capitulo viii: armonico simple

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

-Introducción

-La proyección de un movimiento armónico simple

-Elementos del Movimiento Armónico Simple

-Ecuaciones del Movimiento Armónico Simple

-Ley de Hooke

-Periodo de Oscilación

-Energía del Oscilador

CONTENIDOS TEMÁTICOS

INTRODUCCIÓN

Movimiento periódico: se repiten a intervalos iguales de tiempo.  Movimiento oscilatorio: es un movimiento periódico de vaivén respecto de una posición central, llamada posición de equilibrio.

Un cuerpo tiene movimiento vibratorio armónico simple si

en intervalos de tiempo iguales pasa por el mismo punto

del espacio siempre con las mismas características de

posición velocidad y aceleración.

LA PROYECCIÓN DE UN MOVIMIENTO CIRCULAR SOBRE UN EJE

RADIO VECTOR

Un cuerpo que se mueve en una circunferencia en sentido contrario a las agujas del reloj el ángulo que forma el radio con el eje x va cambiando . Este radio se puede proyectar sobre el eje Y.

ELEMENTOS DEL MOV. ARMONICO SIMPLE

Periodo(T): el tiempo que tarda el móvil en describir una oscilación completa.

Frecuencia(ƒ): el número de oscilaciones f = 1/Tcompletas efectuadas en la unidad de tiempo.

Elongación: en un instante dado es la posición de la partícula respecto de la posición de equilibrio.Amplitud(A): es el valor máximo de la elongación.

Frecuencia angular(ω): ω = 2πƒ

Movimiento Armónico Simple

Ecuaciones de la posición del Mov. MAS

ω t + ϕ :es la fase, cuya unidad en S.I es el RADIÁN

ϕ : es la fase inicial (t = 0)

x = A cos(ω t +ϕ) x = A sin(ω t +ϕ)

Ecuaciones de la posición del Mov. MAS

Si x = A sin ωt

v= dx/dt = A ω cos ωt

a= dv/dt= -A ω2 sin ωt

a = - ω2 x

22 xAv −±= ω

Para x>0, F =-kx Para x<0, F =kx

LEY DE HOOKE: Define el comportamiento del muelle para un oscilador armónico.

La fuerza restauradora de un muelle es directamente proporcional a su deformación.

Fm = -k x

Periodo de las Oscilaciones

Tomando a= - ω 2 x ; tenemos que SU FRECUENCIA ANGULAR y PERIODO son respectivamente:

El periodo de oscilación y la frecuencia del cuerpo no depende de la amplitud de las oscilaciones.

En todo instante y en ausencia de rozamiento, la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo que oscila, es la fuerza restauradora del muelle:

Fm = m a - k x = m a

T = 2π m / kmk=ω

ENERGIA CINETICA

Aquella capacidad que poseen los cuerpos para realizar trabajo en función de su movimiento.

Ec = 1/2 mv2

Ec = 1/2 k (A2 –x2 )

La Ley de Hooke es un ejemplo de fuerza conservativa,

porque el trabajo que realiza un muelle no depende del

camino seguido.

FUERZAS CONSERVATIVAS

Esta energía, depende de las posiciones de las partículas que forman el sistema.

En un sistema muelle-cuerpo, hablamos de energía potencial elástica; por supuesto cuanto mayor sea la compresión del muelle mayor es la energía.

ENERGIA POTENCIAL

Epelástica = ½ K x2

ENERGÍA POTENCIAL DE OSCILADOR ARMONICO

xdxwmFdxEB

A

B

Ap2∫∫ −−=−=

∫

=

B

A

B

A

xmwxdxmw

2

222

22

22ab

p

xK

xKE −=

REFERENCIA DE ENERGÍA POTENCIAL

Se toma como referencia, energía potencial cero

aquella donde x = 0

ENERGÍA TOTAL DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

22

21

21

kxmvET +=

M.A.S. angular

La frecuencia angular y frecuencia vienen dadas por:

Un resorte espiral ejerce un momento de torsión de restitución proporcional al desplazamiento angular respecto de la posición de equilibrio.τ = -K Θ

El momento esta descrito por: Θ= Θ cos(ωt+ φ)

Movimiento Periódico Movimiento Armónico

POSICIÓN VERSUS TIEMPO

VELOCIDAD VERSUS TIEMPO

ACELERACION VS TIEMPO

Posición, velocidad y aceleración vs tiempo

Descripción del Movimiento Armónico Simple

M.A.S. vertical

Colgamos una masa del extremo libre de un resorte vertical y se deja descender suavemente; comienza a oscilar de forma vertical, hasta que el sistema alcanza el equilibrio.

Fuerza recuperadora -> F=kl

En el equilibrio se cumple -> mg=kΔl

k=mg/l -> f= 1/2 π k/m

Ejemplo: Ecuaciones del péndulo simple

x = A cos (ω t + φ) = A cos (2π ƒt + φ)x = A sen(ω t + β) = A sen (2π ƒt + β)

Periodo del péndulo:

T = 2π L / |g|

θ (grado

s)

θ (radian

es)

Sen θ Diferencia (%)

0 0,0000 0,0000 0,00

2 0,0349 0,0349 0,00

5 0,0873 0,0872 0,11

10 0,1745 0,1736 0,52

15 0,2618 0,2588 1,15

20 0,3490 0,3420 2,01

25 0,4363 0,4226 3,14

EJERCICIOS

1.-Un cuerpo cuyo radio mide 0.15 metros describe un MAS con un periodo de 4 segundos. Calcular: a) Su elongación, es decir su posición a los 3.6 segundos. b) Su velocidad a los 3.6 segundos. c) Su velocidad máxima. d) su aceleración máxima.

Datos Fórmulasr = 0.15 m F = 1/TT = 4 seg a) Y = r cos 2 π F ta) Y 3.6 seg = ¿ b) v = - 2 π F r sen 2 π F tb) v 3.6 seg = ¿ c) V max = - 2 π F r sen 90°.c) V máx = ¿ d) a max = - 4 π 2F2 Ymáx

d) a máx= ¿

Sustitución y resultados:

F = ¼ s = 0.25 ciclos/sa) Y = 0.15 m cos 2 x 3.14 x 0.25 ciclos/s x 3.6 s = 0.15 m x 5.65

radianes. 5.65 rad x 57.3°/ 1 rad =323.86°. cos 323.86° = cos (360° - 323.86°) = cos 36.14° = 0.8073 Y 3.6 s = 0.15 m x 0.8073 = 0.12 metros.

b) V 3.6 s = -2 x 3.14 x 0.25 ciclos/s x 0.15 m x sen 323.86° sen 323.86° = - sen (360°-323.86°) = - sen 36.14 = - 0.5901. V 3.6 s = -0.236 m/s x – 0.5901 = 0.14 m/s

c) V max = - 2 x 3.14 x 0.25 ciclos/s x 0.15 m x sen 90° = - 236 m/s

d) a max = - 4 (3.14)2 (0.25 ciclos/s)2 (0.15 m) = - 0.37 m/s2.

2. Determine el periodo de un péndulo y su frecuencia, si su longitud es de 40 cm,

Datos FórmulasSustitución

l = 40 cm = 0.40 m T = 2 π √ l/g T = 2 x 3.14 √0.4 m/

9.8 m/s2T = 1.27 s

F = 1/T F = 1/1.27 s = 0.79 ciclos/sg = 9.8 m/seg2.T = ¿F = ¿

GRACIAS