PAUTA TAREA GRUPO 1

ALGEBRA I CM-114

1. [8 puntos] Un avión de reconocimiento P, que vuela a

10.000 pies sobre un punto R en la superficie del agua,

localiza un submarino S a un ángulo de depresión de 37°

y a un buque-tanque T a un ángulo de depresión de 21°,

como se muestra en la figura. Además, se encuentra que

ángulo SPT=110°. Calcule la distancia entre el

submarino y el buque-tanque.

De acuerdo a la ley del seno se tiene en:

SPR 10.000

16.616,40sin(37 ) sin(37 )

PRPS

y en

TPR 10.000

27.904,28sin(21 ) sin(21 )

PRPT

Y aplicando la ley del coseno en PST se tiene

2 2 2

2 cos(110 )ST PS PT PS PT y reemplazando los valores hallados anteriormente nos

queda:

2 2 216.616,40 27.904,28 2 16.616,40 27.904,28 cos(110 )

37.039,46

ST

ST

R/ Así la distancia entre el submarino y el buque tanque es de 37.039,46 pies

2. [10 puntos] Dada la función trigonométrica: y = 3sin (2x +π

12).

Indique período, amplitud, desfase y obtenga su gráfica.

:  3Amplitud A , y como 1A se tiene una amplitud vertical, además 0A entonces no

existe reflexión respecto al eje X

2 2  :

2Periódo

B

Reducción Horizontal

12Á     :  2 24

Cngulo de desface

B

y como 0C luego la gráfica se desplaza 24

hacia la

izquierda.

Así su gráfica tiene dada por.

3. i) [6 puntos] Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica:

22 tan ( ) 3sec( ) 0x x

22 tan ( ) 3sec( ) 0x x lo primero es dejar la ecuación en una sola función. Y como

2 2tan ( ) sec ( ) 1x x , y reemplazando en la ecuación se obtiene 22 sec ( ) 1 3sec( ) 0x x

Distribuyendo 2 y ordenando obtenemos 22sec ( ) 3sec( ) 2 0x x .

Sea sec( )u x , luego la ecuación se reduce a 22 3 2 0u u y factorizando la ecuación nos

queda ( 2)(2 1) 0u u y reemplazando u por sec( )x nos queda (sec( ) 2)(2sec( ) 1) 0x x .

Luego sec( ) 2 0x ó 2sec( ) 1 0x .

Si 1 1

sec( ) 2 0 2 cos( )cos( ) 2

x xx

, y como la función coseno es negativa

entonces se encuentra en el II y III cuadrante, luego 2

3x y

4

3x .

Si 2sec( ) 1 0x entonces 1 1 1

2sec( ) 1 sec( )2 cos( ) 2

x xx

. Por lo tanto

tenemos que cos( ) 2x , así 2sec( ) 1 0x no aporta solución porque la función coseno tiene por

recorrido el intervalo 1,1

ii) Demuestre las siguientes identidades trigonométricas.

2) sin( ) sin sin( ) cos( ) 1 2cos ( ) ... (1)2

6  a x x x x x

puntos

Se sabe que sin( ) sin( )cos( ) sin( )cos( ) y

cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( ) , reemplazando y simplificando nos queda lo que

solicita demostrar.

2sin( ) sin sin( ) cos( ) 1 2cos ( )2

sin( )

x x x x x

0

cos( ) sin( ) cos( )x x 1

sin2

1

cos( ) sin( ) cos2

x x

0

2sin( ) cos( ) 1 2cos ( )x x x

2

2

2 2 2

2 2 2

2 2

( sin( )) cos( ) sin( ) cos( ) 1 2cos ( )

sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) 1 2cos ( )

sin ( ) cos ( ) 1 2cos ( )

1 cos ( ) cos ( ) 1 2cos ( )

1 2cos ( ) 1 2cos ( )

x x x x x

x x x x x

x x x

x x x

x x

) sin( ) (1 c6 ot( )) sin( ) c )  os (b x x x x puntos

Primero se distribuye la función seno

sin( ) (1 cot( )) sin( ) cos( )

sin( ) sin( ) cot( ) sin( ) cos( )

sin( ) sin( )

x x x x

x x x x x

x x

cos( )

sin( )

x

x sin( ) cos( )

sin( ) cos( ) sin( ) cos( )

x x

x x x x

4. [6 puntos] Evaluar 12 4

arcsin arcsin13 5

sen

12 12 4 4arcsin sin( ) arcsin sin( )

13 13 5 5

Así se tienen los triángulos rectángulos:

