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Programación Lineal José Luis Quintero 1
21 de Septiembre de 2017
Ingeniería Industrial – Ingeniería InformáticaFacultad de Ingeniería
Universidad Católica Andrés Bello
FORMULACIÓN DE MODELOS DE
PROGRAMACIÓN LINEAL(Parte 1)
Programación Lineal José Luis Quintero 2
Puntos a tratar
1. Formulación de modelos de PL
2. Ejemplo práctico 1 (Cervezas)
3. Ejemplo práctico 2 (Transporte)
4. Ejemplo práctico 3 (Dieta)
5. Ejemplo práctico 4 (Producción)
6. Ejemplo práctico 5 (Finanzas)
7. Ejemplo práctico 6 (Combustible)
Programación Lineal José Luis Quintero
Formular un modelo de PM de un problemareal, significa escribir un conjunto deexpresiones matemáticas que describan elfenómeno estudiado. Ahora se desarrollanalgunos ejemplos de formulación, usando elenfoque directo, que permite formularmodelos de PL definiendo las variables dedecisión y construyendo directamente lasexpresiones del objetivo y de las restricciones.
Formulación de modelos de PL
Programación Lineal José Luis Quintero
� Para escribir las expresiones matemáticas queformalmente definen el problema, se sugiere quepreviamente se tome un tiempo para entender elproblema, para ello, el analista puede entretenerse:
� Formulando un boceto en castellano del problema deoptimización.
� Tabulando la data numérica del problema, de resultarello práctico.
� Para proceder luego a la:
� Definición de las variables de decisión
� Formulación de la función objetivo
� Formulación de las restricciones
Formulación de modelos de PL
Programación Lineal José Luis Quintero
� Definición de las variables de decisión:
� Utilizando una simbología matemática adecuada, identifiquecada variable y acompañe cada una con una frase encastellano que la describa. Utilice identificadoresnemotécnicos si es posible.
� Recuerde que una variable de decisión representa el nivel quealcanza una cierta actividad que la unidad de decisión puedeo no emprender. Un buen enfoque para saber cuáles son lasvariables de decisión consiste en colocarse en los zapatos dela unidad de decisión y preguntarse qué actividades puederealizar para mejorar el objetivo planteado.
� Asegúrese que las variables sean continuas para que secumpla la divisibilidad, de no ser así, la PL puede no ser laherramienta adecuada. Si no lo fueren, tenga conciencia deello para interpretar los resultados.
Formulación de modelos de PL
Programación Lineal José Luis Quintero
� Formulación de la función objetivo:
� Exprese la función objetivo como una relación lineal de lasvariables de decisión, trate de conservar la frase encastellano que la describe.
� Asegúrese del cumplimiento de la aditividad y de laproporcionalidad en las expresiones obtenidas.
� Formulación de las restricciones:
� Exprese las restricciones como relaciones lineales de lasvariables de decisión.
� Trate de conservar las frases que describen cada restricción.
� Asegúrese del cumplimiento de la aditividad y de laproporcionalidad. No olvide las restricciones de signo de lasvariables que puedan existir.
Formulación de modelos de PL
Programación Lineal José Luis Quintero
� Algunos consejos adicionales:
� Paralelamente al planteamiento de las expresiones de lafunción objetivo y de las restricciones, haga una revisióndimensional para verificar la consistencia en lasunidades involucradas.
� La consistencia no indica que el problema esté bienformulado, pero la inconsistencia dimensional revela unamala formulación de la expresión correspondiente.
� Recuerde que uno de los propósitos de los modelos es lacomunicación, por lo que debe ser claro y explícito alformular un problema, para que otra persona puedaentender lo que Usted quiere transmitir. Documente sumodelo para ese fin.
