portafolio final algebra paty

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL

DEL CARCHI

FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y

CIENCIAS AMBIENTALES

Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario

Módulo

“ALGEBRA”

PRIMER NIVEL

PARALELO: “ B ”

Ing. Oscar René Lomas Reyes

Nombre: Patricia Pusdá

Marzo 2013 – Agosto 2013

Módulo Algebra Página 1

ContenidoINTRODUCCIÓN............................................................................................................................3

OBJETIVOS................................................................................................................................4

CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES....................................................................................5

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES................................................................................6

EXPONENTES Y RADICALES.......................................................................................................7

EXPRESIONES ALGEBRAICAS.....................................................................................................9

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?......................................................................................................11

Partes de una ecuación..........................................................................................................11

¡Exponente!............................................................................................................................12

PRODUCTOS NOTABLES.........................................................................................................13

FACTORIZACIÓN.....................................................................................................................15

FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO..................................................................................16

ECUACIONES LINEALES...........................................................................................................16

SILABO........................................................................................................................................18


INTRODUCCIÓN

El álgebra es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las

propiedades generales de las operaciones aritméticas y lo números para

generar procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos

análogos. Esta rama se caracteriza por hacer implícitas las incógnitas dentro

de la misma operación; ecuación algebraica.

El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos

usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el

Teorema de Pitágoras.

El Álgebra es el área de las matemáticas donde las letras (como x o y) u otros

símbolos son usados para representar números desconocidos.

Por ejemplo: en x - 5 = 2, x es desconocido, pero puede resolverse sumando 5

a ambos lados del signo igual (=), así:

x - 5 = 2

x - 5 + 5 = 2 + 5

x + 0 = 7

x = 7 (la respuesta)

Se realizara el estudio tanto de números reales, números enteros positivos,

negativos , fraccionarios , productos notables, factorización , sistemas de

ecuaciones lineales aplicadas a nuestra carrera.


OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Recopilar toda la información de cada tema ya visto en el módulo de

algebra, para que sirva de guía base para nuestro estudio.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Elaborar el portafolio estudiantil

Analizar la información recolectada que servirá de base de estudio para

la evaluación.

Trabajar en forma grupal en la recolección de la información


CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALESCiertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1,2,3 y

así sucesivamente , forman el conjunto de los números enteros positivos o

números naturales.

Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3…)

Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3……

forman el conjunto de los enteros.

Conjunto de enteros = (…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…)

El conjunto de los números racionales consiste en números como 12

y 53

, que

pueden escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un

numero racional es aquél que puede escribirse como pq

donde p y q son

enteros y q ≠ 0. El entero 2 es racional puesto que 2 = 21

. De hecho todo entero

es racional.

Los números que se representan mediante decimales no periódicos que

terminan se conocen como números irracionales. Los números π y√2 son

ejemplos de números irracionales. Junto, los números racionales y los números

irracionales forman el conjunto de los números reales.

Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros

se selecciona un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a la

derecha del origen se consideran positivas y las de la izquierda negativas


PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Propiedad transitiva de igualdad.-Dos números iguales a un tercer número

son iguales entre sí.

Sia=b y b=c ,entonces a=c

Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicación.- Dos números

pueden sumarse o multiplicarse y el resultado en cada caso es un número real.

Para todonúmero realayb , existennumerosreales unicos a+b y ab

Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación.- Dos números

pueden sumarse y multiplicarse en cualquier orden.

a+b=b+a y ab=ba

Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación.- En la suma o en la

multiplicación, los números pueden agruparse en cualquier orden.

a+ (b+c )= (a+b )+c y a (bc )=( ab ) c

Propiedad de la identidad.- existen números reales denotados 0 y 1 tales que

para todo número real a.

0+a=a y1a=a

Propiedad del inverso.- Para cada número real a, existe un único número

real denotado poa –a

a+ (−a )=0

Propiedad distributiva.- establece que multiplicar una suma por un número

da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y

después sumar todos los productos.

a ( a+c )=ab+ac y (b+c ) a=ab=ac


EXPONENTES Y RADICALESExponentes

Un exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va a

multiplicar otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a la

derecha del valor base. Por ejemplo:

b−5 b es el valor base y -5 es el exponente

−27 -2 es el valor base y 7 es el exponente

Leyes de los exponentes

( xn ) ( xm )=xn+m

xn

xm=xn−m

x0=1

x−n= 1

xn

xm

xm=1

( xm )n=xmn

( xy )

n

= xn

yn

( xy )

−n

=( yx )

RADICALES

La radicación es la operación inversa a la potenciación. Se llama raíz enésima

de un número “x” a otro número “y”, que elevado a la “n” da como resultado “x”.n√ x= y

n = índice

x = radicando


y = raíz

√❑ =signo radical

Leyes radicales

x1/2=n√ x

x−1 /2= 1

x1/2= 1

n√ x

n√ x m√ y= n√xy

n√ xn√ y

= n√ xy

m√ n√x=mn√x

x ,/n=n√ xm

(m√ x )m=x


EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las

operaciones aritméticas.

Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo

término.

Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:

Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.

Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:

Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.

Ejemplo:

Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se

llaman Polinomios.

Suma o adición.- es una operación que tiene por objeto reunir dos o más

expresiones algebraicas en una sola expresión algebraica.


Resta o sustracción.- se escribe el minuendo con sus propios signos y a

continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos

semejantes.

Multiplicación.- se multiplica el monomio por cada uno de los términos del

polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se

separan los productos parciales con sus propios signos.

División.- se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio

separando los cocientes parciales con sus propios signos.


¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?

Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=", por ejemplo:

x + 2 = 6

Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo que está en la derecha (6)

Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"

Partes de una ecuación

Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las diferentes partes (¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!)

Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes:

Una variable es un símbolo para un número que todavía no conocemos. Normalmente es una letra como x o y.

Un número solo se llama una constante.

Un coeficiente es un número que está multiplicando a una variable (4x significa 4 por x, así que 4 es un coeficiente)

Un operador es un símbolo (como +, ×, etc) que representa una operación (es decir, algo que quieres hacer con los valores).

Un término es o bien un número o variable solo, o números y variables multiplicados juntos.

Una expresión es un grupo de términos (los términos están separados por signos + o -)


Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o "el segundo término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el coeficiente es 4?"

¡Exponente!El exponente (como el 2 en x2) dice cuántas veces usar el valor en una multiplicación.

Ejemplos:

82 = 8 × 8 = 64

y3 = y × y × y

y2z = y × y × z

Los exponentes hacen más fácil escribir y usar muchas multiplicaciones

Ejemplo: y4z2 es más fácil que y × y × y × y × z × z, o incluso yyyyzz

PRODUCTOS NOTABLESBinomio al cuadrado

Binomio de suma al cuadrado

Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.


(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2

(X + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

Binomio de resta al cuadrado

Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.

(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2

(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9

Suma por diferencia

Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

(a + b) · (a − b) = a2 − b2

(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 − 25

Binomio al cubo

Binomio de suma al cubo

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3

(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =

= x 3 + 9x2 + 27x + 27

Binomio de resta al cubo

Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3

(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 =


= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27

Trinomio al cuadrado

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

(x2 − x + 1)2 =

= (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 =

= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x =

= x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1

Suma de cubos

a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)

8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)

Diferencia de cubos

a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)

8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =

= x2 + 5x + 6


FACTORIZACIÓNCon frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el

producto de dos o más polinomios de menor grado .este proceso se llama

factorización y nos permite transformar polinomios complejos en el producto de

polinomios simples.

Factorización por factor común.

Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se

dice que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe e

inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes

que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor

común.

a2+2 a=a (a+2 )

10 b+30 ab=10 b (1+3 a)

Factorización de una diferencia de cuadros.

Se sabe que:a2−b2= (a+b ) ( a−b ); por lo tanto una diferencia de cuadrados, es

igual al producto de dos binomios conjugados.

9 x2−4 y2=(3 x+2 y )(3 x−2 y )

Factorización de un cuadrado perfecto

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado

como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al

primero y tercer término del trinomio separándose estas raíces por medio del

signo del segundo término y elevando este binomio al cuadrado:

9 x2−12 xy+4 y2= (3 x−2 y )(3 x−2 y )

Factorización de una suma o diferencia de cubos

Se sabe que: a3+b3=(a+b ) (a2−ab+b2 ) y a3−b3=(a−b ) ( a2+ab+b2 )

Factorización de cubos perfectos de binomios.


(a+b )3=a3+3 a2 b+3 a b2+b3 yque : (a−b )3=a3−3 a2b+3 a b2−b3

FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.

Algunas veces en un polinomio los términos no contienen ningún factor común, pero pueden ser separados en grupos de términos con factor común.

Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización total de la expresión.

x2+ax+bx+ab=x ( x+a )+b ( x+a )=( x+a ) ( x+b )

FACTORIZACIÓN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA a x2+bx+c

9 x2+6 x−3= (3 x−1 ) (3 x+3 )

4 x2−24 x+11= (3 x−1 ) (3 x+3 )

ECUACIONES LINEALESSabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales porque se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano.

Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:

a) Ecuaciones lineales propiamente tales

En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).

Para proceder a la resolución se debe:

Eliminar paréntesis.

Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro.

Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.

Ejemplo:

4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)

4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192


4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10

–35x = 182

b) Ecuaciones Fraccionarias

En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).

Para proceder a la resolución se debe:

Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)

Ejemplo:

C . ECUACIONES LITERALES

Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.

I.


