Actividad 4: Álgebra booleana

En el módulo Fundamentos de la electrónica has estudiado números binarios y funciones y compuertas lógicas. Estos temas ya fueron tratados nuevamente en las actividades anteriores de este módulo. En esta actividad aprenderás acerca del álgebra en relación con sistemas lógicos. Los principios de esta álgebra fueron formulados por el matemático inglés George Boole, y por lo tanto recibe el nombre de álgebra booleana.

Esta actividad incluye los siguientes temas:

Reseña general del álgebra booleana.

Análisis de las funciones booleanas

Inspección de una expresión booleana

OBJETIVOS

En esta actividad, realizarás lo siguiente:

Aprender a identificar las funciones booleanas.

Analizar expresiones booleanas.

Aprender a crear tablas de verdad en base a expresiones booleanas.

Introducción al álgebra booleana

¿Qué es el álgebra booleana?

El álgebra booleana trata con operaciones de variables que sólo pueden tomar uno de dos valores: 0 o 1.

0 indica "falso", mientras 1 indica "verdadero". En principio, el álgebra booleana se parece al álgebra común. Por lo tanto, se usan signos similares.

Operaciones con álgebra booleana

El álgebra booleana permite simplificar varias funciones complejas. Las reducciones permiten comprender la función con más facilidad. Por ejemplo, pueden cancelarse los elementos que no afectan la salida final y crear un circuito que represente la función utilizando menos compuertas lógicas. Usar menos compuertas en un circuito se traduce en ahorro de tiempo y dinero.

Tarea: Ilustrar el uso práctico del álgebra booleana

Analiza el circuito que se muestra. ¿Puedes identificar las compuertas en el circuito?

1 En base a las compuertas del circuito, completa las salidas en la tabla.

2 Haz clic en Verificar en la pantalla de animación para verificar tus datos.

3 Si alguna de tus respuestas es incorrecta, corrígela. Haz clic en Verificar nuevamente para verificar los datos.

Aplicación práctica del álgebra booleana

Resultados idénticos con menos funciones

Examina la figura. Es el mismo circuito que has analizado en la tarea que acabas de realizar.

Como puedes ver, las salidas de ambos circuitos son idénticas. Las salidas son fáciles de identificar como idénticas analizando tanto los circuitos como las tablas de verdad. En funciones más complejas, es mucho más difícil reconocer formas equivalentes reducidas - simplificadas examinando la tabla de verdad. La reducción sólo puede lograrse mediante el uso de álgebra booleana y otros métodos de reducción.

Expresiones booleanas

En el álgebra "común", una combinación de valores fijos o variables dada constituye una expresión. En este sentido, el álgebra booleana es igual. Una expresión booleana es una combinación de valores fijos y variables, los que sólo pueden ser 1 o 0. Los distintos valores variables y fijos están relacionados mediante operaciones booleanas como AND, NOT y OR.

El orden de las operaciones booleanas primarias es el siguiente:

1 NOT

2 AND

3 OR

Cuando dos operaciones tienen el mismo orden de importancia se realizan de izquierda a derecha.

Funciones booleanas

Dada una expresión booleana que contiene n variables, cada una de las cuales sólo puede valer 0 o 1, hay combinaciones posibles de los valores de las variables. Una función booleana expresa el resultado para todas estas combinaciones.

Por ejemplo, dada la función Z = A* + C*D, se puede calcular la respuesta individualmente para cada combinación posible de A, B, C y D. Otra opción es crear una tabla de verdad que contenga cada una de todas las posibles combinaciones de variables A, B, C y D para determinar las salidas. De hecho, ambos métodos son idénticos, excepto que la tabla de verdad organiza los datos más claramente.

Identidad booleana

Dos expresiones que tienen salidas idénticas para cada combinación de entradas posible se dice que tienen la misma identidad booleana.

Por ejemplo, en los circuitos que has examinado anteriormente, según se muestra, has observado la identidad booleana = A+B. Las dos expresiones son idénticas, como lo muestra la tabla de verdad que has analizado en la tarea que realizaste.

Reglas del álgebra booleana

Reglas para una variable única

Al igual que en las matemáticas "comunes", el signo de multiplicación (o signo booleano AND "*") con frecuencia se omite en las expresiones, como por ejemplo A*B = AB y A*(A+B) = A(A+B). En las siguientes reglas del álgebra booleana, se ha mantenido el signo *, pero más adelante en esta actividad, así como en otras actividades, verás con frecuencia expresiones en donde se lo ha omitido.

Nota: Los términos multiplicación y suma se usan aquí en referencia a las funciones booleanas AND y OR y no a las operaciones aritméticas.

Las siguientes reglas pueden aplicarse una expresión booleana con una variable única:

Para cualquier variable dada A, su inversa se define como NOT(A) o .

