algebra 2 b.docx

13
II BIMESTRE …………………………………………………………….. p 33 ……………………………………………………………… p38 I N D I C E 1° Unidad 2° Unidad

Upload: luis-alonso-herrera-candelario

Post on 10-Sep-2015

271 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

I N D I C E

II BIMESTRE

1 Unidad

1. .. p 33

2 Unidad

1. p38

GUA DE APRENDIZAJE DE LGEBRA N 05TEMA: Operaciones con PolinomiosCONTENIDO: Polinomios en R.Adicin y Sustraccin de Polinomios.

POLINOMIOS EN REs una expresin algebraica de uno, dos o ms trminos algebraicos racionales enteros, relacionados por las operaciones de adicin y sustraccin.Esto significa que:1. Un polinomio tiene un nmero limitado de trminos.1. Los exponentes de las variables deben ser nmeros enteros positivos o cero.1. Los denominadores no deben tener variables.

Ejemplos:a) P(x) = 7x2 8x + 6Es un polinomiob) F(x, y) = 7x2y6 - 5 y4Es un polinomioc) 2x4 + 5x7 7x2 + 1Es un polinomiod) E = x3 2x-2 + x-9 + 3No es polinomioe) 3 + x + x2 + x3 + x4 + No es polinomio

f)No es polinomioADICIN DE POLINOMIOSSe presentan dos casos:1 Cuando los polinomios son de un solo trmino (adicin de monomios).Se escribe uno a continuacin del otro, procediendo luego a reducir los trminos que sean semejantes.Ejemplo 01: Reduce las siguientes expresiones: -4x4; +6x4; + 8x4; - 3x4.1. (-4x4) + (+6x4) + (+ 8x4) + (- 3x4)1. (-4 + 6 + 8 - 3) x41. 7x4.

Ejemplo 02: Efecta la adicin de:-12m2n3; 3m3n2; -9m3n2; 17m2n3; m3n2; -m2n3.(-12m2n3) + (3m3n2) + ( -9m3n2) + (17m2n3) + ( m3n2) + (-m2n3).(-12+17-1) m2n3 + (39+1) m3n2.4m2n3 - 5 m3n2.

2Cuando los polinomios tienen ms de un trmino.Se escriben los polinomios uno bajo del otro, o uno al costado del otro y luego se procede a reducir los trminos que son semejantes.Ejemplo 01: Efecta: M + N + P, si:M = 13x5 8x7 + 4x3 7; N = 3x7 x3 + 9; P = -12x5 + 5 x7.Solucin 1:Se ordenan en forma vertical los trminos semejantes y se reducen de acuerdo a sus respectivos signos.

Solucin 2Se escriben los trminos del polinomio uno al costado del otro con sus respectivos signo, luego se reducen trminos semejantes.=(13x5 8x7 + 4x3 7) + (3x7 x3 + 9) + (-12x5 + 5 x7)=(-8x7 + 3x7 - x7) + (13x5 - 12x5) + (4x3 x3) + (-7 + 9 + 5)=-6x7 + x5 + 3x3 + 7.OPUESTO DE UN POLINOMIOLlamamos opuesto de un polinomio, al mismo polinomio pero con todos los signos de sus trminos cambiados. As:-7x4y + 5x3 su opuesto: 7x4y 5x33a + 7b c su opuesto: -3a -7b + cm2 n3 + 6 su opuesto: -m2 +n3 6 -(2h2 h + 3) su opuesto: (2h2 h + 3)SUSTRACCIN DE POLINOMIOSPara efectuar la sustraccin de dos polinomios lo transformamos en una Adicin reemplazando el sustraendo por su opuesto.EJEMPLO 01: Efecta: (34x7z4) (-18x7z4)(34x7z4) + Opuesto (-18x7z4)1. (34x7z4) + (+18x7z4)1. (34 + 18) x7z41. 52 x7z4 EJEMPLO 02: Halla P(x) Q(x), si:P(x) = 9x4 +7x6 13x9 28x -3, y,Q(x) = -32x + 12x9 +7 8x6 +10x4.1. ( 13x9 +7x6 + 9x4 - 28x - 3) + Opuesto (12x9 8x6 +10x4 - 32x +7)1. (13x9 +7x6 + 9x4 - 28x - 3) + (-12x9 + 8x6 - 10x4 + 32x - 7)1. (13x9 - 12x9) + (7x6 + 8x6) + (9x4 - 10x4) + (- 28x + 32x) + (- 3 7)1. - 25x9 + 15x6 x4 + 4x - 10

