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ALGEBRA y GEOMETRÍA ANALÍTICA - VECTORES - Redactó : Ing. Alberto R. GONCEBATT - 1 VECTORES En el campo de la Física, como así también de otras ciencias, para representar ciertas magnitudes como la fuerza, la aceleración , la velocidad , etc se usan segmentos de rectas orientados. Esto se debe a que aquellas magnitudes no quedan perfectamente determinadas mediante la sola expresión de un numero acompañado de la unidad correspondiente, sino que además necesitan de una dirección. Este tipo de magnitudes se denominan magnitudes vectoriales. En mérito a ello en primer lugar y con la intención de introducirnos en la definición de vector, vamos a definir que es lo que se entiende por segmento de recta orientado Segmento de recta orientado : BA AB Dados dos puntos A y B, LA Geometría elemental considera como un mismo segmento el AB o el BA, es decir : B A 1 1 0 ; 1 0 1 Pero si entre los extremos de un segmento , se fija un cierto orden , llamando a uno de ellos origen y al otro simplemente extremo , estamos en presencia de lo que la Geometría Analítica denomina segmento de recta orientado, cuya notación es la siguiente : Donde la primer letra representa el origen del segmento y la segunda su extremo. Gráficamente se lo representa, agregando al segmento una punta de flecha en su extremo. B A De todo lo anterior resulta evidente que las características esenciales de un segmento de recta orientado son : su longitud y su dirección. De esta definición surge evidente que : AB ¹ BA

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Page 1: Algebra - Vectores

ALGEBRA y GEOMETRÍA ANALÍTICA - VECTORES - Redactó : Ing. Alberto R. GONCEBATT - 1

VECTORES

En el campo de la Física, como así también de otras ciencias, para representar ciertas magnitudes como la fuerza, la aceleración , la velocidad , etc se usan segmentos de rectas orientados.Esto se debe a que aquellas magnitudes no quedan perfectamente determinadas mediante la sola expresión de un numero acompañado de la unidad correspondiente, sino que además necesitan de una dirección.Este tipo de magnitudes se denominan magnitudes vectoriales.En mérito a ello en primer lugar y con la intención de introducirnos en la definición de vector, vamos a definir que es lo que se entiende por segmento de recta orientado

Segmento de recta orientado :

BAAB Dados dos puntos A y B, LA Geometría

elemental considera como un mismo segmento el AB o el BA, es decir :

B

A

1

1

0

;

1

0

1

Pero si entre los extremos de un segmento , se fija un cierto orden , llamando a uno de ellos origen y al otro simplemente extremo , estamos en presencia de lo que la Geometría Analítica denomina segmento de recta orientado, cuya notación es la siguiente : Donde la primer letra representa el origen del segmento y la segunda su extremo.Gráficamente se lo representa, agregando al segmento una punta de flecha en su extremo.

B

ADe todo lo anterior resulta evidente que las características esenciales de un segmento de recta orientado son : su longitud y su dirección.De esta definición surge evidente que : AB ¹ BADos segmentos de rectas orientados se dicen que son equivalentes, si y solo si , tienen igual longitud y dirección.

Definición geométrica de vector:Llamamos vector al conjunto de todos los segmentos de recta orientados de igual longitud y dirección, es decir al conjunto de todos los segmentos de rectas dirigidos equivalentesLos vectores suelen simbolizarse por medio de letras minúsculas :

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ALGEBRA y GEOMETRÍA ANALÍTICA - VECTORES - Redactó : Ing. Alberto R. GONCEBATT - 2

Cualquier segmento de recta dirigido en ese conjunto puede tomarse como un

representante del vector.

Todos los segmentos de rectas dirigidos de la figura son representantes del mismo

vector

Entonces, dos segmentos de recta dirigidos de longitud no nula representan el mismo

vector si, y solo si, tienen la misma longitud e igual dirección. De la definición puede

deducirse que un vector dado v , se puede representar de diferentes manera,

siempre que se mantenga inalterable su longitud y dirección

Esta definición corresponde a la de vector “libre”, lo cual significa que un vector

puede ser desplazado en el plano o en el espacio, sin modificar su longitud ni su

dirección, no interesándonos para nada su punto de aplicación o su recta de acción.

Módulo o Norma de un vector :

Llamamos módulo de un vector a , al número no negativo que

corresponde a la longitud del segmento orientado que lo define . Se simboliza como

½a½

Si el módulo de un vector toma el valor cero, el vector se reduce a un punto, en

consecuencia no podemos hablar de dirección, por lo tanto no existirá vector, pero por

comodidad de expresión se conviene en que el punto también es un vector, al que se

lo denomina vector nulo.

