Universidad Andrs BelloFacultad de Ciencias ExactasDepartamento de Matemticas

lgebra (FMM013)Examen

Diciembre 17, 2012.Duracin: 90 minutos.

Importante: No se asignarn puntos por respuestas sin justificacin.

Problema 1 : (1;2 puntos) Usando induccin pruebe que para todo n 2 N se tiene que

11n+1 + 122n1 es mltiplo de 133

Solucin:Base inductiva: Para n = 1 tenemos que111+1 + 122(1)1 = 121 + 12 = 133Por lo tanto la proposicin es verdadera para n = 1

Hiptesis de induccin: Suponemos la propocicin verdadera para n = k. Es decir su-ponemos11k+1 + 122k1 = 133(A) para algn A 2 N.

Podemos tambin escribir11k+1 = 133(A) 122k1Tesis de induccin: Queremos probar que la propocicin es verdadera para n = k + 1.Tenemos:

11(k+1)+1 + 122(k+1)1 = (11)11k+1 + 122k+1

= (11)133(A) 122k1+ 122k+1

= 133(A)(11) (11)122k1 + 122k+1= 133(A)(11) (11)122k1 + 122122k1= 133(A)(11) + (144 11)122k1= 133(A)(11) + (133)122k1

= 133(A)(11) + 122k1

Es decir, probamos que 11(k+1)+1 + 122(k+1)1 es mltiplo de 133.

Por el pricipio de induccin, tenemos entonces que la proposicin es verdadera paratodo n 2 N.

Problema 2 : (1;2 puntos) Sean p, q y r proposiciones. Se sabe que la proposicin

[(p ^ q) ^ r] ) [r _ q]

es falsa. Determine, si es posible, el valor de verdad de p, q y r.

Solucin:Para que la proposicin dada sea falsa, debemos tener que[(p ^ q) ^ r] es verdadera (y por lo tanto (p ^ q) ^ r es falsa)y [r _ q] es falsa.Esta ltima condicin es posible solo cuandor F (y por lo tanto r V )y q F

Volviendo a la primera condicin, y sustituyendo los valores encontrados para r y q,tenemosp ^ q ^ r Fp ^ V ^ V Fp F

Problema 3 : (1;2 puntos) Un faro de 200 metros de altura se encuentra a orillas de unlago. Un bote se dirige en lnea recta hacia el faro, que visto desde el bote tiene unngulo de elevacin de 20o. Un rato despus, el faro se ve con un ngulo de elevacinde 60o. Cunto avanz el bote?

Solucin:Sea d1 la distancia inicial del bote al faro, y d2 la distancia final. Buscamos d1 d2Tenemos

d1 =200

tan 20

d2 =200

tan 60

Entoncesd1 d2 = 200

tan 20 200

tan 60

Problema 4 : En R considere la operacin definida como a b = a + b + 7 para a y belementos de R.

a) (0;2 puntos) Demuestre que la operacin es asociativa.

b) (0;2 puntos) Demuestre que es conmutativa.

c) (0;3 puntos) Encuentre el neutro. Justifique.

d) (0;3 puntos) Para cada elemento de R encuentre el inverso. Justifique.

e) (0;2 puntos) Encuentre la solucin de la ecuacin

x x = x1

(Tenga en cuenta que el inverso se refiere a la operacin .)Solucin:

a) Sean a, b, c elementos de R, tenemos

a (b c) = a (b+ c+ 7)= a+ b+ c+ 7 + 7

= a+ b+ c+ 14

(a b) c = (a+ b+ 7) c= a+ b+ 7 + c+ 7

= a+ b+ c+ 14

Por lo tanto (a b) c = a (b c), y la operacin es asociativa.b)

a b = a+ b+ 7= b+ a+ 7

= b ac) Dado a 2 R, buscamos e 2 R tal que a e = e a = a.

Como la operacin es conmutativa, alcanza con probar a e = a.Tenemos

a e = aa+ e+ 7 = a

e = 7d) Sea a 2 R, buscamos b 2 R tal que a b = b a = e = 7.

Como la operacin es conmutativa, alcanza con verificar a b = 7.Tenemos a b = 7a+ b+ 7 = 7b = 14 a

e) x x = x1x+ x+ 7 = 14 x3x = 21x = 7

Problema 5 : (1;2 puntos) Encuentre todos los z 2 C tal quez2 (3 + 2i)z + (1 + 3i) = 0

Solucin:Utilizando la frmula para las races de la ecuacin de segundo grado, tenemos:

z =(3 + 2i) +

p(3 + 2i)2 4(1)(1 + 3i)

2(1)

=(3 + 2i) +

p9 + 12i 4 4 12i

2

=(3 + 2i) +

p1

2

=(3 + 2i) 1

2

Las races buscadas sonz1 = 2 + i

z2 = 1 + i