espacios vectoriales, valores y vectores...

IntroducciónEstructuras AlgebraicasEspacios Vectoriales

Valores y Vectores Propios

Espacios Vectoriales, Valores y VectoresPropios

José Juan Rincón Pasaye,

División de Estudios de Postgrado FIE-UMSNHCurso Propedéutico de Matemáticas para la Maestría en Ciencias

opciones: Sistemas de Control y Sistemas de Potencia

Noviembre de 2008

JJRP Espacios Vectoriales, espacios propios



Contenido

1 Estructuras Algebraicas2 Espacios Vectoriales

1 Independencia Lineal2 Bases y Dimensión3 Subespacios asociados a matrices4 Teorema fundamental del álgebra lineal

3 Valores y vectores propios

1 Diagonalización2 Solución de ecuaciones diferenciales lineales




Introducción

El álgebra trata con conjuntos de diversos tipos de objetos, talescomo: números, arreglos numéricos vectoriales, matrices yfunciones, así como también con operaciones bien de�nidas comola suma y el producto entre cada uno de estos objetos.Todos estos conjuntos poseen una cierta Estructura, que está dadapor esa suma y ese producto.




Dependiendo del conjunto de objetos tratados, las operacionesde�nidas y las propiedades generadas se establece una estructuraalgebraica que puede ir desde la más sencilla que es un Grupo,hasta una de las más completas que es el Espacio Vectorial.




GruposAnillosCuerpos

Estructuras Algebraicas

Las estructuras algebraicas son conjuntos en los cuales se hande�nido Operaciones entre elementos de los conjuntos.





Grupos

De�nición de Grupo

Un Grupo es un Conjunto G en el cual se ha de�nido unaoperación + con las siguientes propiedades:

1 + es Asociativa: x + (y + z) = (x + y) + z 8x , y , z 2 G2 Neutro: Existe el elemento neutro denotado 0 2 G tal quex + 0 = 0+ x = x 8x 2 G

3 Inverso: 8x 2 G existe el inverso de x , denotado x 0 2 G talque x + x 0 = x 0 + x = 0





De�nition

Si además la operación es Conmutativa, es decir, 8x , y 2 G secumple que x + y = y + x , entonces el Grupo se dice Conmutativoo Abeliano





Ejemplos:

Los Enteros Z con la operación de suma son un grupo

Los Números pares Z2 con la operación de suma son un grupo

Los múltiplos de k 2 Z denotados Zk con también son ungrupo con la operación suma.

Los Enteros con la operación multiplicación no son un grupo,pues no se pueden de�nir inversos.

Los racionales Q� f0g con la multiplicación sí forman ungrupo, lo mismo pasa con R� f0g, C� f0g.El conjunto de los polinomios de grado n con coe�cientesreales, denotados Rn [x ] forman un grupo con la suma.





Ejemplos:





Los racionales Q� f0g con la multiplicación sí forman ungrupo, lo mismo pasa con R� f0g, C� f0g.

El conjunto de los polinomios de grado n con coe�cientesreales, denotados Rn [x ] forman un grupo con la suma.





Ejemplos:





Los racionales Q� f0g con la multiplicación sí forman ungrupo, lo mismo pasa con R� f0g, C� f0g.El conjunto de los polinomios de grado n con coe�cientesreales, denotados Rn [x ] forman un grupo con la suma.





Ejemplo

El conjunto Rn�n de Matrices cuadradas invertibles forma ungrupo no abeliano con la operación producto matricial.

[Z]k denota al conjunto de los enteros módulo k que son losresiduos de dividir un entero entre el entero k, es decir,[Z]k = fz 2 Z jz=x mod k, para algún x 2 Zg es un grupoabeliano con la suma usual:

Por ejemplo, [Z]5 = f0, 1, 2, 3, 4g . En este conjunto porejemplo 2+2=4, pero 2+3=0





Ejemplo

El conjunto Rn�n de Matrices cuadradas invertibles forma ungrupo no abeliano con la operación producto matricial.[Z]k denota al conjunto de los enteros módulo k que son losresiduos de dividir un entero entre el entero k, es decir,[Z]k = fz 2 Z jz=x mod k, para algún x 2 Zg es un grupoabeliano con la suma usual:

Por ejemplo, [Z]5 = f0, 1, 2, 3, 4g . En este conjunto porejemplo 2+2=4, pero 2+3=0





Ejemplo:Una Función de un conjunto A en un conjunto B denotadaf : A! B es una regla que asigna a cada elemento x 2 Auno y solo un elemento f (x) 2 B. Al conjunto A se le llamaDominio de la función y al conjunto B se le llama Rango ocodominio. Al elemento f (x) se le llama imagen de x bajo f .

Una Función se dice inyectiva o uno a uno si f (x1) 6= f (x2)8 x1 6= x2.Una función se dice suprayectiva o sobre si 8y 2 B existex 2 A tal que y = f (x).Una función se dice biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.También se dice que f de�ne un isomor�smo de A en B.El conjunto de funciones biyectivas de variable realSR = ff : R ! R, g con la operación � (composición defunciones) forman un grupo abeliano.





Ejemplo:Una Función de un conjunto A en un conjunto B denotadaf : A! B es una regla que asigna a cada elemento x 2 Auno y solo un elemento f (x) 2 B. Al conjunto A se le llamaDominio de la función y al conjunto B se le llama Rango ocodominio. Al elemento f (x) se le llama imagen de x bajo f .Una Función se dice inyectiva o uno a uno si f (x1) 6= f (x2)8 x1 6= x2.

Una función se dice suprayectiva o sobre si 8y 2 B existex 2 A tal que y = f (x).Una función se dice biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.También se dice que f de�ne un isomor�smo de A en B.El conjunto de funciones biyectivas de variable realSR = ff : R ! R, g con la operación � (composición defunciones) forman un grupo abeliano.





