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Ciclo Verano 2009 Colegios Bryce – Joyce – Freud Álgebra

CAPÍTULO ISESIÓN Nº 1

EN EL AULA

INTRODUCCIÓN

Rama de la matemática en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división potenciación y cálculo de raíces. La aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que: “en un triángulo el área del cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado los catetos”. La aritmética sólo da casos particulares de esta

relación (por ejemplo, 3; 4 y 5 ya que 32 + 42 = 52). El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones del

teorema: a2 + b2 = c2. Un número multiplicado por sí mismo se denomina cuadrado, y se representa con el superíndice 2. Por ejemplo, la notación de 3 x

3 es 32; de la misma manera, a x a es igual que a2.

El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, una buena definición de álgebra es la que dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.

PARA LA CASA

RESUELVE EN TU CUADERNO

CUESTIONARIO

1. ¿De que no es capaz la aritmética?2. ¿Qué dice el teorema de Pitágoras?3. Grafica el teorema de Pitágoras.4. ¿De qué se ocupa el álgebra clásica?5. ¿Cómo consideran los matemáticos el

álgebra moderna?

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La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver

ecuaciones lineales (ax=b) y cuadráticas (ax2+bx=c), así como ecuaciones indeterminadas como

x2+y2=z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan.

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Colegio BRYCE – Pedregal

Ciclo Verano 2009 Colegios Bryce – Joyce – FreudÁlgebra

SESIÓN Nº 2

EN EL AULA

LA LIBERTAD

La libertad es la posibilidad que tenemos de decidir por nosotros mismo cómo actuar en las diferentes situaciones que se nos presentan en la vida. El que es libre elige, entre determinadas opciones, la o las que le parecen mejores o más convenientes, tanto para su bienestar como para el de los demás o el de la sociedad en general. Las personas libres piensan muy bien lo que van a hacer antes de decidirse a actuar de una u otra manera; pues saben que la libertad no es sinónimo de hacer "lo que se nos dé la gana", y que la mayoría de nuestros actos tiene consecuencias buenas o malas, según el grado de responsabilidad con el que actuemos.

Para ser libres ...

• Participemos activamente, mediante el voto (si se trata de elegir gobernantes) o la expresión de nuestras ideas, en la toma de decisiones que afectan nuestra vida personal, familiar o social.

• Defendamos nuestra privacidad.

• No aceptemos presiones de nadie para hacer algo que no queremos o con lo que no estamos de acuerdo.

• Forjémonos una personalidad propia mediante el cultivo de la honradez, la sinceridad, la reflexión y la independencia de criterio.

LA ESCLAVITUD

La esclavitud se da cuando no somos dueños de nuestros actos ni decidimos por nosotros mismos acerca de lo que queremos o es mejor para nosotros. El esclavo actúa porque se le lo mandan, sin cuestionar las órdenes que recibe, aun cuando estas vayan contra sus principios o perjudiquen a sus compañeros o a la sociedad. En nuestro tiempo, la esclavitud (aunque no tenga ese nombre) se presenta cuando una persona renuncia a ser ella misma y permite que otros decidan por ella o la menejen a su antojo.

Así como podemos ser esclavos de otras personas, de una institución o de un régimen político, también podemos serlo de un vicio, una mala costumbre o un capricho. Todo aquello que nos tiraniza y contra lo cual no oponemos resitencia nos convierte irremediablemente en esclavos.

Obstáculos para la libertad...

• El miedo: nadie puede actuar libremente cuando está sometido al permanente temor de ser castigado o censurado.

• La ignorancia: la falta de educación y de conocimiento hace que muchas personas acepten a ciegas todos lo valores y doctrinas que otros les imponen.

• El conformismo: los que se conforman con lo que son, con lo que saben y con lo que tienen

difícilmente se aventurarán a ir más allá de lo que ya conocen; en consecuencia, es improbable que experimenten la emoción y el valor de ser libres.

SESIÓN Nº 3

EN EL AULA

"El álgebra es generosa:a menudo da másde lo que se le pide".

Jean le Rond D’alembertFilósofo, físico y matemático francés del siglo XVIII

HISTORIA

La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas

(ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas

como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. También fueron capaces de resolver algunas ecuaciones indeterminadas.

Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se le llamó "ciencia de reducción y equilibrio". (La palabra árabe al-jabru que significa "reducción", es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el matemático al-Jwarizmi; escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las

variables x, y, z que cumplen: x + y + z = 10; x2 + y2

= z2; y x.z = y2.

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En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Esta álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio. El matemático, poeta y astrónomo persa Omar Khayyam mostró cómo expresar las raíces de ecuaciones cúbicas utilizando los segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas, aunque no fue capaz de encontrar una fórmula para las raíces. La traducción al latín del Álgebra de al-Jwarizmi fue publicado en el siglo XII. A prinicpios del siglo XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución de la ecuación

cúbica x3 + 2x2 + cx = d. Fibonacci había viajado a países árabes, por lo que con seguridad utilizó el método arábigo de aproximaciones sucesivas.

CUESTIONARIO

1. ¿Quiénes resolvían, en la antigüedad, cualquier ecuación?

2. ¿Qué hicieron los matemáticos Heron y Diofante?

3. ¿Cuál es el origen de la palabra “Álgebra”?4. ¿Qué fue lo que hizo el matemático Abu

Kamil?5. ¿Qué matemático sobresalio a principios del

siglo XIII y porqué?

PARA LA CASA

(CONTINUACIÓN)A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardamo resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el matemático noruego Niels Abel y el francés Évariste Galois demostraron la inexistencia de dicha fórmula.

Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, se símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría

contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo

En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polínómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas. Dos ejemplos de dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas numéricos, aunque también difieren de ellos de manera sustancial. Los grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones de las raíces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los más importantes conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo XIX. Los matemáticos franceses Galois y Augustin Cauchy, el británico Arthur Cayley y los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estilo. Las cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton, quien desarrolló la aritmética de los números complejos para las cuaternas; mientras que los números complejos son de la forma a + bi, las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk.Después del descubrimiento de Hamilton el matemático alemán Hermann Grassmann empezó a investigar los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico estadounidense J. W. Gibbs encontró en el álgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo que Hamilton había hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llevó a George Boole a escribir Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde entonces, el álgebra moderna -también llamada álgebra abstracta- ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y en muchas otras ciencias.

ACTIVIDADElabora un Mapa Conceptual con nombres y su labor destacada, de la Continuación de la lectura anterior.

