4+ formas de entender la probabilidad libre - inicio · 2 una variable aleatoria no-conmutativa (o...

4+ε formas de entender la probabilidad libre

Octavio Arizmendi

Encuentro Nacional de Jovenes Investigadores en Matematicas,UNAM, 1.12.2015

Octavio Arizmendi 4+ε formas de entender la probabilidad libre

Espacios de Probabilidad No-Conmutativos

Definicion

1 Un espacio de probabilidad no-conmutativo es un par(A, φ) donde A es un algebra compleja y φ es un funcionallineal φ : A → C tal que φ(1A) = 1.

2 Una variable aleatoria no-conmutativa (o solo variablealeatoria) es un elemento a ∈ A.

Definicion

1 Un espacio de probabilidad no-conmutativo es un par(A, φ) donde A es un algebra compleja y φ es un funcionallineal φ : A → C tal que φ(1A) = 1.

2 Una variable aleatoria no-conmutativa (o solo variablealeatoria) es un elemento a ∈ A.

Ejemplo

1 Espacio de Probabilidad Clasico.

A1 := X +iY : X ,Y son v . aleatorias con soporte compacto

φ(X + iY ) = E (X ) + iE (Y ), E (X ) es el valor esperado.

2 Matrices.

A2 = Md(C)A : A es una matriz compleja de tamano d×d

φ(A) = tr(A) = 1d Traza(A).

Ejemplo

1 Espacio de Probabilidad Clasico.

A1 := X +iY : X ,Y son v . aleatorias con soporte compacto

φ(X + iY ) = E (X ) + iE (Y ), E (X ) es el valor esperado.

2 Matrices.

A2 = Md(C)A : A es una matriz compleja de tamano d×d

φ(A) = tr(A) = 1d Traza(A).

Ejemplo

(1+2) Matrices Aleatorias.

A3 = A : A es una matriz de d × d con entradas en A1

φd(A) =1

d∑i=1

E (aii ), A = (aij)di ,j=1 ∈ Md(A1).

Ejemplo

Sea G un grupo discreto con identidad 1G y sea

CG := ∑g∈G

αgg | αg ∈ C, αg 6= 0 un numero finito de veces

φ(g) = 0 si g 6= 1G y φ(1G ) = 1 y extendemos linealmente.Entonces (CG , φ) es un ∗-espacio de probabilidad.

Distribuciones

Definicion (Distribucion)

Si existe una medida de probabilidad µ sobre C con soportecompacto tal que∫

zkz lµ(dz) = φ(ak(a∗)l), para cadak , l ∈ N,

llamamos a µa := µ la distribucion de a.

Observacion

Si a es autoadjunto entonces µa es una medida con soporte en R.

Distribuciones

Definicion (Distribucion)

Si existe una medida de probabilidad µ sobre C con soportecompacto tal que∫

zkz lµ(dz) = φ(ak(a∗)l), para cadak , l ∈ N,

llamamos a µa := µ la distribucion de a.

Observacion

Si a es autoadjunto entonces µa es una medida con soporte en R.

Notacion

ϕ(x ; τ) densidad de la distribucion Gaussianϕ(x ; τ)dxmedia 0 y varianza 1 τ > 0

ϕ(x ; τ) = (2πτ)−1/2e−x2/(2τ), x ∈ R. (1)

Zτ es una v. a. con densidad ϕ(x ; τ). (Z = Z1).

w(x) densidad de la distribucion Semicırculo w(x)dx

w(x) =1

√4− x2 |x | < 2.

S es una v. a. con densidad w(x).

Independencia Clasica

Definicion

Una familia de subalgebras Ai , 1A ∈ Ai , i ∈ I en un espacio deprobabilidad non-conmutativo (A, φ) se dice independiente en elsentido tensorial si conmutan y para todosa1 ∈ Ai(1), ..., an ∈ Ai(n)

φ(a1a2...an) = φ(a1)φ(a2)...φ(an)

siempre que i(j) 6= i(k) para todo j 6= k.

Teorema de Lımite Central

Theorem (de Moivre 1733)

Sea (A, φ) un espacio de probabilidad no-conmutativo yseaXn∞n=1 una sucesion de variables aleatorias autoadjuntas i. d.con media 0 y varianza 1, independientes en el sentido tensorial.Entonces

lımN→∞

((X1 + . . .+ XN√

2k!2kk!