Formulación de modelos de PL
Programación Lineal José Luis Quintero 8
Puntos a tratar
1. Formulación de modelos de PL
2. Ejemplo práctico 1 (Cervezas)
3. Ejemplo práctico 2 (Transporte)
4. Ejemplo práctico 3 (Dieta)
5. Ejemplo práctico 4 (Producción)
6. Ejemplo práctico 5 (Finanzas)
7. Ejemplo práctico 6 (Combustible)
Programación Lineal José Luis Quintero
Una compañía produce dos tipos de cerveza,
rubia y negra. La ganancia por litro de cerveza
rubia es de 2 Bs. y por litro de cerveza negra
es de 1 Bs. Se dispone de 80 unidades de
malta, 60 unidades de cebada y 55 unidades
de levadura. Se considera ilimitada la
cantidad de agua y demás ingredientes
involucrados.
Ejemplo 1
Programación Lineal José Luis Quintero
Para producir un litro de cerveza rubia se
requieren 2 unidades de malta, 3 unidades de
cebada y 2 unidades de levadura. Para
producir un litro de cerveza negra se requieren
8/3 de unidades de malta, 1 unidad de
cebada y 5/3 de unidades de levadura.
Formule el modelo que permita calcular
cuanta cerveza de cada tipo se debe producir
a fin de que la ganancia sea máxima.
Ejemplo 1
Programación Lineal José Luis Quintero
� Formulamos un boceto en castellano, similar a:
maximizar la ganancia sujeto a:
consumo de malta ≤≤≤≤ disponibilidad de maltaconsumo de cebada ≤≤≤≤ disponibilidad de cebadaconsumo de levadura ≤≤≤≤ disponibilidad de levaduracantidad de cerveza rubia a producir ≥≥≥≥ 0cantidad de cerveza negra a producir ≥≥≥≥ 0
� Resumimos la data del problema :
RequerimientosMalta Cebada Levadura Ganancia
Rubia 2 3 2 2Negra 8/3 1 5/3 1
Disponible 80 60 55
Ejemplo 1
Programación Lineal José Luis Quintero
� Definición de las variables de decisión:
� El problema de la unidad de decisión es saber cuántacerveza de cada tipo debe producir para maximizar suganancia, luego las variables de decisión son:
x1: Litros de cerveza rubia a producir
x2: Litros de cerveza negra a producir
� Formulación de la función objetivo:
� El objetivo perseguido es maximizar la ganancia, por tantodebemos encontrar la expresión de la ganancia, quellamamos z, en función de las variables de decisióndefinidas. Se tiene que z = 2x1+ x2 , expresión en la cualsimplemente se multiplican los litros de cerveza de cadatipo a producir por la ganancia unitaria, lo cual arroja unaganancia expresada en Bs.
Ejemplo 1
Programación Lineal José Luis Quintero
� Formulación de las restricciones:
� Restricción impuesta por la malta:
Tenemos la relación:
consumo de malta ≤≤≤≤ disponibilidad de maltaluego la expresión del consumo de malta en función de lasvariables de decisión es:
y completamos con la limitación del recurso:
donde se multiplican los litros de cerveza de cada tipo aproducir, por la malta consumida al producir un litro decada tipo. Ello arroja el total de malta consumida que debemantenerse por debajo de la disponibilidad.
21 x38
x2 ++++
80x38
x2 21 ≤≤≤≤++++
Ejemplo 1
Programación Lineal José Luis Quintero
� Restricción impuesta por la cebada:
Tenemos que:
consumo de cebada ≤≤≤≤ disponibilidad de cebaday la expresión correspondiente es:
3x1+ x2 ≤≤≤≤ 60donde se multiplican los litros de cerveza de cada tipo aproducir, por la cebada consumida al producir cadalitro, lo que arroja el total de cebada consumida quedebe mantenerse por debajo de la disponibilidad.
Ejemplo 1
Programación Lineal José Luis Quintero
� Restricciones impuestas por la levadura:
Se tiene la relación:
consumo de levadura ≤≤≤≤ disponibilidad de levaduraque corresponde a la restricción:
donde hemos calculado la levadura consumida en la producción total que no debe superar la disponibilidad. Note que hay consistencia de unidades.
