analisis vectorial

UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO

ANTÚNEZ DE MAYOLO”

CURSO: FISICA I

ANALISIS VECTORIAL

AUTOR: Ing. Eric Trejo Maguiña

HUARAZ - PERÚ

2013

I. INTRODUCCIÓN

• Es una parte esencial de la matemática útil para

físicos, matemáticos, ingenieros y técnicos.

• Constituye una noción concisa y clara para

presentar las ecuaciones de modelo matemático

de las situaciones físicas

• Proporciona además una ayuda inestimable en la

formación de imágenes mentales de los

conceptos físicos.

II. VECTORES Y ESCALARES 1. ESCALARES: Aquellas que para expresarse

necesitan de un número real y su

correspondiente unidad. Ejm: La masa el tiempo;

la temperatura.

2. VECTORES: Aquellas que para expresarse

necesitan de una magnitud, una dirección y un

sentido Ejm: La velocidad, el desplazamiento, la

fuerza, etc.

3. TENSORIALES: Aquellas que tiene una

magnitud, múltiples direcciones y sentidos. Ejem:

El esfuerzo normal y cortante, la presión

III. VECTOR

• Ente matemático cuya determinación exige el

conocimiento de un módulo una dirección y un

sentido.

• Gráficamente a un vector se representa por un

segmento de recta orientado

• Analíticamente se representa por una letra con

una flecha encima.

OP

Elementos de un vector

1. Dirección:

Gráficamente viene representada por la recta

soporte. En el plano por un ángulo y en el

espacio mediante tres ángulos

III. Elementos de un vector2. sentido: Es el elemento que indica la orientación

del vector . Gráficamente viene representada

por la cabeza de flecha.

3. Magnitud : Representa el valor de la magnitud

física a la cual se asocia. Gráficamente viene

representado por la longitud del segmento de

recta

IV. Clase de vectores 1. Vectores libres : Aquellos que no tienen un

aposición fija en el espacio. Tal cantidad se

representa por un número infinito de vectores

que tienen la misma magnitud, dirección y

sentido.

2. Vectores deslizantes: Aquellos que tienen una y

solo una recta a lo largo de la cual actúan.

Pueden representarse por cualquier vector que

tenga sus tres elementos iguales ubicado en la

misma recta.

3. Vectores fijos. Aquellos que tienen uno y solo un

punto de aplicación

V. Algebra vectorial Antes de describir las operaciones de suma, resta,

multiplicación de vectores es necesario definir:

1. Vectores iguales. Aquellos que tienen sus tres

elementos idénticos

2. Vector opuesto: Aquel vector que tiene la

misma magnitud y dirección pero sentido

opuesto

Algebra vectorial: Suma vectorial • Considere dos vectores A y B como se muestra.

• El vector suma se puede determinar mediante la regla

del paralelogramo o del triángulo .

• La magnitud de la resultante R se detemina mediante la

ley de cosenos-

• La dirección mediante la ley de cosenos

2 2

2 cosR A B A B

( )

AR B

sen sen sen

Algebra vectorial: Resta vectorial • Considere dos vectores A y B como se muestra.

• El vector suma se puede determinar mediante la regla

del paralelogramo o del triángulo .

• La magnitud del vector diferencia D es

• La dirección mediante la ley de cosenos

2 22 2

2 cos( ) 2 cos( )D A B A B A B A B

( )

AD B

sen sen sen

Leyes del algebra vectorial 1. Conmutatividad.