Vector opuesto.

Dado un vector a , se llama vector opuesto de a, a aquel vector que

tiene igual longitud (módulo ) que el vector a, pero su dirección es contraria a la del

vector dado.

Su notación es la siguiente : -a

Operaciones con vectores en forma geométrica :

Suma : Dados dos vectores a y b la suma de ambos que simbolizamos como a +

b , geométricamente se obtiene , llevando a partir de un punto cualquiera un vector a

continuación del otro, luego el vector que une el origen del primero con el extremo del

último vector es el vector suma o resultante de la suma.

a

b a b

a+b

Page 3: Algebra - Vectores

ALGEBRA y GEOMETRÍA ANALÍTICA - VECTORES - Redactó : Ing. Alberto R. GONCEBATT - 3

Esta definición de suma de vectores, se generaliza para el caso de n vectores.

abba Resulta evidente que la suma de vectores es conmutativa, es decir:

Teniendo en cuenta que de la geometría elemental surge que la longitud del lado de

un triángulo es menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados, al sumar

geométricamente vectores puede obsevarse que:

Producto de un vector por un escalar (nº Real)-Definición :

El producto de un vector v por un escalar k (nº Real) nos da por resultado otro vector

w, cuyo módulo es igual al producto del valor absoluto del escalar k por el módulo del

vector dado y su dirección coincide con la del vector dado si k > 0 y es de dirección

contraria a la del vector dado si el escalar k < 0.

En símbolos:

vkw .Módulo de w :

Dirección:

Dirección de w = dirección de v si k > 0

Dirección de w = dirección de v si k < 0

Ejemplo :

V

Si k = 2 2V

Si k = -3 -3v

Resta o diferencia de vectores:

Teniendo en cuenta la definición de las dos operaciones

anteriores, la resta o diferencia de dos vectores a y b , que simbolizamos como a - b,

es igual a la suma del vector minuendo más el opuesto del vector sustraendo.

baba )1( En símbolos :

-b

a-b

.a .a

b

Ejercicio : Determinar en cada caso a que es igual el vector x :

X x

.a .a

Page 4: Algebra - Vectores

ALGEBRA y GEOMETRÍA ANALÍTICA - VECTORES - Redactó : Ing. Alberto R. GONCEBATT - 4

b b

EXPRESIÓN DE UN VECTOR EN COORDENADAS

Para llegar a la noción algebraica de vector, vamos a introducir un sistema de ejes

coordenados cartesianos Oxyz en el espacio tridimensional o R3 y vamos a considerar

en el, al vector v

z N

v

M

v2

P(v1,v2,v3)

v

o v3 y

v1

x

Como v es un vector libre vamos a considerar un representante de el , cuyo origen

coincida con el origen de coordenadas, ubicándose en consecuencia su extremo en el

punto P.

Si las coordenadas del punto P, referidas al sistema Oxyz es la terna (v1,v2,v3),

entonces se dice que v1,v2,v3 son las componentes del vector v.

Geométricamente puede observarse que v1,v2,v3 representan las proyecciones del

vector v sobre los ejes x,y y z respectivamente.

224

122

1243

wzy

wzyx

wzyx

Simbólicamente podemos expresar el vector v de la siguiente

manera .

Definición algebraica de vector:

Un vector v en R3, es una terna ordenada de números

reales (v1,v2,v3), los números v1,v2,v3 son las componentes del vector v. El vector nulo

está representado por la terna (0,0,0) .

Page 5: Algebra - Vectores

ALGEBRA y GEOMETRÍA ANALÍTICA - VECTORES - Redactó : Ing. Alberto R. GONCEBATT - 5

Determinación de un vector en función de sus componentes:

3

2

1

v

v

v

v

Sea z

v3 v P

· v2 y

M v1 N

Modulo de v :

En la figura consideramos en primer lugar el triángulo ONP :

1

1

5

3

3

zyx

Por T. de Pitágoras

Aplicando nuevamente Pitágoras, ahora en el triángulo OMN .

22

21

2vvON

Reemplazando en la anterior, resulta :

30

20

10

tuzz

tuyy

tuxx

Expresión que nos dice que “ el módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada

de la suma de los cuadrados de las componentes”

Dirección:

Angulos directores :

Se llaman ángulos directores de un vector a los ángulos que el vector

forma con las direcciones positivas de los ejes cooordenados. Estos ángulos deberán

ser tomados entre 0 y p.

