APUNTES DE CLASES

________________________________________________________

ESTÁTICA

Algebra de Vectores

La Fuerza

Momento de una Fuerza

Sistema Fuerza-Par

Resultante

Prof. Rene Alberto Ayala Ayala

DEPTO. DE MECÁNICA ESTRUCTURAL

AGOSTO 2010

Universidad Centroamericana “José Simeón Cañas”

11

22

INTRODUCCIÓN

LLaa mmeeccáánniiccaa eess llaa cciieenncciiaa qquuee ddeessccrriibbee yy pprreeddiiccee llaass ccoonnddiicciioonneess ddee rreeppoossoo oo

mmoovviimmiieennttoo ddee llooss ccuueerrppooss bbaajjaa llaa aacccciióónn ddee ffuueerrzzaass oo ccaarrggaass.. EEssttuuddiiaa ttaannttoo llooss

ccuueerrppooss rrííggiiddooss ccoommoo llooss ddeeffoorrmmaabblleess,, iinncclluuyyeennddoo aa llooss fflluuiiddooss,, yyaa sseeaa qquuee eessttooss ssee

eennccuueennttrreenn eenn rreeppoossoo oo mmoovviimmiieennttoo,, ccuuaannddoo eessttáánn ssuujjeettooss aa llaa aacccciióónn ddee ddiiffeerreenntteess

ttiippooss ddee ffuueerrzzaass.. LLaa mmeeccáánniiccaa ddeell ccuueerrppoo rrííggiiddoo ssee ddiivviiddee eenn ddooss rraammaass,, EEssttááttiiccaa yy

DDiinnáámmiiccaa..

El objeto de estudio en un curso de Estática es primordialmente analizar la respuesta

de los cuerpos rígidos ante las solicitaciones en condiciones de equilibrio, entendiendo

por solicitación el conjunto de cargas externas a las que se somete un cuerpo.

Aquí, se define a un cuerpo rígido como una cantidad determinada de materia cuyas

partes están fijas en posición relativa entre si, es decir no se deforman. Los cuerpos

que sufren pequeñas deformaciones son estudiados por la Mecánica de los Cuerpos

Deformables y los cuerpos que se deforman de manera continua son estudiados por la

Mecánica de los Fluidos.

El estudio de la Estática promueve comprender el estado de equilibrio de un cuerpo

por medio de un razonamiento analítico, ordenado y sistemático. Para lograr este

objetivo se hace uso de los principios fundamentales de la mecánica con el apoyo de

diferentes herramientas que la matemática ofrece, tales como el cálculo diferencial, el

álgebra vectorial y la Geometría.

Especial énfasis se hace en el tratamiento vectorial que requieren algunas cantidades

de uso frecuente en la mecánica como es el caso de la fuerza y los momentos

provocados por estas, los cuales pueden ser únicamente entendidos y manipulados

bajo la óptica que poseen un carácter direccional que no puede ser obviado en ningún

instante.

Es por esta razón que se presenta al inicio de este documento un breve resumen de

los principios más importantes del álgebra vectorial que servirán de repaso a los

estudiantes. A continuación se presenta con mayor detalle el concepto de fuerza, sus

características y efectos sobre un cuerpo.

La mecánica tiene su fundamento en cuanto al movimiento de cuerpos sometidos a

fuerzas, en las tres leyes de newton:

Primera ley (ley del equilibrio): Todo cuerpo que se encuentre en estado de reposo o

en movimiento rectilíneo a velocidad constante continuará en ese estado a menos que

se le apliquen fuerzas externas perturbadoras.

Segunda ley (definición de fuerza): La fuerza resultante aplicada sobre un cuerpo es

proporcional al cambio experimentado en el movimiento y representado dicho cambio

por medio de la aceleración del cuerpo.

Tercera ley (acción y reacción): Una reacción es siempre igual y opuesta a toda acción.

Adicionalmente se utilizan el principio de adición de fuerzas de acuerdo a la ley del

paralelogramo o al del polígono de fuerzas, el principio de transmisibilidad y la ley de la

gravitación universal.

33

REPASO DE CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL ÁLGEBRA VECTORIALREPASO DE CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL ÁLGEBRA VECTORIAL

VVeeccttoorreess eenn RR33

GGrrááffiiccoo ddee uunn ppuunnttoo eenn eell eessppaacciioo..

44

DDiissttaanncciiaa eennttrree ddooss ppuunnttooss..

DDeeffiinniirr uunn vveeccttoorr ppoorr ddooss ppuunnttooss ccoonnoocciiddooss eenn ssuu llíínneeaa ddee aacccciióónn →PQ :: DDiissttaanncciiaa ddee PP aa QQ

SSeennttiiddoo ((vvaa ddeessddee PP hhaassttaa QQ)) DDiirreecccciióónn ((áánngguullooss ddiirreeccttoorreess)):: θθxx,, θθyy,, θθzz

→PQ == <<66--11,, 22 -- ((--44)),, --77 -- 55 >> →PQ == <<55,, 66,, --1122>> →PQ == k12j6i5 −+

MMaaggnniittuudd ⏐⏐→PQ ⏐⏐== ( ) ( ) ( )222 1265 −++ ⏐⏐

→PQ ⏐⏐== 205

PPaarraa uunn vveeccttoorr c→V cuuaallqquuiieerraa::

=→V = ⇒kVzjVyiVx ++ ⇒ ⏐⏐

→V ⏐⏐== ( ) ( ) ( )2Vz2Vy2Vx ++

kVVzj

VVyi

VVxvλ rrr

r ++= :: VVeeccttoorr uunniittaarriioo

PPaarraa eell eejjeerrcciicciioo:: k20512j

2056i

2055 −+=→

PQλ :: VVeeccttoorr uunniittaarriioo

55

ÁÁnngguullooss DDiirreeccttoorreess..

k20512j

2056i

2055;ˆ12ˆ6ˆ5PQ −+=−+=

→→PQ

kji λ

Los ángulos se miden desde los ejes coordenados positivos auxiliares en el punto de salida.

( )( )( ) 0

205121

020561

020551

146.94cosθz

65.22cosθy

69.56cosθx

==

==

==

−−

−

−

( ) ( ) ( )kθzcosjθycosiθxcos ++=→

PQλ

kVVzj

VyVi

VVx ++=→

PQλ

( ) ( ) ( )VVzθzCos;

VVyθyCos;

VVxθxCos ===

66

SSuummaa,, RReessttaa,, PPrroodduuccttoo ddee uunn eessccaallaarr ppoorr uunn vveeccttoorr..

SumaSuma:: →→→→

=++ ADCDBCAB

kj0i0CD;k3j3i0BC;k3j2iAB −+=+−=+−=→→→

( ) ( )133,032,001 −+++−+−++=++=→→→→CDBCABAD

k5j5iAD +−=→

RestaResta :: →→→

−= ACAB FFR

k3j7i4FAB ˆˆˆ +−=→

k3j0i2FAC ˆˆˆ −+=→

k3j0i-2FAC ++=−→

( ) ( )k3j0j2-k3j7i4R ++++−=r

k6j7i2R +−=r

Producto de un escalar por un vector Rescalarunesk;ωkV ∈=

rr

k5j7iω;ω3V −+−==rrr

( )k5j7i-3V −+=r

k15j21i-3V −+=r

PPrroodduuccttoo PPuunnttoo ((PPrroodduuccttoo eessccaallaarr))..

( )( )kzjyix.kVzjVyiVx.V ωωωω ++++=rr

zVzyVyxVx.V ωωωω ++=rr

EEll rreessuullttaaddoo eess uunn eessccaallaarr 2z

2y

2x VVVV;θcosV.V ωω ++==

rrr rr

EEll pprroodduuccttoo ppuunnttoo ddee ddooss vveeccttoorreess ddaa ccoommoo rreessuullttaaddoo uunn eessccaallaarr..

Si θ es 90°; cos 90° es cero, por lo que podemos concluir que el producto punto de dos vectores perpendiculares es cero.

