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BLOQUES DE CONTENIDO DE CUARTO DE E.S.O.

OPCIÓN B

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OBJETIVOS DE 4º ESO B

• Manejar con soltura la expresión decimal de un número y la notación científica y hacer aproximaciones, así como conocer y controlar los errores cometidos.

• Conocer el concepto de raíz de un número, así como las propiedades de las raíces, y aplicarlos en la operatoria con radicales.

• Manejar expresiones irracionales en la resolución de problemas. • Dominar el manejo de polinomios, fracciones algebraicas y sus operaciones. • Traducir enunciados al lenguaje algebraico. • Resolver con destreza ecuaciones de distintos tipos y aplicarlas a la resolución de

problemas. • Resolver con destreza sistemas de ecuaciones y aplicar los a la resolución de

problemas. • Interpretar y resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones. • Dominar el concepto de función, conocer las características más relevantes y las

distintas formas de expresar las funciones. • Manejar con soltura las funciones lineales. Y cuadráticas. • Conocer otros tipos de funciones, asociando la gráfica con la expresión analítica. • Conocer la definición de logaritmo y relacionarla con las potencias y sus propiedades. • Conocer los conceptos básicos de la semejanza y aplicar los a la resolución de

problemas. • Manejar con soltura las razones trigonométricas y las relaciones entre ellas. • Resolver triángulos. • Manejar con soltura las distintas formas de la ecuación de una recta y resolver con

ellas problemas de intersección, paralelismo y perpendicularidad. • Resumir en una tabla de frecuencias una serie de datos estadísticos y hacer el gráfico

adecuado para su visualización. • Conocer los parámetros estadísticos x y σ , calcularlos a partir de una tabla de

frecuencias e interpretar su significado. • Conocer y utilizar las medidas de posición. • Conocer el papel del muestreo y distinguir algunos de sus pasos. • Conocer las características básicas de los sucesos y de las reglas para asignar

probabilidades. • Resolver problemas de probabilidad compuesta, utilizando el diagrama en árbol

cuando convenga. • Conocer los agrupamientos combinatorios clásicos (variaciones, permutaciones,

combinaciones) y las fórmulas para calcular su número, y aplicarlos a la resolución de problemas combinatorios.

• Utilizar estrategias de recuento no necesariamente relacionadas con los agrupamientos clásicos.

• Aplicar la combinatoria al cálculo de probabilidades. CONTENIDOS DE 4º ESO B

Contenidos comunes. 1) Planificación y utilización de procesos de razonamiento y estrategias de resolución de

problemas tales como la emisión y justificación de hipótesis o la generalización.

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2) Expresión verbal de argumentaciones, relaciones cuantitativas y espaciales y

procedimientos de resolución con la precisión y rigor adecuados a la situación. 3) Interpretación de mensajes que contengan argumentaciones o informaciones de carácter

cuantitativo o sobre elementos o relaciones espaciales. 4) Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, comprender las relaciones

matemáticas y tomar decisiones a partir de ellas. 5) Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas y en la mejora

de las encontradas. 6) Utilización de herramientas tecnológicas para facilitar los cálculos de tipo numérico,

algebraico o estadístico, las representaciones funcionales y la comprensión de propiedades geométricas.

NÚMEROS

Números no racionales. Expresión decimal - Reconocimiento de números que no pueden expresarse en forma de fracción: números

irracionales - Reconocimiento de algunos irracionales. Justificación de la irracionalidad de 2 , 3 ,… Los números reales. La recta real - Iniciación al número real: representación sobre la recta real. Intervalos: tipos y significado - Interpretación y uso de los números reales en diferentes contextos eligiendo la notación y

aproximación adecuadas en cada caso Raíz n-ésima de un número - Propiedades. - Potencias de exponente fraccionario y radicales. - Radicales equivalentes - Operaciones elementales con radicales. Simplificación de expresiones radicales sencillas. - Utilización de la calculadora para obtener potencias y raíces cualesquiera. - Utilización de las propiedades con radicales. Simplificación. Racionalización de

denominadores. - Utilización de la jerarquía y propiedades de las operaciones para realizar cálculos con

potencias de exponente entero y fraccionario y radicales sencillos. - Gusto por la precisión en los cálculos. - Disposición favorable a la revisión y mejora de cualquier cálculo o problema numérico. - Tendencia a utilizar, siempre que se trabaje con números decimales, el número adecuado

de cifras significativas. - Reconocimiento y valoración crítica de la utilidad de la calculadora como herramienta

didáctica para la realización de cálculos, investigaciones numéricas y resolución de problemas, especialmente dentro del “mundo decimal”.

- Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara del proceso seguido (expresando lo que se hace y por qué se hace) y de los resultados en cálculos y problemas numéricos.

Utilización de la calculadora para realizar operaciones con cualquier tipo de expresión numérica. Cálculos aproximados. Reconocimiento de situaciones que requieran la expresión

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de resultados en forma radical Calculo con porcentajes. Interés compuesto.

ALGEBRA Factorización de polinomios - Raíces de un polinomio. Factorización de polinomios - Regla de Ruffiní. - Aplicación reiterada de la regla de Ruffini para factorizar un polinomio localizando las raíces

enteras entre los divisores del término independiente. - Utilización de las identidades notables y la regla de Ruffini en la descomposición factorial de

un polinomio. Ecuaciones Resolución algebraica de ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita - Ecuaciones de primer grado con una incógnita. - Ecuaciones de segundo grado completas e incompletas. Resolución. Sistemas de ecuaciones Resolución algebraica y gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos Incógnitas. - Resolución de sistemas de ecuaciones mediante los métodos de sustitución, igualación,

reducción y gráficamente. - Sistemas de primer grado.

Ecuaciones de grado superior a dos - Uso de la descomposición factorial para la resolución de ecuaciones de grado superior a

dos y simplificación de fracciones . - Resolución de otros tipos de ecuaciones mediante aproximaciones sucesivas con ayuda

de los medios tecnológicos

Inecuaciones Inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita. Interpretación gráfica - Inecuaciones con una incógnita.

- Resolución algebraica y gráfica. Interpretación de las soluciones de una inecuación. - Sistemas de inecuaciones.

- Resolución de sistemas de inecuaciones. - Representación de las soluciones de inecuaciones por medio de intervalos. - Resolución de problemas en diferentes contextos utilizando inecuaciones.

Resolución de problemas - Resolución de problemas por procedimientos algebraicos. Resolución de problemas cotidianos y de otros campos de conocimiento mediante ecuaciones y sistemas Planteamiento y resolución de problemas en diferentes contextos utilizando inecuaciones - Curiosidad e interés por investigar sobre regularidades numéricas. - Adquisición de confianza en la resolución de ecuaciones. - Reconocimiento y valoración crítica de la utilidad de la calculadora para la realización de

cálculos que faciliten la resolución de expresiones algebraicas. - Conveniencia de utilizar alguno de los tres métodos de resolución de sistemas de

ecuaciones en función de las características de los coeficientes de las incógnitas.

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- Disposición favorable a la revisión y mejora del resultado de cualquier problema algebraico. - Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara del proceso seguido (expresando

lo que se hace y por qué se hace) y de los resultados en cálculos y problemas algebraicos.

GEOMETRÍA - Figuras y cuerpos semejantes: razón entre longitudes, áreas y volúmenes de figuras semejantes . Aplicaciones de la semejanza. - Teorema de Tales. Aplicación al cálculo de medidas indirectas Teoremas del cateto y de la altura. - Problemas de cálculo de alturas, distancias, etc. - Medición de alturas de edificios utilizando su sombra. - Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes. Razones trigonométricas Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Relaciones entre ellas - Cálculo gráfico de las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo

rectángulo. - Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Circunferencia goniométrica. Relaciones - Relación entre las razones trigonométricas del mismo ángulo (relaciones fundamentales). - Razones trigonométricas de los ángulos más frecuentes (30°, 45° y 60°). - Aplicación de las relaciones fundamentales para calcular, a partir de una de las razones

trigonométricas de un ángulo, las dos restantes. Calculadora Uso de la calculadora para la obtención de ángulos y razones trigonométricas - Uso de las teclas trigonométricas de la calculadora científica para el cálculo de las razones

trigonométricas de un ángulo cualquiera, para conocer el ángulo a partir de una de las razones trigonométricas o para obtener una razón trigonométrica conociendo ya otra.