� Restricciones de signo:
No debemos olvidar que:
cantidad de cerveza producida ≥≥≥≥ 0lo cual se traduce en las restricciones: x1 ≥≥≥≥ 0 y x2 ≥≥≥≥ 0
55x35
x2 21 ≤≤≤≤++++
Ejemplo 1
Programación Lineal José Luis Quintero
� Finalmente el modelo queda:
donde x1: Litros de cerveza rubia a producir
x2: Litros de cerveza negra a producir
21 xx2z max ++++==== (Ganancia)
80x38
x2 21 ≤≤≤≤++++ (Malta)
60xx3 21 ≤≤≤≤++++ (Cebada)
55x35
x2 21 ≤≤≤≤++++ (Levadura)
0x1 ≥≥≥≥ (No negatividad)
0x2 ≥≥≥≥ (No negatividad)
s.a.:
Ejemplo 1
Programación Lineal José Luis Quintero 17
Puntos a tratar
1. Formulación de modelos de PL
2. Ejemplo práctico 1 (Cervezas)
3. Ejemplo práctico 2 (Transporte)
4. Ejemplo práctico 3 (Dieta)
5. Ejemplo práctico 4 (Producción)
6. Ejemplo práctico 5 (Finanzas)
7. Ejemplo práctico 6 (Combustible)
Programación Lineal José Luis Quintero
Una empresa agrícola dispone de dos almacenes paraabastecer de granos a tres distribuidores regionales. El almacén 1dispone de 1000 ton. de grano y el almacén 2 dispone de 2000ton. por período. La demanda en los tres distribuidores se estimaen 1500, 750 y 750 toneladas por período, respectivamente. Elcosto de transporte por tonelada de grano es:
Formule el modelo que permita calcular las toneladas de granosa transportar en un período para satisfacer la demanda y lograrun costo mínimo de transporte.
Distribuidor 1 Distribuidor 2 Distribuidor 3
50 100 60
30 20 35
Almacén 1
Almacén 2
Ejemplo 2
Programación Lineal José Luis Quintero
� Formulamos un boceto del modelo en castellano:
minimizar el costo de transporte
sujeto a:
salida del almacén i = oferta del almacén i
recibido por el distribuidor j = demanda del distribuidor j
salida del almacén i recibida por el distribuidor j ≥≥≥≥ 0
� La siguiente tabla resume la data:
C os tos de T ranspo rte D is tr ibu ido r 1 D is tr ibu ido r 2 D is tr ibu ido r 3 O fe r t a
A lm acén 1 50 100 60 1000 A lm acén 2 30 20 35 2000 D em anda 1500 750 750
Ejemplo 2
Programación Lineal José Luis Quintero
� Definición de las variables de decisión:
� El problema de la unidad de decisión es saber cuánto granova a transportar de cada almacén a cada distribuidor, demanera de satisfacer la demanda y de que el costo detransporte sea mínimo. Una hojeada a la data permiteverificar que satisfacer la demanda es factible. Las variablesde decisión pertinentes son seis:
xij :Ton. De grano que van del almacén i al distribuidor j
(i=1, 2 y j=1, 2 , 3)
es decir:
x11 :Ton. de grano del almacén 1 al distribuidor 1
x12 :Ton. de grano del almacén 1 al distribuidor 2
x13 :Ton. de grano del almacén 1 al distribuidor 3
x21 :Ton. de grano del almacén 2 al distribuidor 1
x22 :Ton. de grano del almacén 2 al distribuidor 2
x23 :Ton. de grano del almacén 2 al distribuidor 3
Ejemplo 2
Programación Lineal José Luis Quintero
� Formulación de la función objetivo:
� El objetivo perseguido es:
Minimizar el costo de transporte, y viene dado por:
min z = 50x11 + 100x12 + 60x13 + 30x21 + 20x22 + 35x23Cada término expresa una cantidad en Bs. Note que hay unahipótesis de proporcionalidad detrás que puede ser discutible.
