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EXAMEN: ALGEBRA Y GEOMETRÍA (A) 8/05/2012

1. De un paralelogramo ABCD se sabe que A= 3,4 , B=4,3 , que las dos coordenadas del vértice C son positivas y que la diagonal AC y el lado BC miden ambos 5. Hallar las coordenadas de C y D.

De acuerdo con el enunciado se tiene que

∣AC∣=∣BC∣ y ∣AC∣= 5Sea C=( x , y ) , entonces con la doble condición establecemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que, resuelto, nos dará las coordenadas del punto C. Será:

∣⃗AC∣= √( x−3)2+( y−4)2

∣⃗BC∣= √( x−4)2+( y−3)2} √( x−3)2+( y−4 )2 = √( x−4)2+( y−3)2

( x−3)2+( y−4)2 =( x−4)2+( y−3)2

x2+9−6 x+ y 2+16−8 y = x 2+16−8 x+ y 2+9−6 y−6 x−8 y =−8 x−6 y2 x = 2 y ; x = y

Como ∣AC∣= 5 , se tiene:

(x−3)2+( y−4)2= 25 ; x2+9−6 x+x 2+16−8 x = 252 x 2−14 x+25= 25 ; 2 x 2−14 x = 0 ; 2 x ( x−7) = 0 ; x= 0 , x = 7

Luego, C=0,0 o C=7,7 .

Por otra parte, obtenemos el punto D como la traslación de vector BA del punto C. Será:

BA =3,4−4,3 =−1,1 ⇒ D = CBA {D0−1,01= D−1,1D7−1,71= D6,8

2. Dada la matriz A= 1 0 −10 m 34 1 −m

a)(1 punto) Averiguar para qué valores del parámetro m existe inversa.

b)(1 punto) Calcular la inversa para m= 0 .c)(1 punto) Discutir el rango de A en función del parámetro m.

a) Para discriminar hacemos det A = 0 , será:

det A =∣1 0 −10 m 34 1 −m∣=−m2

4m−3

det A = 0 ; −m24m−3= 0 ; m = 1 , m = 3

Luego, para m∈ℜ−{1,3} la matriz A tiene inversa.

b) Calculamos A1 por Gauss, será:

1 0 −1 ¦ 1 0 00 0 3 ¦ 0 1 04 1 0 ¦ 0 0 1

F31

1 0 −1 ¦ 1 0 00 0 3 ¦ 0 1 00 1 4 ¦ −4 0 1

F23

1 0 −1 ¦ 1 0 00 1 4 ¦ −4 0 10 0 3 ¦ 0 1 0

F

31/3

1 0 −1 ¦ 1 0 00 1 4 ¦ −4 0 10 0 1 ¦ 0 1/3 0

F131

F23−4

1 0 0 ¦ 1 1/3 00 1 0 ¦ −4 −4/3 10 0 1 ¦ 0 1/3 0

A−1=

113

0

−4 −43

1

013

0 10


c) En la discusión del rango de A se presentan tres casos según los valores que toma m, son:

1 er caso : Para m≠ 1 y m ≠ 3 , como det A ≠ 0 , el rango de A es 3.

2º caso: Para m = 1 , resulta la matriz 1 0 −10 1 34 1 −1 . Tenemos el menor ∣1 0

0 1∣≠ 0 , luego el rango de

A es 2.

3 er caso : Para m = 3 , resulta la matriz 1 0 −10 3 34 1 −3 . Tenemos el menor 03

30

01 , luego el

rango de A es 2.

