TRABAJO COLABORATIVO FASE 1

GRUPO: 100408 _215

DIANA LUZ VILLADIEGO CAUSIL

CODIGO: 22494199

PRESENTADO AL TUTOR:

MANUEL ALEJANDRO GUTIERREZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

ALGEBRA LINEAL

SEPTIEBRE DE 2015

INTRODUCCION

Este trabajo nos permite analizar y resolver los ejercicios de la primera unidad, para

obtener los conocimientos adquiridos y crear participación con los compañeros del

grupo, buscando la interacción de todos los integrantes del grupo y ver los diferentes

puntos de vista, utilizando la metodología y procedimientos explicados en el material

de estudio y así finiquitar el trabajo con éxito y el llevar a cabo el curso

satisfactoriamente.

OBJETIVOS

Adquirir y afianzar lo aprendido a los conocimientos propios a través de éste

estudio, permitiendo el debido desarrollo intelectual de cada una.

Una comunicación abierta e interiorizada nos lleva a comprender ésta unidad

para poder aplicarla en un futuro, utilizando las teorías y definiciones que

soportan este curso académico.

Realizar todos los ejercicios y responder en el foro respectivo cualquier

inquietud que esté a nuestro alcance, para el debido interés en el desarrollo

del trabajo.

Resolver los cinco problemas que se presentan a continuación, describiendo el

proceso paso por paso:

1. Dados los siguientes vectores dados en forma polar:

a. 0225;5 u

b. 060;3 v

Realice las siguientes operaciones

1.1 2�⃗� − 6𝑣

1.2 𝑣 − �⃗�

1.3 6𝑣 − 7�⃗�

Solución

Tenemos que |�⃗� | = 5 , 𝜃 = 225º 𝑦 |𝑣 | = 3 , 𝜃 = 60º

Sabemos que un vector A= (X ,Y) |𝐴| √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟 y su forma en polar de

cada componente es x= r cos 𝜃 y y= r sen 𝜃

Así |�⃗� | = 𝑡 = 5, 𝜃 = 225º 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑥𝑢 = 5 cos 225

yu= 5 sen 225º cos 225º = −√2

2 ; 𝑠𝑒𝑛 225 =

−√2

2

Entonces Xu=5 (−√2

2) =

−5√2

2 , 𝑌𝑢 = 5 (

−√2

2) =

−5√2

2

Por lo tanto �⃗� = (−5√2

2, −

−5√2

2 )

Veamos con el vector 𝑣 , |𝑣 | = 𝑟 = 3, 𝜃 = 60º

Xv= rcos60º y Yv= r sen 60 Xv= 3 cos 60º = 3 1

2 =

3

2

Yv= r sen 60º = 3 √3

2= 3

√3

2 , asi 𝑣 = ( Xv, Yv) = (

3

2 ,

3√3

2)

Sabiendo que �⃗� = (−5 √2

2 ,

−5 √2

2 ) 𝑦 �⃗� = (

3

2 ,

3 √3

2 )

Realizamos los ejercicios

Solución

1.1 2�⃗� − 6𝑣 = (−5 √2

2 ,

−5 √2

2 ) − (

3

2 ,

3 √3

2 )

= (2.−5 √2

2 , 2.

−5 √2

2 ) − (63 .

3

21 , 63.

3 √3

21 )

= (−5√2 , −5√2) − ( 9, 9√3 )

Restemos componente a componente

= (−5√2 − 9 , −5√2 , 9√3 )

≈ (-16, 07, -22, 66)= 𝑟∗

Ahora con este nuevo vector hallemos su forma polar

|𝑟∗| = √(−16, 07)2 + (−22, 66)2 = √258, 24 + 513, 47

≈ √771 , 71

|𝑟∗| ≈ 27, 8

tan 𝜃∗ = 𝑦

𝑥 → tan 𝜃 = (

−22,66

−16,07) → tan 𝜃 = (

22,66

16,07)

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan(1,41) → 𝜃 ≈ 54º, 66`

Para terminar 22�⃗� − 6𝑣 = 𝑟∗ , 𝑐𝑜𝑛 =

|𝑟∗| = 27,8 , 𝜃 = 54º, 66`

(1.2) �⃗� − �⃗⃗� , �⃗⃗� =

(−5 √2

2 ,

−5 √2

2 ) , �⃗� (

3

2 ,

3 √3

2 )