PRACTICA DE CLASE

I.Efecta las siguientes operaciones de adicin:a) 2a; 3b; -5c.b) 3ab; b; a.c) 7m; -4m; 9m; -7m; m.d) h; -3k; -3h; 4k; 2y; -5h; 7y; -y; -8k.e) -9b; 10n; 3v; -14n; -6v; 7b; v; -b; nf) - 5mx+1; 43mx+2; 21mx+1; - 13mx+2; -17mx+1; -36mx+2; - mx+1; mx+2II.Efecta las siguientes sustracciones:a)Restar m de n.b) Restar (a + b) de (2a + 3b).c) Restar (2a 3x + u 7) de (4x 7u + 8a 13)d) De: -24xn+1 restar 25xn+1e) De: 4,8m3n7 restar 1,9m3n7.f) De: 7/8 x3y5z2 restar 3/4 x3y5z2 III.Efecta las siguientes adiciones:a) 21,5m3x2 + 0,8 m3x2 - 5,3 m3x2 +7,2mx - 8,4mx 9,3mx.b)(- 13, 5 b2c3 24 bc + 32,1 bc) + ( 19,6 b2c3 + 17,7 bc 25 b2c3).c)(4x 3y + 5z) + (-7x +6y 9z) + (10z 8z +2x).d)(1/4 m + 2/3 n 3/5 p) + (3/8 m 1/3 p 2/5 n) + (- m p + n).e)(2d 5m + 11k2 1) + (7m 13k214d + 9) + (-17k2 - 21m + 9d 1)IV.Efecta las siguientes sustracciones:a) De (m + n) restar (-m n)b) Restar (9x2 + 7y3) de (-12x2 7y3).c) De (x3y5 7x2y + 6xy3) restar (-7x2y +9xy3 x3y5).d) Restar (2/3 acm 1/9 bcm + 3/5 abc - 19) de (- 2/3 bcm + 7/9 acm 9/10 abc +18).e)De (3,6 mx 5,9 nx + 8,7mn 29) restar (-9,4 mn + nx 2,6 mx - 17)f)Restar (2x - 3x2 + 4x3 - 5x4 + 6x5) de (-7x5 4x2 + x 3x3 + 5x4)V.Dados los siguientes polinomios:P(x) = 5x3 7x2 + 3x 6Q(x) = 3x2 8x x3 + 4R(x) = x4 3x2 + 4x.Hallar:a) P(x) + Q(x)b) R(x) - P(x) c) R(x) - Q(x)d) 2 P(x) + 3 R(x) - 4 Q(x)e) 4 R(x) - 2 Q(x) - P(x)f) 7 Q(x) + 5 Q(x) - 6 R(x)g) 7 R(x) - 8 P(x) + 9 Q(x)