SILABOI. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO

UPEC – MISIÓN MISIÓN - ESCUELA

Formar profesionales humanistas,

emprendedores y competentes,

poseedores de conocimientos

científicos y tecnológicos;

comprometida con la investigación y la

solución de problemas del entorno

para contribuir con el desarrollo y la

integración fronteriza

La Escuela de Desarrollo Integral

Agropecuario contribuye al desarrollo

Provincial, Regional y Nacional,

entregando profesionales que

participan en la producción,

transformación, investigación y

dinamización del sector agropecuario

y agroindustrial, vinculados con la

comunidad, todo esto con criterios de

eficiencia y calidad

UPEC - VISIÓN VISIÓN – ESCUELA

Ser una Universidad Politécnica

acreditada por su calidad y

posicionamiento regional

Liderar a nivel regional el proceso de formación y lograr la excelencia académica generando profesionales competentes en Desarrollo Integral Agropecuario, con un sólido apoyo basado en el profesionalismo y actualización de los docentes, en la investigación, criticidad y creatividad de los estudiantes, con una moderna infraestructura que incorpore los últimos adelantos tecnológicos, pedagógicos y que implique un ejercicio profesional caracterizado por la explotación racional de los recursos naturales, producción limpia, principios de equidad, participación, ancestralidad, que den seguridad y consigan la soberanía alimentaria.

ÁREA CONOCIMIENTO ESCUELA CINE-

UNESCO

SUB-ÁREA CONOCIMIENTO CINE-

UNESCO

Agricultura. Agricultura, Silvicultura y Pesca.

II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:

CÓDIGO NIVEL PRIMERO

DOCENTE: Oscar René Lomas Reyes Ing.


TELEFONO: 0986054587 062-932310 e-mail: [email protected]

[email protected]

CRÉDITOS T 1 CRÉDITOS P 2 TOTAL CRÉDITOS 3

HORAS T 16 HORAS P 32 TOTAL HORAS48

PRE-REQUISITOS: (Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de éste módulo)CÓDIGOS

1. Nivelación Aprobada

CO-REQUISITOS: (Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a éste módulo)CÓDIGOS

1. Física Aplicada 1

EJE DE FORMACIÓN: (En la malla ubicado en un eje con un nombre) PROFESIONAL

ÁREA DE FORMACIÓN: (En la malla agrupado con un color y un nombre) Agrícola

LIBRO(S) BASE DEL MÓDULO: (Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio )

Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México

LIBRO(S) REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO: (Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC

para estudio)

Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid

España.

Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia

Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.


mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

Sánchez A. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador.

http://www.sectormatematica.cl /libros.htm. Recuperado: Septiembre 2012. Sectormatematica.cl, Programas Gratis.

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado : Septiembre 2012

Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO: (Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de

aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas

El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del

entorno a través del conocimiento matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos,

análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los finanzas, la economía, al campo empresarial de manera

preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje

académico pedagógico de los educandos.

III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL

Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA).

Escaso razonamiento lógico matemático

Competencia GENÉRICA - UPEC: (Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO)

Desarrollar el pensamiento lógico

Competencia GLOBAL - ESCUELA: (Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENÉRICA)

Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural

Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO: (Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL)

Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas


http://www.sectormatematica.cl/

para plantear y resolver problemas del entorno.

NIVELES DE LOGRO PROCESO

COG NITIVO

LOGROS DE APRENDIZAJE

(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías

El estudiante es capaz de:

DIMENSIÓN

(Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro)

1. TEÓRICO BÁSICO RECORDARMLP

Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático.

FACTUAL.- Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella.

2. TEÓRICO AVANZADO ENTENDER

Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático.

CONCEPTUAL.- Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.

PROCESAL.- Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

3. PRÁCTICO BÁSICO APLICAR

Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático.


4. PRÁCTICO AVANZADO ANALIZAR

Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados


5. TEÓRICO PRÁCTICO BÁSICO EVALUAR

Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados.

CONCEPTUAL.- Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.


6. TEÓRICO PRÁCTICOAVANZADO CREAR

Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno.

1. FACTUAL.- Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella.

2. CONCEPTUAL.- Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les


permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.

3. PROCESAL.- Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

4. METACOGNITIVO.- Si el estudiante llega a adquirir EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN GENERAL, así como la sensibilización y el conocimiento del propio conocimiento.

Trabajo interdisciplinar: (Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la COMPETENCIA ESPECÍFICA).

Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas discretas.


IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:


(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

El estudiante será capaz de

CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS LOGROS ESPERADOS ESTRATEGIAS

DIDÁCTICAS

Estrategias, métodos y técnicas

HORAS CLASE

COGNITIVOS

¿Qué TIENE que saber?

PROCEDIMENTALES

¿Saber cómo TIENE que aplicar el conocimiento?

AFECTIVO MOTIVACIONALES

¿Saber qué y cómo TIENE actuar axiológicamente?

T P


Sistema de Números

Reales

Recta de números Reales

Operaciones Binarias

Potenciación y

Radicación

Propiedades

fundamentales

Aplicaciones

Utilizar organizadores gráficos para identificar las clases de números reales que existe

Utilizar organizadores gráficos para ubicar los elementos

Relacionar en la uve heurística

Identificar los diferentes propiedades en potenciación y radicación

Hacer síntesis gráfica

Repasar los conocimientos adquiridos y aplicarlos a la vida del profesional Turístico

Demostrar comprensión sobre los tipos de números reales

Disposición para trabajar en equipo

Utilizar una actitud reflexiva y critica sobre la importancia de la matemática básica

Aceptar opiniones diferentes

Potenciar el clima positivo

Aceptar errores y elevar el autoestima para que pueda actuar de manera autónoma y eficiente

DEMOSTRAR.

