4 funciones basicas

1

4. Funciones básicas

2

Función Exponencial

Sea z = x+iy, definimos la función exponencial como:

)sin(cos yiyee xz

¿Por qué?

(1) ez se reduce a ex cuando z es real (cuando y = 0). (2) ez es una función entera (es analítica en todo punto).

(3) Su derivada coincide con la función misma, como en el caso de la exponencial real.

eiee i )sin(cos1

332/3 )2/sin2/(cos ieiee i

3

(2) Veamos que ez es una función entera, es decir analítica para todo z:

Tenemos: u(x,y) = ex cos y ; v(x,y) = ex sin ycuyas derivadas parciales son continuas para todo (x,y) y

ux = ex cos y = vy uy = -ex sin y = -vx

es decir, cumplen las las ECR, para todo (x,y).(3) Su derivada es:

zxxz

eyieyexv

ixu

dzde

sincos

4

Podríamos haber abordado la definición de la siguiente manera:Recordando que la función exponencial real se determina por la ecuación diferencial f'(x) = f(x) con f(0)=1, nos preguntamos si existe una solución analítica a:f'(z) = f(z) con f(z)=1. Si la solución existe, coincidirá con ex cuando z = x.

0)0(,1)0(),()(

vuzfivux

vi

x

u

dz

zdf

),(),,( yxvx

vyxu

x

u

Supongamos como soluciones (separación de variables):

0)0(,)(),(;1)0(,)(),( qeyqyxvpeypyxu xx

5

)()('

)()('

ypyq

yqyp

Todas las soluciones son de la forma:con A y B constantes. Como:

0)0(,)(),(;1)0(,)(),( qeyqyxvpeypyxu xx

Derivemos ambas ecuaciones respecto a y y apliquemos CR:

xxy

x

xxy

x

eypuveyq

eyqvueyp

)()('

)()('

0)()('')()(')(''

)()(')(''

yyyqypyq

ypyqyp

yByA sincos

yyqyyp

qppq

sin)(;cos)(

0)0()0(';1)0()0('

yieyezf xx sincos)(

6

O bien podríamos haber alcanzado la definición a través de series...

7

Propiedades de la función exponencial

21

21

21

21

212121

)sin(cos)sin(cos

)]sincoscos(sin

)sinsincos[(cos

)]sin()[cos(

2211

2121

2121

2121

)()(

zz

xx

xx

xx

yyixxzz

ee

yiyeyiye

yyyyi

yyyye

yyiyye

ee

2121 zzzz eee (1)

8

(2) Resolvamos ez = 1:

Igualando la parte imaginaria: ex sin y = 0 y = n (n = 0,1,2.....).Igualando la parte real:1 = ex cos y = ex cos ( 2n) = ex x=0. z = 2n i (n = 0,1,2.....).En particular e0 = 1.

(3) (ez)-1 = e-z

Observemos que 1 = e0 = ez-z = ez e-z.

(4) (ez)n = enz , con n entero.Para n=0,1 la igualdad es cierta por definición.Para n > 1, aplicamos ez+w = ez ew e inducción.Para n < -1, (ez)n = [(ez)-1] –n = (e-z) –n = enz.

10

y

x

-

-3

3

u

v

(5) Observemos que ez 0 z. El rango de la función exponencial es todo el plano w, excepto 0, C - {0}.

(7) De modo que ez es periódica con periodo 2 i ez+ 2 i = ez z

(6) arg ez = y 2n (n = 0,1,2...).

Así que podemos dividir el plano z en bandas periódicas infinitas de ancho 2. De modo que la imagen de cada banda llena la totalidad del plano w (excepto w = 0). La banda - < y se denomina región fundamental o principal de ez.

11

yeRxyyxr

yiyeezf

x

xz

,)/arctan(,

)sin(cos)(

22

Las líneas y = c e y = d se transforman en los rayos respectivamente (a excepción del origen). Las línea x = a y x = b se transforma en los círculos de radio R = a, b respectivamente. Combinando ambos hechos, observa como se transforma el rectángulo.

dc,

12

f(z) = exp(z) = ex (cos y + i sen y)Esquema de color dependiente del valor real

Dominio Rango

13

f(z) = exp(z) = ex (cos y + i sen y)Esquema de color dependiente del valor imaginario