Ejemplo:Una Función de un conjunto A en un conjunto B denotadaf : A! B es una regla que asigna a cada elemento x 2 Auno y solo un elemento f (x) 2 B. Al conjunto A se le llamaDominio de la función y al conjunto B se le llama Rango ocodominio. Al elemento f (x) se le llama imagen de x bajo f .Una Función se dice inyectiva o uno a uno si f (x1) 6= f (x2)8 x1 6= x2.Una función se dice suprayectiva o sobre si 8y 2 B existex 2 A tal que y = f (x).

Una función se dice biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.También se dice que f de�ne un isomor�smo de A en B.El conjunto de funciones biyectivas de variable realSR = ff : R ! R, g con la operación � (composición defunciones) forman un grupo abeliano.





Ejemplo:Una Función de un conjunto A en un conjunto B denotadaf : A! B es una regla que asigna a cada elemento x 2 Auno y solo un elemento f (x) 2 B. Al conjunto A se le llamaDominio de la función y al conjunto B se le llama Rango ocodominio. Al elemento f (x) se le llama imagen de x bajo f .Una Función se dice inyectiva o uno a uno si f (x1) 6= f (x2)8 x1 6= x2.Una función se dice suprayectiva o sobre si 8y 2 B existex 2 A tal que y = f (x).Una función se dice biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.También se dice que f de�ne un isomor�smo de A en B.

El conjunto de funciones biyectivas de variable realSR = ff : R ! R, g con la operación � (composición defunciones) forman un grupo abeliano.





Ejemplo:Una Función de un conjunto A en un conjunto B denotadaf : A! B es una regla que asigna a cada elemento x 2 Auno y solo un elemento f (x) 2 B. Al conjunto A se le llamaDominio de la función y al conjunto B se le llama Rango ocodominio. Al elemento f (x) se le llama imagen de x bajo f .Una Función se dice inyectiva o uno a uno si f (x1) 6= f (x2)8 x1 6= x2.Una función se dice suprayectiva o sobre si 8y 2 B existex 2 A tal que y = f (x).Una función se dice biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.También se dice que f de�ne un isomor�smo de A en B.El conjunto de funciones biyectivas de variable realSR = ff : R ! R, g con la operación � (composición defunciones) forman un grupo abeliano.





Tarea:1) ¿Cual es el elemento neutro para el grupo SR y cual para elgrupo R3[x ]?2) ¿Son las siguientes funciones de variable real inyectivas,suprayectivas o biyectivas? ¿Cual es su Dominio y su Rango paracada una de ellas? Si alguna de ellas es biyectiva pertenece a SR

por lo tanto tiene un inverso, encuentra el inverso.a) f (x) = sen(x) b) g(x) = x2 c) h(x) = e�x d)i(x) = x3





Tarea:3) Sea C un conjunto cualquiera y sea el conjunto de subconjuntosde C fS(C ) = S j S � Cg. Se de�ne la operación ∆ llamadadiferencia simétrica de conjuntos como:A∆B = (A[ B)� (A\ B). ¿Es S(C ) un grupo con estaoperación? ¿Es Abeliano?, ¿Cual es el neutro si lo hay?, dado unA 2 S(C ), ¿cual es el inverso de A?4) ¿Cuales son los elementos del conjunto [Z]7? ¿cuál es elneutro?, ¿cuál es el inverso de cada uno de sus elementos?





Anillos

De�nición de AnilloUn Anillo es un conjunto R en el cual se han de�nido dosoperaciones: + y � con las siguientes propiedades:

1 R es un grupo abeliano con la operación +2 La operación � es asociativa y tiene elemento neutro denotado1.

3 La operación � es Distributiva sobre la operación +, es decir,8x , y , z 2 R:

4 x � (y + z) = x � y + x � z y también (x + y) � z = x � z + y � z .5 Si además la operación � es conmutativa se dice que R es unAnillo conmutativo





Ejemplos:Los conjuntos Z, Q, R, y C son Anillos conmutativos con lasoperaciones de suma y producto usuales .

El conjunto Zk es un anillo conmutativo con las mismasoperaciones.Rn [x ] también es un anillo con la suma y multiplicación depolinomios.El conjunto de funciones continuas de variable realff : R ! R, g con la suma y producto usuales es un anilloconmutativo.El conjunto Rn�n de Matrices cuadradas forma un anillo noconmutativo con las operaciones de suma y productomatricial.El conjunto [Z]k de los enteros módulo k es un anilloconmutativo con la suma y producto usuales.





Ejemplos:Los conjuntos Z, Q, R, y C son Anillos conmutativos con lasoperaciones de suma y producto usuales .El conjunto Zk es un anillo conmutativo con las mismasoperaciones.

Rn [x ] también es un anillo con la suma y multiplicación depolinomios.El conjunto de funciones continuas de variable realff : R ! R, g con la suma y producto usuales es un anilloconmutativo.El conjunto Rn�n de Matrices cuadradas forma un anillo noconmutativo con las operaciones de suma y productomatricial.El conjunto [Z]k de los enteros módulo k es un anilloconmutativo con la suma y producto usuales.





Ejemplos:Los conjuntos Z, Q, R, y C son Anillos conmutativos con lasoperaciones de suma y producto usuales .El conjunto Zk es un anillo conmutativo con las mismasoperaciones.Rn [x ] también es un anillo con la suma y multiplicación depolinomios.

El conjunto de funciones continuas de variable realff : R ! R, g con la suma y producto usuales es un anilloconmutativo.El conjunto Rn�n de Matrices cuadradas forma un anillo noconmutativo con las operaciones de suma y productomatricial.El conjunto [Z]k de los enteros módulo k es un anilloconmutativo con la suma y producto usuales.





Ejemplos:Los conjuntos Z, Q, R, y C son Anillos conmutativos con lasoperaciones de suma y producto usuales .El conjunto Zk es un anillo conmutativo con las mismasoperaciones.Rn [x ] también es un anillo con la suma y multiplicación depolinomios.El conjunto de funciones continuas de variable realff : R ! R, g con la suma y producto usuales es un anilloconmutativo.

El conjunto Rn�n de Matrices cuadradas forma un anillo noconmutativo con las operaciones de suma y productomatricial.El conjunto [Z]k de los enteros módulo k es un anilloconmutativo con la suma y producto usuales.