Relaciones métricas en los triángulos. Resolución de triángulos rectángulos - Distintos casos de resolución de triángulos rectángulos. - Cálculo de distancias y ángulos. -Aplicación de los conocimientos geométricos a la resolución de problemas métricos en el mundo físico: medida de longitudes, áreas y volúmenes - Iniciación a la geometría analítica plana: coordenadas de un punto; distancia entre dos puntos. - Representación de las soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas Estrategia de la altura - Estrategia de la altura para la resolución de triángulos no rectángulos. - Valoración de la importancia de la trigonometría para el cálculo de distancias en situaciones

reales. - Tenacidad en la búsqueda de soluciones en los problemas geométricos. - Interés y respeto por las soluciones a problemas geométricos distintas a las propias. - Confianza en encontrar procedimientos y estrategias “diferentes”. Interés para buscarlos. Relaciones analíticas entre puntos alineados - Punto medio de un segmento.

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- Simétrico de un punto respecto a otro. - Alineación de puntos. Ecuaciones de rectas - Ecuaciones de rectas bajo un punto de vista geométrico. - Forma general de la ecuación de una recta. - Resolución de problemas de incidencia (¿pertenece un punto a una recta?), intersección

(punto de corte de dos rectas), paralelismo y perpendicularidad. Distancia entre dos puntos - Cálculo de la distancia entre dos puntos. Ecuación de una circunferencia - Obtención de la ecuación de una circunferencia a partir de su centro y su radio. - Identificación del centro y del radio de una circunferencia dada por su ecuación: (x – a)2 + (y

– b)2 = r2. Regiones en el plano - Identificación de regiones planas a partir de sistemas de inecuaciones. - Curiosidad e interés por la investigación sobre formas y configuraciones geométricas en el

plano. - Capacidad de crítica ante errores geométricos en construcciones o representaciones. - Flexibilidad para enfrentarse a distintas situaciones geométricas desde distintos puntos de

vista. - Interés por la presentación ordenada, limpia y clara de los trabajos geométricos,

reconociendo el valor práctico que posee.

FUNCIONES Y GRÁFICAS Concepto de función - Funciones: expresión algebraica, variables, dominio y estudio gráfico - Distintas formas de presentar una función: representación gráfica, tabla de valores y

expresión analítica o fórmula. - Relación de expresiones gráficas y analíticas de funciones. -Interpretación de un fenómeno descrito mediante un enunciado, tabla, gráfica o expresión

algebraica. Análisis de resultados utilizando el lenguaje matemático adecuado. Dominio de definición - Dominio de definición de una función. Restricciones al dominio de una función. - Cálculo del dominio de definición de diversas funciones. Discontinuidad y continuidad Características de las gráficas: crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, continuidad,

simetrías y periodicidad - Discontinuidad y continuidad de una función. Razones por las que una función puede ser

discontinua. - Construcción de discontinuidades. Tasa de variación media - Tasa de variación media de una función en un intervalo. - Obtención sobre la representación gráfica y a partir de la expresión analítica.

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- Significado de la T.V.M. en una función espacio tiempo. Simetrias y periodicidad - Reconocimiento de simetrias y periodicidades. - Valoración de las representaciones gráficas en cualquier orden o nivel matemático como

instrumento potente de ayuda a la conceptualización y comprensión. - Interpretación de ventajas e inconvenientes que presenta la representación analítica

respecto a la gráfica. - Valoración y repercusión de los nuevos medios tecnológicos (calculadoras y programas de

ordenador) para el cálculo, tratamiento y representación gráfica de datos sobre informaciones diversas.

- Reconocimiento de la utilidad de la representación gráfica como medio de interpretación rápida y precisa de fenómenos cotidianos y científicos.

- Sensibilidad, interés y valoración crítica del uso del lenguaje gráfico en informaciones y argumentaciones de tipo social, deportivo, político y económico.

- Estudio y representación gráfica de las funciones polinómicas de primer o segundo grado, de proporcionalidad inversa y de las funciones exponenciales y logarítmicas sencillas. Aplicaciones a contextos y situaciones reales. -Uso de las tecnologías de la información en la representación, simulación y análisis gráfico Función lineal - Función lineal. Pendiente de una recta. - Tipos de funciones lineales. Función de proporcionalidad y función constante. - Obtención de información a partir de dos o más funciones referidas a fenómenos relaciona

dos entre sí. - Expresión de la ecuación de una recta conocidos un punto y la pendiente. Funciones definidas a trozos -Funciones definidas a trozos. Búsqueda e interpretación de situaciones reales. Funciones cuadráticas - Representación gráfica de funciones cuadráticas. Obtención de la abscisa del vértice y de

algunos puntos próximos al vértice. Métodos sencillos para la representación de parábolas. - Estudio conjunto de rectas y parábolas. - Interpretación de los puntos de corte entre una función lineal y una cuadrática. Estudio y representación gráfica de las funciones polinómicas de primer o segundo grado, de proporcionalidad inversa y de las funciones exponenciales y logarítmicas sencillas. Funciones radicales Funciones de proporcionalidad inversa - La hipérbola. Funciones exponenciales - Aplicaciones de las funciones exponenciales:

- Crecimiento de una población. - Crecimiento del dinero. - Desintegración radiactiva.

Funciones logarítmicas - Obtención de funciones logarítmicas a partir de funciones exponenciales. -La tasa de variación como medida de la variación de una función en un intervalo. - --Análisis de distintas formas de crecimiento en tablas, gráficas y enunciados verbales

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- Interpretación, lectura y representación de gráficas en la resolución de problemas relacionados con los fenómenos naturales y el mundo de la información.

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Estadística. Nociones generales - Estadística descriptiva unidimensional. Identificación de las fases y tareas de un estudio

estadístico -Individuo, población, muestra, caracteres, variables (cualitativas, cuantitativas, discretas,

continuas). - Estadística descriptiva y estadística inferencial. - Análisis elemental de la representatividad de las muestras estadísticas -Variable discreta. - Elaboración e interpretación de tablas de frecuencias y de gráficos estadísticos: gráficos de barras, de sectores, diagramas de caja y polígonos de frecuencias. Tablas de frecuencias - Elaboración de tablas de frecuencias.

- Con datos aislados. - Con datos agrupados sabiendo elegir los intervalos.

Parámetros estadísticos - Cálculo e interpretación de los parámetros de centralización y dispersión: media, mediana, moda, recorrido y desviación típica para realizar comparaciones y valoraciones - Media, desviación típica y coeficiente de variación.

- Cálculo de x , σ y coeficiente de variación para una distribución dada por una tabla (en el caso de datos agrupados, a partir de las marcas de clase), con y sin ayuda de la calculadora con tratamiento SD.

-Representatividad de una distribución por su media y desviación típica o por otras medidas ante la presencia de descentralizaciones, asimetrías y valores atípicos. Valoración de la mejor representatividad, en función de la existencia o no de valores atípicos

Diagramas de caja - Representación gráfica de una distribución a partir de sus medidas de posición: diagrama de

caja . Variable continua. - Intervalos y marcas de clase. - Elaboración e interpretación de histogramas. - Análisis crítico de tablas y gráficas estadísticas en los medios de comunicación. Detección de falacias. - Análisis crítico de tablas y gráficas estadísticas en los medios de comunicación. ------Detección de falacias - Sucesos aleatorios - Experimentos aleatorios. Espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. - Sucesos aleatorios. Experiencias regulares e irregulares. - Reconocimiento de experiencias regulares (aquellas cuyas probabilidades pueden suponer

se «a priori») e irregulares. Frecuencia absoluta y frecuencia relativa

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- Cálculo e interpretación de las frecuencias absoluta y relativa de un suceso. Ley de los grandes números - Comportamiento del azar. Ley de los grandes números. - Aplicación de la ley de los grandes números para obtener (aproximadamente) la

probabilidad de un suceso en una experiencia irregular, o para comprobar la validez de la hipótesis de que cierta experiencia es regular.