La multiplicación (función AND) o la suma (función OR) de la variable por sí misma da como resultado la variable única:

A+A = A A*A = A

Esto se conoce como la regla de identidad.

Multiplicar una variable por 1 da como resultado la variable: A*1 = A.

Sumar 0 a una variable da como resultado la variable: A+0 = A.

Sumar un 1 a una variable da como resultado una salida de 1: A+1 = 1.

Sumar un 0 a una variable da como resultado la variable: A+0 = A.

Multiplicar una variable por su inversa da como resultado 0: A* = 0.

Sumar una variable a su inversa da como resultado 1: A+ = 1.

Reglas para multiplicar variables

Las operaciones booleanas obedecen las reglas conmutativa, distributiva y asociativa del álgebra normal.

Ley conmutativa:

Al sumar múltiples variables, el orden de las variables es intercambiable:

A+B+C = A+C+B = B+A+C, y así.

Al multiplicar distintas variables, el orden también es intercambiable: A*B*C = A*C*B = C*B*A, y así.

Por supuesto, en una expresión que incluya tanto suma como multiplicación, el orden debe respetarse con cuidado para asegurar que se sumen y se multipliquen las variables correctas. A*B + C*D = B*A + D*C D*B + A*C.

Ley asociativa:

Al sumar múltiples variables, el orden de la operación no es significativo:

(A+B)+C = A+(B+C).

Del mismo modo, al multiplicar diversas variables, el orden de la operación no es significativo:

(A*B)*C = A*(B*C).

Es importante aclarar, sin embargo, que si se combinan varios operadores booleanos, debe respetarse el orden de las operaciones observado previamente.

Operador booleanoTambién conocido como función booleana. Los operadores booleanos son AND, OR, NOT, NOR y NAND. Estos operadores se utilizan en el álgebra booleana casi de la misma manera que los operadores matemáticos (+,-,*,/) se utilizan en la matemática ordinaria.

Ley distributiva:

A*(B+C) = A*B + A*C

El álgebra booleana extiende la ley distributiva:

A+(B*C) = (A+B)*(A+C).

Reducir expresiones - Teorema de De Morgan

Existen varias leyes más para trabajar con variables múltiples. Algunas simplemente se postularán aquí y otras se probarán:

Teorema de De Morgan:

De Morgan fue un matemático británico que desarrolló dos reglas para permitir el manejo de un tipo de expresiones complejas. Más adelante en esta actividad analizarás la verdad de este teorema construyendo una tabla de verdad para representarlo.

( ) = *

( ) = +

PostuladoAlgo que se asume como premisa o axioma. Generalmente los postulados se pueden asumir y utilizar como fundamentos para pruebas y teoremas.

Más reglas para reducir expresiones

AB+A = A

Esto se puede ver rápidamente una vez que se aplica la ley distributiva:

AB+A = A*(B+ )

En las reglas para una única variable has aprendido que A+ = 1. Entonces la expresión de arriba es igual a A*(1) o A*1, que, por supuesto, es igual a A.

Eso a veces se considera parte de la que se conoce como regla de redundancia.

(A+B)*(A+ ) = A

Para comprobar esto se requieren varias de las reglas anteriormente enunciadas. Examina cuidadosamente lo siguiente:

(A+B)*(A+ ) = AA+AB+A +B

Ahora reduce. Ya has aprendido que B =0. También has aprendido que sumar un 0 a una variable no modifica la variable. Por lo tanto, el 0 puede eliminarse de la expresión. También sabes que AA = A, y también puedes hacer este reemplazo:

Ahora reduce la expresión restante:

A+AB+A = A*(1+B+1) = A*(1) = A.

Esto se considera a veces parte de la ley de redundancia.

A+AB = A:

A+AB = A*(1+B) = A*1 = A

Esta es una parte de la ley de redundancia.

La otra parte de la ley de redundancia es como sigue:

A*(A+B) = A

A*(A+B) = AA+AB = A+AB = A*(1+B) = A*1 = A

A+ B = A+B

A+ B = A*(1)+ B = A*(1+B)+ B = A+AB+ B = A+B*(A+ ) = A+B*(1) = A+B

A*( +B) = AB

A*( +B) = A +AB = 0+AB = AB

Algunas de estas leyes se han probado a través del álgebra. También puede comprobarse su veracidad mediante el uso de tablas de verdad.

Tarea: Usar tablas de verdad para comprobar álgebra booleana

En esta tarea, construirás tablas de verdad para comprobar la veracidad de una de las leyes enunciadas anteriormente. Para esta tarea, comprobarás la veracidad de una parte del teorema de De Morgan: ( ) = * .

1 Analiza el teorema de De Morgan. Analiza ahora las dos partes de la tabla de verdad que se muestran. Cada parte de la tabla de verdad representa una mitad de la ecuación dada.