"El olvido de las matemáticas perjudica a todo el conocimiento, ya que el que las ignora no puede conocer las otras ciencias ni las cosas de este

mundo".Roger Bacon

Filósofo inglés del siglo XIII

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SESIÓN Nº 4

EN EL AULA

LA MATEMÁTICA EN LA HISTORIA

A lo largo de la historia del ser humano, la matemática ha mantenido una evolución en todas sus áreas permitiendo al hombre hacer frente a problemas que en cuyo inicio fueron originados por situaciones cotidianas y que posteriormente surgieron a raíz de la propia evolución de esta ciencia.

El álgebra, siendo una de las principales áreas de la matemática, tuvo un inicio que se remonta aproximadamente al año 3000 a.C. Fue la cultura babilónica la que dejó indicios en sus "tablas cuneiformes" sobre las nociones básicas para la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado.

Posteriormente, Diofanto (325 - 410 d.C.) en su obra "Aritméticas", difunde la teoría sobre las ecuaciones de primer y segundo grado influenciado por los trabajos de los babilonios.

Luego, durante la Edad de Oro del mundo musulmán, a la cual corresponde la Edad Media del Mundo Occidental, aproximadamente 700 - 1200 d.C., el árabe fue la lengua internacional de las matemáticas. Los matemáticos árabes conservaron el patrimonio matemático de los griegos, divulgaron los conocimientos matemáticos de la India, asimilaron ambas culturas e hicieron avanzar tanto el álgebra como la trigonometría.

Es durante esta época que surge la figura de Mohammed Ibn Musa Al - Khwarizmi (780 - 850 d.C.) llamado por algunos "Padre del álgebra". Escribió varios libros sobre geografía, astronomía y matemática.

En uno de sus libros "Al - jabr - wa’l muqäbala", aparece la palabra "Al Jabr" de la cual deriva la palabra "ÁLGEBRA". "Al Jabr" significa «restauración», refiriéndose al equilibrio de una ecuación mediante la transposición de términos. "Muqäbala" significa "simplificación", refiriéndose a la reducción de términos semejantes en cada miembro de una ecuación.

Otros matemáticos que dieron gran impulso al desarrollo del álgebra, fueron: Niccolo Fontana, llamado TARTAGLIA ("El Tartamudo"), matemático italiano que centró su trabajo en la ecuación cúbica.

Girolamo Cardano, en su obra: "Ars Magna" publica un resultado similar a TARTAGLIA. Ludovico Ferrari, trabajó investigando las ecuaciones de cuarto grado. Francois Vietté emplea las letras en el álgebra, utilizando las primeras (a, b, c, ...) para representar cantidades conocidas, y las últimas (z, y, w, x, ...) como incógnitas.

Como habrás visto, todos los matemáticos mencionados son extranjeros, sin embargo, también existieron matemáticos peruanos que trabajaron para el desarrollo del álgebra; podemos mencionar a Cristóbal de Losada y Puga, Godofredo García, José Tola Pasquel, y principalmente Federico Villarreal.

CUESTIONARIO

De la lectura anterior, responde las siguientes preguntas:

1. ¿Qué cultura es considerada como la iniciadora del álgebra?

2. ¿En qué temas basó su investigación DIOFANTO?

3. ¿Cuándo nació aproximadamente Al - Khwarizmi?

4. Del año 700 al 1200 d.C., la lengua internacional de la matemática fue:

5. ¿Quién es considerado «Padre del álgebra?6. ¿Sobre qué materias escribió Al - Khwarizmi?7. ¿De dónde se deriva la palabra ÁLGEBRA?8. ¿Qué significa la palabra "Al - jabr"?9. ¿Qué otros matemáticos impulsaron el desarrollo

del álgebra?10.Menciona a matemáticos peruanos

investigadores del álgebra11. ¿Por qué crees que es importante la

matemática para el ser humano?12. Resume brevemente la lectura anterior:

¿Sabías qué?

La palabra "álgebra" tiene dos significados, además del que ya conoces, hay otro. Álgebra es también "el arte

de reducir las dislocaciones" y Algebrar significa "vendar o curar una dislocación o fractura ósea".Sin embargo, no vayas a pensar que nuestro curso tiene que ver con huesos, dislocaciones, fracturas, etc. Nuestro curso es muy diferente.

Disfrútalo!!!

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SESIÓN Nº 5

EN EL AULA

LA AUTOESTIMA

La suma de pensamientos y emociones que manejamos sobre nosotros mismos es lo que llamamos autoestima. Lo ideal es mantenerla siempre alta, en pocas palabras, querernos mucho. ¿Te parece una tontería? Pues no lo es. Cuanto más nos amemos (lo cual no significa convertirnos en vanidosos) mejores serán nuestras relaciones con los demás, y más grata será nuestra presencia para ellos. ¿Te has fijado cómo las personas seguras son por lo general muy simpáticas? Quienes tienen una autoestima saludable son capaces de alcanzar metas más altas, pues no temen equivocarse. Si fracasan en algo, siempre extraen alguna enseñanza, ya que no se juzgan por sus éxitos: saben que valen por lo que son.Para querernos más...• Debemos conocernos más. ¿Cómo amarnos, si

no? Pocas veces nos detenemos para hacernos preguntas como: ¿Quién soy yo realmente? ¿Qué me gusta en verdad, y qué no?

• Mantengamos una actitud mental positiva. En realidad, podemos lograr todo aquello que nos propongamos.

• Ten confianza en ti mismo, o en ti misma. No hay otra persona igual a ti en todo el universo. Eres especial.

Cuando no nos queremos lo suficienteLa baja autoestima es peligrosa. Podemos

reconocerla porque nos lleva a sentirnos tímidos, inseguros acerca de quiénes somos y de lo que hacemos. Las personas con baja autoestima no se atreven a emprender retos o tomar decisiones y, por lo tanto, se pierden de experiencias interesantes. Cuando alguien hace un juicio negativo sobre ellas (por ejemplo, si les dicen "¡qué gorda o qué gordo estás!") se deprimen y de inmediato piensan que valen poco. Recordemos, pues, que el concepto que tenemos acerca de nosotros no tiene por qué depender del juicio de los demás. Si en el fondo de nuestro corazón sabemos que estamos haciendo bien, y que somos valiosos digan lo que digan, entonces habremos dado uno de los pasos más importantes hacia nuestra realización personal.