Sucesos - Distintos tipos de sucesos. Relaciones entre ellos (álgebra de sucesos). - Designación de sucesos a partir de otros (S, S', A ∪ B, A ∩ B, ...). Relación entre probabilidades - Obtención de la probabilidad de un suceso a partir de su relación con otro. Ley de laplace - Cálculo de probabilidades de sucesos elementales aplicando la ley de Laplace. Experiencias compuestas - Experiencias compuestas dependientes e independientes. - Cálculo de probabilidades de experiencias compuestas (independientes o dependientes) con

o sin la utilización de diagramas en árbol. Tablas de contingencia - Probabilidades condicionadas. - Reconocimiento del valor de las leyes del azar para predecir resultados en fenómenos alea

torios. - Curiosidad e interés por investigar fenómenos aleatorios. - Valoración crítica de las informaciones probabilísticas que aparecen en los medios de

comunicación, sabiendo detectar, si los hubiese, abusos y usos incorrectos de las mismas. - Sensibilidad y gusto por la precisión en la observación y diseño de experiencias relativas a

fenómenos de azar. - Sentido crítico ante las creencias populares sobre fenómenos aleatorios. - Reconocimiento y valoración de los diagramas de árbol como herramienta muy útil para el

cálculo y la expresión de experiencias aleatorias. - Técnicas de recuento. Introducción a la combinatoria: combinaciones, variaciones y

permutaciones. Aplicación al cálculo de probabilidades La combinatoria - Situaciones de combinatoria. - Estrategias para enfocar y resolver problemas de combinatoria. - Generalización para obtener el número total de posibilidades en las situaciones de

combinatoria. - Experiencias compuestas. Utilización de tablas de contingencia y diagramas de árbol para la

asignación de probabilidades - Probabilidad condicionada - Utilización del vocabulario adecuado para describir y cuantificar situaciones relacionadas con

el azar. CONTENIDOS MÍNIMOS 4º ESO

Contenidos comunes.

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� Planificación y utilización de procesos de razonamiento y estrategias de resolución de

problemas tales como la emisión y justificación de hipótesis o la generalización.

� Expresión verbal de argumentaciones, relaciones cuantitativas y espaciales y procedimientos de resolución con la precisión y rigor adecuados a la situación.

� Interpretación de mensajes que contengan argumentaciones o informaciones de carácter cuantitativo o sobre elementos o relaciones espaciales.

� Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, comprender las

relaciones matemáticas y tomar decisiones a partir de ellas.

� Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas y en la mejora de las encontradas.

� Utilización de herramientas tecnológicas para facilitar los cálculos de tipo numérico,

algebraico o estadístico, las representaciones funcionales y la comprensión de propiedades geométricas.

Números.

� Reconocimiento de números que no pueden expresarse en forma de fracción: números irracionales.

� Iniciación al número real: representación sobre la recta real. Intervalos: tipos y

significado.

� Interpretación y uso de los números reales en diferentes contextos eligiendo la notación y aproximación adecuadas en cada caso.

� Potencias de exponente fraccionario y radicales. Radicales equivalentes. Operaciones

elementales con radicales. Simplificación de expresiones radicales sencillas.

� Utilización de la jerarquía y propiedades de las operaciones para realizar cálculos con potencias de exponente entero y fraccionario y radicales sencillos.

� Cálculo con porcentajes. Interés compuesto.

� Utilización de la calculadora para realizar operaciones con cualquier tipo de expresión

numérica. Cálculos aproximados. Reconocimiento de situaciones que requieran la expresión de resultados en forma radical.

. Álgebra.

� Raíces de un polinomio. Factorización de polinomios.

� Regla de Ruffiní. Utilización de las identidades notables y de la regla de Ruffini en la descomposición factorial de un polinomio.

� Resolución algebraica de ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita.

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� Resolución algebraica y gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos

Incógnitas.

� Uso de la descomposición factorial para la resolución de ecuaciones de grado superior a dos y simplificación de fracciones.

� Resolución de problemas cotidianos y de otros campos de conocimiento mediante

ecuaciones y sistemas.

� Resolución de otros tipos de ecuaciones mediante aproximaciones sucesivas con ayuda de los medios tecnológicos.

� Inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita.

Interpretación gráfica.

� Planteamiento y resolución de problemas en diferentes contextos utilizando inecuaciones.

Geometría.

� Figuras y cuerpos semejantes: razón entre longitudes, áreas y volúmenes de figuras semejantes.

� Teorema de Tales. Aplicación al cálculo de medidas indirectas.

� Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Relaciones entre ellas.

� Relaciones métricas en los triángulos. Resolución de triángulos rectángulos.

� Uso de la calculadora para la obtención de ángulos y razones trigonométricas.

� Aplicación de los conocimientos geométricos a la resolución de problemas métricos en

el mundo físico: medida de longitudes, áreas y volúmenes.

� Iniciación a la geometría analítica plana: coordenadas de un punto; distancia entre dos puntos. Representación de las soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas.

Funciones y gráficas.

� Funciones: expresión algebraica, variables, dominio y estudio gráfico.

� Características de las gráficas: crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, continuidad, simetrías y periodicidad.

� Estudio y representación gráfica de las funciones polinómicas de primer o segundo

grado, de proporcionalidad inversa y de las funciones exponenciales y logarítmicas sencillas. Aplicaciones a contextos y situaciones reales.

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� Uso de las tecnologías de la información en la representación, simulación y análisis gráfico.

� Funciones definidas a trozos. Búsqueda e interpretación de situaciones reales.

� Interpretación de un fenómeno descrito mediante un enunciado, tabla, gráfica o

expresión algebraica. Análisis de resultados utilizando el lenguaje matemático adecuado.

� La tasa de variación como medida de la variación de una función en un intervalo.

Análisis de distintas formas de crecimiento en tablas, gráficas y enunciados verbales.

� Interpretación, lectura y representación de gráficas en la resolución de problemas relacionados con los fenómenos naturales y el mundo de la información.

Estadística y probabilidad.

� Estadística descriptiva unidimensional. Identificación de las fases y tareas de un estudio estadístico.

� Análisis elemental de la representatividad de las muestras estadísticas. � Variable discreta. Elaboración e interpretación de tablas de frecuencias y de gráficos

estadísticos: gráficos de barras, de sectores, diagramas de caja y polígonos de frecuencias.

� Cálculo e interpretación de los parámetros de centralización y dispersión: media,

mediana, moda, recorrido y desviación típica para realizar comparaciones y valoraciones.

� Representatividad de una distribución por su media y desviación típica o por otras

medidas ante la presencia de descentralizaciones, asimetrías y valores atípicos. Valoración de la mejor representatividad, en función de la existencia o no de valores atípicos.

� Variable continua: intervalos y marcas de clase. Elaboración e Interpretación de

histogramas.

� Análisis critico de tablas y gráficas estadísticas en los medios de comunicación. Detección de falacias.

� Experimentos aleatorios. Espacio muestral asociado a un experimento aleatorio.

Sucesos.

� Técnicas de recuento. Introducción a la combinatoria: combinaciones, variaciones y permutaciones. Aplicación al cálculo de probabilidades.

� Experiencias compuestas. Utilización de tablas de contingencia y diagramas de árbol

para la asignación de probabilidades.

� Probabilidad condicionada.

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� Utilización del vocabulario adecuado para describir y cuantificar situaciones relacionadas con el azar.