Dominio Rango

http://winnie.fit.edu/~gabdo/function.html

14

The complex exponential maps the infinite open strip bounded by the horizontal lines through ±πi one-to-one onto the plane minus the negative real axis. The lines of constant real part are mapped to circles, and lines of constant imaginary part to rays from the origin. In the animation we view a rectangle in the strip rather than the entire strip, so the region covered is an annulus minus the negative real axis. The inner boundary of the annulus is so close to the origin as to be barely visible. We also make the strip a bit thinner than 2π, so that the annulus does not quite close up.

http://www.ima.umn.edu/%7Earnold/complex/exp-g.html

15

ez = ex (cos y + i sen y) (1.1)

23

yiyee yiz sincos

sincos iei

)sin(cos yiye

eex

yixz

(8) Fórmula de Euler

Cuando z es imaginario puro (x = 0):

24

i

k

k

nknkkkk

kk

n

n

eif

ik

keiiid

df

eif

eeeee

efef

nff

fff

nini

iii

sincos)(

)sin(coscossin

sincos)(

)()(

)()]([

)()()(

)sin()cos(sincos

)sin()cos(sincossincos

)(

¿Cómo llegó Euler a esta fórmula? (Series de potencias ...)

25

01ie

sincos iei

(9) “The most remarkable fórmula in math”(Richard Feynman)

nos proporciona la siguiente identidad:

Observa que parala fórmula de Euler,

26

From Gianluca Gorni's web site

27

Ejercicio: Hallar todas las soluciones de ez = 3+4i

Solución: Igualando módulos |ez| = ex = 5x = ln(5) = 1,609. Igualando partes real e imaginaria:

ex cos y = 3; ex sin y = 4

cos y = 0,6; sin y = 0,8 y = 0,927 2n

z = 1,609 + (0,927 2n) i (n = 0,1,2.....)

(10) |eiy| = |cos y + i sin y| = (cos2y + sin2y) = 1

(11) |ez| = |ex+iy|= |ex| |eiy|= |ex|= ex > 0

4222424245.04 5.0sin5.0cos5.0sin5.0cos eeeee i

28

)sin(cos irz z

y

x

r

iei sincos

irez

(12) Las formas exponencial y trigonométrica

Recuerda que la forma polar para un número complejo es

La fórmula de Euler nos dice que

Formaexponencialde un número complejo

29

i

i

rez

rez

4/iez

4/iez

(13) La función exponencial y el conjugado

iez ¿Qué números complejos satisfacen la expresión ?

El módulo es 1 y puede tomar cualquier valor, de modo que satisfacen la expresión todos los números complejos sobre el círculo unidad.

x

y

z

iez

iez 21

Todos los números complejos sobre un círculo de radio 2, centrado en z0=1

¿Qué números complejos satisfacen la expresión ?

x

y

2

iez 21

z0=1

30

(14) Producto y división en forma exponencialEs sencillo multiplicar y dividir en forma exponencial. Por ejemplo, dividamos:

i

i

ei

ei4/

2/

822

ii

i

ee

e

i

i )4/()4/(

)2/(

8

1

8

1

22

2

1

22

11

i

i

erz

erz

)(

2

1

2

1

2

1

)(212121

21

2

1

2121

ii

i

itii

er

r

er

er

z

z

errererzzEn general:

32

Aplicación: Fasores

Muchas señales pueden ser representadas como senoides:

t

)sin()( tatX

a

2

33

tiaetitatz )sin()cos()(

t2

AA

BB

C

D

C

D

A

B

C

)(tz

t

Representación de un número complejo en forma de fasor

34

)()]sin()[cos()(' tiAetitAtz

t

2

AA

BB

C

D

C

D

A

B

C

)(tz

t

Cambio de Fase

tiAetitAtz )sin()cos()(

)(' tz

35

Corriente Alterna

)cos()( tIti

Resistencia R

)cos(v(t) tIR

2

πcosv(t) t

C

I

2

πcosv(t) tLI

tjeRI Rev(t)

tje

C

jI

Rev(t)

tjeLjI Rev(t)

La tensión está en fase con la corriente

Inductancia L

La tensión adelanta a la corriente en

La tensión se retrasa respecto a la corriente en 2

Circuitos

2

36

tj

tjtj

eRItIRtR

eRRtjtReR

tIRtv

Re)cos( v(t)Por tanto.cos

e que Así .)sin()cos( Pero

)cos()(

tjtj eC

jIje

C

It

C

I

ttC

It

C

I

ReRe)sin(

2

πsin)sin(

2

πcos)cos(

2

πcosv(t)

tjtj LejIjeLItLI

ttLItLI

ReRe)sin(

2

πsin)sin(

2

πcos)cos(

2

πcosv(t)

