propagación de errores

5/10/2018 Propagación de errores - slidepdf.com

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84 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas

Programación y Métodos Numéricos Errores de redondeo en la representación

de números reales: PROPAGACIÓN DE ERRORES

Programación y Métodos Numéricos Errores de redondeo en la representación

de números reales: PROPAGACIÓN DE ERRORES

Alfredo L Alfredo L óópez Benitopez BenitoCarlos Conde LCarlos Conde Láázarozaro

Arturo Hidalgo L Arturo Hidalgo L óópezpezFebrero, 2007





Pasos:1º. Multiplicar mantisas almacenando el resultado en

mantisas de 2.s dígitos decimales.2º. Ajustar exponentes.3º. Aproximar el número obtenido como resultado por un

número máquina con s dígitos decimales de mantisa.Ejemplo: En el sistema F(5, -99, 99, 10) y redondeando, calcular:

( ) ( )3 10. 10 0. 102577 1983i i i

1º. ) ( ) 10. 0. 0 51102577 1 1910983 . 10

−=i i

2º. 10-3 . 101 . 10-1 = 10-3

3º.( ) ( )3 1 3

0. 10 0. 10 0.512577 1 10191983 100−

=i i i i

351100. 10

−i

Multiplicación de números de F(s+1, m, M, 10)

Multiplicación de números de F(s+1, m, M, 10)





Notación:

Valor exacto del producto de los números máquina a y b: a biNúmero máquina que aproxima al valor exacto del productode los números máquina a y b: a b

Se verifica que: a.b(a )ba b 1+ δi i , con: a.b u≤a.b (a.b).ca b c(a b) c (1 ) (1 )+ δ+i i i i

a.b (a.b).c a.b (a.b).ca )b (1c + + +δ δ ≈i i i i a.b (a.b).c(1a b c )δi ii

Conclusión: En la multiplicación (y en la división) de variosnúmeros máquina se suman los errores relativosde cada operación elemental.

Propagación de errores en la multiplicación de números de F(s+1, m, M, 10)

Propagación de errores en la multiplicación de números de F(s+1, m, M, 10)





15332114 0a 0. 1b

−= i

1a b 530 1032.

−= i

4

a.b

a b

a b0.2138

a b10

−= =i

ii

( ) 1a b 336502520. 10c −= ii

( ) 1a b c 33650. 10

−= i

( ) ( )

( )(a.b)

5

.c

a b a0.7

b c

a 9c

48 1b 0c

−

= =−

ii

i

13365097145a b c 0. 104

−=i i( ) 4

a.b.c

a b ca b c

a b c

0.2887 10−δ

−= = i

i

i

i

i

a.b (a.b).c

40.2887 10

−δ δ = i

En el sistema F(5, -99, 99, 10) y redondeando, calcular elnúmero máquina: (a b) c con ( )0

123a 0. 4 10i ( )0432b 0. 1 10i

( )0

631c 0. 1 10iy

Ejemplo Ejemplo





La multiplicación en el sistema de números máquina pierdela propiedad asociativa

(a b) c a (b c)

a.b (a.b).ca b c(a b) c (1 ) (1 )+ δ+i i i i

b.c a.(b.c)a b ca (b c) (1 ) (1 )+ δ+i i i i

a.b (a.b).c

b.c a.(b.c)

(1 ) (1 )1

(1 ) (1

(a b) c

a (b c) )

+ += = +

δ

δγ

δ+

i

i

0a b 20460. 10i

4b c 100 1078.

−

=i

50.(a b) c 25 1017

−= i

50.a (b c) 25 1016

−= i

Ejemplo: En el sistema F(5, -99, 99, 10) y redondeando

( )0233a 0. 4 10i ( )0

876b 0. 4 10i ( )4123c 0 00. 1

−= isean:

Comentario sobre la multiplicación de números máquina Comentario sobre la multiplicación de números máquina





En la división de números máquina los errores tienen un compor-tamiento análogo, si bien ahora el cociente de dos números má-

quina con mantisas de s bits no puede ser calculado exactamentecon números con mantisas de 2·s decimales

Ejercicio propuesto: Analizar detalladamente la propagación

de errores en divisiones consecutivas

Ejemplo: En el sistema F(5, -99, 99, 10) y redondeando,sean: 0

250a 0. 0 10i4

123b 0 04. 1−= i

10.0

250020259319

1

. 10

0. 234

= i

1º. Cociente de mantisas(redondeando a 8 bits): 2º. Ajuste de exponentes:0

1 5

4

1010 10

10−

=i

3º Aproximación por un número máquina: 5(a b) 20260. 10i

Multiplicación de números de F(s+1, m, M, 10) Multiplicación de números de F(s+1, m, M, 10)





Pasos:

1º. Ajustar exponentes añadiendo ceros en la mantisa delnúmero con menor exponente

2º. Sumar mantisas.