77

UUnnaa aapplliiccaacciióónn ddeell pprroodduuccttoo ppuunnttoo.. PPrrooyyeecccciióónn ddee uunn vveeccttoorr ssoobbrree oottrroo vveeccttoorr..

cosθuVuProy rrr

=

SSaabbeemmooss qquuee:: cosθu.u VV

rr rr =

VV uProycosθu.u rr rrr ==

VV

V.uuProy rr

rrr

=

PPooddeemmooss ddeessccoommppoonneerr eur enn ddooss vveeccttoorreess,, uunn vveeccttoorr qquuee sseeaa ppaarraalleelloo aa Vr

yy oottrroo qquuee sseeaa ppeerrppeennddiiccuullaarr aa V

r

21 ωωu rrr +=

( ) VV

.λuProyω1r

rrr

=

12 ωuω rrr−=

PPrroodduuccttoo VVeeccttoorriiaall ((PPrroodduuccttoo CCrruuzz))

( ) ( kzjyixxkVzjVyiVxV ωωωω ++++=×rr )

j

i

k

−=

−=

−=

kxi0kxkjixk

jxk0jxjikxj

ixj0ixikjxi

==

==

==

RReeggllaa ddee llaa mmaannoo ddeerreecchhaa.. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jVkxiV;kVjxiV;0ixiV zxzxyxyxxx ωωωωω −=== ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) iVkxjV;0jxjV;kVixjV zyzyyyxyxy ωωωωω ==−= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0kxkV;iVjxkV;jVixkV zzyzyzxzxz ωωωωω =−==

( ) ( ) ( )kxVyyVxjzVxxVziyVzzVyV ωωωωωωω −+−++=×rr

88

99

Otra forma:

( ) ( ) ( kxVyyVxjxVzzVxiyVzzVyzyx

VzVyVxkji

V ωωωωωωωωω

ω −+−−+==×rr

)

senθ .V ωωVrr rr

=× RReeggllaa ddee llaa mmaannoo ddeerreecchhaa

AALLGGUUNNAASS PPRROOPPIIEEDDAADDEESS DDEELL AALLGGEEBBRRAA DDEE VVEECCTTOORREESS

EEll pprroodduuccttoo ppuunnttoo eess ccoonnmmuuttaattiivvoo Escalar V..V ωω ==rr rr

EEll pprroodduuccttoo ccrruuzz nnoo eess ccoonnmmuuttaattiivvoo Vector VV ωω =×≠×rr rr

EEll vveeccttoorr rreessuullttaannttee ddee uunn pprroodduuccttoo ccrruuzz eess ppeerrppeennddiiccuullaarr aa llooss vveeccttoorreess qquuee

ppaarrttiicciippaarroonn eenn eell pprroodduuccttoo.. EEll pprroodduuccttoo ppuunnttoo ddee ddooss vveeccttoorreess ppeerrppeennddiiccuullaarreess eess cceerroo.. EEll pprroodduuccttoo ccrruuzz ddee ddooss vveeccttoorreess ppaarraalleellooss eess cceerroo..

CCáállccuulloo ddeell áárreeaa ddee uunn ppaarraalleellooggrraammoo ccuuyyooss llaaddooss ssoonn llooss vveeccttoorreess Vy U

rr

senθU.cosθU21Altura.

VUproy

21A 1 Triángulo

rrr

r

==

cosθsenθUA2

triángulos 2 de

r=

( ) ( ) senθ U . cosθ UV Altura. cosθ UVARectángulo

rrrrr−=−=

cosθ θsenU senθ VUA2

Rectángulo

rrr−=

Rectángulotriángulos 2Total AAA +=

cosθ θsenU senθ VUcosθ θsenUA22

Total

rrrr−+=

senθ VUA amoparalelogr

rr= ⇒⇒ VUA amoparalelogr

rr×=

TTrriippllee PPrroodduuccttoo EEssccaallaarr..

( )RzRyRxQzQyQxPzPyPx

RQ.P =×rrr

=×RQrr

ÁÁrreeaa ddee uunn ppaarraalleellooggrraammoo

RQsenθRQrrrr

×=

baseQ;AlturasenθR ==rr

ÁÁrreeaa == ((BBaassee))((AAllttuurraa))

senθR.QRQÁrearrrr

=×=

CCáállccuulloo ddeell VVoolluummeenn ddeell PPrriissmmaa..

hcosφ P =r

VVoolluummeenn == ((hh))((ÁÁrreeaa PPaarraalleellooggrraammoo))

( ) EscalarRQP.RQ.cosφPV =×=×=rrrrr

1100

Ángulos entre Vectores PPrroodduuccttoo ppuunnttoo oo ccrruuzz

Q.Pcosθ QPrrrr

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= −

Q.P

Q.Pcosθ 1 rr

rr

QPsenθQ.Prrrr

×=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ×= −

|Q|.|P|

QPsenθ 1 rr

rr

EEjjeerrcciicciiooss:: 11-- DDeetteerrmmiinnaarr eell áánngguulloo eennttrree llooss vveeccttoorreess PP yy QQ

k6j3i1P ˆˆˆ +−=r

,, k 3j1i0Q ˆˆˆ −+=r

2118303)(6)(3)(1)((1)(0)Q.P −=−−=−+−+=rr

463691(6)3)((1)P 222 =++=+−+=r

10910(-3)(1)(0)Q 222 =++=++=r

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= −

Q.P

Q.Pcosθ 1 rr

rr

( )( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡= −

104621-cosθ 1

O168.28θ =

[ ] [ ] [ k 0(-3)1(1)j 0(6)-1(-3)i 1(6)(-3)(-3)3-106-1kji

QP 3 ˆˆˆˆˆˆ

−+−−==×rr

]

k1j3i3QP ˆˆˆ ++=×rr

19199(1)(3)(3)QP 222 =++=++=×rr

46P =r

,, 10Q =r

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ ×= −

Q.P

QPsenθ 1 rr

rr

,, ( )( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡= −

104619senθ 1

011.72θ = EEll ssuupplleemmeennttaarriioo sseerráá 118800--1111..7722 == 116688..2288°°

1111

2 Encontrar el ángulo formado por los cables AB ∧ AD; AD ∧ AC; AC ∧ AB

CCoooorrddeennaaddaass:: AA ((00,, 4488,, 00)) BB ((1166,, 00,, 1122)) CC ((1166,, 00,, --2244)) DD ((--1144,, 00,, 00))

50ADk0j48i14AD =→+−−= ˆˆˆ

52ABk12j48i16AB =→+−= ˆˆˆ

56ACk-24j48i16AC =→+−= ˆˆˆ

ÁÁnngguulloo eennttrree AABB yy AADD θ→ ÁÁnngguulloo eennttrree AADD yy AACC β→ ÁÁnngguulloo eennttrree AACC yy AABB γ→

∗∗ PPoorr eell pprroodduuccttoo ppuunnttoo tteenneemmooss::

cosθ AD . ABAD . AB =

)k0j48i14( . )k12j48i(16AD . AB ˆˆˆˆˆˆ +−−+−=

(12)(0)48)48)((14)(16)(AD . AB +−−+−=

02034224AD . AB ++−= 2080AD . AB =

cosθ AD . ABAD . AB = == 22008800

(52)(50)2080

AD.AB2080cosθ ==

ccooss θθ ==00..88 θθ == ccooss-1-1((00..88)) →→ θθ == 3366..8877 °°

cosγAD.ACAB.AC =

( )( )k12j48i16k24j48i16AB.AC ˆˆˆˆˆˆ +−−−=

24)(12)(48)48)((16(16)AB.AC −+−−+=

288230256AB.AC −+=

2272AB.AC =

2272cosγAD.AC =

1122

(56)(52)

2276ADAC

2272cosγ ==

0.7802cosγ =

(0.7802)cosγ 1−=

o38.72γ =

cosβAC.ADAC.AD =

( )( )k24-j48i16k0j48i14-AC.AD ˆˆˆˆˆˆ −−−=

24)(0)(48)48)((14)(16)(AC.AD −+−−+−=

2304224AB.AC +−=

2080AB.AC =

2080cosβAC.AD =

(56)(50)

