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ABACOM Boletín Matemático
SEPTIEMBRE 2013
AÑO 12 N°47
Editorial
NÚMEROS INTERESANTES En esta edición
Visítanos en: www.uach.cl/abacom Contáctanos en: abacom@uach.cl
pág Reflexiones
Estimaciones de Medida. ............. .2
FISICOM
Richard Feynman y sus Diagra-
mas .............................................. .3
Aritmética Modular ......................... .4
Tips Matemáticos ............................ .5
Anécdotas de la Ciencia .................. .5
Karl Weierstrass
El Padre del Análisis Moderno... .6
Aportes de Weierstrass. .............. .6
Sonya, la Discípula y Amiga. ..... .7
Weierstrass y la Poesía. .............. .7
Comunicando Matemáticas
El Mundo de Beakman y Mad
Science. ....................................... .7
Concurso
Desafío a tu Ingenio…….......…....8
Kenken………………….....…......8
ABAQUIM
¿Por qué Nuestro Cuerpo Debe
Regular el pH? ............................ .9
Ciencia Entrete
La Ley de Benford. ……….…....10
La Sandía al Sol…...….….…......10
Humor… ….…………..…....…10
¿Qué cae más de prisa, una hoja de
papel o una moneda? ….….…....11
Números Negativos……….…....11
Sonriendo Con-Ciencia….……..11
Noticias
Sin concurso de talentos nace una estre-
lla…....……....…………..…………12
¿271 años aproblemado? Harald
Helfgott tiene la solución...…......12
Bosque y agua enamorados de por vi-
da…...……………………...….....…12
Al enseñar Mate-
máticas a los
estudiantes, tanto
de Enseñanza
Básica como de
Enseñanza Me-
dia, se debe in-
tentar interesar-
los en las materias. Los objetos más
usados en la Matemática son, natural-
mente, los números y entre ellos, los
más conocidos son los Números Natu-
rales; pero … ¿cómo hacer que estos
sean interesantes para los jóvenes? He
aquí una estrategia.
Les demostraremos que todos los Nú-
meros Naturales son interesantes.
El número uno es interesante pues es
el primer número natural, es el más
pequeño de todos ellos, eso lo hace
destacarse.
El número dos es interesante por dos
razones: es el primer número par y el
primer número primo.
El número tres también es interesante
por ser el primer número primo que es
impar.
El cuatro es interesante porque es una
potencia de dos.
Así, podríamos seguir buscando para
cada número natural algún argumento
para declararlo interesante, pero …
¿podríamos hacer esto con todos los
números naturales? Imposible si lo
hacemos uno a uno, pues la cantidad
de números naturales es infinita. Sin
embargo en Matemáticas tenemos una
forma de argumentar esto.
Supongamos que esto no es verdadero,
es decir, que existen números natura-
les que no son interesantes. A estos
números los pondremos en una bolsa
(que no estará
vacía, por la
suposición que
existen números
que no son in-
teresantes). Co-
mo todos los
números que
están es esta bolsa son números natu-
rales, existe entre ellos uno que es el
menor de todos ellos. Entonces este
número es el menor número natural
que no es interesante. Precisamente
este hecho lo transforma en un número
interesante, ¿no les parece? O sea que
este número es al mismo tiempo in-
teresante y no interesante. Esto es una
contradicción o absurdo1.
La contradicción surgió de la suposi-
ción inicial que afirmaba que existen
números naturales que no son intere-
santes, por lo tanto, en esa bolsa no
puede haber número alguno y así he-
mos demostrado2 el Teorema siguien-
te:
Todos los Números Naturales son In-
teresantes.
Estrategias como la descrita pueden
usarse en la enseñanza de la Matemá-
tica, lo que hará que los jóvenes se
interesen en las materias, por ejemplo
los Números Naturales y de paso se
pueden estudiar o repasar otros temas,
en este caso: números pares, números
primos, potencias, relación menor y
mayor, conjuntos, conjunto vacío, en-
tre otros.
1 Contradicción o Absurdo, en Lógica es una
proposición en que se afirma y se niega
simultáneamente una aseveración. 2 Este tipo de demostración se denomina De-
mostración por Contradicción o Reducción
al Absurdo.
S E P T I E M B R E 2 0 1 3
2
Noemí Pizarro Contreras (*)
REFLEXIONES
¿Recuerdas cómo te enseñaron el área en
la enseñanza básica? Posiblemente te dije-
ron: “base por altura” y te pusiste a hacer
multiplicaciones… así siguió tu vida pa-
sando por el área de un círculo y las sumas
de Riemann. ¿Eres consciente de cuántos
Newton de fuerza necesitas ejercer para
mover un objeto? ¿Podrías estimar cuántos
litros de agua utilizas al bañarte?
Si buscas información en la literatura de
Educación Matemática observarás que el
concepto de estimación es confuso, que
hay definiciones y clasificaciones poco
refinadas.
Estimación de Medida se refiere a asig-
nar un valor o intervalo de valores posi-
bles a una o más medidas discretas o con-
tinuas, por medio de la relación de la per-
cepción con los conocimientos previos. Es
una habilidad más compleja y abstracta
que la medida, poco tratada en la enseñan-
za formal, pero culturalmente necesaria.
Sus características son:
Proceso que excluye todo tipo de medi-
ción.
Puede incluir cálculos en el proceso.
Utiliza estrategias personales y autóno-
mas.
Admite múltiples respuestas.
Valorización apta para tomar decisiones.
Permite predecir o evaluar si una res-
puesta es razonable.
Si es estimación de medida discreta, la
colección de objetos a contar no debe
ser totalmente accesible para el conteo y
debe estar apropiado el ámbito numérico
de la estimación.
¿Pensaste alguna vez si era geométrica-
mente razonable el resultado que obtenías
al calcular una integral bajo la curva?
¿Tienes conciencia de lo que es un metro
cuadrado? ¿si te preguntan cuánto mide el
recinto dónde estás: cuentas unidades bidi-
mensionales o multiplicas unidades unidi-
mensionales que estimaste?
