5. propagación en un cristal fotónico...

Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo

a la simulación del Campo Electromagnético.

58

5. Propagación en un cristal fotónico unidimensional

En este capítulo analizamos la evolución de una onda electromagnética al propagarse

a través de un cristal fotónico unidimensional de longitud finita (CF1D) en donde

conocemos de antemano la forma que debe de tener el campo electromagnético. La forma

prevista del campo electromagnético se obtiene a través del análisis de la estructura de

bandas del CF1D. Una vez identificadas las frecuencias en el que es posible la

propagación del campo (frecuencia permitida) y las frecuencias que no permiten la

propagación del campo dentro del cristal (frecuencias prohibidas), se procede a realizar la

simulación de la propagación del campo. En el caso de frecuencias prohibidas,

relacionamos el decaimiento de la onda dentro del cristal con el vector de Bloch

imaginario.

Terminamos este capítulo con un análisis de la transmisión de una onda sinusoidal a

través de un cristal fotónico unidimensional por medio de una variación de la

temperatura. Este fenómeno de sintonización de la respuesta óptica de un CF1D es

relevante para el desarrollo de dispositivos fotónicos con respuesta óptica activa.

5.1 Bandas de energía prohibidas y permitidas.

Los cristales fotónicos son medios periódicos estructurados, que presentan

rangos de frecuencia en los cuales la luz no puede propagarse dentro de la estructura. Esta

periodicidad es del orden de la longitud de onda de la frecuencia prohibida y es un

fenómeno que ocurre similarmente en el campo del estado sólido, en donde los cristales

atómicos actúan como redes de difracción para el electrón.

La periodicidad de un cristal fotónico, en la región de bandas prohibidas da lugar

a una reflexión total. Este fenómeno puede también denominarse como un efecto espejo.

Sin embargo, este espejo no es perfecto. En este capitulo veremos que existe una porción

del campo que penetra en la estructura.

Usualmente la teoría de cristales fotónicos esta basada en la aproximación

estacionaria. Por ejemplo, el Método de Ondas Planas14 propone una solución

estacionaria de los campos y por medio de una expansión de Fourier para el campo



59

z

n

Aire

a b

Aire

a bn

1,2

electromagnético y la función dieléctrica, se encuentran los valores propios de oscilación

en el sistema periódico, es decir, la estructura de bandas de energía del sistema. Por su

parte, el Método de Matriz de Transferencia unidimensional15 propone la solución

estacionaria de los campos y por medio de condiciones de frontera, se encuentra tanto la

relación de dispersión como la reflexión.

La lógica del MDFDT es diferente. En el MDFDT hacemos evolucionar una onda

electromagnética en una estructura, y solo después de que la onda ha evolucionado será

posible determinar si la frecuencia de oscilación (o las frecuencias de oscilaciones, si es

un pulso) son bandas prohibidas o permitidas.

En este capítulo presentamos nuestros primeros pasos de la utilización del

algoritmo del MDFDT en cristales fotónicos. Nuestro interés es la visualización del

campo EM en una situación física que ya conocemos de antemano, a saber, las bandas

prohibidas y permitidas. El sistema a analizar esta constituido por arreglo periódico de

capas alternadas de TiO2 (medio a) y SiO2 (medio b), las cuales están delimitadas en sus

extremos por aire, las constantes dieléctricas para los materiales son 5225.5=aε y

1316.2=bε . Estos parámetros corresponden a los utilizados en la referencia16 para una

estructura que es ilustrada en la Fig. 5.1. Las capas consideradas son de espesores

dda 66.0= y ddb 33.0= , donde d es el período de la multicapa. El número completo de

medios presentes es de 19.

Figura 5.1.- Geometría de la multicapa

El comportamiento del campo dentro del cristal lo dicta la estructura de bandas

fotónicas para el cristal infinito que es ilustrada en la Fig. 5.2. Esta estructura de banda

dicta un comportamiento del campo al incidir sobre un cristal finito, el cual esta



60

-0,8 0,0 0,8

0,0

0,4

0,8

1,2

ωre

d (ω

a/2π

c)

Reflexión Kr Ki

caracterizado por un aumento en la reflexión en las bandas prohibidas y transmisión total

en las regiones de bandas permitidas (Apéndice 5). Las energías en esta estructura están

presentadas en frecuencia reducida, la cual es obtenida por la relación cdred πωω 2/=

Figura 5.2.- En el lado izquierdo mostramos la reflexión del campo, en el lado derecho tenemos

la relación de dispersión con la parte imaginaria y real del vector de onda.

5.1.2 Visualización en frecuencias prohibidas.

En esta sección presentamos una visualización del campo en energía prohibida en un

cristal fotónico. En la Fig. 5.3 ilustramos la posición espectral de la frecuencia reducida

48.0=redω . Una onda sinusoidal con esta frecuencia decae al interior del cristal de la

forma que es ilustrada en la Fig. 5.4. Como se observa en la figura, los resultados de

nuestra simulación están de acuerdo con la descripción de la estructura de bandas. Se

puede observar que el decaimiento de la onda dentro de el cristal [parte (a)] esta de

acuerdo con el comportamiento evanescente predicho por la parte imaginaria del vector

de Bloch. El decaimiento del vector de Poynting es ilustrado en la parte (b). En estas

figuras no aparece el campo incidente, ya que para nosotros es importante observar los

campos transmitidos y reflejados.