Si v(v1,v2,v3) R3, tiene tres ángulos directores : a , b y g

z

v3

o v v2 y

Page 6: Algebra - Vectores

ALGEBRA y GEOMETRÍA ANALÍTICA - VECTORES - Redactó : Ing. Alberto R. GONCEBATT - 6

v1

x

Cosenos directores:

Se llaman cosenos directores de un vector v(v1,v2,v3) a los cosenos

de los ángulos que el mismo forma con las direcciones positivas de los ejes x , y y z

respectivamente, es decir a los cosenos de sus ángulos directores.

Como los ángulos directores varían entre 0 y p , entonces los cosenos directores

podrán ser positivos o negativos.

v

v2cos b

zyx

zy

zyx

z

y

x

T

2

2

v

v3cos gDe la figura puede observarse que :

De las tres anteriores :

zyx

zy

zyx

z

y

x

T

2

2

gba

cos

cos

cos

3

2

1

vv

vv

vv

Elevando al cuadrado y sumando m. a m.

)coscos.(cos 222223

22

21 gba vvvv

)coscos.(cos 222223

22

21 gba vvvv ----------------------------------------------------------

----------------

)coscos.(cos 22222 gba vvo sea:

finalmente:

1)coscos(cos 222 gba

que es la relación fundamental entre los cosenos directores de un vector ,que

expresa:

“la suma de los cuadrados de los cosenos directores de un vector es igual a

la unidad”

Conclusión:

Conocidas las componentes de un vector , puede calcularse su módulo, como así

también sus cosenos directores, con lo cual el vector queda perfectamente

determinado en longitud y dirección.

En el caso particular de los vectores en el plano o R2, por ejemplo v = (v1,v2) su

dirección también puede ser definida como el ángulo que el mismo forma con la

dirección positiva del eje x, pudiendo tomar los siguientes valores : 0 £ a < 2p

Page 7: Algebra - Vectores

ALGEBRA y GEOMETRÍA ANALÍTICA - VECTORES - Redactó : Ing. Alberto R. GONCEBATT - 7

1

2

1

2 tg.v

varc

v

vtag aa

Pudiendo calcularse el mismo si v1 ¹ 0 a través de

y

v 1 v

En cuanto a su módulo , con un razonamiento igual al anterior, puede demostrarse

que :

22

21 vvv

vvv vv

3

2

2

2

1 ¡Inténtelo ¡

Igualdad de vectores:

Dos vectores a = (a1,a2,a3) y b = (b1,b2,b3) son iguales si y solo

si , son iguales sus componentes homólogas o correspondientes.

En símbolos a = b Û a1 =b1 ;a2 = b2 , a3 = b3

Operaciones con vectores dados por sus componentes :

Suma.Definición :

La suma de dos vectores dados por sus componentes nos da por resultado otro vector

cuyas componentes son iguales a la suma de las componentes de los vectores

sumandos.

En símbolos : Sean

33

22

11

3

2

1

3

2

13

3

1

3

2

1

ba

ba

ba

b

b

b

a

a

a

baR

b

b

b

by

a

a

a

a

Ejercicio : Dado los vectores a = (-2,4) y b = (3,5) efectuar su suma y verificar

gráficamente el resultado.

Propiedades de la suma de vectores:

Dado tres vectores u ,v , w de R2 o R3

1. u + v = v + u (Conmutativa)

2. (u + v) + w = u + (v + w) (Asociativa)

3. $! v* / v + v* = v \ v*= 0 (Existencia del vector nulo)

4. $! v* / v + v* = 0 \ v*= -v (Existencia del vector opuesto)

Page 8: Algebra - Vectores

ALGEBRA y GEOMETRÍA ANALÍTICA - VECTORES - Redactó : Ing. Alberto R. GONCEBATT - 8

Producto de un vector por un escalar (nº Real) :

3

2

1

3

2

1

..

kv

kv

kv

v

v

v

kvk

Definición: El producto de un vector v (v1,v2,v3) por un escalar k(nº

real), nos da por resultado otro vector cuyas componentes resultan de multiplicar

cada componente del vector dado por el escalar k.