1. Caracterizar los números reales para la demostración

2. Seleccionar los argumentos y hechos que corroboraron los números reales.

CONVERSACIÓN HEURISTICA

1. Determinación del problema.

2. Dialogo mediante preguntas.

3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución, socializar la solución.

2 4



Expresiones algebraicas:

nomenclatura y clasificación.

Polinomios clasificación.

Operaciones con Polinomios: adición, resta, multiplicación y división.

Productos notables.

Descomposición Factorial

Aplicar operaciones mentales

Identificar los diferentes tipos polinomios

Aplicar operaciones mentales en la resolución de un sistema de ecuaciones.

Identificar los diferentes tipos de productos notables

Resolver ejercicios

Aceptar opiniones divergentes

Destacar la solidaridad en los ambientes de trabajo

Potenciar la resolución de problemas

Valorar las participaciones de los demás

Demostrar grado por lo que hacemos

INDUCTIVO-DEDUCTIVO

INDUCTIVO

1.Observación

2. Experimentación.

3. Información (oral, escrita, gráfica, etc.)

4. Dramatización.

5. Resolución de problemas.

6. comprobación.

7. Asociación (especial temporal y casual)

8. Abstracción.

9. Generalización.

10. Resúmenes.

11. Ejercicios de fijación.

CONVERSACIÓN HEURISTICA

1. Determinación del problema.

2. Dialogo mediante preguntas.

3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución,

2 4


socializar la solución.


Máximo común divisor de polinomios.

Mínimo común múltiplos de polinomios.

Operaciones con

fracciones.

Aplicaciones

Resolver ejercicios con polinomios sencillos y complejos

Aplicar procesos de resolución adecuados para resolver problemas.

Resolver ejercicios aplicando en forma conjunta los máximos y los mínimos

Distinguir los componentes de las expresiones racionales

Utilizar una actitud crítica y reflexiva sobre el tema.

Cooperar en el desarrollo del conocimiento.

Demostrar confianza en el desarrollo del proceso.

Cooperar con el grupo en la resolución de funciones.

RAZONAR

1. Determinar las premisas.

2. Encontrar la relación de inferencia entre las premisas a través del término medio.

3. Elaborar las conclusiones.

RELACIONAR.

1. Analizar de manera independiente los objetos a relacionar.

2. Determinar los criterios de relación entre los objetos

3 6


Ecuaciones lineales, resolución

Sistemas lineales y clasificación.

Resolución de ecuaciones lineales.

Aplicaciones

Plantear ecuaciones lineales.

Identificar los sistemas líneas y su clasificación

Elaborar modelos matemáticos en la solución de problemas de la carrera

Implementar procesos de resolución adecuados en problemas reales.

Trabajar con eficiencia y eficacia respetando los criterios en la resolución de problemas.

Demostrar interés en el trabajo individual y de equipo

Respetar las opiniones del grupo y fuera de él.

Expresar coherencia en las soluciones propuestas valorando las iniciativas de cada participante.

EXPOSICION PROBLEMICA.

1. Determinar el problema.

2. Realizar el encuadre del problema.

3. Comunicar el conocimiento.

4. Formulación de la hipótesis.

5. Determinar los procedimientos para resolver problemas.

6. Encontrar solución (fuentes, argumentos, búsqueda, contradicciones)

3 6


Definición y clasificación.

Ecuaciones reducibles a cuadráticas

Resolución de ecuaciones cuadráticas por factoreo.

Nombrar la definición de ecuaciones cuadráticas

Reducir a expresiones sencillas las expresiones cuadráticas

Resolver ejercicios sobre

Utilizar creatividad y capacidad de análisis y síntesis respetando los criterios del grupo.

Demostrar razonamiento crítico y reflexivo cooperando en la obtención de resultados

EXPOSICIÓN PROBLEMICA

1. Determinar el problema

2. Realizar el encuadre del problema

3. Comunicar el

3 6


Resolución por completación de un trinomio cuadrado.

expresiones cuadráticas

Ejercitar las operaciones con polinomios incompletos.

conocimiento (conferencia ,video )

4. Formulación de la hipótesis ( interacción de las partes)


Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.

Aplicaciones de la ecuación cuadrática.

Aplicar la fórmula general para la resolución de ecuaciones cuadráticas

Distinguir los componentes de las expresiones racionales

Valorar la creatividad de los demás

Respetar el criterio del grupo.

1. Determinar los procedimientos para resolver problemas.

2. Encontrar la solución ( fuentes ,argumentos, búsqueda ,contradicciones)

3 6


V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO


(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE

COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE

indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados

DIMENSIÓN

(Elija el grado de complejidad que UD.

