cálculo vectorial
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1. La geometría del espacio euclidiano
2. Funciones vectoriales
3. Diferenciación
4. Integrales múltiples
5. Integrales de línea
6. Integrales de superficie
7. Los teoremas integrales
Escribir los vectores base de las
coordenadas esféricas en terminos
ˆˆ ˆde , y i j k
r
sin cos sin sin cos
0 0 0 2
x r
y
z
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coordenadas esféricas en terminos
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coordenadas cartesianas en terminos
de los vectores base de las
coordenadas esféricas.
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ˆˆ ˆˆsin sin cos sin cos
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Escribir los vectores base de las
coordenadas cartesianas en terminos
de los vectores base de las
coordenadas esféricas.
lr
(radianes)=l
r
2
El ángulo sólido subtendido por una superficie es
área de
S
aS
a
2 2
ˆ ˆ ˆ
donde
ˆ es el radio vector desde hasta un punto
arbitrario de la superficie
ˆ es la normal de dirigida alejandose de
S S
r n dS r dSS
r r
r P
S
n S P
2
El ángulo sólido subtendido por una superficie es
área de
S
aS
a
2 2
V
Para demostrar que
ˆ ˆ ˆ
usamos el teorema de la divergencia
S S
S V
r n dS r dSS
r r
F dV F dS
2
El ángulo sólido subtendido por una superficie es
área de
S
aS
a
2 2
ˆ ˆ ˆ
S S
r n dS r dSS
r r
V
2
Usamos el teorema de la divergencia
con
ˆ, ,
y
El volumen formado por los rayos proyectados
S V
F dV F dS
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r
V
2
El ángulo sólido subtendido por una superficie es
área de
S
aS
a
2
V
ˆ con
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r
22
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2 2
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sin sin
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2
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div
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1 3 2
2
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x
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x x x y z x y z x y z
2
V
ˆ con
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3 / 22 2 2
2
3 / 2 3 / 2 5 / 22 2 2 2 2 2 2 2 2
div
, ,, ,
1 3 2
2
yx z
y
FF FF P
x y z
x y zF x y z
x y z
F y y
y y x y z x y z x y z
2
V
ˆ con
S V
rdV F dS FF
r
3 / 22 2 2
2
3 / 2 3 / 2 5 / 22 2 2 2 2 2 2 2 2
div
, ,, ,
1 3 2
2
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FF FF P
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z z x y z x y z x y z
2
3 / 2 5 / 22 2 2 2 2 2
2
3 / 2 5 / 22 2 2 2 2 2
2
3 / 2 5 / 22 2 2 2 2 2
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13
13
13
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3 / 2 5 / 22 2 2 2 2 2
3 / 2 3 / 22 2 2 2 2 2
div
33
3 3
0
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x y z x y z
x y z x y z
3 / 22 2 2
, ,div , ,yx z
F x y zF FF P F x y z
x y z x y z
2
El ángulo sólido subtendido por una superficie es
área de
S
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a
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S S
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V
2
Usamos el teorema de la divergencia
con
ˆ, ,
y
El volumen formado por los rayos proyectados
S V
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r
V
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S S
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El ángulo sólido subtendido por una superficie es
área de
S
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a
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S S
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S
S S S S
S S
F dS F dS F dS F dS
F dS
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r a a
rF dS dS
r
El ángulo sólido subtendido por una
superficie se puede medir como el área
en una esfera unitaria (de radio 1)
cubierta por la proyección de la superficie
en la esfera
S
2
El ángulo sólido subtendido por una superficie es
área de
S
aS
a
Los ángulos sólidos se miden en:
i) Steradianes
ii) Grados cuadrados
2
El ángulo sólido subtendido por una superficie es
área de
S
aS
a
2
Como un grado es radianes, 180
los ángulos sólidos hay que multiplicarlos
180por para obtener los
grados cuadrados
2
El ángulo sólido subtendido por una superficie es
área de
S
aS
a
2180
1 Steradian= grados cuadrados
11 grado cuadrado= steradianes
3283
2
El ángulo sólido subtendido por una superficie es
área de
S
aS
a
2
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1 .0Y
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1 .0 0 .5 0 .5 1 .0X
1 .0
0 .5
0 .5
1 .0Y
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1 .0 0 .5 0 .5 1 .0U
1 .0
0 .5
0 .5
1 .0V
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1x y
1 .0 0 .5 0 .5 1 .0X
1 .0
0 .5
0 .5
1 .0Y
u x y
1 .0 0 .5 0 .5 1 .0U
1 .0
0 .5
0 .5
1 .0V
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, 1S x y x y
1x y 1 .0 0 .5 0 .5 1 .0
X
1 .0
0 .5
0 .5
1 .0Y
, 1S x y x y
1x y
1x y
1 .0 0 .5 0 .5 1 .0X
1 .0
0 .5
0 .5
1 .0Y
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1 .0 0 .5 0 .5 1 .0X
1 .0
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0 .5
1 .0Y
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0 .5
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1
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0,2 0, 2
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2 2
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2 cos ,2 sin ,
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, ,
r u v r u vv u v u u u v
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r u v r u v
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2 22 cos ,2 sin ,, ,r u v r u v
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2
2 2
3 2 3 2 3
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2 c
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2 2 23 3
0 0 0
2 4 16S
F dS v dudv v dv
, , , ,0F x y z x y
•Teorema de la divergencia
•Teorema del rotacional
•Teorema de Green
3 3: , , 3 ,3 , 2FF F x y z y x D R R
2 2
es la porción del plano 1 que queda
dentro del cilindro 9.
S z
x y
•Ejercicio 1
•Ejercicio 2
•Ejercicio 3
•Ejercicio 4
•Ejercicio 5
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