actividad obligatoria 3 mat 1

ACTIVIDAD 3

Conrado Campetella

Mayra Cecilia Peirone

Consignas:

PARTE A. GRUPAL La actividad consiste en seleccionar un modelo, entre los titulados modelos 1 a 4 inclusive (abajo

mencionados) y resolverlo recreando el contexto. Donde por recrear entendemos complejizar as:

agregando dos nodos o vrtices involucrados (que pueden ser personas, objetos,

ciudades, etc.),

agregando tres conexiones entre ellos (influencias, flujo, etc.),

realizando todas las operaciones matriciales mostradas en los ejemplos afines al

modelo. No es necesario explicar o fundamentar, como en la gua, que esa

operacin da respuesta a la pregunta. Basta con plantear la pregunta y

contestarla usando la operacin matricial.

Tambin, analice y responda si las matrices intervinientes deben ser necesariamente cuadradas?

Simtricas? Invertibles? Fundamente.

Para operar use los ya conocidos paquetes Wolfram Alpha, Wiris y OnLineMSchool.

Capture imgenes con la tecla Imr Pant, con el paquete PhotoScape o similar.

Interprete la informacin dada por cada una de las matrices (generadas ya sea con informacin de

partida o por operatoria matricial): en forma general la matriz en su totalidad, y en forma ms

especfica una entrada genrica i,j y una entrada particular 2,3 por ejemplo.

Todo ello lo orienta a dejar indicios de que comprende la modelizacin matemtica de la situacin

contextual planteada.

Puntaje mximo: 25 puntos.

Modelo elegido:

Modelo 1. Ejemplos 5, 21, 25 y 26 del material de lectura obligatorio, responden al

mismo modelo donde las matrices y los escalares, segn corresponda, se suman,

restan, multiplican para obtener nuevas matrices que brindan la informacin requerida.

Parte A

Ejemplo 5: Sea el nmero de vuelos realizados por avionetas con la finalidad i a la localidad j. La matriz:

2 9 4 0

0 3 2 1

Condensa los registros del mes de Marzo e indica en el rengln 1 los vuelos de avionetas de la

Secretara de Agricultura de la provincia de Crdoba con fines de fumigacin de cultivos y en el

rengln 2 los aviones de la Secretara de salud con fines de prestacin de servicios de medicina

preventiva. La primera columna hace referencia al Departamento Coln, la segunda al

Departamento Punilla, la tercera al Departamento J. Celman y la cuarta al Departamento Tercero

Arriba.

Anlogamente la matriz condensa los registros correspondientes al mes de Abril.

3 2 5 1

1 0 3 1

En el ejemplo 5 se obtiene la suma A + B que dan los datos del bimestre.

Ejemplo 5 modificado: La matriz condensa los registros del mes de Marzo e indica en el rengln 1 los vuelos de

avionetas de la Secretara de Agricultura de la provincia de Crdoba con fines de fumigacin de

cultivos, en el rengln 2 los aviones de la Secretara de salud con fines de prestacin de servicios

de medicina preventiva y, en el rengln 3 los vuelos de la Secretara de Riesgos Laborales con el fin

de evaluar las condiciones y riesgos laborales de los trabajadores estatales. La primera columna

hace referencia al Departamento Coln, la segunda al Departamento Punilla, la tercera al

Departamento J. Celman, la cuarta al Departamento Tercero Arriba y, la quinta, al Departamento

de Calamuchita.

2 9 4 0 5 0 3 2 1 2 4 5 8 7 6

Anlogamente la matriz condensa los registros correspondientes al mes de Abril.

3 2 5 1 2 1 0 3 1 3 4 3 5 6 1

La suma de los vuelos realizados en el semestre ser:

5 11 9 1 7 1 3 5 2 5 8 8 13 13 7

Podemos entender la matriz con la siguiente tabla:

2do Bimestre Coln Punilla J. Celman T. Arriba Calamuchita

Secretara de Agricultura

5 11 9 1 7

Secretara de Salud

1 3 5 2 5

Secretara de Riesgos Laborales

8 8 13 13 7

La nica condicin que deben cumplir las matrices y es tener la misma dimensin o tamao.

