L : y = 2x− 1 entonces

• (2, 3) ∈ L, pues 3 = 2 · 2− 1

• (3, 2) 6∈ L, pues 2 6= 2 · 3− 1 = 5

Observacion 2.3. Consideremos la recta L : y = ax + b y supongamos que P ∈ L y Q ∈ L y P 6= Qentonces

P ∈ L ⇐⇒ P = (x1, y1) ∧ y1 = ax1 + b

Q ∈ L ⇐⇒ Q = (x2, y2) ∧ y2 = ax2 + b

Ası que,

P ∈ L ∧Q ∈ L ⇐⇒ y1 = ax1 + by2 = ax2 + b

=⇒ y1 − y2 = a(x1 − x2)

=⇒ a =y1 − y2

x1 − x2; x1 6= x2

Ademas sustituyendo en la primera ecuacion el valor de a tenemos que

y1 = ax1 + b ⇐⇒ b = y1 − ax1

⇐⇒ b = y1 −(y1 − y2

x1 − x2

)x1

⇐⇒ b =y1(x1 − x2)− (y1 − y2)x1

x1 − x2

⇐⇒ b =y1x1 − y1x2 − y1x1 + y2x1

x1 − x2

⇐⇒ b =x1y2 − y1x2

x1 − x2


Conclusion 2.3.1. De la observacion anterior sigue que, dados P = (x1, y1) y Q = (x2, y2) y P 6= Qentonces existe una unica recta L que pasa por P y Q cuya ecuacion canonica es de la forma;

y =

(y1 − y2

x1 − x2

)x+

x1y2 − y1x2

x1 − x2(x1 6= x2) (127)

Definicion 2.4. a =y1 − y2

x1 − x2(x1 6= x2) se llama la pendiente de la recta L

Ejemplo 2.4.1. Determinemos y grafiquemos la recta que pasa por los puntos P = (1, 2) y Q = (−3, 5)

Solucion

Etapa 1. Sea L : y = ax+ b la recta pedida

Etapa 2. Gestionemos la informacion

• (1, 2) ∈ L⇐⇒ 2 = a · 1 + b

• (−3, 5) ∈ L⇐⇒ 5 = a · (−3) + b

• Luego,

(1, 2) ∈ L ∧ (−3, 5) ∈ L ⇐⇒ 2 = a + b5 = −3a + b

=⇒−3 = 4a⇐⇒ a = −3

4

• Sustituyendo el valor de a tenemos que

b+ a = 2 =⇒ b = 2 +3

4=⇒ b =

11

4

Etapa 3. Para concluir, sustituyendo en L tenemos que la ecuacion pedida es:

y = −3

4x+

11

4⇐⇒ 4y + 3x− 11 = 0

Etapa 4. Grafiquemos la recta determinada.

•(1, 2)

•(−3, 5)

x

y

Figura 9: y = −34x+ 11

4

4. RECTAS PARALELAS 247

3. Ecuaciones equivalentes para definir lıneas rectas

Dadas las propiedades que poseen los numeros reales, es posible escribir la ecuacion canonica de una rectade otras formas equivalentes, como las siguientes:

(1) La Ecuacion General de una recta es de la forma.

ax+ by + c = 0 (128)

En efecto

ax+ by + c = 0 ⇐⇒ y = −abx− c

b(b 6= 0)

(2) La Ecuacion Punto Pendiente, para P = (x0, y0) y pendiente aL es de la forma:

y − y0 = aL(x− x0) (129)

En efecto

y − y0 = aL(x− x0)⇐⇒ y = aLx+ (y0 − aLx0)

4. Rectas Paralelas

Si consideramos las recta L : y = 2x+ 1 y L′ : y = 2x+ 2 entonces sus graficos son de la forma:

Eje y

Eje x

y = 2x+ 1

y = 2x+ 2

Figura 10: Rectas paralelas

Definicion 4.1. Si L : y = aLx + bL y L′ : y = aL′x + bL′ son dos rectas. Diremos que L es paralela a L′

en sımbolos L ‖ L′. Si aL = aL′

Ejemplo 4.1.1. Determinemos la ecuacion de la recta L que pasa por el punto P de interseccion de lasrectas L′ : y = 3x− 1 y L′′ : y = −x+ 5 y que es paralela a la recta L′′′ que pasa por los puntos Q = (1, 1) yR = (−4,−1)




En primer lugar, si P = (x0, y0) entonces

P ∈ L′ ∩ L′′ ⇐⇒ P ∈ L′ ∧ P ∈ L′′

⇐⇒ y0 = 3x0 − 1 ∧ y0 = −x0 + 5

=⇒ 3x0 − 1 = y0

−x0 + 5 = y0

=⇒ 4x0 = 6

=⇒ x0 =3

2e y0 =

7

2

=⇒ P =

(3

2,7

2

)

Retornando a la Etapa 1, tenemos que

P ∈ L ⇐⇒ 7

2=

3

2a+ b (∗)

En segundo lugar, si L′′′ : y = cx+ d entonces

Q ∈ L′′′ ⇐⇒ 1 = c+ dR ∈ L′′′ ⇐⇒ −1 = −4c+ d

}=⇒ c + d = 1

−4c + d = −1

=⇒ 5c = 2

=⇒ c =2

5∧ d =

3

5

Ası que, L′′′ : y =2

5x+

3

5y entonces por definicion

L ‖ L′′′ ⇐⇒ a =2

5

Finalmente, sustituyendo en (∗) tenemos que b =29

10y L : y =

2

5x+

29

10, y su grafico es

Eje y

Eje x

L

L′′′

Figura 11: L : y =2

5x+

29

10

5. RECTAS PERPENDICULARES 249

5. Rectas Perpendiculares

Si graficamos las rectas L : y = x+ 1 y L′ : y = −x+ 1 obtenemos la figura

Eje y

Eje x

L

L′

Figura 12: Rectas perpendiculares

Observamos que ambas rectas son perpendiculares y que aL · aL′ = 1 · (−1) = −1. Esta es la situaciongeneral para este tipo de comportamiento, ası que por ahora lo definiremos a la espera de una posteriordemostracion.

Definicion 5.1. Si L : y = aLx+ bL y L′ : y = aL′x+ bL′ son dos rectas. Diremos que L es perpendiculara L′ en sımbolos L ⊥ L′. Si aL · aL′ = −1

Ejemplo 5.1.1. Determinemos la ecuacion de la recta L que pasa por P = (2, 3) y es perpendicular a larecta y = 2x− 4.


Etapa 2. Gestion de la informacionEn primer lugar, (2, 3) ∈ L⇐⇒ 3 = 2a+ b (∗)En segundo lugar, por definicion tenemos que L ⊥ (y = 2x− 4)⇐⇒ a · 2 = −1⇐⇒ a = −1

2

Sustituyendo en (∗), tenemos que b = 4 y L : y = −12x+ 4

Eje y

Eje x

L′

L

Figura 13: L ⊥ L′


6. Distancia de un punto a una recta

La idea aquı es calcular la distancia de un punto dado a una recta dada. Ası que iniciamos el analisisconsiderando la situacion geometrica:

??? ? ?

L : ax+ by + c = 0

P = (x1, y1)•

Figura 14: ¿Cual es la distancia de un punto a una recta?

Llamaremos distancia del punto P a la recta L a la distancia d(P,L) = d(P,Q) como en la figura

L : ax+ by + c = 0

P = (x1, y1)•

d(P,L)

Q

Figura 15: Distancia de un punto a un a recta

Usaremos la siguiente estrategia: Determinaremos esa distancia aplicando el concepto de perpendicularidadde rectas, en consecuencia.

Etapa 1. Determinamos la recta L′ que pasa por P y es perpendicular a la recta L.

Como la pendiente de L es m = −ab

entonces usando la ecuacion punto pendiente (129) la ecuacion de L′ es

y − y1 =b

a(x− x1) ⇐⇒ ay − bx+ (bx1 − ay1) = 0

Etapa 2. Ahora intersectamos las rectas, L y L′, y para ello debemos resolver el sistema:

ax + by + c = 0ay − bx + (bx1 − ay1) = 0

(∗)

Y haciendo las cuentas, la solucion del sistema (*) es Q =

(b2x1 − aby1 − ac

a2 + b2,−abx1 + a2y1 − bc

a2 + b2

)

Etapa 3. Finalmente calculamos la distancia de P a Q; es decir d(P,Q).

6. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA 251

(d(P,Q))2 =

(b2x1 − aby1 − ac

a2 + b2− x1

)2

+

(−abx1 + a2y1 − bca2 + b2

− y1

)2

=

(b2x1 − aby1 − ac− a2x1 − b2x1

a2 + b2

)2

+

(−abx1 + a2y1 − bc− a2y1 − b2y1

a2 + b2

)2

=

(−aby1 − ac− a2x1

a2 + b2

)2

+

(−abx1 − bc− b2y1

a2 + b2

)2

=

(a(by1 + c+ ax1)

a2 + b2

)2

+

(b(ax1 + c+ by1)

a2 + b2

)2

=a2(by1 + c+ ax1)

2

(a2 + b2)2+b2(ax1 + c+ by1)

2

(a2 + b2)2

= (a2 + b2)(by1 + c+ ax1)

2

(a2 + b2)2

=(by1 + c+ ax1)

2

a2 + b2

Definicion 6.1. La distancia de un punto P = (x1, y1) a la recta L : ax+ by + c = 0 es dada por

d(P,L) =

√(by1 + c+ ax1)2

a2 + b2(130)

Ejemplo 6.1.1. Una companıa de arriendo de autos cobra una cantidad fija mas una cantidad por kilometro.Si el arriendo de un auto el lunes costo 70 dolares por recorrer 100 kilometros y el jueves costo 120 dolarespor recorrer 350 kilometros. ¿ cual es la funcion lineal que la companıa utiliza para cobrar sus cargos diarios.?

Solucion

Etapa 1. Sea L : y = ax+ b la funcion lineal pedida, donde x representa los kilometros e y el precio

Etapa 2. Procedemos a evaluar L para determinar a y b

(100, 70) ∈ L ∧ (350, 120) ∈ L ⇐⇒ 100a + b = 70350a + b = 120

=⇒ 250a = 50

=⇒ a =50

250=⇒ a = 0.2 ∧ b = 50

Luego,

l(x) = 0.2x+ 50

La conclusion es que la companıa cobra una cuota de 50 dolares de cargo fijo, mas 0.2 dolares por kilometro.

Etapa 3. El grafico de la solucion es,


Kilometros

Precio

y = 0.2x+ 50

50

Figura 16: y = 0.2x + 50

Supongamos ahora, que existe otra companıa cuya funcion de cobro es dada por la formula y = 0.3x + 25,es decir tiene un cobro fijo de 25 dolares y 0.3 dolares por kilometro. ¿ Cual de las dos empresas es masconveniente para usted.?

En este caso la situacion geometrica es la siguiente.

y = 0.3x+ 25

25

Figura 17: y = 0.3x + 25

Comparando ambas situaciones tenemos

250

100y = 0.2x + 50

y = 0.3x + 25

I

5025

Figura 18: {(x, y) ∈ R2 | y = 0.3x+ 25} ∩ {(x, y) ∈ R2 | y = 0.3x+ 25}

Como se ve en la figura el punto de interseccion I = (250, 100) el cual puede ser calculado vıa un sistemade ecuaciones. La interpretacion del punto de equilibrio es: “Para viajes de menos de 250 kilometrosdebe usarse la segunda companıa y para viajes de mas de 250 kilometros debe usarse laprimera”


(1) Determine la ecuacion general de la recta dados los siguientes datos

8. FUNCION CUADRATICA 253

(a) P = (1, 2) y Q = (−2, 4)

(b) P = (0, 0) y Q = (3, 3)

(c) P = (1, 2) y a = 5 (a es la pendiente)

(d) P = (2,−3) y a = −2

(e) Intersecta al eje x en (4,0) y al eje y en (0,-2)

(2) Demuestre que los puntos son los vertices de la figura que se indica:

(a) P = (−3, 1); Q = (5, 3); R = (3, 0);S = (−5,−2) Paralelogramo

(b) P = (6, 15); Q = (11, 12); R = (−1,−8);S = (−6,−5) Rectangulo

(c) P = (−3, 0); Q = (3, 0); R = (8, 0) Triangulo

(3) Determina la ecuacion general de la recta dadas los siguientes condiciones

(a) P = (1, 1) y es paralela a la recta 2x+ 3y − 5 = 0

(b) P = (0, 4) y es perpendicular a la recta 3x− 2y + 5 = 0

(c) Pasa por la interseccion de las rectas 2x + 7y + 4 = 0 y 4x − 3y + 5 = 0 y es paralela a la recta5x− 2y − 9 = 0.