, si n = 2k,

0, si n = 2k + 1

Es decir, tenemos la convergencia

x1 + . . .+ xN√N

→ Z .

Otras nociones de independencias

Existen otras nociones de independencia en proba noconmutativa?

Que es un nocion de independencia?

Para nosotos una nocion de independencia es una reglauniversal para calcular momentos mixtos (con ciertos quehacen la regla consistente).

Independencia Libre

Definicion (Independencia Libre)

Una familia de subalgebras Ai , 1A ∈ Ai , i ∈ I en un espacio deprobabilidad non-conmutativo (A, φ) se dice libre si

φ(a1a2...an) = 0

siempre que φ(aj) = 0, aj ∈ Ai(j), y i(1) 6= i(2) 6= ... 6= i(n).

Independencia Libre

Ejemplo

Sea G un grupo discreto con identidad 1G y sea A = CG .Los siguientes son equivalentes:1) g1 y g2 son libres algebraicamente. (sin relaciones entre ellos).2 ) Las algebras 〈g1〉 y 〈g2〉 son libres (con respecto a φ)

Teorema de Lımite Central Libre

Teorema (Voiculescu 85)

Sea (A, φ) un espacio de probabilidad no-conmutativo yseaXn∞n=1 una sucesion de variables aleatorias autoadjuntas i. d.con media 0 y varianza 1, independientes en el sentido libre.Entonces

lımN→∞

((X1 + . . .+ XN√

), si n = 2k,

0, si n = 2k + 1

Es decir, tenemos la convergencia

X1 + . . .+ XN√N

→ S .

Enfoque de Teora de Operadores

Sea H un espacion de Hilbert (1) El espacio de Fock sobe se definecomo

F(H) := ⊕∞n=0H⊗n

donde H⊗0 es un espacio de Hilbert de dimension 1 llamada elvector vacıo CΩ .(2) The vector esatdo τH en BF(H) esta dado por

τH :=< T Ω,Ω >, T ∈ BF(H)

see lllama el estado vacıotation state. (3) For cada ε ∈ H eloperador l(ε) en B(F (H)) dado por la formula

l(ε)Ω = ε

l(ε)ε1 ⊗ · · · ⊗ εn = ε⊗ ε1 ⊗ · · · ⊗ εnse llama el operador de ceacion. Su adjunto l∗ se llama el operadorde aniquilacion.

Espacio de Fock

Sea H un espacio de Hilbert y (B(F(H)), τH) el espacio deprobabilidad no conmutativo. Sea H1, ..,Hk una familia desubespacios de H tales que para i 6= j Hi es ortogonal con Hj . SeaAi la subalgebra de B(F (H)) generada por l(ε)|εinHi . Entonces,las subalgebras A1, ...,Ak son libres en (B(F (H)), τH).

Enfoque combinatorio

Cumulantes Libres

Definicion (Speicher)

Sea (A, φ) un espacio de probabilidad no-conmutativo. Loscumulantes (kπ)π∈NC(n) son, para cada n ∈ N, π ∈ NC (n),funcionales multilineales kn : An → C tales que

φ(a1, ..., an) =∑

π∈NC(n)

kπ[a1, ..., an].

Particiones que no se cruzan

Definicion

1 Una particion de un conjunto finito, totalmente ordenado S esuna descomposicion π = V1, ...,Vr de S en conjuntos novacıos Vi , (1 ≤ i ≤ r), llamados bloques, tales queV1 ∪ V2... ∪ Vr = S y Vi ∩ Vj = ∅. El numero de bloques π dedenota por |π|.

2 Una particion π = V1, ...,Vr se dice que no se cruza si paracada a < b < c < d ∈ S tales que a, c ∈ Vi y b, d ∈ Vj ,entonces Vj = Vi . Denotamos por NC (n) el conjunto de lasparticiones que no se cruzan de [n] := 1, 2, .., n.

Particiones que no se cruzan

Particion que NO se cruza y particion que se cruza.

Cumulantes Libres

Definicion (Speicher)

Sea (A, φ) un espacio de probabilidad no-conmutativo. Loscumulantes (kπ)π∈NC(n) son, para cada n ∈ N, π ∈ NC (n),funcionales multilineales tales que

φ(a1, ..., an) =∑

π∈NC(n)

kπ[a1, ..., an].