Obstáculos para la autoestima ...• La presión que, lamentablemente, viene de casi

todas partes: los amigos, la publicidad, el cine, la moda. Pareciera que son los demás quienes dictan cómo debemos hablar, qué debemos comer, cómo debemos vestirnos y qué cosas debemos comprar para ser aceptados. Recuerda siempre que tú eres especial, y no tienes por que copiar la conducta de nadie.

• No saber reírnos de nosotros mismos.

CAPÍTULO IIOPERACIONES CON TÉRMINOS

SEMEJANTES I(Adición y sustracción)

SESIÓN Nº 6

EN EL AULA

MARCO TEÓRICO

Las operaciones con términos algebraicos, involucran de manera categórica las nociones que se deben tener al sumar, restar multiplicar y dividir números racionales. Esto es debido a que para sumar o restar expresiones algebraicas, trabajaremos básicamente con coeficientes.

Comenzamos con las siguientes definiciones:

TÉRMINO ALGEBRAICO:

Es una expresión matemática que consta de tres partes:

- Coeficiente- Variable- Exponente

Es un término algebraico

x3 y5- 7

2

No es término algebraico

sen (3x5)

TÉRMINOS SEMEJANTES:

Son aquellos términos que poseen la(s) misma(s) variable(s) con su(s) respectivo(s) exponente(s).

Ejemplos:Son Términos semejantes

2x2; 2x

57

; 5x2

No son términos semejantes

5y4 ; 8x

32

; 7a3

¿Cómo se reducen términos semejantes?

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Una manera práctica, es agrupar todos los términos positivos, luego, los términos negativos, y al final restar ambos resultados, colocando el signo del "mayor".

Ejemplo:

Simplificar:

-7x + 11x - 10x - 3x + 21x - 2x

Solución:

O bserva cóm o se han agrupado los coeficien tes pos it ivos conserva ndosu prop io signo

-7x + 11x - 10x - 3x + 21x - 2x

-22x + 32x

= + 10x

O bserva cóm o se han agrupado los

coeficien tes negativo s

con su prop io signo

Historia de los signos

¿Sabias qué?

Los signos de las operaciones de adición y sustracción no se empezaron a usar hasta el siglo XV. La primera vez que aparecieron impresos fue en un libro de Aritmética Comercial escrito en 1489 por Johann Widman, un maestro calculista alemán.

Antes se utilizaban las letras "p" y "m" del latín "plus" (+) y "minus" (-) respectivamente.

Los signos para las operaciones de multiplicación y división son más modernos, fueron intro-ducidos en el siglo XVII (concretamente en 1657) por William Oughted.

Solo un par de años después, Johann Rahn en su libro "Álgebra alemana", utiliza por primera vez el signo " " para indicar la división.

SESIÓN Nº 7

EN EL AULA

1. Efectuar: 5x + 6x + 7x

a) 12x b) 15x c) 18xd) 21x e) 23x

2. Reducir: 5x - 6x + 7x - 8x + 9x

a) 5x b) 6x c) 7xd) 8x e) 9x

3. Efectuar:4xy - 5xy + 6xy + 7xy - 8xy

a) 4xy b) 5xy c) 7xyd) 6xy e) 8xy

4. Reducir:5m + 6m + 7m - 18m

a) m b) 0 c) -md) 2m e) -2m

5. Calcular: 3 + 3 + 3 + ... + 3

si hay 33 sumandos.

a) 33 b) 55 c) 66d) 3 e) 99

6. Calcular:

sumandos 36

4...444

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

7. Reducir:3ab - 4bc - 5ab + 6bc

a) -2ab+bc b) -2ab+2bc c)-2ab- 2bcd) -ab + 2bc e) 2ab - 2bc

8. Reducir:3xy + 4xy - 5xz - 6xz - 7xy

a) -xz b) xz c) -11xzd) 11xz e) 7xy - xz

9. Reducir:3a + 4a + 5a - 3(4a + 5)

a) -15 b) -15a c) 24ad) 24a + 15 e) -24a – 15

10.Reducir:-6x + 5 - 3(-2x + 4)

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a) -1 b) -3 c) -5d) -7 e) -9

11.Reducir:3x + 4(3x - 4) + 5x + 4 (-5x + 4)

a) 7x - 8 b) 7x c) 7x + 8d) 0 e) -8

12.Reducir: 2x(3 - y) + 3y (2 + x) - 6(x + y)

a) -xy b) xy c) 2x+ 3yd) 3x + 2y e) -3x - 2y

PARA LA CASA

1. Reducir:2(x + 4) - 3(x + 3) + 4(x - 2)

a) 3x b) 3x + 9 c) 9d) 3x - 9 e) -9

2. Reducir:

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

3. Reducir:

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

4. Reducir:

)x2(3)9x(3)4x(21x

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 6

5. Reducir:5(2x + 3) - 4(7x - 4) + 3(6x - 5)

a) 12 b) 16 c) 14d) 18 e) 10

6. Efectuar:2(a - b) + 4(a+b) - 6(a - b) - 8(a + b)

a) -4a b) -8b c) 8bd) 4a e) -8a

7. Reducir:-2(3x - 4) - 3(4x - 5) + 4(5x - 6)

a) 2x - 1 b) 2x + 1 c) -2x - 1d) -2x + 1 e) 2x

¿Sabias qué?

Se dice que una cuenta bancaria está en números rojos cuando tiene un saldo negativo (se ha sacado más dinero de lo que había y le debemos una cantidad al banco).

La expresión «números rojos» viene de que antiguamente en los libros de contabilidad se registraban las cifras positivas (ganancias) en negro y las negativas (pérdidas) en color rojo para que no hubiera errores.

SESIÓN Nº 8

EN EL AULA

LA HONESTIDAD

Cuando un ser humano es honesto se comporta de manera transparente con sus semejantes, es decir, no oculta nada, y esto le da tranquilidad. Quien es honesto no toma nada ajeno, ni espiritual ni material: es una persona honrada. Cuando se está entre personas honestas, cualquier proyecto humano se puede realizar y la confianza colectiva se transforma en una fuerza de gran valor. Ser honesto exige coraje para decir siempre la verdad y obrar en forma recta y clara.

Para ser honestos...

• Conozcámonos a nosostros mismos.• Expresemos sin temor lo que sentimos o pensamos• No perdamos nunca de vista la verdad.• Cumplamos nuestras promesas• Luchemos por lo que queremos jugando limpio.