Ejemplos:Los conjuntos Z, Q, R, y C son Anillos conmutativos con lasoperaciones de suma y producto usuales .El conjunto Zk es un anillo conmutativo con las mismasoperaciones.Rn [x ] también es un anillo con la suma y multiplicación depolinomios.El conjunto de funciones continuas de variable realff : R ! R, g con la suma y producto usuales es un anilloconmutativo.El conjunto Rn�n de Matrices cuadradas forma un anillo noconmutativo con las operaciones de suma y productomatricial.

El conjunto [Z]k de los enteros módulo k es un anilloconmutativo con la suma y producto usuales.





Ejemplos:Los conjuntos Z, Q, R, y C son Anillos conmutativos con lasoperaciones de suma y producto usuales .El conjunto Zk es un anillo conmutativo con las mismasoperaciones.Rn [x ] también es un anillo con la suma y multiplicación depolinomios.El conjunto de funciones continuas de variable realff : R ! R, g con la suma y producto usuales es un anilloconmutativo.El conjunto Rn�n de Matrices cuadradas forma un anillo noconmutativo con las operaciones de suma y productomatricial.El conjunto [Z]k de los enteros módulo k es un anilloconmutativo con la suma y producto usuales.





Ejemplos

En un anillo no necesariamente se cumple la ley decancelación, es decir si x , y son elementos de un anillo yx � y = 0, no necesariamente x = 0 o y = 0,

Por ejemplo en el anillo [Z]4 = f0, 1, 2, 3, 4gen este conjunto, por ejemplo: 2�2=0En el anillo de las matrices R2�2, por ejemplo�1 00 0

��0 00 1

�=

�0 00 0

�





Ejemplos

En un anillo no necesariamente se cumple la ley decancelación, es decir si x , y son elementos de un anillo yx � y = 0, no necesariamente x = 0 o y = 0,Por ejemplo en el anillo [Z]4 = f0, 1, 2, 3, 4g

en este conjunto, por ejemplo: 2�2=0En el anillo de las matrices R2�2, por ejemplo�1 00 0

��0 00 1

�=

�0 00 0

�





Ejemplos

En un anillo no necesariamente se cumple la ley decancelación, es decir si x , y son elementos de un anillo yx � y = 0, no necesariamente x = 0 o y = 0,Por ejemplo en el anillo [Z]4 = f0, 1, 2, 3, 4gen este conjunto, por ejemplo: 2�2=0

En el anillo de las matrices R2�2, por ejemplo�1 00 0

��0 00 1

�=

�0 00 0

�





Ejemplos

En un anillo no necesariamente se cumple la ley decancelación, es decir si x , y son elementos de un anillo yx � y = 0, no necesariamente x = 0 o y = 0,Por ejemplo en el anillo [Z]4 = f0, 1, 2, 3, 4gen este conjunto, por ejemplo: 2�2=0En el anillo de las matrices R2�2, por ejemplo�1 00 0

��0 00 1

�=

�0 00 0

�





Tarea:5) Es un anillo S(C ), el conjunto de subconjuntos de S con lasoperaciones ∆ y \? ¿es conmutativo? ¿Cual es el neutro de laoperación \?6) Para los anillos R2�2 y [Z]7 ¿cuales son los neutros de la sumay del producto?





Campos

De�nitionUn Cuerpo, también llamado Campo es un conjunto K con dosoperaciones + y � tales que K es una anillo conmutativo y ademástodo elemento de K , excepto el cero tiene inverso multiplicativo,Es decir:

1 K es un grupo abeliano con la operación +2 K � f0g es un grupo abeliano con la operación �3 Se cumple la propiedad distributiva de � con respecto a +.





EjemplosLos conjuntos Q, R, y C son Cuerpos con las operaciones de sumay producto usuales.[Z]k es un cuerpo solamente si k es primo.

Tarea:7) ¿Porqué [Z]4 no es un cuerpo?8) [Z]7 sí es un cuerpo. Encuentra los inversos multiplicativos paracada elemento de este cuerpo.




SubespaciosGeneración de subespacios.Independencia LinealBases y DimensiónSubespacios asociados a matricesTeorema Fundamental del Algebra Lineal

Espacios Vectoriales

De�nición de Espacio Vectorial

Sea K un cuerpo cuyos elementos llamaremos Escalares y sea V unconjunto cuyos elementos llamaremos Vectores. Sea + unaoperación en V llamada suma de vectores y sea � una operación deK � V en V denominada producto vector por escalar. V es unEspacio Vectorial sobre K si:

1 V es un grupo abeliano con la operación +.2 La operación � satisface las siguientes propiedades:

1 1 � v = v 8v 2 V , donde 1 es el neutro multiplicativo en K2 a � (v + w) = a � v + a � w 8a 2 K , 8v ,w 2 V3 (a+ b) � v = a � v + b � v 8a, b 2 K , 8v 2 V4 (ab) � v = a � (b � v) 8a, b 2 K , 8v 2 V





ObservaciónObsérvese que en un espacio vectorial NO está de�nido el productode vectores.





Para averiguar si un conjunto dado es un espacio vectorial se debenchecar las 7 propiedades anteriores, es decir, las tres propiedades dela suma de vectores (+) y las cuatro del producto por escalar (�).

En los siguientes ejemplos de espacios vectoriales se cumplen puntopor punto cada una de ellas.





Ejemplos de Espacios Vectoriales

R es un espacio vectorial sobre sí mismo con la suma yproducto usuales.

C es un espacio vectorial sobre R con la suma de númeroscomplejos usual y el producto real por complejo.El conjunto R1�n de los vectores renglón con componentesreales, es decir R1�n = f[x1, x2, ..., xn ] j x1, x2, ..., xn 2 Rg asícomo el conjunto Rn�1 de los vectores columna concomponentes reales son espacios vectoriales con lasoperaciones de suma de vectores y producto por escalarusuales.El conjunto Rn�m de las matrices de n renglones por mcolumnas con componentes reales es un espacio vectorial conlas operaciones usuales de suma de matrices y producto porescalar.