Donde 5 12 3 4

cos( ) ; sin( ) ; cos( ) ; sin( )13 13 5 5

y reemplazando tenemos

sin sin( )cos sin( )cos

12 3 4 5

13 5 5 13

56

65

5. [6 puntos] Encontrar el valor de Z en término de A si tan(25 ) A

𝑧 =cotg(475°) − 3tan (115°)

tan(245°) + tan (−745°)

Las función tangente es una función impar, luego se cumple que tan( 745 ) tan(745 ) así

cotg 475 3tan(115 )  

tan(245 ) tan(745 )z

.

y del triángulo rectángulo tenemos

Y reduciendo al primer cuadrante cot(5 90 25 ) tan(90 25 )

tan(3 90 25 ) tan(8 90 25 )Z

cot(5 90 25 ) 3tan(90 25 ) tan(25 ) 3cot(25 )

tan(3 90 25 ) tan(8 90 25 ) cot(25 ) tan(25 )Z

Además 1

cot(25 ) ; tan(25 ) AA

y reemplazando en Z nos queda

2

2

2

3 33

1 1

AA

AA AZA AA

A A

A

2 2

2 2 2

3 3

1 1 1

A AZ

A A A

12

5

13

3

54

25

A

21 A

1

PAUTA TAREA GRUPO 2

ALGEBRA I CM-114

1. [8 puntos] Para establecer la distancia desde un punto A en la

orilla de un río a un punto B de éste, un agrimensor selecciona un

punto P a 500 metros del punto A, las medidas de los ángulos

BAP y BPA son 38° y 47°32. Obtén la distancia entre A y B.

47,32'BPA entonces 47,53BPA

Sea d la distancia entre A y B . Aplicando la ley del seno, se tiene que

500

sin(47,53 ) sin(94,47 )

d

, y despejando d se obtiene que

500sin(47,53 )

sin(94,47 )d

luego

369,94d

R) Luego la distancia entre A y B es de 369,94 m

2. [10 puntos] Dada la función trigonométrica: 𝑦 =1

2𝑠𝑖𝑛 (𝑥 +

𝜋

6)

Indique período, amplitud, desfase y obtenga su gráfica.

1: 

2Amplitud A , y como 1A se tiene una reducción vertical, además 0A entonces no

existe reflexión respecto al eje X

2 2  : 2

1Periódo

B

Luego no hay ni reducción y ampliación horizontal

6

1 6Á     :  

Cngulo de desface

B

y como 0C luego la gráfica se desplaza 6

hacia la

izquierda.

Así su gráfica tiene dada por.

3. i) Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica:

22sin ( ) 1 sin( )x x

2 22sin ( ) 1 sin( ) 2sin ( ) sin( ) 1 0x x x x . Sea sin( )u x y reemplazando nos queda

que 22 1 0u u y resolviendo la ecuación de segundo grado

1 2

1 1 8 11

4 2u u u

, lo que nos queda que (2 1)( 1) 0u u , luego

2sin( ) 1 0 sin( ) 1x x .

a) Si sin( ) 1x , entonces 3

2x

b) Si 1

sin( )2

x , la función seno es negativa en el III y IV cuadrante, luego 7

6x y

11

6x

.

Luego 3 7 11  , ,2 6 6

pS

y 3 7 11  2 , 2 , 22 6 6

G k k kS

donde k

ii) [6 puntos] Demuestre las siguientes identidades trigonométricas.

3

) cos cos( ) sin cos 2sin( )2 2 2

 a x x x x x

6 puntos

Se sabe que sin( ) sin( )cos( ) sin( )cos( ) y

cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( ) , reemplazando y simplificando nos queda lo que

solicita demostrar.

3cos

2

0

3cos( ) sin

2x

1

sin( ) cos( )x

1

cos( ) sin( )x

0

sin( )

sin2

x

1

cos( ) sin( ) cos2

x x

0

cos2

0

cos( ) sin2

x

1

sin( ) 2sin( )x x

sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) 2sin( )

sin( ) cos( ) cos( )

x x x x x

x x x

0

sin( ) 2sin( )

2sin( ) 2sin( )

x x

x x

2) (1 tan ( )) cos( ) sec( )  b x x x 6 puntos

Sabemos que 2 2sin ( ) cos ( ) 1x x , y dividiendo toda la igualdad por 2cos ( )x se obtiene 2 2tan ( ) 1 sec ( )x x y al reemplazar en 2(1 tan ( )) cos( ) sec( )x x x se obtiene

2

2

2

(1 tan ( )) cos( ) sec( )

sec ( ) cos( ) sec( )

1

cos

x x x

x x x

cos( )( )

xx sec( )

1sec( )

cos( )

sec( ) sec( )

x

xx

x x

4. [6 puntos] Evaluar 15 7

cos arctan arcsin8 25

15 15arctan tan( )

8 8

7 7arcsin sin( )