� Formulación de las restricciones:
� Restricciones debidas a la oferta en cada almacén:
Se debe cumplir que:
salida del almacén i = oferta del almacén i
es decir: x11 + x12 + x13 = 1000
x21 + x22 + x23 = 2000
El envío de un almacén a un distribuidor no debe superar lodisponible. Hay consistencia dimensional.
Ejemplo 2
Programación Lineal José Luis Quintero
� Restricciones por la demanda de cada distribuidor:
Se tiene que cumplir que:
recibido por el distribuidor j=demanda del distribuidor j
por lo tanto x11 + x21 = 1500
x12 + x22 = 750
x13 + x23 = 750
las cuales determinan que la cantidad recibida por cadadistribuidor debe igualar su demanda.
� Restricciones de signo:
Obviamente:
toneladas de grano transportado ≥≥≥≥ 0lo cual se traduce en:
xij ≥≥≥≥ 0 para i = 1, 2 y j = 1, 2, 3
No se pueden enviar cantidades negativas de grano.
Ejemplo 2
Programación Lineal José Luis Quintero
� Finalmente el modelo queda:
min z = 50x11 + 100x12 + 60x13 + 30x21 + 20x22 + 35x23(Costo del transporte)
s.a.:
x11 + x12 + x13 = 1000 (Oferta del almacén 1)
x21 + x22 + x23 = 2000 (Oferta del almacén 2)
x11 + x21 = 1500 (Demanda del distribuidor 1)
x12 + x22 = 750 (Demanda del distribuidor 2)
x13 + x23 = 750 (Demanda del distribuidor 3)
xij ≥≥≥≥ 0 (para i=1, 2 y j=1, 2, 3) (No negatividad)
siendo
xij :Ton. De grano que van del almacén i al distribuidor j
(i=1, 2 y j=1, 2 , 3)
Ejemplo 2
Programación Lineal José Luis Quintero 24
Puntos a tratar
1. Formulación de modelos de PL
2. Ejemplo práctico 1 (Cervezas)
3. Ejemplo práctico 2 (Transporte)
4. Ejemplo práctico 3 (Dieta)
5. Ejemplo práctico 4 (Producción)
6. Ejemplo práctico 5 (Finanzas)
7. Ejemplo práctico 6 (Combustible)
Programación Lineal José Luis Quintero
Determine una dieta de manera eficiente, apartir de un conjunto dado de alimentos, demodo de satisfacer ciertos requerimientosnutricionales. Suponga que se tiene lasiguiente información:
Leche(galon)
Legumbre(1 porción)
Naranjas(unidad)
RequerimientosNutricionales
Niacina 3,2 4,9 0,8 13
Tianina 1,12 1,3 0,19 15
Vitamina C 32 0 93 45
Costo 2 0,2 0,25
Ejemplo 3
Programación Lineal José Luis Quintero
Variables de decisión:
x1 : galones de leche utilizados en la dieta
x2 : porciones de legumbre utilizadas en la dieta
x3 : unidades de naranja utilizadas en la dieta
Función Objetivo:
Minimizar el costo total de la dieta, dado por:
2 x1 + 0.2 x2 + 0.25 x3
Ejemplo 3
Programación Lineal José Luis Quintero
Restricciones del problema:
Requerimientos mínimos de los nutrientesconsiderados:
3.2 x1 + 4.9 x2 + 0.8 x3 ≥≥≥≥ 13
1.12 x1+ 1.3 x2 + 0.19 x3 ≥≥≥≥ 15
32 x1+ + 9 x3 ≥≥≥≥ 45
x1 ≥≥≥≥ 0 ; x2 ≥≥≥≥ 0 ; x3 ≥≥≥≥ 0
Ejemplo 3
Programación Lineal José Luis Quintero 28
Puntos a tratar
1. Formulación de modelos de PL
2. Ejemplo práctico 1 (Cervezas)
3. Ejemplo práctico 2 (Transporte)
4. Ejemplo práctico 3 (Dieta)
5. Ejemplo práctico 4 (Producción)
6. Ejemplo práctico 5 (Finanzas)
7. Ejemplo práctico 6 (Combustible)
Programación Lineal José Luis Quintero
Halle una política óptima de producción para
satisfacer demandas fluctuantes en el tiempo, de
modo de minimizar costos de producción e
inventario, considerando la disponibilidad de
diversos recursos escasos.
