portafolio de algebra 2

Universidad Politécnica Estatal

del Carchi

ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO

Módulo de Álgebra

PORTAFOLIO

Verónica Alexandra Benavides Bravo

Primero “A”

Ing. Oscar Lomas

MÓDULO DE ALGEBRA Página 1

05/02/2014

CONTENIDOINTRODUCCIÓN.........................................................................................................................3

OBJETIVOS.................................................................................................................................4

OBJETIVO GENERAL...............................................................................................................4

OBJETIVOS ESPECÍFICOS........................................................................................................4

SILABO.......................................................................................................................................5

CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES......................................................................................6

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES..................................................................................7

EXPONENTES Y RADICALES........................................................................................................8

EXPONENTES..........................................................................................................................8

RADICALES.............................................................................................................................9

EXPRESIONES ALGEBRAICAS....................................................................................................10

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?...................................................................................................11

PARTES DE UNA ECUACION.................................................................................................12

¡Exponente!........................................................................................................................12

PRODUCTOS NOTABLES...........................................................................................................13

Binomio de resta al cubo.....................................................................................................14

Trinomio al cuadrado...........................................................................................................14

Diferencia de cubos.............................................................................................................14

Producto de dos binomios que tienen un término común..................................................14

FACTORIZACIÓN.......................................................................................................................15

Factorización por factor común...........................................................................................15

Factorización de una diferencia de cuadros.........................................................................15

Factorización de un cuadrado perfecto...............................................................................15

Factorización de una suma o diferencia de cubos...............................................................15

Factorización de cubos perfectos de binomios....................................................................16

FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO...................................................................................16


ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO.........................................................................17

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.......................................................................................17

TRANSFORMACIONES LINEALES..........................................................................................19

ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO..............................................................21

INECUACIONES........................................................................................................................23

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.....................................................24

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA..................................................26

PROGRAMACIÓN LINEAL.........................................................................................................30

II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:......................................................................35

III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL...........................................................................................38

IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:.....................................................................41

V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO.................................................................46

VII. Bibliografía........................................................................................................................51


INTRODUCCIÓN

El álgebra es el nombre que identifica a una rama de la Matemática que

emplea números, letras y signos para poder hacer referencia a múltiples

operaciones aritméticas. El término tiene su origen en el latín algebra, el cual,

a su vez, proviene de un vocablo árabe que se traduce al español

como “reducción” o “cotejo”.

Hoy entendemos como álgebra al área matemática que se centra en las

relaciones, estructuras y cantidades. La disciplina que se conoce como

álgebra elemental, en este marco, sirve para llevar a cabo operaciones

aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) pero que, a diferencia de la

aritmética, se vale de símbolos (a, x, y) en lugar de utilizar números. Esto

permite formular leyes generales y hacer referencia a números desconocidos

(incógnitas), lo que posibilita el desarrollo de ecuaciones y el análisis

correspondiente a su resolución. El álgebra elemental postula distintas leyes

que permiten conocer las diferentes propiedades que poseen las operaciones

aritméticas.

Por ejemplo, la adición (a + b) es conmutativa (a + b = b + a), asociativa,

tiene una operación inversa (la sustracción) y posee un elemento neutro (0).

Algunas de estas propiedades son compartidas por distintas operaciones; la

multiplicación, por ejemplo, también es conmutativa y asociativa.


http://definicion.de/signos

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL Recopilar la información otorgada por el docente referente al

cronograma de estudio en el módulo de algebra, para tener constancia

del trabajo realizado en el transcurso de todo el semestre y que esta

información nos sirva como guía de estudio.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS Construir el portafolio estudiantil.

Comprender la información obtenida para adquirir nuevos

conocimientos referentes a cada uno de los temas.

Recolectar la información de manera grupal para que el trabajo sea

productivo.


SILABO

I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO

UPEC – MISIÓN MISIÓN – ESCUELA

“Formar profesionales humanistas, emprendedores y competentes, poseedores de conocimientos científicos y tecnológicos; comprometida con la investigación y la solución de problemas del entorno para contribuir con el desarrollo y la integración fronteriza”

La Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario contribuye al desarrollo Provincial, Regional y Nacional, entregando profesionales que participan en la producción, transformación, investigación y dinamización del sector agropecuario y agroindustrial, vinculados con la comunidad, todo esto con criterios de eficiencia y calidad

UPEC – VISIÓN VISIÓN – ESCUELA

Ser una Universidad Politécnica acreditada por su calidad y posicionamiento regional

Liderar a nivel regional el proceso de formación y lograr la excelencia académica generando profesionales competentes en Desarrollo Integral Agropecuario, con un sólido apoyo basado en el profesionalismo y actualización de los docentes, en la investigación, criticidad y creatividad de los estudiantes, con una moderna infraestructura que incorpore los últimos adelantos tecnológicos, pedagógicos y que implique un ejercicio profesional caracterizado por la explotación racional de los recursos naturales, producción limpia, principios de


equidad, participación, ancestralidad, que den seguridad y consigan la soberanía alimentaria

CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES

Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1, 2,3

y así sucesivamente, forman el conjunto de los números enteros positivos o

números naturales.

Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3…)

Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3……

forman el conjunto de los enteros.

Conjunto de enteros = (…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…)

El conjunto de los números racionales consiste en números como 12

y 53

, que

pueden escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un

numero racional es aquél que puede escribirse como pq

donde p y q son

enteros y q ≠ 0. El entero 2 es racional puesto que 2 =21

. De hecho todo

entero es racional.

Los números que se representan mediante decimales no periódicos que

terminan se conocen como números irracionales. Los números π y√2 son

ejemplos de números irracionales. Junto, los números racionales y los

números irracionales forman el conjunto de los números reales.


Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros

se selecciona un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a

la derecha del origen se consideran positivas y las de la izquierda negativas


PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Propiedad transitiva de igualdad.-Dos números iguales a un tercer número

son iguales entre sí.

