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Programación Lineal José Luis Quintero 1

21 de Septiembre de 2017

Ingeniería Industrial – Ingeniería InformáticaFacultad de Ingeniería

Universidad Católica Andrés Bello

FORMULACIÓN DE MODELOS DE

PROGRAMACIÓN LINEAL(Parte 1)


Puntos a tratar

1. Formulación de modelos de PL

2. Ejemplo práctico 1 (Cervezas)

3. Ejemplo práctico 2 (Transporte)

4. Ejemplo práctico 3 (Dieta)

5. Ejemplo práctico 4 (Producción)

6. Ejemplo práctico 5 (Finanzas)

7. Ejemplo práctico 6 (Combustible)

Programación Lineal José Luis Quintero

Formular un modelo de PM de un problemareal, significa escribir un conjunto deexpresiones matemáticas que describan elfenómeno estudiado. Ahora se desarrollanalgunos ejemplos de formulación, usando elenfoque directo, que permite formularmodelos de PL definiendo las variables dedecisión y construyendo directamente lasexpresiones del objetivo y de las restricciones.

Formulación de modelos de PL


� Para escribir las expresiones matemáticas queformalmente definen el problema, se sugiere quepreviamente se tome un tiempo para entender elproblema, para ello, el analista puede entretenerse:

� Formulando un boceto en castellano del problema deoptimización.

� Tabulando la data numérica del problema, de resultarello práctico.

� Para proceder luego a la:

� Definición de las variables de decisión

� Formulación de la función objetivo

� Formulación de las restricciones



� Definición de las variables de decisión:

� Utilizando una simbología matemática adecuada, identifiquecada variable y acompañe cada una con una frase encastellano que la describa. Utilice identificadoresnemotécnicos si es posible.

� Recuerde que una variable de decisión representa el nivel quealcanza una cierta actividad que la unidad de decisión puedeo no emprender. Un buen enfoque para saber cuáles son lasvariables de decisión consiste en colocarse en los zapatos dela unidad de decisión y preguntarse qué actividades puederealizar para mejorar el objetivo planteado.

� Asegúrese que las variables sean continuas para que secumpla la divisibilidad, de no ser así, la PL puede no ser laherramienta adecuada. Si no lo fueren, tenga conciencia deello para interpretar los resultados.



� Formulación de la función objetivo:

� Exprese la función objetivo como una relación lineal de lasvariables de decisión, trate de conservar la frase encastellano que la describe.

� Asegúrese del cumplimiento de la aditividad y de laproporcionalidad en las expresiones obtenidas.

� Formulación de las restricciones:

� Exprese las restricciones como relaciones lineales de lasvariables de decisión.

� Trate de conservar las frases que describen cada restricción.

� Asegúrese del cumplimiento de la aditividad y de laproporcionalidad. No olvide las restricciones de signo de lasvariables que puedan existir.



� Algunos consejos adicionales:

� Paralelamente al planteamiento de las expresiones de lafunción objetivo y de las restricciones, haga una revisióndimensional para verificar la consistencia en lasunidades involucradas.

� La consistencia no indica que el problema esté bienformulado, pero la inconsistencia dimensional revela unamala formulación de la expresión correspondiente.

� Recuerde que uno de los propósitos de los modelos es lacomunicación, por lo que debe ser claro y explícito alformular un problema, para que otra persona puedaentender lo que Usted quiere transmitir. Documente sumodelo para ese fin.



Puntos a tratar









Una compañía produce dos tipos de cerveza,

rubia y negra. La ganancia por litro de cerveza

rubia es de 2 Bs. y por litro de cerveza negra

es de 1 Bs. Se dispone de 80 unidades de

malta, 60 unidades de cebada y 55 unidades

de levadura. Se considera ilimitada la

cantidad de agua y demás ingredientes

involucrados.

Ejemplo 1


Para producir un litro de cerveza rubia se

requieren 2 unidades de malta, 3 unidades de

cebada y 2 unidades de levadura. Para

producir un litro de cerveza negra se requieren

8/3 de unidades de malta, 1 unidad de

cebada y 5/3 de unidades de levadura.

Formule el modelo que permita calcular

cuanta cerveza de cada tipo se debe producir

a fin de que la ganancia sea máxima.