R es un espacio vectorial sobre sí mismo con la suma yproducto usuales.C es un espacio vectorial sobre R con la suma de númeroscomplejos usual y el producto real por complejo.

El conjunto R1�n de los vectores renglón con componentesreales, es decir R1�n = f[x1, x2, ..., xn ] j x1, x2, ..., xn 2 Rg asícomo el conjunto Rn�1 de los vectores columna concomponentes reales son espacios vectoriales con lasoperaciones de suma de vectores y producto por escalarusuales.El conjunto Rn�m de las matrices de n renglones por mcolumnas con componentes reales es un espacio vectorial conlas operaciones usuales de suma de matrices y producto porescalar.






R es un espacio vectorial sobre sí mismo con la suma yproducto usuales.C es un espacio vectorial sobre R con la suma de númeroscomplejos usual y el producto real por complejo.El conjunto R1�n de los vectores renglón con componentesreales, es decir R1�n = f[x1, x2, ..., xn ] j x1, x2, ..., xn 2 Rg asícomo el conjunto Rn�1 de los vectores columna concomponentes reales son espacios vectoriales con lasoperaciones de suma de vectores y producto por escalarusuales.

El conjunto Rn�m de las matrices de n renglones por mcolumnas con componentes reales es un espacio vectorial conlas operaciones usuales de suma de matrices y producto porescalar.






R es un espacio vectorial sobre sí mismo con la suma yproducto usuales.C es un espacio vectorial sobre R con la suma de númeroscomplejos usual y el producto real por complejo.El conjunto R1�n de los vectores renglón con componentesreales, es decir R1�n = f[x1, x2, ..., xn ] j x1, x2, ..., xn 2 Rg asícomo el conjunto Rn�1 de los vectores columna concomponentes reales son espacios vectoriales con lasoperaciones de suma de vectores y producto por escalarusuales.El conjunto Rn�m de las matrices de n renglones por mcolumnas con componentes reales es un espacio vectorial conlas operaciones usuales de suma de matrices y producto porescalar.





En forma similar Cn�m el conjunto de matrices concomponentes complejas es un espacio vectorial sobre el cuerpoC, aunque también lo es sobre R.

El conjunto de los polinomios de grado n con coe�cientesreales Rn [x ] son un espacio vectorial con la suma depolinomios y el producto escalar por polinomio.

El conjunto de las funciones de variable real ff : R ! Rg conla suma de funciones de�nida como(f + g)(x) = f (x) + g(x) 8x 2 R. y el producto por escalar:(k � f ) (x) = kf (x) 8x 2 R.





Subespacios

De�nitionUn subconjunto W de un espacio vectorial V sobre el cuerpo K sedice Subespacio del espacio vectorial V si W es en sí mismo unespacio vectorial sobre K





Para veri�car si W � V es un subespacio del espacio vectorial Vsobre K , no es necesario checar las 7 propiedades anteriores, bastasolamente con checar las siguientes 3 propiedades:

1 El vector 0 está en W .2 Si x , y 2 W entonces x + y 2 W3 Si k 2 K y v 2 W entonces k � v 2 W

Observación: las propiedades 2 y 3 se pueden reemplazar por: Six , y 2 W , k 2 R2 entonces x + ky 2 W





Ejemplos

Dado un Espacio vectorial V el subconjunto f0g formadoexclusivamente por el vector 0 y el propio V son siempresubespacios, por ello se denominan los subespacios triviales deV .

Sea el espacio vectorial R2 ¿qué vectores debe contenerW � R2 para ser un subespacio no trivial de R2?

Sea x = [x1 x2] 6= 0 2 W , por la propiedad 3 kx = [kx1 kx2]8k 2 R2 también debe estar en W por lo tanto W es toda larecta que pasa por el origen en dirección x .





Subespacio vectorial W � R2

x1

x2

xkx

W





Ejemplo:

Veri�car que el conjunto W = f[x1, x2] j x1 = 2x2g es unsubespacio de R2.

La propiedad 1 se cumple, pues el vector cero se puedeescribir como 0 = [2(0), 0] 2 W .Sean x , y 2 W , es decir, x = [2x2, x2], y = [2y2, y2]. Laspropiedades 2 y 3 se cumplen, pues z = x + ky = [2z , z ],donde z = x2 + ky2De hecho, W es el conjunto de puntos de la recta que pasapor el origen x1 = 2x2





Ejemplo:


La propiedad 1 se cumple, pues el vector cero se puedeescribir como 0 = [2(0), 0] 2 W .

Sean x , y 2 W , es decir, x = [2x2, x2], y = [2y2, y2]. Laspropiedades 2 y 3 se cumplen, pues z = x + ky = [2z , z ],donde z = x2 + ky2De hecho, W es el conjunto de puntos de la recta que pasapor el origen x1 = 2x2





Ejemplo:


La propiedad 1 se cumple, pues el vector cero se puedeescribir como 0 = [2(0), 0] 2 W .Sean x , y 2 W , es decir, x = [2x2, x2], y = [2y2, y2]. Laspropiedades 2 y 3 se cumplen, pues z = x + ky = [2z , z ],donde z = x2 + ky2

De hecho, W es el conjunto de puntos de la recta que pasapor el origen x1 = 2x2





Ejemplo:


La propiedad 1 se cumple, pues el vector cero se puedeescribir como 0 = [2(0), 0] 2 W .Sean x , y 2 W , es decir, x = [2x2, x2], y = [2y2, y2]. Laspropiedades 2 y 3 se cumplen, pues z = x + ky = [2z , z ],donde z = x2 + ky2De hecho, W es el conjunto de puntos de la recta que pasapor el origen x1 = 2x2





Tarea:9.- ¿Cual de los siguientes subconjuntos de R2 es un subespacio deR2?. En caso de ser subespacio, gra�ca la recta que de�ne.W1 = f[x1, x2] j x1 = 0gW2 = f[x1, x2] j x1 = x2gW3 = f[x1, x2] j x1 = 1+ x2g10.- Veri�car las tres propiedades de los subespacios en R3 para elsubconjunto W4 = f[x1, x2, x3] j x1 = x2g. ¿Qué tipo de regiónde�ne en el espacio tridimensional R3?11.- Veri�car que R2[x ] se comporta como un subespacio de R3[x ]checando las tres propiedades.