Sia=b y b=c ,entonces a=c

Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicación.- Dos números

pueden sumarse o multiplicarse y el resultado en cada caso es un número

real.

Para todonúmero realayb , existennumerosreales unicos a+b y ab

Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación.- Dos números

pueden sumarse y multiplicarse en cualquier orden.

a+b=b+a y ab=ba

Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación.- En la suma o en la

multiplicación, los números pueden agruparse en cualquier orden.

a+ (b+c )= (a+b )+c y a (bc )=(ab ) c

Propiedad de la identidad.- existen números reales denotados 0 y 1 tales

que para todo número real a.

0+a=a y1a=a

Propiedad del inverso.- Para cada número real a, existe un único número

real denotado poa –a

a+ (−a )=0

Propiedad distributiva.- establece que multiplicar una suma por un número

da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y después

sumar todos los productos.


a (a+c )=ab+ac y (b+c )a=ab=ac


EXPONENTES Y RADICALES

EXPONENTESUn exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va

a multiplicar otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a

la derecha del valor base. Por ejemplo:

b−5b es el valor base y -5 es el exponente

−27-2 es el valor base y 7 es el exponente

Leyes de los exponentes

(xn ) (xm )=xn+m

xn

xm=xn−m

x0=1

x−n= 1

xn

xm

xm=1

(xm )n=xmn

( xy )n

= xn

yn

( xy )−n

=( yx )


RADICALESLa radicación es la operación inversa a la potenciación. Se llama raíz enésima

de un número “x” a otro número “y”, que elevado a la “n” da como resultado

“x”.n√ x= y

n = índice

x = radicando

y = raíz

√❑ =signo radical

Leyes radicales

x1/2=n√ x

x−1 /2= 1

x1/2= 1

n√ x

n√ xm√ y= n√xy

n√ xn√ y

= n√ xym√ n√x=mn√x

x ,/n=n√ xm

(m√ x )m=x


EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las

operaciones aritméticas.

Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo

término.

Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:

Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.

Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:

Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.

Ejemplo:

Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se

llaman Polinomios.


Suma o adición.- es una operación que tiene por objeto reunir dos o más

expresiones algebraicas en una sola expresión algebraica.

Resta o sustracción.- se escribe el minuendo con sus propios signos y a

continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los

términos semejantes.

Multiplicación.- se multiplica el monomio por cada uno de los términos del

polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se

separan los productos parciales con sus propios signos.

División.- se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio

separando los cocientes parciales con sus propios signos.

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?

Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=", por ejemplo:

X + 2 = 6

Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo que está en la derecha (6)

Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"


PARTES DE UNA ECUACION

Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las diferentes partes (¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!) Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes:

Una variable es un símbolo para un número que todavía no conocemos. Normalmente es una letra como x o y.

Un número solo se llama una constante.

Un coeficiente es un número que está multiplicando a una variable (4x significa 4 por x, así que 4 es un coeficiente)

Un operador es un símbolo (como +, ×, etc) que representa una operación (es decir, algo que quieres hacer con los valores).

Un término es o bien un número o variable solo, o números y variables multiplicados juntos.

Una expresión es un grupo de términos (los términos están separados por signos + o -)


Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o "el segundo término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el coeficiente es 4?"

¡Exponente!Elexponente (como el 2 en x2) dice cuántas veces usar el valor en una multiplicación.

Ejemplos:

82 = 8 × 8 = 64

y3 = y × y × y

y2z = y × y × z

PRODUCTOS NOTABLES

Binomio de suma al cuadrado

Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.

(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2

(X + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

Binomio de resta al cuadrado

Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.

(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2

(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9

Suma por diferencia

Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.


(a + b) · (a − b) = a2 − b2

(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 − 25

Binomio al cubo

Binomio de suma al cubo

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3

(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =

= x 3 + 9x2 + 27x + 27

Binomio de resta al cuboUn binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3

(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 =

= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27

Trinomio al cuadradoUn trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

(x2 − x + 1)2 =

= (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 =

= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x =

= x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1


Suma de cubos

a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)

8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)

Diferencia de cubosa3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)

8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =

= x2 + 5x + 6


FACTORIZACIÓNCon frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el

producto de dos o más polinomios de menor grado .este proceso se llama

factorización y nos permite transformar polinomios complejos en el producto

de polinomios simples.

Factorización por factor común.Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor,

se dice que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe e

inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes

que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor

común.

a2+2a=a (a+2 )

10b+30ab=10b (1+3a)

Factorización de una diferencia de cuadros.Se sabe que:a2−b2= (a+b ) (a−b ); por lo tanto una diferencia de cuadrados, es

igual al producto de dos binomios conjugados.

9 x2−4 y2=(3 x+2 y )(3 x−2 y )

Factorización de un cuadrado perfectoPara factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido

identificado como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raíz

cuadrada al primero y tercer término del trinomio separándose estas raíces

por medio del signo del segundo término y elevando este binomio al

cuadrado:

9 x2−12 xy+4 y2= (3x−2 y )(3 x−2 y )

Factorización de una suma o diferencia de cubosSe sabe que: a3+b3=(a+b ) (a2−ab+b2 ) y a3−b3=(a−b ) (a2+ab+b2 )


Factorización de cubos perfectos de binomios.(a+b )3=a3+3a2b+3ab2+b3 yque : (a−b )3=a3−3a2b+3ab2−b3

FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.

Algunas veces en un polinomio os términos no contienen ningún factor común, pero pueden ser separados en grupos de términos con factor común.

Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar

Comenzamos con la siguiente situación:Cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización total de la expresión.

x2+ax+bx+ab=x ( x+a )+b ( x+a )=( x+a ) ( x+b )

FACTORIZACIÓN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA a x2+bx+c

9 x2+6 x−3= (3 x−1 ) (3 x+3 )

4 x2−24 x+11= (3 x−1 ) (3 x+3 )


ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

El objetivo de esta unidad es repasar las ecuaciones lineales o de primer grado y resuelve ecuaciones lineales por medio de propiedades. También resolveremos problemas donde se plantean ecuaciones lineales con una incógnita. Para ello veremos ejemplos de ecuaciones, cómo resolverlas y cómo traducirlas al lenguaje simbólico.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir de forma tradicional así:

Un sistema así expresado tiene "m" ecuaciones y "n" incógnitas, donde aij son números reales, llamados coeficientes del sistema, los valores bm son números reales, llamados términos independientes del sistema, las incógnitas xj son las variables del sistema, y la solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, ..., sn) tales que al sustituir las incógnitas x1, x2, ... , xn por los valores s1, s2, ..., sn se verifican a la vez las "m" ecuaciones del sistema.

Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma:


Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensión m×n formada por los coeficientes del sistema, y la designamos por A.

Designamos por X a la matriz columna formada por las incógnitas. Denotamos por B a la matriz columna formada por los términos

independientes.

y llamamos matriz ampliada de dimensión m×(n+1) a la matriz que se obtiene al añadir a la matriz del sistema (= matriz de coeficientes) la columna de los términos independientes, y la denotamos por A*, es decir

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

Ax = b,

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema anteriormente mencionado de eliminación de Gauss-Jordán se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.

Si el cuerpo es infinito (como es el caso de los números reales o complejos), entonces solo puede darse una de las tres siguientes situaciones:

el sistema no tiene solución (en dicho caso decimos que el sistema está sobre determinado o que es incompatible)

el sistema tiene una única solución (el sistema es compatible determinado)

el sistema tiene un número infinito de soluciones (el sistema es compatible indeterminado).

La ecuación 2x - 3 = 0 se llama ecuación lineal de una variable. Obviamente sólo tiene una solución.

La ecuación -3x + 2y = 7 se llama ecuación lineal de dos variables. Sus soluciones son pares ordenados de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a la otra.


http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

http://es.wikipedia.org/wiki/Infinito

http://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)

La ecuación x - 2y + 5z = 1 se llama ecuación lineal de tres variables. Sus soluciones son ternas ordenadas de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a las otras dos.

En general, una ecuación lineal de "n" variables es del tipo :

Las soluciones son las secuencias de números s1, s2, s3, ..., sn que hacen verdadera la igualdad [1]

Si los coeficientes valen 0 y el término independiente no, la ecuación se llama incompatible. No tiene solución y también se denomina ecuación imposible, proposición falsa o igualdad absurda.

Si los coeficientes y el término independiente son nulos, se dice que la ecuación es una identidad.

TRANSFORMACIONES LINEALES

Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más fácilmente.

Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y condominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:


http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_(f%C3%ADsica)

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para cada par de vectores de u y v pertenecientes a V y para cada escalar k perteneciente a K, se satisface que:

Los sistemas de ecuaciones lineales son ecuaciones que tienen n incógnitas, las cuales podemos representar en una notación matricial, se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.

A partir de una ecuación lineal podemos hacerle las transformaciones lineales para tener como resultado escalares.


ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADOUna ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:

donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma:

con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación cuadrática

Las ecuaciones de segundo grado aquellas en las que la incógnita aparece al menos una vez elevada al cuadrado (x2). Por ejemplo: 3x2 - 3x = x - 1.

Pasemos al primer miembro de la ecuación todos los términos de forma que en el segundo miembro quede 0. Obtenemos:


http://3.bp.blogspot.com/_GHnh3ILnSo4/StBJleWv7hI/AAAAAAAACas/VTO1f_7cL0c/s1600-h/0.1.JPG

http://4.bp.blogspot.com/_GHnh3ILnSo4/StBJxYFwdVI/AAAAAAAACa0/LFFrtoso3m8/s1600-h/0.2.JPG

3x2 - 4x + 1 = 0, que es la forma en que deberemos expresar todas las ecuaciones de segundo grado para resolverlas.

En muchos casos, una vez conseguida esta forma, la ecuación se puede simplificar, lo cual es muy conveniente.

EJEMPLOS:

1.

2.

3.

Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).


INECUACIONES

Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos

miembros se relacionan por uno de estos signos:

< menor que2x − 1 <

7

≤menor o igual

que

2x − 1 ≤

7

> mayor que2x − 1 >

7

≥mayor o igual

que

2x − 1 ≥

7

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable

que la verifica.

La solución de la inecuación se expresa mediante:

1. Una representación gráfica.

2. Un intervalo.


2x − 1 < 7

2x < 8 x < 4

(-∞, 4)

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Para resolverlas se siguen los mismos pasos que en las ecuaciones de primer grado con una incógnita:

Quitar paréntesis. Quitar denominadores. Agrupar términos semejantes a ambos lados de la desigualdad. Despejar la incógnita.

En este último paso hay que tener en cuenta una propiedad de las desigualdades: “Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un número negativo cambia el sentido de la misma”.

La solución de una inecuación de este tipo puede ser:

Un conjunto de números reales que se suele expresar en forma de intervalo.

Cualquier número real. Ningún número real. Entonces se dice que no tiene solución.


La solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación resultante, que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.

2x + y ≤ 3

1º Transformamos la desigualdad en igualdad.

2x + y = 3

2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.

x = 0; 2 · 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)

x = 1; 2 · 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)

3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.

2x + y ≤ 3

2 · 0 + 0 ≤ 3 0 ≤ 3 Sí


2x + y > 3

2 · 0 + 0 > 3 0 > 3 No

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA

Una inecuación de segundo grado se expresa de forma general de una de las siguientes formas:

ax 2 + bx + c > 0

ax 2 + bx + c ≥ 0

ax 2 + bx + c < 0

ax 2 + bx + c ≤ 0

Una inecuación de segundo grado es una inecuación en donde encontramos

números, una variable (que llamaremos x) que esta vez la podemos encontrar

multiplicándose a ella misma, y un símbolo de desigualdad..

Un ejemplo de inecuación de segundo grado podría ser:


2x2−x<2x−1

Donde podemos observar que el término 2x2 es el término cuadrático,

característico de las inecuaciones de segundo grado, ya que si éste no

estuviera, tendríamos una inecuación de primer grado.

