1 variable aleatoria discreta 2 variable aleatoria (v.a.) variable aleatoria: una regla que asocia...

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Variable aleatoria discreta

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Variable Aleatoria (v.a.)

Variable Aleatoria: Una regla que asocia un número a cada resultado del espacio muestra.

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Variable Aleatoria

Ejemplo.

Notación: X = Variable Aleatoria. x = Sus valores.

Se lanzan dos monedas,

S = { SS, CC, CS,SC }

Si X = Número de caras obtenidas x = 0 1 2

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Variable aleatoria

Ejercicio. Una caja contiene 7 discos, 4 rojos y 3 negros. Se sacan dos discos sin reemplazo.

a. Listar los elementos del espacio muestra y calcular sus probabilidades.

b. Sea X = Número de discos rojos obtenidos en el experimento. ¿Cuáles son

los valores x que puede tomar la variable

aleatoria X?

R: b) x 0 1 2

f(x) 1/7 4/7 2/7

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Variable aleatoria

Variables Aleatorias

Discretas “Contar”• Conjunto finito de valores• Conjunto infinito

numerable

Continuas “Mediciones”• Toman valores en un intervalo

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Variable aleatoria

Ejercicio.¿Cuáles de los siguientes conjuntos pueden corresponder a los valores de una variable aleatoria discreta?

}2,1,0,1,2{x

}207|{ xx),0[ x

)2,2( x

}10|{ xx }4,3,2,1,0{x

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Distribución de Probabilidad

La función de distribución de probabilidad ofunción masa de probabilidad (fdp o fmp) para una v.a. discreta se define por

f(x) = P(X = x)

la probabilidad de que X sea igual a x.

Ejemplo:

donde X = Número de discos rojos.

x

f(x) = P(X = x)

1 20

1/7 4/7 2/7,

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Distribución de Probabilidad

Puesto que f(x) representa una probabilidad, debe ser congruente con los axiomas de probabilidad:

1.- 0 f(x) 1

2.- x

xf 1)( ; La suma de todas las probabilidades es 1.

; No hay probabilidades negativas.

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Distribución de Probabilidad

Ejercicio. Dada la siguiente fdp (función de distribución de probabilidad)

Calcula las siguientes probabilidades:

c) P(X 4)

d) P(0.5 < X < 5)

b) P(X > 1)a) P(X = 1)

x -1 0 1 4 5

f(x) 0.1 0.2 0.15 0.5 0.05

e) P(0.5 < X 5)

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Distribución de Probabilidad

EjercicioConsidere el experimento de lanzar una moneda hasta obtener una cara.

a. Define el espacio muestra: S = {C, SC, SSC, SSSC, ….}

b. Sea X=Número de intentos para obtener una cara. Determina los valores que puede tomar X.

x = {1, 2, 3, 4, ….}

c. Determina la fdp (función de probabilidad) de X.– Tabular– Gráfica– Función

d. Obtén la probabilidad de obtener cara a lo más en el 3er intento.

R: 7/8

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Distribución de Probabilidad

EjercicioExperimento: En un juego de póker, se reparten 5 cartas a un participante

y se observa el número de ases que obtiene.

a. Enumera parte del espacio muestra. b. Sea Y = Número de ases obtenidos. Determina los valores que puede

tomar Y. c. Determina la fdp (función de probabilidad) de Y.

– Tabular– Gráfica– Función

d. Obtén la probabilidad de obtener al menos dos ases.

4,3,2,1,0 para

5

52

5

484

)( :R

yyy

yf

R: 0.0417

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Función de Distribución Acumulada

En ocasiones nos interesa sumar probabilidades, ¿no existirá una función alternativa para calcular directamente la suma de probabilidades?

Sí. Se llama FUNCIÓN DEDISTRIBUCIÓN ACUMULADA

(fda o cda)

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Función de Distribución Acumulada

La función de distribución acumulada (fda) F(x) de una v. a. discreta, cuya distribución de probabilidad es f(x), se define como,

)()( xXPxF

xt

xtf para ),(

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Función de Distribución Acumulada

Ejemplo. Hallar la distribución acumulada F(x) para

1 20

3/28 15/28 10/28

x

f(x),

Solución.Debemos subdividir los números reales en intervalos, los cuales tienen como extremos los valores que toma la variable aleatoria: (-,0), [0,1), [1,2), [2, ) ?