3. Dadas las rectas

r: {3 x+2 y−z+1 = 02 x− y+z+4=0 y s: {

x = 3ty = tz = 1t

a) (1,5 puntos) Estudiar su posición.

a) (1,5 puntos) Encontrar la recta que pasa por el punto P=1,0 ,−1 y corta a las rectas r y s.

a) Estudiamos la posición de las rectas con los rangos de sus vectores directores. Será:

r: {ur =3,2 ,−1×2,−1,1 = 1,−5,−7

A r :{2y−z1 = 0− yz4=0 {y =−5z=−9A r 0,−5,−9

y s: {us = 1,1 ,1A s 3,0 ,1

de donde,

rango ur , us= rango 1 −5 −71 1 1= 2 , porque ∣1 −5

1 1∣= 6 ≠ 0

rango ur , us ,A r A s= rango 1 −5 −71 1 13 5 10= 3 , porque ∣

1 −5 −71 1 13 5 10∣= 26≠ 0

Luego, las rectas se cruzan.

b) La recta t corta a las rectas r y s, no dice que sea perpendicularmente, y pasa por el punto P. Tenemos la siguiente situación:

– t corta a r y determinan el plano : P ,A rP , ur

– t corta a s y determinan el plano : P ,A sP , us

– El corte de los planos α y β determinan la recta t.Obtenemos los planos:

: {P1,0 ,−1A rP=1,0 ,−1−0,−5,−9 = 1,5 ,8ur = 1,−5,−7

; ∣x−1 y z+11 5 81−5 −7 ∣= 0

5( x−1)+15 y−10( z+1) = 0 ; 5 x−5+15 y−10 z−10= 05 x+15 y−10 z−15= 0 ; x+3 y−2 z−3 = 0

: {P1,0 ,−1A sP= 1,0 ,−1−3,0 ,1 = −2,0 ,−2 us = 1,1 ,1

; ∣x−1 y z+1−2 0 −2

1 1 1∣= 02 ( x−1)−2( z+1)= 0 ; 2 x−2−2 z−2= 0

2 x−2 z−4= 0 ; x−z−2= 0

11


Por tanto,

t: {x3y−2z−3 = 0x−z−2= 0

4. Resuelve la ecuación

∣x2 a a a

a x2 a a

a a x 2 a

a a a x2∣= 0

Este tipo de determinantes se resuelve sumando a la primera fila (columna) el resto y sacando la

expresión x23a de la primera fila (columna) como factor del determinante y, por último, restando la primera fila (columna) multiplicada por a al resto de las filas.Será:

∣x2 a a a

a x2 a a

a a x 2 a

a a a x 2∣=∣

x 23a x2

3a x 23a x2

3aa x2 a a

a a x2 a

a a a x2 ∣= x 23a∣

1 1 1 1a x 2 a a

a a x 2 a

a a a x2∣= x23a∣

1 1 1 10 x2−a 0 00 0 x2−a 0

0 0 0 x 2−a∣=

= x23a x2−a3

Igualando a cero la expresión obtenida resolvemos la ecuación, es decir:

x23a x2

−a3= 0 {x23a = 0 ; x =±−3a

x2−a3 = 0 ; x 2

−a = 0 ; x =±a (triple)

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EXAMEN: ALGEBRA Y GEOMETRÍA (B) 8/05/2012

1. Dada la matriz A = 1 0

1 1 , calcula: S= AA2A3⋯An

A= 1 01 1

A2= 1 0

1 1⋅1 01 1= 1 0

2 1A3= 1 0

2 1⋅1 01 1= 1 0

3 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

An = 1 0n 1

Método de inducción:

1) Se cumple para n = 1 : A = 1 01 1

2) Suponemos que se cumple para n−1 : A n−1= 1 0

n−1 13) Demostramos que se cumple para n :

A n= 1 0

n−1 1 ⋅1 0

1 1= 1 0

n 1 Luego, la suma pedida es:

S= 1 01 11 0

2 1 1 03 1 ⋯1 0

n 1 = n 0n n1

2n

2. Sean los vectores u = −1,2 ,3 , v = 2,5 ,−2 , x = −4,1 ,3 y z = 4,1 ,−8 :

a) (1 punto) ¿Se puede expresar x como combinación lineal de u y de v ? Si es así, escribe dicha combinación lineal; si no es así, explica por qué.

b) (1 punto) ¿Se puede expresar z como combinación lineal de u y de v ? Si es así, escribe dicha combinación lineal; si no es así, explica por qué.