PRACTICA DOMICILIARIA

01)Si: A = x + y; B = -x y; C = x y; y, D = -x + y, halla el valor de:E = -{(A B) + (C D)}a) 2x + yb) 3x yc) x + yd) 3xe) 4x02)Sumar los polinomios: P = 3x3 + 4x2 + 2; y, Q = 21x2 + 4x + 1. Da como respuesta la diferencia de los coeficientes de los trminos de mayor y menor grado.a) 2b) 20c) 0d) 9e) 103)Sean los polinomios:A = 3x2 5x2y + 2xy2 + y3B = 6x2y 3xy2 2y3 + 2x3 x2C = y3 x2y2 + xy2 x3 2x2.Calcula: A + B + C.a) 3x2y2xy2+y3b) x33xy2y3c) x3-3x2y-3xy2-y3d) x3+x2y2-xy2e) 004)Halla: m + n, si se cumple que:m(x 2) + n(x + 1) = 4x 17.a) 4b) 3c) 7d) 10e) 1105)Sabiendo que: A = 2x2 5x + 1; B = x2 + 3x 1; C = 2 x + 3x2. Reduce la siguiente expresin: T = 2a - 2B C + (3a - C + 2a)a) 2x2-5x+1b) 2x2+x+1c) 2x2+7x+3d)6x2-2x+7e) x2+x-306)Al efectuar la sustraccin entre los polinomios A y B, qu se obtiene?A = 6x2 + 9x + 13; B = 4x2 + 13a) Un polinomio con 3 trminos.b) un polinomio con 5 trminos.c) Un polinomio con 2 trminos.d) 0e) 13

07)Suma los siguientes polinomios:R = x3y3 + 3x3 + y3 - x2y2S = 2x2y2 2x3y3 y3 + x3T = -4x3 + x3y3 x2y2a) x3b) x2y2c) y3d) 0e) x3y308)Si: m(x 2) + n(x 3) = 5x + 7.Halla: m + n.a) 3b) 5c) 9d) 25e) 1509)Dado los polinomios:A(x; y) = 3x5 - 5y5 + xy4 - 2x4y2;B(x; y) = -4x4y2 3y5 + 2x3y3;C(x; y) = -xy4 2x5 + 7x3y2;D(x; y) = -2x2y3 + 6y5 3x4y2.Calcula la suma de coeficientes de:R = A(x; y)+B(x; y)+C(x; y)+D(x; y)10)Si: a b: halla el valor de:

11)Dadas las expresiones, halla: P + Q - R.P(x) = x3 4x2 + 5x 1Q(x) = 2x3 + 3x2 4x + 3R(x) = 3x3 x2 + x + 2a) x2 1b) x3 - x 1c) 1 xd) 0e) N. A.

12)Restar: 5x38x2+5x+6, de 7x3+3x22x 8.a) 3x3-6x2-2x-3 b)2x3-5x2+3x-2c) 2x3-11x2+7x-8 d)2x3+11x2-7x-14e) N. A.

13)Si la suma de: (x 6y + 2z) con (3x -4y + 2z), es sustrada de (3y 4z + x), se obtiene como resultado:a) 13y-8z-3x b) 7y+5x c) 4x-10y+ 4zd) x- 6y + 2z e) 3x-8z-13y

14) Simplifica la siguiente expresin:x2+y2-(x2+2xy+y2)+(-x2+y2)+x(x+2y)a) y2b) yc) 2xyd) y2e) -2xy15)En cunto excede (3a2b3-5bx+16) a (12a2b3+3bx-12).a) a2b3-8bxb) a2b3-8bxc) a2b3-8bx+28d) a2b3+7bx-28e) N. A.16)Dados los polinomios, calcula la suma de coeficientes de: P(x; y) + Q(x; y). P(x; y) = 3x5 - 5y4 + 7x3y2; Q(x; y) = -4y4 -3x5 + 6x2y3.a) 1 b) 2c) 3d) 4e) 5 17)Al sumar los polinomios, determina la diferencia de los coeficientes de los trminos de mayor y menor grado.P(x; y) = 3x5 5y4 + 7x3y2;Q(x; y) = -4y4 3x5 + 6x2y3.a) -5b) -4c) -3d) -2e) -118) Dadas las expresiones: P(x; y) = 2x3+3x2-4x+5; Q(x; y) = 3x3+4x2-5; R(x; y) = -2x2+x3. Halla: Q P R.a) 3x2 + 4x -10 b) x3 + 2x2 - 3x - 10c) 2x3-2x2+7x-10 d) 6x3+5x2+4x-10e) N. A.19)Si: A = 0,8x + 2,4; B = 2,2x + 1,2; C = 2x + 3,6. Determina: A + B + C.a) xb) xc) 2xd) -2xe) N. A.20)Restar:(2,7y2 4,8y4 + 1,5) de (7,6y4 + 2,4y2 8,6). Determina la suma de los coeficientes de la diferencia.a) 1b) 2c) 3d) 4e) N. A.