COMPETENCIAS BÁSICAS DE 4º ESO B Competencia Matemática - Saber operar con distintos tipos de números. - Dominar el uso del lenguaje algebraico como medio para modelizar situaciones

matemáticas. - Dominar la resolución de ecuaciones, inecuaciones y sistemas como medio para resolver

multitud de problemas matemáticos. - Dominar todos los elementos que intervienen en el estudio de las funciones y su

representación gráfica. - Entender una función como una modelización de la realidad. - Saber reconocer cuándo dos figuras son semejantes. - Dominar los conceptos de la trigonometría como herramienta básica en el estudio de la

Geometría. - Dominar los elementos de la geometría analítica en el plano. - Saber elaborar y analizar estadísticamente una encuesta utilizando todos los elementos y

conceptos aprendidos en esta unidad. - Dominar las técnicas de la probabilidad como medio para resolver multitud de problemas. - Dominar los conceptos de la combinatoria como medio para resolver problemas de

probabilidad. Competencia de Comunicación lingüística - Ser capaz de extraer información numérica de un texto dado. - Expresar ideas y conclusiones numéricas con claridad. - Entender el lenguaje algebraico como un lenguaje más, con sus propias características. - Traducir enunciados de problemas a lenguaje algebraico y resolverlos mediante el uso de

ecuaciones, inecuaciones o sistemas de ecuaciones. - Entender un texto con el fin de poder resumir su información mediante una función y su

gráfica. - Saber entresacar de un texto la información necesaria para modelizar la situación que se

propone mediante una función. - Explicar, de forma clara y concisa, procedimientos y resultados en los que se haya aplicado

la semejanza. - Saber extraer la información trigonométrica que se encuentra en un texto dado. - Extraer la información geométrica de un texto dado. - Expresar concisa y claramente un análisis estadístico basado en un conjunto de datos

dados. - Entender los enunciados de los problemas en los que interviene la probabilidad. - Explicar de una forma clara, los resultados que obtenemos al resolver un problema mediante

procedimientos combinatorios. Competencia de Conocimiento e interacción con el mundo físico - Utilizar los números como me dio para describir fenómenos de la realidad. - Saber utilizar el lenguaje algebraico para modelizar elementos del mundo físico. - Utilizar la resolución de ecuaciones e inecuaciones para poder describir situaciones del

mundo real. - Modelizar elementos del mundo físico mediante una función y su respectiva gráfica. - Valorar el uso de las funciones como elementos matemáticos que escriben multitud de

fenómenos del mundo físico.

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- Saber leer mapas y planos, haciendo uso de los conceptos de semejanza. - Saber usar la trigonometría para resolver problemas de la vida cotidiana. - Describir fenómenos del mundo con la ayuda de los conceptos geométricos aprendidos en

esta unidad. - Valorar la estadística como medio para describir y analizar multitud de procesos del mundo

físico. - Utilizar las técnicas de la probabilidad para describir fenómenos del mundo físico. - Ayudarse del cálculo combinatorio para describir fenómenos del mundo físico. Competencia de Tratamiento de la información y competencia digital - Dominar el uso de la calculadora como ayuda para la resolución de problemas matemáticos. - Utilizar la calculadora para facilitar los cálculos donde interviene el lenguaje algebraico. - Valorar el uso de la calculadora como ayuda en la resolución de ecuaciones. Competencia Social y ciudadana - Dominar el uso de gráficas para poder entender informaciones dadas de este modo. - Utilizar las funciones para modelizar situaciones que ayuden a mejorar la vida humana. - Ser consciente de la utilidad de los conocimientos sobre semejanza para poder validar las

informaciones que nos llegan. - Ser capaz de reconocer figuras semejantes en distintas manifestaciones artísticas: pintura,

arquitectura, escultura… - Valorar el uso de la geometría en multitud de actividades humanas. - Dominar los conceptos de la es partir de una tabla de frecuencias e interpretar su

significado. - Valorar las técnicas de la probabilidad como medio para resol ver problemas de índole

social. Competencia Cultural y artística - Reconocer la importancia de otras culturas en el desarrollo del lenguaje algebraico. - Utilizar los conceptos geométricos estudiados en esta unidad para describir distintas

manifestaciones artísticas. Competencia Aprender a aprender - Ser capaz de analizar la adquisición de conocimientos numéricos que se han conseguido en

esta unidad. - Ser consciente del verdadero alcance del aprendizaje de los algoritmos para resolver

ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones. - Ser consciente de las lagunas en el aprendizaje a la vista de los problemas que se tengan

para representar una función dada. - Saber autoevaluar los conocimientos adquiridos sobre funciones y su representación. - Ser capaz de ver, durante la resolución de un problema, que hay que utilizar la semejanza

para resolverlo. - Ser consciente de la utilidad de la trigonometría a la hora de describir multitud de

fenómenos. - Ser consciente de las carencias en los conocimientos adquiridos en esta unidad. - Ser capaz de descubrir lagunas en el aprendizaje de los contenidos de esta unidad. - Saber contextualizar los resulta dos obtenidos en problemas donde interviene la

probabilidad para darse cuenta de si son, o no, lógicos. - Reconocer el uso de la combinatoria como atajo a la hora de cuantificar gran cantidad de

datos. Competencia Autonomía e iniciativa personal

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- Utilizar los conocimientos numéricos adquiridos para resolver problemas matemáticos. - Utilizar los conocimientos adquiridos para resolver problemas de la vida cotidiana. - Elegir el procedimiento óptimo a la hora de enfrentarse a la resolución de problemas. - Poder resolver un problema da do creando una función que lo describa. - Saber modelizar mediante funciones una situación dada. - Elegir la mejor estrategia a la hora de enfrentarse con proble mas en los que interviene la semejanza de figuras. - Deducir multitud de fórmulas trigonométricas a partir de un pequeño conocimiento teórico. - Escoger una buena estrategia para resolver los problemas geométricos. - Desarrollar una conciencia crítica en relación con las noticias, datos, gráficos, etc., que

obtenemos de los medios de comunicación. - Elegir la mejor estrategia entre las aprendidas en esta unidad para resolver problemas relacionados con el azar. - Discriminar entre los distintos conceptos combinatorios el más válido para resolver un

problema. METODOLOGÍA

Entendemos que como realmente se aprende matemáticas es "haciendo matemáticas" . Por ello proponemos usar métodos docentes diversos con objeto de desarrollar las capacidades matemáticas de los alumnos y alumnas, dirigidos a investigar, dar sentido a situaciones nuevas y construir el conocimiento a partir de ellas. La elección del método estará sujeto al tipo de conocimientos, destrezas y actitudes que queremos que desarrollen nuestros alumnos y alumnas.

Proponemos una metodología basada en el aprendizaje guiado , lo que precisa, junto con las exposiciones del profesor y las discusiones dirigidas por éste, de espacios temporales para las indagaciones individuales, los trabajos en grupo y las puestas en común.

La planificación de las actividades ha de ir encaminada a potenciar la investigación del alumno y la alumna, y el profesor no debe adelantarse proporcionando resultados o marcando de manera rígida líneas de avance, sino que debe estimularle en su investigación con sugerencias concretas cuando éstas sean necesarias, sin olvidar que es él quien debe encontrar sus propios resultados, pues para que el aprendizaje sea significativo, el alumno debe ser el motor de su propio aprendizaje.

En cuanto a las estrategias metodológicas destacamos la afirmación del National Council of Teachers of Mathematics: "La resolución de problemas matemáticos, en un sentido amplio, significa prácticamente lo mismo que el uso de las Matemáticas". La creencia en este principio nos lleva a considerar la resolución de problemas como un eje metodológico fundamental en la enseñanza de las Matemáticas en esta etapa. Siempre que sea posible, la aproximación a nuevos conceptos, en todos los núcleos temáticos, debe producirse desde una situación de aprendizaje de resolución de problemas amplios, lo que nos exigirá interpretarlos, encuadrarlos, seleccionar estrategias de resolución, realizar planificaciones de trabajo, aplicar recursos técnicos y herramientas matemáticas adecuadas y dar sentido a la solución obtenida.