37

Lj

C

jR

Z

Definimos la impedancia compleja Z como

Si definimos la tensión compleja como V = IZ

tjeIZ Re v(t)o

tjtjtj eLjIeC

jIeRI

Rev(t)Rev(t)Re v(t)Como

tjeZI Rev(t)

Cada una de esas fórmulas pueden ser escritas como

tjeV Rev(t) podemos escribirlo en la forma

ResistenciaCapacitanciaInductancia

38

ie

Podemos escribir:

sincos,sincos ieie ii

sin2

,cos2

i

eeee iiii

x

y

ie

ie

cos2

Funciones trigonométricasA partir de la fórmula de Euler:

39

Whittaker & Watson,A Course of

Modern Analysis,Fourth edition 1927

(Un paréntesis)

40

Observa que los autores suponen que el lector está familiarizado con la siguiente identidad trigonométrica:

1

122

sin sin sin n

n nn n n

122sin 2sin 2sin n

n n n n

que es equivalente a:

Esta identidad trigonométrica es equivalente al siguiente teorema geométrico:

sin

( k

/n )

n 1n

n

kn

1

2 si

n (

k/n

)

n 1n

n

kn

1

Si equiespaciamos n+1 puntos alrededor del círculo unidad y trazamos un conjuntos de cuerdas paralelas, entonces el producto de las longitudes dobladas de las n-1 cuerdas es n.

122sin 2sin 2sin n

n n n n

Reordenando las cuerdas, introduciendo números complejos y usando la idea de que el valor absoluto y la suma de números complejos corresponde a la adición de vectores. La longitud de la k-ésima cuerda será:

2 si

n (

k/n

) n 1n

n

kn

1

2k ine

2 1n i

ne

2 ine

1

ine

2 sin ( k/n )

2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 11 1 1 1 1 1i n i n n i n i n i n n i ne e e e e e

nikenk /21)/sin(2

Y el producto de la longitud de las n-1 cuerdas será:

Introduzcamos un número complejo arbitrario z y definamos la función:

2k ine

2 1n i

ne

2 ine

1

ine

2 sin ( k/n )

2 1 2 2 2 1i n i n n i ng z z e z e z e

2k ine

2 1n i

ne

2 ine

1

z

2 1 2 2 2 11 1 1 1 .i n i n n i ng e e e Evaluemos:

Para ello observemos que en los factores aparecen los n números: 2 1 2 2 2 3 2 11, , , , ,i n i n i n n i ne e e e , que son las raíces enésimas de la unidad.

2 1 2 2 2 11 1 i n i n n i nnz z z e z e z e

2k ine

2 1n i

ne

2 ine

1

ine

2 sin ( k/n )

2k ine

2 1n i

ne

2 ine

1

z

2 1 2 2 2 3 2 11, , , , , ,i n i n i n n i ne e e e

Las n raíces de la unidad son solución de la ecuación:Por el teorema fundamental del álgebra, la ecuación polinómica 1 0nz tiene exactamente n raíces, que son: Así el polinomio 1nz puede factorizarse únicamente como:

1z g z

Como, además:

1 2 3 11 1 1n n n nz z z z z z 1z g z

Así: 1 2 3 1n n ng z z z z z y 1 .g n

2 1 2 2 2 1the product of the lengths of the chords 1 1 1i n i n n i ne e e 1g n

Finalmente tenemos:

1nz

Longitud del producto de las n-1 cuerdas

45

Si 1 2 3 nC C C C

1 21nnx PC PC PC

es un n-ógono regular inscrito en un círculo de radio unidad centradoen O y P el punto sobre 1OC a distancia x de O, entonces

Teorema de Cotes (1716)

1C

kC3C

O

2C

nC

1nC

Px

Nota: Cotes no publicó una prueba de este teorema, quizás porque el uso de los números complejos no eran todavía considerado una manera respetable de probar un teorema en geometría.

Roger Cotes (1682 –1716)

46

A partir de la observación anterior, resulta natural definir las funciones seno y coseno de una variable compleja z por medio de las siguientes expresiones:

iee

zee

zzizizizi

2sin,

2cos

Funciones trigonométricas de variable compleja

Observa que en variable compleja las funciones trigonométricas y exponencial están íntimamente relacionadas, cosa que no ocurre en variable real.

zz sin)(cosdzd zz cos)(sin

dzd

Con estas definiciones:

(1) cos z (sin z) se reduce a cos x (sin x) cuando z es real.

