algebra presentacion
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Aplicación en su forma matricial, para la construcción de modelos de regresión para el análisis de curvas de declinación en la industria petrolera.
Equipo #8Lombardini Rosas
Luis GerardoTorres Gómez
Martha PaolaVelázquez
Hernández Stephanie
La aplicación del Álgebra Lineal a la Ingeniería Petrolera, en este caso con el uso del Método de Mínimos Cuadrados.
OBJETIVO
Método de Mínimos Cuadrados
Curva de declinación
Caudal límite económico y tiempo de abandono
CONTENIDO
Para esto, necesitamos partir de una ecuación lineal Ax=b.
MÉTODO DE MÍNIMOSCUADRADOS
Ax=b
A es llamada la matriz de coeficientes
x es la matriz de incógnitas
b la matriz de términos independientes
FORMA MATRICIAL
a
B
A
x
b
Ax=b
2.903892.861402.813432.597282.705062.677932.563092.426772.408652.273062.422742.172102.399552.205672.369572.338082.334132.140741.950122.141381.97878
111111111111111111111
0 90 180 210 300 418 570 630 778 960 1020 1170 1320 1470 1530 1680 1740 1830 1980 2100 2190
Haciendo d=b-Ax, su norma que se denota: IIdII, puede calcularse a través de:
IIdII= =
¿Qué quiere
decir esto?
POR LO TANTO…
El Método de Mínimos Cuadrados
consiste en encontrar una
solución para x en Ax=b tal que
se minimice la suma de
cuadrados residuales, esto es IIdII
La solución por Mínimos Cuadrados para el sistema matricial Ax=b es:
x= (ATA)-1 ATb
SOLUCIÓN AL MÉTODO
AT
• Es transponer la matriz A, en donde el elemento de la matriz original A se convertirá en el elemento de la matriz transpuesta AT.
(ATA)-1: • Es la inversa de ATA
Para poder predecir la producción
del petróleo y gas
Determinar
los precios de los hidro-carbur
os.
CURVA DE DECLINACIÓN
Declinación Exponencial
Declinación Armónica
Declinación Hiperbólica
CLASIFICACIÓN
DECLINACIÓN EXPONENCIAL
q es la pro-ducción de acei-te (petróleo) me-dida en mbpd.
qq y –D0 son los
parámetros que deseamos cono-cer.
q= q0e-Dot
t es el tiempo en días
Considere los siguientes datos de producción utilizados para evaluar la declinación de un pozo:
Tiempo (Días) q (mbpd)*0 18.245
90 17.486180 16.667210 13.4273300 14.95529418 14.55505570 12.97587630 11.32227778 11.11902960 9.70913
1020 11.276811170 8.77671320 11.01831470 9.076391530 10.692861680 10.361381740 10.320541830 8.505811980 7.029542100 8.51162190 7.23394
*millones de barriles por día
¿Cuál de los modelos estima mejor el comportamiento del caudal con el tiempo?
Para la solución del Método necesitamos transformar la ecuación que se asemeje a y=mx+b.
1 2 3 4 5
Tiempo (Días)
q (mbpd)
*
In (q)
0 18.245 2.9038990 17.486 2.86140
180 16.667 2.81343210 13.4273 2.59728300 14.9552
92.70506
418 14.55505
2.67793
570 12.97587
2.56309
630 11.32227
2.42677
778 11.11902
2.40865
960 9.70913 2.273061020 11.2768
12.42274
1170 8.7767 2.172101320 11.0183 2.399551470 9.07639 2.205671530 10.6928
62.36957
1680 10.36138
2.33808
1740 10.32054
2.33413
1830 8.50581 2.140741980 7.02954 1.950122100 8.5116 2.141382190 7.23394 1.97878
Modelo Exponencial q= q0e-Dot
In (q0)
-D0 Aplicándole loga-ritmo natural a nuestra ecuación
In (q) = a+Bt
Nótese que, la podemos llevar a la expresión y=mx+b
ECUACIONES LINEALES
a+0B = 2.90389a+90B = 2.86140
a+180B = 2.81343a+210B = 2.59728a+300B = 2.70506a+418B = 2.67793a+570B = 2.56309a+630B = 2.42677
a+778B = 2.40865a+960B = 2.27306a+1020
B= 2.42274
a+1170B
= 2.17210
a+1320B
= 2.39955
a+1470B
= 2.20567
a+1530B
= 2.36957
a+1680B
= 2.33808
a+1740B
= 2.33413
a+1830B
= 2.14074
a+1980B
= 1.95012
a+2100B
= 2.14138
a+2190B
= 1.97878
Donde a a se le suma el tiempo en días multiplicado por B
FORMA MATRICIAL
a
B
A
x
b
Ax=b
2.903892.861402.813432.597282.705062.677932.563092.426772.408652.273062.422742.172102.399552.205672.369572.338082.334132.140741.950122.141381.97878
111111111111111111111
0 90 180 210 300 418 570 630 778 960 1020 1170 1320 1470 1530 1680 1740 1830 1980 2100 2190
x=(ATA)-1 ATb
ENCONTRANDO LOSPARÁMETROS
Los valores de a y B son:2.7831395866801
94
-3.5019901291545
846*10^-4
A=ea= 16.16955252.