En símbolos :

Su módulo es igual al producto entre el valor absoluto del escalar k y el módulo del

vector v

vkvvvkkvkvkvkv ..)()()( 23

22

21

23

22

21

D)

Su dirección coincide con la del vector v si k>0 y tiene dirección contraria a la del

vector v si k<0

v

v1cos av

v3cos gv

v2cos bD) Si llamamos con a,b y g a los ángulos directores del

vector v, de acuerdo a lo visto anteriormente sus cosenos directores son :

Si a* ,b* y g* son los ángulos directores del vector k.v, entonces :

Si k > 0

bb coscos 222 v

v

vk

kv

kv

kvaa coscos 111

v

v

vk

kv

kv

kv

v

v 1cos a

gg coscos 333 v

v

vk

kv

kv

kv

Tienen los mismo ángulos directores por lo tanto tienen igual dirección.

Si k< 0

)cos(coscos 111 paaa v

v

vk

kv

kv

kv

)cos(coscos 333 pggg v

v

vk

kv

kv

kv)cos(coscos 222 pbbb

v

v

vk

kv

kv

kv

Sus ángulos directores difieren en p, por lo tanto los vectores tienen direcciones

contrarias

Propiedades:

Page 9: Algebra - Vectores

ALGEBRA y GEOMETRÍA ANALÍTICA - VECTORES - Redactó : Ing. Alberto R. GONCEBATT - 9

Dados dos vectores cualesquiera u y v y los escalares a, b e R

1. (ab)V = a(bv) = b(av) (Asociativa)

2. (a+b).v = av+bv (Distributiva con respecto a la suma de escalares)

3. a.(u + v) = au+av (Distributiva con respecto a la suma de vectores)

4. 1.v = v (Identidad multiplicativa)

Condición de paralelismo :

De acuerdo a lo visto anteriormente puede decirse que “ dos vectores son

paralelos si, y solo si , uno de ellos es múltiplo escalar del otro”

En símbolos : Si u y v son dos vectores distintos del vector nulo

u // v Û u = k.v para k ¹ 0

Sean u = (u1, u2, u3) y v = (v1,v2,v3)

De acuerdo a lo anterior :

Si u // v (u1, u2, u3) = k. (v1,v2,v3)

Es decir (u1, u2, u3) = (kv1, kv2, kv3)

Por igualdad de vectores:

u1 = kv1

u2 = kv2

u3 = kv3

de donde :

kv

u

v

u

v

u

3

3

2

2

1

1

Que es la condición de paralelismo entre dos vectores , la que puede ser enunciada de

la siguiente forma : “ la condición necesaria y suficiente para que dos vectores

sean paralelos es que exista proporcionalidad entre sus componentes

homólogas o correspondientes , pudiendo observarse que si la constante de

proporcionalidad ( k), es mayor que cero los vectores son paralelos y de

igual dirección y si k < 0 los vectores son paralelos y de direcciones

contrarias.”

Si k > 0 Si k < 0

Vector posición de un punto :

Sabemos que en coordenadas cartesianas un punto

cualquiera de R2 o R3 queda determinado por un par o una terna ordenada de

números reales respectivamente, en Algebra vectorial un punto cualquiera de R2 o R3 ,

también puede determinarse por medio de un vector cuyo origen coincida con el

Page 10: Algebra - Vectores

ALGEBRA y GEOMETRÍA ANALÍTICA - VECTORES - Redactó : Ing. Alberto R. GONCEBATT - 10

origen de coordenadas y cuyo extremo se encuentre en el punto considerado, a este

vector se lo denomina vector posición del punto.

z

Vector posición de P1 = rp = OP1 = (x1,y1,z1) P(x1,y1,z1)

r p

y

o

x

Determinación de un vector en función de los vectores posición de sus

extremos :

Sea el vector AB ,cuyo origen es el punto

A(xa,ya,za) y su extremo B(xb,yb,zb)

Para obtener las componentes de AB,

Vamos a tener en cuenta que por definición de

suma geométrica de vectores, de la figura resulta :

ABBA rrABrABr

donde rA y rB , son los vectores posición de los puntos A y B respectivamente,

entonces trabajando con sus componentes resulta :

AB

AB

AB

A

A

B

B

B

zz

yy

xx

z

y

x

z

y

x

AB

A Conclusión : Las componentes de un vector pueden

obtenerse haciendo la diferencia entre las coordenadas de su extremo y las de su

origen.

Vector unitario o versor.Definición :

Llamamos vector unitario o versor a todo vector

de módulo (norma) igual a la unidad.

Propiedad :

¨ Todo vector v ¹ 0 tiene un versor, que simbolizamos con vv y denominamos versor

del vector v.

¨ El versor del vector v, es igual al cociente entre v y el recíproco del modulo o

norma de v.