2080cosβ =

0.7429cosβ =

(0.7429)cosβ 1−=

o42.02β =

33 DDeetteerrmmiinnee eell vvoolluummeenn ddeell pprriissmmaa ssii k2j3i4P ˆˆˆ +−=r

;; kj5i2 ˆˆˆ +−−= Qr

;;

kji7R ˆˆˆ −+=r

ssiieennddoo ttooddooss eessttooss vveeccttoorreess ddee ppoossiicciióónn eenn eell oorriiggeenn.. SSoolluucciióónn::

k

2j3i4P ˆˆˆ +−=r

kj5i2Q ˆˆˆ +−−=r

kji7R ˆˆˆ −+=r

( )RQ.PVprisma

rrr×=

( )1-1715-2-23-4

RQ.PV =×=rrr

35)22(7)3(21)4(5V +−+−+−= 2(33)5)3(4(4)V +−+=

3unid 67V =

1133

44 DDeetteerrmmiinnaarr eell vvaalloorr ddee QQyy ppaarraa qquuee llooss ttrreess vveeccttoorreess sseeaann ccooppllaannaarreess;;

kji3P ˆˆˆ +−=r

;; k2jQyi4Q ˆˆˆ −+=r

;; k2j2i2 ˆˆˆ +−= Rr

.. SSoolluucciióónn::

( ) 02Qy)8(4)(84)3(2Qy22-22-Qy411-3

RQ.P =−−+++−==×rrr

( ) 02Qy812126QyRQ.P =−−+−=×

rrr

44QQyy == 88 QQyy == 22

55 PPaarraa eell ppllaannoo mmoossttrraaddoo,, ddeetteerrmmiinnaarr uunn vveeccttoorr nnoorrmmaall uunniittaarriioo.. EEll ppllaannoo ppaassaa ppoorr

ttrreess ppuunnttooss nnoo ccoolliinneeaalleess AA((00,, 00,, 00));; BB((2200,, 110000,, --2255));; CC((8800,, 00,, --77))..

SSoolluucciióónn:: AA((00,, 00,, 00)) BB((2200,, 110000,, --2255)) CC((8800,, 00,, --77)) CACBn ×=

r

725 0,100 80,20CB +−−−=

18 100, 60,CB −−=

k18j100i60CB ˆˆˆ −+−=

70 0,0 80,0CA +−−=

7 0, 80,-CA =

k7j0i-80CB ˆˆˆ ++=

7080-18-10060-kji

CACBn

ˆˆˆ

=×=r

k80001440)420 (-ji700n ˆˆˆ +−−=r

k8000j1860i700n ˆˆˆ ++=r ,, k 0.08449 0.2256 0.9705n i jλ = + +

1144

LA FUERZA Una fuerza representa la acción de un cuerpo sobre otro como resultado de una interacción entre estos; acción que puede ser ejercida por el contacto directo entre superficies o a distancia como en el caso de las fuerzas gravitacionales o magnéticas que no necesitan un íntimo acercamiento. Los efectos producto de esta interacción, pueden ser observados de forma externa o interna al cuerpo sobre el cual actúan los diferentes tipos de fuerzas. El efecto externo se manifiesta por el cambio o tendencia al cambio que se opera en el estado de movimiento del cuerpo. Los esfuerzos y las posibles deformaciones sufridas son producto de la acción interna. Para comprender una fuerza no basta con conocer su magnitud. La importancia del carácter direccional de este fenómeno en los efectos provocados, nos obliga a manejar la fuerza como una cantidad vectorial. Adicionalmente a su magnitud, dirección y sentido en muchos casos debemos interesarnos en el punto de aplicación de la fuerza. Dependiendo del sistema de unidades utilizado, las fuerzas pueden ser expresadas en Newton, Kgf, lbf, Toneladas métricas (Tm), Toneladas inglesas (Ton), etc PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD Establece que el efecto externo sobre un cuerpo rígido será el mismo, si una fuerza que actúa en un punto dado del cuerpo es sustituida por otra de igual magnitud y dirección actuando en un punto diferente, siempre y cuando ambas fuerzas tengan la misma línea de acción. FUERZAS IGUALES Se dice que dos fuerzas son iguales cuando tienen la misma dirección, sentido y magnitud, tengan o no el mismo punto de aplicación o línea de acción.

1155

FUERZAS EQUIVALENTES Dos fuerzas son equivalentes si además de tener igual magnitud, dirección y sentido tienen la misma línea de acción, es decir cumplen con el principio de transmisibilidad. Se dice entonces que dos fuerzas que producen el mismo efecto externo son consideradas equivalentes.

LEY DE ACCION Y REACCION (Tercera Ley de Newton) Las fuerzas de acción y reacción entre cuerpos en contacto directo o indirecto tienen la misma magnitud, igual línea de acción y sentidos opuestos.

RESULTANTE DE FUERZAS La adición de fuerzas se realiza de acuerdo con las propiedades de la suma de vectores, de tal suerte que para encontrar la resultante de un conjunto de fuerzas cuyas líneas de acción convergen en un punto basta con adicionarlas y establecer que la línea de acción de la fuerza resultante debe pasar por el punto de convergencia.

1166

EEJJEERRCCIICCIIOOSS CCOONN FFUUEERRZZAASS EENN EELL EESSPPAACCIIOO..

11.. DDeetteerrmmiinnaarr llaa lloonnggiittuudd ddeell ccaabbllee AABB yy eexxpprreessaarr llaa ffuueerrzzaa ddee tteennssiióónn eenn eell mmiissmmoo eenn ccoommppoonneenntteess vveeccttoorriiaalleess ssii ssuu mmaaggnniittuudd eess ddee 5500 llbbss..

CCoooorrddeennaaddaass AA yy BB AA((88,, 55ccooss5500,, 55ccooss4400)) BB((55,, 1122,, 00)) eenn ppllaannoo xxyy

5cos400 5cos50,12 8,5AB −−−=

k 3.83j 8.79i 3AB ˆˆˆ −+−=

( ) ( ) ( )222 3.858.793AB −++−=

10.04AB =

k 10.043.83j

10.048.79i

10.043

|AB|AB

ABˆˆˆλ −+−==

k 0.381j 0.875i 0.229ABˆˆˆλ −+−=

ABABAB |T|T λ⋅=rr

ABAB 50T λ=r

k 19.05j 43.75i 14.95TABˆˆˆ −+−=

r

LLoonnggiittuudd ddee ccaabbllee pies 10.04|AB| =

MMaaggnniittuudd ddee tteennssiióónn lb 50|T| AB =r

VVeeccttoorr TTeennssiióónn k 19.05j 43.75i 14.95TABˆˆˆ −+−=

r

1177

22.. CCuuaall sseerráá llaa tteennssiióónn eenn llooss ccaabblleess AACC yy AADD ddee ttaall mmaanneerraa qquuee llaa ffuueerrzzaa rreessuullttaannttee sseeaa vveerrttiiccaall,, ssii llaa tteennssiióónn eenn eell ccaabbllee AABB eess ddee 3399 kkNN,, ((vveerr ffiigguurraa))

56|AC|k 24 j 48i 16AC =→−−= ˆˆˆ

52|AB|k 12j 48i 16AB =→+−= ˆˆˆ

50|AD|k 0j 48i 14AD =→+−−= ˆˆˆ

k 5624j

5648i

5616

ACˆˆˆλ −−=

k 5212j

5248i

5216

ABˆˆˆλ +−=

j 5248i

5014

ABˆˆλ −=

k 52468j

521872i

5262439T ABAB

ˆˆˆλ +−==r

k T5624j T

5648i T

5616T ACACACAC

ˆˆˆ −−=r

j T5048i T

5014T ADADAD

ˆˆ −−=r

⇒⇒ ( )10T5014T

5616

52624

ADAC =−+

( )20T5624

52468

AC =− ⇒⇒ TTACAC == 2211 kkNN yy TTADAD == 6644..2299 kkNN

1188

33.. ACFr

eessttáá eenn eell ppllaannoo xxyy ccoonn θθyy == 113355°° ssee pprreetteennddee ssuussttiittuuiirr eell eeffeeccttoo ddee FFACAC yy