�⃗� − �⃗⃗� = (3

2− (

−5 √2

2) ,

3 √3

2 − (

−5 √2

2))

= (3

2+

5 √2

2 ,

3 √3

2−

5 √2

2)

= (3+5 √2

2 ,

3√3+5√2

2 )

≈ ( 5, 6) = �⃗⃗�

�⃗⃗� = √52 + 62 = √25 + 36 = √61 ≈ 7,8

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan𝑦

𝑥→ , 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan (

6

5)

𝜃 = arc tan (1

2) → 𝜃 = 26º , 6

(1.3) 6𝑉⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 7𝑈⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (63.3

21 , 63

3√3

21) − (7 (

−5 √2

2) ∗ (7 (

−5 √2

2)) )

=(9, 9√3) − ( − 3 5 √2

2 ,

− 3 5 √2

2 )

= (9 − (− 3 5 √2

2) , 9 √3 − (

− 3 5 √2

2))

≈ (34 , 40) = �⃗⃗�

|�⃗⃗� | = √342 + 402 = √576 + 1600 = √2176 = 46.6

𝜃 = arctan (40

34) = arctan( 1.1764) ≁ 49º6

2. Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:

2.1. jiu ˆ9ˆ2

y jiv ˆ9ˆ6

2.2. jiw ˆˆ5

y jiz ˆ4ˆ7

cos α= �⃗⃗� . �⃗�

|�⃗⃗� | .|�⃗� |

�⃗� . 𝑣 = (𝑢1 . 𝑣1) + ( 𝑢2 . 𝑣2)

Se halla la norma

2.1 |�⃗� | = √(2)2 + (9)2 = √4 + 81 = √85

|𝑣 | = √(−6)2 + (9)2 = √36 + 81 = √117

u. v = (2) (-6) + (9) (9) = -12+81 =69

Cos α= 69

√117 √85=

69

√117 . 85=

69

√9945

cos α ≁ 69

99,72= cos α ≈ 0,7

α = arc cos (0,7) ≈ 46º α= 46º = < entre �⃗� 𝑦 𝑣

2.2 �⃗⃗� = −5𝑖 − 𝑗 ⃗⃗ , 𝑧 = −7𝑖 − 4𝑗

|�⃗⃗� | = √(−5)2 + (−1)2 = √25 + 1 = √26

|𝑧 | = √(−7)2 + (−4)2 = √49 + 16 = √65

�⃗⃗� . 𝑧 = (-5) . (-7) + (-4) . (-1) = 35+4 = 39

Cos α= 39

√26 . √65 =

39

√26 . 65=

39

√1690

Cos α ≁ 39

41,1→ cos α ≁ 0.95

α ≈ arc cos (0,95) α = 18◦,5

3. Dada la siguiente matriz, encuentre empleando para ello el método de Gauss – Jordán. (Describa el proceso paso por paso). NO SE ACEPTAN PROCEDIMIENTOS REALIZADOS POR PROGRAMAS DE CALCULO

(Si se presenta el caso, trabaje únicamente con números de la forma

y NO con sus representaciones decimales).

C= [2 8 0

−3 0 −18 1 −3

]

𝐶−1 = [2 8 0

−3 0 −18 1 −3

⋮1 0 00 1 00 0 1

] 1

2 * f1

𝐶−1 = [1 4 0−3 0 −18 1 −3

⋮1/2 0 00 1 00 0 1

] 3*f1+f2

𝐶−1 = [1 4 00 12 −18 1 −3

⋮1/2 0 03/2 1 00 0 1

] -8 * f1+f2

𝐶−1 = [1 4 00 12 −10 −31 −3

⋮1/2 0 03/2 1 0−4 0 1

] 1

12 * f2

𝐶−1 = [1 4 00 1 −1/120 −31 −3

⋮1/2 0 01/8 1/12 0−4 0 1

] -4 * f1+f2

1A

b

a

𝐶−1 = [1 0 1/30 1 −1/120 −31 −3

⋮0 −1/3 0

1/8 1/12 0−4 0 1

] 31* f2+f3

𝐶−1 = [

1 0 1/30 1 −1/120 0 −67/12

⋮

0 −1/3 01/8 1/12 0

−1/8 31/12 1] -

12

67∗ f3

𝐶−1 = [1 0 1/30 1 −1/120 0 1

⋮

0 −1/3 01/8 1/12 0

3/134 −31/67 −12/67]