c) (1 punto) ¿Son u , v y z linealmente independientes? Justifica la respuesta.

a) Es evidente que los vectores u y v son linealmente independientes, ya que no son proporcionales. Por consiguiente, para comprobar si el vector x es combinación lineal de los otros dos tenemos calcular el rango:

rango u ,v ,x = rango −1 2 32 5 −2

−4 1 3= 3 , porque ∣−1 2 32 5 −2

−4 1 3∣= 53≠ 0Luego, el vector x no es combinación lineal de los otros dos, pues los tres son linealmente independientes.

b) Realizamos una comprobación similar con el vector z :

rango u ,v ,z = rango −1 2 32 5 −24 1 −8= 2 , porque ∣

−1 2 32 5 −24 1 −8∣= 0

Luego, el vector z es combinación lineal de los vectores u y v , pues los tres forman un sistema ligado.Aunque en este caso no sea complicado de averiguar visualmente la combinación lineal, vamos a realizar los pasos que haríamos en cualquier caso:

z = u v ; 4,1 ,−8= −1,2 ,32,5 ,−2 {4=−21 = 25−8= 3−2

{ 4 =−2 −8 = 3−2 =−2 ; = 1

Luego, z =−2uv .

c) Los vectores u , v y z no son linealmente independientes, ya que como hemos visto en el apartado anterior el vector z depende linealmente de los otros dos.

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3. Dadas las rectas r y s de ecuaciones:

r: x = y= z y s:x−11

=y−22

=z2

a) (1 punto) Estudia su posición.b) (1 punto) Halla la recta que corta a r y a s y es paralela a la recta:

t: x , y , z = 1,2 ,3 1,2 ,−1

a) Teniendo en cuenta la forma de las rectas estudiaremos la posición mediante la expresión de los rangos, será:

r: {ur =1,1,1A r0,0 ,0

y s: {us =1,2 ,2As1,2 ,0

de donde,

rango ur , us= rango 1 1 11 2 2 = 2 , porque ∣1 1

1 2∣= 1≠ 0

rango ur , us ,A r As = rango 1 1 11 2 21 2 0= 3 , porque ∣

1 1 11 2 21 2 0∣=−2 ≠ 0

Por consiguiente, las rectas se cruzan.

b) Sea q la recta pedida y que es paralela a la recta t, por tanto, tiene como vector uno proporcional al de t. Analicemos la situación:

– q corta a r y determinan el plano : A r , ur , uq

– q corta a s y determinan el plano : As , us , uq

– El corte de los planos y α β determinan la recta q.Obtenemos los planos:

: {Ar 0,0 ,0ur= 1,1 ,1uq = ut =1,2 ,−1

; ∣x y z1 1 11 2−1 ∣= 0

3 x+2 y+ z = 0 ; 3 x−2 y−z = 0

: {As1,2 ,0us =1,2 ,2uq= ut =1,2 ,−1

; ∣x−1 y−2 z1 2 21 2−1 ∣= 0

−6( x−1)+3( y−2)= 0 ; −6 x+6+3 y−6 = 0 ; 2 x− y = 0Por tanto,

q: {3 x−2 y−z = 02 x− y = 0

4. Sea el sistema

x 2y z = 3x 3y mz = 3x my z = 3}

a) (2 puntos) Determinar m para que el sistema tenga infinitas soluciones. Obtener todas esas soluciones.b) (1 punto) Calcula razonadamente que no hay valores de m para los que el sistema no tenga solución.

Para contestar a las dos preguntas discutimos el sistema para cualquier valor de m. Como es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas igualamos a cero el determinante de la matriz de los coeficientes, será:

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det M =∣1 2 11 3 m

1 m 1∣=∣1 2 10 1 m−10 m−2 0 ∣=∣ 1 m−1

m−2 0 ∣=−m−1m−2

det M = 0 ; m−1 m−2 = 0 ; m = 1 , m = 2

1 er caso : Para m∈ℜ−{1,2} , entonces rango M = rango M* = 3 y, por tanto, el sistema es compatible determinado.