FFAB mediante un solo cable AD, cual debe ser la fuerza mediante un solo cable AD, cual debe ser la fuerzAB B a ADFr

y las coordenadas del punto D en la plano xz. Sí F

y las coordenadasdel punto D en la plano xz. Sí FAACC = 1500 lbf y F= 1500 lbf y FAABB == 22000000 llbbff.. B

k 0j 12i 12AC ˆˆˆ +−=

k 14j 12i 8AB ˆˆˆ +−=

k zj 12ix AD ˆˆˆ +−=

( ) ( )k0j

288121500

i288

1215001500Fk 0j

28812i

28812

ACACACˆˆˆλˆˆˆλ +−==→+−=

r

k 40414

j 40412

i 4048

ABˆˆˆ +−=λ

( ) ( ) ( )k

142000j

404122000

i 404

1220002000F ABAB

ˆ404

ˆˆ +−== λr

k Lzj

L12i

Lx

ADˆˆˆλ +−= k 1393.05j 2254.7i 1856.7R ˆˆˆ +−=

r

3235.98|F|3235.98|R| AD =∴=rr

k 3235.981393.05j

3235.982254.7i

3235.981856.7

Rˆˆˆλ +−=r

0.697L12ycos;0.574

Lxxcos −=−=== θθ

LL == 1177..2211

xx == 00..557744((1177..2211)) ;; CCoossθθ zz == Lz == 00..4433

xx == 99..8888 zz == 00..4433((1177..2211)) zz == 77..4400 ⇒⇒ DD((99..8888,, 00,, 77..4400))

1199

44.. SSii || ABTr

|| == 440088 NN ddeetteerrmmiinnaarr llaa ffuueerrzzaa eenn ssuuss ccoommppoonneenntteess qquuee ssooppoorrttaa llaa ppaarrttííccuullaa BB

k 360j 480i 320BA ˆˆˆ −+=

||BA || == 668800

BABABA 408Tk 680360j

680480i

680320λ λˆˆˆ =→−+=

r

k 216j 288i 192TBAˆˆˆ −+=

r

55.. SSii || ADTr

|| == 442299 NN ddeetteerrmmiinnaarr llaa ffuueerrzzaa eenn ssuuss ccoommppoonneenntteess qquuee ssooppoorrttaa llaa ppaarrttííccuullaa DD..

k 360j 480i 250DA ˆˆˆ ++−=

||DA || == 665500

DADADA 429Tk 650360j

650480i

650250 λˆˆˆλ =→++−=

r

TTDADA == --116655 îî ++ 331166..88 ĵĵ ++223377..66 k NNoottaa:: BB yy DD ssiieenntteenn qquuee ttiirraann ddee eellllooss ppoorr eessoo eell sseennttiiddoo hhaacciiaa aarrrriibbaa..

2200

66.. PPaarraa llaa ffiigguurraa qquuee ssee mmuueessttrraa aa ccoonnttiinnuuaacciióónn ddeetteerrmmiinnee llaass ccoommppoonneenntteess ddee TTACAC,, llooss áánngguullooss ddiirreeccttoorreess ssii ssee ssaabbee qquuee ||TTACAC|| == 112200 llbbss..

L|AC| =

AAC C hh == LL((ccooss6600)) AACXCX == AACChh..ccooss2200 == ((LLccooss6600))ccooss2200 AACZCZ == AACChh..sseenn2200 == ((LLccooss6600))sseenn2200 AACYCY == LLsseenn6600

k 0Lcos60sen2j Lsen60i 0Lcos60cos2AC ˆˆˆ −−=

k cos60sen20LLj sen60

LLi cos60cos20

LL

||ACAC

ACˆˆˆ

λλ −−==

k cos60sen20j sen60i cos60cos20ACˆˆˆλ −−=

[ ]k cos60sen20j sen60i cos60cos20120120T ACACˆˆˆλ −−==

r

k 20.52j 103.92i 56.38TACˆˆˆ −−=

r

ÁÁnngguullooss ddiirreeccttoorreess..

k cos60sen20j sen60i cos60cos20ACˆˆˆλ −−=

( ) °== − 61.98cos60cos20cosθ 1X

( ) °=−= − 150sen60cosθ 1Y

( ) °=−= − 99.85cos60sen20cosθ 1Z

2211

EFECTOS EXTERNOS ROTACIONALES: MOMENTO DE UNA FUERZA La magnitud del momento de una fuerza con respecto a un punto se define como el producto de la magnitud de la fuerza por la distancia perpendicular entre la línea de acción de la fuerza y el punto en referencia denominado también centro de momentos.

El efecto externo provocado por el momento de una fuerza es la tendencia a girar del cuerpo alrededor del centro de momentos y la magnitud del momento mide de forma cuantitativa el efecto rotacional. Aquí nuevamente se observa que los movimientos de rotación o tendencias a este tipo de movimientos únicamente pueden ser comprendidos a plenitud si se toma en cuenta su dirección y que por lo tanto deben ser manejados como vectores. En términos vectoriales el momento de una fuerza aplicada en A con respecto a un punto P es expresado como:

FrM pAp

rrr×=

donde zkyjxi ++=pArr

$ $ F Fx i Fy j Fz k= + +

ur$ FF ==

DDee aaccuueerrddoo aa llaass pprrooppiieeddaaddeess ddeell pprroodduuccttoo ccrruuzz,, eell mmoommeennttoo MM eess uunn vveeccttoorr ppeerrppeennddiiccuullaarr aall ppllaannoo qquuee ccoonnffoorrmmaann llooss vveeccttoorreess rr yy FF.. LLaass ccoommppoonneenntteess rreeccttaanngguullaarreess ddeell mmoommeennttoo ddee uunnaa ffuueerrzzaa eenn ttéérrmmiinnooss ggeenneerraalleess ppuueeddeenn sseerr oobbtteenniiddaass ddee llaa ssiigguuiieennttee mmaanneerraa::

k MzjMy iMx M O ++=r

k )yrxFyFx(rj )zrxFzFx(ri )zryFzFy(r

zFyFxFzryrxrkji

FrMOˆˆˆ

ˆˆˆ

−+−−−==×=rr

xM r F F ry z y z= − ;; x z x z−= − ;yM (r F F r ) ; zM r F F rx y x y −=

2222

PPaarraa ppooddeerr ccaallccuullaarr eell mmoommeennttoo rreessppeeccttoo aa uunn ppuunnttoo aarrbbiittrraarriioo ““BB”” qquuee nnoo sseeaa eell oorriiggeenn,, ccuuaannddoo llaa ffuueerrzzaa F

r eessttáá aapplliiccaaddaa eenn ““AA”” ssee pprroocceeddee ddee llaa ssiigguuiieennttee ffoorrmmaa::

zyx

zyxB

FFFAAAkji

M

ˆˆˆ

=

F)rr(FrM BABAB

rrrrrr×−=×=

BABA

ABAB

rrrrrr

−==+

77.. DDeetteerrmmiinnaarr eell mmoommeennttoo ddee llaa ffuueerrzzaa Fr

aapplliiccaaddaa eenn eell ppuunnttoo ““AA””.. SSoobbrree eell ppuunnttoo ““pp””..

FrM pAp

rrr×=

k 8.5j 6i 11rpAˆˆˆ −+−=

r;; AB13λF =r

k 1.5j 2i 6AB ˆˆˆ −+= ;; 6.5AB = ,, k 6.51.5j

6.52i

6.56λ AB

ˆˆˆ −+= ⇒⇒

k 3j 4i 12 λ13F ABABˆˆˆ −+==

r

p

ˆ ˆ ˆi j kˆ ˆM 11 6 8.5 16 i 135 j 116 k= − − = − −

r ˆ

12 4 3−

2233

TTEEOORREEMMAA DDEE VVAARRIIGGNNOONN TTrraattaa ssoobbrree eell mmoommeennttoo pprroodduucciiddoo ppoorr vvaarriiaass ffuueerrzzaass ccoonnccuurrrreenntteess..

n21n21O F.........rFrFr).........FF(FrRrM ×+×+×=++×=×=rrrr

El momento con respecto a un punto dado “O” de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las fuerzas con respecto al mismo punto.

MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE.MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE.