25 25

Así se tienen los triángulos rectángulos:

Donde 8 15 24 7

cos( ) ; sin( ) ; cos( ) ; sin( )17 17 25 25

y reemplazando tenemos

cos cos( )cos sin( )sin

8 24 15 7

17 25 17 25

87

425

5. [6 puntos] Encontrar el valor de N en término de W si sin(15 ) W

𝑁 =tan(−285°) − 2cos(735°)

sin (−105) + tan (375°)

Las funciones seno y tangente son funciones impares, luego se cumple que

tan( 285 ) tan(285 ) y sin( 105 ) sin(105 ) así tan(285 ) 2cos(735 )

sin(105 ) tan(375 )N

. Por

otro lado se tiene que tan(3 90 15 ) 2cos(8 90 15 )

sin(90 15 ) tan(4 90 15 )N

y del triángulo rectángulo

tan(3 90 15 ) 2cos(8 90 15 ) ( cot(15 )) 2cos(15 )

sin(90 15 ) tan(4 90 15 ) cos(15 ) tan(15 )N

Además 2 2

2

1 1cot(15 ) ; cos(15 ) ; tan(15 )

1 1

w w w

w w

y reemplazando en N

2 2

2

2

2 2

22 2

2 2 2

2

1 12

( cot(15 )) 2cos(15 ) cot(15 ) 2cos(15 ) 1

cos(15 ) tan(15 ) cos(15 ) tan(15 ) 1

1 1

1 2 11 1 21 1 2 1

1 1 1

1

w w

wNw w

w

w w ww ww w wwN

ww w w w w w w

w

15

8

17

24

257

15

w

21 w

1

PAUTA TAREA GRUPO 3

ALGEBRA I CM-114

1. [8 puntos] Un barco sale de un puerto a las 10:00 a.m. a

10 kmh

con dirección S30°20’O. Una segunda

embarcación sale del mismo puerto a las 11:30 horas a

12 kmh

con dirección N45°O. ¿Qué distancia separa a

ambos barcos a las 12:30 horas?

Primero se transforma grados y minutos a grado, así se tiene que 30 20' 30,33 , en el

problema se conocen las velocidades de los barcos, luego se convierte a distancia sabiendo

que d

vt

, luego el primer barco transcurrido 2,5 horas ha recorrido

10km

d v thoras

2,5 horas

25 km y el segundo barco después de una hora

12km

d v thoras

1 hora

12 km . Por otro lado 180 45 30,33 104,107

Ahora aplicamos la ley del coseno obteniendo 2 2 225 12 2 25 12 cos(104,107 ) 30,25d

R/ Luego los barcos a las 12:30 horas están separados por 30,25 [kms].

2. [10 puntos] Dada la función trigonométrica: 𝑦 = −3𝑐𝑜𝑠 (1

2𝑥 +

𝜋

3)

Indique período, amplitud, desfase y obtenga su gráfica.

:  3Amplitud A , y como 1A se tiene una ampliación vertical, además 0A entonces

existe reflexión respecto al eje X

2 2  : 4

1

2

PeriódoB

Luego se tiene una ampliación horizontal

Á    23

1 3:  

2

Cngulo de desface

B

y como 0C luego la gráfica se desplaza 2

3 hacia la

izquierda.

Así su gráfica tiene dada por.

3. i) [6 puntos] Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica:

22cos ( ) sin( ) 1x x

La ecuación dada se debe dejar expresada en una sola función, y del hecho que

2 2 2 2sin ( ) cos ( ) 1 cos ( ) 1 sin ( )x x x x y reemplazando se obtiene lo siguiente

2 22 1 sin ( ) ( ) 1 2 2sin ( ) sin( ) 1 0x sen x x x y ordenando la expresión se

obtiene : 22sin ( ) sin( ) 3 0x x , haciendo sin( )u x y reemplazando en la ecuación se obtiene que

22 3 0u u . Resolviendo la ecuación de segundo grado tenemos ( 1)(2 3) 0u u , luego se

tiene que (sin( ) 1)(2sin( ) 3) 0x x .

Si sin( ) 1 0 sin( ) 1x x , luego 2

x

.

Si 3

2sin( ) 3 0 sin( )2

x x , luego éste factor no aporta solución ya que

1 sin( ) 1x

Luego  2

pS

y   22

G kS

donde k

ii) Demuestre las siguientes identidades trigonométricas.