Para resolver una inecuación de segundo grado usaremos un método

compuesto por una serie de pasos a seguir.

Una de las cosas que se nos hará falta para este método es la fórmula de

resolución de ecuaciones de segundo grado que recordamos a continuación:

Dada la ecuación de segundo grado: ax2+bx+c=0, las soluciones vienen

dadas por la fórmula:x+=−b+b2−4ª √2ax−=−b−b2−4ac √2a

Puede ser que tengamos dos, una o ninguna solución en función del valor

de b2−4ac √ (para más información consultar el tema de ecuaciones de

segundo grado).

Método a seguir para la resolución:

Dada la inecuación, hacerle los cambios adecuados hasta dejar un cero en

uno de los lados de la inecuación, consiguiendo una expresión del

tipo: ax2+bx+c<0 o ax2+bx+c>0 donde los valores b y c son números reales

que pueden ser positivos o negativos y incluso cero y a es un valor positivo.

En caso de encontrar un valor de a negativo, multiplicaremos por (−1) toda la

inecuación, cambiando así el signo de a (y en consecuencia, el signo de los

demás términos y el orden de la desigualdad).

Buscaremos las soluciones de la ecuación ax2+bx+c=0, inducida por la

inecuación ax2+bx+c<0 o ax2+bx+c>0.

Puede ser que tengamos tres opciones:

Si no tenemos soluciones de la ecuación, debemos separar dos casos:

Si ax2+bx+c>0: La solución es cualquier valor real: todos los números

cumplen la inecuación.

Si ax2+bx+c<0: Ningún valor de x cumple la inecuación, por lo tanto, la

inecuación no tiene solución.


Si nos dibujamos la gráfica de y=ax2+bx+c observaremos que no corta el eje

X, ya que la ecuación no tiene soluciones. Al ser además el valor

de a positivo, toda la gráfica se encuentra por encima del eje X, con

valores y positivos, por lo tanto, si la inecuación tiene signo mayor que (o

mayor o igual que), cualquier punto es solución de la inecuación, y si tiene

signo menor que (o menor o igual que), ningún punto será solución.

Si teníamos la inecuación ax2+bx+c>0, y realizamos el procedimiento:

ax2+bx+c>0⇒(x−x1)2>0⇒(x−x1)(x−x1)>0

⇒{(x−x1)<0⇒x<x1(x−x1)>0⇒x>x1

Hemos de considerar los dos últimos casos válidos ya que un producto de dos

números es positivo si éstos dos son a la vez positivos o negativos.

Así que la solución de la inecuación serán los x que

Cumplan x<x1 y x>x1 donde x1 es la solución de la ecuación ax2+bx+c=0.

En caso que tuviéramos una desigualdad del tipo ax2+bx+c⩾0, aparte de las

mismas soluciones que considerábamos antes, añadiríamos la solución x1 y

el resultado sería tener como región solución toda la recta real.

Si teníamos la inecuación ax2+bx+c<0, haremos:

ax2+bx+c<0⇒(x−x1)2<0⇒ No tenemos solución

Ya que un número elevado al cuadrado siempre será positivo, y estamos

exigiendo que sea negativo.

En caso que tuviéramos una desigualdad del tipo ax2+bx+c⩽0, sí tendríamos

una solución: justamente la solución de la ecuación x1.

Si tenemos dos soluciones, x1 y x2, considerando además que x1<x2,

haremos el siguiente procedimiento:

(Recordemos que el valor de a siempre es positivo)

Si ax2+bx+c>0:


ax2+bx+c>0⇒(x−x1)(x−x2)>0⇒⇒{a) (x−x1)>0 y (x−x2)>0b) (x−x1)<0 y (x−x2)<0

⇒{a) x>x1 y x>x2b) x<x1 y x<x2

Y como hemos supuesto que x1<x2, nos quedamos con las

desigualdades x<x2 y x<x1.

Si ax2+bx+c<0:

ax2+bx+c<0⇒(x−x1)(x−x2)<0⇒⇒{a) (x−x1)>0 y (x−x2)<0b) (x−x1)<0 y (x−x2)>0

⇒{a) x>x1 y x<x2b) x<x1 y x>x2

y como hemos supuesto que x1<x2, nos quedamos con las

desigualdades x<x2 y x<x1.

Una vez hayamos encontrado la región donde se cumple la inecuación, ya

hemos terminado.

Recordad que en el algoritmo de resolución solo hemos empleado

desigualdades estrictas (menor que, mayor que), pero el mismo razonamiento

sirve para desigualdades del tipo mayor o igual que y menor o igual que.

EJEMPLOS

x2+x+2>−1−x

Resolución:

x2+x+2>−1−x⇒x2+2x+1>0

Encontramos las soluciones de la ecuación x2+2x+1=0:

x=−2±4−4 √2=−1

Hay una única solución.


Siguiendo el esquema que hemos dado, la solución es x<−1 y x>−1, es decir,

todos los puntos menos −1.

x2+2<−1−2x

Resolución:

x2+2<−1−2x⇒x2+2x+1<0

Encontramos las soluciones de la ecuación x2+2x+1=0:

x=−2±4−4 √2=−1

Hay una única solución.

Siguiendo el esquema que hemos dado, no tenemos soluciones posibles.

−x(x−1)−x<−1

Resolución:

−x(x−1)−x<−1⇒−x2+x−x+1<0⇒−x2+1<0⇒x2−1>0

Encontramos las soluciones de la ecuación x2−1=0: x=±1

Como tenemos dos soluciones, la solución del problema (siguiendo las

indicaciones) es x<−1 y x>1.


PROGRAMACIÓN LINEAL

La programación lineal es un conjunto de técnicas racionales de análisis y de

resolución de problemas que tiene por objeto ayudar a los responsables en

las decisiones sobre asuntos en los que interviene un gran número de

variables.