(d) Es paralela a eje x y pasa por P = (7, 3)

(4) Un bebe pesa 5 kilos al nacer y siete anos despues pesa 28 kilos. Suponga que el peso P en kilos estarelacionado linealmente con la edad t en anos.

(a) Determine P en terminos de t.

(b) ¿Cual sera el peso del joven cuando tenga la edad de 18 anos?.

(c) ¿A que edad pesara 82 kilos?.

(5) Una companıa de arriendo de autos cobra una cantidad fija por dıa mas un adicional por kilometros.Si al rentar un carro un dıa se paga 80 dolares por 200 kilometros y otro dıa se pago 117,5 dolares por350 dolares. Determine la funcion lineal que rige el cobro diario de la companıa.

8. Funcion Cuadratica

Definicion 8.1. Una funcion se llamara funcion cuadratica sobre U ⊂ R, si existen a ∈ R, b ∈ R y c ∈ Rtal que

q(x) = ax2 + bx+ c (x ∈ U ⊆ R) (131)

Si U = R entonces q(x) = ax2 + bx+ c, se llama funcion cuadratica.

Ejemplo 8.1.1. q(x) = x2


Ejemplo 8.1.2. q(x) = 2x2 + 4x− 5

Ejemplo 8.1.3. q(x) = −x2 + 1

Ejemplo 8.1.4. q(x) = x2 + 3x− 6

(1) Si q(x) = ax2 +bx+c tal que x ∈ U ⊆ R es una funcion cuadratica entonces para determinar la funcioncompletamente basta con conocer el dominio U, a, b y c

(2) Consideremos la ”funcion cuadratica basica o mas simple” q(x) = x2

(a) Su grafico como se ve facilmente es definido por el conjunto

C = {(x, y) ∈ R2 | y = x2} = {(x, x2) | x ∈ U ⊆ R} (132)

Y es de la forma,

Figura 19: y = x2

(b) Analogamente para q(x) = −x2 tenemos que su grafico es del tipo

Figura 20: y = −x2

(c) De sus graficos y de los calculos directos sigue que:

q(−x) = q(x) simetrıa respecto del eje y (133)

En primer lugar observamos que como a ∈ R entonces a = 0 o a 6= 0. Ası que


Si a = 0 entonces q(x) = bx+ c es una funcion lineal, ya estudiada.

Ahora si, a 6= 0 entonces

q(x) = ax2 + bx+ c

= a

(x2 +

b

ax

)+ c

= a

(x2 +

b

ax+

(b

2a

)2

−(b

2a

)2)

+ c

= a

(x+

b

2a

)2

− b2

4a+ c

= a

(x+

b

2a

)2

+ c− b2

4a

= a

(x+

b

2a

)2

+

(4ac− b2

4a

)

Es decir,

q(x) = ax2 + bx+ c ⇐⇒ q(x) = a

(x+

b

2a

)2

+

(4ac− b2

4a

)(134)

De la formula obtenida podemos observar los siguientes hechos,

(1) q

(− b

2a

)=

(4ac− b2

4a

)=⇒

(− b

2a,4ac− b2

4a

)∈ graf(q)

(2) Respecto de la imagen o recorrido de q

y ∈ Img(q) ⇐⇒ y = ax2 + bx+ c (para algun x ∈ R)

⇐⇒ ax2 + bx+ (c− y) = 0

=⇒ x =−b±

√b2 − 4a(c − y)

2a

=⇒ b2 − 4a(c − y) ≥ 0

=⇒ b2 ≥ 4a(c − y)=⇒ b2 ≥ 4ac− 4ay

=⇒ 4ay ≥ 4ac− b2

=⇒ ay ≥ 4ac− b24

(a) Si a > 0 entonces y ≥ 4ac− b24a

y V =

(− b

2a,4ac− b2

4a

)es un mınimo y la parabola abre hacia

arriba.


(b) Si a < 0 entonces y ≤ 4ac− b24a

y V =

(− b

2a,4ac− b2

4a

)es un maximo y la parabola abre hacia

abajo.

(3) En particular, como ax2 + bx+ c = 0⇐⇒ x =−b±

√b2 − 4ac

2a. Sigue que

(a) Si b2 − 4ac ≥ 0 entonces la parabola intersecta al eje x en a lo mas dos puntos a saber:

(i) b2 − 4ac > 0 =⇒ x =−b±

√b2 − 4ac

2a

(ii) b2 − 4ac = 0 =⇒ x =−b2a

(b) Si b2 − 4ac < 0 entonces la parabola no intersecta al eje x.

Definicion 8.2. Si q(x) = ax2+bx+c es una funcion cuadratica entonces al punto V =

(− b

2a,4ac− b2

4a

)

lo llamaremos el vertice de la parabola y a la recta x = − b

2ala llamaremos eje de simetrıa de la parabola.

(4) Finalmente los graficos posibles para una funcion cuadratica son:

(i) Caso : a > 0 ∧ (b2 − 4ac) > 0

V =(− b

2a ,4ac−b2

4a

)

x = − b2a

Figura 21: a > 0 ∧ (b2 − 4ac) > 0

(ii) Caso : a > 0 ∧ (b2 − 4ac) = 0

Figura 22: a > 0 ∧ (b2 − 4ac) = 0


(iii) Caso : a > 0 ∧ (b2 − 4ac) < 0

Figura 23: a > 0 ∧ (b2 − 4ac) < 0

(i’) Caso : a < 0 ∧ (b2 − 4ac) > 0

Figura 24: a < 0 ∧ (b2 − 4ac) > 0

(ii’) Caso : a < 0 ∧ (b2 − 4ac) = 0

Figura 25: a < 0 ∧ (b2 − 4ac) = 0

(iii’) Caso : a < 0 ∧ (b2 − 4ac) < 0

Figura 26: a < 0 ∧ (b2 − 4ac) < 0


Ejemplo 8.2.1. Si q(x) = x2 − 4x+ 3 entonces

(1) a = 1, luego la parabola abre hacia arriba.

(2) b2 − 4ac = 4 > 0, luego la parabola intersecta al eje x en dos puntos, a saber:

P1 = (4− 2

2, 0) = (1, 0) ∧ P2 = (

4 + 2

2, 0) = (3, 0)

(3) El vertice de la parabola es: V =

(−−4

2,−4

4

)= (2,−1)

(4) Ası que su grafico es del tipo:

P1 P2

x = 2

Figura 27: q(x) = x2 − 4x+ 3

9. Relaciones Algebraicas en el Plano: El circulo

Llamaremos un Lugar Geometrico1 al conjunto de puntos del plano que satisface una condicion geometrica.

Iniciaremos nuestro estudio. analizando el Lugar geometrico de todos los puntos que equidistan de un puntofijo dado en el plano.

Etapa 1 Sea O = (h, k) el punto fijo dado en el plano y llamemos C al lugar geometrico pedido.

Etapa 2. Traducimos el espanol a la matematica!!:

• Equidistar significa estar a la misma distancia, ası que los elementos de O se encuentran todos a ladistancia r del punto centro C• Luego, Q ∈ C ⇐⇒ d(Q,O) = r• Finalmente,

C = {Q ∈ R2 | d(Q,O) = r} (135)

1Toda curva de segundo grado puede ser considerada como el lugar geometrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo,llamado foco y a una recta fija, llamada directriz estan en una relacion constante, llamada excentricidad.

9. RELACIONES ALGEBRAICAS EN EL PLANO: EL CIRCULO 259

Etapa 3. Caracterizamos y graficamos el lugar geometrico C

Q ∈ C ⇐⇒ Q ∈ R2 ∧ d(Q,O) = r

⇐⇒ Q = (x, y) ∈ R2 ∧√

(x− h)2 + (y − k)2 = r

⇐⇒ Q = (x, y) ∈ R2 ∧ (x− h)2 + (y − k)2 = r2

Etapa 4. Su grafico es el siguiente:

•r

O

Figura 28: C = {(x, y) ∈ R2 | (x− h)2 + (y − k)2 = r2}

Definicion 9.1. El lugar geometrico definido encima se llama circulo de centro en O = (h, k) y radio r. Ylo notaremos por su ecuacion canonica:

C : (x− h)2 + (y − k)2 = r2 (136)

Observacion 9.1.1. Si consideramos la relacion particular x2 + y2 + 4x − 6y + 9 = 0 entonces podemoshacer lo siguiente:

x2 + y2 + 4x− 6y − 9 = 0 ⇐⇒ (x2 + 4x) + (y2 − 6y) + 9 = 0

⇐⇒(x2 + 4x+

(4

2

)2

−(

4

2

)2)

+

(y2 − 6y +

(6

2

)2

−(

6

2

)2)

= −9

⇐⇒ (x2 + 4x+ (2)2 − 4) + (y2 − 6y + (3)2 − 9) = −9

⇐⇒ (x+ 2)2 − 4 + (y − 3)2 − 9 = −9

⇐⇒ (x+ 2)2 + (y − 3)2 = −9 + 13

⇐⇒ (x+ 2)2 + (y − 3)2 = 4

⇐⇒ (x− (−2))2 + (y − 3))2 = 4

Luego, la ecuacion representa a un cırculo de centro O = (−2, 3) y radio r2 = 4, equivalentemente

r =√

4 = 2

Su diseno es de la forma:


• O = (−2, 3)

Figura 29: C : {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 + 4x− 6y + 9 = 0}

En general si consideramos una relacion del tipo, x2 + y2 + ax+ by + c = 0 entonces

x2 + y2 + ax+ by + c = 0 ⇐⇒ (x2 + ax) + (y2 + by) = −c

⇐⇒ x2 + ax+(a

2

)2−(a

2

)2+ y2 + by +

(b

2

)2

−(b

2

)2

= −c

⇐⇒(x+

a

2

)2−(a

2

)2+

(y +

b

2

)2

−(b

2

)2

= −c

⇐⇒(x+

a

2

)2+

(y +

b

2

)2

= −c+(a

2

)2+

(b

2

)2

Luego, la ecuacion x2 + y2 + ax+ by + c = 0 representa un cırculo si

(a2

)2+

(b

2

)2

> c y su radio es O =

(−a

2,− b

2

)


(1) Escriba las ecuaciones canonica y general de los cırculos. Ademas grafique cada cırculo.

(a) O : (3, 5) y r = 2

(b) O : (−1, 1) y r = 3

(c) O : (0, 0) y r = 1

(d) O : (−3,−1) y r =√

2

(e) O : (2,−1) y r = 2√

3

(f) O : (3, 3) y r = 4

(g) O : (0,−2) y r = 3√

2

10. RELACIONES ALGEBRAICAS EN EL PLANO: LA ELIPSE 261

(2) Determine el centro, el radio y grafique cada uno de los cırculos:

(a) x2 + y2 + 2x− 6y − 6 = 0

(b) x2 + y2 + 6x− 10y + 18 = 0

(c) 3x2 + 3y2 − 30x+ 6y + 3 = 0

(d) x2 + y2 − 16 = 0

(e) 4x2 + 4y2 + 4x− 32y + 33 = 0

(f) 6x+ 12y + 40− 9x2 − 9y2 = 0

(g) x2 + y2 = 0

(3) Determine la ecuacion del cırculo con centro en el origen y que pasa por el punto P = (1,√

3)

(4) Determine la ecuacion del cırculo que pasa por los puntos P = (1, 2), Q = (4, 3) y R = (2,−3)

(5) Determine la ecuacion de la recta L, que es tangente al cırculo de ecuacion C : x2 + y2 = 25, en elpunto P = (3, 4). Grafique C y L

(6) Determine la ecuacion del cırculo que pasa por el punto P = (1,−1) y su centro es el punto de inter-seccion de las rectas, x+ y − 1 = 0 y 2x+ 3y + 2 = 0. Grafique el cırculo y las rectas.

10. Relaciones Algebraicas en el Plano: La Elipse

Ahora pasamos a estudiar el Lugar geometrico de todos los puntos del plano cuya suma de sus distancias ados puntos fijos F1 y F2, llamados focos es igual a una constante y esa constante es mayor que el largo delsegmento F1F2

Etapa 1. Sean F1 = (−c, 0) y F2 = (c, 0) los focos fijos tales que F1F2 < 2a, y que el centro del lugargeometrico es en C = (0, 0), y llamemos E al lugar geometrico pedido.