(2) cos z y sin z son funciones enteras (analíticas en todo punto).(3) Sus derivadas coinciden con sus equivalentes en variable real.

47

Ejemplo: Resolver cos z = 5.

Solución: Aplicamos la definición en exponenciales del coseno:

cos z = [eiz + e-iz]/2 = 5

eiz + e-iz – 10 = 0; multiplicando la ecuación por eiz

ei2z –10 eiz + 1 = 0; Haciendo el cambio de variable t = eiz

t = eiz = 5 (25-1) = 9.899 o 0.101

z = 2n 2.292 i (n=0,1,2....)

e-y = 9.899 ó 0.101 y = 2.292eix = 1 x = 2n (n=0,1,2....)

48

Two-to-one coverings of a disk by the complex cosine restricted to a rectangle of width 2π and height 2 centered at the origin.

49

Two-to-one coverings of a disk by the complex sine restricted to a rectangle of width 2π and height 2 centered at the origin.

50

El resto de funciones trigonométricas se definen en relación a las funciones seno y coseno mediante las relaciones conocidas:

zz

zz

z

zz

z

zz

sin

1csc,

cos

1sec,

sin

coscot,

cos

sintan

Las fórmulas usuales para las funciones trigonométricas de variable real siguen siendo válidas para las correspondientes de variable compleja:

212121

212121

sincoscossin)sin(

sinsincoscos)cos(

zzzzzz

zzzzzz

1sincos 22 zz

tan z y sec z (cot z y csc z) no son enteras, ya que no son analíticas en los puntos donde cos z (sin z) es 0.

ii

ii

ee

ee

i

1

tanObserva por ejemplo que:

52

Las funciones hiperbólicas reales se definen por analogía a las definiciones de seno, coseno y tangente en variable compleja:

xx eex 21

cosh xx eex 21

sinh

xx

xx

ee

eexx

x

coshsinh

tanh

iziz eei

z 21

sin iziz eez 2

1cos

iziz

iziz

eeee

iz

1

tan

Funciones hiperbólicas de variable real (recordatorio)

53

-3

-15

-10

-5

5

10

15

-2 -1 0 1 2 3

xy sinh

-1

1

-3 -2 -1 0 1 2 3

xy tanh

-3 -2 -1 0 1 2 3

1

5

10

xy cosh

Representación gráfica de las funciones reales hiperbólicas

Nota: La ecuación de una cuerda suspendida de dos puntos a la misma altura es

a

xay cosh .

La curva se conoce como catenaria.

54

Interpretación de las funciones hiperbólicas reales

círculo el sobre hallan se )sin,(cos xx 122 yx )1sincos( 22 xx

1sinhcosh 22 xxhipérbola la sobre halla se )sinh,(cosh xx

122 yx

)sin,(cos xx )sinh,(cosh xx

Así como las funciones circulares (trigonométricas) aparecen en problemas que involucran integrales con (1-x2)1/2, las hiperbólicas aparecen con (1+x2)1/2.

55

Derivadas de las funciones hiperbólicas reales

xx

xx

xx

2hsec)(tanh

sinh)(cosh

cosh)(sinh

Demostración:

xeeeex xxxx sinh21

21

)(cosh

1)(coshsinhtanh Como xxx

x

x

xx

xxxxxx

2

2

2

2

12

hsec

tanh1

1coshsinh

)(coshcoshsinh))(cosh1(sinh)(tanh

xeeeex xxxx cosh21

21

)(sinh

•

•

•

57

2sin

2cos

sincossincos2

12

1

2

1

2

1cos )()(

yyyy

yy

ixyixyyixiyixizizi

eexi

eex

xixexixe

eeeeeez

Escribamos las funciones trigonométricas complejas en forma binómica: ),(),()( yxviyxuzf

yxiyxz sinhcoscoshsinsin De la misma manera para la función seno tenemos:

yxiyxz sinhsincoshcoscos

58

xeeix xx cosh21

cos

xiee

i

eei

iee

iee

iix

xx

xxxxxx

sinh)(2

)(2

)(21

21

sin2

xixxi

ixix

ix tanhcoshsinh

cossin

tan

Si particularizamos en las definiciones de las funciones trigonométricas complejas para z = ix tendremos:

59

xix coshcos xiix sinhsin xiix tanhtan

Estos resultados nos dan una regla general para convertir identidades trigonométricas en identidades hiperbólicas:

Cualquier identidad trigonométrica seguirá siendo válida si reemplazamos sin(), cos(), tan() por sinh(), cosh(), tanh() respectivamente. Teniendo en cuenta, además, que si hay un producto de dos sin() ó tan(), cambia el signo del término sustituido.