) cos sin( ) cos cos 3sin( ) cos( )2 2

 a x x x x x x

6 puntos

Se sabe que sin( ) sin( )cos( ) sin( )cos( ) y

cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( ) , reemplazando y simplificando nos queda lo

que solicita demostrar.

cos2

0

cos( ) sin2

x

1

sin( ) sin( )x

0

cos( ) sin( ) cos( )x x 1

cos( )

1

cos( ) sin( )x

0

sin( ) cos2

x

0

cos( ) sin2

x

1

sin( ) 3sin( ) cos( )x x x

sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) 3sin( ) cos( )

sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) 3sin( ) cos( )

sin( ) cos( ) 3sin( ) cos( )

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

22cos ( ) 1

) cot( ) tan( )sin( )cos(

 )

x

b x xx x

6 puntos

Sabemos que sin( )

tan( )cos( )

xx

x y

cos( )cot( )

sin( )

xx

x y reemplazando en el primer lado de la

igualdad se obtiene:

2 2

2 2

2 2

2

cos( ) sin( )cot( ) tan( )

sin( ) cos( )

cos ( ) sin ( )cot( ) tan( )

sin( )cos( )

cos ( ) 1 cos ( )cot( ) tan( )

sin( )cos( )

cos ( ) 1 cos ( )cot( ) tan( )

sin( )cos( )

2cos ( ) 1cot( ) tan( )

sin( )cos(

x xx x

x x

x xx x

x x

x xx x

x x

x xx x

x x

xx x

x

)x

4. [6 puntos] Evaluar 1 1

arcsin arccos2 3

sen

1 1 1 1arcsin sin( ) arccos cos( )

2 2 3 3y

Así se tienen los triángulos rectángulos:

Donde 3 1 1 2 2

cos( ) ; sin( ) ; cos( ) ; sin( )2 2 3 3

y reemplazando tenemos

sin sin( )cos sin( )cos

1 1 2 2 3 1 2 6

2 3 3 2 6 6

1 2 6

6

5. [6 puntos] Encontrar el valor de N en término de W si cos(15 ) W

𝑁 =sec(285°) − cos(735°)

cos (−105) + sec (375°)

La función coseno es una función par, luego se cumple que cos( 105 ) cos(105 ) así

sec(285 ) cos(735 )

cos(105 ) sec(375 )N

. Por otro lado se tiene que

sec(3 90 15 ) cos(8 90 15 )

cos(90 15 ) sec(4 90 15 )N

y

del triángulo rectángulo

1

3

2

1

32 2

sec(3 90 15 ) cos(8 90 15 ) csc(15 ) cos(15 )

cos(90 15 ) sec(4 90 15 ) sin(15 ) sec(15 )N

Además 2

2

1 1 1csc(15 ) ; cos(15 ) ; sin(15 ) ; sec(15 )

1 11

w w

ww

y reemplazando en

N

2

2

2

222

2 2 2 2 2

1

1csc(15 ) cos(15 ) 1

sin(15 ) sec(15 ) 1 1

1

1 11 11 11

1 1 1 1 1 1 1 1

w

wN

w

w

w ww w ww w ww

Nw w w w w w w w

w

15w

21 w1

PAUTA TAREA GRUPO 4

ALGEBRA I CM-114

1. [8 puntos] La distancia entre dos puntos A y B es de 20 Km. Los ángulos de elevación de un

globo con respecto a dichos puntos son de 58°20’ y 67°32’. ¿A qué altura del suelo se encuentra?

Al completar el triángulo con sus ángulos nos queda:180° − (58°20´ + 67°32´) = 54°8´

Ahora al aplicar teorema de seno, nos queda:sen(58°20´)

x=

sen(54°8´)

20=> x = 21 km.

Para calcular la altura, aplicamos triangulo rectángulo: sen(67°32´) =h

21=> h = 19,4 km

R. El globo se encuentra a una altura de 19,4 km.

2. [10 puntos] Dada la función trigonométrica: 𝑦 = −𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 +𝜋

2)

Indique período, amplitud, desfase y obtenga su gráfica.

Identificamos A, B y C

A=|-1| Lo que nos indica que se mantiene, pero el signo negativo me indica que se refleja.

B: 2 Sabemos que P =2π

B=

2π

2= π por lo tanto el periodo se reduce a π, es decir se reduce

horizontalmente.

C: π

2 , para obtener el ángulo de desfase se calcula

C

B=

π

2

2=

π

4 y se desplaza hacia la izquierda.

3. i) [6 puntos] Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica:

24cos ( ) 3 4cos( )x x

4𝑐𝑜𝑠2(𝑥) + 4 cos(𝑥) − 3 = 0 => 𝑠𝑖 cos(𝑥) = 𝑢 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 4𝑢2 + 4𝑢 − 3 = 0

𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎: 𝑢 =−4 ± √42 − (4 ∗ 4 ∗ −3)

2 ∗ 4=> 𝑢1 =

1

2; 𝑢2 =

−3

2

Pero como cos(𝑥) = 𝑢 => cos(𝑥) =1

2 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑎, 𝑥1 =

𝜋

3,

5𝜋

3

cos(𝑥) =−3

2 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛. y la solución final S:{

𝜋

3,

5𝜋

3} 𝑥 ∈ [0,2𝜋]

ii) Demuestre las siguientes identidades trigonométricas.