Page 11: Algebra - Vectores

ALGEBRA y GEOMETRÍA ANALÍTICA - VECTORES - Redactó : Ing. Alberto R. GONCEBATT - 11

vvv

vvv

.1

v

vv

vv

v

v

v

v

v

v v

3

2

1

3

2

1

Si v

Geométricamente vv es un vector que tiene la misma dirección que el vector dado v,

y su modulo (norma) es igual a la unidad.

Ejercicio :

¨ Dado el vector v = (-3,5,7) calcular su versor.

¨ ¿ De que modo puede fundamentar que el vector hallado en el inciso anterior es

realmente el versor del vector dado ?.

Versores fundamentales. Descomposición canónica de un vector :

Dado un sistema de coordenadas cartesianas

rectangulares Oxyz en R3, a partir del origen de coordenadas y en forma coincidente

con las direcciones positivas de los ejes x , y , z , vamos a considerar los versores : i ,

j , k respectivamente , que se denominan versores fundamentales y que

atendiendo a la definición de versor tendrán por componentes :

1

0

0

;

0

1

0

;

0

0

1

kji

3

2

1

v

v

v

v

Si en este sistema de coordenadas consideramos también al vector

Por definición de suma de vectores, el mismo puede ser escrito en la forma :

1

0

0

.

0

1

0

.

0

0

1

. 321 vvvv

3

2

1

3

2

1

0

0

0

0

0

0

v

v

v

v

v

v

v

Teniendo presente la definición de

producto de un vector por

Page 12: Algebra - Vectores

ALGEBRA y GEOMETRÍA ANALÍTICA - VECTORES - Redactó : Ing. Alberto R. GONCEBATT - 12

un Escalar, también puede ser escrito en la forma : v

Finalmente :

kvjvivv

321

Esta descomposición de un vector de R3 como una suma de tres vectores cuyas

direcciones coinciden con las direcciones positivas de los ejes coordenados, la

llamamos descomposición canónica de un vector.

Debe destacarse, que en general cuando un vector v , se obtiene como la suma de

otros vectores previamente multiplicados por escalares, se dice que v es una

combinación lineal de aquellos vectores.

En el caso que nos ocupa , la última expresión nos está indicando que v es una

combinación lineal de los versores fundamentales de R3.

En el caso particular, de que v = (v1,v2) R2, su descomposición canónica toma la

siguiente expresión :

jvivv

21

1

0;

0

1ji

v

Donde :

Son los versores fundamentales de R2.

Producto escalar o interno entre dos vectores :

Definición : Se llama producto escalar o interno entre dos

vectores u y v, que simbolizamos como u.v , al escalar (nº Real) que se obtiene

como la suma de los productos de sus componentes homólogas o correspondientes.

Solo se puede calcular el producto escalar entre vectores que tengan igual número de

componentes.

En símbolos : Si

RnvuvuvuvuR

v

v

v

v

u

u

u

u º.; 3322113

2

1

3

2

1

Ejercicio : Calcular el producto escalar o interno entre los vectores u = (-2,3) y v =

(5,8)

Page 13: Algebra - Vectores

ALGEBRA y GEOMETRÍA ANALÍTICA - VECTORES - Redactó : Ing. Alberto R. GONCEBATT - 13

Propiedades :

Si u,v y w son vectores de R2 o R3 y a e R , entonces :

1) u.v = v.u (Conmutativa)

2) u.(v+w) = u.v + v.u (Distributiva)

3) a.(u.v) =(au).v = u.(a.v)

El producto escalar no goza de la propiedad asociativa, dado que no tiene sentido la

siguiente igualdad : u.(v.w) = (u.v).w ¿Por qué?

También se cumple que :

¨ u.0 = 0

¨ u.u > 0 si u ¹ 0

¨ u.u = ½u½2 ( El producto escalar de un vector por si mismo es igual al modulo del

vector al cuadrado) ¡ Compruébelo !

Angulo entre dos vectores.Definición :

Dados dos vectores u y v distintos del vector

nulo , se llama ángulo de los vectores u y v , al ángulo positivo q más pequeño

formado entre ellos una vez llevados a partir de un punto común.

De la definición se desprende que

0 £ q £ p

q

Calculo del ángulo entre dos vectores :

Dados los vectores u = (u1,u2,u3) y v = (v1,v2,v3) de R3

pretendemos calcular el ángulo q formado entre ellos.

Para ello vamos a introducir un sistema de coordenadas cartesianas coordenadas

rectangulares en R3 y vamos a llevar a partir del origen de coordenadas a los

representantes de u y de v.

