4 ecuaciones con valor absoluto

Prof. Lic. Javier Velásquez Espinoza

CONCEPTO DE VALOR ABSOLUTO

La idea de valor absoluto está directamente relacionada con el de distancia en la recta numérica.

La distancia de un número al origen se representa por medio de un número positivo.

La distancia de los números 5 y -5 al origen (0) es la misma y vale 5.

Finalmente la distancia de 5 y -5 al origen se representa por medio de una expresión llamada valor absoluto de estos, que se denota así:

|-5| = |5| = 5

Definición: El valor absoluto de un número real “x” se denota por x y se define como:

0

0

xsix

xsixx

Esto quiere decir que los números x y –x están a la misma distancia del origen.

0x

Entonces |x| representa la distancia de cualquiera de los números x y –x al origen.

Ejemplos: 66 66 33 00 55

¿Existirá algún valor de x que cumpla la siguiente igualdad: x= 7?

¿Qué valores puede tomar x si: x = 7

¿Qué valores puede tomar x si: x 5 = 9

Rpta: 7 ó 7

Rpta: 14 ó 4

Rpta: NO porque el valor absoluto de cualquier número real siempre es no negativo.

Responde

Esto también puede denotarse así: x = ± 7

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO

1. a ≥ 0; a R

2. a = a ; a R

3. Si: x = a | a 0 x = a ó x = a

4. = x ; x R

5. a.b = a . b

6. b

a

ba

7. x = y ; si y sólo si: x = y ó x = y

2x

Ejemplo N°1 Resolver 115x2

Resolución:

115x2 2x + 5 = 11 ó 2x + 5 = 11

2x = 6 ó 2x = 16

x = 3 ó x = 8

C.S: = { 8; 3}

Ejemplo N°2 Resolver 45x 2

Resolución:

45x 2 x2 5 = 4 ó x2 5 = 4

x2 = 9 ó x2 = 1

| x | = 3 ó | x | = 1

x = 3 ó x = 1

C.S, = { 3; 1; 1; 3 }

Extrayendo raíz cuadrada ambos miembros:

Ejemplo N°3 Resolver 10x72x

Resolución:

10x72x x + 2 = 7x – 10 ó x + 2 = – (7x – 10)

6x = 12 ó 8x = 8

x = 2 ó x = 1

C.S = { 2 }

Deben verificarse los valores calculados en la ecuación original

x = 2 : |2 + 2| = 7(2) – 10 4 = 4

( sí cumple)

x = 1 : |1 + 2| = 7(1) – 10

3 = 3( no cumple)