algebra 2

ÁlgebraCompendio de Ciencias II-A

25SISTEMA HELICOIDAL

I. Problema desarrollado

1. Demostrar si la proposición es verdadero (V) o falso (F).

Demostración: Utilizando potencias de una raíz

.... (falso)

II. Problema por desarrollar

2. Demostrar si la proposición es verdadera (V) o falso (F).

Demostración:

1. Escribir las siguientes potencias en la forma de radicales de acuerdo a las leyes:

A) .....................

B) .....................

C) .....................

2. Reducir los siguientes radicales:

A) =

B) =

C) =

Rpta.: .......................................................

3. Hallar el equivalente de:

Rpta.: .......................................................4. Calcular:

Rpta.: .......................................................

5. Calcular:

Rpta.: .......................................................

6. Calcular:

Rpta.: .......................................................

7. Calcular:

Rpta.: .......................................................

8. Calcular:


26 PASCUAL SACO OLIVEROS

Rpta.: .......................................................

9. Reducir:

a) =

a) =

10. Reducir:

a) =

a) =

11. Reducir:

a) =

a) =

12. Reducir:

a) =

a) =

Rpta.: .......................................................

13. Reducir:

Rpta.: .......................................................

14. Reducir:

Rpta.: .......................................................15. Reducir:

Rpta.: .......................................................

16. Reducir:

Rpta.: .......................................................

17. Reducir:

Rpta.: .......................................................

18. Reducir:

Rpta.: .......................................................

19. Reducir:

Rpta.: .......................................................

20. Reducir:

Rpta.: .......................................................



1. Reducir los siguientes radicales:

A) =

B) =

C) = 2. Hallar en cada expresión equivalente

A) =

B) =

C) =

3. Calcular:

Rpta.:........................................................

4. Calcular:

Rpta.:........................................................

5. Calcular:

Rpta.:........................................................



OBJETIVOS

ECUACIÓN EXPONENCIAL

I) Primer Caso: Es de la forma:

donde: Para calcular la incógnita x, se utiliza el siguiente prin-

cipio:* Principio: «A bases iguales se debe tener exponentes iguales».

Para resolver este primer caso debemos llevar a bases

iguales los miembros de la ecuación.

• Dentro de este primer caso se presenta los siguientes sub-casos:

(I-a)Ecuación exponencial en su forma simple Es cuando las bases se expresa en su forma simple o

se tiene la presencia de potencias.

Ejemplos:1. Hallar el valor de x en:

Resolución: Se observa que el 2do. miembro es potencia en base

3.

Por principio: 2x+1= 5 2x = 4

2. Resolver:

Resolución:

Llevando a bases iguales:

Efectuando:

Por principio:

8x - 4 = 6x + 6

8x - 6x = 6 + 4

2x= 10

3. Calcular x si:

Resolución:

Transformando cada miembro a base «7»

Por principio:

Por principio:

• Identificarlasdiversasformasquesepresentanenlasecuacionesexponencialesydarsusoluciónutilizandolasleyesde los exponentes.

En las Ecuaciones Exponenciales se presenta los diversos criterios que el alumno debe tener presente para llegar a la solución o al valor de la incógnita.



– x – 2 = 6x – 9

9 – 2 = 6x + x

7 = 7x

(I-b)Ecuación Exponencial con potencias sucesivas

Son ecuaciones donde las bases están expresadas en potencias, estan elevadas a potencias una a otras para su solución debemos transformar las potencias hasta

conseguir que las bases sean iguales.

Ejemplos:

1. Hallar x

Resolución:


Operando:

Por principio:

* Nuevamente llevando a bases iguales:

Luego:

Por principio:

1+9+6x = 7x–1

10+1 = 7x–6x

2. Resolver:

Resolución:

* Llevando a bases iguales:

Operando:

Por principio:

* Llevando a bases iguales nuevamente:

Por principio:

2 + 3x = 35

3x = 33

(I-c)Ecuación Exponencial con radicales

Son ecuaciones donde aparece por lo menos un radical, aquí es necesario aplicar las leyes de exponentes con respecto a la eliminación del OPERADOR RADICAL para lograr transformar las bases a una base común.

Ejemplos:

1. Resolver:

Resolución:


Por exponente fraccionario:

Por principio, se tiene:

3x+6= 10

2. Hallar x en:

Resolución:

Aplicando las leyes con respecto a radicales:

Despejando :

Por principio:



Operando:

9x - 3 = 6x – 6

3x = –6+3

3x = –3

3. Resolver :

Resolución:

* Aplicando propiedad para reducir radicales:

* Por Ley de Exponentes:

Por principio:

5x+4 = 14

5x = 10

(I-d)Ecuación Exponencial con suma o productos de bases iguales:

Para resolver estos tipos de ecuaciones se debe aplicar las leyes de exponentes de tal manera que se genere una potencia común para luego ser factorizado y aplicar el principio o en otros casos llevar a bases iguales.

Ejemplos:

1. Hallar x en:

Resolución:

Descomponiendo el exponente suma:

Factorizando:

(Factor Común 2x)

∴ Por principio :

2. Resolver:

Resolución:


Por ley de Exponentes:

Por principio:

2x–2+3x+3 = 4x+12

5x+1 = 4x+12

3. Hallar n en:

Resolución:

Llevando a bases iguales, en este caso a base (1/2):

Multiplicando bases iguales:

Por principio:



n+3n–3 = 2

4n–3 = 2

4n = 5

(I-e)Ecuación Exponencial de bases diferentes

Es una ecuación donde las bases se reducen luego de operar a bases diferentes, de ahí que se hace necesario que los exponentes deben ser igual a cero para que la igualdad se cumpla.