Ejemplo 21 Un torneo de tenis se puede organizar como sigue. Cada uno de los participantes juega contra

cada uno de los otros y los resultados se registran en una matriz de as:

1 si el jugador gana al jugador .

0 si el jugador pierde ante el .

0 si .

Al i-simo jugador se le asigna la puntuacin:

donde:

0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0

Determinar nmero de participantes

Construir vector de puntuacin p.

Quin obtuvo mejor puntuacin?Qu informacin entrega cada entrada de

?

Ejemplo 21 modificado: Cambiamos la cantidad de jugadores del torneo y definimos una nueva matriz segn la siguiente

tabla.

VS 1 VS 2 VS 3 VS 4 VS 5 VS 6

1 - G P P G P

2 P - G G P P

3 G P - P P G

4 G P G - P G

5 P G P G - G

6 G G P P P -

Luego, la nueva matriz es:

0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0

Ya que es de 6x6, la cantidad de participantes del torneo es 6.

Para construir el Vector puntuacin necesitamos conocer . Utilizando OnlinemSchool

obtenemos.

Luego . Luego:

0 1 0 0 1 0 1

0 1 2 2 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 2 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 0 1 1 1 2 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 2 2 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 3 1 2 1 0 2 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1

Volvemos a utilizar OnlinemSchool para obtener el resultado de cada trmino. Luego:

Primer trmino:

Segundo trmino:

Luego:

2

3

5 2 2.5 4.5 2 2 4 3 3 6 4 4.5 8.5 2 2 4

En base a los resultados obtenidos podemos ordenar a los jugadores en forma descendente:

Posicin Jugadores Puntaje

1 5 8.5

2 4 6

3 1 5

4 2 4.5

5 3 o 6 4

6 6 o 3 4

Luego, el jugador con el puntaje ms alto es el 5.

EL producto nos dice cuntos partidos gan cada jugador. El resultado es:

.

Cmo se debe elevar al cuadrado, la misma debe ser una matriz cuadrada. Por cmo se debe

armar en base a la tabla de resultados, siempre resulta cuadrada.

Ejemplo 25 Una empresa que comercializa productos informticos posee tres sucursales dedicadas a la venta

directa al pblico. El inventario de final de ao muestra las existencias de cada sucursal:

PCs Pc Porttiles CDs Impresoras

Sucursal 1 10 5 150 8

Sucursal 2 15 4 200 7

Sucursal 3 9 10 400 5

Se solicita a cada una de las sucursales que realice el pedido de productos teniendo en cuenta que

estarn un perodo de tres meses sin abastecimiento. Dichos pedidos son:


Sucursal 1 3 2 50 2

Sucursal 2 4 3 30 2

Sucursal 3 5 0 0 1

Despus de tres meses se informa a la empresa sobre las nuevas existencias:


Sucursal 1 7 1 180 6



Sabiendo que el precio en $ de cada uno de los productos es:


1800 2500 11 500

Obtener la matriz de ingreso de la empresa

Si el beneficio de la Empresa es del 25% de los ingresos, determine los beneficios por

sucursal y el beneficio total de la empresa.

Puede llegar a los mismos resultados usando las respectivas matrices transpuestas a las

definidas. XQ. Son simtricas sus matrices? Fundamente.

Ejemplo 25 modificado Una empresa que comercializa productos informticos posee tres sucursales dedicadas a la venta

directa al pblico. El inventario de final de ao muestra las existencias de cada sucursal:

PCs Pc Porttiles CDs Impresoras Monitores DVDs

Sucursal 1 10 5 150 8 12 150

Sucursal 2 15 4 200 7 17 250

Sucursal 3 9 10 400 5 11 350

Sucursal 4 13 7 300 6 15 250

Se solicita a cada una de las sucursales que realice el pedido de productos teniendo en cuenta que

estarn un perodo de tres meses sin abastecimiento. Dichos pedidos son:


Sucursal 1 3 2 50 2 3 100

Sucursal 2 4 3 30 2 1 50

Sucursal 3 5 0 0 1 4 0

Sucursal 4 4 1 20 1 3 80

Despus de tres meses se informa a la empresa sobre las nuevas existencias:


Sucursal 1 7 1 180 6 8 180

Sucursal 2 8 2 150 0 8 200

Sucursal 3 0 3 350 0 0 270

Sucursal 4 3 4 250 1 2 200

Sabiendo que el precio en $ de cada uno de los productos es:


1800 2500 11 500 800 14

Obtener la matriz de ingreso de la empresa

Si el beneficio de la Empresa es del 25% de los ingresos, determine los beneficios por

sucursal y el beneficio total de la empresa.