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Función de Distribución Acumulada

x

f(x)

1 20

3/28 15/28 10/28

0x0

10 x28

3

21 x28

15

28

3

28

18

2x128

10

28

18

)()( xXPxF

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Función de Distribución Acumulada

Su gráfica es

0 1 2x

F(x)

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Función de Distribución Acumulada

EjercicioEn un lote de mercancía hay 10 artículos, 3 son defectuosos y 7 son buenos. Se extrae una muestra de 4. Sea X = Número de artículos defectuosos en la muestra.a. Hallar f(x) y graficar.b. Hallar F(x).

a) x 0 1 2 3

f(x) 0.17 0.5 0.3 0.03

31

3297.0

2167.0

1017.0

00

)(

x

x

x

x

x

xF

b)

Solución:

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Función de Distribución Acumulada

Ejercicio

Por una promoción sale una cantidad “sorpresa” de estampitas en un paquete de galletas.

Sea X = número de estampitas en un paquete de galletas seleccionado al azar.

101

10897.0

8692.0

6467.0

4239.0

2119.0

1006.0

00

)(

x

x

x

x

x

x

x

x

xF

1. Hallar f(x) en forma tabular2. Hallar:

f(2) P(X ≤ 4) P(X < 3) P(X > 4)

R = b) 0.2; P(X ≤ 4) = 0.67; 0.39; 0.33

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Valor esperado

Consideremos que X = número de discos que compra un cliente al azar.

Supongamos que observamos muchos clientes.

• ¿qué porcentaje esperamos que resultarían con X = 1?

• ¿qué porcentaje esperamos que resultarían con X = 0?

x

f(x) = P(X = x)

1 20

1/7 3/7 2/7

3

1/7

• Queremos saber el promedio de discos vendidos por cliente.

20

Valor esperado

Supongamos que observamos 70 clientes,¿Cuántos clientes se espera que no compren discos? ¿Qué compren 1, 2 o 3 discos?

70

)10(3)20(2)30(1)10(070

33221100

3

0

)(x

xxf

x

f(x) = P(X = x)

1 20

1/7 3/7 2/7

3

1/7

)7/1(3)7/2(2)7/3(1)7/1(0

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Valor esperado

Valor esperado de una v. a. discreta Sea X una v. a. con distribución de probabilidad f(x). La media o valor esperado de X es,

,)()( x

X xxfXE

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Valor esperado

Ejercicio:

Se lanza un dado y sea X = el número obtenido, ¿cuál es el valor esperado de X?

R: 3.5

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Valor esperado

Sea X una v. a. con distribución de probabilidad f(x). La media o valor esperado de la v.a. g(x) es,

, )()())(( x

xfxgXgE

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Valor esperado

Ejercicio:

Supongamos que la probabilidad de que la Serie

Mundial termine en 4, 5, 6 o 7 juegos es

respectivamente. – ¿Cuál es el valor esperado del número de

juegos en que termina la Serie Mundial?– Si la entrada a cada partido es de $40, ¿cuál es

el valor esperado del gasto que hará una persona que asistirá a todos los juegos?

16

5y

16

5,

4

1,

8

1

R = a) 5.8125; b) $232.50

25

Valor esperado

Propiedad del valor esperado

ba

bXEabaXE

)()(

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En un juego donde se lanzan dos dados, el participante recibe una cantidad de dinero, según sea la suma que cayeron los dados (si la suma es par) o el doble de la suma que cayeron los dados (si la suma es impar).

¿Cuánto debe pagar el participante para que sea un juego justo?

