fundamentos, técnicas de análisis y de diseño en fibras de cristal fotónico

Enrique [email protected]

Grupo de Modelización y Diseño

de Dispositivos Fotónicos

Fundamentos,técnicas de análisis y de diseñoen fibras de cristal fotónico

Esquema general

Modelación de fibras de cristal fotónico (FCF)

Diseño de fibras de cristal fotónico

Introducción a las fibras ópticas con envoltura de cristal fotónico


• descripción

• mecanismo de guiado

• tipos de fibras

• propiedades más relevantes

Esquema general



Descripción

Fibras de cristal fotónico (FCF) Fibras microestructuradas

Photonic crystal fibers (PCF) Holey fibers Microstructured fibers

FCF triangular con núcleo de aire.Blazed Photonics

FCF en panal de miel.Crystal Fiber A/S

FCF triangular con núcleo de sílice.

Universidad de Valencia

distribución de índice

Descripción

Fibra convencional

Descripción

Fibra de cristal fotónico

distribución de índice

Fibra de cristal fotónico Fibra convencional

Comparación

Fibra de cristal fotónico (‘triangular’)

Descripción

Distribución de intensidad calculada

Fotografía de campo lejano

Fotografía de microscopio electrónico

Distribución de campo

razón a/

factor de escala M

Estructura versátil

‘Triangular’ Cuadrada Panal de miel

Estructura versátil

Primera preformaPrimera preforma

~ 1 cm

Proceso de estirado

SegundaSegundapreformapreforma ~ 1 mm

Proceso de estirado

FibraFibra ~ 100 m

capilares

Fabricación de FCF

Mecanismo de guiado

Fibra de cristal fotónico Fibra convencional

Reflexión de Bragg Reflexión total (interna)

Reflexión y transmisión

Conservación de la componente de k paralela a la interfaz, con fija: Snell

‘externa’ ‘interna’

Reflexión total (interna)

antes del ángulo límitetras el ángulo límite

Superficies de índices

J. M. Cabrera et al., Óptica electromagnética (2000)

Materiales isótropos y anisótropos —uniáxicos y biáxicos—

Superficies de índices

Multicapa periódica

D.M. Atkin et al., J. Mod. Opt., 43, 1035 (1996)

Reflexión total

interna ‘externa’

B.T. Schwartz et al., J. Opt. Soc. Am. B, 20, 2448 (2003)

Reflexión total ‘externa’

Reflexión total ‘externa’

B.T. Schwartz et al., J. Opt. Soc. Am. B, 20, 2448 (2003)

Guiado por reflexión total

Guiado por reflexión de Bragg

E. Silvestre et al., J. Opt. Soc. Am. A, 15, 3067 (1998)

Lámina homogénea con envoltura de cristal fotónico

Un modelo simple de FCF

(materiales no dispersivos)


E. Silvestre et al., J. Opt. Soc. Am. A, 15, 3067 (1998)

Constancia asintótica del número de modos guiados


Diagrama de bandas de un cristal fotónico 2D

(red hexagonal centrada)

Diagrama de bandas proyectado en eje

FCF triangular

= 2.3 m, a = 0.3 m

FCF monomodo

índice efectivo de la envoltura

Relación de dispersión de FCF

(medios no dispersivos)

A. Ferrando, et al., Opt. Lett. 24, 276 (1999)

J.C. Knight et al., Opt. Lett. 21, 1547 (1996)

Relación de dispersión de fibras convencionales

2 2co clV a n n

c

Fibras (ilimitadamente) monomodo

FCF monomodo

índice efectivo de la envoltura


Fibras (ilimitadamente) monomodo

FCF monomodo


= 632.8 nm

Fibras (ilimitadamente) de pocos modos

a = 0.7 m

= 2.3 m

A. Ferrando, et al., J. Opt. Soc. Am. A 17, 1333 (2000)

Fibras de guiado intrabanda

R.F. Cregan et al., Science 285, 1537 (1999)

Mecanismo de guiado ‘alternativo’

Diagrama de bandas proyectado en eje

= 2.3 m , a = 0.66 m

red triangular

b < a

A. Ferrando et al., Opt. Lett 25, 1328 (2000)

Guiado intrabanda

Fibras con defectos ‘dadores’

Guiado intrabanda

= 2.3 m , a = 0.66 m

red triangular

b > a

Fibras con defectos ‘aceptores’

Tipos de FCF

P. Russell, OPN, Jul/Aug, 26 (2007) | http://www.crystal-fibre.com

Tipos de estructuras

Hexagonal centrada (‘triangular’)

W.H. Reeves et al., Opt. Express 10, 609 (2002)