Didácticamente hablando, estimación es
un concepto interesante: Todos estimamos
de acuerdo a nuestro entorno que crea
nuestros referentes, por ello un profesor no
puede explicarte como estimar, sino que
debe guiarte para que encuentres tus estra-
tegias personales y autónomas. Difícil
tarea si aún muchos piensan que
“transmitir ideas” es la mejor forma de
enseñanza. La estrategia es el eje de la
estimación de medida, lo que la convierte
en invaluable en pruebas del tipo
SIMCE… las políticas educacionales en
nuestro país, en la practica, apuntan que el
SIMCE es un referente de buena educa-
ción. Bueno … el SIMCE no puede medir
la estimación, ni el uso de regla y compás,
entre otros conocimientos indispensables.
Entrevistamos a 150 profesores del Gran
Santiago, quienes declararon no tener co-
nocimiento académico de la estimación de
medida y definieron estimación en cuatro
categorías (ver tabla).
El código 4 sólo se le asignó a tres profe-
sores de los 150. Sin embargo, cuando
ejemplificaron el concepto, sólo dos de
ellos consideraron que el referente era
necesario para estimar, para los otros, era
casi una adivinanza. Lo que concuerda con
muchos estudios al respecto: Si se trata
estimación de medida en la escuela, se
trata vagamente, como una adivinanza. En
la escuela manda la regla, la cinta métri-
ca… tus percepciones no tienen un rol
principal. Esperemos que con las nuevas
corrientes didácticas cambie la forma de
abordar la estimación en la escuela, para
que seamos más conscientes del mundo en
que vivimos.
REFERENCIAS
Bright, G.W. (1976) Estimation as Part of
Learning to Measure. National Council of
Teachers of Mathematics Yearbook. Vol.
38 , 87-104, 76.
Chamorro, María del Carmen (2003).
Didáctica de las Matemáticas. Capítulos 8
y 9. Madrid. Pearson.
Cockcroft, WH (1982). Mathematics
counts. Recuperado de: http://
www.educationengland.org.uk/documents/
cockcroft/cockcroft00.html
Segovia, I., Castro, E., Castro, E., Rico,
L. (1989). Estimación en Cálculo y Medi-
da. Síntesis. Madrid.
(*) Magister en Enseñanza de la Ciencia.
Mención Didáctica de la Matemática.
Estimaciones de Medida
CÓDIGO CATEGORÍA EJEMPLO DE RESPUESTA
1 Estimación como medi-
ción “Medir una superficie, objeto, etc. Utilizando
elementos no convencionales”
2 Estimación como aproxi-
mación “Es aproximar una medida”
3 Otras respuestas “Es la introducción a la unidad de medida”
4 Estimación como juicio
de valor sin instrumentos
de medida
“Es la búsqueda o aproximación de una me-
dida a partir del sentido común y de las habi-
lidades mentales de cada persona”
UNA … ¿ESTIMACIÓN? ...
El cabo mirando por el catalejo:
– ¡General, general, vienen los indios!
– ¿Se ven grandes o chicos?
– ¡Se ven chiquitos!
– Avíseme más tarde.
– ¡General, general, se acercan los in-
dios!
– ¿Se ven grandes o chicos?
– Todavía se ven chiquitos.
– Avíseme, más tarde.
– ¡General, general, llegaron los indios!
– ¡Dispare soldado!
– No, … ¿cómo les voy a disparar si los
conozco desde chiquitos?
3
ABACOM Boletín Matemático
FF II SS II CC OO MM
Richard Feynman fue una de las mentes
brillantes del pasado siglo XX. No solamen-
te es recordado por sus aportes a la física
teórica sino que también por su personali-
dad multifacética, su sencillez como perso-
na, su sentido del humor y finalmente su
incondicional amor a la ciencia, rasgo que
se mostró en su “contagiosa” curiosidad por
el mundo.
Nació en el año 1918 en la ciudad de Nueva
York. En su niñez fue fuertemente influen-
ciado por su padre quien le enseñó a fijarse
en detalles y a distinguir claramente entre
el dar nombre a un fenómeno y la compren-
sión de un fenómeno.
Se graduó en Física en el MIT
(Massachusetts Institute of Technology) y
posteriormente participó en la construcción
de la bomba atómica durante la segunda
guerra mundial. Justificó su participación
con el argumento que los NAZIS podrían
haberla desarrollada antes.
En 1986 participó en la comisión investiga-
dora del accidente del transbordador espa-
cial Challenger. Tras apenas un minuto del
despegue, la nave se había desviado de su
curso y se desintegró. A causa del frío extre-
mo en la noche anterior al lanzamiento, se
produjo una fuga de gas.
Feynman tras una meticulosa indagación
llegó a la conclusión que el desastre hubiera
sido evitable si se hubiesen considerado las
recomendaciones de los técnicos. Sin em-
bargo, la presión mediática de sacar adelan-
te el proyecto en los plazos establecidos
conllevó que se hiciera caso omiso a las
advertencias de los técnicos, lo que eviden-
ció graves errores en la organización de la
NASA. Pese a los esfuerzos de obstruir el
trabajo de Feynman sus resultados salieron
a luz.
En 1965 recibe el Premio Nobel de Física
por sus contribuciones a la Electrodinámica
Cuántica. Una de sus innovaciones fue la
sistemática utilización de diagramas en
cálculos relacionados con interacciones
entre partículas sub-atómicas (por ejemplo:
protones, electrones, positrones, etc.).
Estos denominados “Diagramas de Feyn-
man” representan complejos términos ma-
temáticos, ayudando a visualizar las expre-
siones abstractas y a ordenar los cálculos,
razón por la cual hoy en día son utilizados
frecuentemente por los físicos teóricos.
(*) Profesor de Física del Centro de Docencia
de la Facultad de Ciencias de la Ingeniería
UACh.
Richard Feynman y sus Diagramas Sebastián Urrutia Hohmann (*)
Diagrama que representa una interacción
entre dos electrones mediante un fotón.
Diagrama que representa una interac-
ción, más compleja, entre dos electrones.