Ejemplos:

1. Hallar x en :

Resolución:

1º Método: Se observa en ambos miembros bases dife-

rentes:

1=bº, con b ≠ 0.

Por principio:x – 2 = 0

2º Método:Como se tiene : Necesariamente por criterio los exponentes deben ser iguales a cero.Luego:3x – 6 = 0 ∧ x – 2 = 03x = 6 ∧ x = 2

(observa que los valores de «x» deben coincidir necesa-riamente).

Parafinesprácticosaplicaremosel2do.métodocuandoencontremos bases diferentes luego de haber reducido las operaciones.

2. Luego de resolver:

, determinar el valor de:

Resolución: Resolviendo la Ecuación Exponencial:

Despejando:

El 1º Miembro es producto notable:

Necesariamente :

(como las bases son diferentes)

Luego, reemplazando en E:



1. Hallar x en:

a) =

b) =

2. Hallar el valor de x:

a)

b)

Rpta.: .......................................................

3. El valor de a es:

Rpta.: .......................................................

4. El valor de x es:

Rpta.: .......................................................

5. Hallar el valor de a:

Rpta.: .......................................................


Problema desarrollado


Demostración:

= 8

= 8

= 8 8 = 8 ...... (Verdadero)

Problema por desarrollar


Demostrar

Rpta.: .......................................................

7. Hallar el valor de x en:

Rpta.: .......................................................

8. Resolver:

Rpta.: .......................................................

9. Resolver:

Rpta.: .......................................................

10. Resolver:

Rpta.: .......................................................

11. Resolver:



Rpta.: .......................................................

12. Resolver:

Rpta.: .......................................................

13. Resolver:

Rpta.: .......................................................

14. Resolver:

Rpta.: .......................................................

15. Resolver:

Rpta.: .......................................................

16. Resolver:

Rpta.: .......................................................

17. Resolver:

Rpta.: .......................................................

18. Resolver:

Rpta.: .......................................................

19. Resolver:

Rpta.: .......................................................

20. Resolver:

Rpta.: .......................................................


A) 8 B) 16 C) 32 D) 36 E) 40

2. Resolver:

A) 0 B) 1 C) 3

D) 7 E) 10

3. Resolver:

A) 1/2 B) 3/4 C) 2/7 D) 5/6 E) 5/10

4. Resolver:

A) 0 B) 1 C) 3

D) –1 E) – 2

5. Resolver:

A) 2 B) 5 C) 4

D) 3 E) 10



Aquí presentamos las ecuaciones que forman parte del segundo caso y los sub-casos que se presenta en los ejercicios. II. SEGUNDO CASO Es de la forma:

Donde : f (x) Depende de x La solución de estos tipos de Ecuaciones se da por

comparación. Si observas que las relaciones que se dan en ambos miembros de la ecuación son equivalentes entonces por la simetría que se da la incógnita se obtiene igualando una relación con otra.

Este caso presenta los siguientes sub-casos:(II-a) Ecuación exponencial de la forma: Si se tiene:

Ejemplos:

1. Hallar x en:

Resolución: Si observas en el 1er. miembro la base es igual al

exponente; buscando la misma relación en el 2do. miembro.

Por comparación :

2. Resolver :

Resolución:

Buscando la misma relación en ambos miembros:

Por comparación:

x – 2= 4

3. Hallar x en: , para x > o.

Resolución:

Operando miembro a miembro:

Por comparación:

(II-b) Ecuación Exponencial de la forma:

Si se tiene

Ejemplos:

1. Hallar x en:

Resolución:

Para solucionar busquemos en el 2do. miembro la



misma relación que se da en el 1er.miembro.

Operando:

Luego, por comparación:

2. Resolver:

Resolución:

Operando en el 2do. Miembro:

A la vez:

Por comparación:

3. Hallar x en:

Resolución:

Dando la forma en ambos miembros:

Por comparación

(II-c) Ecuación Exponencial de la forma especial:

Esta igualdad se cumple por propiedad.

Ejemplos:1. Hallar x en:

Resolución:1º Método Trabajando en el 2do. miembro:

A la vez:

Por comparación:

2º Método Aplicando la propiedad anterior para n=2.

Por propiedad:

Parafinesprácticosvamosaresolvertodo ejercicio que presenta esta for-ma especial aplicando la propiedad anterior..



Problema desarrollado


Si:

Demostración: Trabajando en el 2do. miembro

Por comparación:

.............. (Verdadero)

Problema por desarrollar


Si:

Demostrar:

1. Hallar m en:

Rpta.: .......................................................

2. Hallar x en:

Rpta.: .......................................................

3. Hallar x

Rpta.: .......................................................

4. Hallar el valor de m

Rpta.: .......................................................

5. Resolver:

Rpta.: .......................................................

6. Resolver:

Rpta.: .......................................................

7. Resolver:

Rpta.: .......................................................

8. Resolver:

Rpta.: .......................................................

9. Resolver:

Rpta.: .......................................................

10. Resolver:

Rpta.: .......................................................11. Resolver:



Rpta.: .......................................................

12. Resolver:

Rpta.: .......................................................

13. Resolver:

Rpta.: .......................................................

14. Resolver:

Rpta.: .......................................................

15. Resolver:

Rpta.: .......................................................

16. Resolver:

Rpta.: .......................................................

17. Resolver:

Rpta.: .......................................................

18. Resolver:

Rpta.: .......................................................

19. Resolver:

Rpta.: .......................................................

20. Hallar x en:

Rpta.: .......................................................

1. Hallar x en:

Rpta.: .......................................................

2. Hallar x en:

Rpta.: .......................................................

3. Resolver:

Rpta.: .......................................................

4. Si:

Hallar:

Rpta.: .......................................................

5. Si:

Calcular:

Rpta.: .......................................................

algebra 2

Documents