Generadores de subespacios:

Dado un vector no nulo x 2 V siempre podemos generar unsubespacio de V formado por todos los múltiplos de x la siguientemanera: W = fkx j k 2 Kg. En Rn W corresponde a la recta quepasa por el origen en dirección de x .Al subespacio anterior se le llama subespacio de V generado por xy se denota W = spanfxg.





La idea anterior se puede generalizar a cualquier conjunto devectores: Así, por ejemplo en R3, el subespacio generado porv1, v2 2 R3 sería el plano que contiene al origen y a ambosvectores, es decir, es el conjunto de vectores de la formak1v1 + k2v2 donde k1, k2 2 R.

De�nition

En general, si fv1, v2, ..., vng son vectores de un espacio V sobre elcampo K entoncesspanfv1, v2, ..., vng = fk1v1 + k2v2 + ...+ knvn j k1, k2, ..., kn2 Kg





Ejemplos: En R2 :

span��

11

��es la recta con pendiente unitaria que pasa por

el origen

span��

10

�,

�01

�,

�11

��es todo el espacio R2.

En R3 :

span

8<:24 111

359=; es la recta que pasa por el origen y el punto

(1,1,1).





En R3 :

Sea W = span

8<:24 100

35 ,24 010

359=; . W es el plano que

contiene los primeros dos ejes cartesianos pues cualquiervector x en ese plano se puede escribir como:

x =

24 x1x20

35 = x124 100

35+ x224 010

35.





W = span

8<:24 100

35 ,24 010

359=;x1

x2

x

W

x3





Tarea:12.- ¿A que plano en R3 corresponde el subespacio

span

8<:24 100

35 ,24 010

35 ,24 110

359=;? Escribe un vector cualquiera en

ese plano como una combinación lineal de estos tres vectores





Independencia Lineal

El conjunto de vectores fv1, v2, ..., vng � V se dice LinealmenteIndependiente si la combinación lineal k1v1 + k2v2 + ...+ knvn esel vector cero solamente en el caso trivial, es decir, solo cuandok1 = k2 = ... = kn = 0. De lo contrario el conjunto se diceLinealmente Dependiente, o simplemente Dependiente.





Ejemplos:

Sean dos vectores v1, v2 2 R2 formemos la combinación linealk1v1 + k2v2 = 0. Si son dependientes podemos suponer porejemplo que k1 6= 0; entonces v1 = kv2, donde k = � k2

k1. Es

decir, uno es múltiplo del otro, o lo que es lo mismo: ambosestán sobre la misma recta que pasa por el origen.

x1

x2

v2

v1=kv2





Sean tres vectores v1, v2, v3 2 R3 formemos la combinaciónlineal k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0. Si son dependientes podemossuponer por ejemplo que k1 6= 0; entoncesv1 = � k2

k1v2 � k3

k1v3. Es decir,v1 2 spanfv2, v3g, o bien, los

tres están sobre el mismo plano que contiene al origen.

x1

x2

x3

span{v2,v3}

v1





Ejemplo:

La manera más e�ciente de averiguar si un conjunto devectores fv1, v2, ..., vkg en Rn es linealmente independiente estomarlos como �las de una matriz y averiguar el rango de lamatriz con el proceso de eliminación gaussiana.

Por ejemplo, consideremos el siguiente conjunto de vectores

en R3

24 123

35 ,24 456

35 ,24 789

35





Ejemplo:

La manera más e�ciente de averiguar si un conjunto devectores fv1, v2, ..., vkg en Rn es linealmente independiente estomarlos como �las de una matriz y averiguar el rango de lamatriz con el proceso de eliminación gaussiana.Por ejemplo, consideremos el siguiente conjunto de vectores

en R3

24 123

35 ,24 456

35 ,24 789

35





Formamos la matriz A =

24 1 2 34 5 67 8 9

35 , y aplicamosoperaciones elementales por �la

A �

24 1 2 30 �3 �60 �6 �12

35 �24 1 2 30 �3 �60 0 0

35

Por lo tanto, rank(A) = 2) Solo dos �las de A sonLinealmente independientes.





Formamos la matriz A =

24 1 2 34 5 67 8 9

35 , y aplicamosoperaciones elementales por �la

A �

24 1 2 30 �3 �60 �6 �12

35 �24 1 2 30 �3 �60 0 0

35Por lo tanto, rank(A) = 2) Solo dos �las de A sonLinealmente independientes.





Tarea:

13.- Averiguar si los vectores

24 1�11

35 ,24 1

1�1

35 ,24 �1�3

3

35 sonLinealmente independientes14.- En R2, hallar un vector linealmente independiente al vector�11

�.

15.- En R3, hallar un vector linealmente independiente a los

vectores

24 1�11

35 ,24 1

1�1

35





Bases y Dimensión

Base de un espacio vectorial

El conjunto �nito fv1, v2, ..., vng � V se dice que es una Base delespacio vectorial V si:

1 V = spanfv1, v2, ..., vng2 fv1, v2, ..., vng es Linealmente Independiente.





Observación: El número de vectores de cualquier base de unespacio vectorial es el mismo.

De�nitionAl número de vectores de una base cualquiera de un espaciovectorial se le llama la dimensión del espacio y si este número es�nito, se dice que el espacio es de dimensión �nita.





Ejemplos:La base de Rn formada por los vectores unitarios

fe1, e2, ..., eng =

8>><>>:266410...0

3775 ,266401...0

3775 , ...,266400...1

37759>>=>>; se le llama la

base canónica de Rn.de acuerdo a lo anterior, la dimensión de Rn es n.





Ejemplo:La base canónica de los polinomios Rn [x ] es f1, x , x2, ..., xng : Esevidente que cualquier polinomio se puede escribir como unacombinación lineal de elementos de esta base y además es L.I.,pues k0 + k1x + k2x2 + ...+ knxn es el polinomio nulo solamentesi k0 = k1 = ... = kn = 0.