EXIGIRÁ para alcanzar el logro)

INDICADORES DE LOGRO DE INGENIERIA

descripciónTÉCNICAS e INSTRUMENTOS de

EVALUACIÓN

1° PARCIA

L

2° PARCIA

L

3° PARCIA

L

SUPLETORIO


FACTUAL. Interpretar información. Deberes

Trabajos

Consultas

Participación virtual

Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10%


CONCEPTUAL. Interpretar la información. Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10%


CONCEPTUAL. Modelar, simular sistemas complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas


Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

10%

10%

10%

10%


Pruebas

Portafolio

Reactivos

Documento

50%

10% 100%


PROCESAL Analizar problemas y sistemas complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10% 100%


CONCEPTUAL Desarrollar una estrategia para el diseño.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

5%

5%

5%

5%

25%

5%


FACTUAL.

CONCEPTUAL.

PROCESAL

METACOGNITIVO

Interpretar información.

Modelar, simular sistemas complejos.

Analizar problemas y sistemas complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

5%

5%

5%

5%

25%

5% 100%

ESCALA DE VALORACIÓN 9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio 7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable

8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio 4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable


Nivel ponderado de aspiración y alcance


VI. GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS


(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB -

COMPETENCIAS)

APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE

HORAS AUTÓNO

MAS

INSTRUCCIONES RECURSOS PRODUCTO

T P


Consulte información en el internet y textos especializados los conceptos de números reales, presentar en organizadores gráficos.

Prueba

Libros.

Copias

Documentos en pdf.

Descarga de documentos de la web.

Diferencia los diferentes tipos de sistemas de números reales.

2 4


Consulta sobre la definición de un monomio y polinomio.

Grado de un polinomio y su ordenamiento

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


Identifica los tipos de polinomios 2 4


Distinguir plenamente entre expresiones racionales e irracionales

Libros.

Copias

Documentos en pdf.

Distinguir plenamente entre expresiones racionales e irracionales

3 6


Dar solución a ecuaciones de primer grado

Libros.CopiasDocumentos en pdf.Descarga de documentos de la web.

Dar solución a ecuaciones de primer grado 3 6



Identificar los tipos de soluciones que pueden presentarse en la solución de expresiones cuadráticas.

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


Identificar los tipos de soluciones que pueden presentarse en la solución de expresiones cuadráticas

3 6


3 6

PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel )

TOTAL

16 32

CRÉDITOS

1 2

3


VII. Bibliografía.

BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA)

Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México

COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en físico y digital - REFENCIAR con normas APA)

Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición:

Madrid España.

Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia

Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.

Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

Sánchez A. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador.

http://www.sectormatematica.cl /libros.htm. Recuperado: Septiembre 2012. Sectormatematica.cl, Programas Gratis.

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado : Septiembre 2012

Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

DOCENTES:

Firma:

Nombres y Apellidos Oscar Rene Lomas Reyes Ing.

ENTREGADO: Marzo 2013


http://www.sectormatematica.cl/

1 NÚMEROS REALES


PROBLEMAS 0.2


2 EJERCICIOS-POTENCIACIÓN-RACIONALIZACIÓN


EXPRESIONES ALGEBRAICAS


EJERCICIOS-FACTORIZACIÓN


3 TABLA DINÁMICA EXCEL


REACTIVOSDE ÁLGEBRA

NOMBRE PATRICIA PUSDÁ

ÁLGEBRA

1. ¿Cuál de los siguientes ejemplos es un número natural?a) Πb) √ 2c) 4d) -8

2. Solucionar

√250−√50+15√2

a) √25+30b) −28+45c) √5+2−8d) 5√10+10 √ 2

3. Simplificar

X 2 / x 6

y 2 y5

a) Y3/ x2b) Y3/ x3c) X3/y33d) Ninguna

4. Resolver

X2 +(a +b) x + ab

a) (x +b)(x +a)b) (x- b )(x +ab)c) Ninguna d) a y b

5. Solucionar Y= X2 + 5x +6

a) Y= 4


b) Y = 6 c) Y= 12 d) X= 34

Economía y finanzas

1. La curva de demanda de trabajo se desplazará hacia la izquierda cuando:a. Aumente el precio del producto.b. Se produzca una mejora tecnológica.c. Disminuya el precio del producto.d. Ninguna de las anteriores

2. cuando el activo circulante (activo corriente), es menor que el pasivo circulante (pasivo corriente), se dice que:

a) el fondo de maniobra es negativo b) el fondo de maniobra es despreciablec) el fondo de maniobra es positivo d) ninguno

3. los organigramas reflejan:a) la interrelación entre los diferentes objetos de la empresa b) una visión gráfica y resumida de la estructura formal de la organización c) una visión gráfica y resumida de la estructura informal de la organizaciónd) nada de lo anterior

4. Si el activo de una empresa es igual al neto patrimonial: a) La empresa se encuentra en una grave situación de inestabilidad b) Estamos ante la máxima estabilidad financiera c) El empresario ha invertido todo su dinero en el negocio d) Ninguna de las anteriores

5. La diferencia entre activo circulante y el pasivo circulante define:

a) El fondo de maniobra b) El ratio de tesorería c) El ratio de liquidez d) Ninguna de las anteriores


EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS


Depreciaciones


Trabajo en clase


FRACCIONES ALGEBRAICAS

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras ligados por operaciones.

A las letras se les llama parte literal de la expresión y suelen designar magnitudes variables.