2º caso: Para m = 1 , las matrices del sistema son:

M = 1 2 11 3 11 1 1 M*=

1 2 1 31 3 1 31 1 1 3

Como la columnas primera y cuarta de M* son proporcionales, el rango de M* es igual que el rango de M.

Por otra parte, como ∣1 21 3∣= 1≠ 0 , el rango de M es 2.

En definitiva, rango M = rango M* = 2 , por tanto, el sistema es compatible indeterminado. Resolvemos por determinantes:

x 2y = 3−zx 3y = 3−z} x =

∣3−z 23−z 3}∣1 2

1 3}=

3−z

1= 3−z

y =∣1 3−z

1 3−z}1

= 0

Luego, las infinitas soluciones del que dependen de un parámetro, son:

x = 3− ; y = 0 ; z= ; ∈ℜ

3 er caso : Para m= 2 , las matrices del sistema son:

M = 1 2 11 3 21 2 1 M*=

1 2 1 31 3 2 31 2 1 3

Tenemos un caso similar al anterior donde rango M = rango M* = 2 , por tanto, el sistema es compatible indeterminado. Resolvemos por determinantes:

x 2y = 3−z

x 3y = 3−2z} x =∣3−z 23−2z 3}∣1 21 3}

=3z

1= 3z

y =∣1 3−z

1 3−2z}1

=−z

Luego, las infinitas soluciones del que dependen de un parámetro, son:

x = 3 ; y =− ; z = ; ∈ℜ

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EXAMEN: GEOMETRÍA (A) 8/05/2012

1. De un paralelogramo ABCD se sabe que A= 3,4 , B=4,3 , que las dos coordenadas del vértice C son positivas y que la diagonal AC y el lado BC miden ambos 5. Hallar las coordenadas de C y D.

De acuerdo con el enunciado se tiene que

∣AC∣=∣BC∣ y ∣AC∣= 5Sea C=( x , y ) , entonces con la doble condición establecemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que, resuelto, nos dará las coordenadas del punto C. Será:

∣⃗AC∣= √( x−3)2+( y−4)2

∣⃗BC∣= √( x−4)2+( y−3)2} √( x−3)2+( y−4 )2 = √( x−4)2+( y−3)2

( x−3)2+( y−4)2 =( x−4)2+( y−3)2

x2+9−6 x+ y 2+16−8 y = x 2+16−8 x+ y 2+9−6 y−6 x−8 y =−8 x−6 y2 x = 2 y ; x = y

Como ∣AC∣= 5 , se tiene:

(x−3)2+( y−4)2= 25 ; x2+9−6 x+x 2+16−8 x = 252 x 2−14 x+25= 25 ; 2 x 2−14 x = 0 ; 2 x ( x−7) = 0 ; x= 0 , x = 7

Luego, C=0,0 o C=7,7 .

Por otra parte, obtenemos el punto D como la traslación de vector BA del punto C. Será:

BA =3,4−4,3 =−1,1 ⇒ D = CBA {D0−1,01= D−1,1D7−1,71= D6,8

2. Dados los planos

{ : 2x−ky−4z = 2 : kx− y z=−3 : xyz= 1

a) (1,5 puntos) ¿Para que valores de k determinan α y β una recta rk?

b) (1,5 puntos) Estudiar la posición de cada una de las rectas rk respecto de γ.

a) Para que los planos α y β no determinen una recta tienen que ser paralelos, es decir, sus coeficientes tienen que ser proporcionales:

2k=−k−1

=−41

Por tanto, los valores de k para que que cumpla la proporcionalidad, será:

2k=−k−1

; k 2 = 2 ; k =±√2

−k−1

=−41

; k =−4

Obviamente no se puede cumplir a la vez que k tome valores diferentes.En definitiva, los planos α y β, no son paralelos para cualquier valor que tome k.

b) Al introducir un tercer plano consideramos las dos matrices que representan la situación:

M= 2 −k −4k −1 11 1 1 M*= 2 −k −4 2

k −1 1 −31 1 1 1

Dado, por lo que vimos en el apartado anterior, que el rango de M como mínimo es 2, se pueden dar las siguientes situaciones:

– rango M = rango M* = 2 , las rectas rk están en el plano γ.