ABACOM Boletín Matemático
Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza Media. Proyecto auspiciado por la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la Universidad Austral de Chile.
Director: Juan Leiva V. / Director Alterno: Andrea Cárcamo B. /
Redacción Periodística: Julio Morales M. / Web Master: Edinson Contreras R. / Colaboradores: Sebastián Acevedo A.,
Luz Alegría A., Claudio Fuentealba A., Patricio Ruiz Tagle C., Sebastián Urrutia H.
Centro de Docencia de CCBB / Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh. / Casilla 567 Valdivia.
email: abacom@uach.cl / Fono (63)2221828 / Fax (63)2293730 www.uach.cl/abacom
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en
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PR
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AM
ÉR
ICA
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4
Claudio Fuentealba Aguilera
ELEMENTOS INVERTIBLES
Se dice que es un elemento invertible (o unidad)
si existe tal que , es decir .
Se dice que es el inverso de .
Por ejemplo: consi-
deremos la multipli-
cación en . Se
puede observar que
el elemento inverso
de es el mismo
ya que , lo
mismo ocurre con
a estos elementos se
les denomina autoin-
versos. Por otro
lado, el elemento
inverso de es
y el inverso de es , ya que y
La pregunta natural que surge entonces es: ¿cuándo un
elemento de posee inverso? La respuesta es que da-
do un elemento con , éste es invertible si y
sólo si a y n son primos entre sí, es decir
(mcd: máximo común divisor). Por ejemplo en los ele-
mento invertibles corresponden a y
ya que:
; ; y
Es claro que si n es primo, cualquier elemento no nulo de
es primo con n y posee inverso, es por ello que en
como ya vimos, y poseen inverso.
POTENCIAS EN
Para determinar el comportamiento de las potencias en
un conjunto , consideramos las potencias de 2 en
y (Ver Tabla abajo).
Como se observa en el reloj de siete horas ( ) y el de
nueve horas ( ) la aguja del reloj no se detiene en
todas las horas en el cálculo de las potencias de 2, pero
lo hace siguiendo un modelo iterativo, esto ocurre tan-
to para las potencias de 2, como para cualquier otro nú-
mero.
Esta observación fue hecha por Carl Gauss (1777 -
1855) y le permitió trabajar con números muy grandes,
pero incluso antes que él, otro matemático francés,
Pierre de Fermat (1601 - 1665) había hecho un
gran descubrimiento, el denominado “Pequeño Teore-
ma de Fermat” trabajando con relojes que tuvieran
un número primo de horas logró establecer que si n es
primo y a es un número natural primo con n, enton-
ces , de donde se deduce también que si
n es primo, entonces para cualquier número natural a
se verifica que .
Por ejemplo en se tiene que, ya
que 19 es primo y 2 es primo con 19, luego es posible
aplicar el teorema, obteniéndose:
Pero como entonces
de donde se concluye
que
Actualmente esta
aritmética es nece-
saria para garantizar
la seguridad en In-
ternet donde se
usan números primos
muy grandes y poten-
cias muy altas.
na nb a b = 1 a b-1 =
5
1 1
1 1 = 1
4 ;
X
2 3
23 2 3 = 1 .3 2 = 1
n
na a 0
a nmcd , =1
91, 2, 4 , 5, 7 8
1 1 = 1 2 5 = 1 4 7 = 1 .8 8 = 1
n
5,1 , 2 , 3 4
n
n
7
9
7
9
n-1 1 moda n
02
12
22
32
42
52
62
72
82
92
102
112
1
2
4
7
5
9
1
1 1
11
2
2
2
22 4
4 4
4 4
8 8 7 5
7
3
3
0 2 4
0 0 0 0 0 0
1 0
3 2 1
1
3 4
3
2
4
42 0 2
4
0 3
40
1
1
21
Tabla de Multiplicación en 5
Tabla de Potencias de 2 en y 7 9
a
n moda a n
19 542 1(mod19)
182 1 mod19
354 182 = 2 54 32 1 mod19
542 1(mod19).
b
5
ABACOM Boletín Matemático
ANÉCDOTAS DE LA CIENCIA ESA MALDITA CORRIENTE
Isaac Newton (1643 -
1727), famoso físico
inventor del Cálculo
Diferencial, integró el
Parlamento británico
desde 1687 a 1690 en
representación de la
Universidad de Cam-
bridge. Durante el tiem-
po que ostentó el cargo
sólo pidió la palabra en
una ocasión y dijo lo
siguiente: “Propongo
cerrar esa ventana, por-
que aquí hace un frío considerable”. Como se ve, … ¡lo
suyo no era la política!
¡DISUÉLVETE, POR FAVOR!
Justus von Liebig (1803-
1873) químico alemán, crea-
dor de la cadena carbonatada,
fue abordado por uno de sus
ayudantes que, excitado, le
informaba de que había des-
cubierto un solvente univer-
sal. El químico le preguntó:
- ¿Y qué es un solvente uni-
versal?
- Uno que disuelve todas las
sustancias, profesor.
- Entonces, ¿dónde lo vas a
guardar ?
¡NO OS CONOZCO!
“Por amor de Dios, no di-
gan que estudiaron conmi-
go”.
Esta es la frase que expresó
Hermann Walter Nernst
(1864-1941) a los estudian-
tes que lo desilusionaron.
Nernst fue un físico y quí-
mico polaco, ganador del
Premio Nobel de Química
en 1920, por sus trabajos
en Termodinámica .
MEDIDAS ANGULARESMEDIDAS ANGULARES
Gra do s (Se xa g es i ma le s ) :
Un g ra do ( sexage s i ma l ) e s l a med id a d e un án -
gulo q ue ub icad o co n su vé r t i ce e n e l cen t ro d e
una c i r c un fe r e nc ia , d e t e r mina e n é s t a un a r co
q ue e s l a 3 6 0 -ava p a r t e d e l a c i r cunfe r e nc ia
co mp le ta . U n grad o se ano ta 1 º .