Cumulantes Libres

Si mn = φ(an) y kn = kn(a, ..., a) tenemos

m1 = k1

m2 = k2 + k21

m3 = k3 + 3k2k1 + k31

m4 = k4 + 4k3k1 + 2k22 + 6k2k2

1 + k41

m5 = k5 + 5k4k1 + 5k2k3 + 10k3k21 + 10k2

2k1 + 10k2k3 + k51 .

Cumulantes Libres

m4 = k4 + 4k3k1 + 2k22 + 6k2k2

1 + k41

Cumulantes Libres Mixtos

Teorema (Speicher)

Sea (A, φ) un espacio de probabilidad no conmutativo y sean(kn)n∈N sus cumulantes libres. Consideremos una familia desubalgebras (Ai )i∈I de A. Los siguientes son equivalentes

1 (Ai )i∈I son libres.

2 Para cualesquiera elementos aj ∈ Ai(j), (j = 1, ..., n) coni(1), ..., i(n) ∈ I tenemos que

kn(a1, ..., an) = 0

siempre que existen l , k con i(l) 6= i(k).

Convolucion aditiva libre

Definicion

Sean µ, ν medidas de probabilidad sobre R, y a, b variablesaleatorias libres tales que µa = µ y µb = ν.La convolucion aditiva libre de µ y ν es la distribucion de a + b yse denota por µ ν.

Cumulantes libres:

kn(µ1 µ2) = kn(µ1) + kn(µ2)

kn(a1 + a2 + · · ·+ an) = kn(a1) + · · ·+ kn(an)

Convolucion multiplicativa libre

Definicion

Sean µ, ν medidas de probabilidad sobre R+, y a, b variablesaleatorias libres tales que µa = µ y µb = ν.La convolucion multiplicativa libre de µ y ν es la distribucion dea1/2ba1/2 y se denota por µ ν.

Observacion

a1/2ba1/2 tiene los mismos momentos que ab, i.e.

φ((a1/2ba1/2)n) = φ((ab)n)

Cumulantes Libres:

kn(µ1 µ2) =∑

π∈NC(n)

kπ(µ1)kK(π)(µ2)

donde K (π) es el complemento de Kreweras.

k1(µ1 µ2) = k1(µ1)k1(µ2)

k2(µ1 µ2) = k2(µ1)k21 (µ2) + k2

1 (µ1)k2(µ2)

k3(µ1 µ2) = k3(µ1)k31 (µ2) + k3(µ1)k3

1 (µ2)

+3k2(µ1)k1(µ1)k2(µ2)k1(µ2)

Problema:

kn(µ1 · · · µk) = kn(a1a2a3 · · · ak) =?

Consideremos la ecuacion

kn(ab) =∑

π∈NC(n)

kπ(a)kK(π)(b)

Observacion fundamental: Si dibujamos a π y a Kr(π) juntas, laparticion π ∪ Kr(π) ∈ NC (2n) es exactamente el complemento deKreweras de un particion con bloques de tamano 2.

kn(ab) =∑

π∈NC(n)

kπ(a)kK(π)(b)

kn(ab) =∑

π∈NC(n)

kπ(a)kK(π)(b)

kn(ab) =∑

π∈NC2(2n)

kK(π)(a, b · · · , a, b)

Particiones k-divisibles y k-iguales

Definicion

1)Una particion π es k-divisible si el tamano de todos sus bloqueses un multiplo de k.2) Si todos los bloques son de tamano k,decimos que π es k-igual.3)Denotamos a las particiones k-divisibles que no se cruzan de knelementos por NC k(n) y al conjunto de particiones k-iguales queno se cruzan de kn elementos por NCk(n).

Una particion 3-igual y una particion 2-divisible de [12]

Cumulantes de Productos

Teorema (Vargas-A. (2012))

Sean a1, . . . , ak ∈ (A, φ) variables aleatorias libres. Entonces lomomentos y cumulantes libres de a := a1 . . . ak estan dados por

κn(a) =∑

π∈NCk (n)

κKr(π)(a1, . . . , ak)

φ(an) =∑

π∈NC k (n)

κKr(π)(a1, . . . , ak)

Una particion 3-igual y su complemento de Kreweras dividido mod 3.

Estimaciones de la norma de productos

Teorema (Kargin (2007, 2008), Vargas-A. (2012))

Sean σ, L > 0 dados. Existen constantes universales C , c > 0 talesque para todo k y cualesquiera µ1, . . . , µk medidad de probabilidadcon soporte sobre [0, L], E (µi ) = 1 y Var(µi ) > σ2, parai = 1, . . . , k, el supremo Lk del soporte de la medidaµ = µ1 · · · µk satisface

ck < Lk < Ck.