Puede llegar a los mismos resultados usando las respectivas matrices transpuestas a las

definidas. XQ. Son simtricas sus matrices? Fundamente.

Para obtener el ingreso de la empresa debemos obtener el nmero de artculos por producto

vendidos en cada sucursal, ste es igual al stock del que disponan, sumado el pedido trimestral,

menos el stock con el que finalizan el trimestre. Entonces, sean ,

, , ,

y .

Tenemos y

Luego, utilizando Mathway,

Entonces:

Luego es la matriz de ingresos de la empresa, donde cada elemento representa el ingreso de

cada sucursal.

Si el beneficio de la empresa es de 25% de , entonces el beneficio por sucursal es:

Que es igual a:

Donde el ingreso de la sucursal1 es de $8650, el ingreso de la sucursal 2 es de $11.770, el ingreso

de la sucursal 3 es de $14.842,5 y, el ingreso de la sucursal 4 es de $ 14.090,5. El ingreso total de la

empresa queda dado por la suma del ingreso de cada una de las sucursales. El ingreso total es de

$49.353.

Como ( ) y ( ) se podra llegar al mismo

resultado utilizando las transpuestas de las matrices empleadas.

Las matrices no son simtricas ya que , y . Tampoco es necesario que

sean cuadradas para poder modelizar ste tipo de situaciones.

Ejemplo 26 En el siguiente cuadro de doble entrada se muestran los requerimientos tcnicos de insumos, por

unidad de producto, para la produccin de los artculos I, II, III en una fbrica. Adems, el plan de

produccin proyectado es: 50 unidades del artculo I, 30 del II y 20 del III.

Artculo I Artculo II Artculo III

M.O.(hs H p/unidad Producto)

15 2 13

Tiempo de mquina (hs H p/unidad

Producto) 1 17 6

Tiempo Control de Calidad (hs H

p/unidad Producto) 4 4 4

Calcule las horas-hombre y las horas-mquina que se deben disponer para satisfacer el plan de

produccin proyectado.

Ejemplo 26 modificado En el siguiente cuadro de doble entrada se muestran los requerimientos tcnicos de insumos, por

unidad de producto, para la produccin de los artculos I, II, III, IV, V en una fbrica. Adems, el

plan de produccin proyectado es: 50 unidades del artculo I, 30 del II, 20 del III, 15 del IV y 40 del

V.

Artculo I Artculo II Artculo III Artculo IV Artculo V


15 2 13 6 8

Tiempo de mquina (hs H

p/unidad Producto)

1 17 6 5 3


p/unidad Producto)

4 4 4 4 4

Tiempo Embalaje (hs H

p/unidad Producto)

2 1 3 2 1

Calcule las horas-hombre y las horas-mquina que se deben disponer para satisfacer el plan de

produccin proyectado.

Sea , y

. Entonces

Donde:

Tiempo

Requerido


1480

Tiempo de mquina (hs H

p/unidad Producto)

875


p/unidad Producto)

620

Tiempo Embalaje (hs H

p/unidad Producto)

260

Luego se necesitan 1480 horas hombre y 875 horas mquina.

PARTE B. GRUPAL. La actividad consiste en recrear el Ejemplo 28 del material de estudio. Para recrearlo:

1) Reemplace la matriz T de la Gua de estudio por otra de la lista siguiente, y observe la accin

que, sobre la letra N realiza el pre multiplicar la matriz D por T.

Nombres identificatorios:

T= nueva matriz de transformacin

D= matriz de coordenadas.

TD=H=nueva matriz del transformado por T.