2. Asociatividad

Multiplicación de un escalar por un vector

Consideremos la multiplicación de un escalar c por un

vector . El producto es un nuevo vector . La

magnitud del vector producto es c veces la magnitud del

vector . Si c > 0 el vector producto tiene la misma

dirección y sentido de A. Por el contrario si c < 0 el

vector producto es de sentido opuesto a

cA

Propiedades de la Multiplicación de un

escalar por un vector

1. Les asociativa para la multiplicación.

Si b y c son dos escalares la multiplicación se escribe

2. Ley distributiva para la adición vectorial.

si c es un escalar, cuando este se multiplica por la

suma de dos vectores se tiene

Propiedades de la Multiplicación de un

escalar por un vector

3. Ley distributiva para la suma escalar.

Si b y c son la suma de dos escalares por el

vector A se tiene

Suma de varios vectores

Para sumar varios vectores se utiliza la ley del

polígono. Esto la aplicación sucesiva de la ley

del paralelogramo o del triángulo. Es decir

VI. VECTOR UNITARIO

• Es un vector colineal con el vector original

• Tiene un módulo igual a la unidad

• Se define como el vector dado entre su modulo

correspondiente es decir

ˆA

Ae

A

ˆAA A e

VECTOR UNITARIOS RECTANGULARES • A cada uno de los ejes coordenado se le asigna

vectores unitarios

• Cada uno de estos vectores unitario a tiene

módulos iguales a la unidad y direcciones

perpendiculares entre sí.

ˆˆ ˆ, ,i j k

ˆˆ ˆ 1i j k

VII. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL Cualquier vector puede descomponerse en infinitas

componentes. El único requisito es que La suma de esta

componentes nos de le vector original. La descomposición

pude ser en un plan o en el espacio.

1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL

PLANO

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL

PLANO

ˆ ˆ

ˆ ˆcos

ˆ ˆ(cos )

ˆ

ˆ ˆˆ (cos )

x y

x y

A

A

A A A

A A i A j

A A i Asen j

A A i sen j

A Ae

e i sen j

2 2

x yA A A

y

x

A

Atg

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 2. EN DOS DIRECIONES NO PERPENDICULARES EN

EL PLANO.

Para ello trace rectas paralelas y a las originales que

pasen por el extremo del vector original formándose un

paralelogramo cuyos lados son las componentes

a a b bA A A

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL

3.En el espacio. Cualquier vector puede

descomponerse en tres componentes

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL

3.En el espacio.

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆcos cos cos

ˆˆ ˆ(cos cos cos )

ˆ

ˆˆ ˆˆ (cos cos cos )

x y z

x y z

A

A

A A A A

A A i A j A k

A A i A j A k

A A i j k

A Ae

e i j k

22 2 2

x y zA A A A

cos xA

A

cos yA

A

cos AzA

VECTOR POSICIÓN

ˆˆ ˆr OP xi yj zk

VECTOR POSICIÓN RELATIVO

1 2 1 2 1 2ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )r x x i y y j z z k

VIII. PRODUCTO ESCALAREl producto escalar o producto punto de dos

vectores denotado por y expresado A

multiplicado escalarmente B, se define como el

producto de las magnitudes de los vectores A y

B por el coseno del ángulo que forman ellos.

A y B .A B

Propiedades del producto escalar

1. El producto escalar es conmutativo

2. El producto escalar es distributivo

3. Producto de un escalar por el producto escalar

4. Producto escalar entre la suma de dos vectores

por un tercer vector

Propiedades del producto escalar

4. Producto escalar de dos vectores unitarios iguales

5. Producto escalar de dos vectores unitarios

diferentes.

6. Producto escalar de dos vectores

Propiedades del producto escalar

7. Producto escalar de dos vectores en forma de

componentes .

Entonces tenemos

8. Si el producto escalar de dos vectores es nulo.

Entonces dichos vectores son perpendiculares

. 0A B A B

INTERPRETACIÓN DEL PRODUCTO ESCALER

Geométricamente esta situación se muestra en la

figura

VECTOR PROYECCIÓN ORTOGONAL

2 2

2

.( ) 0 ( ). 0

( . ) 0

.

c rb a rb rb

r a b r b

a br

b

2

.Pr ( ) [ . ]

ˆ ˆPr [ . ]

b

b bb

a b b boy a rb b a

b b b

oy a a e e

IX. PRODUCTO VECTORIAL

El producto vectorial o producto cruz de dos vectores A y B,

es un tercer vector el cual es perpendicular al plano

formado por los dos vectores y cuya magnitud es igual al

producto de sus magnitudes multiplicado por el seno del

ángulo entre ellos y su sentido se determina mediante la

regla de la mano derecha. La notación del producto cruz es

C

REGLA DE LA MANO DERECHAa. Primera forma: Tome la mano derecha y oriente el dedo

índice con el primer vector y el dedo corazón el segundo

vector, el dedo pulgar extendido nos da el vector producto

de ambos.

b. Segunda forma: curve los dedos de la mano derecha

tendiendo a hacer girar al primer vector hacia el segundo; el

dedo pulgar extendido nos da el vector producto.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL

1. El producto vectorial no es conmutativo

2. El producto vectorial es distributivo

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL

3. Multiplicación de un escalar por el producto

vectorial.