2 Teniendo en cuenta lo que ya has aprendido acerca de los operadores OR y AND en el álgebra booleana, completa las columnas vacías de la tabla.

Tarea: Analizar una expresión reducida en una tabla de verdad

En esta tarea, construirás y analizarás la tabla de verdad para la expresión que acabas de reducir para verificar que la reducción sea correcta.

1 La función inicial es Z = AB+AB . La versión reducida es Z = AB. En la tabla de la ventana de animación, completa todas las posibilidades para A, B y C.

Indicación: La tabla vacía contiene el número exacto de líneas que contiene las diversas combinaciones de A, B y C.

Tarea: Comparar expresiones booleanas

En esta tarea, reducirás una expresión algebraica compleja, luego construirás una tabla de verdad para la función original y para la función reducida a fin de comparar los resultados.

Para esta tarea necesitarás una hoja de papel y algún elemento para escribir.

1 Copia la siguiente función en una hoja de papel:Z = (A+B)*( +C).

2 Aplica la ley distributiva a esta expresión. La expresión resultante debería ser: Z = (A+B) +(A+B)C.

3 Aplica la ley distributiva a la expresión resultante. El resultado debería ser: Z = A +B+AC+BC. Si aplicas la ley conmutativa, verás que esta expresión es equivalente a Z = A +B+AC+BC.

4 Aplica la regla de multiplicar una variable por su inversa (A = 0). Sumar un 0 a una variable o expresión no modifica la expresión. Entonces, reduce la expresión. La expresión resultante debería ser:Z= B+AC+BC.

5 Como has aprendido, sumar una variable a su inversa es igual a 1 (A+ = 1). Dado que multiplicar una variable por 1 no cambia la variable, multiplica BC por A+ . La expresión resultante es: Z = B+AC+(A+ )BC.

6 Aplica la ley distributiva a la expresión (A+ )BC.

La expresión resultante es B+AC+ABC+ BC.

7 Aplica las leyes conmutativas a la expresión que tienes, para reordenarla a fin de reducirla. La expresión a la que deberías llegar es Z = B+ BC+AC+ACB.

Como puedes ver, la ley conmutativa se aplicó aquí tanto para reordenar la suma como dentro de la expresión ABC para cambiarla a ACB, de modo que la similitud entre esta expresión y la expresión AC fuera más evidente.

8 Aplica la ley distributiva nuevamente para obtener: Z = B(1+C)+AC(1+B).

9 Como ya has aprendido, 1+B = 1 y 1+C = 1. Entonces, la expresión puede reducirse aún más a Z= B+AC.

10 Ahora completarás una tabla de verdad que refleje la función original y la función reducida. En la ventana de animación, para cada combinación de A, B y C, ingresa los valores de cada una de las funciones que se muestra.

11 Haz clic en Verificar en la ventana de animación para verificar tus datos.

12 Si alguna de tus respuestas es incorrecta, corrígela. Haz clic en Verificar nuevamente para verificar que los datos sean correctos.

Como puedes ver, las columnas con los resultados de las funciones son idénticas, reflejando el hecho de que la función reducida es idéntica a la función original.

Aplicar álgebra booleana a circuitos lógicos

Analizar un circuito lógico complejo

Examina la figura. Como puedes ver, este circuito lógico comprende varias compuertas, y los resultados de las compuertas son las entradas para otras compuertas. Cuando evalúas la función con atención, puedes ver que la compuerta final puede representarse mediante la siguiente expresión:

Z = (A*B)*(B+( *C).

Usando la ley distributiva, los paréntesis puede ser abiertos. Esto da como resultado la expresión:

Z = ABB+AB C.

En base a las reglas que has estudiado A = 0, y BB = B. Por lo tanto, el circuito que se muestra puede representarse mediante la expresión:Z = AB.

En otras palabras, la función compleja que representa este circuito puede ser reemplazada por una simple función AND. O, hablando en forma práctica, una única compuerta AND puede reemplazar las cinco compuertas que se muestran en el circuito.

Reducir un circuito complejo

Estudia el circuito lógico de la figura. Como puedes ver, abarca seis compuertas. Ahora reduce la función:

Z = AC+BC+ C = (A+B+ )C [ley distributiva] = C(A+B+ ) [ley conmutativa].

Usando las reglas de reducción que has aprendido, puedes reducir esta expresión:

Z = C(A+ +B) = C(A+1) = C.

Como puedes ver, las seis compuertas son en realidad redundantes. Puede obtenerse la misma salida con la simple expresión Z = C.

En esta actividad

Conclusión

En esta actividad has estudiado los fundamentos del álgebra booleana. Has examinado las leyes del álgebra booleana y su aplicación a expresiones booleanas y circuitos lógicos.

En las siguientes actividades podrás observar y comprender mejor la importancia del álgebra booleana en electrónica.