Como planteamiento metodológico general para el aprendizaje de las matemáticas elegimos el enfoque heurístico frente al deductivo. El enfoque heurístico de las matemáticas es muy similar al que se utiliza en otras ciencias. Consiste en formular conjeturas (apoyándonos en el comportamiento de casos particulares), que intentamos refutar mediante contraejemplos concretos, que nos permitan rechazarlas o nos dan la clave

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para justificarlas. Elegimos el método heurístico porque entendemos que favorece la adquisición de unos conceptos que se irán conformando paulatinamente, mediante pruebas y refutaciones.

El contexto adecuado para ejercitar el método heurístico es la resolución de problemas, ya que nos va a proporcionar múltiples formas de ejercitar y reflexionar sobre procesos como la inducción, la deducción, la generalización y la particularización, que son las claves del pensamiento heurístico; aunque están presentes en otros campos de la actividad humana y de las matemáticas, la resolución de problemas los dotan de un significado muy preciso. Los conocimientos matemáticos que hoy nos parecen importantes, mañana pueden quedar obsoletos. Sin embargo los procesos del pensamiento matemático que intervienen en el razonamiento heurístico siempre serán importantes, ya que tienen un valor universal más amplio que el mundo de las matemáticas.

Las actividades de grupo nos van a proporcionar un ambiente muy propicio para el aprendizaje. La interacción entre los alumnos, la mayor proximidad que existe entre su lenguaje y sus esquemas conceptuales, hace que, muchas veces, lo que se dicen unos a otros les sea más significativo que lo que les dice el profesor.

Entre las ventajas que observamos en el trabajo en grupo mencionaríamos el que es un elemento motivador, que nos permite el tratamiento de la diversidad, es cooperativo y en ciertos aspectos consigue logros más fácilmente que el trabajo individual.

Así mismo proponemos como estrategia metodológica la incorporación de las Nuevas Tecnologías en las actividades de enseñanza/aprendizaje en el área de Matemáticas, no de una manera puntual sino como una práctica habitual y sistemática y dentro de su propio entorno de aprendizaje. Una adecuada utilización de la informática y de los medios audiovisuales nos va a permitir conseguir nuevas líneas de investigación e innovación el aula.

Los recursos materiales

Las tendencias actuales en educación matemática ponen énfasis en la importancia de un taller donde los alumnos aprendan haciendo matemáticas, mediante experimentos que les permitan manipular distintos materiales. Proponemos usar recursos materiales de diversa índole según los recursos y el tema a tratar: vídeos, ordenadores, fotocopias, palillos, espejos, modelos construidos, materiales polivalentes etc. que nos permitan realizar múltiples exploraciones según el problema a tratar.

El uso del ordenador en la clase de matemáticas favorece la adquisición de conceptos, permite el tratamiento de la diversidad y el trabajo en grupo, es un elemento motivador que ayuda a corregir los errores cometidos por el alumno valorándolo positivamente.

El uso de las calculadoras nos va a proporcionar un recurso didáctico imprescindible en la clase de matemáticas, Los alumnos y las alumnas han de conocer perfectamente su uso para acceder a todas las posibilidades que nos ofrecen.

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TEMPORALIZACIÓN 4º ESO B 1ª EVALUACIÓN Del 15 de septiembre al 21 de octubre Números reales

Tema 1 Del 24 de octubre al 18 de noviembre Polinomios .

Tema 2 2ª EVALUACIÓN Del 21 de noviembre al 16 de diciembre Ecuaciones, y sistemas

Radicales no. Sistemas no lineales no. Tema 3

Del 19 de diciembre al 20 de enero Inecuaciones y sistemas Tema 4

Del 23 de enero al 10 de febrero Funciones límitas def unciones y continuidad

Tema 9 y10

Del 13 de febrero al 9 de marzo Funciones elementales Tema 11

3ª EVALUACIÓN Del 12 de marzo al 20 de abril La semejanza. Trigonometría.

Tema 5 y 6 Del 23 de abril al 18 de mayo Geometría analítica

Tema 7 Del 21 de mayo al 1 de junio Estadística unidimensional

Temas 13 Del 4 de junio al 26 de junio Combinatoria y Probabilidad

Tema 15 y 16

EVALUACIÓN EN LA ESO

Los criterios de evaluación que aplicaremos son los mencionados en el decreto 1029/2008, de 29 de febrero por la que se regulan para la Comunidad de Madrid la evaluación de la Educación Secundaria Obligatoria. Estamos a la espera de la nueva ley de Evaluación. La dificultad de determinar si se ha alcanzado o no un conocimiento suficiente de un contenido, sobre todo si se trata de un concepto o una actitud, nos ha decidido a enfocar los mínimos exigibles desde el enfoque del “saber hacer”. No obstante, y con carácter general para todos los cursos, consideramos imprescindible que el alumnado utilice con propiedad el vocabulario y la notación inherentes a la asignatura, que sea capaz de explicar ordenadamente lo que está haciendo y, finalmente, que sea sensible a las consecuencias de una contradicción. El principal objetivo de la evaluación es ayudar al profesor/a a comprender mejor lo que los/as estudiantes saben, y a tomar decisiones docentes significativas. La atención debe centrarse en lo que ocurre en el aula con la interacción de docente y discentes. Por ello, en una primera fase, recogeremos información: • Diagnóstico inicial de conocimientos previos • Trabajos individuales y en grupo. • Preguntas orales y escritas individualizadas y centradas.

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• Observación del material elaborado por el alumno/a (cuaderno, ...) • Observación del trabajo diario en clase. • Observación de las competencias básicas. Una vez analizados estos datos, se comunicará a cada estudiante un juicio evaluador. Este curso no hemos podido desdoblar en 4º eso y el curso de 4º eso A tiene 36 alumnos. Creemos que hubiese sido positivo desdoblarlo, sobretodo para que el trabajo en clase sea más personalizado. CRITERIOS DE CALIFICACIÓN Se ha decididos diferenciar entre el alumno del primer ciclo y el alumnos de segundo ciclo de la ESO a la hora de calificar y valorar.

Se ha acordado calificar al alumnado del segundo ciclo de la ESO, es decir, para los cursos de 3º y 4º ESO B según la siguiente distribución porcentual: • Controles escritos, exámenes (*) .......................... 85% • Otros (**) ................................................................ 15% • Material elaborado por el alumno/a (cuaderno, ...)

• Trabajo de refuerzo o investigación • Trabajo diario para casa (deberes) • Actitud y trabajo en el aula y en el aula de informática

(*) Al menos hacemos dos exámenes por evaluación. Que cuentan un porcentaje inferior

al examen global de la evaluación.

Salvo Mª Concepción Martínez Molina que los controles de cada evaluación valen un 50% y el examen de evaluación otro 50%.

(**) Dependiendo del grupo, se hará más hincapié en unos u otros factores de este segundo bloque. (***)En el procedimiento se engloba el trabajo diario en casa, en clase y la nota del cuaderno. (****)Se valorará la actitud y tanto individual como colectiva dentro del grupo fomentando la participación y colaboración.

En la pruebas que se realizarán en cada evaluación un ejercicio se considerará bien resuelto cuando, tras razonar todos los pasos necesarios, de forma ordenada y clara, alcance la solución. Esta solución debe quedar resaltada.

En los exámenes introduciremos cuestiones, problemas, preguntas teóricas y ejercicios de cálculo.

Se podrá anular un ejercicio debido a un error grave en las operaciones o en el razonamiento (planteamiento erróneo, ausencia de justificación de los resultados), incluso en el caso de que la solución final coincida con la esperada. Si el alumno transcribe mal los datos de alguno de los problemas del examen (que se le da escrito a ordenador) este quedará anulado en la valoración final del ejercicio.

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En junio, cada profesor establecerá una prueba final, desglosada por evaluaciones. Esta prueba afecta a quienes no hubieran aprobado todas las evaluaciones con anterioridad. Para aprobar la asignatura deberá obtener en todas las evaluaciones que tuvieran suspensas una calificación igual o superior a 5. Los alumnos aprobados por curso podrán subir nota en este examen final.

La calificación final de los alumnos aprobados tendrá en cuenta la trayectoria del

estudiante a lo largo del curso.