23) tan( ) ( ) 1 cos (

2   )a x sen x sen x x

6 puntos

(tan(𝜋) − tan(𝑥)

1 + tan(𝜋) tan(𝑥)) (𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos (

3𝜋

2) + 𝑠𝑒𝑛 (

3𝜋

2) cos(𝑥)) (𝑠𝑒𝑛(𝜋) cos(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝜋))

= 1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)

(−tan (𝑥))(−cos (𝑥))(𝑠𝑒𝑛(𝑥)) = 1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)

(𝑠𝑒𝑛(𝑥)

cos(𝑐)(cos(𝑥))(𝑠𝑒𝑛(𝑥))) = 1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)

𝑠𝑒𝑛2(𝑥) = 1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)

sec( )

) cos( )tan( ) tan(

 )

c xb x

x c x

6 puntos

1𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos (𝑥)

+cos (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)

=

1𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

=

1𝑠𝑒𝑛(𝑥)

1cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

= cos (𝑥)

4. [6 puntos] Evaluar 4 12

cos arctan3 13

arsen

cos(𝛼 + 𝛽) = cos(𝛼) cos (𝛽) − 𝑠𝑒𝑛(𝛼)𝑠𝑒𝑛(𝛽))

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (4

3) = 𝛼 ↔ tan(𝛼) =

4

3 Aplicando triangulo rectángulo, para obtener las otras

funciones.

𝑐 = √(42 + 32) = 5 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑒𝑛(𝛼) =4

5 ; cos(𝛼) =

3

5

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (12

13) = 𝛽 ↔ sen(β) =

12

13 igual que caso anterior, pero esta vez solamente cos(β)=?

5. (13)2 = (12)2 + 𝑥2 => 𝑥 = 5 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑠(𝛽) =5

13

cos(𝛼 + 𝛽) = cos(𝛼) cos (𝛽) − 𝑠𝑒𝑛(𝛼)𝑠𝑒𝑛(𝛽))

cos(𝛼 + 𝛽) =3

5∗

5

13−

4

5∗

12

13=

15

65−

48

65=

−33

65

6. [6 puntos] Encontrar el valor de N en término de W si sin(25 ) W

𝑁 =tan(−1825°) − cos(745°)

sin (−115°) + 4csc(655°)

𝑁 =tan(−1825°)−cos(745°)

sin (−115°)+4csc(655°)

tan(−1825°) = tan(−20 ∗ 90° − 25°) = − tan(25°) =−𝑤

√1 − 𝑤2

cos(745°) = cos(8 ∗ 90° + 25°) = cos(25°) = √1 − 𝑤2

sin(−115°) = sin(−1 ∗ 90° − 25°) = − cos(25°) = −√1 − 𝑤2

csc(655°) = csc(7 ∗ 90° + 25°) = − sec(25) =−1

√1 − 𝑤2

𝑁 =

−𝑤

√1 − 𝑤2− √1 − 𝑤2

−√1 − 𝑤2 + 4−1

√1 − 𝑤2

=𝑤2 − 𝑤 − 1

𝑤2 − 5

PAUTA TAREA GRUPO 5

ALGEBRA I CM-114

1. [8 puntos] Un barco parte de un puerto y navega hacia el norte con

una velocidad de 70 kilómetros por hora. Al mismo tiempo, pero en

dirección noreste, otro buque viaja a razón de 80 kilómetros por hora.

¿A qué distancia se encontrarán uno del otro después de media hora?

Como en una hora recorre 70km, en media hora recorrerá 35km.

Y también para los 80km. en una hora, en media hora recorrerá 40 km.

Por lo tanto aplicamos el teorema del coseno:

𝑑2 = (35)2 + (40)2 − 2(35)(40) cos(45°) => 𝑑 = 29,07 𝑘𝑚

R. Después de media hora se encontraran a una distancia de 29,07 km

2. [10 puntos] Dada la función trigonométrica: 𝑦 = −0.5𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 +𝜋

2)

Indique período, amplitud, desfase y obtenga su gráfica.

A=|-0,5| Lo que nos indica que se reduce verticalmente, y el signo negativo me indica que se

refleja.

B: 2 Sabemos que P =2π

B=

2π

2= π por lo tanto el periodo se reduce a π, es decir se reduce

horizontalmente a un periodo π.

C: π

2 , para obtener el ángulo de desfase se calcula

C

B=

π

2

2=

π

4 y se desplaza hacia la izquierda.