Por ejemplo:

sinhcoshcoshsinh)sinh(

sinhsinhcoshcosh)cosh(

sinsincoscos)cos(

sincoscossin)sin(

60

(1) Resolver cos z = 0

cos z = cos x cosh y – i sin x sinh y = 0

Parte real: cos x cosh y = 0 cos x = 0; x = (2n+1)/2 (n = 0,1,2...)

Parte imaginaria: sin x sinh y = 0 sinh y = 0; y = 0

z = (2n+1)/2 (n = 0,1,2....)(2) Resolver sin z = 0

sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y = 0

Parte real: sin x cosh y = 0 sin x = 0; x = n (n = 0,1,2...)

Parte imaginaria: cos x sinh y = 0 sinh y = 0; y = 0

z = n (n = 0,1,2....)

Los ceros de cos z y sin z son los mismos que los de sus análogas funciones cos x y sin x reales.

61

Funciones hiperbólicas complejas

Hemos definido las funciones hiperbólicas de una variable real como:

2sinh

2cosh

xx

xx

eex

eex

Parece natural definir las funciones

hiperbólicas de variable complejamediante las expresiones:

2sinh,

2cosh

zzzz eez

eez

(1) Estas funciones son enteras y con derivadas:(cosh z)’ = sinh z ; (sinh z)’ = cosh z

(2) Otras funciones hiperbólicas se definen como:tanh z = sinh z / cosh z ; coth z = cosh z / sinh zsech = 1/cosh z ; csech z = 1/sinh z

que son analíticas excepto en los puntos en que el denominador se anula.

62

yiyeyiye

eeeez

xx

yixyixzz

sin(cos)sin(cos21

21

21

cosh

Escribamos las funciones hiperbólicas complejas en forma binómica:

yxiyxz sincoshcossinhsinh

yxiyxz sinsinhcoscoshcosh

De la misma manera podemos demostrar que:

63

Ejercicio: Demostrar la identidad de Moivre para funciones hiperbólicas:

)sinh()cosh()sinh(cosh nnn

)sin()cos(sincos nini n

Ejercicio: Demostrar que : cosh (iz) = cos z y sinh (iz) = sin z

Ejemplo: Veamos que |cos z|2 = cos2x + sinh2y

|cos z|2 = cos2x cosh2y + sin2x sinh2y

Como cosh2y – sinh2y = [½(ey + e-y)]2-[½(ey - e-y)]2 = 1

|cos z|2 = cos2x (1 + sinh2y) + sin2x sinh2y = cos2x + sinh2y

66

Ejercicio: Hallar todas las soluciones de la ecuación

. sen 3 62 2

iz iz iz iziz ize e e e

z i e ei i

. Hacemos

ize T, y la ecuación resulta:

1 26 6 1 0T T T T

, cuyas soluciones son:

6 36 4 6 2 103 10

2 2T

, de donde

ln 3 10 ln 3 10 2iz k i

, y también

ln 3 10 ln 3 10 2iz k i

con k un número entero. Despejando z se obtiene la solución:

2 ln 3 10 , 2 ln 3 10z k i z k i

, con k un nº entero.

3 seni z

67

yxiyxz sinhcoscoshsinsin f(z) = sen zEsquema de color dependiente del valor imaginario

Dominio Rango

68

f(z) = cosh zEsquema de color dependiente del valor real

Dominio Rango


69

f(z) = cosh zEsquema de color dependiente del valor imaginario

Dominio Rango


71

Pescando Biomorfos

Algunas veces me considero un pescador. Los programas de ordenador y las ideas son mis herramientas, cañas y redes. Los gráficos que aparecen en mi pantalla son trofeos y deliciosas mieles.