Suponga que una fabrica puede elaborar hasta
150 unidades en cada uno de los 4 periodos en
que se ha subdividido el horizonte de
planificación y se tiene adicionalmente la
siguiente información:
Ejemplo 4
Programación Lineal José Luis Quintero
Supuestos adicionales:
1) Existe un inventario inicial de 15 unidades.
2) No se acepta demanda pendiente o faltante
(es decir, se debe satisfacer toda la demanda
del periodo).
Periodos Demandas(unidades)
Costo Prod.(US$/unidad)
Costo de Inventario(US$/unidad)
1 130 6 2
2 80 4 1
3 125 8 2.5
4 195 9 3
Ejemplo 4
Programación Lineal José Luis Quintero
Variables de decisión:
xt : número de unidades elaboradas en elperiodo t.
It : número de unidades de inventario al final delperiodo t.
Función objetivo:
Consiste en minimizar los costos de producción yel costo de mantenimiento de inventario.
6x1+ 4x2 + 8x3 + 9x4 + 2I1 + I2 + 2.5I3 + 3I4
Ejemplo 4
Programación Lineal José Luis Quintero
Notar que en el óptimo I4 va a ser 0, así quepodría no incluirse, pero de todos modos seconsidera
Restricciones del problema:
1) Restricciones de cotas, que reflejan lacapacidad de producción.
xt ≤≤≤≤150
Ejemplo 4
Programación Lineal José Luis Quintero
2) Restricciones de no negatividad
xt ≥≥≥≥ 0
3) Restricciones de demanda
x1 + I0 – I1 = 130 Periodo 1 I0=15
x2 + I1 – I2 = 80 Periodo 2
x3 + I2 – I3 = 125 Periodo 3
x4 + I3 – I4 = 195 Periodo 4
Ejemplo 4
Programación Lineal José Luis Quintero 34
Puntos a tratar
1. Formulación de modelos de PL
2. Ejemplo práctico 1 (Cervezas)
3. Ejemplo práctico 2 (Transporte)
4. Ejemplo práctico 3 (Dieta)
5. Ejemplo práctico 4 (Producción)
6. Ejemplo práctico 5 (Finanzas)
7. Ejemplo práctico 6 (Combustible)
Programación Lineal José Luis Quintero
Suponga que un banco dispone de $250 millones
para destinar a 4 tipos de créditos ofrecidos, los
cuales tienen las siguientes, tasas de crédito:
• Primer crédito corriente :12%
• Segundo crédito corriente :16%
• Crédito para el hogar :16%
• Crédito personal :10%
Ejemplo 5
Programación Lineal José Luis Quintero
La asignación de estos créditos, debe satisfacer
la siguiente política utilizada por la institución:
El monto asignado a los PCC, debe ser al menos,
el 55% del monto asignado a los créditos
corrientes, y al menos un 25% del total del dinero
prestado.
El SCC, no puede exceder el 30% del total del
dinero prestado, por políticas tributarias el interés
recibido por el banco no debe exceder a un
retorno del 14% sobre el capital prestado.
Ejemplo 5
Programación Lineal José Luis Quintero
¿Cuánto asignar a cada tipo de crédito, de la
manera más eficiente, respetando la política del
banco?
Variables de decisión:
x1 : Monto asignado al PCC.
x2 : Monto asignado SCC.
x3 : Monto asignado al crédito para el hogar.
x4 : Monto asignado al crédito personal.