Etapa 2. Traducimos el espanol a la matematica!!:

• Q ∈ E ⇐⇒ d(Q,F1) + d(Q,F2) = 2a

• Ası que,

E : d(Q,F1) + d(Q,F2) = 2a (∗)• Ahora buscamos otra relacion entre d(Q,F1) y d(Q,F2)

d(Q,F1)2 = (x+ c)2 + y2

d(Q,F2)2 = (x− c)2 + y2

}=⇒ d(Q,F1)

2 − d(Q,F2)2 = (x+ c)2 − (x− c)2

⇐⇒ d(Q,F1)2 − d(Q,F2)

2 = 4xc

⇐⇒ (d(Q,F1)− d(Q,F2))(d(Q,F1) + d(Q,F2)) = 4xc

⇐⇒ (d(Q,F1)− d(Q,F2))2a = 4xc

⇐⇒ d(Q,F1)− d(Q,F2) =2xc

a(∗∗)


• Con (∗) y (∗∗) formamos un sistema de ecuaciones,

d(Q,F1) + d(Q,F2) = 2a

d(Q,F1)− d(Q,F2) =2xc

a

=⇒

d(Q,F1) = a+cx

a: sumando,

d(Q,F2) = a− cx

a: restando.

• Sustituyendo en d(Q,F1)2 y d(Q,F2)

2 tenemos que:

(a+

cx

a

)2= (x+ c)2 + y2

m

a2 + 2cx+c2x2

a2= x2 + 2cx+ c2 + y2

ma4 + c2x2 = a2x2 + a2c2 + a2y2

ma2y2 − c2x2 + a2x2 = a4 − a2c2

m(a2 − c2)x2 + a2y2 = (a2 − c2)a2

Como a2 > c2 entonces (a2− c2) > 0 y como a2− c2 = (√

(a2 − c2))2 entonces podemos llamar b2 = a2− c2y tenemos la ecuacion

E :x2

a2+y2

b2= 1 (137)

Etapa 3. Finalmente caracterizamos el lugar geometrico E

Q ∈ E ⇐⇒ Q ∈ R2 ∧ d(Q,F1) + d(Q,F2) = 2a

⇐⇒ Q = (x, y) ∈ R2 ∧ x2

a2+y2

b2= 1 (138)

Etapa 4. Su grafico es el siguiente:

(0, 0)(a, 0)(−a, 0)

(0, b)

(0,−b)Figura 30: E =

{(x, y) ∈ R2 | x

2

a2+ y2

b2= 1

}

10. RELACIONES ALGEBRAICAS EN EL PLANO: LA ELIPSE 263

Definicion 10.1. El lugar geometrico definido encima se llama elipse de centro en O = (0, 0) . Y lonotaremos por su ecuacion canonica:

E :x2

a2+y2

b2= 1 (139)

10.2. Elementos de una elipse. Consideremos una elipse con centro en C = (h, k), segun la figura

C• •

F2

•F1

V (h+ a, k)V ′(h− a, k)

A(h, k + b)

A′(h, k − b)

Q

Figura 31: Eje focal paralelo al eje x

Distinguiremos los siguientes elementos basicos:

Centro de la elipse : C=(h,k)

Eje mayor (focal) : V V ′

Eje menor : AA′

Focos : F1 = (−c, k); F2 = (c, k) y c =√a2 − b2

d(V ′, V ) : 2a

d(A,A′) : 2b

d(C,F1) = d(C,F2) : c < a

Excentricidad : e =c

aDe acuerdo a la posicion del eje mayor tenemos dos ecuaciones que llamaremos Ecuaciones canonicas:

Definicion 10.3. La elipse con centro en C = (h, k) y eje mayor paralelo al eje x tiene la ecuacion canonica:

(x− h)2a2

+(y − k)2

b2= 1 (140)

Su grafico es de la forma de la figura: 31

Analogamente, la elipse con centro en C = (h, k) y eje mayor paralelo al eje


y tiene la ecuacion canonica:

(x− h)2b2

+(y − k)2a2

= 1 (141)

Y su grafico es de la forma

Figura 32: Eje focal paralelo al eje y

Ejemplo 10.3.1. Grafiquemos la conica 2x2 + y2 − 4x+ 4y + 4 = 0.

Etapa 1. Completamos cuadrados.

2x2 + y2 − 4x+ 4y + 4 = 0 ⇐⇒ 2x2 − 4x+ y2 + 4y + 4 = 0

⇐⇒ 2(x2 − 2x+ 1− 1) + (y2 + 4y + 4− 4) + 4 = 0

⇐⇒ 2(x− 1)2 − 2 + (y + 2)2 = 0

⇐⇒ 2(x− 1)2 + (y + 2)2 = 2

⇐⇒ (x− 1)2 +(y + 2)2

2= 1

Luego la conica es una elipse con centro en el punto C = (1,−2).

Etapa 2. Graficamos la elipse:

1 2 3−1−2−3

1

−1

−2

−3

•

Figura 33: E :

{(x, y) ∈ R2 | (x− 1)2 +

(y + 2)2

2= 1

}

11. RELACIONES ALGEBRAICAS EN EL PLANO: LA HIPERBOLA 265


(1) Determine la ecuacion canonica y general de las elipses y grafiquelas:

(a) V = (±5, 0) y A = (0,±3)

(b) Focos en (−2, 1) y (4, 1) y eje mayor 10

(c) Focos en (−3, 0) y (−3, 4) y eje menor 6

(d) Centro en (1,−2), eje horizontal 8 y excentricidad e =3

4

(e) Focos en (−2, 2) y (4, 2) y excentricidad e =1

3

(2) Grafique y determine los elementos de las elipses:

(a) x2 + 4y2 − 16 = 0

(b) 12x2 + y2 − 36 = 0

(c) x2 + 8x+ 9y2 + 36y + 16 = 0

(d) 4x2 − 24x+ y2 + 4y + 24 = 0

(e) 9x2 − 36x+ 4y2 − 24y + 36 = 0

(3) Demuestre que la recta tangente a la elipsex2

a2+y2

b2= 1 en P = (x0, y0) tiene como ecuacion:

xx0

a2+yy0

b2= 1 (142)

(4) La orbita de la tierra es un elipse, con el sol en uno de sus focos. La distancia maxima del planeta alsol es de 94.56 millones de millas y la mınima es de 91.45 millones de millas. ¿ Cuales son los semiejesmenor y mayor de la orbita terrestre y cual es su excentricidad ?

11. Relaciones Algebraicas en el Plano: La Hiperbola

Llamaremos Hiperbola al lugar geometrico de todos los puntos del plano cuya diferencia de sus distancias ados puntos fijos F1 y F2, llamados focos es igual a una constante y esa constante es menor que el largo delsegmento F1F2

Definicion 11.1. La hiperbola con centro en C = (h, k) y eje mayor paralelo al eje x tiene la ecuacioncanonica:

(x− h)2a2

− (y − k)2b2

= 1 (143)

Analogamente la hiperbola con centro en C = (h, k) y eje mayor paralelo al eje y tiene la ecuacion canonica:

(y − k)2b2

− (x− h)2a2

= 1 (144)


Sus graficos son de la forma:

y = k

x = h•V−V F2

a• •F1•

•A

•A′

bc

y − k = ba(x− h)

y − k = − ba(x− h)


O bien de la forma:


11. RELACIONES ALGEBRAICAS EN EL PLANO: LA HIPERBOLA 267

Los elementos basicos de una hiperbola son:

Centro : C = (h, k)

Eje transversal : V V ′

Eje conjugado : AA′

Focos : F1 = (−c, k);F2 = (c, k) ( eje transversal paralelo eje x )

d(V, V ′) : 2a

d(A,A′) : 2b

Directrices : y =a2

c; y = −a

2

c

Excentricidad : y =c

a

Ejemplo 11.1.1. Identifiquemos la seccion conica: 9x2 − 4y2 − 36x+ 8y − 4 = 0

Si completamos los cuadrados.

9x2 − 4y2 − 36x + 8y − 4 = 0 ⇐⇒ 9(x− 2)2 − 4(y − 1)2 = 36

⇐⇒ (x− 2)2

4− (y − 1)2

9= 1.

Concluimos que la conica es una hiperbola con centro en el punto C = (2, 1).


(1) Determine la ecuacion canonica y general de las hiperbolas y grafiquelas si:

(a) Focos en (±4, 0) y vertices en (±1, 0)(b) Focos en (0,±3) y vertices en (0,±2)

(c) Vertices en (±3, 0) y excentricidad5

3(d) Vertices en (±4, 0) y pasa por el punto (8, 3)(e) Centro (2, 2), eje transverso horizontal de longitud 6 y excentricidad 2(f) Centro (−1, 3), vertices en (−4, 3) y (2, 3) y focos en (−6, 3) y (4, 3)

(2) Grafique y determine los elementos de las hiperbolas:

(a) x2 − y2 − 2x+ 4y = 4(b) 9x2 − 4y2 + 18x+ 8y − 31 = 0(c) 4y2 − 9x2 − 18x− 8y − 41 = 0(d) x2 + 4x− 9y2 + 54y − 113 = 0(e) −4x2 + 24x+ 16y2 + 64y − 36 = 0

(3) Demuestre que la ecuacion de la recta tangente a la hiperbolax2

a2− y2

b2= 1 en el punto P = (x0, y0) es

de la formaxx0

a2− yy0

b2= 1


12. Relaciones Algebraicas en el Plano: La parabola

Definicion 12.1. La parabola es el lugar geometrico de todos los puntos del plano cuya distancia a unarecta fija (directriz) es igual a la distancia a un punto fijo (foco).

Estudiemos los graficos posibles de la parabola de acuerdo a estas condiciones:

(1) Eje focal paralelo al eje y

x=h eje focal

V

directriz

• F


En este caso, la ecuacion canonica de la parabola con vertice V (h, k) y foco F (h, p+k); p > 0 y directrizy = −p+ k es:

(x− h)2 = 4p(y − k) (145)

(2) Eje focal paralelo al eje x

x

y


En este otro caso, la ecuacion canonica de la parabola es:

(y − k)2 = 4p(x− h) (146)

12. RELACIONES ALGEBRAICAS EN EL PLANO: LA PARABOLA 269

Ejemplo 12.1.1. Determinemos la ecuacion canonica y grafiquemos la conica x2 − 2x− 4y + 13 = 0

Etapa 1. Si completamos el cuadrado posible

x2 − 2x− 4y − 3 = 0 ⇐⇒ (x2 − 2x) = 4y + 3

⇐⇒(x2 − 2x+

(2

2

)2

−(

2

2

)2)

= 4y + 3

⇐⇒ (x− 1)2 − 1 = 4y + 3

⇐⇒ (x− 1)2 = 4y + 4

⇐⇒ (x− 1)2 = 4(y + 1)

Obtenemos que la conica es una parabola con vertice en el punto V = (1,−1), y para calcular su foco;

4p = 4 =⇒ p = 1

Ası que la parabola abre hacia arriba, pues su foco es F = (1, 0)

Etapa 2. Su grafico es de la forma

1 2 3−1

1

2

3

−1

−2

•F

Figura 38: P = {(x, y) ∈ R2 | (x− 1)2 = 4(y + 1)}


(1) Determine la ecuacion canonica y general de las parabolas si:

(a) Vertice en (0, 0) y foco en (3, 0)

(b) Vertice en (2, 3) y foco en (2, 1)

(c) Vertice en (−1,−1) y foco en (−3,−1)


(d) Foco en (1, 2) y directriz en x = −1

(e) Foco en (−2, 1) y directriz en x = −4

(f) Foco en (0,−3) y directriz en y = −2

(2) Grafique y determine los elementos de las elipses:

(a) y2 − 12x = 0

(b) x2 − 4x− 4y = 0

(c) 4x2 + 4x+ 4y + 13 = 0

(d) 4y212y + 9x = 0(3) Demuestre que el punto de la parabola y2 = 4px mas cercano al foco es el vertice

(4) Demuestre que la ecuacion de la recta tangente a la parabola y2 = 4px en el punto P = (x0, y0) es

2px− yoy + 2px0 = 0

APENDICE B

Algunas Transformaciones en el Plano Cartesiano

1. Rotaciones en el plano

Definicion 1.1. Llamaremos Rotacion en un angulo θ a la funcion.

R(θ) : R2 7−→ R2 definida por R(θ)(x, y) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ)

A seguir, estudiaremos con detalles, algunos angulos particulares para ejemplificar el comportamiento deesta funcion.