– rango M = 2 y rango M*= 3 , las rectas rk son paralelas al plano γ.

– rango M = rango M* = 3 , las rectas rk cortan al plano γ, en el punto que es solución del sistema.

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Discutamos la situación con el determinante de M, será:

det M=∣2 −k −4k −1 11 1 1∣=−2−k−4k−4k 2−2= k 2−5k−8

det M= 0 ; k 2−5k−8= 0 ; k = 5572

; k = 5−572

1 er caso : Para k ≠5572

y k ≠5−572

, las rectas cortan al plano.

2 o caso : Para discriminar el resto de casos y no trabajar con los valores, un poco engorrosos, obtenidos para k, lo haremos con el parámetro. Tenemos que averiguar el rango de M*, ya que sabemos que el rango de M es 2. De M* tomamos un menor de orden 3 orlando a partir de un menor de orden 2 de la matriz M que, inconfundiblemente, sea distinto de cero. Será:

∣−1 11 1∣=−2 ≠ 0 ; ∣

−k −4 2−1 1 −31 1 1∣=−k12−2−2−4−3k=−4k4

Expresión que para k =5572

o k =5−572

es distinto de cero.

Por tanto, rango M*= 3 y las rectas son paralelas al plano.

3. Dadas las rectas

r: {3x2y−z1= 02x− y z4=0 y s: {

x = 3ty = tz = 1t

a) (1,5 puntos) Estudiar su posición.

a) (1,5 puntos) Encontrar la recta que pasa por el punto P=1,0 ,−1 y corta a las rectas r y s.

a) Estudiamos la posición de las rectas con los rangos de sus vectores directores. Será:

r: {ur =3,2 ,−1×2,−1,1 = 1,−5,−7

A r :{2y−z1 = 0− yz4=0 {y=−5z=−9A r 0,−5,−9

y s: {us = 1,1 ,1A s 3,0 ,1

de donde,

rango ur , us= rango 1 −5 −71 1 1= 2 , porque ∣1 −5

1 1∣= 6 ≠ 0

rango ur , us ,A r A s= rango 1 −5 −71 1 13 5 10= 3 , porque ∣

1 −5 −71 1 13 5 10∣= 26≠ 0

Luego, las rectas se cruzan.

b) La recta t corta a las rectas r y s, no dice que sea perpendicularmente, y pasa por el punto P. Tenemos la siguiente situación:

– t corta a r y determinan el plano : P ,A rP , ur

– t corta a s y determinan el plano : P ,A sP , us

– El corte de los planos α y β determinan la recta t.

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Obtenemos los planos:

: {P1,0 ,−1A rP=1,0 ,−1−0,−5,−9= 1,5 ,8ur = 1,−5,−7

; ∣x−1 y z11 5 81 −5 −7∣= 0

5 x−115y−10z1 = 0 ; 5x−515y−10z−10= 05x15y−10z−15= 0 ; x3y−2z−3 = 0

: {P1,0 ,−1A sP= 1,0 ,−1−3,0 ,1= −2,0 ,−2 us = 1,1 ,1

; ∣x−1 y z1−2 0 −21 1 1∣= 0

2 x−1−2 z1= 0 ; 2x−2−2z−2 = 02x−2z−4 = 0 ; x−z−2 = 0

Por tanto,

t: {x3y−2z−3 = 0x−z−2= 0

4. Encontrar el punto de intersección de la recta

r: {x = 1y = 2−z =

con el plano π, perpendicular a r, que pasa por el origen de coordenadas.