Comportamiento asıntotico

En otras palabras, para variables aleatorias libres Xi tales que||X || < L ,E (Xi ) = 1, y Var(Xi ) > σ2, (no necesariamenteidenticamente distribuidas) tenemos un crecimiento de orden lineal

lım sup n−1||X1 · · · Xn|| < C

ylım ınf n−1||X1 · · · Xn|| > c > 0,

donde, para X ,Y v. aleatorias positivas, escribimosX Y := X 1/2YX 1/2.

Divisibilidad Infinita

Definicion

Decimos que una medida µ es infinitamente divisible con respectoa si para toda n ∈ N existe µn tal que

µ = µn · · · µn︸︷︷︸n times

Divisibilidad Infinita y Cumulantes

Teorema

Sea µun medida de probabildiad en R determinada por momentose − infinitamente divisible. Entonces la sucesion de cumulantescon respecto a es condicionalmente positiva definida.

Probabilidad Libre y Analisis Armonico

Sea Gµ : C+ → C− la transformada de Cauchy de µ ∈M:

Gµ(z) =

µ(dx)

z − x.

Transformada de Cauchy recıproca: Fµ(z) := 1Gµ(z)

Transformada de Voiculescu: φµ (z) = F−1µ (z)− z ,Para µ1 and µ2 dos medidas de probabilidad en R tenemos

φµ1µ2(z) = φµ1(z) + φµ2(z)

Los cumulantes libre son los coeficientes κn = κn(µ) en laexpansion

φµ(z) =∞∑n=1

κnz1−n.

Gµ(z) =

µ(dx)

z − x.

φµ1µ2(z) = φµ1(z) + φµ2(z)

φµ(z) =∞∑n=1

κnz1−n.

Gµ(z) =

µ(dx)

z − x.

Transformada de Voiculescu: φµ (z) = F−1µ (z)− z ,

Para µ1 and µ2 dos medidas de probabilidad en R tenemos

φµ1µ2(z) = φµ1(z) + φµ2(z)

φµ(z) =∞∑n=1

κnz1−n.

Gµ(z) =

µ(dx)

z − x.

φµ1µ2(z) = φµ1(z) + φµ2(z)

φµ(z) =∞∑n=1

κnz1−n.

Gµ(z) =

µ(dx)

z − x.

φµ1µ2(z) = φµ1(z) + φµ2(z)

φµ(z) =∞∑n=1

κnz1−n.

Divisibilidad Infinita

Definicion

Decimos que una medida µ es infinitamente divisible con respectoa si para toda n ∈ N existe µn tal que

µ = µn · · · µn︸︷︷︸n times

Bercovici and Voiculescu probaron que la transformada deVoiculuescu tiene la siquiente representacion de Levy-Kintchine

φµ(z) = γ +

1 + tz

z − tσ(dt), z ∈ C+. (2)

Definicion

Una medida de probabilidad µ se dice que esta en la clase IU siF−1µ , definida en un dominio Γα,β, tiene una continuacion anal’iticaque es univalente in C+.

La importancia de este lema es la siguiente

Teorema

(AH) Si µ ∈ IU entonces µ est infininitamente divisible en elsentido libre.

Medidas en ID(∗) ∩ ID() :

1 The Cauchy distribution

c(dx) =1

π(1 + x2)1R(x) dx ,

2 (AHS) The chi-square distribution 1√πx

e−x1[0,∞)(x) dx .

3 (AH) The positive Boolean stable law with stability indexα ∈ (0, 12 ]

dbαdx

=1π sin(απ)xα−1

x2α + 2cos(απ)xα + 1, x > 0

Measures which are in ID(∗) ∩ ID() :

1 (HB) For 0 < t ≤ 12 , the symmetric Meixner distributions

ρt(dx) :=4t

2πΓ(2t)|Γ(t + ix)|2 dx , x ∈ R

2 (HB) The logistic distribution

µ2(dx) =π

2 cosh2(πx)dx , x ∈ R.

3 (H) For p > 3/2, the gamma distribution γp4 (H) The Student distribution tn, n=1,2,3...

5 (AHS,H) For n = 1, 2, 3, · · · , the F -distribution with density

f (x) :=1

B(1/2, n/2)

(nx)1/2

)−(1+n)/2, x > 0.