Ejemplo 1


� Formulamos un boceto en castellano, similar a:

maximizar la ganancia sujeto a:

consumo de malta ≤≤≤≤ disponibilidad de maltaconsumo de cebada ≤≤≤≤ disponibilidad de cebadaconsumo de levadura ≤≤≤≤ disponibilidad de levaduracantidad de cerveza rubia a producir ≥≥≥≥ 0cantidad de cerveza negra a producir ≥≥≥≥ 0

� Resumimos la data del problema :

RequerimientosMalta Cebada Levadura Ganancia

Rubia 2 3 2 2Negra 8/3 1 5/3 1

Disponible 80 60 55

Ejemplo 1



� El problema de la unidad de decisión es saber cuántacerveza de cada tipo debe producir para maximizar suganancia, luego las variables de decisión son:

x1: Litros de cerveza rubia a producir

x2: Litros de cerveza negra a producir


� El objetivo perseguido es maximizar la ganancia, por tantodebemos encontrar la expresión de la ganancia, quellamamos z, en función de las variables de decisióndefinidas. Se tiene que z = 2x1+ x2 , expresión en la cualsimplemente se multiplican los litros de cerveza de cadatipo a producir por la ganancia unitaria, lo cual arroja unaganancia expresada en Bs.

Ejemplo 1



� Restricción impuesta por la malta:

Tenemos la relación:

consumo de malta ≤≤≤≤ disponibilidad de maltaluego la expresión del consumo de malta en función de lasvariables de decisión es:

y completamos con la limitación del recurso:

donde se multiplican los litros de cerveza de cada tipo aproducir, por la malta consumida al producir un litro decada tipo. Ello arroja el total de malta consumida que debemantenerse por debajo de la disponibilidad.

21 x38

x2 ++++

80x38

x2 21 ≤≤≤≤++++

Ejemplo 1


� Restricción impuesta por la cebada:

Tenemos que:

consumo de cebada ≤≤≤≤ disponibilidad de cebaday la expresión correspondiente es:

3x1+ x2 ≤≤≤≤ 60donde se multiplican los litros de cerveza de cada tipo aproducir, por la cebada consumida al producir cadalitro, lo que arroja el total de cebada consumida quedebe mantenerse por debajo de la disponibilidad.

Ejemplo 1


� Restricciones impuestas por la levadura:

Se tiene la relación:

consumo de levadura ≤≤≤≤ disponibilidad de levaduraque corresponde a la restricción:

donde hemos calculado la levadura consumida en la producción total que no debe superar la disponibilidad. Note que hay consistencia de unidades.

� Restricciones de signo:

No debemos olvidar que:

cantidad de cerveza producida ≥≥≥≥ 0lo cual se traduce en las restricciones: x1 ≥≥≥≥ 0 y x2 ≥≥≥≥ 0

55x35

x2 21 ≤≤≤≤++++

Ejemplo 1


� Finalmente el modelo queda:

donde x1: Litros de cerveza rubia a producir

x2: Litros de cerveza negra a producir

21 xx2z max ++++==== (Ganancia)

80x38

x2 21 ≤≤≤≤++++ (Malta)

60xx3 21 ≤≤≤≤++++ (Cebada)

55x35

x2 21 ≤≤≤≤++++ (Levadura)

0x1 ≥≥≥≥ (No negatividad)

0x2 ≥≥≥≥ (No negatividad)

s.a.:

Ejemplo 1


Puntos a tratar









Una empresa agrícola dispone de dos almacenes paraabastecer de granos a tres distribuidores regionales. El almacén 1dispone de 1000 ton. de grano y el almacén 2 dispone de 2000ton. por período. La demanda en los tres distribuidores se estimaen 1500, 750 y 750 toneladas por período, respectivamente. Elcosto de transporte por tonelada de grano es:

Formule el modelo que permita calcular las toneladas de granosa transportar en un período para satisfacer la demanda y lograrun costo mínimo de transporte.

Distribuidor 1 Distribuidor 2 Distribuidor 3

50 100 60

30 20 35

Almacén 1

Almacén 2

Ejemplo 2


� Formulamos un boceto del modelo en castellano:

minimizar el costo de transporte

sujeto a:

salida del almacén i = oferta del almacén i

recibido por el distribuidor j = demanda del distribuidor j

salida del almacén i recibida por el distribuidor j ≥≥≥≥ 0

� La siguiente tabla resume la data:

C os tos de T ranspo rte D is tr ibu ido r 1 D is tr ibu ido r 2 D is tr ibu ido r 3 O fe r t a

A lm acén 1 50 100 60 1000 A lm acén 2 30 20 35 2000 D em anda 1500 750 750

Ejemplo 2



� El problema de la unidad de decisión es saber cuánto granova a transportar de cada almacén a cada distribuidor, demanera de satisfacer la demanda y de que el costo detransporte sea mínimo. Una hojeada a la data permiteverificar que satisfacer la demanda es factible. Las variablesde decisión pertinentes son seis:

xij :Ton. De grano que van del almacén i al distribuidor j

(i=1, 2 y j=1, 2 , 3)

es decir:

x11 :Ton. de grano del almacén 1 al distribuidor 1






Ejemplo 2



� El objetivo perseguido es:

Minimizar el costo de transporte, y viene dado por:

min z = 50x11 + 100x12 + 60x13 + 30x21 + 20x22 + 35x23Cada término expresa una cantidad en Bs. Note que hay unahipótesis de proporcionalidad detrás que puede ser discutible.