Como r⊥ , entonces n= ur . Además, conocemos que el plano pasa por el origen: P=0,0 ,0 .Tenemos dos formas de obtener el plano:Método 1:

: {P0,0 ,0n = ur =1,−1,1 ; : x−yzk = 0 ; pasa por P ⇒ 0−00k = 0 ; k = 0 ; x− y z= 0

Método 2:

: {P0,0 ,0n = ur =1,−1,1 ; : n⋅PX= 0 ; 1,−1,1⋅ x , y , z = 0 ; x− yz = 0

Ahora, calculamos el punto Q de corte de la recta y el plano. La recta tiene que cumplir el plano en el punto de intersección, será:

r: 1,2− , ; 1−2− = 0 ; 3−1= 0 ; =13

Q113,2−

13,13 =Q

43,53,13

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EXAMEN: GEOMETRÍA (B) 8/05/2012

1. Se consideran los cinco puntos cuyas coordenadas son: P1= 1,−1,2 , P2 =−2,2 ,3 , P3= −3,3 ,3 , P4 =−3,3 ,0 , P5= −3,4 ,3 . Contesta de forma razonada a la siguiente pregunta, ¿forman parte de un mismo plano?

Consideramos los vectores:

P⃗1P2 =(−2,2 ,3)−(1,−1,2) = (−3,3,1) ; P⃗1P3 = (−3,3 ,3)−(1,−1,2)= (−4,4 ,1)

P⃗1P4 =(−3,3,0)−(1,−1,2) = (−4,4 ,−2) ; P⃗1P5 =(−3,4 ,3)−(1,−1,2) = (−4,5 ,1)

Estos vectores estarán en el mismo plano si su conjunto tienen dimensión 2, es decir:

rango(P⃗1P2 ,⃗P1P3 ,P⃗1P4 ,P⃗1P5)= rango (−3 3 1−4 4 1−4 4 2−4 5 1

)= 3 , porque ∣−3 3 1−4 4 1−4 5 1∣=−1≠ 0

Luego, podemos concluir que los puntos P1, P2, P3, P4 y P5 no están en el mismo plano.

2. Sean los vectores u = −1,2 ,3 , v = 2,5 ,−2 , x = −4,1 ,3 y z = 4,1 ,−8 :

a) (1 punto) ¿Se puede expresar x como combinación lineal de u y de v ? Si es así, escribe dicha combinación lineal; si no es así, explica por qué.

b) (1 punto) ¿Se puede expresar z como combinación lineal de u y de v ? Si es así, escribe dicha combinación lineal; si no es así, explica por qué.

c) (1 punto) ¿Son u , v y z linealmente independientes? Justifica la respuesta.

a) Es evidente que los vectores u y v son linealmente independientes, ya que no son proporcionales. Por consiguiente, para comprobar si el vector x es combinación lineal de los otros dos tenemos calcular el rango:

rango u ,v ,x = rango −1 2 32 5 −2

−4 1 3= 3 , porque ∣−1 2 32 5 −2

−4 1 3∣= 53≠ 0Luego, el vector x no es combinación lineal de los otros dos, pues los tres son linealmente independientes.

b) Realizamos una comprobación similar con el vector z :

rango u ,v ,z = rango −1 2 32 5 −24 1 −8= 2 , porque ∣

−1 2 32 5 −24 1 −8∣= 0

Luego, el vector z es combinación lineal de los vectores u y v , pues los tres forman un sistema ligado.Aunque en este caso no sea complicado de averiguar visualmente la combinación lineal, vamos a realizar los pasos que haríamos en cualquier caso:

z = uv ; 4,1 ,−8= −1,2 ,32,5 ,−2 {4=−21 = 25−8= 3−2

{ 4 =−2 −8 = 3−2 =−2 ; = 1

Luego, z =−2uv .

c) Los vectores u , v y z no son linealmente independientes, ya que como hemos visto en el apartado anterior el vector z depende linealmente de los otros dos.