Una pregunta aun abierta es dar una caracterizacion general de lainterseccion entre medidas infinitamente divisibles cl’asicas y libres.

Teorema

(A. Hasebe) Sea Bα,ρ una variable aleatoria que sigue una leyestable bα,ρ, y sea X cualquier variable alaeatoria positivaindependiente de Bα,ρ. Si α ∈ (0, 1/2] o si α ≤ 2/3, ρ = 1/2,entoncas la variable aleatoria XBα,ρ pertenece a las clases id() yid(∗).

Probabilidad Libre y Matrices Aleatorias

Independencia Asintotica Libre

Ejemplo (Voiculescu 1991)

Matrices Aleatorias.

1 Sean Ad y Bd matrices deterministicas y Ud un Haar Unitario.Entonces Ad y UdBdU∗d son asıntoticamente libres.

2 Sean G1 y G2 matrices hermitianas con entradasGaussianas.Entonces G1 y G2 son asintoticamente libres.

Recordatorio: Por un Haar Unitario nos referimos a escoger con lamedida de Haar un elemento en el grupo compacto

Ud = Ud : Ud unitario

Independencia Asintotica Libre

Ejemplo (Voiculescu 1991)

Matrices Aleatorias.

1 Sean Ad y Bd matrices deterministicas y Ud un Haar Unitario.Entonces Ad y UdBdU∗d son asıntoticamente libres.

2 Sean G1 y G2 matrices hermitianas con entradasGaussianas.Entonces G1 y G2 son asintoticamente libres.

Recordatorio: Por un Haar Unitario nos referimos a escoger con lamedida de Haar un elemento en el grupo compacto

Ud = Ud : Ud unitario

Free Multiplication 1

W 21 W 2

Free Multiplication2

W1W 22

(W 21 − I )W 2

Free Commutator

W1W2 −W2W1

Free Addition of Bernoullis

UB1U∗ + B2

(UB1U∗ + B2)W 2

Free Projection

(UB1U∗ + B2)P

Matrices con Bloques Modificados (con C. Vargas y I.Nechita

Sea W una matriz dn × dn autoadjunta

y ϕ :Mn(C)→Mn(C)una transformacion lineal autoadjuntaConsideramos la matrix

W ϕ := (idd ⊗ ϕ)(W ).

Quermos entender la distribucion espectal de W ϕ.W Wishart y ϕ(A) = At (Aubrun 2012).W Wishart y ϕ ”planar”W ϕ → Poisson compuesta libre (Banica,Nechita 2012).

Sea W una matriz dn × dn autoadjunta y ϕ :Mn(C)→Mn(C)una transformacion lineal autoadjunta

Consideramos la matrix

W ϕ := (idd ⊗ ϕ)(W ).

Sea W una matriz dn × dn autoadjunta y ϕ :Mn(C)→Mn(C)una transformacion lineal autoadjuntaConsideramos la matrix

W ϕ := (idd ⊗ ϕ)(W ).

Quermos entender la distribucion espectal de W ϕ.

W Wishart y ϕ(A) = At (Aubrun 2012).W Wishart y ϕ ”planar”W ϕ → Poisson compuesta libre (Banica,Nechita 2012).

W ϕ := (idd ⊗ ϕ)(W ).

Quermos entender la distribucion espectal de W ϕ.W Wishart y ϕ(A) = At (Aubrun 2012).

W Wishart y ϕ ”planar”W ϕ → Poisson compuesta libre (Banica,Nechita 2012).

W ϕ := (idd ⊗ ϕ)(W ).

Quermos entender la distribucion espectal de W ϕ.W Wishart y ϕ(A) = At (Aubrun 2012).W Wishart y ϕ ”planar”

W ϕ → Poisson compuesta libre (Banica,Nechita 2012).

W ϕ := (idd ⊗ ϕ)(W ).

Probabilidad Libre Valuada en Operadores

Definicion

An espacio de probabilidad no-conmutativo valuado enoperadores es una terna (M,E,B), donde M es un algebra,

B ⊆M es una subalgebra con la unidad de M, y E : M→ B esuna esperanza condicional.

1 E(bab′) = bE(a)b′

2 E(b) = b

3 E es completamente positivo.

Definicion

An espacio de probabilidad no-conmutativo valuado enoperadores es una terna (M,E,B), donde M es un algebra,B ⊆M es una subalgebra con la unidad de M, y E : M→ B esuna esperanza condicional.