4. Multiplicación vectorial de vectores unitarios

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL5. El producto vectorial de dos vectores en componentes es

6. La magnitud del producto vectorial es igual al área del

paralelogramo que tiene a los vectores A y B

7. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores

son paralelos.

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )

x y z

x y z

y z z y x z z x x y y z

i j k

AxB A A A

B B B

AxB i A B A B j A B A B k A B A B

( ) ( )

Area AxB

Area A Bsen A h

Ejemplo 01• La figura muestra un cubo en donde se han

trazado distintos desplazamientos de un abeja

cuando cambia de la posición 1,2,3 y 1.¿Cuanto

vale cada uno de los desplazamientos?. ¿Cual

es el desplazamiento total?.

Ejemplo 02En la figura se muestra dos fuerzas actuando

sobre un cuerpo puntual. Si los módulos de ellas

son 200 N y 100 N, respectivamente. ¿Cuál es

la magnitud y la dirección de la fuerza

resultante?.

Ejemplo 03• Un avión viaja en la dirección Este con una

velocidad de 480 km/h y entra a una región

donde el viento sopla en la dirección 30° Norte

del este con una velocidad de 160 km/h.

Determine la magnitud y dirección de la nave

SOLUCION

EJEMPLO O2

La resultante FR de las dos fuerzas que actúan sobre el tronco

de madera está dirigido a lo largo del eje x positivo y tiene una

magnitud de 10 kN. Determine el ángulo θ que forma el cable

unido a B tal que la magnitud de la fuerza FB en este cable sea

un mínimo. ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza en cada cable

para esta situación?

Ejemplo• La camioneta es remolcada usando dos cables como se

muestra en la figura. Determine las magnitudes de las

fuerzas FA y FB que actúa sobre cada uno de los cables,

sabiendo que la superposición de ambas dan una

resultante de 90N de módulo dirigida a lo largo de el eje x.

Considere que =50°

Ejemplo 04La figura muestra un triángulo cuyos lados son

Demuestre el teorema de los cosenos

SOLUCION

Ejemplo 05Sabiendo que el módulo de los vectores D y G

son 10 y unidades respectivamente.

Determine el vector unitario del vector20 2

W A B C D E F G

Ejemplo 06En la figura mostrada, determine el vector x, en

función de los vectores A y B. Si PQRS es un

cuadrado y PORQ es un cuadrante de círculo

Ejemplo 07Descomponga el vector fuerza de 400 kN

representado en la figura en dos componentes,

una según la dirección AB y la otra

perpendicular a ella

EJEMPLO O1

Determine el ángulo θ

para conectar el

elemento a la placa tal

que la resultante de las

fuerzas FA y FB esté

dirigida horizontalmente

a la derecha.

Determine además la

magnitud de la fuerza

resultante

EJEMPLO O1

Un cable ejerce una

fuerza F en el soporte

del miembro estructural.

Si la componente x de F

es 4 kN. Halle su

componente y y su

módulo

Ejemplo• Utilizar el método de las componentes

rectangulares para determinar el módulo R de a

resultante y los ángulos que forma su recta soporte

con los semiejes x, y, z de coordenadas.

Ejemplo 08La resultante de la tres fuerzas mostradas en la

figura es vertical. Determine: (a) la magnitud de

la fuerza A y (b) la resultante del sistema

Ejemplo• Exprese la fuerza en componentes i, j y k y

determine la proyección de F = 800 N sobre

BC

Ejemplo

(a) Exprese la fuerza

de 250 N de módulo

en componentes i, j

y k .

(b) halle la proyección

ortogonal del vector

fuerza sobre la línea

CA

EJEMPLO O2

(a) Expresar el vector fuerza F de 400 N en función de los

vectores unitarios i, j y k. (b) Hallar la proyección sobre la

recta OA.