FrM OAOrrr

×= LLaa pprrooyyeecccciióónn ddee uunn vveeccttoorr ssoobbrree oottrroo vveeccttoorr ssee ccaallccuullaa ppoorr eell pprroodduuccttoo eessccaallaarr..

2244

2255

SSeeaa MMoLoL llaa pprrooyyeecccciióónn ddeell vveeccttoorr OMr

ssoobbrree eell eejjee OOLL

Escalar Producto Triple )Fr( . λM . λM OAOLOOLOLrrrr

×==

zyx

zyx

zyx

OAOLOL

FFFAAA)Fr.(λMλλλ

=×=rrr

MMOLOL mmiiddee llaa tteennddeenncciiaa ddee llaa ffuueerrzzaa F

r aa iimmpprriimmiirr uunn ggiirroo aallrreeddeeddoorr ddeell eejjee OOLL..

FrM BAB

rrr×= FrM CAC

rrr×=

(1) )Fr.(λM BABLBL

rrr×= (2) )Fr(λM CA.CLCL

rrr×=

(3) rrrrrr BCBACABACABC

rrrrrr−=→=+

Sustituyendo (3) en (2)

( )[ ]Frr .λM BCBACLCL

rrrr×−=

( ) ( ) (4) Fr. λFr.λM BCCLBACLCL

rrrrr×+×=

BCCL ry λ r

eessttáánn eenn eell mmiissmmoo eejjee ppoorr lloo ttaannttoo eell ttrriippllee pprroodduuccttoo eessccaallaarr eess cceerroo.. LLaa eexxpprreessiióónn ((44)) eess iigguuaall aa llaa eexxpprreessiióónn ((11)) CCoonncclluuiimmooss:: EEll mmoommeennttoo rreessppeeccttoo aa uunn eejjee eess aarrbbiittrraarriioo ddeell ppuunnttoo ssoobbrree eell eejjee ddee ddoonnddee ppaarrttee eell vveeccttoorr r

r.. DDiicchhoo ddee oottrraa mmaanneerraa,, ppooddeemmooss aasseegguurraarr qquuee eell mmoommeennttoo ddee

uunnaa ffuueerrzzaa ccoonn rreessppeeccttoo aa uunn eejjee eess úúnniiccoo yy ssuu vvaalloorr nnoo ddeeppeennddee ddeell ppuunnttoo qquuee ssee eessccoojjaa ccoommoo cceennttrroo ddee mmoommeennttooss ssiieemmpprree yy ccuuaannddoo eessttee ppeerrtteenneezzccaa aall eejjee..

DDeessccoommppoonneemmooss llaa ffuueerrzzaa FF eenn FF11 yy FF22 ddoonnddee FF11 eess ppaarraalleelloo aa OOLL yy FF22 eessttaa eenn eell ppllaannoo ddee llaa ppllaaccaa.. LLooss ppuunnttooss ““OO”” yy ““AA”” eessttáánn eenn eell ppllaannoo ddee llaa ppllaaccaa..

( )[ ]21OAOLOL FFrλMrrr

+×=

( ) ( )2OAOL1OAOLOL Fr.λFr.λMrrrr

×+×=

NNoottee qquuee OLλ yy 1F

r ssoonn ccooppllaannaarreess ppoorr lloo qquuee

( ) 0Fr. 1OAOL =×λrr )Fr.(M 2OAOLOL

rr×λ=∴ ..

PPooddeemmooss aapprreecciiaarr ccoonn mmaayyoorr ccllaarriiddaadd qquuee MMOLOL mmiiddee llaa tteennddeenncciiaa ddee F

r aa hhaacceerr ggiirraarr eell

ccuueerrppoo rrííggiiddoo aallrreeddeeddoorr ddeell eejjee OOLL..

2266

2277

88.. UUnn aannuunncciioo ssee eennccuueennttrraa ssoobbrree uunnaa ssuuppeerrffiicciiee ddeessnniivveellaaddaa yy ssee ssoossttiieennee

mmeeddiiaannttee llooss ccaabblleess EEFF yy EEGG.. SSii llaa ffuueerrzzaa eejjeerrcciiddaa ppoorr eell ccaabbllee EEFF eenn EE eess ddee 4466 LLbbss,, ddeetteerrmmiinnee ssuu mmoommeennttoo ccoonn rreessppeeccttoo aa llaa llíínneeaa qquuee uunnee aa llooss ppuunnttooss AA yy DD..

SSii llaa ffuueerrzzaa eejjeerrcciiddaa ppoorr eell ccaabbllee EEGG eess EE eess 5544 LLbbss,, ddeetteerrmmiinnee ssuu mmoommeennttoo ccoonn rreessppeeccttoo aa llaa llíínneeaa qquuee uunnee llooss ppuunnttooss AA yy DD..

( )EGAGADAD Fr.λM ×=

k 44j 88i 11EG ˆˆˆ −−=

99 |EG| =

k 9944j

9988i

9911λEG

ˆˆˆ −−=

EGEG λ54F =

k 24j 48i 6FEGˆˆˆ −−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= −

4836Tanθ 1

3645cosθEx == 2745senθEz ==

EE((3366,, 9966,, 2277)) GG((4477,, 88,, --1177))

AA((00,, 00,, 00)) k17j8i47rAGˆˆˆ −+=

DD((4488,, --1122,, 3366))

k36j12i48AD ˆˆˆ +−=

3744 |AD| =

k374436j

374412i

374448λ AD

ˆˆˆ +−=

( )EGAGADAD Fr.λM ×=

2448617847

374436

374412

374448

MAD

−−−

−

=

( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]1762447374412

1748248374448

MAD −−−+−−−−= ( ) ([ ]864847374436

−−+ )

pieLb 195.6312pulg1pie

inLb 2347.51MAD ⋅−=⋅⋅−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−=−= k

374436j

374412i

374448 195.63 λ195.63 M ADDA

ˆˆˆr

k 115.1j 38.37i 153.46 M DAˆˆˆ −+−=

r

2288

MOMENTO DE UN PAR DE FUERZAS

SSee ddiiccee qquuee ddooss ffuueerrzzaass F yF

rr− ffoorrmmaann uunn ppaarr ssii ttiieenneenn llaa mmiissmmaa mmaaggnniittuudd,, llíínneeaass ddee

aacccciióónn ppaarraalleellaass yy sseennttiiddooss ooppuueessttooss..

( )FrFrM OBOAO

rrrrr−×+×= OABAOB rrr

rrr=+

FrFrM OBOAO

rrrrr×−×= OBOABA rrr

rrr−=

( ) FrrM OBOAO

rrrr×−=

FroM BArrr

×= DDee eessttaa eexxpprreessiióónn ppooddeemmooss nnoottaarr qquuee BAr

r eess iinnddeeppeennddiieennttee ddeell mmaarrccoo ddee rreeffeerreenncciiaa,,

ppoorr lloo qquuee OMr

ddee uunn ppaarr eess uunn vveeccttoorr lliibbrree qquuee ppuueeddee aapplliiccaarrssee eenn ccuuaallqquuiieerr ppuunnttoo ddeell ccuueerrppoo..

senθ|r|.|F|senθ|F||r| |M| BABAO ⋅=⋅⋅=rrrrr

d|F||M| O ⋅=rr

DDoonnddee dd == senθ|r| BA ⋅r

,, ddiissttaanncciiaa ppeerrppeennddiiccuullaarr aa llaa ffuueerrzzaa..

2299

99.. SSii pp == 2200 LLbbss,, rreeeemmppllaaccee llooss ttrreess ppaarreess ppoorr uunnoo ssoolloo,, eeqquuiivvaalleennttee,, eessppeecciiffiiccaannddoo llaa mmaaggnniittuudd yy llaa ddiirreecccciióónn ddee ssuu eejjee..

k 20j 10i oBA ˆˆˆ +−=

500 |BA| =

k 50020 j

50010i 0λBA

ˆˆˆ +−=

k 500800j

500400i 0 λ40F ABBA

ˆˆˆ +−==

BADAPCO16CO FrFrFrMrrrrrr

×+×+×=

500800

5004000

10015kji

20000030kji

01600030kji

M−

−+−+−=

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++++−+= k

5006000j

50012000i

5004000k 0j 600i 0k 480j 0i 0M ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

k 480500

6000j 500

12000600i500

4000M ˆˆˆ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

3300

3311

PARES EQUIVALENTESPARES EQUIVALENTES.. Establecemos que dos sistemas de fuerzas son equivalentes, es decir tienen el mismo efecto en el cuerpo rígido, si puede transformarse uno de ellos en otro mediante una o varias de las operaciones siguientes:

11)) RReeeemmppllaazzaannddoo ddooss ffuueerrzzaass qquuee aaccttúúaann ssoobbrree uunnaa mmiissmmaa ppaarrttííccuullaa ppoorr ssuu rreessuullttaannttee..