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3. Sean las rectas

r: x−2 =y−1k

=z1−2

y s: {x = 1y= 2−z = 2

a) (1 punto) Hallar k para que r y s sean coplanarias.b) (1 punto) Para el valor anterior de k, hallar la ecuación del plano que contiene a ambas rectas.c) (1 punto) Para el valor anterior de k, hallar la ecuación de la recta perpendicular común a las

rectas dadas.

a) Teniendo presente que las rectas están dadas en forma continua y en forma paramétrica la discusión respecto a su posición la realizamos con los vectores directores y los puntos, como sigue:

r: {ur =1, k ,−2 A r 2,1 ,−1 y s: {us = 1,−1,2A s 1,2 ,0

Para que las rectas sean coplanarias se tiene que cumplir:

rango ur , us ,A r A s 3

Como

rango ur , us ,A r A s= rango 1 k −21 −1 2

−1 1 1entonces el menor de orden 3 tiene que ser cero

∣1 k −21 −1 2−1 1 1 ∣=−3 k−3 ; −3k−3= 0 ; k =−1

Luego, si k =−1 las rectas son coplanarias.

b) Para determinar el plano que contiene a las dos rectas tomamos de las mismas un punto y los dos vectores directores, será:

α : {A s (1,2,0)u⃗r = (1,−1,−2)u⃗s = (1,−1,2)

; ∣x−1 y−2 z1 −1 −21 −1 2 ∣= 0

−4 ( x−1)−4 ( y−2) = 0 ; −4 x+4−4 y+8= 0 ; x+ y−3 = 0

c) Para k =−1 es evidente que r y s no son paralelas, ya que sus vectores directores no son proporcionales. Por tanto, la recta t perpendicular a ambas lo tiene que ser en su punto de corte. Averiguado éste y obteniendo el vector director de t como vector perpendicular al de r y al de s, tenemos determinada la recta t. Será:

– Punto de corte:At :{r: 2 ,1− ,−1−2 s: 1 ,2− ,2 {

2 = 11− = 2−−1−2 = 2

{2 = 1−1−2 = 2 { =−34

=14

A t 114,2−1

4,2⋅14= At

54, 74, 12

– Vector director: ut: {ut⊥ ur

ut⊥ us

ur×us= 1,−1,−2×1,−1,2 = −4,−4,0 ; ut =1,1,0

Luego, la ecuación de la recta t es

t:x−5/41

=y−7/41

=z−1 /20

4. Dadas las rectas r y s de ecuaciones:

r: x = y= z y s:x−11

=y−22

=z2

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a) (1 punto) Estudia su posición.b) (1 punto) Halla la recta que corta a r y a s y es paralela a la recta:

t: x , y , z = 1,2 ,3 1,2 ,−1

a) Teniendo en cuenta la forma de las rectas estudiaremos la posición mediante la expresión de los rangos, será:

r: {ur =1,1,1A r0,0 ,0

y s: {us =1,2 ,2As1,2 ,0

de donde,

rango ur , us= rango 1 1 11 2 2 = 2 , porque ∣1 1

1 2∣= 1≠ 0

rango ur , us ,A r As = rango 1 1 11 2 21 2 0= 3 , porque ∣

1 1 11 2 21 2 0∣=−2 ≠ 0

Por consiguiente, las rectas se cruzan.

b) Sea q la recta pedida y que es paralela a la recta t, por tanto, tiene como vector uno proporcional al de t. Analicemos la situación:

– q corta a r y determinan el plano : A r , ur , uq

– q corta a s y determinan el plano : As , us , uq

– El corte de los planos y α β determinan la recta q.Obtenemos los planos:

: {Ar 0,0 ,0ur= 1,1 ,1uq = ut =1,2 ,−1

; ∣x y z1 1 11 2−1 ∣= 0

3 x+2 y+ z = 0 ; 3 x−2 y−z = 0

: {As1,2 ,0us =1,2 ,2uq= ut =1,2 ,−1

; ∣x−1 y−2 z1 2 21 2−1 ∣= 0

−6( x−1)+3( y−2)= 0 ; −6 x+6+3 y−6 = 0 ; 2 x− y = 0Por tanto,

q: {3 x−2 y−z = 02 x− y = 0

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