Los números reciben el nombre de coeficientes.

Algunos ejemplos son:

a) La expresión P 5 2a 1 2b puede servir para designar de forma genérica el perímetro de un rectángulo de lados a y b. Para un valor de P determinado, digamos P 5 100, la expresión será 100 5 2a 1 2b.

b) La expresión D 5 10000 2 2p puede dar la demanda de un producto en función de su precio p. Esta relación permite determinar la demanda para cada valor de p.

Tipos de expresiones algebraicasMonomio

Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término.

Ejercicios

12ab+ 3ab+ 7ab= 22ab

(15a) – (8a)= 15a- 8a = 7a

(3ab) (-5a²c) = - 15aᶟbc

4aᶟb²÷ - 2ab= -2a (3- 1) b(2- 1) = -2a²b


Binomio

Un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos.

abx+aby

(ab)•(x+y)

Trinomio

Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres términos.

X 2 +6x+9 x2-6x+9

Polinomio

Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un término.

Polinomio de primer grado

P(x) = 3x + 2

Polinomio de segundo grado

P(x) = 2x2+ 3x + 2

Polinomio de tercer grado

P(x) = x3 − 2x2+ 3x + 2

Polinomio de cuarto grado

P(x) = x4 + x3 − 2x2+ 3x + 2


http://186.46.59.220/upecvirtual/mod/assignment/view.php?id=22278

OPERACIONES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Las operaciones que se pueden realizar con las fracciones algebraicas son:Suma y RestaMultiplicaciónDivisión

Simplificación de Fracciones Algebraicas

Se dice que una fracción está reducida a sus términos más sencillos o totalmente simplificados, cuando no existe ningún factor común al numerador y denominador. Evidentemente una fracción dada puede reducirse a sus términos más sencillos dividiendo el numerador y el denominador entre los factores que tengan en común.

Ejemplo:

Simplifica la siguiente fracción

CLASES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Fracción algebraica simple

Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras.


Fracción propia e impropia

Una fracción simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador; y se llama impropia si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador.

Fracción compuesta

Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos.


http://fraccionesalgebraicas.blogspot.com/2008/05/operaciones-de-fracciones-algebraicas.html

http://1.bp.blogspot.com/_oKe9SPZvk4s/SB0RQoeXn8I/AAAAAAAAAEA/gM51oq3BS_E/s1600-h/fraccion6.bmp

http://4.bp.blogspot.com/_oKe9SPZvk4s/SB0RfYeXn9I/AAAAAAAAAEI/GSjN4tnAfh0/s1600-h/fraccion7.bmp

http://4.bp.blogspot.com/_oKe9SPZvk4s/SB0NCYeXn2I/AAAAAAAAADQ/RVv7_bjk18U/s1600-h/fraccion2.bmp

EJERCICIOS DE ECUACIONES LINEALES


Ejemplo 1: Ecuaciones lineales

2x + 1 = 5 donde a =2, b = 1, c = 53x - 6 = 0 donde a = 3, b = -6, c = 08x = 1 donde a = 8, b = 0, c = 1

Definición

Una ecuación lineal en x es una igualdad de la forma ax + b = c donde a, b, c son números reales con a diferente de cero.

http://3.bp.blogspot.com/_oKe9SPZvk4s/SB0N6IeXn3I/AAAAAAAAADY/kMUX8j_jJ-M/s1600-h/fraccion3.bmp

http://1.bp.blogspot.com/_oKe9SPZvk4s/SB0N_oeXn4I/AAAAAAAAADg/kQnpBU99XBQ/s1600-h/fraccion4.bmp

http://2.bp.blogspot.com/_oKe9SPZvk4s/SB0Oa4eXn5I/AAAAAAAAADo/VH_v0A6_HTM/s1600-h/fraccion5.bmp

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un

planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera

potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir,

una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la

primera potencia.


Nota

También podemos decir que ax + b = ces una ecuación de primer grado en x.