� Restricciones debidas a la oferta en cada almacén:

Se debe cumplir que:

salida del almacén i = oferta del almacén i

es decir: x11 + x12 + x13 = 1000

x21 + x22 + x23 = 2000

El envío de un almacén a un distribuidor no debe superar lodisponible. Hay consistencia dimensional.

Ejemplo 2


� Restricciones por la demanda de cada distribuidor:

Se tiene que cumplir que:

recibido por el distribuidor j=demanda del distribuidor j

por lo tanto x11 + x21 = 1500

x12 + x22 = 750

x13 + x23 = 750

las cuales determinan que la cantidad recibida por cadadistribuidor debe igualar su demanda.

� Restricciones de signo:

Obviamente:

toneladas de grano transportado ≥≥≥≥ 0lo cual se traduce en:

xij ≥≥≥≥ 0 para i = 1, 2 y j = 1, 2, 3

No se pueden enviar cantidades negativas de grano.

Ejemplo 2


� Finalmente el modelo queda:

min z = 50x11 + 100x12 + 60x13 + 30x21 + 20x22 + 35x23(Costo del transporte)

s.a.:

x11 + x12 + x13 = 1000 (Oferta del almacén 1)

x21 + x22 + x23 = 2000 (Oferta del almacén 2)

x11 + x21 = 1500 (Demanda del distribuidor 1)



xij ≥≥≥≥ 0 (para i=1, 2 y j=1, 2, 3) (No negatividad)

siendo

xij :Ton. De grano que van del almacén i al distribuidor j

(i=1, 2 y j=1, 2 , 3)

Ejemplo 2


Puntos a tratar









Determine una dieta de manera eficiente, apartir de un conjunto dado de alimentos, demodo de satisfacer ciertos requerimientosnutricionales. Suponga que se tiene lasiguiente información:

Leche(galon)

Legumbre(1 porción)

Naranjas(unidad)

RequerimientosNutricionales

Niacina 3,2 4,9 0,8 13

Tianina 1,12 1,3 0,19 15

Vitamina C 32 0 93 45

Costo 2 0,2 0,25

Ejemplo 3


Variables de decisión:

x1 : galones de leche utilizados en la dieta

x2 : porciones de legumbre utilizadas en la dieta

x3 : unidades de naranja utilizadas en la dieta

Función Objetivo:

Minimizar el costo total de la dieta, dado por:

2 x1 + 0.2 x2 + 0.25 x3

Ejemplo 3


Restricciones del problema:

Requerimientos mínimos de los nutrientesconsiderados:

3.2 x1 + 4.9 x2 + 0.8 x3 ≥≥≥≥ 13

1.12 x1+ 1.3 x2 + 0.19 x3 ≥≥≥≥ 15

32 x1+ + 9 x3 ≥≥≥≥ 45

x1 ≥≥≥≥ 0 ; x2 ≥≥≥≥ 0 ; x3 ≥≥≥≥ 0

Ejemplo 3


Puntos a tratar









Halle una política óptima de producción para

satisfacer demandas fluctuantes en el tiempo, de

modo de minimizar costos de producción e

inventario, considerando la disponibilidad de

diversos recursos escasos.

Suponga que una fabrica puede elaborar hasta

150 unidades en cada uno de los 4 periodos en

que se ha subdividido el horizonte de

planificación y se tiene adicionalmente la

siguiente información:

Ejemplo 4


Supuestos adicionales:

1) Existe un inventario inicial de 15 unidades.

2) No se acepta demanda pendiente o faltante

(es decir, se debe satisfacer toda la demanda

del periodo).

Periodos Demandas(unidades)

Costo Prod.(US$/unidad)

Costo de Inventario(US$/unidad)

1 130 6 2

2 80 4 1

3 125 8 2.5

4 195 9 3

Ejemplo 4



xt : número de unidades elaboradas en elperiodo t.

It : número de unidades de inventario al final delperiodo t.

Función objetivo:

Consiste en minimizar los costos de producción yel costo de mantenimiento de inventario.