Clifford A. Pickover, Computers, Pattern, Chaos and Beauty

http://sprott.physics.wisc.edu/pickover/home.htm

http://sprott.physics.wisc.edu/pickover/home.htm

72

Partimos de una función iterada::

Escogemos una región del plano complejo y tomamos cada punto de esta región como semilla inicial z0 para iterar. Tomemos uno de ellos. Lo iteramos, por ejemplo, 150 veces. Conocido el valor final de z, pintamos en función del valor absoluto de su parte real e imaginaria:

(1) Si alguna de ellas excede o es igual a 100 (por ejemplo), pintamos z0 como un punto blanco,

(2) En caso contrario lo pintamos en negro.

21 sin)( nnn zzzf

21 cosh)( nnn zzzf Biomorfos

73

ir

zizz

ln

arg||lnln

zezeeee zizizzizz argarg||lnarg||lnln ||

Función logarítmicaDefinimos el logaritmo de un número complejo z como

Definido de esta manera, observemos que:

El logaritmo complejo es multivaluado, una correspondenciamultívoca, no una biyección. Debido a la multivaluación de la función arg z, a cada z corresponden un número infinito de valores.

(|z| > 0, no continua en z = 0).

74

iz 1

4/2

,...2,1,0),24/(2ln)1ln( nnii

Por ejemplo, calculemos el valor de

Para cada valor de n obtenemos un posible valor de la función logaritmo.

Podemos construirnos una función unívoca tomando el argumento principal Arg z, en vez de arg z.

75

Valor principal del logaritmo

El valor principal de ln z se define como el valor correspondiente al valor principal del argumento de z:

zizz ArglnLn

Usamos la letra mayúscula L para designar al valor principal:

)4/(2ln)1Ln( ii valor principal

,...2,1,0),24/(2ln)1ln( nnii Tenemos:

77

21

2121

2121

)(212121

lnln

lnln

)(ln

lnln)(ln 2121

zz

iirr

irr

errererzz iii

(1)

Esta es una relación familiar para los logaritmos naturales

Sea z1 = z2 = ei = -1, entonces si tomamos ln z1 = lnz2 = i

PERO: ¡no se cumple para el valor principal!Ln(z1z2) = Ln(1) = 0

ln(ez) = ln(ex+iy) = ln(ex) + i y 2ni = z 2ni

observa que ln(z1z2) = ln(z1) + ln(z2) = 2i = ln(1)

79

Resumen repetición

84

zizz ArglnLnf(z) Esquema de color dependiente del argumento

Dominio Rango

88

Derivada del ln(z)

Sea ln z = u(x,y) + i v(x,y).

Entonces: u(x,y) = ln|z| = ½ln(x2+y2) v(x,y) = arg z = tan-1(y/x) + 2n; n=0,1,...

ux = x/(x2+y2)vy = y/(x2+y2)

(ln z)/ = ux + i vx= x/(x2+y2) – i y/(x2+y2)

= (x - i y)/(x2+y2) = 1/z

Ejercicio: Repetir los cálculos anteriores en polares.

89

Analiticidad de Ln z

zizz ArglnLn Como no existe ln 0, Ln z no está definido en z = 0. Como el argumento principal Arg z toma valores

, el logaritmo experimenta un “salto” al cruzar el eje real negativo.

x

y

izz lnLn

izz lnLn

90

El logaritmo no es analítico en z = 0 ni a lo largo del eje real negativo

x

yAnalítica en todo

punto excepto aquí

De modo que podemos tomar como dominio de analiticidad: D = plano z –{R- U 0}

¿Existen y son continuas las derivadas parciales y se cumplen las ECR en el dominio D?

ux = x/(x2+y2) = vy = [1/(1+(y/x)2)](1/x)uy = y/(x2+y2) = -vx = -[1/(1+(y/x)2)](-y/x)

Se satisfacen ECR

94

Veamos sin son continuas las derivadas parciales y se cumplen las ecuaciones de CR en el dominio D en polares:

Repetimos: tomaremos como dominio de analiticidadD = Z -{R- U 0}, o en polares los z's tq. r > 0 y -π < ө π.

zrei

rezf

r

vi

r

uizf

u

rr

vv

rrr

u

ii 11

01

)('

)sin(cos)('

10

11

95

Ejemplo: determinar el mayor dominio de analiticidad de la función f(z) = Ln[z-(3+4i)].