El nombre de programación lineal no procede de la creación de programas de

ordenador, sino de un término militar, programar, que significa 'realizar planes

o propuestas de tiempo para el entrenamiento, la logística o el despliegue de

las unidades de combate'.

Aunque parece ser que la programación lineal fue utilizada por G. Monge en

1776, se considera a L. V. Kantoróvich uno de sus creadores. La presentó en

su libro Métodos matemáticos para la organización y la producción (1939) y la

desarrolló en su trabajo Sobre la transferencia de masas (1942). Kantoróvich

recibió el premio Nobel de economía en 1975 por sus aportaciones al

problema de la asignación óptima de recursos humanos.

La investigación de operaciones en general y la programación lineal en

particular recibieron un gran impulso gracias a los ordenadores. Uno de

momentos más importantes fue la aparición del método del simplex. Este

método, desarrollado por G. B. Dantzig en 1947, consiste en la utilización de

un algoritmo para optimizar el valor de la función objetivo teniendo en cuenta

las restricciones planteadas. Partiendo de uno de los vértices de la región

factible, por ejemplo el vértice A, y aplicando la propiedad: si la función

objetivo no toma su valor máximo en el vértice A, entonces existe una arista

que parte del vértice A y a lo largo de la cual la función objetivo aumenta. se

llega a otro vértice.

El procedimiento es iterativo, pues mejora los resultados de la función objetivo

en cada etapa hasta alcanzar la solución buscada. Ésta se encuentra en un

vértice del que no parta ninguna arista a lo largo de la cual la función objetivo

aumente.


Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente

usados para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en

ingeniería y ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y

organizaciones importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización.

La programación lineal estudia las situaciones en las que se exige maximizar

o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones,

que llamaremos restricciones.

Función objetivo

La programación lineal consiste en optimizar (maximizar o

minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables:

f(x,y) = ax + by.

Restricciones

La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas

por inecuaciones lineales:

a1x + b1y ≤ c1

a2x + b2y ≤c2

... ... ...

anx + bny ≤cn

Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.


Solución factible

El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las

restricciones, determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre

de región de validez o zona de soluciones factibles.

Solución óptima

El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones

factibles básicas y el vértice donde se presenta lasolución óptima se

llama solución máxima (o mínima según el caso).


Valor del programa lineal

El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se

llama valor del programa lineal.

Pasos para resolver un problema de programación lineal

1. Elegir las incógnitas.

2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.

3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.

4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente

las restricciones.

5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles

(si son pocos).

6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver

en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el

problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si

el recinto no está acotado).

Ejemplo de programación lineal

Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas

deportivas.

El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000

m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de

poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de

poliéster.

El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €.


3 .Restricciones

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

pantalones chaquetas disponible

algodón 1 1,5 750

poliéster 2 1 1000

x + 1.5y ≤ 750 2x+3y≤1500

2x + y ≤ 1000

Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales,

tendremos dos restricciones más:

x ≥ 0

y ≥ 0


II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:

CÓDIGO NIVEL PRIMERO

DOCENTE: Oscar René Lomas Reyes Ing.

TELEFONO: 0986054587 062-932310 e-mail: [email protected]

[email protected]

CRÉDITOS T 1 CRÉDITOS P 2 TOTAL CRÉDITOS 3

HORAS T 16 HORAS P 32 TOTAL HORAS48

PRE-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de éste módulo)CÓDIGOS

1. Nivelación Aprobada

CO-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a éste módulo)CÓDIGOS


mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

1. Física Aplicada 1

EJE DE FORMACIÓN:(En la malla ubicado en un eje con un nombre) PROFESIONAL

ÁREA DE FORMACIÓN:(En la malla agrupado con un color y un nombre) Agrícola

LIBRO(S)BASE DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio )

Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México

LIBRO(S)REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio)

Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España.

Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia

Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.

Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.


SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador. http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.

Sectormatematica.cl, Programas Gratis.

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado : Septiembre 2012

Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO:(Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas

El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del entorno a través del conocimiento

matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos, análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los finanzas, la economía,

al campo empresarial de manera preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje

académico pedagógico de los educandos.


http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado

http://www.sectormatematica.cl/

III. RUTA FORMATIVA DEL PERFILNodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA).

Escaso razonamiento lógico matemático

Competencia GENÉRICA - UPEC:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO)

Desarrollar el pensamiento lógico

Competencia GLOBAL - ESCUELA:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENÉRICA)

Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural

Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO:(Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL)

Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas para plantear y resolver problemas del entorno.

NIVELES DE LOGRO PROCESO

COG NITIVO

LOGROS DE APRENDIZAJE

(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB -COMPETENCIAS)

Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías

El estudiante es capaz de:

DIMENSIÓN

(Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro)


1. TEÓRICO BÁSICO RECORDARMLP

Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático.

FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella.

2. TEÓRICO AVANZADO ENTENDER

Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático.

CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.

PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

3. PRÁCTICO BÁSICO APLICAR

Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático.


4. PRÁCTICO AVANZADO ANALIZAR

Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados


5. TEÓRICO PRÁCTICO BÁSICO EVALUAR

Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados.

CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.


6. TEÓRICO PRÁCTICOAVANZADO CREAR

Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno.

1. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella.

2. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les


permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.

3. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

4. METACOGNITIVO.-Si el estudiante llega a adquirir EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN GENERAL, así como la sensibilización y el conocimiento del propio conocimiento.

Trabajo interdisciplinar:(Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la COMPETENCIA ESPECÍFICA).

Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas discretas.


IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:


(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

El estudiante será capaz de

CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS LOGROS ESPERADOS ESTRATEGIAS

DIDÁCTICAS

Estrategias, métodos y técnicas

HORAS

CLASE

COGNITIVOS

¿Qué TIENEque saber?

PROCEDIMENTALES

¿Saber cómo TIENE queaplicar el conocimiento?

AFECTIVO MOTIVACIONALES

¿Saber qué y cómo TIENEactuar axiológicamente?