Ejemplo:

¿Cual de los siguientes conjuntos de vectores es una base deR2?

a)�11

�,

��1�1

�. No son una base porque son L. D. (solo

generan la recta a 45o que pasa por el origen)

b)�10

�,

�11

�,

�00

�. No son una base pues son 3 vectores

y la dimensión de R2 es 2. (Generan a R2 pero son L. D.)





16.- Veri�car que el conjunto

8<:24 100

35 ,24 110

35 ,24 111

359=; es una

base de R3

17.- Veri�car que el conjunto f1, 1+ x , 1+ x + x2g es una base deR2[x ]





Subespacios asociados con matrices

Dada una matriz A 2 Rm�n Existen 4 subespacios asociados a ella:El Espacio Fila de A (RAT): es el subespacio de R1�n generadopor las �las de A.El Espacio Columna de A (RA): es el subespacio de Rm�1

generado por las columnas de A.El Núcleo o Espacio Nulo de A (NA): es el subespacio de Rn�1

que consta de los vectores x 2 Rn�1 tales que Ax = 0.El Espacio Nulo Izquierdo de A (NAT): es el subespacio deRm�1 que consta de los vectores x 2 Rm�1 tales que xTA = 0, obien, AT x = 0.





El espacio �la de una matriz A se puede escribir como los vectores�la yT 2 R1�n tales que yT = xTA, ya que este producto es unacombinación lineal de �las de A

El espacio columna de una matriz A se puede escribir como losvectores columna y 2 Rm�1 tales que y = Ax , ya que esteproducto es una combinación lineal de columnas de A





Ejemplo:

Escribir el producto Ax como una combinación lineal de

columnas de A, con x =

24 x1x2x3

35 , A =24 1 0 10 1 21 0 1

35 =)Ax =

24 x1 + x3x2 + 2x3x1 + x3

35

es decir, Ax = x1

24 101

35+ x224 010

35+ x324 121

35es decir, Ax de�ne el espacio generado por las columnas de A.





Ejemplo:



24 x1x2x3

35 , A =24 1 0 10 1 21 0 1

35 =)Ax =

24 x1 + x3x2 + 2x3x1 + x3

35es decir, Ax = x1

24 101

35+ x224 010

35+ x324 121

35

es decir, Ax de�ne el espacio generado por las columnas de A.





Ejemplo:



24 x1x2x3

35 , A =24 1 0 10 1 21 0 1

35 =)Ax =

24 x1 + x3x2 + 2x3x1 + x3

35es decir, Ax = x1

24 101

35+ x224 010

35+ x324 121

35es decir, Ax de�ne el espacio generado por las columnas de A.





Ejemplo:

Encontrar una base del Espacio columna y del espacio nulo dela matriz del ejemplo anterior.

Solución: RA = span

8<:24 101

35 ,24 010

35 ,24 121

359=;Pero como sólo dos columnas son L.I., por lo tanto, la base

es:

8<:24 101

35 ,24 010

359=;





Ejemplo:



8<:24 101

35 ,24 010

35 ,24 121

359=;

Pero como sólo dos columnas son L.I., por lo tanto, la base

es:

8<:24 101

35 ,24 010

359=;





Ejemplo:



8<:24 101

35 ,24 010

35 ,24 121

359=;Pero como sólo dos columnas son L.I., por lo tanto, la base

es:

8<:24 101

35 ,24 010

359=;





Para NA formamos el sistema Ax = 0:24 1 0 10 1 21 0 1

3524 x1x2x3

35 =24 000

35

Que en la forma reducida por �las es:24 1 0 10 1 20 0 0

3524 x1x2x3

35 =24 000

35





Para NA formamos el sistema Ax = 0:24 1 0 10 1 21 0 1

3524 x1x2x3

35 =24 000

35Que en la forma reducida por �las es:24 1 0 10 1 20 0 0

3524 x1x2x3

35 =24 000

35





Obtenemos: x1 = �x3, x2 = �2x3, x3 arbitrario, es decir,

NA =

8<:24 �x3�2x3x3

35 j x3 2 R

9=; ,

es decir, NAes la recta generada por el vector

24 �1�21

35 , elcual es la base buscada.





Obtenemos: x1 = �x3, x2 = �2x3, x3 arbitrario, es decir,

NA =

8<:24 �x3�2x3x3

35 j x3 2 R

9=; ,es decir, NAes la recta generada por el vector

24 �1�21

35 , elcual es la base buscada.





Tarea:

18.- Para la matriz A =

24 1 0 10 1 21 0 1

35 , y el vector x =24 x1x2x3

35 ,escribir el producto xTA como una combinación lineal de las �lasde A.19.- Encontrar una base para el espacio �la de A y una base para elespacio nulo izquierdo de A.





Teorema fundamental del Algebra Lineal:

Para cualquier matriz A 2 Rm�n se cumple lo siguiente:1 rango de A

M= dimensión de RAT = dimensión de RAT = r

2 dimensión de NAT = m� r3 dimensión de NA = n� r





Tarea:20.- Veri�car el teorema fundamental del álgebra lineal para lamatriz

A =

24 1 0 10 1 21 0 1

35




DiagonalizaciónSolución de ecuaciones diferenciales linealesCálculo de la matriz exponencial eAt


El problema de valores y vectores propios, también llamadosvalores y vectores característicos, eigen-valores y eigen-vectores, oautovalores y autovectores surge en diversos campos de aplicacióndel álgebra lineal, tales como:

- Ecuaciones diferenciales- Estabilidad de sistemas lineales- Sistemas eléctricos (componentes simétricas)- Polos y ceros de funciones transferencia- Diagonalización de matrices





De�nition

Sea A 2 Rn�n una matriz cuadrada, se dice que el vector no nulox 2 Rn es un vector propio de A correspondiente al escalar λllamado valor propio si se cumple que Ax = λx





Observación: Para un vector x en general el producto Ax es otrovector con dirección completamente diferente a x , sin embargo, lade�nición de vector propio pide que Ax vaya en la misma direcciónde x :

x1

x2

x

λxAx





En otras palabras, de existir dichos vectores propios, serán aquellosvectores x a los que A no les cambia de dirección alpremultiplicarlos.