En Septiembre, el Departamento elaborará una prueba final con todos los contenidos del curso donde deberá obtenerse una calificación global igual o superior a 5. En el caso en que el alumno/a tenga más de un 4 en el examen de Septiembre se le tendrá en cuenta el trabajo de verano y podrá obtener la calificación de 5. AGRUPAMIENTO EN 4 º ESO Este año hemos agrupado los curso 4º B y C por optativas, es decir hemos agrupado aquellos alumnos que tienen las matemáticas B y obtenemos dos grupos de 21 alumno ya que 4º B tienen 32 alumnos y 4º C 10 alumnos de esta opción. MATERIALES Y RECURSOS DIDÁCTICOS

Hemos elegido para 4º ESO (matemáticas B) el libro de la editorial SM, elegido en junio de este año.

Utilizamos las distintas aulas de ordenadores de las que disponemos, la TIC

responsable ya nos ha adjudicado las horas. Utilizamos los programas Derive,Wiris, Excel, Cabri, y Geogebra También multitud de páginas disponibles en la red.

Además contamos con el aula de matemáticas y su dotación material (recursos

manipulables, dominós, barajas, modelos geométricos, teselas, dados y ruletas, videos didácticos). Tenemos una pizarra digital que pensamos utilizar. Ya el curso pasado la pusimos en funcionamiento.

Poseemos una página web activa del departamento de Matemáticas en la plataforma

del pntic donde tenemos recursos diversos (ejercicios pendientes de la ESO, ejercicios de selectividad, ejercicios de refuerzo para septiembre, geometría interactiva, links diversos, etc…) que los alumnos pueden utilizar y donde incluiremos la programación para que puedan en todo momento conocer sus sistemas de calificación y los contenidos que deben alcanzar. Nuestra dirección es: http://enebro.pntic.mec.es/msardina/depa/ que será actualizada a lo largo del curso por la profesora Mercedes Sardina. Contamos con material autoevaluable en la plataforma dokeos de forma que a través de internet el alumno puede realizar los ejercicios y autoevaluarse sabiendo los conocimientos alcanzados, la ventaja de esta plataforma es que el profesor puede saber cuando el alumno la utilizó y la calificación obtenida, por ahora sólo es aplicable para el bloque de estadística tanto para 2º, 3º y 4º de la ESO así como para realizar un repaso en 1º de bachillerato de ciencias sociales.

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Se utilizaran los ordenadores personales dos del Departamento y otro del centro para dar la clase con el cañón. ANIMACIÓN A LA LECTURA

Este curso el Departamento ha pensado mandar un libro de lectura

obligada y que hagan un trabajo, a mano, según el nivel: • En 4º eso (matemáticas B) el libro a elegir en esta lista:

4º ESO

• El asesinato del profesor de matemáticas • El diablo de los números • Matecuentos 2

3º Y 4º ESO

• Andrés y el dragón matemático • Apín, capón, zapún amanicano 1134 • Cuentos de Matemáticas • Cuentos del cero • El gran juego • El país de las mates para novatos • Lee a Julio Verne: el amor en tiempos de criptografía • Los crímenes de la Rue Morgue´ • El escarabajo de oro • Matecuentos 3 • Un cuento enmarañado

Se podrá entregar en cualquiera de las evaluaciones y contará un 5% de aumento en la evaluación que se entregue.

Tenemos material de un curso que se impartió el curso pasado, con la siguiente lista de libros y unas fichas para trabajarlos.

� La Matemática española y la crisis de finales del s iglo XIX (Javier Peralta// Editorial E. NIVOLA)

� Matemática para divertirse

(Martín Gadner//Editorial Granica)

� Matemáticas Recreativas (Y: Perclman//Editorial Martínez Roca)

� Carnaval Matemático (Martín Gadner//Editorial Alianza Editorial)

� Tras la pista de la equis

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(Luis Ferrero//Ediciones Pedagógicas)

� El número de Dios � El contador de arena

� Carta a una joven matemática (para alumnos que quieran estudiar mate)

ESO

� El curioso incidente del perro a medianoche (Mark Haddon//Editorial Salamandra)

� La ciudad rosa y roja (relatos cortos)

� Ernesto, el Matemago

� Desafíos Matemáticos

� Malditas Matemáticas

� El diablo de los números

(Hans Magnus Enzensberger//Ediciones Siruela)

� El asesinato del profesor de matemáticas (Jordi Sierra i Fabra// Editorial Anaya)

SISTEMA DE RECUPERACIÓN DE EVALUACIONES PENDIENTES

Quien suspenda la primera evaluación, podrá recuperarla en un examen de recuperación. Lo mismo sucederá con la segunda evaluación. La recuperación de la tercera evaluación por falta de tiempo se hará en el examen final de Junio. La nota del examen de recuperación es la que saque en el examen. Este año se podrá también subir nota en los exámenes de recuperación para los alumnos que estén aprobados. Además, el profesor podrá considerar que se han recuperado algunos objetivos teniendo en cuenta la marcha del alumno a lo largo del curso.

En todos los cursos de la ESO habrá un examen final en junio con tres bloques diferenciando cada evaluación. Este examen sólo deberán realizarlo obligatoriamente aquellos alumnos con alguna evaluación suspensa, que tendrán que superar con una nota igual o superior a 5 cada una de las evaluaciones que tuvieran con nota negativa para poder aprobar la asignatura.

En la convocatoria de septiembre, la prueba común estará integrada por todos los contenidos impartidos durante el curso y se superará si se obtiene una nota igual o superior a 5. Se propondrán desde el departamento una serie de directrices y trabajos para el verano que se entregarán voluntariamente el día del examen extraordinario pudiendo subir hasta un punto la nota siempre y cuando en el examen el alumno tenga entre un 4 y un 4,9. Que se tendrá en cuenta a la hora de evaluar. Se han elaborado pruebas comunes a todo el departamento para septiembre teniendo en cuenta el temario dado.

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En cualquier caso, los mínimos exigibles en las pruebas de junio y septiembre serán evaluados a través de ejercicios sencillos, similares a los trabajados en clase.

EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA Recuperación de asignaturas pendientes de cursos anteriores

Este año los alumnos con las matemáticas pendientes de 1º ESO, 2º ESO Y 3º ESO

van a estar atendidos en las clases de Recuperación . Los profesores de 4º ESO se tendrán que encargar de los alumnos que tengan pendientes las matemáticas de 3º ESO, proporcionándoles las actividades necesarias para que puedan aprobar la asignatura que se elaboraran en el Departamento y serán comunes a todos los alumnos (se publicarán todas las actividades en la página web del departamento). Cada profesor recogerá los ejercicios el día del examen. Se realizaran dos exámenes finales a lo largo del curso uno la 2ª quincena de enero y otro en mayo donde los alumnos podrán aprobar la asignatura pendiente. A los alumnos que tengan pendiente más de un curso se les dará las colecciones de ejercicios correspondientes a los cursos que tenga la asignatura pendiente.

En este curso como en el anterior los alumnos que tienen pendiente la asignatura de

matemáticas, aprueban la 1ª y 2ª evaluación (incluyendo sus recuperaciones) del curso actualmente cursado se considerara que tienen los conocimientos necesarios para aprobar la asignatura del curso anterior, por lo que no será necesario que se presenten a los exámenes finales de Enero o de Mayo. La nota que tendrán los alumnos que aprueben la asignatura pendiente aprobando las dos evaluaciones del curso actual será de un 5. Si alguno de los alumnos estuviese interesado en subir nota podría presentarse a los exámenes de la asignatura pendiente en las fechas que vienen a continuación.

La recuperación de la asignatura de Recuperación de Matemáticas de 1 º y 2º ESO y

Refuerzo 1º y 2º de ESO pendiente de cursos anteriores consistirá en unos ejercicios que el alumno deberá entregar resueltos el 2 de Febrero . En caso de no entregar los trabajos o de no superarlos con nota positiva el Departamento confeccionará una pruebas adaptadas a dichas asignaturas en mayo que tendrán que se superadas con una calificación de igual o superior a 5 En Septiembre el profesor de la asignatura asignará una serie de ejercicios que el alumno deberá entregar y que el profesor valorará.