3. i) [6 puntos] Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica:

2 23cos ( ) ( ) 3x sen x

2𝑐𝑜𝑠2(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) = 3 => 2𝑐𝑜𝑠2(𝑥) = 2 => 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) = 1 => cos(𝑥) = ±1

𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑟 𝑥 = {0, 𝜋, 2𝜋} 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ∈ [0,2𝜋]

ii) Demuestre las siguientes identidades trigonométricas.

sec

tan( )2) sec( ) sec( ) 1

( )c

 

os2

c xx

a x c xsen x

x

6 puntos

1

𝑠𝑒𝑛 (𝜋2

+ 𝑥)

𝑐𝑜𝑠 (𝜋2 − 𝑥)

−

tan(𝜋) − tan(𝑥)1 + tan(𝜋) tan(𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥)=

1

𝑠𝑒𝑛 (𝜋2

) 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠 (𝜋2

)

𝑐𝑜𝑠 (𝜋2) 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 (

𝜋2) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

−− tan(𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥)

=

1cos(𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥)+

𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos(𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥)=

1

𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥)+

1

cos(𝑥)=

1

cos(𝑥)[

1

𝑠𝑒𝑛(𝑥)+ 1]

= sec (𝑥)(𝑐𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 1)

sec( )

) cos( )tan( ) tan(

 )

c xb x

x c x

6 puntos

1𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos (𝑥)

+cos (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)

=

1𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)cos (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)

=

1𝑠𝑒𝑛(𝑥)

1cos (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)

= cos (𝑥)

4. [6 puntos] Evaluar 3 5

tan arccos5 13

arcsen

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (3

5) = 𝛼 ↔ 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = (

3

5) Aplicando triangulo rectángulo, para obtener las otras

funciones.

52 = 32 + 𝑥2 => 𝑥 = 4 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 tan(𝛼) =3

4

𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (5

13) = 𝛽 ↔ 𝑐𝑜𝑠(𝛽) = (

5

13) Aplicando triangulo rectángulo, para obtener las otras

funciones.

(13)2 = 52 + 𝑦2 => 𝑦 = 12 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 tan(𝛽) =12

5

tan(𝛼 − 𝛽) =

34

−125

1 +34

125

=

15 − 4820

20 + 3620

=−33

56

5. [6 puntos] Encontrar el valor de N en término de W si sin(15 ) W

𝑁 =𝑡𝑎𝑛2(465°) − cos(−735°)

sin (−105) + tan (1815°)

𝑆𝑖 sin(15°) = 𝑊 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑁 𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑊

𝑁 =𝑡𝑎𝑛2(465°)−cos(−735°)

sin(−105)+tan(1815°)

12 = 𝑤2 + 𝑥2 => 𝑥 = √1 − 𝑤2

tan(465°) = tan(5 ∗ 90° + 15°) = −ctg(15°) =−√1 − 𝑤2

𝑤

cos(−735°) = cos(−8 ∗ 90° − 15°) = cos(15°) = √1 − 𝑤2

sin(−105°) = sin(−1 ∗ 90° − 15°) = − cos(15°) = −√1 − 𝑤2

tan(1815°) = tan(20 ∗ 90° + 15°) = tan(15°) =𝑤

√1 − 𝑤2

𝑁 =

(−√1 − 𝑤2

𝑤 )

2

− √1 − 𝑤2

−√1 − 𝑤2 +𝑤

√1 − 𝑤2

=

1 − 𝑤2 − 𝑤2√1 − 𝑤2

𝑤2

−(1 − 𝑤2) + 𝑤

√1 − 𝑤2

=(1 − 𝑤2 − 𝑤2√1 − 𝑤2)(√1 − 𝑤2)

𝑤2(𝑤2 + 𝑤 − 1)

PAUTA TAREA GRUPO 6

ALGEBRA I CM-114

1. [8 puntos] La distancia que hay de un punto hacia los

extremos de un lago son de 145 y 215 metros, mientras que el

ángulo entre las dos visuales es de 56°10’. Calcula la

distancia entre los extremos del lago.

Aplicando teorema del coseno, ya que tenemos el ángulo

comprendido entre las distancias y las distancias.

𝑑2 = (215)2 + (145)2 − 2(215)(145) cos(56°10´) => 𝑑

= 180,37 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠.

R. La distancia entre los extremos del lago son: 180,37 metros.

2. [10 puntos] Dada la función trigonométrica: 𝑦 = −2𝑠𝑒𝑛 (𝑥

2+

𝜋

12)

Indique período, amplitud, desfase y obtenga su gráfica.

A=|-2| Lo que nos indica que se amplía verticalmente en dos unidades y el signo negativo me

indica que se refleja.