LA DESHONESTIDAD

Cuando alguien miente, roba, engaña o hace trampa, su espíritu entra en conflicto, la paz interior desaparece, y esto es algo que los demás perciben, porque no es fácil de ocultar. Las personas deshonestas se pueden reconocer fácilmente, porque engañan a los otros para conseguir de manera abusiva un beneficio. Es muy probable que alguien logre engañar la primera vez; pero, al ser descubierto, será evitado por sus semejantes o tratado con precaución y desconfianza.

Obstáculos para la honestidad

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• La impunidad, que demuestra que se pueden violar las leyes y traicionar los compromisos sin que ocurra nada.

• El exito de los vivos y los mentirosos, quienes hacen parecer ingenuas a las personas honradas y responsables, pues con frecuencia trabajan más y consiguen menos que aquellas que viven de la trampa.

• La falta de estímulos y reconomiento a quienes cumplen con su deber y defienden sus principios y convicciones, a pesar de las dificultades que esto les puede acarrear.

AUTOEVALUCIÓN

1. Reducir la siguiente expresión:

J = a + 2b - 3a - 4a + 5b + 6a - 7b

a) 0 b) 3a c) -3a+2bd) a-3b e) 2a+5b

2. Calcular: x + 2x + 3x + ... + 8x + 9x

a) 90x b) 43x c) 100xd) 45x e) 44x

3. Reducir: 3(8x + 3) - 4(6x - 4) - 25

a) 0 b) 2x c) -2xd) -1 e) 1

4. Simplificar: 2a + 5b + 3(a - b) - 5a

a) 2a b) a + b c) 2bd) a - b e) 0

5. Reducir:

x8)2x(3)1x(3)3x(2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5as

CAPÍTULOIII

"Un matemático que no es también un poco poeta, no será jamás un matemático completo".

Karl WeierstrassMatemático alemán del siglo XIX

Operaciones con términos semejantes II

(Coeficientes racionales IQ )

El tema de hoy es muy similar al del capítulo anterior, con la única diferencia que ahora los coeficientes son números racionales (Q ).

Sin embargo, es bueno recordar las operaciones con fracciones y decimales, pues esto nos permitirá hacer los cálculos respectivos de una manera más rápida.

Veamos los siguientes ejemplos:

3029

3062015

51

32

21

· 6061

60452036

43

31

53

·

325

1605280

52...

52

52

veces80

·

veces70 veces21

51...

51

51

75...

75

75

=11415

570

7105

5170

7521

Ahora completa resolviendo los siguientes ejercicios:

· 51

21

72

·

veces27 veces35

32...

32

32

54...

54

54

· 73

21

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· 52

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SESIÓN Nº 9

EN EL AULA

1. Efectuar:

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Telf.

572

08

2


a) 13x b) 15x c) 17xd) 19x e) 21x

2. Reducir:

sumandos 40sumandos 60

)x3...x3x3()x2...x2x2(

a) 0 b) x c) 3xd) 240x e) 120x

3. Efectuar:

x + x + x + .. . + x

123 sum andos

a) 123x b) 132x c) 213xd) 312x e) 321x

4. Reducir: -x + 2x - 3x + 4x - 5x + 6x - 7x + 8x

a) x b) 2x c) 3xd) 4x e) 0

5. Simplificar: -x + 2x - 3x + 4x - ... -99x + 100x

a) x b) 0 c) 50xd) 55x e) 25x

6. Reducir:


x43...x

43x

43x

3...x

34x

34

a) 30x b) 25x c) 20xd) 15x e) 10x

7. Simplificar:


mn35...mn

35mn

35mn

23...mn

23mn

23

a) 20mn b) 90mn c) 0d) 54mn e) mn

PARA LA CASA

8. Reducir:

x21x

31x

52

a)x

151

b)x

1517

c)x

3017

d)x

32

e)x

51

9. Simplificar:

x53x

27x

32

a)x

52

b)x

372

c)x

6730

d)x

3067

e)x

3067

10.Efectuar:

x65x

31x

21

a) x b) 1 c) 0d) 6x e) 7x

11.Efectuar:(3a + 4b + 5c) - (3c + 4b + 5a) + 2a

a) 2a b) 2c c) ad) c e) 2a - 2c

12.Reducir: 4x - [3x + 2y - (x + 2y)]

a) x b) 2x c) -xd) -2x e) 2x - 4y

SESIÓN Nº 10

EN EL AULA

1. Reducir:

2(x + 2) + 3(2x + 3) + 4(3x + 4) - 5(4x)

a) 23 b) 25 c) 27d) 29 e) 31

2. Reducir:

3(a2 + 3a) + 4(a2 + 4a) + 25a2 - 25a

a) 4a2 b) 8a2 c) 16a2

d) 32a2 e) 64a2

3. Efectuar:

3a2 - (2a2 - b2) - (a2 + 3b2) + 2b2

a) a2 b) 2a2 c) b2

25

B

RYC

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RE

GA

L -

Calle

: Ya

nah

uara

J7

- J8

(al co

stado d

e R

ad

io la U

nió

n)

Telé

fono:

586

21

7



d) 2b2 e) 0

4. Efectuar: 5m - [4m - (3m + n) + 2n] - 3n

a) 2m - 2n b)3m - 3n c) 4m - 4n d) 5m - 5n e) m - n

5. Reducir:3x - {-2x + (x - 2y)} - (-[-x] + 2y)

a) 2x b) 4x c) 6xd) 2y e) 3x

6. Efectuar:

x23

6xx

32

a) -x b) 4x c) -3xd) -2x e) 2x

PARA LA CASA

7. Reducir:

x49x

47x

45x

43

a) -2x b) x c) 0d) 2x e) -x

8. Reducir:

x138x

137x

136x

135

a) x b) 2x c) 3xd) 4x e) 5x

9. Simplificar:

veces25 veces10

x751...x

751x

751x

307...x

307x

307

a) x b) 2x c) 3xd) 4x e) 5x

10.Efectuar:

veces60 veces35

x154...x

154x

154x

72...x

72x

72

a) -6x b) -x c) 2xd) -2x e) 40x

SESIÓN Nº 11

EN EL AULA

LA SATISFACCIÓN

Sólo existen dos instrumentos para crear y realizar a un ser humano: el estudio y el trabajo. Toma en cuenta además las siguientes consideraciones: la propia índole de nuestra naturaleza nos inclina hacia aquello que nos produce satisfacción; estudiar constituye la actividad propia del estudiante; sólo a través del estudio nos vamos a aproximar a nuestros objetivos y metas; entonces, es de una sabiduría elemental tratar de relacionar esto dos factores:

Estudio = satisfacciónIgnorancia = insatisfacción

Pon en práctica el siguiente consejo: como a todos nos gusta "ganar" toma el estudio como si fuese un reto o un desafío. ¿Aprendere?, ¿comprendere?, ¿recordare?, ¿aprobare?