ENTREGA DE TRABAJOS DE PENDIENTES DE MATEMÁTICAS 1º ESO, 2º ESO Y 3º ESO

Lo entregarán el día del examen del examen final. ENTREGA DE TRABAJOS DE PENDIENTES DE RECUPERACIÓN Y REFUERZO DE 1º Y DE 2º ESO ENTREGA DE TRABAJOS 2 DE FEBRERO

Los exámenes están detallados a continuación.

ESO HAY DOS EXAMENES FINALES EL ALUMNO QUE APRUEBE EN E NERO TENDRÁ LA ASIGNATURA PENDIENTE APROBADA

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PRIMERO, SEGUNDO Y TERCERO DE ESO 17 ENERO PRIMERO, SEGUNDO Y TERCERO DE ESO 26 ABRIL RECUPERACÍON DE 1º ESO,2º ESO,3º ESO 26 ABRIL REFUERZO DE 1º ESO Y 2º ESO 26 ABRIL Las notas de los alumnos de ESO será la del examen.

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PROGRAMACIÓN POR UNIDADES Unidad 1 Números reales A medida que vamos aumentando nuestros conocimientos y nos planteamos preguntas más complejas, nos damos cuenta de que el concepto natural de número, como cantidad de elementos de un conjunto, es insuficiente. En los cursos anteriores ya hemos resuelto el problema de hallar la incógnita x en igualdades de la forma 8 + x = 2 o 5x = 2, pero nos surgen nuevos retos para responder a preguntas como “¿Hay algún cuadrado de área 2?”. Nuestra lógica nos dice que si hay cuadrados de área 1 y de área 4, y podemos ir ampliando progresivamente el lado del cuadrado desde 1 hasta 2, en algún momento obtendremos un cuadrado de área 2. Pero ¿cuánto mide su lado? Gráficamente se puede obtener, trazando la diagonal del cuadrado de lado 1, pero ¿cómo expresar su medida? En este curso, el estudio de los números reales se centra en la caracterización de los radicales y los logaritmos, así como en las operaciones básicas asociadas con ellos.

OBJETIVOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN COMPETENCIAS BÁSICAS

1.1. Hallar la expresión decimal de los números racionales.

1.2. Utilizar y representar los números reales.

1. Comprender la necesidad de ampliar el conjunto de los números racionales con los irracionales, así como su expresión en forma decimal, y cuantificar el error que se comete al utilizar aproximaciones y redondeos, tanto en la utilización de la calculadora como en el cálculo manual.

1.3. Evaluar los errores que se cometen con las aproximaciones decimales de los números reales.

2.1. Interpretar y operar con potencias de exponente entero.

2.2. Interpretar y operar con potencias de exponente fraccionario y con radicales.

2. Entender los conceptos de potencias de exponente fraccionario y entero, y el logaritmo de un número real; conocer sus propiedades y operar con ellos, tanto de manera exacta como utilizando aproximaciones con números decimales.

2.3. Aplicar la definición de logaritmo de un número y las propiedades de los logaritmos para resolver problemas.

• Matemática • Interacción con el mundo

físico • Social y ciudadana • Cultural y artística • Tratamiento de la información

y competencia digital

■ Contenidos • Expresión decimal de los números racionales e

irracionales • Los números reales. La recta real • Valor absoluto. Intervalos, semirrectas y entornos • Potencias de exponente negativo. Notación

científica • Radicales • Potencias de exponente racional • Operaciones con radicales • Racionalización de denominadores • Logaritmo de un número real • Propiedades y operaciones con logaritmos • Interés compuesto

• Expresar números racionales en forma decimal • Expresar números reales mediante aproximaciones

decimales y determinar o acotar el error • Representar en la recta real números e intervalos • Operar con potencias de exponente negativo • Expresar cantidades mediante notación científica y

realizar operaciones con ellas • Operar con radicales • Racionalizar denominadores. • Transformar y operar expresiones con logaritmos • Resolver problemas de interés compuesto

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■ Orientaciones metodológicas 1. Conocimientos previos Aunque se repasan algunos conceptos, es básico que los alumnos realicen con soltura las operaciones con números racionales, incluyendo las potencias y las reglas de jerarquía, así como el concepto de raíz y su relación con las potencias.

Para las representaciones de números reales es necesario que recuerden los procedimientos básicos de utilización de la escuadra, el cartabón y el compás.

2. Previsión de dificultades El concepto de logaritmo es, de largo, el más difícil de toda la unidad. Los alumnos suelen tener problemas en aplicar correctamente su definición y sus propiedades.

3. Vinculación con otras áreas Los números reales y sus operaciones aparecen en prácticamente todas las áreas de conocimiento y de la vida cotidiana. Cabe destacar cómo algunos de los problemas de aplicación de los logaritmos sirven como muestras magníficas de la importancia de esta herramienta en campos como la sismología, la química, la física o la economía. En este último caso hay que remarcar que el epígrafe final de la unidad se dedica por completo al estudio del interés compuesto.

4. Esquema general de la unidad La unidad comienza con el repaso de las expresiones decimal y fraccionaria de un número racional. De aquí se pasa a caracterizar los números irracionales y a definir los reales.

La utilización de las aproximaciones y la estimación de los errores cometidos es el siguiente paso en el desarrollo, seguido de la definición de recta real y de la explicación de cómo representar en ella los diferentes números reales tanto individualmente como en conjuntos definidos por intervalos, semirrectas y entornos.

Posteriormente se repasan las potencias de exponente negativo y la notación científica, para abordar después el estudio de los radicales: su definición y propiedades, su identificación con las potencias de exponente fraccionario y las operaciones planteadas tanto en forma radical como en forma de potencias.

La unidad termina con la introducción del concepto de logaritmo, su relación con la función exponencial y sus propiedades. El estudio del interés compuesto se da como un ejemplo en donde el uso de los logaritmos se hace imprescindible.

■ Contribución de la unidad a la adquisición de las competencias básicas • Competencia lingüística

Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, el texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividades competenciales finales desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetencia de comunicación escrita.

• Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. En esta unidad se puede considerar que se trabajan fundamentalmente las subcompetencias de resolución de problemas, relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad y la de uso de elementos y herramientas matemáticos.

• Interacción con el mundo físico En esta unidad hay varias aplicaciones de las matemáticas a diferentes campos de la ciencia y la técnica. Se trabajan las subcompetencias de conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico y de conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable.

• Social y ciudadana En esta unidad se pueden trabajar las tres subcompetencias asociadas: desarrollo personal y social, participación cívica, convivencia y resolución de conflictos y compromiso democrático y solidario con la realidad personal y social.

• Cultural y artística

NÚMEROS REALES

Racionales

Irracionales

La recta real

Potencias

Expresiones decimales. Aproximaciones

Radicales

Representación

Valor absoluto

Intervalos

Logaritmos Interés compuesto

Notación científica

Exponente racional

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Esta competencia aparece poco asociada con los contenidos de la unidad. Se puede trabajar de forma puntual la subcompetencia de referida a la sensibilidad artística.

• Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabaja la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información.

• Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en la sección de “Autoevaluación”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje.

• Competencia de autonomía e iniciativa personal La realización de un trabajo artístico y su posterior exposición en la clase permite trabajar las subcompetencias de planificación y desarrollo de proyectos y de liderazgo.

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Unidad 2 Polinomios En esta unidad se continúa con el estudio de los polinomios, recordando y ampliando los conocimientos y procedimientos iniciados en los cursos anteriores de la Educación Secundaria. Los alumnos ya conocen prácticamente todos los conceptos sobre polinomios tratados en esta unidad; sin embargo, es en este momento cuando deben madurar y consolidar las nociones y técnicas sobre polinomios iniciadas en los cursos anteriores.