21)Dados: P(x) = 4x2 5x + 3 Q(x) = 2x3 x2 + 5;calcula:P(x) + Q(x).a) 6x5 6x3 + 8 b) 2x4 + 3x3 5x + 8 c) 2x3 + 3x2 5x +8d) 2x3 + 4x2 5x + 8e) 2x3 3x2 5x +822)Suma los siguientes polinomios:A = x3y3 + 3x3 + y3 x2y2B = 2x2y2 2x3y3 y3 +x3C = -4x3 + x3y3 x2y2a) x3b) x2y2c) y3d) 0e) x3y323) En una clase de lgebra de m alumnos; n duermen, p cuentan chistes y el resto escuchan clase. Cul es el exceso de los que duermen y cuentan chistes sobre los que escuchan clase?a) 2(n + p) - mb) 2n + p mc) 2(n p) + md) 2(n+ p) + me) 2m + 2p m24) La edad de Manuel es de x aos. La de su hermano Csar es de y aos menos y la de su hermana Olga es z aos menos que la de Csar. Cunto suman las tres edades?a) 3x y + 2zb) 3x 2y 3zc) 3x 2y zd) 3x + y + 2ze) 3x + 2y z25) Mara tiene a soles menos que Sandra, y sta tiene b soles menos que Nataly. Si entre los tres tienen: (3x + 2a - b) soles, cuntos soles tiene Nataly? a) 3x + a 2bb) (x + a + b)/3c) 2x a + b/3d) 3x a + be) x + a + b/3

GUA DE APRENDIZAJE DE LGEBRA N 06TEMA: Operaciones con PolinomiosCONTENIDO: Multiplicacin de Polinomios.

MULTIPLICACIN DE POLINOMIOSEs la operacin en la que dados dos polinomios denominados multiplicando y multiplicador se obtiene otro denominado PRODUCTO.Debemos tener en cuenta la siguiente ley de signos:I.Signo del Producto de los factores.En una multiplicacin de dos trminos (factores) con signos iguales, sean los dos positivos o los dos negativos, el producto es positivo. Al multiplicar dos trminos con signos diferentes, uno positivo y otro negativo, el producto es negativo. As:(+) (+) = +(+) (-) = -(-) (-) = +(-) (+) = -Ejemplos:a) (-9x) (-8) = + 72x = 72xb) (12x2y5) (13xy4) = 156x3y9c) (-17 m3n7) (15 mn) = - 255m4n8d) (18 x5z8) (- 6x3z2) = - 108x8z10II.Signo del Producto de ms de dos factores. a) El signo del producto de varios factores es positivo (+), si tiene un nmero par de factores negativos o todos son positivos.Ejemplos:1. (-4x)(-7x3)(-3y)(-2y6)(5)= 840 x4y7.b) El signo del producto de varios factores es negativo (-), cuando tiene un nmero impar de factores negativos.(-8mx) (4m)(-2n) = 64m2nx.(-x)(-y)(-7)(-6x3)(-3xy) = -126x5y2III.Leyes de los Exponentes.Para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la misma base y se pone por exponente la suma de los exponentes de los factores.1. x3.x6.x7.x2.x5 = x3+6+7+2+5 = x231. m4.n5.m3.n8.m-5n-9 = m4+3-5n5+8-9 =1. m2n4.IV. Ley de los coeficientes.El coeficiente del producto de dos factores es el producto de los coeficientes de los factores.1. (-37x)(6my) = -222 mxy.1. (- 29mx3)(- 65 ny) = 1885 mnx3y

Se presentan los siguientes casos:

1 Multiplicacin de monomios.Para multiplicar monomios se multiplican primero los coeficientes (de acuerdo a la ley de los signos) y luego las partes literales de acuerdo a la siguiente propiedad: am . an = am+nEjemplo 01: Si: A = -7x6 B = -9x8, halla: A x B.1. A x B = (-7x6) (-9x8)1. A x B = (-7) (-9) (x6) (x8)1. A x B = 63 x14.Ejemplo 02: Dados: M = 3/5 m4n2; N = 10/11 m9; P = 7 1/3 n3. Halla: M. N. PMNP=(3/5)(10/11)(7 1/3)(m4n2m9n3)MNP=(3/5)(10/11)(22/3)(m13n5)MNP= 4 m13n52 Multiplicacin de un monomio por un polinomio.En este caso, se multiplican cada uno de los trminos del polinomio por el monomio dado.Ejemplo 01: Si: A = -7x4y7 B = 8x5 12 x7y6 +7xy9 13. AB = (-7x4y7) (8x5 12 x7y6 + 7xy9 13).1. AB=(-7x4y7)(8x5)+(-7x4y7)(-12x7y6) + (-7x4y7)(7xy9) + (-7x4y7)(-13) 1. AB = -56x9y7 + 84x11y13 49x5y16 + 91x4y7.Ejemplo 02: Dados: M = 0,06x4y3 0,02xy + 1,64 N = 1,5 x3y8. Halla: M x N.1. M x N = (0,06x4y3 0,02xy + 1,64)(1,5 x3y8).1. M x N =(0,06x4y3)(1,5 x3y8)+( 0,02 xy) (1,5 x3y8) + (1,64) (1,5 x3y8).1. MN = 0,09 x7y11 0,03 x4y9 + 2,46x3y8.3 MULTIPLICACIN DE POLINOMIOS.Para multiplicar polinomios se debe tener en cuenta lo siguiente:a) Los polinomios deben estar ordenados y completos con respecto a una sola letra o variable. En caso faltare uno o ms trminos, stos se completarn con ceros.b) Luego se multiplican cada trmino de uno por cada trmino del otro y luego reducimos os trminos semejantes.Ejemplo 01: Halla el valor de:(7x2 4x + 9)(3x 8)1ra. Solucin1. 7x2(3x 8) -4x (3x 8)+9 (3x 8)1. 21x3 56x2 -12x2 + 32x + 27x 721. 21x3 68x2 + 59x 72

2da. Solucin

Ejemplo 02: Halla el valor de:E = (7x6y7 9x5y + 12) (12x5y4 +6xy3)Solucin: Ordenamos con respecto a x, y resolvemos:

PRACTICA DE CLASE

1)Multplica los siguientes monomios:a) (a5)(a6)(a7)(a2) =b) b8. b4. b-7. b9. b =c) (x3)(x5y8)(xy)(x2y2) =d) (2/3 d9)(9/8 e7)(de) =e) (3 abc)(27 a3b6)(bc12) =f) (5 k4m)(2 k3m9)(-10 km5) =2)Multiplica el monomio por el polinomio en los siguientes casos:a) (7a + 8) 9x =b) -7xy (12x + 15y x4y8 =c) (3v2 + 9h7 81) (1/3 d) =d) 0,14bx (0,5b3x + 1,2b6x7) =e) (xm - 7 xm-1 + 3 xm-2) (3 x2) =f) -1/5 abc (3/4 b2c - 1/2 ac5 + 15 a) =3) Multiplica los siguientes polinomios:a) (d + 5) (d 7) =b) (3m + 9) (7m 8) = c) (2ab 11) (2ab + 11) =d) (x + y) (x2 xy + y2) =e) (0,7 h2 0,6 h + 0,3) (1,2 h 9) =f) (2/3 u2 + 1/2 u -6) (3/2 u2 3/4 u) =g) (2x + 2) (2x - 2) =h) (2x + 3y 4z) (-3x 4y + 2z) =i) (3/5 m3 2/9 n) (45 m + 90) =j) (0,06 e3 + 0,08 e2 0,02 e 0,04) (0,5 e - 25) =