El Ln() es analítico para todo punto del plano z excepto la recta semi-infinita negativa y el cero. Descartaremos los valores de z que hacen que el argumento de f() sea negativo o cero: z-(3+4i) = x+iy-3-4i = (x-3)+i(y-4). Es decir: y-4 = 0, x-3 0y = 4x 3

x

y

3

43+4i

96

Zninzeeew

senyee

iyeeee

shzw

zzz

xxxxzz

,10

2cos

222

zshxf log)(

2

7arg

2

3,0/

wwCwD

0cos2

)Re( yee

wxx

Znnyy

x

;2

)12(0cos

0

Re(w)

Im(w)

2

3

zshxf log)( a) Determinar la región del plano complejo en la que la función es analítica. Considérese la determinación del logaritmo correspondiente al ángulo

determinación 2

3

ExamenJUNIO 04/05: P-1

97

Znnynsenysenyee

wxx

;2)12(002

)Im(

0,0 senyx0

;2)12(

x

Znnyn

0,0cos, senyyRxRx

Znny

;2

)14(

Znnynynxinz

f

;2

)14(2)12(,0

:que talesyixz puntos de conjunto elen excepto C,en analítica es

i

i

i2

0

98

b) Determinar la región del plano en la que la función

zLogzf

cos)(

Respuesta.

)(cos 1wLogz

Log

Determinación principal no analítica en: w1 = 0; Re(w1) < 0; Im(w1) = 0

es analítica.

1) π/z no analítica en z = 0.

99

...2,1,0 ,

21

2

...2,1,0 ,2

0cos )2 1

kk

z

kkzzw

(b) 0

(a) ...1,0 sinhsin0)Im( 1 v

kkuvuw

0cos0coshcos0)Re(0

1

uvuw

ivuw 1

100

...2,1,0 ,22

3,22

0

0cos

0 )(

...2,1,0 ,)12(0cos

)(

kkku

v

u

vb

nnuu

kua

)( ,22221 iyxz

yx

yi

yx

x

zw

22

2

22 )12(4

1

)12(2

112)(

n

yn

xnyx

xa

n=0,±1,±2...

101

kkx

y

kkx

y

b

41

2,

43

2

0

2

43,

2

411

0

)(

k=0,±1,±2...

102

Obtener los puntos del plano complejo donde la función es analítica. Considerar la determinación principal.

21

1)(

zzf

020)Im(

1010)Re(

211

)(y 0

que tales1 puntos los en todos analítica es )(

1

2222

222

2

)1(2

12

12

2

xyw

yxyxw

xyiyxzw

wArg-πw

zwzf

ezzLog

0

0

y

x

1 ó 110

102

2

xxxy

imposibleyx

103

Im(z)

Re(z)-1 1

(Re(z)<-1) y (Re(z)>1) Im(z)=0

Zonas de no analiticidad – plano zZonas de no analiticidad – plano w

Re(w)

Im(w)

Re(w)<0Im(w)=0

104

Sol.: u(x,y) = 1/2 Log [x2 + (y-3)2] v(x,y) = Arg (z-3i) + 4π

f(z) = Log |z - 3i| + 4πi

107

Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas

Determinemos la inversa del seno a partir de

iwiwiwiw

ep

epi

eez

1

;;2

zw sin

ip

pz

2

1

22 1;012 zizepizpp iw

zi

ziLn

iz

ziziLnz

2arctan

1arccos 2

Todas ellas son multiformes ...

21lnarcsin ziziwz

Demostrar:

112

El valor principal de la arcotangente será:

114

zz

Lnz

zzLnz

zzLnz

11

21

tanh

1cosh

1sinh

1

21

21

21

2

1

2

1

11

tanh;1

1cosh;

1

1sinh

zz

dzd

zz

dzd

zz

dzd

21

2

1

2

1

11

tan;1

1cos;

1

1sin

zz

dzd

zz

dzd

zz

dzd

115

Demostrar la expresión

y calcular todos los valores posibles de .

iz

iz

izarctg

1

1log

2

1)(

3arctg

iz

iz

izarctgw

iz

iziw

iz

ize

eeizeeeei

ee

w

wsenwtgz

iw

iwiwiwiwiwiw

iwiw

1

1log

2

1)(

1

1log2

1

1

)cos(

)()(

2

)(

32

3

21ln

2

1

2

3

2

1log

2

1

4

322log

2

1

31

31log

2

13

k

kkii

i

i

i

ii

i

iarctg

ExamenJUNIO 02/03: P-1

116

P1. Junio 2007

1. Obtener la forma binómica de

Respuesta.

