cálculo vectorial(1)

Cálculo vectorial

Unidad 1. Vectores y geometría en el

espacio

Sistema de coordenadas

tridimensionales

• Para localizar un punto en el espacio, se utilizan tres ejes coordenados mutuamente perpendiculares

• Los ejes forman un sistema coordenado diestro o de mano derecha

• Las coordenadas cartesianas (x,y,z) de un punto P en el espacio son los valores en los cuales los planos que pasan por P, perpendiculares a los ejes, cortan los ejes

• Las coordenadas cartesianas del espacio también se llaman coordenadas rectangulares, porque los ejes que las defines se cortan en ángulos rectos

Los planos determinados por los ejes coordinados son:

• plano xy, cuya ecuación estándar es z = 0

• plano xz, cuya ecuación estándar el y = 0

• plano yz, cuya ecuación estándar el x = 0

Estos planos se cortan en el origen (0,0,0)

El origen también se identifica simplemente con la letra O

Los planos coordenados x = 0, y = 0 y z = 0 dividen al espacio en ocho celdas llamadas octantes

El octante en el cual todas las coordenadas de un punto son positivas se llama primer octante

No hay numeración convencional para los otros siete octantes

Para escribir las ecuaciones de estos planos, se

utiliza la coordenada común

• El plano x = 2 es el plano perpendicular al eje

x en x = 2

• El plano y = 3 es el plano perpendicular al eje

y en y = 3

• El plano z = 5 es el plano perpendicular al eje

z en z = 5

Observaciones

La distancia entre P1(x1,y1,z1) y P2(x2,y2,z2) es

La ecuación en forma estándar de la esfera de

radio a y centro en (x0,y0,z0) es

Distancia y esferas en el espacio

Vectores

• Para describir una fuerza, se necesita registrar

la dirección en la cuál actúa, así como la

magnitud

• El desplazamiento de un cuerpo, presenta la

dirección y que tan lejos se mueve

• Con la velocidad de un cuerpo, se debe

conocer hacia donde se dirige, así como la

rapidez con que viaja

• Las cantidades antes mencionadas se

representan por medio de un segmento de recta

dirigido

• La flecha apunta en la dirección de la acción y

su longitud representa la magnitud de la acción

en su unidad apropiada

Si varios vectores presentan la misma longitud, son paralelas y apuntan

en la misma dirección, sin importar su punto inicial, son iguales

Esto es: AB = CD = OP = EF

Sea v = PQ

Existe un segmento de recta dirigido igual a

PQ cuyo punto inicial es el origen

Ésta es la representación de v en posición

estándar y es el vector que normalmente se usa

para representar v

Se puede especificar a v escribiendo las coordenadas de su punto final (v1,v2,v3)

cuando v está en posición estándar

Si v es un vector en el plano, su punto final (v1,v2) tiene dos coordenadas

Definición

Dados los puntos P(x1,y1,z1) y Q(x2,y2,z2), el vector en posición estándar

v = (v1,v2,v3) igual a PQ es

v = {x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1}

• Dos vectores son iguales si y sólo si sus

vectores de posición estándar son idénticos

• De manera que (u1,u2,u3) y (v1,v2,v3) son

iguales si y sólo si u1 = v1, u2 = v2 y u3 = v3

La magnitud o longitud del vector v = PQ es el número positivo

El único vector con longitud 0 es el vector cero 0 = (0,0) o

0 = (0,0,0)

Este vector es el único sin dirección específica

Operaciones algebraicas con vectores

Dos operaciones fundamentales que pueden realizarse con vectores son la suma de vectores y la multiplicación por un escalar

Un escalar es simplemente un número real y se llama así cuando se quiere resaltar su diferencia en relación con los vectores

Los escalares pueden ser positivos, negativos o cero y se usan para “escalar” un vector multiplicado

