AP21d.

2𝑥 − 5

𝑥 − 2≤ 1

1. Empezar a operar. Determinar el valor del dato desconocido que hace verdadera la

desigualdad.

2. Paso 2:

Restamos -1 en ambos miembros:

2𝑥 − 5

𝑥 − 2− 1 ≤ 1 − 1

2𝑥 − 5

𝑥 − 2− 1 ≤ 0

Sacamos factor común de x-2:

2𝑥 − 5 − 𝑥 + 2

𝑥 − 2≤ 0

Operamos:

𝑥 − 3

𝑥 − 2≤ 0

La regla de la división afirma que un cociente real es nulo si el numerador es nulo.

Un cociente está definido solo para los valores que no anulan al denominador. Por lo que

𝑥 − 2 𝑛𝑜 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑.

El paso 2 vemos que:

𝑥 − 3

𝑥 − 2≤ 0

𝑥 − 3 ≤ 0 𝑦 𝑥 − 2 < 0 o 𝑥 − 3 ≥ 0 𝑦 𝑥 − 2 > 0

𝑥 ≤ 3 𝑦 𝑥 < 2 o 𝑥 ≥ 3 𝑦 𝑥 > 2

𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≤ 3 [𝑥 ∈ 𝑅/2 < 𝑥 ≤ 3] 𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 > 2

(−∞, 3] (2, 3] (2, +∞)

El intervalo de solución:

(2, 3]

Tomamos puntos del exterior del intervalo y verificamos:

𝑥 = 1; 2𝑥 − 5

𝑥 − 2≤ 1 ⇒

2.1 − 5

1 − 2≤ 1 ⇒ 3 ≤ 1; 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑎

𝑥 = 5; 2𝑥 − 5

𝑥 − 2≤ 1 ⇒

2.5 − 5

5 − 2 ≤ 1 ⇒

5

3≤ 1, 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑎

Tomamos puntos del interior del intervalo y verificamos:

𝑥 = 3; 2𝑥 − 5

𝑥 − 2≤ 1 ⇒

2.3 − 5

3 − 2≤ 1 ⇒ 1 ≤ 1; 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎

𝑥 =5

2;

252

− 5

52 − 2

≤ 1 ⇒ 5 − 5

12

≤ 1 ⇒ 0 ≤ 1; 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎

(___________]

3 2

SEGUNDA PARTE

Siguiendo el ejemplo desarrollado al final del apartado 4 de la unidad construya una inecuación

cuya solución sea el intervalo [2,∞) , o el intervalo(-∞,11

3) . Para construirlo aplique no menos de

tres veces las propiedades de orden de los reales. Comparta en este foro dicha construcción, de

esta forma tendremos un abanico de inecuaciones con la misma solución.

Para [2,∞):

Esto significa que:𝑥 ≥ 2

Una posible ecuación seria la siguiente:

5

2𝑥 + 5 ≥ 10

Resolvemos esta ecuación:

5

2𝑥 + 5 ≥ 10 ⇒

𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠 − 10; 5

2𝑥 + 5 − 10 ≥ 10 − 10 ⇒

5

2𝑥 − 5 ≥ 0

𝑠𝑢𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠 + 5; 5

2𝑥 − 5 + 5 ≥ 0 + 5

5

2𝑥 ≥ 5 ⇒

𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 2 2.5

2𝑥 ≥ 5.2 ⇒

𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 5 5

5𝑥 ≥

5.2

5⇒ 𝑥 ≥ 2