6x1+ 4x2 + 8x3 + 9x4 + 2I1 + I2 + 2.5I3 + 3I4

Ejemplo 4


Notar que en el óptimo I4 va a ser 0, así quepodría no incluirse, pero de todos modos seconsidera


1) Restricciones de cotas, que reflejan lacapacidad de producción.

xt ≤≤≤≤150

Ejemplo 4


2) Restricciones de no negatividad

xt ≥≥≥≥ 0

3) Restricciones de demanda

x1 + I0 – I1 = 130 Periodo 1 I0=15

x2 + I1 – I2 = 80 Periodo 2

x3 + I2 – I3 = 125 Periodo 3

x4 + I3 – I4 = 195 Periodo 4

Ejemplo 4


Puntos a tratar









Suponga que un banco dispone de $250 millones

para destinar a 4 tipos de créditos ofrecidos, los

cuales tienen las siguientes, tasas de crédito:

• Primer crédito corriente :12%

• Segundo crédito corriente :16%

• Crédito para el hogar :16%

• Crédito personal :10%

Ejemplo 5


La asignación de estos créditos, debe satisfacer

la siguiente política utilizada por la institución:

El monto asignado a los PCC, debe ser al menos,

el 55% del monto asignado a los créditos

corrientes, y al menos un 25% del total del dinero

prestado.

El SCC, no puede exceder el 30% del total del

dinero prestado, por políticas tributarias el interés

recibido por el banco no debe exceder a un

retorno del 14% sobre el capital prestado.

Ejemplo 5


¿Cuánto asignar a cada tipo de crédito, de la

manera más eficiente, respetando la política del

banco?


x1 : Monto asignado al PCC.

x2 : Monto asignado SCC.

x3 : Monto asignado al crédito para el hogar.

x4 : Monto asignado al crédito personal.

Ejemplo 5


Función Objetivo:

Se propone maximizar los retornos recibidos enla asignación, dados por:

0.12 x1 + 0.16 x2 + 0.16 x3 + 0.10 x4

Ejemplo 5



x1 ≥≥≥≥ 0.55 ( x1 + x2 )

x1 ≥≥≥≥ 0.25 ( x1 + x2 +x3 + x4 )

x2 ≤≤≤≤ 0.30 ( x1 + x2 +x3 + x4 )

(0.12x1+0.16x2+0.16x3+0.10x4 ) ≤≤≤≤ 0.14 ( x1+ x2 +x3 +x4 )

Adicionalmente: x1 + x2 +x3 + x4 ≤≤≤≤ 250

Ejemplo 5


Puntos a tratar









Una refinería produce 4 tipos de gasolina (gas1, gas 2, gas 3 y gas 4). Dos característicasimportantes de cada gasolina son su númerode performance (NP) y su presión de vapor(RVP), que están dados por:

NP RVP Barriles diarios

gas 1 107 5 3814

gas 2 93 8 2666

gas 3 87 4 4016

gas 4 108 21 1300

Ejemplo 6


Estas gasolinas pueden ser vendidasdirectamente a un precio de $24,83 por barril obien mezcladas para obtener gasolinas deaviación (avgas A y avgas B). La calidad deestas dos últimas junto con sus precios de ventason:

NP RVP Precio por barril (US$)

avgas A Al menos 100 A lo más 7 26,45

Avgas B Al menos 91 A lo más 6 25,91

Ejemplo 6


El NP y RVP de cada mezcla es un promedio delos respectivos NP y RVP de las gasolinasempleadas.

Se desea obtener un plan de venta de lasdistintas gasolinas que maximice los retornos.

Ejemplo 6



xj : cantidad de barriles del gas j que son

vendidos sin mezclar, con j = 1, 2, 3, 4.

xA : cantidad de barriles de avgas A.

xB : cantidad de barriles de avgas B.

xjA: cantidad de gas j usado en avgas A.

xjB: cantidad de gas j usado en avgas B.

Ejemplo 6


Función objetivo:

Max 24,83 (x1 + x2 + x3 + x4) + 26,45xA + 25,91xB

Restricciones: x1 + x1A + x1B = 3814

x2 + x2A + x2B = 2666

x3 + x3A + x3B = 4016

x4 + x4A + x4B = 1300

x1A + x2A + x3A + x4A = xA

x1B + x2B + x3B + x4B = xB

Ejemplo 6


NP, avgas A:

NP, avgas B:

RVP, avgas A:

RVP, avgas B:

100x

x108x87x93x107

A

A4A3A2A1 ≥≥≥≥++++++++++++

91x

x108x87x93x107

B

B4B3B2B1 ≥≥≥≥++++++++++++

7x

x21x4x8x5

A

A4A3A2A1 ≤≤≤≤++++++++++++

7x

x21x4x8x5

B

B4B3B2B1 ≤≤≤≤++++++++++++

Ejemplo 6


Pensamiento de hoy

“Los gerentes no controlan larealidad, sino los modelos orepresentaciones de ésta”.

Robert D. Gilbreath

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