2 E(b) = b

Definicion

An espacio de probabilidad no-conmutativo valuado enoperadores es una terna (M,E,B), donde M es un algebra,B ⊆M es una subalgebra con la unidad de M, y E : M→ B esuna esperanza condicional.

2 E(b) = b

Ejemplos

Si (A, τ) es un espacio de probabilidad no-conmutativo (escalar),podemos considerar (M,E,B) , donde M = M2(C)⊗A

,B = M2(C) y

E :M → M2(C)(a1 a2a3 a4

(τ(a1) τ(a2)τ(a3) τ(a4)

o la matrices diagonales B = D2(C)

E :M → D2(C)(a1 a2a3 a4

(τ(a1) 0

0 τ(a4)

Ejemplos

Si (A, τ) es un espacio de probabilidad no-conmutativo (escalar),podemos considerar (M,E,B) , donde M = M2(C)⊗A,B = M2(C) y

E :M → M2(C)

(a1 a2a3 a4

(τ(a1) τ(a2)τ(a3) τ(a4)

E :M → D2(C)(a1 a2a3 a4

(τ(a1) 0

0 τ(a4)

Ejemplos

E :M → M2(C)(a1 a2a3 a4

(τ(a1) τ(a2)τ(a3) τ(a4)

E :M → D2(C)(a1 a2a3 a4

(τ(a1) 0

0 τ(a4)

Ejemplos

E :M → M2(C)(a1 a2a3 a4

(τ(a1) τ(a2)τ(a3) τ(a4)

E :M → D2(C)

(a1 a2a3 a4

(τ(a1) 0

0 τ(a4)

Ejemplos

E :M → M2(C)(a1 a2a3 a4

(τ(a1) τ(a2)τ(a3) τ(a4)

E :M → D2(C)(a1 a2a3 a4

(τ(a1) 0

0 τ(a4)

Transformada de Cauchy valuada en operadores

En el caso de de distribuciones valuadas en operatores latranformada de Cauchy-Stieltjes esta dada de la siguiente forma:

Para un xx fijo x ∈M, definimos Gx(b) = E[(b − x)−1

todo b ∈ B de tal forma que b − x sea invertible en M.

Si tambien tenemos una estructura escalar (M,E,B), tal queτ E = τ , entonces

τ((z1B − x)−1) = τ(E((z1B − x)−1))

Transformada de Cauchy valuada en operadores

En el caso de de distribuciones valuadas en operatores latranformada de Cauchy-Stieltjes esta dada de la siguiente forma:

Para un xx fijo x ∈M, definimos Gx(b) = E[(b − x)−1

todo b ∈ B de tal forma que b − x sea invertible en M.Si tambien tenemos una estructura escalar (M,E,B), tal queτ E = τ , entonces

τ((z1B − x)−1) = τ(E((z1B − x)−1))

La ventaja del ultimo enfoque es que el problema se reduce acalcular las Transformadas de Cauchy valuadas en (Mm(C): Gf ∗f yGw .

Gf ∗f is facil :

Gf ∗f (b) = E((f ∗f − b)−1) = trn ⊗ idm((f ∗f − In ⊗ b)−1)

En muchos casos w tiene una formula algebraica , y podemoscalcular su tranformada de Cauchy esencialmente de la mismaforma que la transformada de Cauchy escalar de w

La ventaja del ultimo enfoque es que el problema se reduce acalcular las Transformadas de Cauchy valuadas en (Mm(C): Gf ∗f yGw .Gf ∗f is facil :

Figura: Block-modified Wigner matrix

Figura: Block-modified Wishart matrix

Figura: Block-modification of a rotated arcsine matrix

ε de Graficas.

Teorema

Sea G = (V ,E , e) una grafica localmente finita y sea k ∈ N. ParaN ≥ 1 y k ≥ 1 y sea G [∗N,k] la grafica k-distantedeG ∗N = G ∗ · · · ∗ G (N-potencia del producto libre de gr) y A[∗N,k]

su matriz de adyacencia. Denotando por σ el numero de vecinos dee en la grafica G . Entonces la distribucion con respecto al estadovacıo de (Nσ)−k/2A[∗N,k] converge cuando N →∞ a ladistribucion de

Pk(s), (3)

donde Pk(s) es el Chebychev polynomial de grado k y s es unavariable aleatoria con distribuci’on semicircular

Figura: Graph of A2 split in two partsA2 = A(2)d + dI

Gracias

M. Anshelevich, S. T. Belinschi, M. Bozejko and Lehner F.,Free infinite divisibility for q-Gaussians. Math. Res. Lett. 17(2010), no. 05, 905–916

M. Ansehelevich and J. D. Williams. Limit theorems formonotonic convolution and the Chernoff product formula. Toappear in International Mathematics Research Notices.