1.2. Rotacion del plano R2 para θ = π2, es decir 90◦.

� En este caso, R(π2

)(x, y) = (x cos(π2 )− y sen(π2 ), x sen(π2 ) + y cos(π2 )) = (−y, x), y por ejemplo:

R(π2

)(1, 0) = (0, 1)

R(π2

)(1, 1) = (−1, 1)

R(π2

)(−1, 1) = (−1,−1)

� La situacion geometrica para estos puntos se presenta ası:

Eje x

Eje y

•(1,0)

•(1,1)•(-1,1)

Eje x

Eje y

• R(π2

)(1, 0) = (0, 1)•R

(π2

)(1, 1) = (−1, 1)

•R(π2

)(−1, 1) = (−1,−1)

� Podemos extender esta idea a las rectas, como sigue:

Si L = {(x, y) ∈ R2 | y = ax+ b; a 6= 0} entonces por una parte,

(x, y) ∈ L ⇐⇒ (x, y) ∈ R2 ∧ y = ax+ b⇐⇒ (x, ax+ b) ∧ x ∈ R

271

272 B. ALGUNAS TRANSFORMACIONES EN EL PLANO CARTESIANO

Y por otra,

R(π

2

)(x, ax+ b) = (−ax− b, x) ∈ L′ =

{(x, y) ∈ R2 | y = −1

ax− b

a

}

En efecto,

−1

a(−ax− b)− b

a= x+

b

a− b

a= x

Conclusion 1.2.1. L ⊥ R(π2

)(L). Pues

L = {(x, y) ∈ R2 | y = ax+ b; a 6= 0} ⇐⇒ R(π

2

)(L) = L′ =

{(x, y) ∈ R2 | y = −1

ax− b

a

}

N Por ejemplo, para L = {(x, y) ∈ R2|y = x}

L = {(x, y) ∈ R2|y = x}

L

R(π2

)(L) = {(x, y) ∈ R2|y = −x}

L′

N Para L = {(x, y) ∈ R2|y = 2x+ 1}

L = {(x, y) ∈ R2|y = 2x+ 1}

R(π2

)(L) =

{(x, y) ∈ R2|y = −1

2x− 1

2

}

� Podemos extender esta idea a otras conicas:

1. ROTACIONES EN EL PLANO 273

Si por ejemplo consideramos la elipse centrada en el origen E =

{(x, y) ∈ R2 | x

2

a2+y2

b2= 1

}entonces

u ∈ E ⇐⇒ u = (x, y) ∈ R2 ∧ x2

a2+y2

b2= 1

⇐⇒ u = (x, y) ∈ R2 e y2 = b2(

1− x2

a2

)

⇐⇒ u = (x, y) ∈ R2 e y = ± b√(

1− x2

a2

)

⇐⇒ u =

(x,± b

√(1− x2

a2

) )∈ R2

Ahora, como R(π2

)(u) = R

(π2

)(x,± b

√(1− x2

a2

) )=

(± b

√(1− x2

a2

), x

)entonces

x = ∓ b√(

1− y2

a2

)⇐⇒ x2 = b2

(1− y2

a2

)⇐⇒ x2

b2=

(1− y2

a2

)⇐⇒ y2

a2+x2

b2= 1

Conclusion 1.2.2. Si llamamos E′ =

{(x, y) ∈ R2 | y

2

a2+x2

b2= 1

}entonces tenemos

E =

{(x, y) ∈ R2 | x

2

a2+y2

b2= 1

}⇐⇒ R

(π2

)(E) = E′ =

{(x, y) ∈ R2 | y

2

a2+x2

b2= 1

}

N Por ejemplo, para E =

{(x, y) ∈ R2 | x

2

4+y2

9= 1

}tenemos

(x, y)E

E =

{(x, y) ∈ R2 | x

2

4+y2

9= 1

}

(−y, x)

E′

E’ =

{(x, y) ∈ R2 | x

2

9+y2

4= 1

}


� En general, si E =

{(x, y) ∈ R2 | (x− h)

2

a2+

(y − k)2b2

= 1; (a > b)

}entonces

u ∈ E ⇐⇒ u = (x, y) ∈ R2 ∧ (x− h)2a2

+(y − k)2

b2= 1

⇐⇒ u = (x, y) ∈ R2 e (y − k)2 = b2(

1− (x− h)2a2

)

⇐⇒ u = (x, y) ∈ R2 e y − k = ± b√(

1− (x− h)2a2

)

⇐⇒ u = (x, y) ∈ R2 e y = k ± b

√(1− (x− h)2

a2

)

Ahora, como R(π2

)(u) = R

(π2

)(x, y) = (−y, x) entonces

x = k ∓ b

√(1− (y − h)2

a2

)⇐⇒ x− k = ∓ b

√(1− (y − h)2

a2

)

⇐⇒ (x− k)2 = b2(

1− (y − h)2a2

)

⇐⇒ (x− k)2b2

=

(1− (y − h)2

a2

)

⇐⇒ (y − h)2a2

+(x− k)2

b2= 1

Conclusion 1.2.3. Si llamamos E′ =

{(x, y) ∈ R2 | (y − h)2

a2+

(x− k)2b2

= 1

}entonces tenemos

E =

{(x, y) ∈ R2 | (x− h)

2

a2+

(y − k)2b2

= 1

}⇐⇒ R

(π2

)(E) = E′ =

{(x, y) ∈ R2 | (y − h)

2

a2+

(x− k)2b2

= 1

}

Ası que por ejemplo el comportamiento grafico para E =

{(x, y) ∈ R2 | (x− 1)2

4+

(y − 2)2

9= 1

}es del

tipo:


y = 2

y = 0

x = 0

x = 1

(1, 2)

E =

{(x, y) ∈ R2 | (x− 1)2

4+

(y − 2)2

9= 1

}E’ =

{(x, y) ∈ R2 | (x+ 2)2

9+

(y − 1)2

4= 1

}

y = 0

x = 0

x = −2

y = 1(−2, 1)

1.2.4. Identificaciones utiles. Es importante observar los siguientes hechos que bien utilizados se tornanimportantes para la comprension geometrica de las conicas y otras figuras del plano

(1) Como grupos son isomorfos R2 y MR(2× 1) a traves por ejemplo del isomorfismo canonico:

ϕ : R2 7−→MR(2× 1) tal que ϕ(x, y) =

(xy

)

(2) Las matrices con el producto usual de matrices constituyen un anillo, ası que por ejemplo.(a11 a12

a21 a22

)(xy

)=

(a11x+ a12ya21x+ a22y

)

(3) En particular podemos observar que(

cos θ − sen θsen θ cos θ

)(xy

)=

(x cos θ − y sen θx sen θ + y cos θ

)

Es decir,

ϕ(x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ) =

(x cos θ − y sen θx sen θ + y cos θ

)=⇒

ϕ(R(θ)(x, y)) =

(cos θ − sen θsen θ cos θ

)(xy

)=⇒

(ϕ ◦R(θ))(x, y)) =

(cos θ − sen θsen θ cos θ

)

︸︷︷︸M(θ)

◦ϕ

(x, y) =⇒

(ϕ ◦R(θ))(x, y)) = [M(θ) ◦ ϕ](x, y)

(147)

Esa situacion puede ser diagramada como sigue:


R2 R2

MR(2× 1) MR(2× 1)

ϕ ϕ

R(θ)

M(θ)

Conclusion 1.2.5. De lo obtenido en el analisis (147), podemos concluir que:

• “Rotar un punto del plano en un angulo θ es equivalente (salvo isomorfismo) a multiplicar por lamatriz M(θ) a la imagen isomorfica ϕ(x, y)”

• En particular para θ = π2 tenemos que

R(π

2

)(x, y) =

cos(π2 ) − sen(π2 )

sen(π2 ) cos(π2 )

x

y

=

(0 −11 0

)(xy

)=

(−yx

)

1.2.6. Ejercicios Propuestos.

(1) Para las siguientes rectas aplique M(π2 ) y grafique ambas rectas

(a) L = {(x, y) ∈ R2 | y = 3}(b) L = {(x, y) ∈ R2 | x = 1}(c) L = {(x, y) ∈ R2 | y = −3x+ 3}(d) L = {(x, y) ∈ R2 | y = x+ 5}(e) L = {(x, y) ∈ R2 | y = ax+ b (a 6= 0)}. Concluya que L ⊥M(90)(L)

(2) Para las siguientes parabolas aplique M(π2 ) y grafique ambas parabolas

(a) P ={(x, y) ∈ R2 | x = y2

}

(b) P = {(x, y) ∈ R2 | y = (x+ 1)2}(c) P = {(x, y) ∈ R2 | y = (x− 1)2}(d) P = {(x, y) ∈ R2 | x = (y + 1)2}(e) P = {(x, y) ∈ R2 | x = (y − 1)2}(f) P = {(x, y) ∈ R2 | y = 1 + x2}(g) P = {(x, y) ∈ R2 | y = 1 + x+ x2}

(3) Si considera la parabola P = {(x, y) ∈ R2 | q(x) = ax2+bx+c} entonces demuestre que para q(x0) = y0,q′(x0) · (M(π2 )(q))′(x0) = −1

(4) Para las siguientes elipses aplique M(π2 ) y grafique ambas elipses

(a) E =

{(x, y) ∈ R2 | x

2

1+y2

4= 1

}


(b) E =

{(x, y) ∈ R2 | y

2

1+x2

4= 1

}

(c) E =

{(x, y) ∈ R2 | (x− 3)2

1+y2

4= 1

}

(d) E =

{(x, y) ∈ R2 | x

2

4+

(y − 1)2

4= 1

}

(e) E =

{(x, y) ∈ R2 | (x− 2)2

1+

(y − 2)2

4= 1

}

1.3. Rotacion del plano R2 para θ = π4, es decir 45◦.

� En este caso, M(π4 ) =

cos(π4 ) − sen(π4 )

sen(π4 ) cos(π4 )

=

√2

2 −√

22

√2

2

√2

2

.

Ası que

M(π

4

)(xy

)=

√2

2 −√

22

√2

2

√2

2

x

y

=

√2

2 (x− y)√

22 (x+ y)

� Transformacion de los ejes coordenados.

x

yR(π4 )(x, 0)

y = x

R(π4 )(0, y)

y = −x

� Transformacion de la elipse E =

{(x, y) ∈ R2 | x

2

4+y2

9= 1

}


E

E =

{(x, y) ∈ R2 | x

2

4+y2

9= 1

}

R(π4 )(Eje x)

y = x

R(π4 )(Eje y)

y = −x

E’ =

{(x, y) ∈ R2 | [

√2

2 (x− y)]24

+[√

22 (x+ y)]2

9= 1

}

� Transformacion de la parabola y = x2

x

y

P ={(x, y) ∈ R2 | y = x2

}

y = xy = −x

P =

(x, y) ∈ R2 |

√2

2(x+ y) =

(√2

2(x− y)

)2


(1) Para las siguientes rectas aplique M(π4 ), y grafique ambas rectas

(a) L = {(x, y) ∈ R2 | y = 3}(b) L = {(x, y) ∈ R2 | x = 1}(c) L = {(x, y) ∈ R2 | y = −3x+ 3}(d) L = {(x, y) ∈ R2 | y = x+ 5}(e) L = {(x, y) ∈ R2 | y = ax+ b (a 6= 0)}

2. TRASLACIONES EN EL PLANO 279

(2) Para las siguientes parabolas aplique M(π4 ), y grafique ambas parabolas

(a) P = {(x, y) ∈ R2 | y = (x+ 1)2}(b) P = {(x, y) ∈ R2 | y = (x− 1)2}(c) P = {(x, y) ∈ R2 | x = (y + 1)2}(d) P = {(x, y) ∈ R2 | x = (y − 1)2}(e) P = {(x, y) ∈ R2 | y = 1 + x2}(f) P = {(x, y) ∈ R2 | y = 1 + x+ x2}

(3) Para las siguientes elipses aplique M(π4 ), y grafique ambas elipses

(a) E =

{(x, y) ∈ R2 | x

2

1+y2

4= 1

}

(b) E =

{(x, y) ∈ R2 | y

2

1+x2

4= 1

}

(c) E =

{(x, y) ∈ R2 | (x− 3)2

1+y2

4= 1

}

(d) E =

{(x, y) ∈ R2 | x

2

4+

(y − 1)2

4= 1

}

(e) E =

{(x, y) ∈ R2 | (x− 2)2

1+

(y − 2)2

4= 1

}

(4) Muestre que(R(π4

)◦R

(π4

))= R

(π2

)

(5) Muestre que M(π4

)·M

(π4

)= M

(π2

)

(6) Demuestre que (R (θ1) ◦R (θ2)) = R (θ1 + θ2)

(7) Demuestre que M (θ1) ·M (θ2) = M (θ1 + θ2)

2. Traslaciones en el plano

Definicion 2.1. Llamaremos Traslacion respecto del punto P = (r, s), a la funcion.