Aplicando ahora el teorema del coseno al triángulo de la figura resulta:

qcos...2222

vuvuvu

Pero , teniendo en cuenta las propiedades

del producto escalar :

vvuvvuuuvuvuvu....)).((

2

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ALGEBRA y GEOMETRÍA ANALÍTICA - VECTORES - Redactó : Ing. Alberto R. GONCEBATT - 14

o esa :

222.2..2. vvuuvvvuuuvu

reemplazando en la primera :

qcos...2.22222

vuvuvvuu

cancelando se tiene :

vu

vu

.

.cos q

qcos...2.2 vuvu

finalmente :

Fórmula que nos dice que: “ el coseno del ángulo formado entre dos vectores

es igual al cociente entre el producto escalar de ambos vectores y el

producto de sus normas.”

La expresión anterior, nos permite definir de otra forma el producto escalar o interno

entre dos vectores :

qcos... vuvu

“ El producto escalar o interno entre dos vectores es igual al escalar (nº

Real) que se obtiene como el producto de las normas de ambos vectores por

el coseno del ángulo formado entre los mismos.”

Condición de perpendicularidad :

Se dice que dos vectores u y v distintos del vector

nulo son perpendiculares u ortogonales si el ángulo entre ellos p/2.

Para determinar la condición de perpendicularidad , vamos a tener en cuenta la

definición de producto escalar :

qcos... vuvu

Supongamos ahora que u ^ v q = p/2

0.00..2

cos... vuvuvuvu p

Reemplazando en la anterior :

Page 15: Algebra - Vectores

ALGEBRA y GEOMETRÍA ANALÍTICA - VECTORES - Redactó : Ing. Alberto R. GONCEBATT - 15

Es decir que “la condición necesaria y suficiente para que dos vectores sea

perpendiculares es que su producto escalar sea nulo”.

Si tenemos en cuenta nuestra primer definición de producto escalar , podemos

afirmar que :” La condición necesaria y suficiente para que dos vectores sean

perpendiculares es que la suma de los productos de sus componentes

homólogas o correspondientes sea igual a cero.”

Es decir

02211 vuvu a) Si u y v e R2 Ù u ^ v

b) Si u y v e R3 Ù u ^ v

0332211 vuvuvu

Ejercicio : Dados los vectores a = (4,-3 9) y b = (2,5,b3), determinar el valor de b3

para que ambos vectores sean perpendiculares.

Proyecciones ortogonales :

Dados dos vectores u y v distintos del vector nulo, a veces

resulta de mucho interés descomponer a uno de ellos , por ejemplo u , en una adición

de dos sumandos , uno paralelo al segundo vector dado v y el otro perpendicular a v.

Geométricamente esto es posible a través del siguiente procedimiento :

¨ Se llevan ambos vectores a partir de un punto cualquiera.

¨ Por el extremo de u se traza una perpendicular hasta la recta de acción de v, de

esta forma se obtiene el vector w1 , que va desde el punto común a ambos

vectores al pié de esta perpendicular.

¨ Luego la componente w2 del vector u , perpendicular a v se obtiene haciendo la

diferencia

w2 = u – w1

Page 16: Algebra - Vectores

ALGEBRA y GEOMETRÍA ANALÍTICA - VECTORES - Redactó : Ing. Alberto R. GONCEBATT - 16

Pudiendo observarse , que el vector w1 es paralelo al vector v y que el vector w2 es

perpendicular a v.

Cumpliéndose que : w1 +`w2 = u

El vector w1 se denomina proyección ortogonal de u sobre v, o también ,

componente vectorial de u a lo largo de v y lo simbolizamos en la forma : w1 =

proyvu

El vector w2 , se denomina componente vectorial de u ortogonal a v, que en función de la notación anterior , se puede escribir como : w2 = u - proyvu

Cálculo de los vectores : w1 = proyvu y w2 = u - proyvu

Sean w1 = proyvu y w2 = u - proyvuComo w1 es paralelo a v, entonces es múltiplo escalar de v, o sea w1 = k.vReemplazando en : u = w1 +`w2 = kv + w2

Efectuando el producto escalar de ambos miembros por v

u.v = (k.v +w2).v

aplicando las propiedades del producto escalar :

u.v = k.v.v + w2.v = k.½v½2 + w2.v

teniendo en cuenta que w2.v = 0 dado que w2 ^ v , resulta :

2

.

v

vuk

Como w1 = proyvu = k.vSe obtiene :

vv

vuuproy v

.

.2

En consecuencia w2 ( la componente vectorial de u ortogonal a v ) será igual a :

M

vv

vuu

.