O. Arizmendi, Convergence of the fourth moment andinfinitely divisibility. To appear in Probability andMathematical Statistics

O. Arizmendi and T. Hasebe. On Boolean Stable laws. Toappear in Proc. Amer. Math. Soc.

O. Arizmendi, T. Hasebe and N. Sakuma, On the Law of freeSubodinators ALEA, Lat. Am. J. Probab. Math. Stat. 10 (2),271-291 (2013)

O. Arizmendi and V. Perez-Abreu, On the non-classical infinitedivisibility of power semicircle distributions Communications

on Stochastic Analysis 4, 161-178. (2010). In honor ofGopinath Kallianpur.

O. Arizmendi and C. Vargas, Products of free randomvariables and k-divisible non-crossing partitions Elect. Comm.in Probab. 17 (2012)

O. Arizmendi and C. Vargas, Supeconvergence innon-commutative Central Limit Theorems: CombinatorialApproach preprint (2013)

O. Barndorff-Nielsen and S. Thorbjonsen, Classical and freeinfinite divisibility and Levy processes. Quantum independentincrement processes. II, 33-159, Lecture Notes in Math., 1866,Springer, Berlin, 2006.

S. Belinschi, Complex analysis methods in noncommutativeprobability, available in arXiv:math/0602343v1.

S.T. Belinschi, M. Bozejko, F. Lehner and R. Speicher, Thenormal distribution is -infinitely divisible, Adv. Math. 226,No. 4 (2011), 3677-3698.

H. Bercovici and V. Pata, Stable laws and domains ofattraction in free probability theory (with an appendix byPhilippe Biane), Ann. of Math. (2) 149, No. 3 (1999),1023–1060.

H. Bercovici and D. Voiculescu, Free convolution of measureswith unbounded supports, Indiana Univ. Math. J. 42 (1993),733-773.

H. Bercovici and D. Voiculescu, Superconvergence to thecentral limit and failure of the Cramer theorem for freevariables.Probab. Theory Relat. Fields 102 (1995), 215–222.

Ph. Biane. Processes with free increments. Math. Z.,227,(1998), 143–174..

M. Bozejko and T. Hasebe, On free infinite divisibility forclassical Meixner distributions. arXiv:1302.4885

Bercovici, H. and D. Voiculescu (1995). Superconvergence tothe central limit and failure of the Cramer theorem for freerandom variables. Probab. Theory Relat. Fields 102, 215222.

V. Kargin. The norm of products of free random variables,Probab. Theory Relat. Fields 139, (2007) 397–413.

T. Hasebe, Free infinite divisibility for beta distributions andrelated distributions. arXiv:1305.0924

V. Kargin. On asymptotic growth of the support of freemultiplicative convolutions Elect. Comm. in Probab. 13(2008), 415–421

A. Nica and R. Speicher, Lectures on the Combinatorics ofFree Probability, London Mathematical Society Lecture NotesSeries 335, Cambridge University Press, Cambridge, 2006.

T. Kemp, I. Nourdin, G. Peccati and R. Speicher (2012):Wigner chaos and the fourth moment, Ann. Probab. 40, no. 4,1577-1635.

R. Speicher. Multiplicative functions on the lattice ofnoncrossing partitions and free convolution, MathematischeAnnalen 298, 611–628 (1994).

D. Nualart and G. Peccati (2005). Central limit theorems forsequences of multiple stochastic integrals. Ann. Probab. 33(1), 177-193.

R. Speicher and R. Woroudi, Boolean convolution, in FreeProbability Theory, Ed. D. Voiculescu, Fields Inst. Commun.12 (Amer. Math. Soc., 1997), 267–280.

D. Voiculescu, Addition of certain non-commutative randomvariables, J. Funct. Anal. 66 (1986), 323–346.

D. Voiculescu, Multiplication of certain non-commutingrandom variables, J. Operator Theory 18 (1987), 223-235.

D. Voiculescu, K. Dykema and A. Nica, Free RandomVariables, CRM Monograph Series 1, Amer. Math. Soc.,Providence, 1992.

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