61

-1,0 -0,5 0,0

0,4

0,5

0,6

ω

red (ω

a/2π

c)

Reflexión

ωred = 0,48

0 5 10 15 20 25 30 35 40-2

-1

0

1

2

Vec

tor d

e P

oynt

ing

S(z

,t)

z (metros) x10-6

0 5 10 15 20 25 30 35 40-2

-1

0

1

2

λ0

Cam

po E

léct

rico

E(z

,t)

z (metros) x10-6

Decaimiento de Bloch

Figura 5.3 Ubicación del valor de frecuencia reducida a utilizar en la simulación.

a)

b)

Figura 5.4 Resultado de la simulación para una frecuencia de 0.48 (Frecuencia prohibida), la línea

evanescente corresponde a la aportación de la parte imaginaria del vector de Bloch.



62

-1,0 -0,5 0,0

0,4

0,6

ωred = 0,355

ωre

d (ωa/

2πc)

Reflexión

5.1.3 Análisis del campo para frecuencias permitidas.

En esta sección presentamos la visualización del campo, para frecuencias que

estén dentro del rango de frecuencias permitidas y que además presenten un mínimo de

reflexión, lo cual indica que el campo es totalmente transmitido. En la Fig. 5.5 escogemos

un valor de frecuencia reducida 355.0=redω .

Figura 5.5 Ubicación de frecuencia reducida para un mínimo de reflexión.

En la Fig. 5.6 mostramos el resultado de la simulación por medio del MDFDT de la

onda electromagnética.

Para este caso no es necesario omitir el campo incidente, ya que como esperamos un

mínimo de reflexión, esta no va a interferir con el campo.

Como se observa, la onda es completamente transmitida a través del cristal, tal como

se esperaba.

.



63

0 5 10 15 20 25 30 35 40-2

-1

0

1

2

Cam

po E

léct

rico

E(z,

t)

z (metros) x10-6

5 10 15 20 25 30 35 40-2

-1

0

1

2

Vec

tor d

r Poy

ntin

g S

(z,t)

z (metros) x10-6

Figura 5.6 Resultado de la simulación para frecuencia de 0.355 (Permitida).

5.2. Sintonización por medio de la temperatura

La estrategia de sintonizar por medio de la temperatura es la de alterar la constante

dieléctrica del semiconductor por medio de un agente externo con la idea de proponer

dispositivos que tengan una respuesta óptica regulable. Recientemente se han realizado

varios trabajos relacionados con este fenómeno para un CF unidimensional17, 18, 19. En

estas referencias se trabaja con la siguiente función dieléctrica para el semiconductor:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

+−

−−−

+= ∞ )/()/(1)(

22

22

22

h

ph

e

pe

T

TL

iii τωωω

τωωω

ωγωωωω

εωε (5.1)

Aquí peω ( phω ) es la frecuencia de plasma del electrón apantallado, el cual depende de la

concentración de portadores ne (nh), la masa efectiva de conductividad me (mh), y la

constante dieléctrica para altas frecuencias ∞ε como ∞= επω eepe men /4 22

( ∞= επω hhph men /4 22 ). Se incluyen también amortiguamientos de plasmones y fonones.



64

z

InSb

Aire Aire

d d

En la ecuación Tω y Lω son las frecuencias ópticas transversal y longitudinal de fonones

y γ es la constante de amortiguamiento para fonones. Finalmente, eτ ( hτ ) es el tiempo

de colisión de los electrones que puede ser obtenido de la movilidad: em eee /μτ =

( em hhh /μτ = ). En la referencia17 pueden obtenerse los valores completos de los

parámetros materiales utilizados.

El sistema esta conformado por nueve capas con espesor para cada una de las capas

de 10 micras que es ilustrado en la Fig. 5.7. De izquierda a derecha tenemos un medio

semi-infinito (aire), a continuación una secuencia de capas de InSb y aire que es

terminada con una capa de InSb y finalmente tenemos una capa semi-infinita de aire.

Figura 5.7 Geometría de la multicapa

La variación de la función dieléctrica realista del InSb [ec (1)] varía con la

temperatura según se indica en la Fig. 5.8. Los datos experimentales para T=298 K son

graficados con círculos llenos y vacíos. Como se observa, la función dieléctrica tiende a

infinito en 113105.3 −= sxTω . En el límite de bajas frecuencias y en el rango

)10(5.40.3 113 −<< sω , la absorción que producirá la parte imaginaria de la función

dieléctrica será demasiado grande. Es por ello que definimos un rango de frecuencias

1.0/ <ri εε dentro del cual es posible lograr una sintonización aceptable de la respuesta

óptica.