q= q0e-Dot sustituyendo los valores obtenemos:
q=16.16955e-3.5019901291545846*10^-4x
CUADRADOS RESIDUALES
0.12075041331981
0.1097783244822
0.093326235644589
-0.112317793967
950.026980117194
4440.041173600718
468-
0.020436149318382
-0.135744208543
45-
0.10203475463197-
0.17388853428135-
0.0031965935064258
-0.201306741569
110.078673110368
2120.062677037694
470.122234903080
460.143274755017
780.160336695792
7-
0.0015353930449047
-0.139625541107
590.093658340442
269-
0.037423748395339
d:
||d||=0.5013702160062
Ilustración 1: Diagrama de dispersión (exponencial)
DECLINACIÓNARMÓNICA
q=
q
01+D0t
qq y D0
pará-metros que de-seamos conocer.
Constante de la fórmula
t es el tiempo en días
Modelo Armónico
Necesitamos transformar la ecuación que se asemeje a y=mx+b.
1𝑞= 1𝑞0 + ቀ
𝐷0𝑞0ቁt
a B
Tiempo (Días)
q (mbpd)*
0 18.245 0.05480953690 17.486 0.057188608
180 16.667 0.0599988210 13.4273 0.074475136300 14.95529 0.066865971418 14.55505 0.068704676570 12.97587 0.077066123630 11.32227 0.088321511778 11.11902 0.089935983960 9.70913 0.10299584
1020 11.27681 0.088677561170 8.7767 0.113938041320 11.0183 0.0907581021470 9.07639 0.1101759621530 10.69286 0.0935203491680 10.36138 0.096512241740 10.32054 0.0968941541830 8.50581 0.1175666981980 7.02954 0.1422568192100 8.5116 0.1174867242190 7.23394 0.138237253
a+0B = 0.054809536
a+90B = 0.057188608
a+180B = 0.0599988a+210B = 0.07447513
6a+300B = 0.06686597
1a+418B = 0.06870467
6a+570B = 0.07706612
3a+630B = 0.08832151
1a+778B = 0.08993598
3a+960B = 0.10299584
a+1020B = 0.08867756a+1170B = 0.11393804a+1320B = 0.09075810
2a+1470B = 0.11017596
2a+1530B = 0.09352034
9a+1680B = 0.09651224a+1740B = 0.09689415
4a+1830B = 0.11756669
8a+1980B = 0.14225681
9a+2100B = 0.11748672
4a+2190B = 0.13823725
3
Donde a a se le suma el tiempo en días multiplicado por B
FORMA MATRICIAL111111111111111111111
a
B
0.0548095360.0571886080.05999880.0744751360.0668659710.0687046760.0770661230.0883215110.0899359830.102995840.088677560.113938040.0907581020.1101759620.0935203490.096512240.0968941540.1175666980.1422568190.1174867240.138237253
A
x
b
Ax=b
0 90 180 210 300 418 570 630 778 960 1020 1170 1320 1470 1530 1680 1740 1830 1980 2100 2190
x=(ATA)-1 ATb
ENCONTRANDO LOSPARÁMETROS
0.0595120555501897
3.142799415528362*10^-5
Los valores de a y B son:
q0= = 16.80331
D0 = q0.B = 0.00050Dando como resultado nuestra q igual a:
CUADRADOS RESIDUALES
Es tiempo de obtener el módulo o norma de d-0.0047025195501897-0.0051519670241652-0.00517029449814070.0083632016772008-0.0020744827967747-0.0039442811070982
-3.5988921870130919*10^40.0090098191319817,0.00597294799699970.013312910060738
-0.00289104958857890.017655231288129-0.0102389058351640.0044647550415434-0.014076537607774-0.015798845731066-0.017302611380383
d:||d||=
Ilustración 2: Diagrama de dispersión (armónico)
¿QUÉ MODELO ESTIMAMEJOR EL COMPORTA-MIENTO DEL CAUDAL?
Modelo de Regresión
||d||
Modelo Exponenci
al
0.5013702160062
Modelo Armónico
0.047275624705617
Dando como respuesta al Modelo Armónico
El valor para la declinación D0 es:D0 = q0.B = 0.00050 ¿Qué tiempo de vida le queda al pozo (qEL= 5 mbpd)?t= - 1 D0
¿Cuál será la producción acumulada (Np) al abandonar el pozo?Np = In = 40,735.86041mb
= 4,721.324 días aprox.
CONCLUSIÓNEl tiempo de abandonoCaudal límite económicoProducción acumulada
Un modelo de regresión más acertado es aquel cuyo valor es más cercano a cero, visto en la tabla comparativa.
El tiempo de vida del pozo que fue de 4,721.324 días aprox.
La producción acumulada obtuvimos la cantidad de 40,735.86041mb.
A la aplicación del método de mínimos cuadrados.
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