22)) DDeessccoommppoonniieennddoo uunnaa ffuueerrzzaa eenn ssuuss ccoommppoonneenntteess.. 33)) CCaanncceellaannddoo ddooss ffuueerrzzaass iigguuaalleess yy ooppuueessttaass qquuee aaccttúúeenn ssoobbrree llaa mmiissmmaa

ppaarrttííccuullaa.. 44)) AApplliiccaannddoo aa llaa mmiissmmaa ppaarrttííccuullaa ddooss ffuueerrzzaass iigguuaalleess yy ooppuueessttaass.. 55)) DDeessppllaazzaannddoo uunnaa ffuueerrzzaa aa lloo llaarrggoo ddee ssuu llíínneeaa ddee aacccciióónn..

3322

QddF 211 = PPaarreess eeqquuiivvaalleenntteess.. DDooss ppaarreess qquuee ttiieenneenn eell mmiissmmoo mmoommeennttoo ssoonn eeqquuiivvaalleenntteess ssii eessttáánn ccoonntteenniiddooss eenn eell mmiissmmoo ppllaannoo oo eenn ppllaannooss ppaarraalleellooss.. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA DADA EN UNA FUERZA APLICADA DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA DADA EN UNA FUERZA APLICADAEN O Y UN PAR.EN O Y UN PAR.

( ) F''rrF'ro'Mrrrrrr

×+=×=

F''rFro'Mrrrrr

×+×=

F''roMo'Mrrrr

×+= CCoonncclluuiimmooss:: SSee ppuueeddee ttrraassllaaddaarr uunnaa ffuueerrzzaa ffuueerraa ddee ssuu llíínneeaa ddee aacccciióónn,, ssii llee ssuummaammooss eell mmoommeennttoo qquuee llaa ffuueerrzzaa pprroodduuccee eenn ssuu ppoossiicciióónn oorriiggiinnaall ssoobbrree eell ppuunnttoo ddoonnddee ttrraassllaaddaammooss llaa ffuueerrzzaa..

3333

PPooddeemmooss vveerr iinnvveerrttiiddoo eell pprroocceessoo,, aassíí:: SSii tteennggoo uunnaa ffuueerrzzaa yy uunn mmoommeennttoo((ffuueerrzzaa--ppaarr))qquuee sseeaann ppeerrppeennddiiccuullaarreess eennttrree ssíí,, ppuueeddeenn rreeeemmppllaazzaarrssee ppoorr úúnniiccaa ffuueerrzzaa eeqquuiivvaalleennttee,, eessttoo ssee llooggrraarrííaa ssii F

r eess ddeessppllaazzaaddaa

eenn uunn ppllaannoo ppeerrppeennddiiccuullaarr aa oMr

hhaassttaa qquuee ssuu mmoommeennttoo rreessppeeccttoo aa ““OO””,, sseeaa iigguuaall aall

vveeccttoorr ddeell ppaarr oMr

qquuee sséé vvaa aa eelliimmiinnaarr..

OO ((xx11,, yy11,, zz11)):: ccoonnoocciiddoo KK:: ppuunnttoo qquuee ppeerrtteenneeccee aall ppllaannoo ppeerrppeennddiiccuullaarr aa oM

r

KK ((xx22,, yy22,, zz22)):: bbuussccaaddoo ddoonnddee lllleevvaarr Rr

ppaarraa eelliimmiinnaarr oMr

( ) ( ) ( ) oMRzRyRx

zzyyxxkji

Rr M 212121kokrrrr

=−−−=×=

ˆˆˆ

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]k Rx yyRy xxj Rx zzRz xxi Ry zzRz yyM 212121212121Kˆˆˆ −−−+−−−−−−−=

r

oMMconocido :k MzjMy iMx oM Krrr

=++= ˆˆˆ ((yy11 –– yy22))RRzz –– ((zz11 –– zz22))RRyy == MMxx ((11)) ((zz11 –– zz22))RRxx –– ((xx11 –– xx22))RRzz == MMyy ((22)) ((xx11 –– xx22))RRyy –– ((yy11 –– yy22))RRxx == MMzz ((33)) DDeetteerrmmiinnaarr xx22,, yy22,, zz22 ddee eessttaass ttrreess eeccuuaacciioonneess,, ppaarraa ddeetteerrmmiinnaarr ddoonnddee lllleevvaarr R

r,, aa KK((xx22,,

yy22,, zz22)) ssiisstteemmaa ddee ffuueerrzzaa úúnniiccaa..

REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZAS A UNA FUERZA Y UN PAR

∑ ∑=∴= FxRFR Xrr

∑= FyR Y

∑= FzRZ

RO

n

1iii MFrMo =×= ∑∑

=

rr

Sistema reducido a una fuerza única resultante y un par OM

r en “O”

Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si pueden ser reducidos al mismo sistema fuerza-par en un punto dado “O”. Dos sistemas de fuerzas F1, F2, F3,...... y F’1, F’2, F’3..... son equivalentes si:

∑∑∑∑∑=====

==∧=n

1i

'O

n

1i

'O

n

1io

n

1i

n

1i

iMiMiMiF'Fi

Estos sistemas serán válidos no solo con respecto a “O” sinó con respecto a un punto arbitrario “ O’ ”.

3344

SISTEMAS REDUCIBLES A UNA FUERZA ÚNICA EQUIVALENTE

ii.. FFuueerrzzaass ccoonnccuurrrreenntteess iiii.. FFuueerrzzaass ccooppllaannaarreess iiiiii.. FFuueerrzzaass ppaarraalleellaass

ii.. FFuueerrzzaass ccoonnccuurrrreenntteess

UUnn ssiisstteemmaa ddee ffuueerrzzaass ccoonnccuurrrreenntteess ppuueeddee rreedduucciirrssee aa uunn ssiisstteemmaa ddee ffuueerrzzaa úúnniiccaa,, llaa rreessuullttaannttee..

∑=

=n

1i

i FRrr

iiii.. FFuueerrzzaass ccooppllaannaarreess

3355

3366

332211RO FrFrFr M

rrrrrr×+×+×=

321321 F ,F ,F ,r ,r ,rrrrrrr

eessttáánn ccoonntteenniiddooss eenn eell ppllaannoo ddee llaa ppllaaccaa,, ppoorr lloo qquuee R

O Mr

sseerráá ppeerrppeennddiiccuullaarr

aa llaa ppllaaccaa yy Rr

eessttaarráá ccoonntteenniiddoo eenn llaa ppllaaccaa ddee lloo qquuee ppooddeemmooss ccoonncclluuiirr:: LLooss ssiisstteemmaass ddee ffuueerrzzaass ccooppllaannaarreess ggeenneerraann ssiisstteemmaass ffuueerrzzaa--ppaarr,, ddoonnddee llaa ffuueerrzzaa úúnniiccaa eess ppeerrppeennddiiccuullaarr aall ppaarr rreessuullttaannttee,, ppoorr

lloo ttaannttoo,, rreedduucciibbllee aa uunnaa ffuueerrzzaa úúnniiccaa aapplliiccaaddaa eenn KK..

d.|R||M| RO

r=

|R|

Md

ROr=

LLaa ffuueerrzzaa úúnniiccaa ffuuee ssaaccaaddaa ddee ssuu llíínneeaa ddee aacccciióónn oorriiggiinnaall aa uunnaa nnuueevvaa qquuee ppaassaa ppoorr KK..