Cuando se obtengan respuestas afirmativas a estas interrogantes, se estará "ganando", y ese "ganar" producirá una satisfacción interior que nos llevará a desear el estudio y a disfrutar con él.

AUTOEVALUACIÓN

1. Efectuar:

x1121x

1112

a) x b) 2x c) 3x d) 4x e) 5x

2. Reducir:

3a2

4a3

a) a/4 b) a/3 c) a/12 d) –a/4 e) – a/ 3

3. Efectuar:

3x - [2x + (x - 5)]

a) x+5 b) -x-5 c) x – 5 d) x e) 5

4. Reducir:

a - (b -a) + (-b + a) - (-b - a) - (-b)

a) 5a b) 4b c) 3ad) 4a e) 3b

5. Reducir:

x23x

31x

51

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io 2

62

– 2

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med

ia d

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Telf.

572

08

2


a) x

3029

b) x

1645

c) x

3029

d) x

295

e) x

307

.. Aquí un reto!!!

Los animales son tan lindos!!! Tengo varios en casa, todos son gatos, menos dos, todos son perros menos dos y todos son loros menos dos, ¿adivinas cuántos animales tengo?

CAPÍTULO IV

POTENCIACIÓN I

MARCO TEÓRICO

Potencia es el resultado obtenido al multiplicar un número, llamado BASE, cierta cantidad de veces; esta cantidad es el EXPONENTE.

Ejemplos:

· 32222222

base

5 veces5

· 8133333

base

4 veces4

Exponente natural:

n

veces"n"

aa . ... . a . a ; n lN, a lR

Propiedades

1. am . an = am+n ; m,n lN

2.n

m

aa

= am-n ; m, n lN

3. a0 = 1 ; a 0

4. 0n = 0 ; n 0

SESIÓN Nº 12

EN EL AULA

1. Efectuar en cada caso:

a) x5 . x7 . x9 . x11

b) m10 . m12. m14. m16

c) a . a3 . a5 . a7

d) x . x2 . x3 . x4 ... x9

2. Reducir cada expresión:

a)68

1012

b .ab .a

b)2010

2515

n .mn .m

c)m2

m4

22

d)2001

2002

mm

3. Efectuar:

121

221

xx

a) x50 b) x100 c) x150

d) x200 e) x250

4. Calcular:

factores 30

3...333

a) 320 b) 330 c) 90

d) 310 e) 30

5. Calcular:

21 x 22 x 23 x 24

a) 1 024 b) 512 c) 256d) 128 e) 64

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: Ya

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J7

- J8

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stado d

e R

ad

io la U

nió

n)

Telé

fono:

586

21

7



6. Reducir:

x . x2 . x3 . x4 . ... .x19 . x20

a) x20 b) x200 c) x400

d) x210 e) x180

7. Reducir:

x-1 . x-2 . x-3 . x-4 .x-5

a) x-15 b) x-11 c) x-12

d) x-14 e) x-16

8. Reducir:

x1 . x-2 . x3 . x-4 . x5

a) x4 b) x2 c) x3

d) x4 e) x5

PARA LA CASA

9. Efectuar:

x3 y4 x5 y6 x7 y8

a) x12y15 b) x15y12 c) x15y18

d) x18y15 e) x12y18

10.Efectuar:

(x2y)(x3y2)(x4y3)(x5y4)

a) x12y10 b) x14y12 c) x14y10

d) x12y14 e) x14y14

11.Efectuar:

357

468

3.3.33.3.3

a) 3 b) 9 c) 81d) 243 e) 729

12.Reducir:

x. x. x. x.x x. x. x. x.x

2345

23456

a) x0 b) x c) x2

d) x3 e) x4

SESIÓN Nº 13

EN EL AULA

1. Reducir:

2

43

2

34

abba

baba

a) ab b) 2ab c) a2b2

d) a + b e) 2a2b2

2. Efectuar:

(5x3)(4x2)(3x)

a) 6x6 b) 16x6 c) 36x6

d) 66x6 e) 60x6

3. Efectuar:

(3a + 5a + 7a) (3a - 5a + 7a)

a) 3 b) 3a c) 5d) 5a e) 1

4. Calcular:

{2-1 . 2-3} {2-4 . 2-5}

a) 8 b) 16 c) 32d) 64 e) 128

5. Efectuar y reducir:

2x . x2 . x3 + 3x3 . x2 . x + 6x6

a) 12x18 b) 11x18 c) 12x6

d) 11x6 e) 6x11

6. Calcular:

(25 . 34 . 43) (24 . 33 . 42)

a) 6 b) 12 c) 24d) 36 e) 72

PARA LA CASA

7. Multiplicar:

(-5x4) por (-4x5)

a) -9x9 b) -20x5 c) 20x9

d) 9x9 e) -9x20

8. Multiplicar:

(-3x2) por [-(-2x3)]

a) -6x5 b) -6x2 c) 5x5

d) -5x5 e) -5x6

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io 2

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– 2

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rmas)

Telf.

572

08

2


9. Efectuar:

(a2b3c4)(a-5b-6c-7)(a8b9c10)

a) a2b3c4 b) a3b4c5 c) a4b5c6

d) a5b6c7 e) a6b7c8

10.Reducir)125...125125()5 ... 5 5 5(

veces625factores 55

a) 539 b) 62558 c) 2548

d) 548 e) 52

AUTOEVALUACIÓN I

1. Reducir:

(a2b5)(a8b7)(a-9b-11)

a) ab b) a2b2 c)a3b3

d) a4b4 e) a5b5

2. Simplificar:

3

8

12

17

2

7

aa

aa

aa

a) a3 b) a5 c) a15

d) 3a5 e) 3a3

3. Hallar el exponente final al efectuar:

x . x2 . x3 . x4 . ... x9 . x10

a) 20 b) 55 c) x55

d) x20 e) 25

4. Reducir:

842

753

x. x.x x. x. x.x

a) x b) x2 c) x3

d) x4 e) x8

5. Reducir:

(3a8 + 5a8 + 7a8)/(8a3 + 2a3 - 5a3)

a) 3a8 b) 3a3 c) 3a5

d) 3a e) 3

SESIÓN Nº 14

EN EL AULA

LA SERENIDAD

La serenidad es la emoción sosegada que te produce el saber que has asimilado lo que estudiaste. La serenidad es una emoción, pero cosa curiosa, provisionalmente puedes entenderla como una emoción caracterizada por la ausencia de emociones. Sobre todo, de emociones negativas.Existe una serie de síntomas que indican que un estudiante procede con serenidad.