Un grad o se d iv id e en 6 0 p a r t e s igua le s l l a ma -
d as minuto s y cad a mi nuto , se d i v id e en 6 0 p a r -
t e s ig ua le s d e no mi nad a s seg undo s . Un mi nuto
se ano ta 1 ’ , u n se g und o 1 ’ ’ .
P ara t r ans fo r mar e s t a s un id ad es t e ne mo s q ue :
Eje mplo :
Si u n án g ulo mid e 1 2 4 ,7 2º , exp resa r lo en gr a -
d o s , mi n uto s y seg u nd o s .
T enemo s q ue l a med id a d e l ángu lo e s :
1 2 4º + 0 ,72º .
Se p ued en exp resa r lo s 0 ,7 2º en mi nuto s mul -
t ip l i cand o p o r 60 (p ues 1 º = 60 ’ ) , a s í
1 2 4 ,72º = 1 2 4º + 4 3 ,2, =1 2 4º + 4 3
, + 0 ,2, .
Aho ra lo s 0 ,2,
se t r ans fo rma n en seg u nd o s ,
t a mb ién mu l t ip l i ca nd o p o r 60 , r e su l t and o :
1 2 4 ,72º =12 4º + 4 3,+ 0 ,2
,=1 2 4º + 4 3
,+ 1 2
, , .
Esto se ano ta : 1 2 4 ,7 2º = 1 2 4º 4 3, 1 2
, , .
Ra dia nes :
Otra fo r ma d e med i r án gulo s e s en r ad iane s . U n
ra diá n e s l a med id a d e un á ng ulo q ue ub icad o
co mo á ng ulo d e l cen t ro d e una c i r cu nfe r e nc ia
d e te rmina un a r co q ue t i ene ig ua l med id a q ue e l
r ad io d e l a c i r cun fe r en c ia . La can t id ad d e r a -
d ianes q ue mid e u n án g ulo se o b t i ene d iv id ie n -
d o l a lo ng i tud d e l a r co q ue d e te r mina e n l a c i r -
cun fe r enc ia en q ue e s t á insc r i to p o r e l r ad io de
é s t a .
Eje mplo :
¿Cuá nto s r ad iane s mid e un á ng ulo ex te nd id o ( e s
d ec i r q ue mid e 1 8 0º )?
La lo n gi t ud d e l a r co d e c i r cun fe r enc ia e s
( r = r ad io d e l a c i r cun fe r enc ia ) , a s í l a
med id a en r ad ianes e s
Es d ec i r : .
P o r p rop o rc io nes t ene mo s :
Así p o r e j emp lo :
9 0 º = π /2 r ad ianes ; 13 5º =3 π /4 r ad ianes ;
2 1 0º = 7 π /6 r ad ianes ; 3 6 0º = 2 π r ad ianes .
Tips
MATEMÁTICOS
Juan Leiva Vivar
, , ,, ,,1º 60 ; 1 60 ; 1º 3.600
rr
r
180º radianes
Grados Radianes
180
Juan Leiva Vivar
6
S E P T I E M B R E 2 0 1 3
A pesar de haber sido un joven rebelde y vicioso, llegó a ele-varse como uno de los matemáticos destacados del siglo XIX. A él se deben las definiciones de límite, continuidad y deriva-da de una función, las que siguen vigentes hasta hoy. Tuvo muchos discípulos, siendo la más destacada la matemá-tica rusa Sonya Kovalevsky.
Nació en Ostenfels, ciudad alemana, el 31
de Octubre de 1815. Era hijo de un funcio-
nario público que enviudó cuando el joven
Karl tenía sólo 11 años. Su padre contrajo
segundas nupcias y él nunca se llevó bien
con su madrastra, tornándose un muchacho
conflictivo, comenzando a fumar y beber.
Al cumplir 14 años, su padre lo envió a
estudiar a la ciudad de Münster, al Colegio
de Pederborn, donde continuó con sus vi-
cios. En el colegio se organizaban concur-
sos de resolución de problemas matemáti-
cos, que tenían suculentos premios. Weiers-
trass se dedicó a estudiar matemáticas para
participar, resultando el ganador de todos
los premios. Claro que desperdició rápida-
mente todo lo ganado.
En 1834 es enviado a Bonn a estudiar Dere-
cho, donde continúa con su vida disipada.
Vuelve a Münster en 1839, donde conoce al
profesor Christoph Gudermann, quien lo
guía en el estudio de las matemáticas y
también lo hace salir de la vida que había
llevado.
Durante años se desempeñó como profesor
de matemáticas de escuelas secundarias
hasta que escribió un artículo que le trajo
reputación y fue invitado a trabajar a la
Universidad de Berlín. Ahí inició su prolífi-
ca carrera como investigador publicando en
12 años más de 300 trabajos originales,
siendo considerado el más destacado en
Análisis Matemático del mundo.
Nunca se casó, al igual que sus hermanas,
debido al trauma que produjo el segundo
casamiento de su padre.
En 1870, con 55 años, conoce a Sonya
Kovalevsky, joven rusa de 20 años, quien
fue su discípula y amiga hasta su muerte.
Weierstrass intentó que Sonya fuese acepta-
da para trabajar en alguna universidad, lo
que no consiguió. Finalmente en 1883, des-
pués de haber expuesto sus descubrimientos
en un Congreso de Matemáticas, fue reco-
nocido su talento y obtuvo una cátedra en la
Universidad de Estocolmo, cargo que con-
servó hasta su muerte en 1891.
Weierstrass sintió la partida de Sonya a
quien estimaba mucho y declaró que “el
mayor presente que recibí de Dios ha sido
haber conocido a Sonya”.
A los 81 años y después de haber recibido
homenajes de todo el mundo científico,
Weierstrass fallece a causa de una neumo-
nía el 19 de Febrero de 1897, en Berlín.
Sus aportes a la Matemática fueron en
Análisis Matemático, rama de las Ma-temáticas que estudia los Números tan-
to Reales como Complejos y construc-
ciones a partir de ellos.