Ejemplo• A un punto de un cuerpo se aplican dos fuerzas en la forma

que se indica en al figura. Determine: (a) El módulo dirección y

sentido de la fuerza resultante R; (b) El ángulo α que forman

las fuerzas F1 y F2.

Ejemplo 09Determine la resultante del sistema de vectores

fuerza mostrados en la figura

EJEMPLO O2

Calcular las componentes rectangulares de la fuerza de

110 N, representada en la figura, una es paralela a AB y la

otra es perpendicular a esta línea.

Ejemplo• La fuerza F tiene una

intensidad de 2 kN y está

dirigida de A hacia B.

Determine: (a) La proyección

FCD de La fuerza F sobre la

recta CD (b) el ángulo que θ

que forma la fuerza F y la

recta CD.

Ejemplo 10Hallar la distancia del punto P(4, -1, 5) a la línea

recta que pasa por los puntos P1(-1, 2, 0) y

P2(1, 1, 4)

Ejemplo 10Calcular la distancia desde el punto P de

coordenadas (4, 5, -6) cm, a la recta que

pasa por Q(-3, 5, 7) cm y es paralela al

vector ˆˆ ˆ4 3A i j k

Ejemplo 10Halle el vector unitario perpendicular al plano

formado por los vectores

Usando (a) el producto escalar y (b) el producto

vectorial.

ˆ ˆ ˆ ˆ2 6 3 4 3A i j k B i j k

Ejemplo 11Halle la ecuación del plano perpendicular al

vector y que pasa por el extremo

del vector

ˆ ˆ2 3 A i j k

ˆ ˆ5 3B i j k

Ejemplo 11Demostrar que los vectores

pueden ser los lados de un triángulo y hallar las

longitudes de las medianas de dichos triangulo

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 2 ; 3 4 4 2 6A i j k B i j k y C i j k

Ejemplo 11Hallar el área del paralelogramo cuyas

diagonales son los vectores

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ3 2 ; 3 4A i j k y B i j k

Ejemplo 12(a) Halle los vectores de posición r1 r2 de los

puntos P(2,4,3) Q(1,-5,2) en un sistema de

coordenadas trirectangulares en función de los

vectores unitarios i, j, k. (b) Determine grafica y

analíticamente la resultante de dichos vectores.

Ejemplo 13Halle un vector unitario con la dirección y

sentido de la resultante de los vectores

1ˆˆ ˆ2 4 5r i j k

2ˆˆ ˆ 2r i j k

Ejemplo 14• Demostrar que el área de un paralelogramo de lados A y B

es igual al módulo del producto vectorial

Ejemplo 14• Determine el vector unitario perpendicular al plano formado

por los vectores A = 2i - 6j - 3k y B = 4i + 3j - k

Ejemplo

Halle el vector unitario paralelo al plano xy

y perpendicular al vector ˆˆ ˆ4 3B i j k

Ejemplo

Descomponga la fuerza de 1000 N en dos direcciones no

perpendiculares a lo largo de las rectas l1 y l2 mostrada en

la figura.

Ejemplo

Descomponga la fuerza de

250 N en dos direcciones no

perpendiculares a lo largo de

las rectas PR y QR mostrada

en la figura.

Problemas de aplicación

1) Si F1 = 5i + 6j y F2 = 2i – 3j -4k. Determine F3 tal que la suma

de las tres fuerzas sea nula.

2) ¿Cuál es el vector unitario en la dirección de la fuerza F =

(2000i - 3000j +600k)lb?.

3) Halle una fuerza a lo largo de y otra fuerza

normal a que sumadas resulten en la fuerza

4) Dados los vectores

y : Determine:

5) Halle los cosenos directores de la fuerza

y úselos para determinar los ángulos que forma la fuerza con

los ejes coordenados.

ˆ ˆˆ 0,8 0.6e i j e

ˆˆ ˆ(5 10 3 )F i j k N

ˆˆ ˆ(2 4 0 )A i j k lb ˆˆ ˆ(0 3 48 )B i j k lb

ˆˆ ˆ0 5 0C i j k ( . )C AC B

ˆˆ ˆ(30 40 120 )F i j k N

Problemas de aplicación

6.