Sean u = {u1,u2,u3} y v = {v1,v2,v3} vectores y k un escalar

Suma: u + v = {u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3}

Multiplicación por escalar: ku = {ku1, ku2,ku3}

La suma de vectores se realiza sumando los componentes

correspondientes de los vectores

Se multiplica por un escalar haciendo el producto de cada

componente por el escalar

Se aplican exactamente en el plano {u1,u2} y {v1,v2}

Ley del paralelogramo

Resultante

Resultante

Interpretación geométrica Ley del paralelogramo

Múltiplos escalares de u

Si k > 0, entonces ku tiene la misma dirección que u

Si k < 0, entonces la dirección de ku es opuesta a u

Si se comparan las longitudes de u y ku, se observa que

La longitud de ku es igual al producto del valor absoluto

del escalar k por la longitud de u

La diferencia u – v de dos vectores está definida por

u – v = u + (-v)

Si u = {u1,u2,u3} y v = {v1,v2,v3}, entonces

u – v = {u1 – v1, u2 – v2, u3 – v3}

Propiedades de las operaciones con vectores

Cuando tres o más vectores en el espacio se encuentran en

el mismo plano, se le conoce como coplanares

Por ejemplo, los vectores u,v y u + v siempre son coplanares

Vectores unitarios

Un vector v de longitud 1 se llama vector unitario

Los vectores unitarios estándar son

i = {1,0,0}, j = {0,1,0} y k = {0,0,1}

Cualquier vector v = {v1,v2,v3} se puede escribir como una

combinación lineal de los vectores unitarios estándar de la

siguiente manera

v = {v1,v2,v3} = {v1,0,0} + {0,v2,0} + {0,0,v3}

= v1{1,0,0} + v2{0,1,0} + v3{0,0,1}

= v1i + v2j + v3k

Se le llama escalar (o número) v1 el componente en i del vector v,

a v2 el componente en j y a v3 el componente en k

La expresión en componentes del vector de P1(x1,y1,z1) a P2(x2,y2,z2) es

P1P2 = (x2 – x1)i + (y2 – y1)j + (z2 – z1)k

Punto medio de un segmento de recta

Producto punto

• Si se aplica una fuerza F a una partícula que se

mueve a lo largo de una trayectoria, es

importante conocer la magnitud de la fuerza en

la dirección del movimiento

• Si v es paralelo a la recta tangente a la

trayectoria en el punto donde se aplica F, se

busca la magnitud de F en la dirección de v

La magnitud de la fuerza F en la dirección del vector v es la

longitud |F| cos θ de la proyección de F sobre v

Ángulo entre vectores

Cuando dos vectores no nulos u y v se colocan de manera que sus puntos

Iniciales coincidan, forman un ángulo θ con medida 0 ≤ θ ≤ π

El ángulo entre dos vectores no nulos u = {u1,u2,u3} y v = {v1,v2,v3}

está dado por

Producto punto

Producto cruz

• Cuando se necesitaba describir cuánto se

inclinaba una recta se utilizaba la pendiente y

el ángulo de inclinación

• En el espacio se quiere describir la forma en

que se inclina un plano

• Se consigue multiplicando dos vectores que se

encuentran en el plano para obtener un tercer

vector perpendicular a éste

• La inclinación de este vector indica la

“inclinación del plano”

• El producto que se usa para multiplicar los

vectores es el producto vectorial o producto

cruz

• Es el segundo método de multiplicación

vectorial que se usa en cálculo

El producto cruz de dos vectores

Sean u y v dos vectores en el espacio

Si u y v no son paralelos, entonces determinan un plano

Se selecciona un vector n perpendicular al plano mediante

la regla de la mano derecha

Entonces el producto cruz u × v es el vector que se define

a continuación:

u × v = (|u| |v| sen θ) n

Producto u × v

Obtención de componentes del producto cruz

|u × v | como área de un paralelogramo

Triple producto escalar o producto caja

El producto (u × v) · w se llama triple producto escalar de u, v y w

(en ese orden)