Contraejemplo 1: Los siguientes no son Ecuaciones lineales

5x2 + 3 = 5 Es una ecuación de segundo grado

6x3 + 2x = 4 Es una ecuación de tercer grado



http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n

Ejercicios

Ejercicio 1

x-15 = -27

x = -27+15

x = -12

Comprobación

-12-15 = -27

-27 = -27

Ejercicio 2

-11x+12 = 144

-11x = 144-12

-11x = 132

x = 132/-11

x = -12

Comprobación

-11(-12)+12 = 144

132+12 = 144

144 = 144

Ejercicio 3


-8x-15 = -111

-8x = -111+15

-8x = -96

x = -96/-8

x = 12

Comprobación

-8(12)-15 = -111

-96-15 = -111

-111 = -111

Ejercicio 4

6x-10 = -16

6x = -16+10

6x = -6

x = -6/6

x = -1

Comprobación

6(-1)-10 = -16

-6-10 = -16

-16 = -16

Ejercicio 5

-15x-6 = 9

-15x = 9+6


-15x = 15

x = 15/-15

x = -1

Comprobación

-15(-1)-6 = 9

15-6 = 9

9 = 9

Ejercicio 6

12x+12 = 72

12x = 72-12

12x = 60

x = 60/12

x = 5

Comprobación

12(5)+12 = 72

60+12 = 72

72 = 72

Ejercicio 7

-10x+9 = -81

-10x = -81-9

-10x = -90


x = -90/-10

x = 9

Comprobación

-10(9)+9 = -81

-90+9 = -81

-81 = -81

Ejercicio 8

5x-15 = 15

5x = 15+15

5x = 30

x = 30/5

x = 6

Comprobación

5(6)-15 = 15

30-15 = 15

15 = 15

Ejercicio 9

2x-13 = -19

2x = -19+13

2x = -6

x = -6/2


x = -3

Comprobación

2(-3)-13 = -19

-6-13 = -19

-19 = -19

SISTEMAS DE ECUACIONES


En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático consistente en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.

En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.

Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones. Por ejemplo, las ecuaciones:

forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

El conjunto de ecuaciones:

forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Se llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente al que se encuentre elevada alguna incógnita del sistema.

Por ejemplo,

es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de segundo grado, porque el mayor exponente es 2 (la x e y al cuadrado). Este sistema con ecuaciones de segundo grado se llaman también sistema de ecuaciones cuadráticas.

El sistema de ecuaciones es de primer grado con dos incógnitas (porque todos los valores están elevados a 1, que no se escribe).


Cuando el sistema de ecuaciones es de primer grado y además no aparecen términos con las incógnitas multiplicadas entre sí(tipo x • y) se dice que es un sistema de ecuaciones lineales.

Resolviendo sistemas

Para resolver un sistema de ecuaciones existen los siguientes métodos:

Método de sustitución

Lo que debemos hacer:

1.- Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones.

2.- Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.

3.- Resolver la ecuación resultante.

4.- Calcular la otra incógnita en la ecuación despejada.

Ejemplo:

Resolver

Se despeja x en la segunda ecuación:

x = 8 – 2y

Se sustituyen en la primera ecuación:

3(8 – 2y) – 4y = – 6

Operando:

24 − 6y − 4y = − 6

24 – 10y = – 6

− 10y = − 6 − 24

− 10y = − 30

Se resuelve:

y = 3

Se sustituye este valor en la segunda:

x + 2(3) = 8

x + 6 = 8

x = 8 – 6 = 2

Solución del sistema:

x = 2, y = 3


https://es.wikipedia.org/wiki/Alfabeto_latino

https://es.wikipedia.org/wiki/Alfabeto_latino

https://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_no_contradicci%C3%B3n

https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_matem%C3%A1tico

https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_matem%C3%A1tico

https://es.wikipedia.org/wiki/Inc%C3%B3gnita

https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n

https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

Método de reducción


1.- Se igualan los coeficientes de una incógnita, salvo el signo, eligiendo un múltiplo común de ambos.

2.- Puede ser el producto de los coeficientes de esa incógnita.

3.- Se suman o restan, según convenga, las ecuaciones.

4.- Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.

5.- Se calcula la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones del sistema.

Ejemplo:

Resolver

Primero se deben igualar el 6 y el 8 de la incógnita x. Para hacerlo, amplificamos la primera ecuación por 4 y amplificamos la segunda ecuación por –3. Esto porque al multiplicar 6x por 4 queda 24x; y al multiplicar 8x por –3 queda –24x, y se anulan entre sí; o sea, hemos eliminado una incógnita para trabajar solo con la otra (la y). Luego hacemos lo mismo con la y.

Se elimina la x:Se elimina la y:

Ver: PSU: Matemática; Pregunta 26_2010

Método de igualación


1.- Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones.

2.- Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.


3.- Se resuelve la ecuación resultante.

4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo:

Resolver

Despejamos x en la primera ecuación:

Despejamos x en la segunda ecuación:

x = –1 – 2y

Igualamos ambas expresiones:

:Se sustituye este valor en la primera o segunda ecuación:

x = 3 + 2(−1)

x = 3 − 2

x = 1

Solución del sistema:

x = 1, y = –1

Otro ejemplo:

Resolver, por el método de igualación, el sistema

Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:


Igualamos ambas expresiones:

Luego, resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:


ECUACIONES CUADRÁTICAS

ECUACION CUADRÁTICA

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación que tiene la forma de una suma de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático.

La expresión canónica general de una ecuación cuadrática es:

Donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente.

Este polinomio se puede representar mediante una gráfica de una función cuadrática o parábola. Esta representación gráfica es útil, porque la intersección de esta gráfica con el eje horizontal coincide con las soluciones de la ecuación (y dado que pueden existir dos, una o ninguna intersección, esos pueden ser los números de soluciones de la ecuación).


Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales.