B: 1

2 Sabemos que P =

2π

B=

2π1

2

= 4π por lo tanto el periodo es de 4π, es decir, se amplía

horizontalmente.

C: π

12 , para obtener el ángulo de desfase se calcula

C

B=

π

121

2

=π

6 y se desplaza hacia la izquierda.

i) [6 puntos] Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica:

22cos ( ) 3 ( ) 0x sen x

2(1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)) + 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 0 => 2𝑠𝑒𝑛2(𝑥) − 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 2 = 0 𝑠𝑖 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) = 𝑢

2𝑢2 − 3𝑢 − 2 = 0 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎:

𝑢 =3 ± √(−3)2 − 4 ∗ 2 ∗ (−2)

4=

3 ± 5

4=> 𝑢1 = 2 𝑛𝑜𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 𝑢2 = −

1

2

𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = −1

2 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑟í𝑎

𝑆𝑓 = {7𝜋

6,11𝜋

6} 𝑜 {210°, 330°} 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ∈ [0,2𝜋]

ii) Demuestre las siguientes identidades trigonométricas.

3cos

2 2) 1

sec( ) sec  

( )

sen x x

ax c x

6 puntos

𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠 (3𝜋2 ) − 𝑠𝑒𝑛 (

3𝜋2 ) cos (𝑥)

sec(𝑥)+

𝑐𝑜𝑠 (𝜋2) 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 (

𝜋2) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑐𝑠𝑒𝑐(𝑥)=

cos (𝑥)

1cos (𝑥)

+𝑠𝑒𝑛(𝑥)

1𝑠𝑒𝑛(𝑥)

= 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) = 1

) ( ) cos( ) tan( ) sec( )  b sen x x c x c x 6 puntos

𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos(𝑥)cos(𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥)=

𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥)=

1

𝑠𝑒𝑛(𝑥)= 𝑐𝑠𝑒𝑐(𝑥)

4. [6 puntos] Evaluar 4 12

tan arccos5 13

arcsen

tan(𝛼 + 𝛽) =tan(𝛼) + tan (𝛽)

1 − tan(𝛼) tan (𝛽)

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (4

5) = 𝛼 ↔ 𝑠𝑒𝑛(𝛼) =

4

5 Aplicando triangulo rectángulo, para obtener las otras funciones.

52 = 42 + 𝑥2 => 𝑥 = 3 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 tan(𝛼) =4

3

𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (12

13) = 𝛽 ↔ cos(𝛽) =

12

13

(13)2 = (12)2 + 𝑥2 => 𝑥 = 5 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 tan(𝛽) =5

12

tan(𝛼 + 𝛽) =

43 +

512

1 −43 ∗

512

=

48 + 1536

36 − 2036

=63

16

5. [6 puntos] Encontrar el valor de N en término de W si cos(15 ) W

𝑁 =csc(285°) −

12 cos(735°)

cos (−105) + sec (−375°)

csc(285°) = csc(3 ∗ 90° + 15°) = −𝑠𝑒𝑐(15°) = −1

𝑤

cos(735°) = cos(8 ∗ 90° + 15°) = cos(15°) = 𝑤

cos(−105°) = cos(−1 ∗ 90° − 15°) = − sen(15°) = −√1 − 𝑤2

sec(−375°) = sec(4 ∗ 90° + 15°) = sec(15°) =1

𝑤

𝑁 =

−1𝑤 −

12 𝑤

−√1 − 𝑤2 +1𝑤

=

−2 − 𝑤2

2𝑤

−𝑤√1 − 𝑤2 + 1𝑤

= (−(2 + 𝑤)

2𝑤) (

𝑤

1 − 𝑤√1 − 𝑤2)

𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑁 =−(2 + 𝑤2)

2(1 − 𝑤√1 − 𝑤2)

PAUTA TAREA GRUPO 7

ALGEBRA I CM-114

1. [8 puntos] Dos aviones parten de una ciudad y sus

direcciones forman un ángulo de 74°23’. Después de una

hora, uno de ellos se encuentra a 225 [Km] de la ciudad,

mientras que el otro está a 300 [Km]. ¿Cuál es la distancia

entre ambos?

Primeramente se convierte el ángulo en grados y minutos

a grados, así 74°23’=74,38°.

Utilizando teorema del coseno y considerando d como la

distancia entre ambos aviones, así 2 2 2225 300 2 225 300 cos(74,38 )d , luego 322.92d km

R/ Luego los aviones se encuentran a una distancia de 322.92 km una vez que han transcurrido

una hora.

2. [10 puntos] Dada la función trigonométrica: 𝑦 = −0.25𝑐𝑜𝑠 (0.5𝑥 +𝜋

4)

Indique período, amplitud, desfase y obtenga su gráfica.