.2

ódulo del vector proyección de u a lo largo de v : ½proyvu½

Según vimos anteriormente :

vv

vuuproy v

.

.2

Entonces :

v

vuv

v

vuv

v

vuv

v

vuuproy v

.

..

..

..

222

Page 17: Algebra - Vectores

ALGEBRA y GEOMETRÍA ANALÍTICA - VECTORES - Redactó : Ing. Alberto R. GONCEBATT - 17

Expresión que nos indica que el módulo o la norma del vector proyección de un vector sobre otro es igual “al módulo del producto escalar entre ambos vectores sobre el módulo del vector sobre el cual se proyecta”.

vv

uproy v.

2

vv

vuproy v

.

.2

Si q es el ángulo formado entre u y v , entonces de acuerdo a la definición de producto escalar

qcos... vuvu

Reemplazando en la anterior resulta :

qcos.uuproy v

Expresión que nos indica que el módulo o la norma de la proyección

de un vector sobre otro también es igual :”al producto entre el módulo del vector que se proyecta y el valor absoluto del coseno del ángulo formado entre ambos vectores.”

Si 0 £ q < p/2 Si p/2 < q £p

Producto vectorial o Producto cruz entre dos vectores :

En muchas ocasiones resulta de sumo interés encontrar en el espacio tridimensional un vector que sea perpendicular a otro dos vectores dados, esta situación puede ser resuelta mediante la aplicación de la siguiente definición.

Definición : Si u = u1i +u2j +u3k y v = v1i +v2j + v3k son dos vectores del espacio tridimensional o R3 , entonces se llama producto vectorial o producto cruz entre ambos vectores en el orden dado y que simbolizamos como uxv, a un nuevo vector cuyas componentes se definen del siguiente modo :

uxv = ( u2v3 – u3v2 ).i + ( u3v1 – u1v3 ).j + ( u1v2 – u2v1 ).k

pudiendo obtenerse también las componentes de este nuevo vector, mediante la resolución del siguiente determinante :

321

321

vvv

uuu

kji

vxu

¡Verifíquelo!Este nuevo vector goza de las siguientes propiedades :

¨ u.(uxv) = 0 es decir uxv ^ u¨ v.(uxv) = 0 es decir uxv ^ v¨ |uxv|2 = |u|2.|v|2 – (u.v)2 Identidad de LAGRANGE

Propiedades del producto cruz o producto vectorial :

Si u , v y w son vectores cualesquiera en el espacio tridimensional y k es un escalar cualquiera , entonces :

¨ uxv = -(vxu)¨ ux(v + w) = uxv + (uxw)¨ (u + v)xw = (uxw) + (vxw)

INTENTEDEMOSTRARLO

INTENTE SU DEMOSTRACIÓN A PARTIR DE LA DEFINICIÓN DE LAS COMPONENTES DEL PRODUCTO CRUZ Y DE LAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

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ALGEBRA y GEOMETRÍA ANALÍTICA - VECTORES - Redactó : Ing. Alberto R. GONCEBATT - 18

¨ k.(uxv) = (k.u)xw = ux(k.v)¨ ux0 = 0xu = 0¨ uxu = 0

Ejercicio :Calcular el producto cruz entre los versores fundamentales :ixi = jxi = kxi =

ixj = jxj = kxj =

ixk = jxk = kxk =

Módulo y dirección del vector resultante del producto vectorial entre dos vectores u y v:Si bien , al ser definido el vector resultante del producto vectorial entre dos vectores u y v a través de sus componentes , este queda completamente determinado en longitud y dirección, no deja de ser de suma importancia demostrar que “El módulo del producto vectorial entre dos vectores es igual al producto de los módulos de ambos vectores por el seno del ángulo formado entre ellos.”En símbolos : |uxv| = |u|.|v|.sen q

D) Teniendo en cuenta que la identidad de LAGRANGE establece que :

|uxv|2 = |u|2.|v|2 – (u.v)2

si q es el ángulo formado entre u y v, entonces de acuerdo a lo visto anteriormente :

u.v = |u|.|v| .cos q

reemplazando en la anterior , se tiene : v

|uxv|2 = |u|2.|v|2 – |u|2.|v|2 .cos2 q = q u = |u|2.|v|2.(1 - cos2 q) = |u|2.|v|2.sen2 q

finalmente : |uxv| = |u|.|v|.sen q

Dirección de uxv :

De las propiedades de uxv, enunciadas anteriormente surge que :

u.(uxv) = 0 v.(uxv) = 0

lo cual nos indica que el vector uxv es perpendicular tanto a u como a v, o dicho de otro modo, uxv esperpendicular (normal) al plano que determinan los vectores u y v.Como es evidente que en el espacio tridimensionalhay dos direcciones que son perpendiculares a dicho plano,