Ejemplo:

9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10

3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10

Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:

1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Fórmula Cuadrática

Factorización Simple:


https://es.wikipedia.org/wiki/Eje_de_las_abscisas

https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica

https://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n

https://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_(matem%C3%A1ticas)

https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_(matem%C3%A1ticas)

https://es.wikipedia.org/wiki/Variable_(matem%C3%A1ticas)

https://es.wikipedia.org/wiki/Grado_de_un_polinomio

La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación

x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8

(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2]

( x + ) (x - ) = 0

(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2

4 · -2 = -8

x + 4 = 0 x – 2 = 0

x + 4 = 0 x – 2 = 0 x = 0 – 4 x = 0 + 2 x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.


Completando el Cuadrado:

En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:

4x2 + 12x – 8 = 0 4 4 4 4

x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.

Ejemplo:

x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.] x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]

x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]

x2 + 2x + 1 = 8 + 1

x2 + 2x + 1 = 9

( ) ( ) = 9 Hay que factorizar. Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.


( x + 1) (x + 1) = 9

(x + 1)2 = 9

(x + 1) = ±

x + 1 = ± 3

x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3 x = -1 – 3 x = 2 x = -4

Fórmula Cuadrática:

Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:

Ejemplo:

X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8


x = -2 ± 6 2

X = -2 + 6 x = -2 - 6 2 2

x = 4 x = -8 2 2

x = 2 x = - 4

EJEMPLOS


GRAFICAR ECUACIONES CUADRÁTICAS


Una ecuación de este tipo se llaman de segundo grado o cuadrática conviene notar que, lo que caracteriza a una ecuación de segundo grado es que, la potencia máxima de la incógnita sea la segunda, independientemente del número de incógnitas.

GráficaUno de los métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas es la graficación, donde

tenemos que encontrar la variable independiente (x) y la variable dependiente (y). Pero

para hacer esto debemos primero de ubicar las ecuaciones cuadráticas:

Las ecuaciones de la forma axª + bx + c = 0, son las ecuaciones de segundo grado

o cuadráticas toda ecuación de segundo grado en la que b = 0 es

una ecuación cuadrática pura, la cual carece del termino de primer grado.


Características

Para graficar una función cuadrática se debe tener por lo menos tres puntos, "los cortes con los ejes" y el vértice.Parábola f(x) = x2 + 5x + 6La ordenada al origen es - 6, por lo tanto sabemos que el punto (0, 6) pertenece a la función.Hallamos el vértice de la parábola:


Vx = -b/2a -5/2(1) = -5/2Vy = f(-b/2a) (-5/2)2 + 5(-5/2) + 6 = -49/4V = (-2.5, - 12.5)

Supongamos una ecuación de 2º grado (el exponente de x debe ser

2):

Vamos a dar valores a la variable independiente x y conseguiremos que la variable dependiente y tome los suyos:

En primer lugar damos a x el valor 3, luego 2, después 0, seguidamente – 2 y por fin, – 3. La variable dependiente y recibirá los valores: 9,4,0, 4 y 9

Podemos escribir:

Colocamos en el eje de coordenadas los puntos:

y luego, unimos esos puntos tal como lo ves en la figura siguiente:


13.82 Representa gráficamente la ecuación de 2º grado:

Respuesta:

Solución


Dando valores a x : 2, 1, 0, -1 y -2 obtenemos los de y en la ecuación de 2º

grado:

Fijados los puntos, los unimos y obtendremos la parábola.

¿Por qué los puntos no los unimos con rectas?

Porque si en la ecuación de 2º grado diéramos a x los valores que indicamos a continuación los correspondientes al eje y serían::

Estos valores obtenidos los llevamos al eje de coordenadas para crear los puntos y obtendríamos algo parecido a:


Por la colocación de los puntos, sin necesidad de unirlos puedes ver el resultado.

Vamos a dibujar una parábola cuyo vértice se encuentre en el punto (0,1).En primer lugar debemos conocer la ecuación de 2º grado, supongamos que se trata de:

El vértice se hallará en el punto (0,1). Veamos porqué.

Si a "x" le das el valor cero en esta ecuación, comprobarás que el valor de y es 1. Luego, para x=0; y=1.

Fijamos este punto (color rojo) en el eje de coordenadas.El resto de los puntos (en color verde), y obtenemos la parábola:


En el caso de que representásemos gráficamente la ecuación:

Para x=0 y=-2 La parábola sería:

En el caso de que la ecuación fuese el vértice estaría situado en el punto (0,2):


Si a x le das el valor 0 en la ecuación propuesta, y valdrá 2.

13.82(a) Representa gráficamente la ecuación:

13.83 Representa gráficamente la ecuación:

Respuesta:


SoluciónLos puntos que hemos tomado han sido:

El vértice de la parábola lo tenemos en el punto (0,-1)

Ejemplo:

En este caso a vale 1.

Llevamos algunos de estos valores sobre el eje de coordenadas

Cuando x = 2; el valor de y = 0. Este es el punto común de la parábola y su eje. Si doblásemos el papel por el eje de la parábola, las dos ramas o brazos coincidirían.


UNIVERSIDAD Politécnica ESTATAL DEL

CARCHI

DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO

Modulo: ÁLGEBRA

Tema: GRAFICAR ECUACIONES CUADRÁTICAS

Ing. OSCAR LOMAS


NOMBRE: Patricia Pusdá