Su preocupación fue dar una mayor
formalidad a los conceptos que se usa-
ban ya en esa época, pero que las defi-
niciones y notaciones eran poco claras.
Así fue como dio definiciones precisas
de límite, continuidad y derivada de una
función, lo que le permitió dar la demos-
tración de varios teoremas, que debido
a la falta de rigor no había sido posible
hacerlo hasta esa fecha.
En particular algunas de sus creaciones
fueron:
La Función de Weierstrass Es una función real que es continua en
todos los puntos de su dominio, pero no
tiene derivada en ninguno de ellos, es
decir el gráfico de esta función es una
curva continua (o sea, sin cortes ni inte-
rrupciones, pero en ninguno de sus pun-
tos tiene recta tangente).
La fórmula de esta función es:
A mediados del siglo XX Benoit Mandel-
brot (ver ABACOM Nº 5) modificó esta
curva para obtener un fractal.
El Teorema de Weierstrass Es teorema de Análisis Real y establece
que:
Toda función continua definida en un
intervalo cerrado y acotado alcanza
valor mínimo y máximo en puntos de
ese intervalo.
El Teorema de Aproximación de
Weierstrass También es teorema de Análisis Real,
pero que tiene aplicación en Cálculo
Numérico. Su enunciado es el siguiente:
Toda función continua definida en un
intervalo cerrado y acotado puede ser
aproximada, tanto como se quiera, por
un polinomio.
También hizo aportes fundamentales en
Cálculo de Variaciones, que con la rigurosidad de conceptos que él introdu-
jo, pudo ser reformulado totalmente y
así, preparó el camino para el estudio
moderno de esta rama de las Matemáti-
cas, que tuvo su origen en el Problema
de la Curva Braquistócrona, planteado
inicialmente, en 1696, por Johann
Bernoulli (ver ABACOM Nº 32).
APORTES DE WEIERSTRASSAPORTES DE WEIERSTRASS
El Padre del Análisis Moderno
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ABACOM Boletín Matemático
El lenguaje de las comunicaciones puede ser variado, sin embargo, cada uno responde a formatos. Por ejemplo, para comunicar las cosas por radio utili-zamos imágenes sonoras, es decir, en vez de expresar “la señora María fue a comprar frutas”, es mejor referir “la señora María fue a comprar manzanas, peras y plátanos”. Como vemos la manzana genera una imagen sonora, en cambio frutas es más amplio. Por otro lado, encontramos un segundo ejemplo en el lenguaje escrito, éste debe tener una gramática y ortografía determinada, para así ser claro en lo que se emite. Finalmente, el lenguaje audiovisual requiere de gran produc-ción porque ya no basta imaginar, ahora se debe ver. Esto es complejo para muchos audiovisualitas porque considera inversión. Ahora bien, nos quedaremos en este último lenguaje para mostrarles dos mundos que tienen un objetivo en común: comunicar ciencia entretenida. Entonces, redoble de tambores: En esta esquina, El Mundo de Beakman y en esta otra, Mad Science. El Mundo de Beakman es un programa de televisión educa-tivo en su trasfondo y dinámico en estructura. Su primera apa-rición fue en 1992 en un canal de EEUU llegando a 90 países alrededor del mundo, incluyen-do a Chile. El programa consis-te en que un científico alocado, junto a sus amigos, responde preguntas a los seguidores del programa por medio de cartas. En total se logró transmitir 4 temporadas las cuales se pueden encontrar en http://www.youtube.com/watch?v=TgpDli4CaYk Aparentemente Mad Science no fue transmitido en nuestro país, sin embar-go, por más de 10 años lo han conocido niños y jóvenes del Perú. Este apa-sionante mundo trata sobre ciencia súper divertida en palabra de sus crea-dores. De hecho se crean experiencias originales, únicas y personalizadas que educan lúdicamente por medio de fiestas infantiles, ferias de ciencias, videos, talleres, campamentos científicos y otros. Para ver una muestra de lo que presentan en video, se puede visitar http://www.youtube.com/watch?v=SMgsZBC2UWo o buscar en Facebook Mad Science Perú. Dos iniciativas con un solo fin: comunicar ciencia. Entre sus contenidos tácitamente encontraremos matemáticas, ya que son parte de la base en todo universo lingüís-tico. En otras palabras, gran parte del acontecer cotidiano puede ser explicado por fenómenos cuantitativos, incluso la sociedad. Esperamos que disfruten una vez más de estas experiencias; la morale-ja es que la ciencia se debe comunicar. Hasta nuestro próximo número.
SONYA, LA DISCÍPULA
Y AMIGA
Sonya Kovalevsky (1850—1891) fue una notable matemática ru-sa. Para poder estudiar matemáticas contrajo un matrimonio por conve-niencia, lo que le permi-tió viajar a estudiar Ma-temáticas a Alemania, donde realizó la maestría en Heildelberg y el doc-torado en Göttingen.
Antes de dedicarse sólo a la Matemática, Sonya tam-bién siguió cursos de Física, con Kirchhoff y Helmholtz, además de Química con Bunsen. Este último, famoso químico, al verla en sus clases dijo “ninguna mujer con tal belleza profanará mi labora-torio”. Esta afirmación de Bunsen puede darnos una idea de la belleza de Sonya. Después cuando el quí-mico supo que Sonya iría a estudiar con Weierstrass le previno: “Ten cuidado, es una mujer muy peligro-sa que me ha hecho renegar de mis propias pala-bras”. Desde que conoció a Weierstrass fue su discípula y amiga. Sonya se preocupaba mucho de su maestro. Una muestra de esto es que observando que él era descuidado y perdía constantemente sus anotacio-nes, le regaló una caja de madera donde debería guardarlos para no extraviarlos. El problema se re-solvió sólo temporalmente pues Weierstrass al poco tiempo perdió la caja. También admiraba sus excen-tricidades y reía al oírle decir que él jamás escribió una sola letra en la pizarra, cuando impartía clases, pues el acto de escribir no sólo le irritaba sino que también le dificultaba concentrarse.