T P


Sistema de Números

Reales

Recta de números Reales

Operaciones Binarias

Potenciación y

Radicación

Propiedades

Utilizar organizadores gráficos para identificar las clases de números reales que existe

Utilizar organizadores gráficos para ubicar los elementos

Relacionar en la uve heurística

Identificar los diferentes propiedades en potenciación y radicación

Demostrar comprensión sobre los tipos de números reales

Disposición para trabajar en equipo

Utilizar una actitud reflexiva y critica sobre la importancia de la matemática básica

Aceptar opiniones diferentes

Potenciar el clima positivo

Aceptar errores y elevar el autoestima

DEMOSTRAR.

1. Caracterizar los números reales para la demostración

2. Seleccionar los argumentos y hechos que corroboraron los números reales.

CONVERSACIÓN HEURISTICA

1. Determinación del problema.

2. Dialogo mediante

2 4


fundamentales

Aplicaciones

Hacer síntesis gráfica

Repasar los conocimientos adquiridos y aplicarlos a la vida del profesional Turístico

para que pueda actuar de manera autónoma y eficiente

preguntas.3. Debatir, discutir,

intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución, socializar la solución.


Expresiones algebraicas:

nomenclatura y clasificación.

Polinomios clasificación.

Operaciones con Polinomios: adición, resta, multiplicación y división.

Productos notables.

Descomposición Factorial

Aplicar operaciones mentales

Identificar los diferentes tipos polinomios

Aplicar operaciones mentales en la resolución de un sistema de ecuaciones.

Identificar los diferentes tipos de productos notables

Resolver ejercicios

Aceptar opiniones divergentes

Destacar la solidaridad en los ambientes de trabajo

Potenciar la resolución de problemas

Valorar las participaciones de los demás

Demostrar grado por lo que hacemos

INDUCTIVO-DEDUCTIVO

INDUCTIVO

1.Observación

2. Experimentación.

3. Información (oral, escrita, gráfica, etc.)

4. Dramatización.

5. Resolución de problemas.

6. comprobación.

7. Asociación (especial temporal y casual)

8. Abstracción.

9. Generalización.

10. Resúmenes.

2 4


11. Ejercicios de fijación.

CONVERSACIÓN HEURISTICA

1. Determinación del problema.

2. Dialogo mediante preguntas.

3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución, socializar la solución.


Máximo común divisor de polinomios.

Mínimo común múltiplos de polinomios.

Operaciones con

fracciones.

Aplicaciones

Resolver ejercicios con polinomios sencillos y complejos

Aplicar procesos de resolución adecuados para resolver problemas.

Resolver ejercicios aplicando en forma conjunta los máximos y los mínimos

Distinguir los componentes de las expresiones racionales

Utilizar una actitud crítica y reflexiva sobre el tema.

Cooperar en el desarrollo del conocimiento.

Demostrar confianza en el desarrollo del proceso.

Cooperar con el grupo en la resolución de funciones.

RAZONAR

1. Determinar las premisas.

2. Encontrar la relación de inferencia entre las premisas a través del término medio.

3. Elaborar las conclusiones.

RELACIONAR.

1. Analizar de manera independiente los objetos a relacionar.

2. Determinar los criterios de relación entre los objetos

3 6


Ecuaciones lineales, resolución

Plantear ecuaciones lineales.

Identificar los sistemas líneas y su clasificación

Trabajar con eficiencia y eficacia respetando los criterios en la resolución de problemas.

Demostrar interés en el trabajo

EXPOSICION PROBLEMICA.

1. Determinar el problema.

3 6


Sistemas lineales y clasificación.

Resolución de ecuaciones lineales.

Aplicaciones

Elaborar modelos matemáticos en la solución de problemas de la carrera

Implementar procesos de resolución adecuados en problemas reales.

individual y de equipo

Respetar las opiniones del grupo y fuera de él.

Expresar coherencia en las soluciones propuestas valorando las iniciativas de cada participante.

2. Realizar el encuadre del problema.

3. Comunicar el conocimiento.

4. Formulación de la hipótesis.

5. Determinar los procedimientos para resolver problemas.

6. Encontrar solución (fuentes, argumentos, búsqueda, contradicciones)


Definición y clasificación.

Ecuaciones reducibles a cuadráticas

Resolución de ecuaciones cuadráticas por factoreo.

Resolución por completación de un trinomio cuadrado.

Nombrar la definición de ecuaciones cuadráticas

Reducir a expresiones sencillas las expresiones cuadráticas

Resolver ejercicios sobre expresiones cuadráticas

Ejercitar las operaciones con polinomios incompletos.

Utilizar creatividad y capacidad de análisis y síntesis respetando los criterios del grupo.

Demostrar razonamiento crítico y reflexivo cooperando en la obtención de resultados

EXPOSICIÓN PROBLEMICA

1. Determinar el problema

2. Realizar el encuadre del problema

3. Comunicar el conocimiento (conferencia ,video )

4. Formulación de la hipótesis ( interacción de las partes)

3 6


Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.

Aplicaciones de la ecuación cuadrática.

Aplicar la fórmula general para la resolución de ecuaciones cuadráticas

Distinguir los componentes de las expresiones racionales

Valorar la creatividad de los demás

Respetar el criterio del grupo.

1. Determinar los procedimientos para resolver problemas.

2. Encontrar la solución ( fuentes ,argumentos, búsqueda ,contradicciones)

3 6


V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO


(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE

COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE

indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados

DIMENSIÓN

(Elija el grado de complejidad que UD.

EXIGIRÁ para alcanzar el logro)

INDICADORES DE LOGRO DE INGENIERIA

descripciónTÉCNICAS e INSTRUMENTOS de

EVALUACIÓN

1° PARCIA

L

2° PARCIA

L

3° PARCIA

L

SUPLETORIO


FACTUAL. Interpretar información. Deberes

Trabajos

Consultas

Participación virtual

Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10%


CONCEPTUAL. Interpretar la información. Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10%



CONCEPTUAL. Modelar, simular sistemas complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10% 100%


PROCESAL Analizar problemas y sistemas complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10% 100%


CONCEPTUAL Desarrollar una estrategia para el diseño.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

5%

5%

5%

5%

25%

5%

Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas

FACTUAL. Interpretar información.