Por ejemplo:

1. Sus movimientos son armoniosos y seguros, no demuestra impaciencia ni intranquilidad.

2. Sus músculos se encuentran relajados y no evidencian ninguna tensión innecesaria. No aprietan la mandíbula.

3. Su voz es clara y firme. No se atropella para hablar ni tampoco lo hace demasiado pausadamente.

4. El ritmo de su respiración, los latidos de su corazón y la sudoración, son las normales. No aparenta estar agitado.

5. Duerme normalmente, no despierta antes de la hora habitual y cuando se levanta no refleja signos de cansancio.

Pero ten cuidado de llamar serenidad a lo que no es: la preocupación y la indiferencia son defectos y a veces hay jóvenes que en vez de ocuparse en corregir lo negativo que hay en ellos, encuentran más cómodo rebautizar el vicio con el nombre de una virtud.

Variables y constantes

¿Sabias que?

El valor de la velocidad de la luz siempre es el mismo: aproximadamente 300 000 km por segundo, o sea, que es una constante. En cambio, el valor de la velocidad de un automóvil cambia con el tiempo, aumenta o disminuye según la aceleración que lleve, es decir es una variable.

En consecuencia, se define como constantes a las cantidades cuyos valores no se modifican. Por otra parte, se denominan variables aquellas cantidades cuyo valor puede cambiar en el tiempo y en el espacio.

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7



Para representar las constantes se utilizan las primeras letras del abecedario: a, b, c, d; mientras que para las variables se emplean la últimas: x, y, z.

Normalmente, los distintos valores que toma una variable dependen de los de otra variable, denominada variable independiente. Por ejemplo, el tiempo que demora un automóvil en recorrer una distancia es función de su velocidad. La velocidad es la variable independiente, mientras que el tiempo es la variable dependiente o función.

Este tipo de funciones se llama funciones empíricas, ya que sus valores se calculan por la simple observación.

La relación de dependencia entre las variables puede estar determinada por operaciones matemáticas; en ese caso la función se llama analítica.

La manera de simbolizar una función es: y = f(x) (se lee "y igual a f de x"), es decir “y” es función de otra variable “x”:

y = 5x - 4f(x) = 5x - 4

Los valores de la variable dependiente “y”, dependen de los que toma “x”, si:

x = 2y = 5 . 2 - 4 = 10 - 4 = 6

CAPÍTULO VPOTENCIACIÓN II

"Las leyes de la naturaleza están escritas en matemáticas".

Johannes KeplerMatemático alemán del siglo XVII

SESIÓN Nº15

EN EL AULA

EL FIN DEL MUNDO

Cuenta una leyenda que en un templo de religión hindú, ubicado en la ciudad de Benares (India), se apareció el dios BRAHMA ante el sacerdote mayor y le encomendó una tarea, que aunque parecía insignificante, "podría indicar la fecha del fin del mundo".

Esta tarea, estaba basada en tres barras (como en el gráfico) y tres discos. Los discos insertados en la barra de la izquierda deberían ser trasladados a la barra derecha. Algo fácil ... ¿no creen?Sin embargo, aquí está el detalle indicado por el dios Brahma:

"La tarea será cumplida siguiendo estas tres reglas:

· Los discos pueden ser trasladados uno a uno.

· Se prohíbe colocar un disco grande sobre otro pequeño.

· Los discos pueden ser colocados provisionalmente en la barra intermedia pero respetando las reglas anteriores".

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Y aunque el sacerdote tuvo que pensar durante varias horas obtuvo el resultado de la siguiente manera:

I n icio de la tarea

1 movim ientoer 2 movim ientodo

3 movim ientoer 4 movim ientoto

5 movim ientoto 6 movim ientoto

7 movim ientom o

Este es el resultado,observa cuantos movim ientos se realizaron .

Pasó un año desde su aparición y el dios Brahma reapareció ante el sacerdote y le dijo:

"Llegó el momento, la tarea de hoy podrá determinar la fecha del fin del mundo".

El sacerdote asustado por tal anuncio, pero manteniendo la fe en su dios, aceptó el reto y de pronto aparecieron frente al altar tres barras y 64 discos dispuestos de manera similar al anterior caso.

"Cuando estos 64 discos sean trasladados totalmente al lado derecho, el fin del mundo ... habrá llegado" dijo Brahma, y el sacerdote dio inicio a su trabajo de inmediato.Pasaron siglos y siglos, pero hasta ahora la tarea no ha sido culminada.

¿Sabes qué es lo curioso de esta tarea? ... pues que para poder trasladar los 64 discos serían necesarios unos ¡¡¡500 mil millones de años ... !!!

¿Y por qué tanto tiempo?... quizás sea una pregunta tuya. Pues presta atención al siguiente cuadro:

Número de discos en las barras

Número de movimientos para el traslado

1234...

64

137

15...

18 446 744 073 709 551 615

¡¡Lo notaste!!... se necesitan 18 446 ... movimientos, y sacando cuentas, si consideramos realizar un movimiento en 1 segundo, entonces en una hora se pueden hacer 3 600 traslados; en un día cerca a 100 mil; en diez días, un millón, etc. Por este motivo "el fin del mundo" está muy lejano aún.

Nota: Esa inmensa cantidad de movimientos, puede ser escrita de otra manera:

18 446 744 073 709 551 615 = 264 -1

¿Te atreves a comprobarlo?

SESIÓN Nº 16

EN EL AULA

MARCO TEÓRICO

En el capítulo anterior se dio la definición de "POTENCIA" y de manera infinitiva la definición de exponente "NATURAL".

Ahora definiremos al resultado obtenido mediante un exponente "RACIONAL".