WEIERSTRASS Y LA POESÍA
En 1891, cuando Sonya se hace cargo de una cátedra en la Universidad de Estocolmo, Weierstrass le escri-be en una carta lo siguiente: “Jacobi1 tiene un defecto que se encuentra en mu-chos hombres inteligentes. No tiene imaginación suficiente y un matemático que no es un poco poeta, jamás será un verdadero científico. La visión que abarca todo, dirigido hacia las cumbres, hacia el ideal, designa a Abel2 como superior a Jacobi … de una manera definitiva”. Weierstrass afirmaba que “el verdadero matemático es poeta”. Esta afirmación puede parecer extraña, pero expresa que el matemático, como el poeta, necesita tener imaginación e intuición.
1 Carl Gustav Jacobi (1804—1851), matemático ale-mán.
2 Niels Henrik Abel (1802—1829), matemático no-ruego.
Julio Morales Muñoz
El Mundo de Beakman y Mad Science:
Dos Mundos, un Objetivo
COMUNICANDOCOMUNICANDO
MATEMÁTICASMATEMÁTICAS
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RESOLUCIÓN PROBLEMAS EDICIÓN Nº 46
rsoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcurs
PROBLEMAS EDICIÓN Nº 47
Problema 1: Potencias de i Las primeras potencias de i son:
y éstas se repiten de 4 en 4, por tanto la suma hasta
resulta 0 (cero) , así:
Por tanto:
Problema 2: Los Integrantes del Club Sea x el número de varones en el club, así la cantidad
de damas es 500 — x .
De acuerdo a los datos tenemos:
Al resolver la ecuación, resulta: .
Por tanto: en el club hay 150 damas y 350 varones.
Problema 1: La Suma Incógnita
¿Cuánto suman los primeros 100 dígitos que aparecen
después de la coma decimal al desarrollar ?
Problema 2: Los Saludos
Las personas que asistieron a una reunión se estrechan
las manos para saludarse al llegar. Uno de ellos advir-
tió que los apretones de manos fueron 66.
¿Cuántos personas concurrieron a la reunión?
Se deben ubicar los números del 1 al 7, de modo que no se repita
un número en la misma fila ni en la misma columna, y además,
debe cumplirse que en cada agrupación de casillas marcadas,
efectuando la operación propuesta, resulte el número indicado.
SOLUCIÓN EDICIÓN Nº 46
Envía tus soluciones (indicando Nombre, Colegio y Curso) a
A B A C O M
Boletín Matemático Casilla: 567 Valdivia Fax: (63) 2293730
email: abacom@uach.cl
Recepción de soluciones hasta: 5 de Noviembre
EDICIÓN Nº 47 KENKEN 1 KENKEN 2
27 30 20500 = + (500 )
100 100 100x x
= 350x
0 1 2 3=1, , 1,i i i i i i
2011i
0 1 2 2013 2012 2013... 0+ 0+1+i i i i i +i i
0 1 2 2013... = 1+i i i i i
1
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ABACOM Boletín Matemático
El pH de nuestro medio interno influye profundamente en
todos los procesos fisiológicos, incluyendo la contractibili-
dad muscular, la conformación de las proteínas y el fun-
cionamiento del sistema nervioso central, entre otros. Por
ello nuestro organismo posee reguladores de las variacio-
nes ácido-base. El mantener el pH dentro de límites estre-
chos es de vital importancia debido a que el disolvente
principal de nuestro organismo es el agua, existiendo rela-
ciones entre las concentraciones de iones hidronio [H3O+]
y oxhidrilos (hidroxilo) [OH-]. Sin embargo, se debe tener
en cuenta que nuestro plasma sanguíneo es una disolu-
ción que presenta algunas características que lo diferen-
cian del agua, su valor de neutralidad o el pH será neu-
tro cuando éste se encuentre entre 7,38 y 7,42, siendo
básico, cualquier valor que supere este rango (llevando a
un estado llamado alcalosis), mientras que es ácido cual-
quier valor que esté por debajo de 7,38 (implicando una
acidosis).
La mayor amenaza a la estabilidad del pH en nuestro or-
ganismo, está representada por los ácidos que se produ-
cen durante procesos metabólicos como lo son: Ácidos
Volátiles (por ejemplo el CO2), Ácidos Fijos (por ejem-
plo ácido fosfórico) y Ácidos Orgánicos (por ejemplo áci-
do láctico).
Existen tres sistemas de regulación de pH o del Equilibrio
Ácido-Base: a) Sistemas Buffer de los Líquidos Corpora-
les, de respuesta inmediata. b) Riñón, excretando exce-
dentes por orina. c) El sistema respiratorio, eliminando o
reteniendo CO2.
Sistemas Buffer de los Líquidos Corporales: Los deno-
minados sistemas tampón o buffer representan la primera
línea de defensa interna, que posee nuestro organismo
ante los cambios desfavorables en el pH. Esto se debe a
su capacidad de aceptar o ceder protones de manera tal
de compensar los desequilibrios de nuestro medio interno,
manteniendo los valores de pH dentro de un rango estric-
to; las características que hacen que un buffer sea útil
son: a) aquellos sistemas cuyo pKa esté próximo a pH de
7,40 y b) la concentración de las disoluciones buffer debe
ser elevada, de lo contrario su capacidad sería agotada
muy rápidamente.
Los diferentes sistemas buffer que encontramos en
nuestro organismo son: Proteínas (ej: Hemoglobina a
nivel sanguíneo), Fosfato (nivel intracelular) y Bicarbo-
nato (sistema ácido carbonico-bicarbonato a nivel intrace-
lular y extracelular).
El ejercicio al máximo
y de corta duración
produce grandes des-
balances de pH por la
gran producción de
ácido láctico. Este
proceso provoca valo-
res de pH = 7 en san-
gre y pH = 6,4 en
músculo. La primera
línea de defensa ante los cambios del pH está en la misma
célula. Los sistemas buffer intracelulares más comunes
son las proteínas (60%) y los grupos fosfato (10-20%).