3377

iiiiii.. FFuueerrzzaass ppaarraalleellaass

FF11,, FF22,, FF33 ssoonn ppaarraalleellaass eennttrree ssii rr11,, rr22,, rr33 eelleeggiiddooss eessttáánn eell ppllaannoo xxyy

332211RO FrFrFr M

rrrrrr×+×+×=

MMO1O1,, MMO2O2,, MMO3O3 ssoonn ppeerrppeennddiiccuullaarreess aa FF11,, FF22,, FF33,, ppoorr lloo ttaannttoo eR

O M ess ppeerrppeennddiiccuullaarr aa Rr

,,

ppoorr lloo qquuee ppuueeddee rreedduucciirrllee aa uunnaa ffuueerrzzaa úúnniiccaa.. SSii lllleevvaammooss llaa rreessuullttaannttee eenn ““OO”” aa uunnaa nnuueevvaa llíínneeaa ddee aacccciióónn qquuee ppaassee ppoorr uunn ppuunnttoo KK ssoobbrree aallggúúnn ppllaannoo ccoooorrddeennaaddoo,, tteennddrreemmooss uunn ssiisstteemmaa eeqquuiivvaalleennttee ddee ffuueerrzzaa úúnniiccaa..

ROOK MRr =×

rr ;; KK((xx,, yy,, zz)),, OO((00,, 00,, 00))

conocido :O , M ,R RO

r

KK:: iinnccóóggnniittaa

3388

TORSOR PPaarraa eell ccaassoo mmááss ggeenneerraall ddee ffuueerrzzaass eenn eell eessppaacciioo ((nnoo ccoonnccuurrrreenntteess,, nnoo ppaarraalleellaass,, nnoo ccooppllaannaarreess)) tteennddrreemmooss uunnaa rreessuullttaannttee ddee ffuueerrzzaass R

r yy uunn vveeccttoorr ddeell ppaarr qR

O M quuee nnoo

ssoonn ppeerrppeennddiiccuullaarreess eennttrree ssíí yy nniinngguunnoo ddee llooss ccuuaalleess eess cceerroo.. AAssíí nnoo ppuueeddee rreedduucciirrssee eessttee ssiisstteemmaa aa uunnaa ssoollaa ffuueerrzzaa oo aa uunn ssiimmppllee vveeccttoorr ddeell ppaarr.. SSiinn eemmbbaarrggoo ppooddeemmooss hhaacceerr llaa rreedduucccciióónn ssiigguuiieennttee::

-- DDeessccoommppoonneerr eRO M enn ddooss::

1 Mr

:: ccoonn llaa ddiirreecccciióónn ddee Rr

2 Mr

:: eenn uunn ppllaannoo ppeerrppeennddiiccuullaarr aa Rr

-- EEll vveeccttoorr 2 Mr

ppoorr ssuu ppeerrppeennddiiccuullaarriiddaadd ccoonn Rr

ppuueeddee sseerr rreeeemmppllaazzaaddoo ppoorr uunnaa

ssoollaa ffuueerrzzaa Rr

qquuee aaccttuuaarráá eenn uunnaa llíínneeaa ddee aacccciióónn.. ∴∴ EEll rreessuullttaaddoo ffiinnaall sseerráá llaa rreessuullttaannttee R

r yy uunn vveeccttoorr ddeell ppaarr 1 M

r((eenn llaa mmiissmmaa ddiirreecccciióónn

ddee Rr

)).. AA ccoommbbiinnaacciióónn ffuueerrzzaa ppaarr ssee llee llllaammaa ttoorrssoorr.. SSuu eeffeeccttoo sseerráá:: Rr

ttiieennddee aa ttrraassllaaddaarr aall ccuueerrppoo aa lloo llaarrggoo ddee ssuu llíínneeaa ddee aacccciióónn

1 Mr

ttiieennddee aa ggiirraarr eell ccuueerrppoo aallrreeddeeddoorr ddee llaa llíínneeaa ddee aacccciióónn ddee Rr

..

ROR1 M. M

rrrλ=

RO21 M M M

rrr=+ →→ 1

RO2 M M M

rrr−=

2OK MRrrrr

=× ((ppaarraa ddeetteerrmmiinnaarr KK))

3399

1100.. CCoommoo ssee mmuueessttrraa eenn llaa ffiigguurraa,, aa mmeeddiiddaa qquuee eell sseerrvviiddoorr AABB rruueeddaa ssoobbrree llaa ssuuppeerrffiicciiee ddeell eelleemmeennttoo CC,, eejjeerrccee uunnaa ffuueerrzzaa ccoonnssttaannttee,, ppeerrppeennddiiccuullaarr aa ddiicchhaa ssuuppeerrffiicciiee aa)) rreeeemmppllaaccee FF ppoorr uunn ssiisstteemmaa eeqquuiivvaalleennttee ffuueerrzzaa--ppaarr eenn eell ppuunnttoo DD qquuee ssee oobbttiieennee aall ddiibbuujjaarr uunnaa ppeerrppeennddiiccuullaarr ddeessddee eell ppuunnttoo ddee ccoonnttaaccttoo hhaassttaa eell eejjee xx.. bb)) ccuuaannddoo aa == 11,, bb == 22,, ddeetteerrmmiinnaarr eell vvaalloorr ddee xx ppaarraa qquuee eell mmoommeennttoo ddeell ssiisstteemmaa eeqquuiivvaalleennttee ffuueerrzzaa--ppaarr eenn DD sseeaa mmááxxiimmoo..

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+⋅=

2

2

224D

abxb

x4ba2bxF M SSiisstteemmaa ffuueerrzzaa--ppaarr eenn DD

2242

32D x4ba

axxF2b M +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅= ( )( ) ( )YFsenβYFxM D ==

FRrr

=

( )( )-1/223D 16x1xx8F M +−= ;; SSii aa == 11,, bb == 22

( )( ) ( ) ( ) ( )32x16x121xxF 816x13x1F 8

dxdM 3/2221/222 ⋅+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−−++−=

−−

( ) ( )( )32

3

2

2

16x1

xxF 128

16x1

3x1F 80

+

−−

+

−=

( )2

422

16x1xx16

3x1+

−=− →→ ( )( ) ( )4222 xx1616x13x1 −=+−

42422 16x16x48x3x16x1 −=−−+ xx == 00..336699

013x32x 24 =+−− 00..113366

)

( )(( )322

132493x2

−−−±

=

XX == 00..336699 ppaarraa qquuee MMDD sseeaa mmááxx

4400

1111.. CCuuaattrroo ccuueerrddaass ssee aattaann aa uunnaa ccaajjaa ddee mmaaddeerraa eejjeerrcciieennddoo llaass ffuueerrzzaass mmoossttrraaddaass

eenn llaa ffiigguurraa.. SSii llaass ffuueerrzzaass ddeebbeenn sseerr rreeeemmppllaazzaaddaass ppoorr uunnaa ssoollaa ffuueerrzzaa rreessuullttaannttee aapplliiccaaddaa eenn uunn ppuunnttoo aa lloo llaarrggoo ddee llaa llíínneeaa AABB,, ddeetteerrmmiinnee.. aa)) llaa ffuueerrzzaa eeqquuiivvaalleennttee yy llaa ddiissttaanncciiaa aa ppaarrttiirr ddee AA ddeell ppuunnttoo ddee aapplliiccaacciióónn ddee llaa mmiissmmaa ccuuaannddoo αα == 3300°° yy bb)) eell vvaalloorrαα ssii llaa ffuueerrzzaa eeqquuiivvaalleennttee ssee aapplliiccaa eenn BB..

j 100seni 100cos30j 90sen65i 90cos65j 400cos25i 400sen25j 160R ˆˆˆˆˆˆˆ +−++++=r

j 654.09i 120.48R ˆˆ +=r

( ) ( ) ( ) ( ) ( )6690sen653690cos6566400cos2526400sen2546160 M RA ++++=

k inlb 42,434.507 M RA

ˆ⋅=

pielb 3536.21 M RA ⋅=

[ ] 3536.21654.09xMA ==

xx == 55..4411 ppiiee xx == 6644..99 ppuullgg..

lb 665.1|R| =r

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= −

120.48654.09tanθ 1

θθ == 7799..66°° bb)) SSii eell ssiisstteemmaa ddee ffuueerrzzaa úúnniiccaa eeqquuiivvaalleennttee eess eenn BB