3º. Aproximar el número obtenido como resultado

por un número máquina con s bits de mantisa.

Sumas y restas de de números de F(s+1, m, M, 10)

Sumas y restas de de números de F(s+1, m, M, 10)





( ) ( )1 10. 10 0. 19874 4325 0i i

1º. No es necesario al tener ambos números el mismoexponente

2º.

3º. 214190 9. 10i 2a b 14200. 10i

Ejemplos: En el sistema F(5, -99, 99, 10) y redondeando,calcular:

( ) ( )1 1 29874 43a b 0. 10 0. 10 12 45 9 110. 09= + =i i i

a b

4(a b)

(a b)0

(.7043 10E

a b) −+

⊕==

+i

Sumas y restas de de números de F(s+1, m, M, 10): Ejemplos






( ) ( )1 20. 10 09874 43 1025.

−⊕i i

1º.

2º.3º. 1

987830 25. 10i1

a b 98780. 10i


( ) ( )1 1 19874 43a b 0. 10 0. 10 0.000 98783 525 2 10= + =i i i

a b 4

(a b)

(a b) 0(

.3290 10Ea b)

−+

⊕== + i

1432b 0.000 5 10i

Sólo han intervenido los dos primeros decimales de lamantisa del segundo sumando (el menor en valor absoluto)







( ) ( )1 50. 10 09874 43 1025. −⊕i i

1º.

2º.3º. 1

98740040 325. 10i1

0. 1a 0b (= a98 )74= i


( ) ( )1 1 1

9874 43a b 0. 10 0. 10 0.000000 9874004325 1025= + =i i i

a b

6(a b)

(a b) 0

(

.4380 10E

a b) −

+

⊕

== + i

1000000432b 0. 5 10i

No ha intervenido ningún decimal de la mantisa delsegundo sumando (el menor en valor absoluto)







En la suma de dos números máquina de muy diferentes órdenes de magnitud, “no intervienen” los últimos decima-

les del que tenga menor magnitud. Aunque el error relativo no sea elevado,ello puede acarrear “consecuencias desagra-dables”.Propiedad.

Siendo a y b dos números máquina positivos del sistemaF(s+1, m, M, 10) tales que a > b y siendo ea y eb losexponentesde ambos números, se verifica que en el númeromáquina a b obtenido por redondeo no influyen los(ea – eb –1) últimos dígitos de la mantisa del número b.Ello origina el denominado error de pérdida de significadode los últimos dígitos decimales de b.

Error de pérdida de significado Error de pérdida de significado





Ejemplo: En el sistema F(5, -99, 99, 10) y truncando,calcular:

1s a b⊕ 2s (a b) b⊕ 3s ((a b) b) b⊕ ⊕....

ns (...((a b) b) b)...) b⊕ ⊕ ⊕ ⊕siendo:

1a 4000. 0 10i y

3b 5000. 0 10

−= i

1

1

1 1s a b 4000 0 5000(0. 10 ) (0. 10 ) 0. 10000 4000= + =i i i

1

2

1 1(0. 10 ) (0 50s (a b) b 004000 0000 4000. 10 ) 0. 10⊕ = + =i i i

1

3

1 1(0. 1s 0 ) (0.((a b) b) b 4000 00005000 10 40. 00) 100= + =⊕ ⊕ i i i

.....1

ns (...((a b) b) b) 0...) b 0 00 10.4⊕ ⊕ = i

Valores exactos: S1 = 0.40005.101 , S2 = 0.4001.101 ,

S3

= 0.40015.101 , S4

= 0.4002.101 , ......

Error de pérdida de significado: Ejemplo Error de pérdida de significado: Ejemplo





Los errores de pérdida de significado en cada una de lasSumas no son importantes pues se traducen en erroresrelativos que están acotados por la unidad de redondeo.

El peligro de los errores de pérdida de significado está ensu acumulación al realizar sumas consecutivas.

Error de pérdida de significado.Error de pérdida de significado.





CONSECUENCIA PRÁCTICA: Los números máquina debensumarse de menor a mayor valor absoluto.

Siendo:1

a 4000. 0 10i y 3b 5000. 0 10

−= i

1

1

1 1s b a 4000 0 5000(0. 10 ) (0. 10 ) 0. 10000 4000= + =i i i

12

1 1(0. 10 )s (b b) a 1000 4(0. 1000 40000 ) 0. 1000 1⊕ = + =i i i

1

3

1 1s (0. 1(( 0 )b (b) 00 . 10 ) 0b) a 15 4000 4001. 1000= + =⊕ ⊕ i i i

.....

n 1

n

n

si ns (...(

es im(b b) b) b)...

par

si n

S

S es p ra

a)

−⊕ ⊕ ⊕ ⊕⎧

= = ⎨⎩

14 1 1(0. 1s 0 ) (0. 10 ) 0. 1(((b b) b) b) a 2 4000000 0 04 02= + =⊕ ⊕ ⊕ i i i

Error de pérdida de significado.Error de pérdida de significado.