T(r,s) : R2 7−→ R2 tal que T(r,s)(x, y) = (x+ r, y + s)

2.1.1. Traslaciones de rectas. Consideremos una recta L := {(x, y) ∈ R2 | y = ax + b} entonces siaplicamos una traslacion respecto del punto P tenemos lo siguiente:

u ∈ L ⇐⇒ u = (x, y) ∈ R2 e y = ax+ b

⇐⇒ u = (x, ax+ b) ∈ R2

=⇒ T(r,s)(u) = T(r,s)(x, ax+ b)

=⇒ T(r,s)(u) = (x+ r, ax+ b+ s)

Ası, P1 = (x1, y1) ∈ L y P2 = (x2, y2) ∈ L tenemos T(r,s)(P1) = (x1 + r, ax1 + b + s) y T(r,s)(P2) =(x2 + r, ax2 + b+ s), ademas la recta que pasa por T(r,s)(P1) y T(r,s)(P2) es de la forma

y = Ax+B (148)


• Donde A =(ax2 + b+ s)− (ax1 + b+ s)

(x2 + r)− (x1 + r)=a(x2 − x1)

x2 − x1= a (si x1 6= x2)

• Y B satisface la ecuacion: ax1 + b+ s = A(x1 + r) +B. Es decir B = b+ s− ar

Luego, la recta (148) es de la forma L′ = {(x, y) ∈ R2 | y = ax+ (b+ s− ar)}

Ejemplo 2.1.2. Si L = {(x, y) ∈ R2 | y = 2x+ 1} entonces L′ = {(x, y) ∈ R2 | y = 2x+ (1 + s− 2r)}

y = 2x+ 4

y = 2x :(r, s) = (1, 1)

y = 2x− 4 :(r, s) = (4, 3)

2.2. Traslaciones de parabolas. Consideremos la parabola canonica P = {(x, y) ∈ R2 | y = x2} entonces

T(r,s)(P ) = {(u, v) ∈ R2 | u = x+ r ∧ v = y + s e y = x2}= {(u, v) ∈ R2 | v − s = (u− r)2}

Conclusion 2.2.1. Si P = {(x, y) ∈ R2 | y = x2} entonces T(r,s)(P ) = {(x, y) ∈ R2 | y − s = (x− r)2}

x

y

y=2

x=6

(6,2)

P ={(x, y) ∈ R2 | y = x2

}

T(r,s)(P ) ={(x, y) ∈ R2 | y − 2 = (x− 6)2

}

2. TRASLACIONES EN EL PLANO 281

2.3. Traslaciones de elipses. Si consideremos la elipse canonica E =

{(x, y) ∈ R2 | x

2

a2+y2

b2= 1

}en-

tonces la elipse trasladada es de la forma T(r,s)(E) =

{(x, y) ∈ R2 | (x− r)

2

a2+

(y − s)2b2

= 1

}, y

E

(0, 0)

T(r,s)(E)

(5, 3)

E =

{(x, y) ∈ R2 | x

2

4+y2

9= 1

}

T(r,s)(E) =

{(x, y) ∈ R2 | (x− 5)2

4+

(y − 3)2

9= 1

}

2.4. Traslaciones de hiperbolas.

H =

{(x, y) ∈ R2 | x

2

4− y2

9= 1

}

T7,4(H) =

{(x, y) ∈ R2 | (x− 7)2

4− (y − 4)2

9= 1

}


3. Contracciones y Dilataciones

Definicion 3.1. Llamaremos contraccion del plano a una funcion Tc : R2 7−→ R2 tal que Tc(x, y) = (c·x, c·y),con (c ∈ R; 0 < c < 1)

Ejemplo 3.1.1. Si c = 12 entonces T 1

2

(x, y) = (x2 ,y2 ), y su comportamiento es el siguiente:

x

y

P ={(x, x2) | x ∈ R

}

x

y

T 1

2

(P ) ={(x2 ,

x2

2 ) |x ∈ R}

Definicion 3.2. Llamaremos dilatacion del plano a una funcion Tc : R2 7−→ R2 tal que Tc(x, y) = (c·x, c·y),con (c ∈ R; c > 1)

Ejemplo 3.2.1. Si c = 2 entonces T2(x, y) = (2x, 2y), y su comportamiento es el siguiente:

x

y

P ={(x, x2 |x ∈ R

}

x

y

P ={(2x, 2x2) | x ∈ R

}

Observacion 3.3. Contracciones y dilataciones estan ıntimamente relacionadas en el siguiente sentido:

3. CONTRACCIONES Y DILATACIONES 283

(1) Si Tc es una contraccion entonces Tc es una biyeccion y (Tc)−1 = T 1

c.

Para verificar esta tenemos una tecnica general, que consiste en verificar directamente si la composicionde Tc y T 1

ces la funcion identidad del plano entonces en consecuencia procedemos a la verificacion:

(Tc ◦ (T 1

c))(x, y) = Tc(T 1

c(x, y))

= Tc

(xc,y

c

)

=(c · x

c, c · y

c

)

= (x, y)

Analogamente,

(T 1

c◦ (Tc)(x, y) = T 1

c(Tc(x, y))

= T 1

c(c · x, c · y)

=

(1

c· c · x, 1

c· c · y

)

= (x, y)

Luego,

Tc ◦ (T 1

c) = 1R2

T 1

c◦ (Tc) = 1R2

}=⇒ (Tc)

−1 = T 1

c

(2) Graficamente la situacion se ve como sigue:

x

y

P ={(x, x2) | x ∈ R

}

x

y

Tc(P ) = P ′ ={(cx, cx2) |0 < c < 1 ∧ x ∈ R

}

x

y

T 1

c(P ′) = P =

{(x, x2) | x ∈ R

}

(3) Tc es un homomorfismo de grupos, (c ∈ R−{0}). Es decir Tc es un isomorfismo de grupos, (c ∈ R−{0}).

En efecto


Si u = (x1, y1) ∈ R2 y v = (x2, y2) ∈ R2 entonces debemos mostrar que Tc(u+ v) = Tc(u) + Tc(v)

Tc(u+ v) = Tc(x1 + x2, y1 + y2) = (c(x1 + x2), c(y1 + y2)) = (cx1 + cx2, cy1 + cy2)

= (cx1, cy1) + (cx2, cy2) = c(x1, y1) + c(x2, y2)

= Tc(x1, y1) + Tc(x2, y2)

= Tc(u) + Tc(v)

4. Otras aplicaciones

4.1. Contracciones aplicadas a una elipse.

Figura 39 Contracciones sucesivas de elipse

4.2. Rotaciones y traslaciones aplicadas a una parabola.

Figura: 40 Rotaciones y traslaciones a una parabola

4. OTRAS APLICACIONES 285

4.3. Dilataciones aplicadas a una elipse.

Figura 41 Dilataciones sucesivas de elipse


(1) Considere la circunferencia C(0, 0) = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}.(a) Calcule, T 1

2

(C(0, 0)), T 1

3

(C(0, 0)), T 1

4

(C(0, 0))

(b) Grafique, T 1

2

(C(0, 0)), T 1

3

(C(0, 0)), T 1

4

(C(0, 0))

(2) Considere la circunferencia C(h, k) = {(x, y) ∈ R2 | (x− h)2 + (y− k)2 = r2 (r > 0)} y la sucesion denumeros reales {an | an = 1− 1

n(n ∈ N;n ≥ 2)}

Determine Tan(C(h, k)) para cada n ∈ N. Concluya que limn→∞

Tan(C(h, k)) = C(h, k)

(3) Muestre que M(θ) ∈ U(MR(2)) (∀θ; θ ∈ R)

APENDICE C

Trigonometria

1. Relaciones Trigonometricas Basicas

1.1. Introduccion. Consideremos la siguiente situacion geometrica:

A B1

C1

B2

C2

B3

C3

B4

C4

α

Figura 42

En la figura todos los triangulos son rectangulos y valen las relaciones:

B1C1

AC1

=B2C2

AC2

=B3C3

AC3

=B4C4

AC4

=Cateto opuesto

hipotenusa

AB1

AC1

=AB2

AC2

=AB3

AC3

=AB4

AC4

=Cateto adyacente

cateto opuesto

B1C1

AB1

=B2C2

AB2

=B3C3

AB3

=B4C4

AB4

=Cateto opuesto

cateto adyacente

Definicion 1.2. (Definicion Basica de las funciones trigonometricas) Denominaremos:

Seno del angulo α al cuociente sen α =Cateto opuesto

hipotenusa

Coseno del angulo α al cuociente cos α =Cateto adyacente

hipotenusa

Tangente del angulo α al cuociente tan α =Cateto opuesto

cateto adyacente

Cotangente del angulo α al cuociente cot α =Cateto adyacente

cateto opuesto

Secante del angulo α al cuociente sec α =hipotenusa

cateto adyacente

Cosecante del angulo α al cuociente csc α =hipotenusa

cateto opuesto

287

288 C. TRIGONOMETRIA

2. Funciones Trigonometricas

2.1. Medicion de angulos: Usaremos para nuestras definiciones un cırculo de radio 1 y con centro en elorigen, es decir tenemos el conjunto:

S1 : {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1} (149)

Su diseno es:

•

α

(+)

(-)

P (xp, yp)

O(1, 0)

Figura 43

Algunas observaciones:

(1) Fijaremos el origen o punto de partida (es imprescindible hacerlo) del cırculo S1 en el punto (0, 1),para poder contar las vueltas. De acuerdo a esto tenemos que una vuelta corresponde a 360 grados, esdecir:

Una vuelta = 360 · 1◦ (150)

(2) Consideraremos un angulo positivo si se toma en como en la figura (contrario a los minuteros del reloj!!!), y negativo en el otro sentido.

(3) Existe otra alternativa para medir angulos; esta tiene que ver con el perımetro del circulo:

(a) El angulo α mide un radian si la longitud del arco que subtiende PO es un radio

(b) Una vuelta corresponde a 2π radianes, es decir:

Una vuelta = 2π · 1rad (151)

(4) Comparando (150) y (151) tenemos que:

360 · 1◦ = 2π · 1rad =⇒

1◦ =2π

360· 1rad

Y

1rad =360

2π· 1◦

(152)

2. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 289

(5) Luego, tenemos por ejemplo que:

• 1rad ≈ 57.29◦

• 180◦ = πrad

• 90◦ =π

2rad

• 60◦ =π

3rad

• 45◦ =π

4rad

• 30◦ =π

6rad

• 15◦ = 15 · 1◦ = 15 · 2π

360· 1rad =

π

12rad

2.2. Definicion de las Funciones Trigonometricas. De acuerdo a la definicion (1.2) tenemos que enel cırculo S1 podemos hacer las definiciones de las funciones trigonometricas como sigue:

(1) Funcion Seno:

sen : R 7−→ [−1, 1]x 7−→ sen(x) = yp

(153)

(2) Funcion Coseno:

cos : R 7−→ [−1, 1]x 7−→ cos(x) = xp

(154)

Tal que x2p + y2

p = 1

(3) Funcion Tangente:

tan(x) =senx

cos xdefinida para los x ∈ R tal que cos x 6= 0 (155)

2.3. Algunos valores de las funciones Seno, Coseno y Tangente.

(1) Angulos 0,π

2, π,

3

2π, 2π :


Funcion

Anguloseno coseno tangente

0 0 1 0

π

21 0 no definida

π 0 −1 0

3

2π −1 0 no definida

2π 0 1 0

(2) Angulosπ

3,π

6:

60◦

30◦

a

2

√3

a

2

a

Figura 44

Entonces

Funcion


π

3

1

2

√3

1

2

√3

π

6

1

2

1

2

√3

√3

3

(3) Angulosπ

4:


(0,0)(1.0)

(0, 1)

√2

π

41

1

Figura 45

Entonces

Funcion


π

4

1

2

√2

1

2

√2 1

2.4. Propiedades inmediatas de las funciones trigonometricas. Si consideramos nuevamente elcırculo S1

(xp, yp)

(xp,−yp)

(1, 0)α

−α

Figura 46

Entonces

(1) Periodicidad: Como a α le corresponde el punto(xp, yp) y a (α+2π) el punto(xp, yp) entonces tenemosque, sen(α) = sen(α+ 2π)y cos(α) = cos(α+ 2π)

Por otra parte, las funciones definidas solo dependen del punto (xp, yp) en S1 que posee perımetro2π. Ası que una vuelta es la menor longitud necesaria para que un angulo y por tanto una funciontrigonometrica se repita, a este menor numero lo llamamos el periodo de la funcion trigonometrica.