Tela de araña


Birrefringente

M. Delgado-Pinar et al., ICTON 2007, We.A2.6 (2002)


Núcleo hueco

P. Russell, OPN, Jul/Aug, 26 (2007)

diámetro del núcleo: 20 μm


Hexagonal (no centrada) = panal de miel


Kagomé

Propiedades más relevantes

Monomodo (o pocos modos) ilimitadamente Birrefringencia enorme Relaciones de dispersión versátiles

• dispersión ajustable• frecuencias de corte superiores

Refuerzo o atenuación de efectos alineales• supercontinuo

Supercontinuo

Comparison of the supercontinuum with other broadband light sources

J.M. Dudley et al., Rev. Mod. Phys. 78, 1134 (2006)

Dispersión ultraplana

A. Ferrando et al., Opt. Express 9, 687 (2001)

Frecuencias de corte superiores

– n ~ 4 .10-3 , LB = 0.5 mm, = 2 µm

– ultrahigh birefringence

– new mechanism of polarizationdiscrimination: single-polarization [1350,1700] nm.

m2.0

1.15

x

x

y

a = 0.7 m

b = 0.5 m

A. Ferrando et al., Appl. Phys. Lett. 78, 3184 (2001)

Tipos de FCF

P. Russell, OPN, Jul/Aug, 26 (2007) | http://www.crystal-fibre.com



• análisis modal

• propagación de frentes de ondas

Esquema general


Problema matemático

Métodos biortogonal e iterativo de Fourier

Análisis de fibras reales

Técnicas de cálculo alternativas

Cálculo analítico de 1, 2, …

Análisis modal

Sistemas con simetría de traslación

Ecuaciones de Maxwell

modos de propagación (campos armónicos en z)

constante de propagación

invariancia en z :

Empalme de soluciones

Ecuaciones de Maxwell + invariancia en z

+

soluciones analíticas a trozos y con fronteras compatibles

ecuación característica del sistema en cuestión : 2t, ( ) 0f n x

Complejidad de las estructuras

Ecuaciones de Maxwell + invariancia en z

ecuaciones maestras

2 2t t t t,h eL L h h e e

ecuaciones en valores propios para ht y et

Problema matemático

2 2t t t t,h eL L h h e e

hL y no son operadores hermíticos,eL

sus vectores propios no forman una base ortogonal.

¿Problemas con las expansiones modales?

Biortogonalidad

† †,h e e hL L L L Pero son adjuntos uno del otro :

vectores propios ‘biortogonales’ y valores propios complejo conjugados

Propiedad de biortogonalidad = propiedad de ‘ortogonalidad del campo e-m’

Expansiones modales

Dos posibles resoluciones de la identidad

P.M. Morse y H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics (1953)

Aplicación al caso electromagnético

Sistema problema :

Sistema auxiliar :

E. Silvestre et al., J. Lightwave Technol. 16, 923 (1998)

Aplicación al caso electromagnético

Representación del sistema problema en la(s) base(s) proporcionada(s) por el sistema auxiliar

Sistema problema :

Sistema auxiliar :

(campos)

(ecuación)

E. Silvestre et al., J. Lightwave Technol. 16, 923 (1998)

Aproximación modal Condiciones de frontera

Ecuación de valores propios algebraica

Método biortogonal

Método biortogonal

(con condiciones de frontera periódicas)

D = N

Método biortogonal

a = 0.7 m

= 2.3 m

FCF triangular

Desarrollo modal Condiciones de frontera periódicas

t2

ttt

2

22t hh

c

S.G. Johnson et al., Opt. Express 8, 173 (2001)

Método iterativo de Fourier

espacio de momentos espacio de posicionesFFT

Actuación sin representación explícita de L

Ventajas:

procedimiento ultrarrápido y muy preciso.

inclusión trivial de la dispersión material.

distribución espacial de arbitraria.

materiales anisótropos.

condiciones de frontera absorbentes tipo PML.

anisotropía efectiva de las interfaces.

E. Silvestre et al., Opt. Lett. 30, 453 (2005)

Método iterativo de Fourier

Q

con

D. Aspnes, Am. J. Phys. 50, 704 (1981)

Anisotropía efectiva de las interfaces

FCF triangular

m

ma

050,1

230,0(a)m

ma

778,0

236,0(b) (c)m

ma

653,0

257,0

Estudio eficiente de nuevas configuraciones


5 µm


A. Bjarklev et al., Photonic Crystal Fibres (2003)

Cálculo analítico de 1

método semi-analítico(interpolación y derivación)

aproximación puramente analítica


2122 22

2

1

LLLL

hh

hLh

2

hLhL 22


Propagación de frentes de onda

Light propagation in a taper

Sistemas con variación longitudinal suave

Ecuaciones de Maxwell

ecuaciones maestras para ht o et

2

t t2L

z

h h

ref( , , ) ( , , ) i zx y z x y z e H Ψ+

aproximación de envolvente suave2

ref22

z z

Ψ Ψ

2tref 2 2 t

ref

1

2L I

z i

Ψ

Ψ

(ec. dif. hiperbólica)