Ejemplo:

Derivada exacta

h 0

f (x * ) f (x*)f '(x*) m

hli

h

→

+ −=

Derivada numérica:xf ( ) f ( )

f '(x*)h *

h*

* xF

−≈ =

+

En general, cuanto menor sea el valor de h más parecidosserán los valores de f’(x*) y F* …...... si no fuese porque los errores de pérdida de significa-do pueden hacer que el número máquina H que aproxima a

(x* + h – x*) sea distinto a h con lo que la fórmula numé-rica se convierte en: xf ( ) f ( )

f '(x*)H *

h*

* xF

−≈ =

+

que deja de ser una buena aproximación de la derivada.

Error de pérdida de significado: Ejemplo.Error de pérdida de significado: Ejemplo.





Ilustrémoslo con la función f(x) = ex evaluando su derivadaen el punto x* = 1 y trabajando con números máquina del

sistema de números máquina F(5, -99, 99, 10).Los resultados que se obtienen para distintos valores positi-vos del entero i se recogen en la tabla de la próxima diapo-

sitiva en la que se utiliza la siguiente NOTACIÓN,

Z : Número máquina que aproxima 1+hh : 10-i (incremento usado en el denominador)

H: Valor de Z – 1(incremento que realmente se usa en el numerador)

Aprox: Número máquina obtenido por: Zf( ) f ( )Ap

h

rox1

=






0.0000.0002.7182.7180.0000.0001.0001.0000.000010.0000155

0.0000.0002.7182.7180.0000.0001.0001.0000.00010.000144

2.7192.7192.7182.7180.0010.0011.0011.0010.0010.00133

2.7322.7322.7182.7180.010.011.0101.0100.010.0122

2.8592.8592.7182.7180.10.11.1001.1000.10.111

4.6714.6712.7182.7181.01.02.0002.0001.01.000

Aprox. Aprox.f f ’ ’ (1)(1)HHZZh=10h=10 -- iiii

Para valores de h suficientemente pequeños el error depérdida de significado hace que el número máquina Z que

aproxima a (x*+h) coincida con el número máquina x*

Mejora la aproximación al reducir h

La reducción del valor de h empeora la aproximación

obtenida






Forma práctica de cálculor aproximaciones numéricas de derivadas primeras: Dado un valor de h evaluar el número máquina Z = (x*+h)y el número máquina H = Z – x*. Si H ≠ 0 se utiliza la

fórmula numérica:f ( ) f ( )

f 'x*

x(Z

) F**H

−≈ =






A los errores anteriores debe añadírseles, en general,

el error que previamente se comete al aproximar unnúmero real por un número máquina. Por ejemplo, en elproducto de números reales:

a

(1a )a* = + δib

(1b )b* = + δia*.b*

a* b* a* b* (1 )δi i

a b a*.b*(1 ) (1 )aa* b* (1 )b δ δ+ + δi i i i

a b a*.b*a b* (1a b )* δ+ δδ +i i

a ba u(1 3 )* b* ≤ +i i i

Operaciones con números reales.Operaciones con números reales.





Al restar dos números reales representados por sendosnúmeros máquina“muy parecidos” pueden cancelarse

decimales de la mantisa obteniéndose como resultado unnúmero máquina con un error relativo respecto al resultadoexacto mucho mayor que los errores relativos cometidosen la aproximación de los números con los que se opera.

Este efecto se conoce con el nombre deERROR DE CANCELACIÓN .

Error de cancelación en la resta de números reales.






En el sistema F(6, -99, 99, 10) se tiene:

a 2 / 30

a* 6660. 67 10i

b 141/ 2120

b* 6650. 09 10i

5

aa

a0* 5 10a .

−= = i

5

b

b

b0

*6 10

b.

−= = i

21a b 0.1572327... 10

636

−− = = i

2a * b* 158000. 10−= i

2157(a b 230 0) .* 1

−− = i

a b

2(a* b*)(a b)*(a b

0.)

88 04*

1−−δ −= − − =

−i

Un error relativo MIL VECES MAYOR que los errores

en losvalores de partida.

Error de cancelación en la resta de números reales: ejemplo.

Error de cancelación en la resta de números reales: ejemplo.





PropiedadSi a y b son dos números reales positivos tales que en laoperación (a - b) se anulan m decimales de la mantisa,trabajando en el sistema F(s, m, M, 10) se verifica que:

s( ) ( )a b

a b

a*10

( )

b* μ−− ≤−

−

CONSECUENCIA:

Cuanto mayor sea el número de decimales que se anula en la mantisa del número obtenido al restar dos números reales más elevada es la COTA del error relativo del número máquina obtenido al realizar dicha operación.



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