Las concentraciones de bicarbonato intracelular también
son importantes (20-30%). La piel tiene un pH ácido que
contribuye a la función óptima de barrera. El promedio del
pH superficial del hombre sano está entre 5,4 y 5,9, esto
permite: acción antimicrobial, que disminuya la coloniza-
ción de la piel por bacterias patógenas y favorece la adhe-
sión de bacterias no patogénicas al estrato córneo.
La acción de los detergentes es la emulsificación de los
lípidos superficiales de la piel. La descamación y adelgaza-
miento del estrato córneo asociado con cambios en el pH
de la piel
probable-
mente ex-
plica los
efectos ne-
gativos de
muchos
detergentes
sobre la
función de
la barrera
epidérmica.
A B A Q U I M
¿Por qué Nuestro Cuerpo Debe
Regular el pH o Grado de Acidez? Dra. Luz Alegría Aguirre
La imagen
muestra
la regula-
ción que
ocurre
del CO2
por la
Hemoblo-
gina.
http://elcuadernodecalpurniatate.blogspot.com/2012/03/
el-ph-de-la-sangre-un-ejemplo-de.html
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Si tenemos una
sandía que pesa
10 kilos y está
formada en un
95% por agua,
la partimos y la
dejamos al sol;
después de unas
horas habrá per-
dido sólo agua, quedando, supongamos en un 90% de su
masa total.
¿Cuánto crees que pesará ahora? Como sólo perdió agua,
ésta era un 95% y ahora es un 90%, podría pensarse que
perdió muy poco peso, ¿alrededor de medio kilo? Aun-
que parezca increíble perdió la mitad del peso, quedando
sólo en 5 kilos. Parece sorprendente. Veamos la explica-
ción:
Como inicialmente el 95% es agua, entonces la parte sóli-
da es un 5% de 10 kilos (peso inicial), o sea medio kilo
(0,5 kilos). Sea x el peso en kilos de la sandía después de
haber sido expuesta al sol. Como sólo perdió agua, la par-
te sólida sigue siendo 0,5 kilos y ahora representa el 10%
del total.
Así tenemos:
y al resolver resulta:
Por tanto el peso de la sandía ha quedado en sólo … ¡5 kilos!
LA SANDÍA AL SOL
100,5
100x
0,5 1005.
10x
H U M O RH U M O RH U M O R
Romeo y Julieta se conocieron por Facebook, pero la relación tuvo un final trágico cuando a Julieta se le cayó la red ...
LA LEY DE BENFORD
Las Matemáticas tienen una curiosa aplicación a la investigación y prevención de delitos, en particu-lar a fraudes fiscales, y ésta es la denominada Ley de Benford.
Si consideramos números al azar tomados de me-diciones u observaciones de diferentes situaciones (entre ellas datos financieros), lo lógico sería que la probabilidad de que empiecen por 1, 4 ó 9 de-bería ser la misma, sin embargo esto no es cierto.
En 1881 el matemático y astrónomo norteameri-cano Simon Newcomb (1835 - 1909) observó que las primeras páginas de los libros con tablas de logaritmos, que en esa época se usaban para ha-cer cálculos, estaban mucho más gastadas que las posteriores, con lo que dedujo que los dígitos ini-ciales de los números que allí se consultaban no eran equiprobables, sino que el 1 aparecía con mayor frecuencia (30,1%), seguido del 2, y así su-cesivamente hasta el 9, el de menos frecuencia (4,6%).
Frank Benford (1883 - 1948) un físico norteameri-cano, observó el mismo fenómeno y realizó una comprobación empírica con 20.220 números pro-venientes de diversas situaciones como: áreas flu-viales, constantes físicas y químicas, funciones matemáticas, direcciones de personas, entre otras. Con estos datos formuló la Ley de Números Anómalos, llamada actualmente la Ley de Benford que afirma lo siguiente: La probabilidad que un número comience con el dígito n, , es
La misma fórmula es válida para calcular la proba-bilidad que las 2 ó 3 primeras cifras de un número sean dadas. Por ejemplo la probabilidad que un número de una cierta lista comience con 274 es Basados en esta ley, la policía tiene una nueva he-rramienta para detectar fraudes fiscales, lo que les ha permitido evitar numerosos delitos económi-cos. Claro que esto será válido mientras los de-fraudadores no conozcan la Ley de Benford, así que … ¡guardemos el secreto!
P n n=log( +1) log( ).n 0
=log(275)-log(274)= 0,00158.P
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ABACOM Boletín Matemático
Sonriendo
Con - Ciencia
NÚMEROS NEGATIVOS
Los números negativos actualmente se estu-
dian ya en la Enseñanza Básica, pero hubo un
tiempo en que se desconocían o no eran acep-
tados.
Sólo a fines del siglo XVIII los números nega-
tivos fueron reconocidos universalmente.
Los matemáticos de la India, en el siglo VII,
usaban los números negativos para indicar
deudas.
Girolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los números negativos
“falsos”, pero en su Ars Magna (1545) los estudió exhaustivamente.
John Wallis, en su Arithmetica Infinitorum (1655), “demuestra” la imposi-
bilidad de su existencia, diciendo que “esos entes tendrían que ser a la vez
mayores que el infinito y menores que cero”.
Leonard Euler, es el primero en darles estatuto legal en su obra Anleitung
Zur Algebra, en 1770.
¿Qué cae más deprisa, una hoja de papel o
una moneda?
Si se deja caer una hoja de papel y una moneda, la moneda llega mucho antes al suelo. Sin embargo, si se arruga la hoja y se hace una pequeña pelotita con ella, al repetir el experimento se observará que prácticamente llegan al suelo en forma simultánea. Si no hubiese aire en la Tierra todos los objetos, independientemente de su forma y peso, caerían a la misma velo-cidad. La presencia del aire influye en la velocidad de la caída frenando unos objetos más que a otros según su for-ma. Al hacer una bola con la hoja de papel conseguimos minimizar la in-fluencia del aire. Galileo descubrió este hecho y cuenta la leyenda que para demostrarlo dejó caer desde lo alto de la torre de Pisa dos bolas. Las dos bolas eran de peso muy diferente y sin embargo, llegaron simultáneamente al suelo. Las ideas aristotélicas vigentes en la época de Galileo exigían que los objetos pesados de-bían caer más deprisa que los ligeros. Dave Scott, uno de los astronautas del Apollo 15, realizo en la Luna un experimen-to consistente en dejar caer desde la misma altura un martillo y una pluma. Como era de esperar (en la Luna no hay atmósfera) ambos llegaron simultáneamente al suelo.