Exponente racional

Se define:

n mn

m

aa ; m, n lN, a lR

Ejemplos:

· 422216 224

4

· 555625 44

4 44

· 353381 21

84

8 48

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fono:

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Propiedades

1. nnn b . ab . a

2. n

nn

b

aba

Ejemplos:

· 455 925 8125 81025 2

·32

3

232

278

3 3

3 33

3

33


a) 1916 b)3 64125

c) 3649

d) 1681

e)3 2115 b.a f)

5m10

m5

ba

2. Calcular:

3278

91

a) 2/3 b) 1 c) 3d) 2 e) 1/3

3. Calcular:

431681

8125

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

4. Efectuar:

3 27

4925

a) 1 b) 2 c) 5d) 7 e) 4

5. Calcular:

1080

120

22

a) 4 b) 16 c) 28

d) 240 e) 216

6. Efectuar:

4

3281

49

258 543

a) 1/2 b) 1 c) 3d) 3/2 e) 5/2

PARA LA CASA

7. Hallar el valor de:

51998

2003

77

a)5 7 b) 75 c) 1

d) 7 e) 7

8. Reducir:

4321 2345

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

9. Calcular:

221 532

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

10.Calcular:

222 267

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11.Calcular:

34 421

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

12.Efectuar:

34 413

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

32


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io 2

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– 2

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e la P

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de A

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Telf.

572

08

2


SESIÓN Nº 17

EN EL AULA

1. Calcular:

2000

2001

2001

2002

22

22

a) 2 b) 2 000 c) 4d) 2 001 e) 2 002

2. Calcular:

22025 15432

a) 4 b) 6 c) 8d) 9 e) 10

3. Calcular:

16

16

13

15

15

17

66

55

77

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

4. Si:

424

428

795

797

22

33A

B 3245 3232

Hallar "A + B"

a) 5 b) 17 c) 13d) 30 e) 12

5. Si: 3 64 =2x

Hallar "x + 7"

a) 2 b) 9 c) 3d) 10 e) 5

PARA LA CASA

6. Reducir:

332 243

a) 4 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

7. Reducir:

234 631

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

8. Calcular el valor de:

42

44

31

33

44

33

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

9. Sabiendo que:

1512

274

3316J

Hallar: 1J

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10.Si: 23

ba

14

55 ;93

Hallar: ba

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

SESIÓN Nº 18

EN EL AULA

LA TOLERANCIA

La tolerancia es la expresión más clara del respeto por los demás, y, como tal, es un valor fundamental para convivencia pacífica entre las personas. Tiene que ver con el reconocimiento de los otros como seres humanos, con derecho a ser aceptados en su individualidad y su diferencia. El que es tolerante sabe que, si alguien es de una raza diferente de la suya o proviene de otro país, otra cultura, otra clase social o piensa distinto de él, no por ello es su rival o su enemigo.

Cuando se presentan conflictos, las personas tolerantes no acuden a la violencia para solucionarlos, porque saben que la violencia solo engendra más violencia. Prefieren dialogar con sus opositores y buscar puntos de acuerdo. Sin

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21

7



embargo, debemos ser tolerantes pero no pasivos. Hay situaciones frente a las cuales nuestro deber, lejos de quedarnos callados, es protestar con energía.

Para ser tolerantes...

• Pongámonos en el lugar de los otros para tratar de entender sus problemas y su manera de actuar.

• Escuchemos si interrumpir y demos a los demás la oportunidad de expresarse.

• Veamos en la diversidad de razas y culturas una señal de la riqueza y amplitud del mundo, en lugar de motivos de desconfianza.

LA INTOLERANCIA

Las personas intolerantes, caracterizadas por querer imponer su voluntad a toda costa, ignoran por completo a los demás y reaccionan con agresividad y violencia frente a quienes se les oponen. Este modo de ser es el causante de la mayoría de las guerras que han sembrado la muerte y la destrucción en países y continentes enteros. Las guerras religiosas que enfrentaron a católicos y protestantes a finales de la Edad Media en Europa, el exterminio de los judíos por parte de los nazis durante la Segunda Guerra Mundial y más recientemente el de los croatas por parte de los serbios en la antigua Yugoslavia son algunos de los muchos ejemplos de los crímenes a que puede llevar la intolerancia religiosa, étnica o política.

La intolerancia se manifiesta en la discriminación a la que unos seres humanos son sometidos por otros que los consideran distintos, inferiores o como una amenaza contra lo establecido.

Obstáculos para la tolerancia

• Las verdades absolutas, que no permiten ver que el conocimiento humano siempre se renueva, que las costumbres cambian y las modas son pasajeras.

• La incapacidad de comprender que existen miles de formas de vivir, de expresarse, de actuar y de ser.

AUTOEVALUACIÓN II

1. Indicar V (verdadero) o F (falso) según sea el caso:

I.2222 4343

II. ba

ba

m2

m2

III. m nn

m

aa

a) VFF b) FVV c) FFVd) VVV e) FFF

2. Calcular:

520781

20791

77

a) 10 b) 7 c) 75

d) 49 e) 343

3. Hallar el valor de:

22 1213

a) 5 b) 25 c) 3 d) 13 e) 1

4. Calcular el valor de: 5n , si se sabe que:

216 n

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. Hallar:

233257 3421

a) 2 b) 4 c) 8 d) 5 e) 9

34


B

ryce

CA

MA

NÁ

Jir

ón

Com

erc

io 2

62

– 2

64 –

(a u

na c

uad

ra y

med

ia d

e la P

laza

de A

rmas)

Telf.

572

08

2


EL NÚMERO

¿Sabias qué? es igual a 3,1416. Bueno más o menos, por que

en realidad tiene cientos de decimales. Aquí lo tienes con los cien primeros:

= 3, 1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 ... y

sigue…….

David y Grégory Chudnovsky, matemáticos de la Universidad de Columbia, han logrado obtener una aproximación con ¡¡ 1 011 196 691 cifras decimales!!.

Para ello, usaron dos super computadoras a las que tuvieron horas y horas haciendo los cálculos.

CAPÍTULLO IV

Potenciación III

"El avance y perfeccionamiento de las matemáticas están estrechamente relacionados

con la prosperidad de la nación".