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definimos a la dirección del vector uxv como aquella tal que la terna u ,v , uxv, tenga la misma orientación que el espacio Oxyzque es nuestro sistema de referencia adoptado.Esta dirección puede ser determinada mediante la aplicación de la “ regla de la mano derecha ” que sintéticamente consiste en lo siguiente : Se colocan los dedos índice y medio de la mano derecha de modo tal que tomen la dirección de los vectores u y v respectivamente, luego el dedo pulgar extendido nos indica la dirección del vector uxv uxv

vxu

Interpretación geométrica del módulo del producto vectorial entre dos vectores :

“El módulo del producto vectorial o cruz entre dos vectores u y v , es igual al área del paralelogramo que tiene por lados a ambos vectores.”

D) De la Geometría elemental sabemos que :

Área del paralelogramo = Base x Altura

Base = Módulo de u = |u|

Altura = h = |v|.sen q h v qReemplazando en la anterior : u

Área del paralelogramo = |u|.|v|.sen q = |uxv|

Condición de paralelismo :

De la definición del producto vectorial podemos establecer de otro modo la condición de paralelismo entre dos vectores.Para ello vamos a tener en cuenta en primer lugar, que de acuerdo a lo visto anteriormente:

|uxv| = |u|.|v|.sen q

Si u y v son dos vectores paralelos, entonces el ángulo formado entre ellos es q = 0 o q = p ,siendo que : sen 0 = sen p = 0Reemplazando en la anterior resulta :

|uxv| = |u|.|v|.0 = 0 uxv = 0

que representa también la condición de paralelismo entre dos vectores y que podemos enunciar del siguiente modo : La condición necesaria y suficiente para que dos vectores , distintos del vector nulo , sean paralelos , es que su producto vectorial sea nulo.

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Producto mixto o triple producto escalar entre vectores .Definición : Si u , v y w son tres vectores del espacio tridimensional , entonces llamamos producto mixto o triple producto escalar entre ellos , al producto escalar de uxv por el vector w. Su resultado es un escalar (nº Real).En símbolos : (uxv).w = nºRPuede observarse que en la expresión anterior , los paréntesis carecen de sentido , puesto que la expresión: ux(v.w) representa el producto vectorial de un vector por un número , operación que no está definida.En consecuencia el producto mixto o triple producto escalar entre tres vectores , simplemente puede simbolizarse por : uxv.w

Calculo del producto mixto o triple producto escalar :

Sean u = (u1,u2,u3) ; v = (v1,v2,v3) y w = (w1,w2,w3)

Para calcular : uxv.wProcedemos del siguiente modo :1) Efectuamos el producto vectorial de uxv

2)

kvv

uuj

vv

uui

vv

uu

vvv

uuu

kji

vxu

...

21

21

31

31

32

32

321

321

Calculamos el producto escalar de (uxv).w

321

212

31

311

32

32 ...).( wvv

uuw

vv

uuw

vv

uuwvxu

El desarrollo anterior que representa el producto mixto entre u , v y w , puede ser expresado también en como un determinante de la forma :

321

321

321

.

vvv

uuu

www

wvxu

Determinante este último , que por propiedades de los determinantes es equivalente al siguiente :

Rn

www

vvv

uuu

wvxu º.

321

321

321

Interpretación geométrica del producto mixto o triple producto escalar :

“ El valor absoluto del producto mixto o triple producto escalar entre tres vectores es igual al volumen del paralelepípedo construido sobre los mismos , una vez llevados a partir de un origen común.”

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D) De la Geometría elemental conocemos que : uxv

Vol. Paralelepípedo = Área base x Altura wSegún vimos anteriormente :Área base = ½uxv½ hy la altura : u

vxu

wvxuwproyh uxv

).(

reemplazando en la primera resulta :

wvxuvxu

wvxuvxupedoparalelepíVol

.).(

..

En el caso particular del que no siendo los vectores paralelos y tampoco ninguno de ellos igual al vector nulo el producto mixto sea nulo, ello en principio de acuerdo a lo anterior significaría que no existe paralelepípedo, por lo cual los tres vectores se ubicarán sobre un mismo plano , siendo esta la condición de coplanaridad de tres vectores , que podemos enunciar de la siguiente manera .“La condición necesaria y suficiente para que tres vectores sean coplanares es que su producto mixto o triple producto escalar sea igual a cero.”