1

12∗ f3+f2

𝐶−1 = [1 0 1/30 1 00 0 1

⋮

0 −1/3 017/134 3/67 −1/673/134 −31/67 −12/67

] -1

3 * f2+f1

𝐶−1 = [1 0 00 1 00 0 1

⋮

−1/134 −12/67 4/6717/134 3/67 −1/673/134 −31/67 −12/67

]

4. Encuentre el determinante de la siguiente matriz describiendo paso a paso la operación que lo va modificando (sugerencia: emplee las propiedades e intente transformarlo en una matriz triangular). NO SE ACEPTAN PROCEDIMIENTOS REALIZADOS POR PROGRAMAS DE CALCULO

(Si se presenta el caso, trabaje únicamente con números de la forma

y NO con sus representaciones decimales).

b

a

13210

21000

12465

14338

12901

A

A=

[

−1 0 9 2 18 3 3 −4 1

500

60

−1

−402

21

−3

1−21 ]

= |𝐴|

[

−1 0 9 2 18 3 3 −4 1

500

60

−1

−402

21

−3

1−21 ]

Se pasará la matriz a una matriz triangular, se debe llevar a ceros las entradas que

están por debajo de la diagonal principal.

[

−1 0 9 2 18 3 3 −4 1

500

60

−1

−402

21

−3

1−21 ]

F2 + 8F1 =

[ −1 0 9 2 10 3 75 12 9500

00

−1

802

−161

−3

7−21 ]

= F3 + 5F1

[ −1 0 9 2 10 3 75 12 9

000

00

−3

5306

−61

−9

12−23 ]

=

[ −1 0 9 2 10 3 75 12 9000

000

53081

−613

12−212]

=

[ −1 0 9 2 10 3 75 12 9000

000

53027

−611

12−24 ]

=

[ −1 0 9 2 10 3 75 12 9000

000

53027

−610

12−26 ]

F3 +

6F5

F3 x 3

F5 + F3 F5 x

1

3

F5 + F4 F5 x

1

3

[ −1 0 9 2 10 3 75 12 9000

000

5309

−610

12−22 ]

=

[ −1 0 9 2 10 3 75 12 9000

000

5309

010

0−22 ]

[ −1 0 9 2 10 1 25 4 3000

000

109

010

0−22 ]

[ −1 0 9 2 10 1 25 4 3000

000

100

010

0−22 ]

Se multiplica su diagonal principal y se anexa el multiplicado por 3, 3 y 53, ya que

dividimos, se observa a continuación:

Det (A) = (-1) (1) (1) (1) (2) (3) (3)(53) = -954

5. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello

determinantes (Recuerde: )

Nota: Describa el proceso paso por paso

(Si se presenta el caso, trabaje únicamente con números de la forma

y NO con sus representaciones decimales).

|𝐶| = [−2 5 −13 0 −43 1 −5

] [−2 53 03 1

] = (0 − 60 − 3) − (0 + 8 − 75)

= −63 − (−67)

= −63 + 67

= 4

Después resulta det (A) ≠ 0 donde se demuestra que la matriz tiene inversa, se

busca entonces la matriz de cofactor

AdjADetA

A *11

b

a

F3 +

6F4

F3 x 1

53

F5 +

9F4

−11+1 [0 −41 −5

] −11+2 [3 −43 −5

] −11+3 [3 03 1

]

−12+1 [5 −11 −5

] −12+2 [−2 −13 −5

] −12+3 [−2 53 1

]

−13+1 [5 −10 −4

] −13+2 [−2 −13 −4

] −13+3 [−2 53 0

]

C= [4 3 324 13 17

−20 −11 −15]

Para poder hallar el resultado de adj de A solo hallamos la matriz de cofactores

ADJ A = [4 24 −203 13 −113 17 −15

]

Se utiliza formula 𝐴−1 =1

𝐷𝐸𝐿𝑇𝐴 * ADJ A

𝐴−1 = 1

4 . [

4 24 −203 13 −113 17 −15

]

𝐴−1 = [1 6 −5

3/4 13/4 −11/43/4 17/4 −15/4

]

BIBLIOGRAFIA

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/208046/ALGEBRA%20LINEAL%20-

%20MODULO%203%20CREDITOS%20-%20DEFINITIVO.pdf tomado 9 de

septiembre de 2015. 10:30 p.m.

https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas) 16 de septiembre de

2015. 9:30 p.m.

https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal#Vectores_en_Rn tomado

12 de septiembre de 2015 9:30 p.m.