65

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

0

5

10

15

20

25

30

298 K

260 K

200 K

(b)

D

iele

ctric

Fun

ctio

n

Frequency ω (1013 s-1)

εiεr

Figura 5.8 Función dieléctrica del InSb para distintas temperaturas. En cada temperatura las líneas

gruesas (delgadas) describen la parte real (imaginaria) de la función dieléctrica, Los puntos negros y blancos corresponden a resultados experimentales11.

La respuesta óptica del sistema para T= 260, 280 y 300 K es ilustrada en las Figs. 5.9,

5.10 y 5.11. En cada una de estas figuras presentamos, de arriba abajo la reflexión,

transmisión, absorción, la estructura de bandas y la función dieléctrica contra la

frecuencia.

Para el caso de la función dieléctrica la línea punteada corresponde a la parte

imaginaria de la función, en la estructura de bandas la línea punteada corresponde a la

parte imaginaria del vector de Bloch.



66

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.5

1

Ref

lexi

on

Temperatura = 260K

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.5

1

Tran

smis

ion

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.5

1

Abs

orci

on

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1

0

1

Ban

da

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-10

0102030

Func

ión

die

léct

rica

La siguiente figura nos da información de las propiedades ópticas a una temperatura

de 260K

Frecuencia ω (1x1014)

Figura 5.9 Propiedades ópticas de la multicapa InSb-aire para T = 260 K.



67

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.5

1

Ref

lexi

on

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.5

1

Tran

smis

ion

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.5

1

Abs

orci

on

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1

0

1

Ban

da

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-10

0102030

Func

ión

diel

éctri

ca

Temperatura = 280K

A continuación presentamos la respuesta de las propiedades ópticas para una

temperatura de 280K.





68

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.5

1

Ref

lexi

on

Temperatura = 300K

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.5

1

Tran

smis

ion

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.5

1

Abs

orci

on

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1

0

1

Ban

da

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-10

0102030

Func

ión

diel

éctri

ca

Finalmente obtenemos la respuesta de las propiedades ópticas para una temperatura

de 300K.





69

0,0 0,2 0,4

0,0

0,4

0,8

Ref

lect

anci

a

Frecuencia ω (s−1) (1x1014)

T=260K T=280K T=300K

0,23

La variación de la reflexión en función de la temperatura puede ser condensada en la

Figura 5.12 en donde presentamos la comparación de la reflexión para las temperaturas

T= 260, 280 y 300 K. Se observa que la reflexión varía hacia altas energías a medida que

la temperatura aumenta.

Figura 5.12 Comparación de la reflexión en para T= 260, 280 y 300 K.17

A continuación vamos a realizar una simulación para el campo electromagnético

utilizando el MDFDT y observar la respuesta del cristal a diferentes temperaturas.

Elegimos un valor de frecuencia -114 s 0.23x10=ω para comparar la forma del campo

para T= 260, 280 y 300 K, la cual es ilustrada en las Figs. 5.13, 5.14 y 5.15. En cada una

de estas figuras presentamos en la parte (a) el campo eléctrico y en la parte (b) el vector

de Poynting. Los valores de la reflexión en función de la temperatura obtenida por el

método de la matriz de transferencia son R(260K)=0.1, R(280 K)= 0.6 y R(300 K)=0.9.

Estos valores coinciden con el comportamiento obtenido por el MDFDT.



70

0 50 100 150 200 250 300 350 400-2

-1

0

1

2

Cam

po e

lect

rico

E(z

,t)

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.5

1

1.5

2

z ( metros) x10

Vec

tor d

e P

oynt

ing

S(z

,t)

-6

z ( metros) x10 -6

De lo anterior podemos ver que existe una fuerte dependencia de las propiedades

ópticas del material con la temperatura y que es posible la sintonización de estos cristales,

ya que con 40K de diferencia en la temperatura, una banda prohibida pasa a ser banda

permitida.

La siguiente figura corresponde a simulación del campo a una temperatura de 260K:

Figura 5.13 Resultado de la simulación, temperatura de 260K.



71

0 50 100 150 200 250 300 350 400-2

-1

0

1

2

z (metros) x10

Cam

po e

léct

rico

E(z

,t)

0 50 100 150 200 250 300 350 400-2

-1

0

1

2

Vec

tor d

e P

oynt

ing

S(z

,t)

-6

z (metros) x10-6

La siguiente figura corresponde al resultado de la simulación para una temperatura de

280K

Figura 5.14 Resultado de la simulación temperatura de 280K



72

0 50 100 150 200 250 300 350 400-2

-1

0

1

2

z (metros) x10

Cam

po e

lect

rico

E(z

,t)

0 50 100 150 200 250 300 350 400-2

-1

0

1

2

Vec

tor d

e P

oynt

ing

S(z

,t)

-6

z (metros) x10-6

Finalmente tenemos el resultado de la simulación para una temperatura de 300K

Figura 5.15 Resultado de la simulación temperatura de 300K

Como se observa en las figuras anteriores los resultados del MDFDT, están de acuerdo a

lo esperado, observándose como cambia la propagación del campo desde una temperatura

de 260K (R = 0.1) hasta una temperatura de 300K (R = 0.9).

5. propagación en un cristal fotónico...

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