Napoleón BonaparteEmperador francés

SESIÓN Nº 19

EN EL AULA

1. Calcular:

430 242

a) 2 b) 3 c) 4d) 6 e) 7

2. Calcular:

332 239

a) 10 b) 8 c) 6d) 4 e) 2

3. Cuál será el exponente de "x" al reducir:

] x. x. x.x[] x. ... . x . x . x .x [ 4444

factores 83

a) 60 b) 16 c) 32d) 22 e) 42

4. Reducir:

x8

x9

x

x3

aa

aa

a) a2x b) ax c) a-x

d) a-2x e) 1

5. Simplificar:

113

115

22

25

275

277

66

33

22

a) 16 b) 8 c) -8d) -6 e) -5

6. Calcular:

68

87

34

55

33

33

a) 2 b) 27 c) 9d) 81 e) 1

7. Hallar "a + b", si se sabe que:

x . x2 . x3 . x4 . x5 = xa

x2 . x4 . x6 ... xb = x42

a) 27 b) 42 c) 15d) 47 e) 32

8. Si se cumple que:

3n3612

40115x

x.x x.. xx

entonces "n - 10" será igual a:

a) 5 b) 8 c) -8d) -5 e) 12

PARA LA CASA

35

B

RYC

E PED

RE

GA

L -

Calle

: Ya

nah

uara

J7

- J8

(al co

stado d

e R

ad

io la U

nió

n)

Telé

fono:

586

21

7



9. Calcular:

223 542

a) 9 b) 7 c) 5d) 3 e) 10

10.Determinar el exponente final de "x":

2010

108642

x.x x. x. x. x.x

a) 1 b) -1 c) 0d) 5 e) 2

11.Sabiendo que:

x . x2 . x3 ... xm = x28

entonces el valor de "m" es:

a) 1 b) 7 c) 6d) 4 e) 5

12.Si el exponente de "x", al reducir:

"2n" es x.x

x.. xx10563

947815

entonces el valor de "n" es:

a) 2 b) 5 c) 10d) 6 e) 12

SESIÓN Nº 20

EN EL AULA

1. La edad de Claudia es el cuadrado de 7 disminuido en el cubo de tres; señalar su edad.

a) 21 años b) 22 c) 23d) 24 e) 25

2. Cuál es la edad de una tortuga sabiendo que es igual al cuadrado de cinco, aumentando en la quinta potencia de 2.

a) 52 años b) 55 c) 57d) 62 e) 67

3. Calcular el valor de:

361

41

a) 1/2 b) 1/6 c) 2/3d) 5/6 e) 1/3

4. Calcular:

9.4964.16

a) 23 b) 53 c) 41d) 37 e) 62

5. Calcular:3 6425

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6. Calcular:

33 12516849

a) 2 b) 4 c) 5d) 6 e) 8

PARA LA CASA

7. La edad de Carlos es el cuadrado de siete disminuido en la cuarta potencia de 2. Indicar la edad de Carlos dentro de 2 años.

a) 32 años b) 33 c) 34d) 35 e) 36

8. La edad de Pepucho es igual a la sexta potencia de 2, disminuida en el cuadrado de seis. ¿Qué edad tendrá dentro de dos años?

a) 15 años b) 20 c) 25d) 30 e) 35

9. Calcular:

1694

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10.Calcular:

31258149

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

36


B

ryce

CA

MA

NÁ

Jir

ón

Com

erc

io 2

62

– 2

64 –

(a u

na c

uad

ra y

med

ia d

e la P

laza

de A

rmas)

Telf.

572

08

2


CAPÍTULO VIIOperaciones combinadas

"El número es la esencia de la naturaleza".

PitágorasFilósofo y matemático griego

SESIÓN Nº 21

EN EL AULA

MARCO TEORICO

En este tema, tendremos en consideración la "JERARQUÍA DE OPERACIONES", es decir, el orden de resolución para cada operación planteada.

Así por ejemplo, si queremos resolver lo siguiente:

E = -3 + 7 x 2 - 32 + 2 x 5 - 21 7

Tenemos que hacerlo siguiendo un orden:

Primero.- Se efectúan las potencias y/o raíces.Segundo.- Se efectúan las multiplicaciones y

divisiones.Tercero.- Se efectúan las adiciones y

sustracciones.

El resultado final será: E = 9

Ah!! ... y además hay que considerar los signos de colección:

(;) Paréntesis [;] Corchetes {;} Llaves

Así, el orden sugerido para efectuar operaciones combinadas es:

1ro: Signos de colección: (;), [;], {;}

2do: Potencias y raíces:

3ro: Multiplicación y división:

4to: Adición y sustracción: 1. Reducir en cada caso:

a) 18x - 16x + 14x - 12x

b) x . x3 . x4 + x2 . x3 . x3 + x . x7

c) x7 x3 + x6 x2

d) x3 . x2 + x4. x + x6x

2. Efectuar:

6a - 5b + 4a - 3b - 9a + 11b

a) a + 2b b) a + 3b c) 2a+ 2bd) a + b e) 3a - b

3. Reducir:

a - 4a+ 9a - 16b + 25b - 36a +3b

a) 12b - 30a b) -26a + 8bc) -13a + 12b d) -13a - 12be) -26a - 12b

4. Calcular:

sumandos 20

sumandos 60

2...22232...

32

32

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Reducir:

sumandos 40

sumandos 30

3...3336...

36

36

a) 1 b) 2 c) 1,5d) 2,5 e) 0,5

6. Calcular:

41

31

43

34

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4d) 1/5 e) 5

PARA LA CASA

7. Calcular:

023 2222E

a) 1 b) 0 c) 2d) 4 e) 3

8. Calcular:

37

B

RYC

E PED

RE

GA

L -

Calle

: Ya

nah

uara

J7

- J8

(al co

stado d

e R

ad

io la U

nió

n)

Telé

fono:

586

21

7



51

41

54

45

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9. Reducir:

sumandos 112 veces121

222222 )m...mm()m...mm(

a) 2m b) 3m c) 4md) 5m e) 6m

10.Calcular:


)8...88()11...1111(

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

SESIÓN Nº 22

EN EL AULA


a) 14a2b 2ab

b) 63m2n3 9mn2

c) 144x9 y5 9x5 y3

2. Reducir:

(10a5/2a3 ) + ( 80a3/16a) – (12a4/3a2)

a) 6a2 b) 5a2 c) 4a2

d) 3a2 e) 2a2

3. Calcular:

222 a7)a18a81(

a) 3a b) 4a c) 3d) 4 e) 5

4. Efectuar:

5 54 43 32 6543

a) 18 b) 16 c) 14d) 12 e) 10

5. Calcular:

33 6464836

a) 3 b) 6 c) 9d) 5 e) 11

6. Calcular:33 1251002781

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

AUTOEVALUCIÓN III

1. Efectuar:2(5x - 3) - 3(3x - 2)

a) x b) 6 c) 2 d) x - 6 e) x + 12

2. Reducir:

a5a

1a3a7a

x.x x. x.x

a) xa+1 b) xa c) a

d) 1 e) x3a+5

3. Determinar el exponente final de "x" al efectuar:

8642

97531

x..x x.xx. x. x. x.x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Calcular:

33

433

648

164927125

a) 4 b) 3 c) 1 d) 2 e) 5

38

2 - algebra 1ro

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