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Propedéutico 2008 Facultad de Ciencias 1

Unidad 2Vectores y

Espacios Vectoriales

Propedéutico 2008Dra. Ruth M. Aguilar Ponce

Facultad de CienciasDepartamento de Electrónica


Vectores

• Un vector es un conjunto ordenado de n números

• Los elementos o componentes del vector son x1, …, xn.

• El vector cero es aquel en el que todos sus componentes son cero.

• Un vector es un objeto con magnitud y dirección.

( )nxxxx ,,, 21 Kr=


Espacio de dos dimensiones

• R2 es el conjunto de vectores (a,b) donde a y b son números reales.

• Un vector unitario es un vector con magnitud 1• La distancia entre dos vectores es

22 bav +=r

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

ab1tanθ

a

b

x

y

θ

( )bav ,=r Magnitud

Dirección

uv rr−


Producto Escalar en R2

• El producto escalar o producto punto de dos vectores u = (a1,b1) y v = (a2,b2) se obtiene por

• La norma de un vector esta definida por

• El ángulo de entre dos vectores u y v esta definido por

• La proyección de u sobre v se define por

2121 bbaavu +=⋅rr

uuu rrr⋅=2

vuvurr

rr

⋅

=ϕcos

vv

vuuproyvr

r

rrr

2⋅

=


Producto Escalar en R2

φ

uv

φ

u

v

φ

uvvu

vurr

rr

⋅

=ϕcos

vv

vuuproyvr

r

rrr

2⋅

=


Espacio de tres dimensiones

• R3 es el conjunto de vectores (x, y, z), donde x, y, z son números reales.

x

y

z222 zyxv ++=

r

vv

u rr

r 1=

( )212121 ,, zzyyxxvu ±±±=±rr

( )zyxv αααα ,,=r

212121 zzyyxxvu ++=⋅rr

Dirección

Magnitud


Producto Cruz

• Producto cruz o producto vectorial de u y v esta definido por

( )212121212121 ,, xyyxzxxzyzzyvu −−−=×rr

222

111

zyxzyxkji

vu =×rr

( ) ( ) ( )1,0,0 ;0,1,0 ;0,0,1 === zji


Producto Cruz

• Propiedades–u ·(u × v ) = 0 y v ·(u × v ) = 0 –u × v = -(v × u )–u × (v + w) = (u × v ) + (v × u )– (u + v) × w = (u × w) + (v × w)–c (u × v) = (cu) × v = u ×(cv)–u × 0 = 0–u × u = 0


Espacios Vectoriales

• Un espacio vectorial V sobre R se define como un conjunto de vectores, junto con dos operaciones suma vectorial y multiplicación por un escalar que satisface las siguientes propiedades:

• Suma vectorial– u, v є V, u + v є V – u, v, w є V, u+(v+w)= (u+v)+w– Existe un elemento 0 є V tal que u+0 = 0+u = u– u є V, existe –u є V tal que u +(-u) = 0– u, v є V, u + v = v + u


Espacio Vectorial

• Multiplicación Escalar–c є R y u є V, entonces cu є V –c є R y u, v є V; c (u + v) = cu + cv–a, b є R y u є V; (a + b) u = au + bu–a, b є R y u є V; (ab)u = a(bu)–u є V; 1u = u1 = u


Combinación Lineal

• Sean v1, v2, …, vn vectores en un espacio vectorial Vsobre R. Una combinación lineal de estos vectores es la siguiente expresión

donde c1,c2,…, cn є R• Ejemplos:

– Cada vector (x, y) es una combinación lineal de los vectores i = (1,0) y j = (0,1); (x, y) = x (1,0) + y (0,1)

– Cada Vector (x, y, z) є R3 es una combinación lineal de los vectores i = (1,0,0), j = (0,1,0) y k = (0,0,1)

nnvcvcvc rL

rr+++ 2211


Espacios generados por vectores

• Los vectores v1, v2, …, vn generan a V si cualquier vector w є V se puede escribir como una combinación lineal de ellos

• Sean v1, v2, …, vn vectores en un espacio vectorial V. El espacio vectorial generado por ellos es el conjunto de combinaciones lineales definido por:

{ } { }R∈+++= nnnn cccvcvcvcvvvspan Kr

Lrrr

Krr ,,:,,, 21221121


Dependencia e Independencia Lineal

• Sean v1, v2, …, vn vectores en el espacio vectorial V sobre R. Decimos que v1, v2, …, vnson linealmente dependientes si existe al menos una ci ≠ 0 tal que

• Si todas las ci son iguales a cero entonces los vectores son linealmente independientes.