Qu matriz calculara y cmo la usara con la matriz del transformado H, para obtener

la matriz de coordenadas original? Esto es, cmo procedera, operando con matrices,

para obtener las coordenadas de la letra original?

Dibuje. Realice los clculos con los ya conocidos paquetes Wolfram Alpha, Wiris,

OnLineMSchool. Capture pantallas.

2) Seguidamente, seleccione otra matriz de la lista, llmela S, y repita el proceso pero

ahora tomando como matriz de coordenadas a H.

Nuevos nombres identificatorios:

S= nueva matriz de transformacin

H= nueva matriz de coordenadas.

SH=J=nueva matriz del transformado por S.

La idea es aplicar un movimiento atrs de otro y estudiar cmo cambia de posicin la

letra N (esto es, hacer una composicin). As se trabajan las imgenes en una

pantalla.

Movimiento 1

Estos movimientos se los conoce como expansiones si k es mayor que 1- o compresiones si k

es un positivo menor a 1- Observe que: las expansiones alargan agrandan mientras que, las

compresiones, comprimen o achican una medida. Dependiendo del eje, se trata de una

expansin a lo largo del primer eje o eje horizontal- en un factor k o de una expansin a lo

largo del segundo eje o eje vertical- en un factor k ,de una compresin a lo largo del primer eje

o eje horizontal- en un factor k o de una compresin a lo largo del segundo eje o eje vertical-

en un factor k . (Tambin se usan las expresiones: expansin horizontal, expansin vertical,

compresin horizontal, compresin vertical en un factor k.) Les corresponde las siguientes

matrices de transformacin:

Con ( ) para expansiones, y ( ) para contracciones.

Movimiento 2

Estos movimientos se los conoce como cortes o trasquilados. En los cortes, la constante k

puede asumir cualquier valor real positivo o negativo-. Dependiendo del eje, se trata de un corte

a lo largo del primer eje o eje horizontal- en un factor k o de expansin a lo largo del segundo

eje o eje vertical- en un factor k . Les corresponde las siguientes matrices de transformacin:

Con ( ).

Movimiento 3

Estos movimientos se los conoce como reflexiones. En el primer caso se refleja respecto de la

recta horizontal eje x -o eje horizontal-: se trata de una reflexin respecto del eje x, en el

segundo se refleja respecto de la recta vertical eje y -o eje vertical-: se trata de una reflexin

respecto del eje y, y en el tercer y ltimo caso de una reflexin respecto de la recta x=y. Les

corresponde las siguientes matrices de transformacin:

Movimiento 4

Estos movimientos se los conoce como proyecciones sobre un plano o sobre una recta. Les

corresponde las siguientes matrices de transformacin:

Parte B Elegimos una matriz del movimiento 1 tomando :

La informacin de los vrtices de la letra N que se utiliza en el Ejemplo 28 est contenida en la

siguiente matriz:

Utilizamos Wiris para graficar la misma antes de modificarla:

Pasamos ahora a graficar . Volemos a utilizar Wiris:

Para volver a obtener la matriz a partir de debemos realizar el siguiente procedimiento:

Luego debemos multiplicar desde la izquierda por a donde es la matriz inversa de .

Volvemos a utilizar Wiris para probar el mtodo descrito anteriormente:

Para continuar con el ejercicio seleccionamos una matriz del movimiento 2 a la que llamaremos

.El valor de la constante ser igual a un medio entonces, . Luego:

Luego . Volvemos a utilizar Wiris para calcular y graficar .

Continuaremos con el ejercicio eligiendo una matriz del movimiento 3 a la que llamaremos .

Entonces:

Definimos y utilizamos Wiris para calcular y graficar .

Se puede apreciar en el grfico de la izquierda como refleja sobre la diagonal al polgono

graficado con la matriz de coordenadas . En el grfico de la derecha se encuentran todas las

transformaciones que se han realizado sobre la matriz de coordenadas original .

Para finalizar la actividad restara elegir una matriz del movimiento 4 y realizar el mismo

procedimiento pero, como ests matrices tienen dimensin 3x3 y nuestra matriz es de 2x8, el

producto entre ellas no est definido.

actividad obligatoria 3 mat 1

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