4) Dados los siguientes polinomios:P(x) = 4x2 + 5x + 7 Q(x) = 3x 9R(x) = x2 4.Halla el valor de las siguientes expresiones:a) P(x). Q(x) =b) Q(x). R(x) =c) R(x). P(x) =d) 2 P(x). 7 Q(x) =e) 5 Q(x). 9 R(x) =f) P(x). Q(x). R(x) =PRCTICA DOMICILIARIA1) Efecta:(a + b)x + (b + c)y - (a - b)x (b - c)y - 2b(x + y).a) a + b + cd) x + yc) 0d) xy e) ax + by

2) En la expresin algebraica. x = (2ab2)/3c. Si a se triplica, b se duplica y c se multiplica por 6, entonces x:a) Se multiplica por 4/3.b) Se duplica.c) Se multiplica por 2/3.d) No vara.e) se multiplica por 3/2.

3) Halla el equivalente de:(x2 + x 1) (x2 x + 1).a) x3 + x2 1b) x4 x3 + x2c) x4 + x2 + 1d) x4 x2 +1e) x4 2x2 + 1

4) Si el trmino independiente del producto es igual a 1440, halla el valor dem.(x + 3)2 (x + 2)2 (x m)2 (x2 +5).5) Al multiplicar: (x3 x2y + xy2 y3) (x2 -2xy + y2). El trmino de la forma: Kx3y2 que se obtiene es:a) 4 x3y2b) -13 x3y2c) -3x3y2d) - x3y2e) N. A.6)Si: 3m + n = 7, entonces, halla el valor de 9m + 3n.a) 7/9b) 7/3c) 10d) 21e) 637)Si el producto de: (x2a+1y2b-1) (xb-2ya+1), es: x6y8; calcula: a + b.a) 5b) 6c) 7d) 4e) 88)Simplifica el siguiente producto:(1 1/3)(1 1/4)(1 1/5)(1-1/n)a) 1/nb) 2/nc) (2n 2)/nd) 1e) N. A.9) Halla el trmino independiente de:(7y + 5)4.a) 5b) 25c) 125d) 625e) No se puede10)Reduce:H = (a + b + c) (a b + c) + (b a + c) (a + b c)a) a + cb) 2acc) a cd) ace) 4ac11) Reduce:M =(x + 1)2(x + 2)2(x+3)2+(x + 4)2 .a) 3b) 4c) 2d) 1e) 013)Reduce: a) ab) a3c) a2d) a2 e) -114) Efecta: (x + 1)2 (x- 2)2.a) 2x 1b) x + 1c) 6x 3d) 7x + 3e) 2x15) Resuelve: 7(x 7)2 7(x + 7)2a) 196b) 196xc) -196xd)192xe) -192x

16) Halla el trmino independiente del siguiente producto:7(x2 + 10x 3) (x4 5 + 2x)a) 100b) -21c) -15d) 105e) 1517) Cul es el trmino independiente del producto: (x2 5x + 3) (-3x + 1)?a) -1b) 3c) -3d) -2e) 518) Halla el trmino independiente de z, al efectuar: (3z + 2)6.a) 8b) 16c) 32d) 64e) 12819)Al multiplicar (x 7) (2x + 5m) (x + 5). Se obtiene como trmino independiente 350. Segn esto, cul es el valor de m?a)2b) 3c)4d) 5e) 620)Reduce: (x + y + 1)2 (x + y 1)2a) 4(x + y)b) x(2y + 1)c) 4x(y + 1)d) 4y(x + 1)e) x + y 121)Si: a2 + b2 = 26; ab = 5 (a>b), halla: (a - b)/4a) 3b) 1c) -1d) 0e) 222)Si: a = 4 + 7; b= 4 - 7. Calcular: (a + b + 1)/ab.a) 1b) 2c) 3d) 4e) 523)Si: 1/m + 1/n = 16; {m; n} Z+, calcula:

a) 2b) 5c) 4d) 3e) 0