Valor esperado

1 2 3 4 5 6

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

Pri

me

r d

ad

o

Segundo dado

R = $10.50

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Varianza

Sea X una v.a con distribución de probabilidad f(x) y media = m E(X). La varianza de X es

, )()())(()( 222 xfxXEXVx

28

Varianza

Ejercicio:

La fdp del número X de cilindros del siguiente automóvil que vaya a afinarse en cierto taller es:

Calcule E(X) y V(X).

x 4 6 8

f(x) 0.5 0.3 0.2

R = 5.4, 2.44

29

Varianza

Fórmula abreviada.

)()(

))(()(22

22

XEXE

XEXV

Ejercicio:Calcular V(X) del ejercicio anterior con la fórmula abreviada.

30

Varianza

Propiedad de la varianza

222 )()( aXVabaXV

31

Varianza

Ejercicio Una compañía proveedora de productos químicos tiene actualmente en existencia 100 libras de cierto producto, que vende a clientes en lotes de 5 libras. Sea X el número de lotes ordenados por un cliente seleccionado al azar, y suponga que X tiene una fdp:

a) Calcule E(X) y V(X).b) Calcule el número esperado de libras sobrantes después de embarcar el pedido y la varianza del número de libras restantes.

x 1 2 3 4

f(x) 0.2 0.4 0.3 0.1

R = a) 2.3, 0.81; b) 88.5, 20.25

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Experimento BINOMIAL

Hay muchos experimentos que cumplen con los siguientes requisitos.

1. El experimento consiste en una secuencia de n intentos. n es fijo.2. Los intentos son idénticos y cada uno puede resultar en éxito (S) o fracaso (F).3. Los intentos son independientes, es decir, el resultado de un intento en particular no influye en el resultado de otro intento.4. La probabilidad p de éxito es constante de un intento a otro.

Un experimento así se llama experimento binomial.La variable aleatoria X que sea igual al número de éxitos se llama variable aleatoria binomial. x = { 0, 1, 2, …, n}.

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Distribución BINOMIAL

Derivación de la distribución binomial

Suponga un experimento binomial con: n = 4 intentos.p = probabilidad de éxito en cada intentoX = variable aleatoria que representa el número de éxitos en los 4 intentos.

Encuentre la distribución de probabilidad de X.

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x f(x)

0 f(0) = P(X = 0) = P(FFFF) = (1-p)(1-p)(1-p)(1-p) = (1-p)4

1 f(1) = P(X = 1) = P(SFFF FSFF FFSF FFFS) = p (1-p)(1-p)(1-p) + (1-p) p (1-p)(1-p) + (1-p) (1-p) p (1-p) + (1-p) (1-p)(1-p) p

= 4p(1-p)3

2 f(2) = P(X = 2) = P(SSFF SFSF … FFSS)

= p p (1-p)(1-p)

= p2(1-p)3

= 6 p2(1-p)3

3 f(3) = P(X = 3) = P(SSSF … FSSS)

= p p p (1-p)

= p3(1-p)

= 4 p3(1-p)

4 f(4) = P(X = 4) = P(SSSS) = p p p p = p4

Distribución BINOMIAL

3

4

2

4

2

4

3

4

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Distribución BINOMIAL

Sea X una v. a. binomial.

X ~ Bin(n, p)Su función de probabilidad está dada por:

nxppx

nxf xnx ,...,2 ,1 ,0)1()(

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Distribución BINOMIAL

Ejercicio:Un estudiante presenta un examen de falso/verdadero y dado que no conoce el tema decide contestarlo totalmente al azar. El examen consta de 10 preguntas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste todas las preguntas correctamente?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe el examen con al menos un 7?

R = a) 1/1024; b) 0.1719; c) 0.6563

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Sólo el 20% de los automovilistas se detienen por completo cuando no hay otros automóviles visibles en un crucero donde hay un semáforo con luz roja en todas direcciones. ¿Cuál es la probabilidad de que,

de 4 automovilistas seleccionados al azar…a) a lo más 2 se detengan por completo?b) exactamente 2 se detengan por completo?c) por lo menos 3 se detengan por completo?d) ¿Cuántos automovilistas, de entre los 4

seleccionados, se espera que se detengan por completo?

R: 0.9728, 0.1536, 0.0272, 0.8 autos en promedio

Distribución BINOMIAL