02211 =+++ nnvcvcvc rL

rr


Dependencia e Independencia Lineal

• Sean v1, v2, …, vr vectores en el espacio vectorial Rn, Si r > n entonces los vectores son linealmente dependientes.

• Un conjunto de vectores linealmente independiente en Rn contiene a lo mas n vectores.

• Sean v1, v2, …, vn vectores en Rn y sea A una matriz de n × n cuyas columnas son v1, v2, …, vn. Entonces los vectores son linealmente independientes si y solo si la única solución al sistema Ax=0 es la solución trivial x=0.


Rango de una matriz

• Sea A una matriz de n × n. El det A ≠ 0 si y solo si las columnas de A son linealmente independientes.

• El rango ρ(A) de una matriz A es el número de columnas o renglones que son linealmente independientes.

• Si A es una matriz de m × n entonces el ρ(A) ≤ min(m,n)


Bases de un Espacios Vectoriales

• Sean v1, v2, …, vn vectores en el espacio vectorial Vsobre R. Decimos que {v1, v2, …, vn } es una base de V si cumple con las siguientes dos condiciones:– span{v1, v2, …, vn } = V– Los vectores v1, v2, …, vn son linealmente independientes

• Suponga que {v1, v2, …, vn } es una base del espacio vectorial V sobre R, entonces para cada u є Vexiste un conjunto único de escalares tales que:

nnvcvcvcu rL

rrr+++= 2211


Dimensión de un espacio Vectorial

• Si el espacio vectorial V tienen una base finita, entonces es espacio vectorial es de dimensión finita.

• Si {v1, v2, …, vn} y {u1, u2, …, un} son bases de V, entonces m = n.

• La dimensión de un espacio V de dimensión finita es igual al número de vectores en cualquier base de V.


Dimensión de un espacio vectorial

• La dimensión del espacio V = {0} es dim V = 0.

• Sea V un espacio vectorial sobre R de dimensión n. Cualquier conjunto de nvectores en V linealmente independiente es una base de V.


Producto Punto

• Sean u = (u1,u2,…,un) y v = (v1,v2,…,vn) dos vectores. El producto punto o producto escalar de u y v esta definido por

• Observe que el producto punto de dos n-vectores es un escalar

nnvuvuvuvu +++=⋅ Lrr

2211


Norma de un Vector

• La norma de un vector v є Rn denotada por || v||esta definida por

• Propiedadesvvv rrr⋅=

0≥vr

vuvu rrrr+≤+

vcvc rr =

vuvu rrrr ≤⋅

uvvu rrrr−=−


Ortogonalidad y Ortonormalidad

• Un conjunto de vectores v1, v2, …, vn en Rn es ortogonal si

vi·vj = 0 para i ≠ j

• Si u y v son ortogonales, entonces

• Un conjunto de vectores v1, v2, …, vn en Rn es ortonormal si– vi·vj = 0 para i ≠ j– vi·vi = 1

222 vuvu rrrr+=+


Base Canónica

• La Base Canónica de Rn es una base ortonormal formada por los vectores {e1, e2, …, en}dados por:

• Un vector v=(x1, x2, …, xn)t se representa en la base canónica como,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

1

00

,,

0

10

,

0

01

21M

KMM

neee

nnexexexv +++= Lr

2211


Representación de Vectores en una Base

• Sea B = {v1, v2, …, vn} una base de Rn y u єRn. Entonces existen escalares b1, b2, …, bntales que

• El vector (u)B = (b1, b2, …, bn) es la representación de u en la base B

nnvbvbvbu rL

rrr+++= 2211

( ) ( )⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

1

2

1

21 ,,,

n

nB

b

bb

vvvuM

rL

rrr


Cambio de Base

• Sean B1 = {v1, v2, …, vn} y B2 = {u1, u2, …, un} bases de Rn, cada elemento de B1 puede expresarse en términos de B2

• La matriz A se conoce como la matriz de transición de la base B1 a la base B2

• Sean B1 y B2 bases para un espacio vectorial V. Sea A la matriz de transición de B1 a B2, entonces para todo x є V

nnjjjj uauauav rL

rrr+++= 2211

( ) ( )12 BB xAx rr

=


Subespacio Vectorial

• Suponga que V es un espacio vectorial sobre R, y que W es un subconjunto no vació de V. Entonces W es un subespacio de V si satisface las siguientes condiciones:

–u, v є W entonces u + v є W–c є R y u є W entonces cu є W


Proyecciones

• Sean u, v є Rn. La componente de u en la dirección de v es

• La proyección de u sobre v esta definida por

• Sea H un subespacio de Rn con base ortonormal {u1, u2, …, un}. La proyección ortogonal de v є Rn sobre H esta definida por.

vvur

rr⋅

vv

vuuproyvr

r

rrr

2⋅

=

( ) ( ) ( ) kkH uuvuuvuuvvproy rrrL

rrrrrrr⋅++⋅+⋅= 2211


Complemento Ortogonal

• Se H un supespacio de Rn . El complemento ortogonal de H┴ se define como:

• Propiedades– H┴ es un subespacio de Rn

– H ∩ H┴ = {0}– dim H┴= n – dim H

• Si H es un supespacio de Rn y v є Rn , entonces existe un par único de vectores h є H, p є H┴ tales que v = h + p.

{ }HhhxxH n ∈∀=⋅∈=⊥rrrr

R ,0:


Transformaciones

• Sean V y W espacios vectoriales reales. Una Transformación Lineal T: V → W es una función que asigna a cada vector v є V un único vector T(v) є W

• Satisface que para cada u y v en V y cada escalar a( ) ( ) ( )vTuTvuT rrrr

+=+( ) ( )vaTvaT rr

=


Representación Matricial de una Transformación

• Sea T:Rn → Rm una transformación lineal, entonces existe una matriz única de m × n tal que

• La matriz AT es llamada matriz de transformación correspondiente a T o representación matricial de T.

( ) xAxT Trr

=


Representación Matricial de una Transformación

• Sea T:Rn → Rm una transformación lineal, y {e1, e2, …, en} es la base canónica de Rn,entonces la representación matricial de Testá dada por

• Donde T(ej) es un vector columna para j=1,2,…,3

( ) ( ) ( )( )nT eTeTeTA L21=


Transformaciones Especiales

• Sea T:R2 → R2 una transformación lineal con representación matricial AT. Existen transformaciones especiales conocidas como

– Expansiones – Compresiones– Reflexiones– Cortes


Expansiones

• Una expansión a lo largo del eje x es una transformación lineal que multiplica la coordenada xde un vector por una constante c >1,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛y

cxyx

T

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛00

1 cT ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛10

10

T ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

100c

AT

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛y

cxyxc

yx

Ayx

T T 100


Compresión

• La compresión sobre el eje x es una transformación que multiplica la coordenada por una constante 0 < c < 1.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛y

cxyxc

yx

Ayx

T T 100

x x

yy

c = 2 c = 1/2


Reflexión

• Existen tres tipos de reflexiones:– Reflexión con respecto al eje x

– Reflexión con respecto al eje y

– Reflexión con respecto a la recta y = x

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛y

xyx

yx

T10

01

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xy

yx

yx

T0110

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

yx

yx

T1001


Reflexiones

x

y

x

y y

x

y = x

Reflexión con respecto al eje x

Reflexión con respecto al eje y

Reflexión con respecto a la recta y = x


Cortes

• Un corte a lo largo del eje x esta definido como

• Donde c puede ser una constante positiva o negativa

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ycyx

yxc

yx

T10

1x

y

c = 1/2


Transformación inversa

• Sea T:Rn → Rm una transformación lineal y AT su representación matricial.

• Si AT es invertible entonces T es el producto de una sucesión finita de reflexiones, expansiones, compresiones y cortes.

• La transformación lineal inversa denotada por T-1:Rm → Rn esta definida por

( ) xAxT Trr 11 −− =


Imagen y Núcleo de una Transformaciones

• Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V → W una transformación lineal, Entonces

• El núcleo de T está definido por

• La Imagen de T está definida por

( ) ( ){ }0: =∈= vTVvTnu rr

( ) ( ){ }wvTVvWwTimagen rrrr=∈∃∈= :


Nulidad y Rango de una Transformación

• Sea T:V → W una transformación lineal, entonces:– El núcleo de T es un subespacio de V– La imagen de T es un subespacio de W

– La nulidad de T es la dimensión del núcleo de T,Nulidad T = dim nu(T)

– Rango de T es la dimensión de la imagen de TRango T = dim imagen(T)

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