Modelar, simular sistemas

Deberes

Trabajos

Documento

Documento

5%

5%


del entorno. CONCEPTUAL.

PROCESAL

METACOGNITIVO

complejos.

Analizar problemas y sistemas complejos.

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

5%

5%

25%

5% 100%

ESCALA DE VALORACIÓN

Nivel ponderado de aspiración y alcance

9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio 7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable

8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio 4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable


VI. GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS


(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB -

COMPETENCIAS)

APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE

HORAS AUTÓNO

MAS

INSTRUCCIONES RECURSOS PRODUCTO

T P


Consulte información en el internet y textos especializados los conceptos de números reales, presentar en organizadores gráficos.

Prueba

Libros.

Copias

Documentos en pdf.

Descarga de documentos de la web.

Diferencia los diferentes tipos de sistemas de números reales.

2 4


Consulta sobre la definición de un monomio y polinomio.

Grado de un polinomio y su ordenamiento

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


Identifica los tipos de polinomios 2 4


Distinguir plenamente entre expresiones racionales e irracionales

Libros.

Copias

Documentos en pdf.

Distinguir plenamente entre expresiones racionales e irracionales

3 6



Dar solución a ecuaciones de primer grado

Libros.CopiasDocumentos en pdf.Descarga de documentos de la web.

Dar solución a ecuaciones de primer grado 3 6


Identificar los tipos de soluciones que pueden presentarse en la solución de expresiones cuadráticas.

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


Identificar los tipos de soluciones que pueden presentarse en la solución de expresiones cuadráticas

3 6


3 6

PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel )

TOTAL

16 32

CRÉDITOS

1 2

3


VII. Bibliografía.

BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA)

Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México

COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en físico y digital - REFENCIAR con normas APA)

Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España.

Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia

Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.

Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador. http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.

Sectormatematica.cl, Programas Gratis.

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado : Septiembre 2012

Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

DOCENTES:

Firma:Nombres y Apellidos Oscar Rene Lomas Reyes


http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado

http://www.sectormatematica.cl/


TRABAJOS AUTÓNOMO

S

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI

FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES

ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO

ALGEBRA

ESTUDIANTE: Verónica Benavides

DOCENTE: Ing. Oscar Lomas

CURSO: Primero "A"

FECHA: 20 - 01 - 2014

EJERCICIOS PROGRAMACIÓN LINEAL

1.- Producción para utilidad máxima: Un fabricante de juguetes prepara un programa de producción para dos nuevos artículos, camiones y perinolas, con base en la información concerniente a sus tiempos de ensamblado dados en la tabla que sigue:

Máquina A Máquina B Acabado

Camión 2 h 3 h 5 h

Perinola 1 h 1 h 1 h

Por ejemplo: cada camión requiere de 2 horas en la máquina A. Las horas que los empleados tienen disponibles por semana son: para operación de la maquina A, 80 horas, para la B, 50 horas, para acabado, 70 horas, si las utilidades de cada camión y cada perinola son de $7 y $2, respectivamente ¿Cuántos juguetes de cada uno deben producirse por semana con el fin de maximizar de utilidad? ¿Cuál es esta utilidad máxima?

Máquina A Máquina B Horas

Camión 2 1 ≤ 80 40

Perinola 3 1 ≤ 50 50

Acabado 5 1 ≤ 70 70

Costo 7 2

Variables 10 20

Z MAX= 110

Se tiene que producir 10 camiones y 20 perinolas semanales para maximizar las utilidades en $110; utilizando 40 horas de la Maq A, 50 horas de la Maq B, 70 horas de acabado.


2.- Producción para utilidad máxima: Un fabricante produce dos tipos de reproductores de DVD Vista y Xtreme. Para su producción requieren del uso de dos máquinas A y B. El número de horas necesarias para ambas está indicada en la tabla siguiente:

Máquina A Máquina B

Vista 1 h 2 h

Xtreme 3 h 2 h

Si cada máquina puede utilizarse 24 horas por día y las utilidades en los modelos Vista y Xtreme son de $50 y $80, respectivamente ¿Cuántos reproductores de cada tipo deben producirse por día para obtener una utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima?

Vista Xtreme Horas

Máquina A 1 3 ≤ 24 24

Máquina B 2 2 ≤ 24 24

Costo 50 80

Variable 6 6

ZMAX= 780

Se necesita producir 6 DVD vista, y 6 DVD Xtreme, para tener una utilidad de $780.

3.- Formulación de una dieta: Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 de proteínas. El alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas; el alimento B contiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de proteínas. Si el alimento A cuesta $1.20 por unidad y el alimento B $ 0.80 por unidad ¿Cuántas unidades de cada alimento deben comprarse para minimizar el costo? ¿Cuál es el costo mínimo?

Alimento A Alimento B

Carbohidratos 2 2 ≥ 16 16

Proteínas 4 1 ≥ 20 20

Costo 1,2 0,8


Variable 3 8 ZMIN= 10

Deben comprarse 3 unidades del alimento A y 8 unidades del alimento B para minimizar el costo.

4.- Nutrientes en fertilizantes. Un agricultor comprará fertilizantes que contienen tres nutrientes A, B y C. Los requerimientos mínimos semanales son 80 unidades de A, 120 de B y 240 de C. Existen dos mezclas de fertilizantes de gran aceptación en el mercado. La mezcla I cuesta $8 por bolsa, y contiene 2 unidades de A, 6 de B y 4 de C. La mezcla II cuesta $10 por bolsa, con dos unidades de A, 2 de B y 12 de C. ¿Cuántos bolsas de cada tipo debe comprar el agricultor para minimizar el costo de satisfacer sus requerimientos de nutrientes?