De la de�nición, para que x sea un vector propio de Acorrespondiente al valor propio λ se requiere que

Ax = λx

Es decir, x debe satisfacer la ecuación:

(λI � A)x = 0

En otras palabras, x pertenece al Espacio Nulo de (λI � A)





De esta manera el problema de encontrar los valores y vectorespropios de A se convierte en el problema de encontrar el espacionulo de la matriz cuadrada (λI � A).Como el espacio nulo de una matriz es un subespacio de Rn alespacio nulo de (λI � A) se le llama el subespacio propio de A yestá formado por puros vectores propios de A.





Si la dimensión del espacio nulo de (λI � A) es cero el únicovector que contiene dicho espacio es el vector cero, el cual porde�nición no es un vector propio.

Por lo tanto, para que exista algún vector propio de A se requiereque la dimensión del espacio nulo de (λI � A) sea diferente decero, es decir, que la ecuación (λI � A)x = 0 tenga una soluciónno nula, o bien,

det(λI � A) = 0





De�nition

Al determinante det(λI � A) se le llama polinomio característicode A y a la ecuación det(λI � A) = 0 se le llama ecuacióncaracterística de la matriz A.

Dada una matriz A de n� n, su polinomio característico es degrado n, la ecuación característica deberá tener hasta n solucionespara λ, es decir, habrá hasta n valores propios para cualquiermatriz A de n� n.Obsérvese que los valores propios pueden ser reales o complejos.





Ejemplo: Calcular los valores propios de la matriz A =�4 �52 �3

�Solución:

La ecuación característica es

det�

λ� 4 5�2 λ+ 3

�= 0

es decir, λ2 � λ� 2 = (λ+ 1)(λ� 2) = 0de donde obtenemos dos valores propios: λ1 = �1, λ2 = 2.






�Solución:La ecuación característica es

det�

λ� 4 5�2 λ+ 3

�= 0








det�

λ� 4 5�2 λ+ 3

�= 0

es decir, λ2 � λ� 2 = (λ+ 1)(λ� 2) = 0

de donde obtenemos dos valores propios: λ1 = �1, λ2 = 2.







det�

λ� 4 5�2 λ+ 3

�= 0






Ejemplo:

Los vectores propios para la matriz anterior se pueden obtenercomo sigue:

Para λ1 = �1 el sistema (λ1I � A)x = 0 queda��5 5�2 2

� �x1x2

�=

�00

�de donde los vectores propios tienen la forma k

�1 1

�TPara λ2 = 2 el sistema (λ1I � A)x = 0 queda��2 5�2 5

� �x1x2

�=

�00


�5 2

�T





Ejemplo:


Para λ1 = �1 el sistema (λ1I � A)x = 0 queda

��5 5�2 2

� �x1x2

�=

�00


�1 1


� �x1x2

�=

�00


�5 2

�T





Ejemplo:



� �x1x2

�=

�00

�

de donde los vectores propios tienen la forma k�1 1


� �x1x2

�=

�00


�5 2

�T





Ejemplo:



� �x1x2

�=

�00


�1 1

�T

Para λ2 = 2 el sistema (λ1I � A)x = 0 queda��2 5�2 5

� �x1x2

�=

�00


�5 2

�T





Ejemplo:



� �x1x2

�=

�00


�1 1

�TPara λ2 = 2 el sistema (λ1I � A)x = 0 queda

��2 5�2 5

� �x1x2

�=

�00


�5 2

�T





Ejemplo:



� �x1x2

�=

�00


�1 1


� �x1x2

�=

�00

�

de donde los vectores propios tienen la forma k�5 2

�T





Ejemplo:



� �x1x2

�=

�00


�1 1


� �x1x2

�=

�00


�5 2

�TJJRP Espacios Vectoriales, espacios propios




Observación: como los vectores propios correspondientes a unvalor propio dado no son únicos, se acostumbra obtener losvectores propios unitarios.Para el ejemplo anterior el vector propio unitario correspondiente al

valor propio λ1 = �1 es 1p2

�11

�, mientras que para el valor

propio λ2, es 1p29

�52

�





La suma de los n valores propios de la matriz A es igual a sutraza: traza(A) = λ1 + λ2 + ...+ λn

El producto de los n valores propios de la matriz A es igual asu determinante: det(A) = λ1λ2...λn. Una consecuenciainmediata de esta propiedad es que det(A) = 0 si y solo sialgún valor propio de A es cero.

Los valores propios de una matriz triangular (superior oinferior) son los valores de su diagonal.





Tarea:21.- Calcula los valores propios y vectores propios unitarios

correspondientes para la matriz A =�0 1�2 �3

�. Veri�ca las dos

primeras propiedades anteriores.





Diagonalización

De�nitionDada una matriz cuadrada A, y una matriz invertible T , a laoperación T�1AT se le llama transformación de similaridad y a lamatriz B = T�1AT se le llama matriz similar a la matriz A





La relación de similaridad entre dos matrices se dice que es unarelación de equivalencia y cumple con las siguientes propiedades:

1 Propiedad re�exiva: Una matriz A es similar a sí misma.2 Propiedad simétrica: si A es similar a B entonces B es similara A.

3 Propiedad transitiva: Si A es similar a B y B es similar a C ,entonces A es similar a C .

Otros ejemplos de relaciones de equivalencia son: La igualdadnumérica, la semejanza de triángulos, el paralelismo entre líneasrectas, etc.





Tarea:22.- Veri�car las tres propiedades para la relación de similaridadentre matrices de�nida como: A similar a B si B = T�1AT23.- Dar otro ejemplo de relación de equivalencia.





Otras propiedades: Las siguientes características de una matriz Ano se alteran bajo una transformación de similaridad:

el determinante

la traza

los valores y vectores propios





Tarea:

24.- Para las matrices A =�0 11 0

�y T =

��1 11 1

�calcula

B = T�1AT . Veri�ca las propiedades anteriores para A y B.