(ec. dif. parabólica)Runge-Kutta / Adams

A. Ortega-Moñux et al., IEEE Photon. Technol. Lett. 18, 1128 (2006)

Aproximaciones respecto a la polarización

Light propagation in a taper

ttM

z

Ψ

Ψ

tt

tt

S

vectorial

0semivectorial

0

escalar

xx xy

yx yy

xx

yy

M M

M Mz

M

Mz

Mz

ΨΨ

ΨΨ




• expresiones empíricas

• propiedades de simetría aproximadas

• herramientas diferenciales para el diseño

Esquema general

Expresiones empíricas

Frecuencia de corte

Índice modal normalizado

Radio modal

Pérdidas por microcurvaturas, por macrocurvaturas, por empalmes, …

Fibras convencionales de salto de índice

2 2co clV a n n

c

2.405CV

20.9960

1.1428 , 1.5 2.4b VV

3 2 6

1.619 2.8790.650 , 1.5 2.5

wV

a V V

Cálculo del parámetro V en FCF

M.D. Nielsen et al., Opt. Express 11, 2762 (2003)

FM : ‘fundamental mode’

FSM : ‘fund. space filling mode’

Frecuencia de corte :

Fórmula empírica :

error 3%

Propiedades de simetría aproximadas

Cálculo aproximado de la dispersión de la vg

Propiedades de escalado de , 1, 2, …

Propiedades de escalado el radio modal


2

2

d nD

c d

0

, mnn

k

g mD D D

2

2

gg

d nD

c d

0gn

k

2

2m

m

d nD

c d

D. Davidson, en Optical Fiber Transmission (1987)

Dispersión geométrica (sin disp. material) Dispersión material

Dispersión ‘total’ (con disp. material)


Magnification M

Ratio a


1; , ; , 1g gD f M D f M

M M


A. Ferrando et al., Opt. Lett. 26, 790 (2000)

g mD D D

FCF triangular


Dispersión aplanada

FCF triangular



J. Opt. Soc. Am. 68, 1196 (1978). Science 289, 415 (2000).

Opt. Express 11, 1400 (2003). Opt. Express 9, 813 (2001).

Fibras de Bragg

a) = 1170 nm a = 266 nmb) = 1190 nm a = 248 nmc) = 1210 nm a = 232 nm

a) = 4900 nm a = 115 nmb) = 4210 nm a = 94 nmc) = 3600 nm a = 82 nm

J.A. Monsoriu et al., Opt. Express 11, 1400 (2003)

Dispersión de la vg de fibras de Bragg


1; , ; , 1g gD f M D f M

M M

effnc

1

d

d

2

12 2

d d

d d

…


Ecuación maestra

xn

refn

Hipótesis t ref( , ) ( ) 0n n

x

eff ref( , ) ( ) ( )n n

ref ref

1( , ) ( , ) ( ) ( )M M M

M

d

d

1 1 1,ref 1,ref( , ) ( , ) ( ) ( )M M M

2 2 2,ref 2,ref( , ) ( , ) ( ) ( )M M M M

ref ref

1( , ) , ( )D M D D D

M M M


d

d

effnc

(círculos : exacto; línea : fórmula aproximada)

2

2

2

c

D

c

neff

1cng


Propiedades de escalado de

Suposición inicial ( , ) ( )M f † 2t t2

†t t

r

h h

h h

H. Matsumura et al., Appl. Opt. 19, 3151 (1980)

( , ) ( , )M M M Anchura modal

Herramientas diferenciales para el diseño

Evaluación analítica de pi

Gradientes de ng y de D

Procedimientos de diseño

Análisis de tolerancias de fabricación

Gradiente de

T

t1

t2

2T

ttTtt ˆˆ zzc

L

Evaluación analítica de pi

Gradientes de ng y de D

2target

2 DPDP

N

iii

i

ppp

PDPDPD

10,

00

P2

P

Algoritmo basado en el gradiente

0P E. Silvestre et al., Opt. Lett. 31, 1190 (2006)

Función de mérito a minimizar

Procedimiento de diseño

FCF de dispersión ultraplana

02010 ,, rrMP

m845.0m305.0m103.2 21 r,r,

Simulaciones numéricas

m331.0m268.0m310.0m968.0 321 r,r,r,

28SMF40 D

FCF compensadora de la dispersión de ancho espectro (BDCF)

0302010 ,,, rrrMP

Simulaciones numéricas

Análisis de tolerancias de fabricación

BDCF

N

ip

iD ip

PD

1

2

2

2


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