Mezcla I Mezcla II Requerimientos Semanales

Nutriente A 2 2 ≥ 80 80

Nutriente B 6 2 ≥ 120 200

Nutriente C 4 12 ≥ 240 240

Costo 8 10 ZMIN= 340

Variables 30 10

Se debe comprar 26 bolsas de la mezcla I y 13 bolsas de mezcla II para minimizar el costo y satisfacer los requerimientos en nutrientes.

5.- Extracción de Minerales: Una compañía extrae minerales de una mina. En la tabla siguiente se indica el número de libras de los minerales A y B que pueden obtenerse de cada tonelada de la mina I y II junto con los costos por tonelada.

Mina I Mina II

Mineral A 100 lb 200 lb

Mineral B 200 lb 50 lb

Costo por tonelada $50 $60


Si la compañía debe producir al menos 3000 lb de A y 2500 lb de B, ¿Cuántas toneladas de cada mina deben procesarse con el objeto de minimizar el costo? ¿Cuál es el costo mínimo?

Mina I Mina II Total

Mineral A 100 200 ≥ 3000 3000

Mineral B 200 50 ≥ 2500 2500

Costo por tonelada 50 60

Variables 10 10

ZMIN= 1100

Se debe producir 10 toneladas en la mina I y II para minimizar el costo a 1100

6.- Programación de Producción: Una compañía petrolera que tiene dos refinerías necesita al menos 8000, 14000 y 5000 barriles de petróleo de grados bajo, medio y alto respectivamente. Cada día, la refinería 1 produce 2000 barriles de grado bajo, 3000 barriles de grado medio y 1000 barriles de grado alto en tanto que la refinería 2 produce 1000 barriles de cada uno de los grados alto y bajo y 3000 barriles de petróleo de grado medio. Si operar la refinería 1 cuesta $25000 por día, y operar la refinería 2 $20000 diarios. ¿Cuántos días debe operar cada refinería para satisfacer los requerimientos de producción a un costo mínimo? Suponga que existe un costo mínimo ¿Cuál es?

Refinería I Refinería II Total

Grado Bajo 2000 1000 ≥ 8000 8000

Grado Medio 3000 3000 ≥ 14000 15000

Grado Alto 1000 1000 ≥ 5000 5000

Costo 25000 20000

Variable 3 2

ZMIN= 115000


La refinería 1 debe operarse 3 días y la refinería 2 debe operarse 2 días y así para satisfacer los requerimientos de producción a un costo mínimo.

7.- Costo de construcción: Una compañía química diseña una planta para producir dos tipos de polímeros P1 y P2. La planta debe tener una capacidad de producción de al menos 100 unidades de P1, y 420 unidades de P2 cada día. Existen dos posibles diseños para las principales cámaras de reacción que se incluirán en la planta. Cada cámara de tipo A cuesta $600000 y es capaz de producir 10 unidades de P1 y 20 unidades de P2 por día; el tipo B es un diseño más económico cuesta $300000 y es capaz de producir 4 unidades de P1 y 30 unidades de P2 por día. Debido a los costos de operación, es necesario tener al menos cuatro cámaras de cada tipo en la planta. ¿Cuántas de cada tipo deben incluirse para minimizar el costo de construcción y aún así satisfacer el programa de producción requerido? Suponga que existe un costo mínimo.

Tipo A Tipo B Total

Polímero 1 10 4 ≥ 100 100

Polímero 2 20 30 ≥ 420 420

Costo 600000 300000

Variable 6 10

ZMIN= 6600000

Se requieren construir 6 cámaras de tipo A y 10 cámaras de tipo B para para minimizar el costo de construcción y aún así satisfacer el programa de producción requerido.

8.- Control de la contaminación: Debido a las nuevas reglamentaciones federales sobre la contaminación, una compañía química ha introducido en sus plantas un nuevo y más caro proceso que complementa o remplaza al proceso anterior de fabricación de un producto químico en particular. El proceso anterior descarga 25 gramos de CO2 y 50 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro de producto químico producido. El nuevo procesa 15 gramos de CO2 y 40 gramos de partículas a la atmosfera por cada litro producido. La compañía obtiene una utilidad de 40 y 15 centavos por litro en los procesos anterior y nuevo respectivamente. Si el gobierno no permite descargar más de 12525 gramos de CO2 si más de 20000 gramos de partículas a la atmosfera por día ¿Cuántos litros de producto químico deben producirse diariamente, por cada uno de los procesos, para maximizar la utilidad diaria? ¿Cuál es la utilidad diaria?

Proceso anterior Proceso nuevo Total permitido

Gramos de CO2 25 15 ≤ 12525 10000


Gramos de partículas 50 40 ≤ 20000 20000

Utilidades 40 15

Variables 400 0 ZMAX= 16000

Deben producirse diariamente 400 litros del proceso anterior y 0 litros del nuevo proceso, para maximizar la utilidad diaria



TRABAJOS EN CLASE


PRUEBAS

PRUEBA DE ALGEBRA

Mina A Mina B

Alta Calidad 1 2 ≥ 80 80Media

Calidad3 2 ≥ 160

160Baja Calidad 5 2 ≥ 200 240

Costos 2000 2000

Variables 40 20

Zmin= 120000

En la mina A se debe trabajar 40 días y en la mina B se debe trabajar 20 días para tener un costo mínimo

Pantalones Chaquetas

Algodón 1 1,5 ≤ 700 700

Poliéster 2 1 ≤ 1000 1000

Costo 50 40

Variables 400 200

Zmax= 28000


Se debe suministrar 400 pantalones y 200 chaquetas para que estos consigan una venta máxima

Tipo A Tipo B

Cobre 10 15 ≤ 195 180

Titanio 2 1 ≤ 20 20

Aluminio 1 1 ≤ 14 14

Costo 1500 1000

Variables 6 8

Zmax= 17000

La empresa A debe fabricar 6 m de cable y la empresa B 8 m de cable para obtener un beneficio máximo


portafolio de algebra 2

Documents