En el más allá se reunieron los físicos
más famosos de todos los tiempos. Allí
se encontraban Newton, Pascal, Eins-
tein y Heisenberg, entre otros. Después
de mucho conversar e intercambiar
ideas decidieron tomarse un descanso y
jugar a las escondidas. Sortearon y a
Einstein le correspondió contar:
–Diez, veinte, treinta, … – comenzó a
contar Einstein, mientras todos co-
rrían a esconderse, menos Newton que
se quedó a un par de metros y con una
tiza dibujó en el suelo un cuadrado de
exactamente un metro de lado y se
ubicó en el centro.
–… ochenta, noventa y cien – termina
de contar Einstein, se da vuelta y ve a
Newton parado allí.
–Newton, ¿y tú por qué no te escondis-
te? – le pregunta Einstein.
–Yo no soy Newton – responde.
–¿Cómo que no eres Newton?
–No, yo soy Pascal, que no ves – e in-
dica hacia el cuadrado en el piso – un
Newton por metro cuadrado…
(Nota: Pascal es una unidad de presión y se
define como la presión que ejerce una fuerza
de 1 Newton sobre una superficie de un me-
tro cuadrado, normal a la misma. Es decir
1 Pascal = 1 Newton por metro cuadrado).
¿Cuántos Físicos Relativistas se necesi-
tan para cambiar una ampolleta?
Dos: uno afirma la ampolleta y el otro
gira el universo.
¿Cuántos Físicos Cuánticos se necesi-
tan para cambiar una ampolleta?
Si Ud. sabe el número, no puede saber
dónde está la ampolleta.
¿Cuántos Físicos Teóricos se necesitan
para cambiar una ampolleta?
No importa cuántos, ellos van a tratar
de probar matemáticamente que su mé-
todo para cambiar la ampolleta es me-jor que otro, y mientras tanto, un Físico
Experimental cambia la ampolleta y
ellos no lo perciben.
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iciasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNo
Sin concurso de talentos nace una estrella
No es otro concurso de talentos, es ALMA quien cap-tó el dramático nacimiento de una estrella. En otras palabras, astrónomos han logrado obtener registro de emanaciones de material provenientes de una es-trella recién formada.
Cinco horas bastaron para que el Atacama Large Millimeter/submillimeter Array (ALMA) lograra captu-rar brillo producido por moléculas de mo-nóxido de carbono presentes en la estre-lla Herbig-Haro 46/47, por otro lado, las imá-genes muestran un chorro previamente desconocido, con una dirección totalmente distinta a la del resto. Para el líder del equipo, Héctor Arce de la Universidad de Yale, EEUU, “la gran sensibilidad de ALMA permite destacar caracterís-ticas nunca antes vistas como esta rápida emanación”. Queda demostrado que ALMA tiene buen ojo porque vio nacer una estrella y aún estaba en construcción. Se especula que el talento puede venir desde más allá de las estrellas.
¿271 años aproblemado? Harald Andrés Helfgott tiene la solución
Creemos que los problemas de nuestras vidas no tie-nen solución, no obstante, la perseverancia y en este caso el conocimiento adecuado, demuestran que no hay problema que valga. Efectivamente el matemáti-co Harald Andrés Helfgott, logró demostrar la Conje-tura débil de Goldbach.
Para muchos la Conjetura débil de Goldbach puede ser el más desconocido y difícil problema de Teoría de Números al que se enfrentaba el hombre, de hecho se mantenía sin resolver desde hace 271 años. No obstante, la perseverancia y por supuesto, muchas aspirinas, lograron que un científico latinoamericano diera en el clavo. Para comprender esto citemos a Christian Goldbach (1690-1764, matemático prusiano), quien en 1742 conjeturó que “todo núme-ro impar mayor que 5 puede expresarse como suma de tres nú-meros primos”. Afirmación que dio dolor de cabeza a muchos de los últimos siglos. Helfgott, nacido en Lima, Perú en 1977 y actualmente investiga-dor del Centro Nacional para la Investigación Científica, publicó dos trabajos, en 2012 y 2013, que dan una demostración comple-ta de la conjetura. Claro que se basó en algunos avances realiza-dos tanto por Hardy como por Littlewood, en 1923, y por Vino-gradov, en 1973.
Bosque y agua enamorados de por vida
En la Región de Los Ríos llueve más de 3 mil mm de agua al año, éste es un índice hídrico que hace pensar que no tenemos problemas de agua. Ante dicha pre-misa y para demostrar lo contrario, el próximo 27, 28 y 29 de Noviembre, se realiza el Congreso Internacio-nal del Bosque y el Agua en la ciudad de Valdivia.
La iniciativa va dirigida a: los tomadores de decisión, pro-fesionales de servicios públi-cos, sector privado, consulto-res, dirigentes del Comité de Agua Potable Rural, propieta-rios de cuenca, organizacio-nes comunitarias, estudian-tes, otros actores involucra-dos y público en general na-cional e internacional. Para los realizadores de la iniciativa el objetivo es “intercambiar y divulgar co-nocimientos y experiencias de investigación, acciones ciudadanas y de transferen-cia tecnológica e innovación que tengan por objetivo mejorar la gestión de los recursos hídricos a través de la conservación y ma-nejo de bosques, cuencas y otros recursos naturales” comenta-ron en http://www.innovacuencasapr.cl Como vemos, bosque y agua, son un par de enamorados que se entrelazan constantemente para darnos un perfecto entorno natural, patrimonio que requiere de iniciativas como la del con-greso para prevenir problemas de agua.
Julio Morales Muñoz, Periodista y Comunicador Social
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