Conclusion 2.4.1. Las funciones Seno y Coseno son periodicas de periodo 2π, y la funcion y Tangentees periodica de periodo π es decir:

sen(α) = sen(α+ 2kπ) (k ∈ Z)

cos(α) = cos(α+ 2kπ) (k ∈ Z)

tan(α) = tan(α+ kπ) (k ∈ Z)

(2) Paridad: Observemos que por construccion tenemos que

sen(α) = yp ∧ sen(−α) = −yp =⇒ sen(−α) = −sen(α)cos(α) = xp ∧ cos(−α) = xp =⇒ cos(−α) = cos(α)tan(α) =

yp

xp∧ tan(−α) = − yp

xp=⇒ tan(−α) = − tan(α)

Conclusion 2.4.2. Seno es una funcion impar, Coseno es una funcion par y Tangente es una funcionimpar

2.5. Graficos de las funciones trigonometricas.

1

−1

0π2 π

3π2

2π

Periodo=2π

amplitud=2

Figura 47: y = senx

1

−1

0π2 π

3π2

2π

Periodo=2π

amplitud=2

Figura 48 y = cos x


0π2 π 3

2π−π2−π−3

2π

Periodo π

Figura 49 y = tanx

2.6. Otras funciones trigonometricas.

(1) Funcion Cotangente:

cot(x) =1

tan(x)definida para los x ∈ [R− {nπ|n ∈ Z}]

(2) Funcion Secante:

sec(x) =1

cos(x)definida para los x ∈ [R− {(2n − 1)

π

2|n ∈ Z}]

(3) Funcion Cosecante:

csc(x) =1

sen(x)definida para los x ∈ [R− {nπ|n ∈ Z}]

2.7. Identidades Basicas.

Lema 2.7.1. sen2α+ cos2 α = 1 (∀α;α ∈ R)

En efecto

Por construccion tenemos que x2p + y2

p = 1, luego tenemos la identidad basica:

sen2α+ cos2 α = 1

Observacion 2.7.2. Consideremos en el cırculo unitario S1 la situacion siempre posible!!!.


O

A

B

C

I

Figura 50

Tal que:

• La medida del angulo IOB es igual que la medida del angulo AOC

• Si ∠IOC = α y ∠IOA = β entonces ∠IOB = α− β y tenemos que:

d(I,B) = d(A,C)

m√(cos(α− β)− 1)2 + (sen(α− β)− 0)2 =

√(cosα− cos β)2 + (senα− senβ)2

⇓(cos(α− β)− 1)2 + (sen(α− β)− 0)2 = (cosα− cosβ)2 + (senα− senβ)2

m2− 2 cos(α − β) = 2− 2(cosα cos β + senαsenβ)

mcos(α − β) = cosα cos β + senαsenβ

Hemos demostrado el siguiente teorema

Teorema 2.7.3. cos(α− β) = cosα cos β + senαsenβ

Corolario 2.7.4. (1) cos(α+ β) = cosα cosβ − senαsenβ

En efecto

cos(α+ β) = cos(α− (−β))

= cosα cos(−β) + senαsen(−β) ( aplica (2.7.3))

= cosα cos β − senαsenβ (paridad del coseno e imparidad del seno)

(2) cosα cosβ =cos(α+ β) + cos(α− β)

2


En efecto

cos(α+ β) + cos(α− β) = 2 cosα cos β

⇓

cosα cos β =cos(α+ β) + cos(α− β)

2

(3) senαsenβ =cos(α− β)− cos(α+ β)

2

En efecto

cos(α− β)− cos(α+ β) = 2senαsenβ

⇓

senαsenβ =cos(α− β)− cos(α+ β)

2

(4) cos 2α = cos2 α− sen2α

En efecto

cos 2α = cos(α+ α)

= cosα cosα− senαsenα= cosα cos2 α− sen2α

(5) senα = cos(π

2− α

)

En efecto

cos(π

2− α

)= cos

π

2cosα+ sen

π

2senα

= 0 · cosα+ 1 · senα= senα

(6) cosα = sen(π

2− α

)

En efecto

sen(π

2− α

)= cos

(π2−(π

2− α

))

= cosα

(7) sen(α+ β) = senα cos β + senβ cosα


En efecto

sen(α+ β) = cos(π

2− (α + β)

)

= cos((π

2− α

)− β

)

= cos(π

2− α

)cos β + sen

(π2− α

)senβ

= senα cos β + cosαsenβ

(8) Otras identidades que pueden ser demostradas como las anteriores son:

(a) sen(α− β) = senα cos β − senβ cosα

(b) sen2α = 2senα cosα

(c) tan(α+ β) =tanα+ tan β

1− tanα tan β

(d) tan(α− β) =tanα− tan β

1 + tanα tan β

(e) tan 2α =2 tanα

1− tan2 α

(f) sen2(α

2

)=

1− cosα

2

(g) cos2(α

2

)=

1 + cosα

2

(h) tan2(α

2

)=

1− cosα

1 + cosα

2.8. Resolucion de Triangulos.

Definicion 2.8.1. Resolver un triangulo significara determinar los lados y los angulos de un triangulo.

Observacion 2.8.2. De acuerdo a la definicion debemos encontrar una relacion entre los lados a, b, c y losangulos α, β, γ

Consideremos la situacion geometrica.


A B

C

α

a

c

b

Figura 51

Tal que: A = (0, 0) ; B = (c, 0) ; C = (b cosα, bsenα) entonces

a2 = (c− b cosα)2 + (0− bsenα)2

= c2 − 2bc cosα+ b2 cos2 α+ b2sen2α

= c2 − 2bc cosα+ b2(cos2 α+ sen2α)

= b2 + c2 − 2bc cosα

Ası hemos demostrado el siguiente teorema

Teorema 2.8.3. Teorema del Coseno En un triangulo cualquiera con sus elementos dispuestos de laforma:

A B

C

α β

γ

a

c

b

Figura 52

Tenemos las siguientes relaciones:

a2 = b2 + c2 − 2bc cosαb2 = a2 + c2 − 2ac cos βc2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

Observemos que como corolario de este podemos obtener lo siguiente:


a2 = b2 + c2 − 2bc cosα ⇐⇒ cosα =b2 + c2 − a2

2bc⇓

sen2α = 1−(b2 + c2 − a2

2bc

)2

=(a+ b+ c)(b + c− a)(a+ c− b)(a+ b− c)

4b2c2

Un calculo analogo, para la relacion b2 = a2 + c2 − 2ac cos β nos da que:

sen2β =(a+ b+ c)(b+ c− a)(a+ c− b)(a+ b− c)

4a2c2

Por tanto:

4b2c2sen2α = 4a2c2sen2β

⇓senα

a=

senβ

b

De igual manera se puede mostra que

senα

a=

senγ

c

Lo que estamos mostrando es que vale el teorema

Corolario 2.8.4. Teorema del seno En un triangulo cualquiera ABC tenemos las relaciones:

senα

a=senβ

b=senγ

c

En realidad lo que vale es que ambos teoremas son equivalentes!!!

Ejemplo 2.8.5. Resuelva un triangulo ABC si sus lados miden a = 90; b = 70; c = 40:

Solucion

cosα =b2 + c2 − a2

2bc= −2

7

Luego α ≈ 107◦

analogamente

cos β =a2 + c2 − b2

2ac= −2

3

Luego β ≈ 48◦

finalmente: γ = 180 − α− β = 25◦

3. LA FUNCION SINUSOIDAL 299

2.9. Ecuaciones Trigonometricas.

Definicion 2.9.1. Una ecuacion trigonometrica es una ecuacion donde las variables o incognitas solo apare-cen en los argumentos de las funciones trigonometricas.

Observacion 2.9.2. Dada la periodicidad de las funciones trigonometricas, si una ecuacion tiene unasolucion x entonces tiene infinitas soluciones de la forma x+ 2kπ; k ∈ Z.

Ejemplo 2.9.3. En la ciudad de Boston el numero de horas de luz diurna d(t) se puede calcular a travesde la ecuacion trigonometrica:

d(t) = 3sen2π

365(t− 79) + 12

Con t dıas y t = 0 correspondiente al 1 de enero. ¿ Cuantos dıas del ano tienen mas de 10.5 horas de luzdiurna ?

1. Resolver el problema significa encontrar a y b tal que se verifica la relacion 0 < a < t < b < 365 cond(a) = d(b) = 10.5

2. Resolvamos la ecuacion para determinar a y b.

3sen2π

365(t− 79) + 12 = 10.5 ⇐⇒ sen

2π

365(t− 79) = −0.5 =⇒

2π

365(t− 79) = 210◦ ∨ 2π

365(t− 79) = 330◦ =⇒

t ≈ 292 ∨ t ≈ 414 =⇒t ≈ 292 ∨ t ≈ 414− 365 = 49

Por tanto mas de 10.5 horas de luz habra entre a = 49 y b = 292, es decir 243 dıas al ano.

3. La funcion Sinusoidal

Recordemos que los graficos de las funciones seno y coseno son:

1

−1

0π2 π

3π2

2π

Periodo=2π

amplitud=2

Figura 53 y = senx


1

−1

0π2 π

3π2

2π

Periodo=2π

amplitud=2

Figura 54 y = cos x

De lo anterior podemos observar lo siguiente:

(1) Desarrollando el seno y el coseno de suma de angulos tenemos:

sen(α+ β) = senα cos β + sen β cosα y (156)

cos(α− β) = cosα cos β + senα sen β (157)

entonces de (156), sigue que

sen(x+π

2) = senx cos

π

2+ sen

π

2cos x = senx · 0 + 1 · cos x = cos x

Concluimos entonces que la funcion coseno se obtiene trasladando la funcion Seno en π2 o en 90◦.

Ası por ejemplo del grafico de seno observamos que: cos 0 = sen(0 + π2 ) = sen π

2 = 1, analogamente de(157), sigue que

cos(x− π

2

)= cos x cos

π

2+ senx sen

π

2= cosx · 0 + senx · 1 = senx

Por tanto la funcion seno se obtiene trasladando la funcion coseno en −π2 o en −90◦ o 270◦. Ası por

ejemplo del grafico de coseno observamos que:

senπ

2= cos(

π

2− π

2) = cos 0 = 1

(2) como se ve las figuras, 1 y 2 la amplitud de ambas ondas es 1, sin embrago podemos alterar dichaamplitud, digamos ”A”, a voluntad facilmente, multiplicando por el valor deseado.

En general, para A ∈ R arbitrario tenemos que:


A

−A

0π2 π

3π2

2π

Periodo=2π

amplitud=2A

Figura 55 y = A sen x

A

−A

0π2 π

3π2

2π

Periodo=2π

amplitud=2A

Figura 56 y = A cos x

(3) De las figuras (1) y (2), podemos ver que el periodo de ambas funciones es 2π, sin embargo podemosalterarlo a voluntad como sigue. Por ejemplo para;

(a) y = sen(x

2

)

1

−1

0π2 π

3π2

2π

Periodo=4πFigura 57 y = sen x2


(b) y = 3cos(2x)

3

−3

0π2 π

3π2

2π

Periodo=π

Figura 58 y = 3cos 2x

(c) y = sen(2x− π

2)

1

−1

0π2 π

3π2

2π

Periodo=π

desfase=−π4

Figura 59 y = sen(2x− π2 )

3.1. Funcion sinusoidal generica. Llamaremos funcion sinusoidal generica a una funcion del tipo f(x) =a senωx+ b cosωx.

Observacion 3.1.1. Si consideramos la funcion sinusoidal generica entonces

f(x) = a senωx+ b cosωx

=

(√a2 + b2√a2 + b2

)[a senωx+ b cosωx]

=√a2 + b2

[a senωx+ b cosωx√

a2 + b2

]

=√a2 + b2

[a√

a2 + b2senωx+

b√a2 + b2

cosωx

](∗)


Ahora, podemos ver directamente que:

[a√

a2 + b2

]2

+

[b√

a2 + b2

]2

=a2

a2 + b2+

b2

a2 + b2

=a2 + b2

a2 + b2

= 1

Luego, existe un angulo, llamado por ejemplo ϕ tal que:

cosϕ =b√

a2 + b2∧ senϕ =

a√a2 + b2

(158)

En efecto,(cosϕ, senϕ) =

(b√

a2+b2, a√

a2+b2

)

ϕ

cosϕ

senϕ1

Figura 60

Sustituyendo en (*) tenemos que:

f(x) =√a2 + b2

[a√

a2 + b2senωx+

b√a2 + b2

cosωx

]

=√a2 + b2︸︷︷︸A

(senϕ senωx+ cosϕ cosωx)

= A cos(wx− ϕ)

3.1.2. Propiedades de f(x) = A cos(ωx− ϕ).

(1) f es periodica, pues,

f(x+ T ) = A cos(ω(x+ T )− ϕ)

= A cos(ωx+ ωT − ϕ)

Pero la funcion coseno es periodica de periodo 2π, ası que:

f(x) = f(x+ 2π) = A cos(ωx+ 2π − ϕ) =⇒ ωT = 2π =⇒ T =2π

|ω|


Es decir, f es periodica de periodo T =2π

|ω| . Tambien llamamos frecuencia a |ω| = 2π

T

(2) Para ver el desfase hacemos lo siguiente:

A cos(ωx− ϕ) = A cos[ω(x− ϕ

ω

)]

Luego, f esta desfasada enϕ

ω.