Ejemplo 5
Programación Lineal José Luis Quintero
Función Objetivo:
Se propone maximizar los retornos recibidos enla asignación, dados por:
0.12 x1 + 0.16 x2 + 0.16 x3 + 0.10 x4
Ejemplo 5
Programación Lineal José Luis Quintero
Restricciones del problema:
x1 ≥≥≥≥ 0.55 ( x1 + x2 )
x1 ≥≥≥≥ 0.25 ( x1 + x2 +x3 + x4 )
x2 ≤≤≤≤ 0.30 ( x1 + x2 +x3 + x4 )
(0.12x1+0.16x2+0.16x3+0.10x4 ) ≤≤≤≤ 0.14 ( x1+ x2 +x3 +x4 )
Adicionalmente: x1 + x2 +x3 + x4 ≤≤≤≤ 250
Ejemplo 5
Programación Lineal José Luis Quintero 40
Puntos a tratar
1. Formulación de modelos de PL
2. Ejemplo práctico 1 (Cervezas)
3. Ejemplo práctico 2 (Transporte)
4. Ejemplo práctico 3 (Dieta)
5. Ejemplo práctico 4 (Producción)
6. Ejemplo práctico 5 (Finanzas)
7. Ejemplo práctico 6 (Combustible)
Programación Lineal José Luis Quintero
Una refinería produce 4 tipos de gasolina (gas1, gas 2, gas 3 y gas 4). Dos característicasimportantes de cada gasolina son su númerode performance (NP) y su presión de vapor(RVP), que están dados por:
NP RVP Barriles diarios
gas 1 107 5 3814
gas 2 93 8 2666
gas 3 87 4 4016
gas 4 108 21 1300
Ejemplo 6
Programación Lineal José Luis Quintero
Estas gasolinas pueden ser vendidasdirectamente a un precio de $24,83 por barril obien mezcladas para obtener gasolinas deaviación (avgas A y avgas B). La calidad deestas dos últimas junto con sus precios de ventason:
NP RVP Precio por barril (US$)
avgas A Al menos 100 A lo más 7 26,45
Avgas B Al menos 91 A lo más 6 25,91
Ejemplo 6
Programación Lineal José Luis Quintero
El NP y RVP de cada mezcla es un promedio delos respectivos NP y RVP de las gasolinasempleadas.
Se desea obtener un plan de venta de lasdistintas gasolinas que maximice los retornos.
Ejemplo 6
Programación Lineal José Luis Quintero
Variables de decisión:
xj : cantidad de barriles del gas j que son
vendidos sin mezclar, con j = 1, 2, 3, 4.
xA : cantidad de barriles de avgas A.
xB : cantidad de barriles de avgas B.
xjA: cantidad de gas j usado en avgas A.
xjB: cantidad de gas j usado en avgas B.
Ejemplo 6
Programación Lineal José Luis Quintero
Función objetivo:
Max 24,83 (x1 + x2 + x3 + x4) + 26,45xA + 25,91xB
Restricciones: x1 + x1A + x1B = 3814
x2 + x2A + x2B = 2666
x3 + x3A + x3B = 4016
x4 + x4A + x4B = 1300
x1A + x2A + x3A + x4A = xA
x1B + x2B + x3B + x4B = xB
Ejemplo 6
Programación Lineal José Luis Quintero
NP, avgas A:
NP, avgas B:
RVP, avgas A:
RVP, avgas B:
100x
x108x87x93x107
A
A4A3A2A1 ≥≥≥≥++++++++++++
91x
x108x87x93x107
B
B4B3B2B1 ≥≥≥≥++++++++++++
7x
x21x4x8x5
A
A4A3A2A1 ≤≤≤≤++++++++++++
7x
x21x4x8x5
B
B4B3B2B1 ≤≤≤≤++++++++++++
Ejemplo 6
top related