A=|-1

4| Lo que nos indica que se reduce a un cuarto de unidad, pero el signo negativo me indica

que se refleja.

B: 1

2 Sabemos que P =

2π

B=

2π1

2

= 4π por lo tanto el periodo es de 4π, es decir, se amplía

horizontalmente.

C: π

4 para obtener el ángulo de desfase se calcula

C

B=

π

41

2

=π

2 y se desplaza hacia la izquierda.

3. i) [6 puntos] Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica:

2cos( ) 9 ( ) 1x sen x

La ecuación dada se debe dejar expresada en una sola función, y del hecho que

2 2 2 2sin ( ) cos ( ) 1 sin ( ) 1 cos ( )x x x x y reemplazando se obtiene lo siguiente 2 2 2cos( ) 9sin ( ) 1 cos( ) 9(1 cos ( )) 1 0 cos( ) 9 9cos ( ) 1 0x x x x x x y

ordenando la expresión se obtiene : 29cos ( ) cos( ) 8 0x x , haciendo cos( )u x y reemplazando en la ecuación se obtiene que

29 8 0u u . Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos ( 1)(9 8) 0u u , luego

se tiene que (cos( ) 1)(9cos( ) 8) 0x x .

Si cos( ) 1 0 cos( ) 1x x , luego 0x

Si 8

9cos( ) 8 0 cos( )9

x x , luego 𝑥 = {152,73° ,207,27°} 𝑜 {1697

2000𝜋,

2303

2000𝜋}

Luego 𝑆𝑓 = {0°,1697

2000𝜋,

2303

2000𝜋} 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ∈ [0,2𝜋]

ii) Demuestre las siguientes identidades trigonométricas.

2

4cos( 2 )) ( 2 ) cos   4

2sec

2

xa sen x x

c x

6 puntos

Se sabe que sin( ) sin( )cos( ) sin( )cos( ) , 1

sec( )sin( )

c xx

y

cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( ) reemplazando y simplificando nos queda lo que

solicita demostrar. 2

2

2

4cos( 2 )( 2 ) cos 4

2sec

2

4cos( 2 )( 2 ) cos 4

12

sin2

( 2 ) cos 4sin cos( 2 ) 42 2

xsen x x

c x

xsen x x

x

sen x x x x

sin( ) cos(2 )x 1

sin(2 )0

cos( ) cos2

x

0

cos( ) sin2

x

21

sin( )

4 sin2

x

1

cos( ) sin( ) cos2

x x

0

cos( ) cos(2 )x

1

sin( ) sin(2 )x

0

2

2 2

2 2

2 2

4

sin( ) sin( ) 4cos( ) cos( ) 4

2sin( ) 4cos ( ) 4

4sin ( ) 4cos ( ) 4

4 sin ( ) cos ( )

x x x x

x x

x x

x x

1

4

4 4

2 2) 2cos ( ) 1 1 2 ( )  b x sen x 6 puntos

2(1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)) − 1 = 2 − 2𝑠𝑒𝑛2(𝑥) − 1 = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2(𝑥)

5. [6 puntos] Evaluar 4 12

arccos5 13

sen arcsen

𝑠𝑒𝑛(𝛼 − 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛(𝛼)cos (𝛽) − 𝑠𝑒𝑛(𝛽)cos (𝛼)

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (4

5) = 𝛼 ↔ 𝑠𝑒𝑛(𝛼) =

4

5 , 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 cos (𝛼)

52 = 42 + 𝑥2 => 𝑥 = 3 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 cos(𝛼) =3

5

𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (12

13) = 𝛽 ↔ cos(𝛽) =

12

13

(13)2 = (12)2 + 𝑥2 => 𝑥 = 5 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 sen(𝛽) =5

13

𝑠𝑒𝑛(𝛼 − 𝛽) = (4

5) (

12

13) − (

5

13) (

3

5) =

48 − 15

65=

33

65

6. [6 puntos] Encontrar el valor de N en término de W si tan(15 ) W

𝑁 =tan(555°) − cotg(735°)

cotg(−105) + tan (375°)

tan(555°) = tan(6 ∗ 90° + 15°) = 𝑡𝑎𝑛(15°) = 𝑤

cotg(735°) = cotg(8 ∗ 90° + 15°) = cotg(15°) =1

𝑤

cotg(−105°) = cotg(−1 ∗ 90° − 15°) = tan(15°) = w

tan(375°) = tan(4 ∗ 90° + 15°) = tan(15°) = 𝑤

𝑁 =𝑤 −

1𝑤

𝑤 + 𝑤=

𝑤2 − 1𝑤

2𝑤=

𝑤2 − 1

2𝑤2