)3

arcsin(

i

91

3log

3arcsin

1logarcsin

2

2

ii

ziziz

117

...2,1,0k

)2(9

13

ln3

arcsin2

kiii

a) Solución con signo negativo de la raíz cuadrada:

...2,1,0k

91

3ln)2(

3arcsin

2

iki

118

...2,1,0k

)20(39

1ln3

arcsin2

kiii

b) Solución con signo positivo de la raíz cuadrada:

...2,1,0k

391ln2

3arcsin

2

iki

120

PotenciasPodemos expresar potencias de números complejos en forma de funciones exponenciales/logarítmicas cuando el exponente es real.Por ejemplo, zzz eezez ln2ln2ln 2

En general, para k real:zkk ez ln

Definamos ahora donde c = a+bi es complejo como:

cz zcc ez ln

Observa que si z = e entonces zc = ec proporciona un único valor: ec = ea(cos b + i sin b). Para cualquier otra base, dado que ln(z) es multivaluado, zc lo será también. El número de valores es infinito excepto cuando c es racional.

El valor principal de zc será ecLn(z)

121

Si c = n = 1,2,.... entonces zn es univaluado e idéntico a la potencia enésima habitual de z

Si c = n = -1,-2,.... la situación es similar.

Si c = 1/n = 2,3,.... entonces zc = nz = e(1/n)ln z (z0)

el exponente se determina en función de los múltiplos de 2i/n y obtenemos distintos valores de la raíz nth

Si c = p/q, siendo el cociente de dos enteros positivos, zc tiene un número finito de valores distintos.

Si c es irracional o complejo entonces zc es infinitamente multivaluado.

Es decir:

122

),,(n

nnii

iiiiiii

ee

eei

10

)2/2())2/2((

)arg(lnln

)(n

ei i

0

2/

Ejemplo: Calcular ii

¡Infinitos valores reales!

Valor principal real

Ejercicio: Calcular la derivada de1)(';)( cc czzfzzf

130

Recuerda que una función es analítica en una región R si es diferenciable en todos los puntos de R.

Los términos función holomorfa, función diferenciable, función compleja diferenciable o función regular se usan a menudo de forma intercambiable para referirse a función analítica. Muchos matemáticos prefieren el término “función holomorfa”, mientras que “función analítica” es más usado por físicos e ingenieros.

Recuerda que una función analítica en todos los puntos del plano complejo se llama entera. Como hemos visto una función analítica puede no serlo en uno o más puntos singulares o a lo largo de los cortes de ramas.

Para acabar, una función univaluada que es analítica en todo punto de su domino a excepción de un conjunto discreto de singularidades (polos y singularidades no esenciales), se denomina función meromorfa.

131

M.C. Escher

132

¿Qué efecto quiere conseguir Escher en esta litografía?

¿Por qué aparece una mancha blanca en el centro del cuadro?

The Mathematical Structure of Escher’s Print Gallery

B. de Smit and H. W. Lenstra Jr. Notices of the AMS, vol. 50, N. 4(April 2003)

Prentententoonstelling (Galería de grabados)M.C. Escher 1956

133

“Lo que yo traté de representar era solamente una superficie que se hincha, de forma anular, sin principio ni fin.”El espejo mágico de M. C. Escher (Bruno Ernst, ed. Taschen)

134

Mundo“real”

Mundo“curvo”

Transformación

135

Transformación

Anti-transformación

Cualquier camino simple cerrado alrededor delorigen del mundo “curvo” se antitransforma en un camino no cerrado en el mundo “real”.Por ejemplo el camino ABCD.

136)logexp()( wwwhzw

w

wlogwlog

)logexp( w

137

ii

wwwhzw

2/)256log2(con

)logexp()(

Rectificación de la litografía

138

El efecto Droste

En Alemania la marca de chocolate Droste es famosa por el efecto visual de una de sus cajas de cacao.

En ella la imagen se contiene a sí misma en pequeña escala.

139Tras un zoom de 28 = 256 volvemos a la imagen original.

Escher and the Droste effect http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/

140

wwzhwz

wwwhzw

log1

exp)(

)logexp()(

/11

141

Reconstrucción

142

2

143

4

144

8

145

16

146

32

147

Una rotación en sentido horario de 157.6255960832. . . grados y un zoom de 22.5836845286. . . . nos devuelve a la imagen original.M.C. Escher: More Mathematics Than Meets the Eye, Sara Robinson.SIAM News, Vol. 35, N. 8, Ocober 2002.

4 funciones basicas

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