)

( ) ( j 100sen90sen65400cos25160i 100cos90cos65400sen25R ˆαˆα ++++−+=r

( ) ( j 100sen604.09i 100cos207.08R ˆαˆα ++−= )r

[ ] 42,434.507M100sen604.0966 A ==+ α

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= −

66002564.51sen 1α

αα == 2222..99°°

4411

1122.. UUnnaa cciimmeennttaacciióónn ddee ccoonnccrreettoo ccoonn ffoorrmmaa ddee hheexxáággoonnoo rreegguullaarr ddee 1122 ppiieess ppoorr llaaddoo,, ssooppoorrttaa ssoobbrree ccuuaattrroo ddee ssuuss ccoolluummnnaass llaass ccaarrggaass mmoossttrraaddaass eenn llaa ffiigguurraa.. DDeetteerrmmiinnee llaass mmaaggnniittuuddeess ddee llaass ccaarrggaass aaddiicciioonnaalleess qquuee ddeebbeenn aapplliiccaarrssee eenn BB yy FF,, ssii llaa rreessuullttaannttee ddee llaass sseeiiss ccaarrggaass ddeebbeenn ppaassaarr ppoorr eell cceennttrroo OO ddee llaa cciimmeennttaacciióónn..

BF FF10302015R −−−−−−=r

BF FF75R −−−=r

0FrFrFrFrFrFrM FOF20OEDODCOCBOBBOA

RO =×+×+×+×+×+×=

rrrrrrrrrrrrr

+−

+−

+−

−+−

−03000012kji

010012sen60012cos60

kji

0F012sen60012cos60

kji

01500012kji

B

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

0F012sen60012cos60

kji

020012sen60012cos60

kji

F−−−+

−−

ˆˆˆˆˆˆ

i 240sen60k 360k 120cos60i 12sen60k 12cos60Fi 12sen60Fk 180 BBˆˆˆˆˆˆˆ −−−+++

k 240cos60 ˆ− k12cos60Fi12sen60F F Fˆˆ +−

( ) ( ) k 0j 0i 0k 3606F6Fj 0i 103.92312sen60F12sen60F FBFBˆˆˆˆˆˆ ++=−+++−−

1122sseenn6600FFB – 12sen60FBB – 12sen60FFF – 103.923 = 0 – 103.923 = 066FFB + 6FBB + 6FFF – 360 = 0 – 360 = 0

103.92312sen60F6

6F36012sen60 FF =−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

103.92312sen60F12sen60F720sen60 FF =−− kips 25FF =

( )35

6256360

FB =−

=

kips 35FB =

4422

1133.. DDooss ppeerrnnooss eenn AA yy eenn BB ssee aapprriieettaann mmeeddiiaannttee llaa aapplliiccaacciióónn ddee llaass ffuueerrzzaass yy llooss ppaarreess mmoossttrraaddooss eenn llaa ffiigguurraa.. RReeeemmppllaaccee llaass ddooss llllaavveess ddee ttoorrssiióónn ppoorr uunnaa ssoollaa llllaavvee ddee ttoorrssiióónn eeqquuiivvaalleennttee yy ddeetteerrmmiinnee,, aa))llaa rreessuullttaannttee RR,, bb))eell ppaassoo ddee eessaa llllaavvee ddee ttoorrssiióónn eeqquuiivvaalleennttee yy cc)) eell ppuunnttoo ddoonnddee eell eejjee ddee llaa llllaavvee ddee ttoorrssiióónn iinntteerrsseeccttaa aall ppllaannoo xxyy..

k 20j 0i 0CD ˆˆˆ −+=

k 0j 16i 30CE ˆˆˆ +−=

016302000kji

nCECD−

−==×

ˆˆˆr

k 0j 600i 320n ˆˆˆ +−−=r

680|n| =

r

k 0j 680600i

680320n ˆˆˆλ +−−=

r

k 0j 15i 8n 17F17ˆˆˆλ +−−==

rr

k 0j 210i 112n 238M238ˆˆˆλ +−−==

rr

k 26.4j 0i 0F26.4ˆˆˆ −+=

r 26.4BA220238

RB FrMM M

rrrr×++=

k 220j 0i 0M220ˆˆˆ −+=

r

i 26426.40010100kji

Fr 26.4BAˆ

ˆˆˆ

=−

−=×rr

( ) ( ) ( k 02200j 00210i 2640112MRB

ˆˆˆ +−+++−+++−= )

k 220j 210i 152 M RB

ˆˆˆ −−=

k31.426.4j

31.415i

31.48Rk 26.4j 15i 8R ˆˆˆλˆˆˆ −−−=→−−−=

rr

( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−−+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−=⋅=

31.426.4220

31.415210

31.48152 MRλ|M| R

B1rr

pulglb 246.56M1 ⋅=

k 207.3j 117.78i 62.82R 246.56M1ˆˆˆλ −−−==

rr

( ) ( )k 207.3j 117.78i 62.82k 220j 210i 152MMM 1RB2

ˆˆˆˆˆˆ −−−−−−=−=r

k 12.7 j 92.22i 214.82M2ˆˆˆ −−=

r

KK((xx,, 00,, zz)):: ppuunnttoo ddee aapplliiccaacciióónn BB((00,, 00,, 00))

( ) k15x j 8z26.4i 15z26.4158z0xkji

RrM BKBˆˆˆ

ˆˆˆ

−+−−=−−−

=×=rr

221144..8822 --9922..2222 --1122..77

14.3215

214.82z == 0.8515

12.7x ==

CCoommpprroobbaacciióónn eenn j--2266..44((00..8855)) ++ 88((1144..3322)) == --9922..2222

k 26.4j 15i 8R ˆˆˆ −−−=r

lb 31.4|R| =r

PPaassoo == in 7.8531.4

246.56RM1 ==

KK((00..8855,, 00 1144..3322))

4433

4444

1144.. UUnn bbllooqquuee ddee aalluummiinniioo eessttáá ssoommeettiiddoo aa ttrreess ffuueerrzzaass ddee llaa mmiissmmaa mmaaggnniittuudd PP eenn llaass ddiirreecccciioonneess mmoossttrraaddaass eenn llaa ffiigguurraa.. RReeeemmppllaaccee eessttaass ttrreess ffuueerrzzaass ppoorr uunn ttoorrssoorr eeqquuiivvaalleennttee yy ddeetteerrmmiinnee aa)) mmaaggnniittuudd yy ddiirreecccciióónn ddee llaa ffuueerrzzaa rreessuullttaannttee RR,, bb)) eell ppaassoo ddee llaa llllaavvee ddee ttoorrssiióónn yy cc)) eell eejjee ddee llaa llllaavvee ddee ttoorrssiióónn..

P002aa3akji

0P0002akji

FrFrM CACABRA

−−−+=×+×=

ˆˆˆˆˆˆrr

j 3api apk 2apMRA

ˆˆˆ ++= ( ) ( )k 2apj 3ai apk 0j 1i 0MRλ|M| RA1

ˆˆˆˆˆˆ ++⋅++=⋅=rr

k 2apj 3api apMRA

ˆˆˆ ++= 3ap|M| 1 =

k 0j pi 0R ˆˆˆ ++=r

k 0j 3api 0M1ˆˆˆ ++=

r

k 0j 1i 0R ˆˆˆλ ++=r

( ) ( )k 0j 3api 0k 2apj 3api apMMM 1RA2

ˆˆˆˆˆˆ ++−++=−=rrr

k 2apj 0i apM2ˆˆˆ ++=

r

KK((xx,, 00,, zz)) AA((00,, 22aa,, 22aa))

( ) k xpj 0i 2azp0p02az2ax

kjiRrM AKA

ˆˆˆˆˆˆ

++−−=−−=×=rr

2A MMrr

= aapp == --pp((zz--22ªª)) ;; 22aapp == xxpp zz == 22aa -- aa xx == 22ªª zz == aa kk((22ªª,, 00,, aa)) ppuunnttoo ddee aapplliiccaacciióónn

ppaassoo == 3ap

3apRM1 ==