Es decir;

A

−A

• •ϕ

ω

ϕ

ω+ T

Figura 61 y = A cos(ωx− ϕ)

4. Funciones trigonometricas inversas

4.1. Funcion arcoseno o sen−1. Por definicion sabemos que:

• dom(sen) = R

• Img(sen) = [−1, 1]

• La funcion seno es sobreyectiva

• La funcion seno no es inyectiva, pues por ejemplo sen(0) = sen(π) = 0 y 0 6= π. sin embargo podemoshacerla inyectiva haciendo cirugıa (cortando adecuadamente) en el dominio como sigue:

1

−1

0π2−π

2

Figura 62 y = senx x ∈ [−π2 ,

π2 ]

4. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS 305

entonces definimos:

sen−1 : [−1, 1] 7−→ [−π2 ,

π2 ]

x 7−→ y = sen−1(x)(159)

Luego tenemos por definicion que

y = sen−1(x) ⇐⇒ x = sen(y)

Definicion 4.1.1. La funcion definida arriba, sen−1 se llama la funcion inversa de seno y tambien sedenota arcoseno.

Ejemplo 4.1.2. (1) arcoseno(x) = 0⇐⇒ x = sen(0) = 0

(2) arcoseno(x) =π

2⇐⇒ x = sen(

π

2) = 1

(3) arcoseno(x) = −π2⇐⇒ x = sen(−π

2) = −1

4.2. Funcion arcocoseno o cos−1.

Definicion 4.3. Llamaremos arcocoseno o cos−1 a la funcion,

cos−1 : [−1, 1] 7−→ [0, π]x 7−→ y = cos−1(x)

(160)

Ejemplo 4.3.1. (1) arcocoseno(x) = 0⇐⇒ x = cos(0) = 1

(2) arcocoseno(x) =π

2⇐⇒ x = cos

(π2

)= 0

(3) arcocoseno(x) = π ⇐⇒ x = cos(π) = −1

4.4. Funcion arcotangente o tan−1.

Definicion 4.4.1. Llamaremos arcotangente o tan−1 a la funcion,

tan−1 : R 7−→(−π

2,π

2

)

x 7−→ y = tan−1(x)(161)

Ejemplo 4.4.2. (1) arcotangente(x) = 0⇐⇒ x = tan(0) = 0

(2) arcotangente(x) =π

4⇐⇒ x = tan

(π4

)= 1

4.5. Otras funciones trigonometricas inversas. Analogamente definimos las otras funciones inversas,

(1) y = cot−1(x) = arcocotangente(x)⇐⇒ x = cot(y)

(2) y = sec−1(x) = arcosecante(x)⇐⇒ x = sec(y)

(3) y = csc−1(x) = arcocosecante(x)⇐⇒ x = csc(y)


Ejemplo 4.5.1. (1) Determinemos el valor de la expresion: sec

(arcotangente

(2

3

))

Solucion

• u = arcotangente

(2

3

)⇐⇒ tan(u) =

2

3

• Construimos un triangulo rectangulo que verifique la definicion de la funcion tangente.

u

2

3

√13

• Finalmente para resolver el problema, basta calcular sec(u).

sec(u) =

√13

3−→ sec(arcotangente(

2

3)) =

√13

3

(2) Resolvamos la ecuacion 5sen2x+ 3senx− 1 = 0 en [0, 2π]

• Sea u = senx entonces 5sen2x+ 3senx− 1 = 0⇐⇒ 5u2 + 3u− 1 = 0

• Resolviendo la ecuacion cuadratica tenemos que:

u =−3±

√29

10⇐⇒ sen(x) =

−3±√

29

10⇓

x =

sen−1[−3+

√29

10

]≈ 0.2408

sen−1[−3−

√29

10

]≈ −0.9946

• Finalmente las soluciones son

◦ x1 = 0.2408

◦ x2 = π − 0.248 = 2.9008

◦ x3 = π + 0.9946 = 4.1361

◦ x4 = 2π − 0.9946 = 5.2886

(3) Verifiquemos la identidad: arcoseno(x) + arcocoseno(x) =π

2para x ∈ [−1, 1]


Solucion

• Sea u = arcoseno(x) y v = arcocoseno(x), luego x = sen(u) y x = cos(v)

• Ahora como sen(u+ v) = sen(u) cos(v) + sen(v) cos(u) entonces:

sen(u+ v) = x2 +√

1− cos2(v)√

1− sen2(u)

= x2 +√

(1− x2)2

= x2 + (1− x2)

= 1

Ası que

u+ v = arcoseno(1) =π

2


(1) Si cosπ

8=

√2 +√

2

2calcule:

(a) senπ

8y tan

π

8

(b) cos3π

8y sen

3π

8y tan

3π

8

(c) cos5π

8y sen

5π

8y tan

5π

8

(d) cos7π

8y sen

7π

8y tan

7π

8

(e) cosπ

16y sen

π

16y tan

π

16

(2) Desarrolle y reduzca las expresiones:

(a) (cos x+ senx)2 + (cos x− senx)2

(b) (a cos x+ bsenx)2 + (a cos x− bsenx)2. Si a y b son reales.

(c) sen2

(1

1− cosx+

1

1 + cos x

)

(3) Demuestre que las siguientes funciones son periodicas y determine su periodo:

(a) f(x) = cos 3x

(b) f(x) = cos 5x

(c) f(x) = sen2x

(d) f(x) = sen5x

(e) f(x) = sen5x+ cos 5x

(4) Determine si son pares o impares las funciones:


(a) g(x) = 2x+ 3 + sen3x

(b) g(x) = cos(3x2) + sex

(c) g(x) = sen(2x) cos(3x)

(d) g(x) = cos2 x+ cos 3x

(5) En los siguientes ejercicios usaremos el siguiente vocabulario:Si un observador en el punto X avista un objeto O entonces el angulo que forma la linea visual delobjeto con la vision normal de sus ojos es el angulo de elevacion del objeto O, (Si este se encuentrasobre la horizontal), o angulo de depresion del objeto O si esta bajo la horizontal.

Suelo

O

O

Vision normalelevacion

depresion

Figura 63: Angulo de elevacion y depresion

(a) Desde un punto al nivel del suelo y a 135 metros de la base de una torre, el angulo de elevacion ala parte mas alta de la torre es 57◦20′. Calcule la altura de la torre.

(b) Desde un punto P ubicado al nivel del suelo el angulo de elevacion de la parte mas alta de la torrees 26◦50′. Desde un punto que esta a 25 metros mas cercano a la torre y en la misma linea con P yla base de la torre, el angulo de elevacion de la parte alta es de 53◦30′. Calcule la altura de la torre.

(c) Desde lo alto de un edificio que mira al mar, un observador avista una lancha que navega direc-tamente hacia el edificio. Si el observador esta a 100 pies sobre el nivel del mar y el angulo dedepresion de la lancha cambia de 25◦ a 40◦ durante el periodo de observacion. Calcule la distanciaque recorre la lancha.

(6) Resolucion de triangulos:

(a) Resuelva los triangulos:


(a) α = 60◦; b = 20; c = 30(b) γ = 45◦; b = 10; a = 15(c) β = 150◦; a = 150; c = 30(d) β = 73◦; c = 14; a = 87(e) a = 2; b = 3; c = 4(f) a = 10; b = 15; c = 12

(b) El angulo de una esquina de un terreno triangular mide 73◦40′ y los lados que se unen en estaesquina miden 175 pies y 150 pies de largo. Calcule la longitud del tercer lado.

(c) Para hallar la distancia entre los puntos, A y B un agrimensor escoge un punto C que esta ubicadoa 420 yardas de A y a 540 yardas de B. Si el angulo ACB mide 63◦10′. Calcule la distancia entreA y B.

(7) Resuelva las ecuaciones trigonometricas:

(a) sen(x) =

√2

2

(b) 2 cos(x)−√

3 = 0

(c) 2 cos t+ 1 = 0

(d) tan2 x = 1

(e) sen2x+ senx− 6 = 0 (x ∈ [0, 2π])

(f) 2 cos2 x+ cos x = 0 (x ∈ [0, 2π])

(g) sen2x+ senx− 6 = 0 (x ∈ [0, 2π])

(h) 2 tan x− sec2 x = 0 (x ∈ [0, 2π])

(i) 2sen3x+ sen2x− 2senx− 1 = 0 (x ∈ [0, 2π])

(8) Grafique y determine: Amplitud, periodo, desfase de las funciones:

(a) y = sen(x− π

2

)

(b) y = 3sen(x+

π

6

)

(c) y = sen

(1

2x− π

3

)

(d) y = cos(x− π

3

)

(e) y = cos(2x− π) + 2

(f) y = sen1

x(9) Determine el valor exacto:

(a) tan(arcotangente14)


(b) sen(arcotangente

(−3

4

)− arcoseno

(45

))

(c) tan(arcotangente

(43

)− arcocoseno

(817

))

(d) tan(arcocosen

(12

)− arcoseno

(−1

2

))

(10) Verifique las identidades

(a) arcosenox = arcotangentex√

1− x2

(b) arcocosenox+ arcocoseno√

1− x2 =π

2(x ∈ [0, 1])

(c) arcotangentex+ arcotangente1

x=π

2(x > 0)

Bibliografıa

[1] Bello, I. “Algebra Elemental ”, Brooks/Cole Publishing Company 1999.

[2] Bobadilla, G. Labarca R. “Calculo 1 ”, Facultad de Ciencia, Universidad de Santiago 2007.

[3] Boldrini, J. Rodriguez, S. Figueiredo, V. Wetzler, H. “Algebra Linear”, Editora Harper & Row do Brasisl Ltda, 1984.

[4] Fraleigh J. “Algebra Abstracta ”Addison-Wesley Iberoamericana 1988.

[5] Grimaldi, R. “Matematicas Discretas y Combinatorias ”, Addison Wesley 1997.

[6] Gustafson, R. “Algebra Intermedia ”, Brooks/Cole Publishing Company 1997.

[7] Kaufmann, J. “Algebra Intermedia ”, Brooks/Cole Publishing Company 2000

[8] Santander, R. “Algebra Elemental y superior”, Universidad de Santiago 2004

[9] Santander, R. “Algebra Lineal”, Universidad de Santiago 2004

[10] Santander, R. “Un Segundo curso de Algebra Lineal”

[11] Swokowski, E. “Algebra y trigonometrıa ”, Brooks/Cole Publishing Company 1997.