Si la matriz A de n� n tiene n vectores propios L.I., y formamosuna matriz T cuyas columnas sean estos vectores, entonces latransformación D = T�1AT produce una matriz diagonal D.Además, los elementos en la diagonal de D serán justamente losvalores propios de A.

Observación: La condición de independencia lineal de los nvectores propios de A se satisface cuando todos los valores propiosde A son diferentes (el inverso no siempre es cierto).





Ejemplo: Para la matriz A =�4 �52 �3

�, obtener la forma

diagonal.Solución: Usando los vectores propios ya obtenidos:

T =�1 51 2

�, de donde T�1 = 1

3

��2 51 �1

�, por lo tanto,

D = T�1AT =��1 00 2

�





Observaciones:

1 No todas las matrices tienen forma diagonal.

2 Si una matriz tiene sus n valores propios distintos tiene nvectores propios L.I. y por lo tanto tiene forma diagonal.

3 Si una matriz tiene valores propios repetidos puede no tenerforma diagonal.

4 Toda matriz tiene una forma diagonal por bloques llamadaForma de Jordan.

5 Una matriz simétrica tiene valores propios reales y vectorespropios ortogonales que pueden formar una matrizdiagonalizante ortogonal T tal que T�1 = TT .

6 De acuerdo a lo anterior, una matriz simétrica A se puedediagonalizar mediante la transformación: D = TTAT





Observaciones:

1 No todas las matrices tienen forma diagonal.2 Si una matriz tiene sus n valores propios distintos tiene nvectores propios L.I. y por lo tanto tiene forma diagonal.

3 Si una matriz tiene valores propios repetidos puede no tenerforma diagonal.

4 Toda matriz tiene una forma diagonal por bloques llamadaForma de Jordan.

5 Una matriz simétrica tiene valores propios reales y vectorespropios ortogonales que pueden formar una matrizdiagonalizante ortogonal T tal que T�1 = TT .

6 De acuerdo a lo anterior, una matriz simétrica A se puedediagonalizar mediante la transformación: D = TTAT





Aplicación a ecuaciones diferenciales lineales

Consideremos el sistema de n ecuaciones diferenciales lineales deprimer orden con coe�cientes constantes dado por

x = Ax , con x(0) = x0

Donde x =

2664x1(t)x2(t)...xn(t)

3775 , x =2664x1(t)x2(t)...xn(t)

3775 ,

A =

2664a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n

...an1 an2 ... ann

3775JJRP Espacios Vectoriales, espacios propios




La solución al sistema de ecuaciones anterior se calcula de maneraanáloga al caso escalar como

x(t) = eAtx0

Sin embargo, el cálculo de eAt que en el caso A escalar es trivial,se complica si A es una matriz.





Cálculo de la matriz exponencial

Si A es una matriz diagonal, digamos

A =

26664a11 0 ... 00 a22 ... 0

. . .0 0 ... ann

37775 , el cálculo es directo:

eAt =

26664ea11t 0 ... 00 ea22t ... 0

. . .0 0 ... eannt

37775





Pero si A no es diagonal, podemos recurrir al cálculo delexponencial mediante la serie

eAt = I + At + 12!A

2t2 + 13!A

3t3 + ...

Que en el caso matricial se convierte en una suma �nita pues porel Teorema de Cayley-Hamilton An se puede expresar como unacombinación lineal de las potencias anteriores de A, con lo cual

eAt = α0(t)I + α1(t)A+ α2(t)A2 + ...+ αn�1(t)An�1





Como�TDT�1

�k= TDkT�1 para cualquier k entero, de la

sumatoria �nita, obtenemos

T�1eAtT = α0(t)I + α1(t)T�1AT + α2(t)�T�1AT

�2+ ...+

αn�1(t)�T�1AT

�n�1eT

�1AtT = eDt = α0(t)I + α1(t)D + α2(t)D2 + ...+ αn�1(t)Dn�1





es decir, 26664eλ1t 0 ... 00 eλ2t ... 0

. . .0 0 ... eλnt

37775 =264 α0 + α1λ1 + α2λ

21 + ...+ αn�1λ

n�11 ... 0

. . .0 ... α0 + α2λ

2n + ...+ αn�1λ

n�1n

375





igualando los elementos de la diagonal

eλ1t = α0 + α1λ1 + ...+ αn�1λn�11

eλ2t = α0 + α1λ2 + ...+ αn�1λn�12

...eλnt = α0 + α1λn + ...+ αn�1λ

n�1n

En forma matricial:266641 λ1 λ21 ... λn�111 λ2 λ22 ... λn�12

. . .1 λn λ2n ... λn�1n

377752664

α0α1...αn

3775 =2664eλ1t

eλ2t

...eλnt

3775





Ejemplo: Encontrar la solución de la ecuación diferencial x = Ax

con x(0) =�x10x20

�y con A =

�4 �52 �3

�.

Solución: Como ya se calculó: λ1 = �1, λ2 = 2, formamos elsistema �

1 �11 2

� �α0α1

�=

�e�t

e2t

�,

de donde�α0α1

�= 1

3

�2 1�1 2

� �e�t

e2t

�=

� 23e�t + 1

3e2t

� 13e�t + 2

3e2t

�





Sustituyendo en eAt = α0I + α1A, se obtiene

eAt =� 23e�t + 1

3e2t� � 1 0

0 1

�+�� 13e�t + 2

3e2t� � 4 �5

2 �3

�eAt =

�� 23e�t + 3e2t 5

3e�t � 10

3 e2t

23e�t + 1

3e2t 5

3e�t � 5

3e2t

�por lo tanto, la solución de la ecuación diferencial es

x(t) =�� 23e�t + 3e2t 5

3e�t � 10

3 e2t

23e�t + 1

3e2t 5

3e�t � 5

3e2t

� �x10x20

�





Tarea:

Obtener eAt para A =�0 11 0

�.


espacios vectoriales, valores y vectores...

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