Como se puede ver en la ecuación siguiente:

|(u × v) · w| = |u × v| |w| |cos θ|, el valor absoluto del triple producto es el

volumen de un paralelepípedo

Rectas y planos en el espacio

• En el espacio, una recta está determinada por

un punto y un vector que indica la dirección de

la recta

• L es una recta que pasa por P0(x0,y0,z0) y que

es paralela a un vector v = v1i + v2j + v3k

• L es el conjunto de todos los puntos P(x,y,z)

tales que P0P es paralelo v

Por lo tanto, P0P = tv para algún parámetro escalar t

El valor de t depende de la localización del punto P a

lo largo de la recta, el dominio de t es (- ∞, ∞)

La forma desarrollada de la ecuación P0P = tv es

(x – x0)i + (y – y0)j + (z – z0)k = t(v1i + v2j + v3k)

ó

xi + yj + zk = x0i + y0j + z0k + t(v1i + v2j + v3k)

Distancia de un punto a una recta

Para obtener la distancia de un punto S a una recta que pasa por un punto P,

paralela a un vector v, se determina el valor absoluto del componente escalar

de PS en la dirección de un vector normal a la recta

Ecuación para un plano en el espacio

Un plano en el espacio esta determinado por un punto en el plano y su

“inclinación” u orientación

Esta inclinación se define especificando un vector que es perpendicular

o normal al plano

Suponiendo que el plano M pasa por un punto P0(x0,y0,z0) y es normal

al vector n = Ai + Bj + Ck

Entonces M es el conjunto de todos los puntos P(x,y,z) para los cuales

P0P es ortogonal a n

Por lo tanto, el producto punto n· P0P = 0

Esta ecuación es equivalente a

(Ai + Bj + Ck) · [(x – x0)i + (y – y0)j + (z – z0)k] = 0

O bien,

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0

Cilindros y superficies cuadráticas

• Un cilindro es un superficie que se genera por

el movimiento de una recta paralela a una recta

fija dada a lo largo de una curva plana dada

Superficies cuadráticas

Una superficie cuadrática es a gráfica en el espacio de una ecuación de

segundo grado en x, y y z

Tiene por fórmula general Ax2 + By2 + Cz2 + Dz = E

Donde A, B, C, D y E son constantes

Gráficas de superficies cuadráticas

Problemas resueltos Problema 1.

Problema 2.

Problema 3.

Problema 4.

Problema 5.

Problema 6.

Dos botes remolcadores están empujando un barco,

como se muestra en la figura. Cada bote

remolcador está ejerciendo una fuerza de 400

libras. ¿Cuál es la fuerza resultante sobre el barco?

Problema 7.

Problema 8.

Problema 9.

Ó

Problema 10.

Problema 11.

Problema 12

Problema 13.

Una cámara de televisión de 120 libras está colocada en un trípode, como se muestra en

la figura. Representar la fuerza ejercida en cada pata del trípode como un vector.

Sean los vectores F1, F2, y F3 las fuerzas ejercidas en las tres patas. A partir de la figura, se

puede determinar que las direcciones de F1, F2 y F3 son las siguientes:

Solución

Problema 14.

Problema 15.

Problema 16.

Problema 17.

Problema 18.

Problema 19.

Una lancha de 600 libras se encuentra sobre una rampa inclinada 30°, como se muestra en

la figura. ¿Qué fuerza se requiere para impedir que la lancha resbale cuesta abajo por la

rampa?

Problema 20.

Problema 21.

Negativo de a)

Problema 22.

Problema 23.

Problema 24.

Se aplica una fuerza vertical de 50 libras al extremo de una palanca de un pie de longitud

unida a un eje en el punto P, como se muestra en la figura. Calcular el momento de

esta fuerza respecto al punto P cuando θ = 60°

Problema 25.

Problema 26.

Problema 27.

Problema 28.

Problema 29.

Problema 30.

Problema 31.

Problema 32.

Problema 33.

Problema 34.

Problema 35.

Problema 36.