[12] Zill, D. ” Algebra y trigonometrıa ”, Mc Graw Hill 1999

311

Indice Alfabetico

Angulo de depresion, 308Angulo de elevacion, 308

Adicion de polinomios, 6Algoritmo de Cooley - Tukey, 214Anillo conmutativo con identidad, 171Anillo de matrices, 173Anillo de polinomios, 197Anillos, 171Asociatividad de la adicion de polinomios, 8Axiomas de Peano, 31

Base 10, 4Base 2, 4Base 3, 4Base m, 5Bicondicional logico, 22

Cero de un polinomio, 201Clase de equivalencia de una relacion, 87Clase de equivalencia modulo n, 78Coeficientes de un polinomio, 5Composicion de funciones, 117Congruencia modulo 2, 74Congruencias modulo n, 78Conjugacion compleja, 224Conjuncion logica, 22Conjunto de polinomios, 8Conjunto de polinomios de grado menor o igual que n, 8Conmutatividad de la adicion de polinomios, 9Construccion algebraica de C, 205Construccion de los numeros racionales, 95Contraccion de elipses, 284Contracciones del plano, 282Contradiccion, 23Criterio de divisibilidad para n=11, 81Criterio de divisibilidad para n=3, 80Criterio de divisibilidad para n=5, 80

Determinante de orden 2, 176Determinante de orden n, 177Diferencia de una progresion aritmetica, 52Dilatacion del plano, 282Dilataciones de elipses, 285Discriminante de una cubica, 236Distancia de un punto a una recta, 251Distancia entre dos puntos, 242Distributividad del producto de polinomios, 11Disyuncion logica, 22Division sintetica de Horner, 222

Divisibilidad de polinomios, 14, 18Divisibilidad en los enteros, 79Dominio de una funcion, 110Dominio de una relacion, 83

Ecuacion cubica general, 233Ecuacion canonica de la hiperbola, 265Ecuacion canonica de la parabola, 268Ecuacion canonica de una recta, 246Ecuacion del cırculo, 259Ecuacion general de la recta, 247Ecuacion punto pendiente, 247Ecuaciones canonicas de una elipse, 263Ecuaciones con radicales, 18Ecuaciones polinomiales, 17Ecuaciones trigonometricas, 299Eje de simetrıa de la parabola, 256Eje focal de una elipse, 263Eje menor de una elipse, 263Elemento inverso para cada elemento de un grupo G, 146Elemento neutro de un grupo G, 146Elipse centrada en C = (h, k), 264Elipse centrada en el origen, 263Enteros modulo n, 78Equidistar, 258Equivalencia logica, 22Estructura de grupo, 146Excentricidad, 263

Formula de Abraham de Moivre, 208Formula proposicional, 27Factorial, 65Factorizacion de trinomios, 16Focos de una elipse, 263Forma polar o trogonometrica de un complejo, 207Formula general para la divisibilidad de enteros, 80Fraccion parcial propia, 237Fracciones de polinomios, 237Funcion, 108Funcion Arcocosecante, 305Funcion Arcocoseno, 305Funcion Arcocotangenre, 305Funcion Arcosecante, 305Funcion Arcoseno, 304Funcion Arcotangente, 305Funcion biyectiva, 117Funcion constante, 243Funcion creciente, 244Funcion cuadratica, 253

313

314 INDICE ALFABETICO

Funcion decreciente, 245Funcion identidad, 115Funcion impar, 233Funcion invertible, 119Funcion inyectiva, 115Funcion lineal, 242Funcion sinusoidal, 299Funcion sinusoidal generica, 302Funcion sobreyectiva, 116

Grafico de una funcion, 110Grafico de una relacion, 83Grado de un polinomio, 6, 156Grados, 288Grupo Abeliano o conmutativo, 146Grupo de polinomios, 158Grupo no conmutativo, 158

Hermes, 3Hipotesis de induccion, 33Hiram, 3Homomorfismo de anillos, 199Homomorfismo de grupos, 161Homomorfismo evaluacion, 200, 221

Identidades basicas, 293Igualdad de funciones, 118Igualdad de polinomios, 6Imagen de un homomorfismo, 162Imagen de una funcion, 110Imagen de una relacion, 83Implicacion logica, 22, 25Induccion matematica, 31Inverso multiplicativo de un complejo, 205Isomorfismo de grupos, 165Isomorfismos canonicos, 165Isomorfismos elementales, 166

Lados identificados, 73Ley de De Morgan para la disyuncion, 24Ley del silogismo, 25Linea recta, 245Lugar geometrico, 258

Metodo de afirmacion, 25Metodo de contradiccion, 26Metodo de Laplace, 177Metodo de negacion, 25Modulo de un complejo, 207Matrices equivalentes por filas, 187Matriz adjunta, 183Matriz antisimetrica, 151Matriz columna, 149Matriz cuadrada, 149Matriz de cofactores, 183Matriz de Fourier de orden n, 211Matriz de orden (n × m), 149Matriz diagonal, 149Matriz elemental, 189Matriz escalonada reducida por filas, 187Matriz escalonada por filas, 188Matriz fila, 149Matriz identidad, 150

Matriz invertible o no singular, 183Matriz nula, 149Matriz simetrica, 150Matriz traspuesta, 151Matriz triangular inferior, 150Matriz triangular superior, 150Medicion de angulos, 288Modus ponens, 25Modus tollens, 25

Nucleo de un homomorfismo, 162Numero combinatorio, 65Numeros complejos, 201Numeros enteros construccion de, 93Numeros naturales, 31Numeros racionales, 97Negacion de una proposicion, 22

Operaciones elementales de matrices, 166

Paridad, 292Parte imaginaria de un complejo, 204Parte real de un complejo, 204Peano y las formulas proposicionales, 32Pendiente de una recta, 246Periodicidad de funciones trigonometricas, 291Periodo de funciones trigonometricos, 291Polinomio, 5Polinomio definicion informal, 5Polinomio nulo, 5Polinomios, 156Principio de induccion, 32Producto cartesiano, 81Producto de numeros complejos, 204Producto de polinomios, 9Producto logico, 22Progresion aritmetica definicion de, 52Progresion geometrica, 57Propiedad del reloj, 45Propiedad telescopica, 44Propiedades de las sumatorias, 42Propiedades del determinante, 177Proposicion logica, 21Proposicion logica compuesta, 22Proyecto colaborativo: grafico de funciones, 129Proyecto de Integracion: Relaciones de Equivalencia y

Funciones, 124Punto crıtico, 232Punto de inflexion de la cubica y = x3, 233

Raıces, 220Raıces racionales, 223Raıces reales de un polinomio, 226raız, 107Raız de un polinomio, 201Raız enesima de la unidad, 208Raız enesima primitiva de la unidad, 210Radian, 288Rango de una matriz, 188Razon de una progresion geometrica, 57Rectas paralelas, 247Rectas perpendiculares, 249Reduccion al absurdo, 26

INDICE ALFABETICO 315

Relacion Compuesta, 84Relacion de equivalencia, 87Relacion inversa, 83Relacion reflexiva, 86Relacion simetrica, 86Relacion transitiva, 86Relacion definicion de, 82Relaciones trigonometricas basicas, 287Rotacion de parabolas, 284

Rotacion del plano en θ =π

2, 271

Rotaciones del plano para θ =π

4, 277

Rotaciones en un angulo θ, 271

Soluciones de la ecuacion cubica, 232Sucesor, 31Suma de los n primeros terminos de una progresion

aritmetica, 54Suma de los n primeros terminos en una progresion

geometrica, 57Suma logico, 22Sumatoria, 41Sustraccion de polinomios, 8

Termino de orden k en un desarrollo binomial, 69Termino de orden n en una progresion aritmetica, 53Termino de orden n en una progresion geometrica, 57Termino independiente, 70Tabla de verdad, 21Tautologıa, 23Teorema del binomio, 67Teorema del coseno, 297Teorema del seno, 298Tesis de induccion, 33Transformaciones en el plano, 97Traslacion de parabolas, 284Traslacion respecto de un punto, 279Traslaciones de elipses, 281Traslaciones de hiperbolas, 281Traslaciones de parabolas, 280Traslaciones de rectas, 279

Unidad de un anillo, 171

Vertice de la parabola, 256Variante de la secante para el caculo de raıces de un

polinomio, 228Variante Newton Raphson para el caculo de raıces de un

polinomio, 230

Contenidos

12

Unidad 1. Bases Numericas y Polinomios 31. Introduccion 32. Construccion Informal de polinomios 53. Adicion de Polinomios 64. Producto de Polinomios 95. Divisibilidad en R[x] 126. Ejercicios Propuestos 16

Unidad 2. Rudimentos sobre Logica Matematica 211. Proposiciones Logicas 212. Generacion de Proposiciones y Tablas de Verdad 213. Ejercicios Resueltos 234. Uso de Cuantificadores 275. Ejercicios Propuestos de Logica 29

Unidad 3. Induccion Matematica 311. Axiomas de Peano: Una Construccion Axiomatica de los Numeros Naturales 312. Formalizacion y Verificacion de Formulas Usando el Axioma de Induccion 323. Construccion de Algunas Formulas Proposicionales 334. Sumatorias: 415. Ejercicios Resueltos de Induccion Matematica 456. Ejercicios Propuestos de Induccion Matematica 49

Unidad 4. Progresiones 511. Progresiones Aritmeticas 512. Progresiones Geometricas 563. Ejercicios Resueltos de Progresiones 584. Ejercicios Propuestos de Progresiones 62

Unidad 5. Teorema del Binomio 651. Introduccion a los Factoriales 652. Teorema del Binomio 673. Ejercicios Resueltos de Teorema del Binomio 694. Ejercicios Propuestos del Teorema del Binomio 71

Unidad 6. Relaciones 731. Ideas Basicas 732. Criterios de divisibilidad 793. El concepto de Relacion 814. Construccion de Relaciones 835. Relaciones de equivalencia 866. Aplicacion de las Relaciones de Equivalencia: Construccion de los Numeros Enteros 887. Aplicacion de las Relaciones de Equivalencia: Construccion de los Numeros Racionales 95

317

318 CONTENIDOS

8. Aplicacion de las Relaciones de Equivalencia: Transformaciones del Plano y del Espacio 979. Ejercicios Propuestos de Relaciones 103

Unidad 7. Preliminares sobre Funciones 1051. Ideas Basicas 1052. El Concepto de Funcion 1083. Clasificacion de funciones 1154. Ejercicios Propuestos de Funciones y sus Propiedades Cualitativas 1225. Proyecto de Integracion: Relaciones de Equivalencia y Funciones 1246. Proyecto Colaborativo: Construccion del Grafico de Algunas Funciones 129

Unidad 8. Introduccion a la Estructura Algebraica de Grupos 1451. Definiciones y Ejemplos Basicos 1452. El grupo de matrices 1483. Grupo de polinomios 1564. Un ejemplo de grupo no conmutativo 1585. Homomorfismos de grupos 1606. Isomorfismos de Grupos 1657. Ejercicios Propuestos de Homomorfismos 1678. Proyecto de Integracion: Relaciones de Equivalencia, Grupos y Homomorfismos 168

Unidad 9. Preliminares acerca del Anillo de Matrices y Polinomios 1711. Definiciones y Ejemplos de anillos en general 1712. Anillo de Matrices 1723. Ejercicios Propuestos de Producto de Matrices 1744. Unidades en el anillo MR(n) 1765. Ejercicios Resueltos de Determinante 1796. Ejercicios Propuestos de Determinantes 1807. Determinante y Matriz Inversa 1828. Ejercicios Propuestos de Matriz Inversa 1859. Operaciones Elementales: Rango de una Matriz 18610. Operaciones Elementales: Matrices elementales 18911. Matrices Elementales y Matriz Inversa 19312. Ejercicios Resueltos Miscelaneos del Anillo de Matrices 19413. Introduccion al Anillo de Polinomios 197

Unidad 10. Algebra del Cuerpo de Numeros Complejos 2011. Construccion intuitiva del Cuerpo de Numeros Complejos 2012. Construccion algebraica de C 2053. Interpretacion Geometrica de C 2074. Aplicaciones 2105. Ejercicios Resueltos 2146. Ejercicios Propuestos 216

Unidad 11. Raıces de Polinomios 2191. Introduccion 2192. Division Sintetica de Horner 2213. Raıces Racionales para polinomios con coeficientes enteros 2234. Conjugacion Compleja y raıces de polinomios 2245. Calculo de Raıces Reales 2266. Soluciones de la ecuacion Cubica 2327. Fracciones Parciales 237

Apendice A. Preliminares sobre Secciones Conicas 2411. Relaciones Basicas y Geometrıa Analıtica 241

CONTENIDOS 319

2. Funcion Lineal 2423. Ecuaciones equivalentes para definir lıneas rectas 2474. Rectas Paralelas 2475. Rectas Perpendiculares 2496. Distancia de un punto a una recta 2507. Ejercicios Propuestos 2528. Funcion Cuadratica 2539. Relaciones Algebraicas en el Plano: El circulo 25810. Relaciones Algebraicas en el Plano: La Elipse 26111. Relaciones Algebraicas en el Plano: La Hiperbola 26512. Relaciones Algebraicas en el Plano: La parabola 268

Apendice B. Algunas Transformaciones en el Plano Cartesiano 2711. Rotaciones en el plano 2712. Traslaciones en el plano 2793. Contracciones y Dilataciones 2824. Otras aplicaciones 284

Apendice C. Trigonometria 2871. Relaciones Trigonometricas Basicas 2872. Funciones Trigonometricas 2883. La funcion Sinusoidal 2994. Funciones trigonometricas inversas 3045. Ejercicios Propuestos 307

Apendice. Bibliografıa 311

Apendice. Indice Alfabetico 313

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