Esta es la primera unidad del bloque de álgebra. El dominio de las expresiones algebraicas, las operaciones básicas con polinomios, la factorización de polinomios y, en especial, el desarrollo de las igualdades notables es imprescindible para que en las unidades posteriores, relativas a la resolución de ecuaciones, sistemas e inecuaciones, los alumnos no presenten dificultades de tipo procedimental.

Es importante que se adquiera y consolide el concepto de igualdad notable, así como su desarrollo, puesto que estas identidades se utilizarán con frecuencia en las unidades posteriores. Por otra parte, se debe conseguir que las manipulaciones de expresiones en las que intervengan letras y números se establezcan como un método habitual de trabajo. El reto de esta unidad no es solo que los alumnos consoliden los conocimientos sobre polinomios, sino también que reconozcan el lenguaje algebraico como un lenguaje familiar,


1.1. Identificar los conceptos relacionados con los polinomios y utilizar las técnicas y los procedimientos básicos del cálculo algebraico para operar con ellos.

1. Reconocer un polinomio y los conceptos relacionados y efectuar operaciones con ellos.

1.2. Aplicar las igualdades notables para desarrollar expresiones algebraicas y simplificarlas.

2.1. Usar la regla de Ruffini para dividir un polinomio entre otro polinomio de la forma x – a.

2.2. Utilizar el teorema del resto y del factor en diversos contextos.

2. Identificar las raíces de un polinomio y utilizarlas para su descomposición en factores.

2.3. Obtener las raíces enteras de un polinomio y factorizarlo.

• Lingüística • Matemática • Interacción con el mundo

físico • Social y ciudadana • Tratamiento de la información

y competencia digital • Aprender a aprender • Autonomía e iniciativa

personal

■ Contenidos • Expresión algebraica. Valor numérico de una

expresión algebraica • Monomio. Grado, término independiente,

coeficiente, parte literal de un monomio y valor numérico de un monomio

• Polinomio. Grado de un polinomio. Valor numérico de un polinomio

• Suma, resta, producto y cociente de polinomios • Potencia de un polinomio. Igualdades notables • Regla de Ruffini • Teorema del resto. Teorema del factor • Raíces reales de un polinomio. Raíces enteras • Teorema fundamental del álgebra • Polinomio irreducible • Descomposición factorial de un polinomio

• Interpretar el concepto de raíz de un polinomio • Construir polinomios que cumplan determinadas

condiciones. Valoración positiva de la precisión, simplicidad y utilidad del álgebra para representar, comunicar o resolver diferentes situaciones de la vida cotidiana

• Gusto por la resolución de situaciones matemáticas usando el álgebra como un método ordenado y preciso

• Tenacidad y perseverancia en la búsqueda de soluciones

• Utilización adecuada del vocabulario y terminología algebraicos

• Curiosidad e interés por aprender nuevos conocimientos

• Satisfacción y gusto por la presentación cuidadosa y ordenada de los trabajos

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■ Orientaciones metodológicas 1. Conocimientos previos La mayoría de los conceptos tratados en esta unidad han sido ya estudiados por los alumnos; es deseable, por tanto, que estos recuerden el concepto de polinomio y las operaciones con polinomios. Así, este tema servirá para afianzar los conceptos y ejercitar los procedimientos y técnicas para trabajar con ellos.

Para comprobar los resultados y aplicar las TIC, es bueno que los alumnos tengan conocimiento de programas como WIRIS.

2. Previsión de dificultades

Al ser un tema con contenidos ya estudiados en cursos anteriores, no se prevén grandes dificultades. De aparecer alguna, será en la regla de Ruffini y la factorización de polinomios. La unidad principalmente servirá para afianzar conocimientos y coger soltura en el manejo de los polinomios. 3. Vinculación con otras áreas

En este tema, dado su carácter más procedimental y operativo, no aparecen tan claros los fuertes lazos entre el álgebra y el resto de áreas. Estos se manifestarán con claridad cuando se trabajen las unidades de ecuaciones y sistemas. 4. Esquema general de la unidad La unidad comienza con un repaso a las expresiones algebraicas, los monomios y los polinomios.

A continuación se presentan las operaciones con polinomios: suma, diferencia, multiplicación y potencias, y como caso particular se presentan las identidades notables. Es importante que, a lo largo de estos epígrafes, el alumno coja soltura a la hora de realizar los cálculos y comprenda bien la mecánica de los mismos.

Tras la división, se presenta la regla de Ruffini como una herramienta más para llevar a cabo cierto tipo de divisiones. Y tras ella, los teoremas del resto y el factor, que nos servirán, respectivamente, para hallar el resto sin realizar divisiones y para factorizar polinomios.

Una vez tratado el teorema del factor, se presenta el concepto de raíz de un polinomio, el número de ellas y las raíces enteras, y, a partir de las mismas, la factorización de polinomios. Una consecuencia de la factorización será la aparición de polinomios irreducibles.

La unidad termina con la presentación de técnicas para factorizar polinomios, ya que esto no es siempre un proceso simple ni mecánico.



• Competencia matemática

Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. En esta unidad se puede considerar que se trabajan fundamentalmente las subcompetencias de resolución de problemas y razonamiento y argumentación.

• Competencia para la interacción con el mundo físico

Se trabaja la subcompetencia de conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico al utilizar las expresiones que describen el movimiento uniformemente acelerado.

• Competencia social y ciudadana

El texto de entrada a la unidad, las actividades finales y las referencias a matemáticos posibilitan trabajar las subcompetencias de desarrollo personal y social, a través de la reflexión sobre la evolución histórica y de participación cívica, convivencia y resolución de conflictos, al tratar el uso de códigos secretos.

POLINOMIOS

Expresiones algebraicas

Operaciones con polinomios

Monomios

Teoremas del resto y del factor

Raíces de un polinomio

Técnicas de descomposición

factorial

Polinomios

Suma y

Producto y potencia

División

Regla de Ruffini

Raíces enteras

Factorización

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• Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital

La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabaja así la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información.

• Competencia para aprender a aprender

A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en la sección de “Autoevaluación”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Las actividades de desarrollo creativo trabajan la subcompetencia de construcción del conocimiento.

• Competencia de autonomía e iniciativa personal

La realización de los trabajos de innovación y creatividad y su posterior intercambio con los de otros compañeros permiten trabajar las subcompetencias de innovación de proyectos y de liderazgo.

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Unidad 3 Ecuaciones y sistemas En esta unidad se repasan y refuerzan todos los conceptos y técnicas sobre ecuaciones y sistemas adquiridos en los anteriores cursos de la Educación Secundaria. También se amplían estos procedimientos con otros nuevos como son la resolución de ecuaciones exponenciales, bicuadradas, logarítmicas, racionales y radicales, y los métodos de resolución de sistemas de dos ecuaciones no lineales con dos incógnitas.

El dominio de las operaciones básicas con polinomios y el desarrollo y reconocimiento de las igualdades notables, adquiridos en la unidad anterior, son imprescindibles para el correcto desarrollo de las técnicas de resolución de ecuaciones y sistemas, pues la transformación de expresiones algebraicas complejas en otras más sencillas es uno de los métodos más utilizados a lo largo de toda la unidad. A su vez, la factorización de polinomios, técnica estudiada en la anterior unidad, es una herramienta muy potente para resolver ecuaciones polinómicas.

Por otra parte, consolidar estos conceptos y procedimientos es básico para el correcto desarrollo de la unidad posterior, referente a la resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones.


1.1. Resolver ecuaciones de primer y segundo grado. 1. Resolver ecuaciones de

distintos tipos: primer grado, segundo grado, bicuadradas, polinómicas, de grado mayor que dos, racionales, radicales, logarítmicas y exponenciales.

1.2. Hallar las soluciones de ecuaciones polinómicas de grado mayor que dos, racionales, radicales, bicuadradas, logarítmicas y exponenciales.

2.1. Aplicar distintos métodos, algebraicos y gráficos para resolver sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, y clasificarlos según sus soluciones.

2. Resolver sistemas de ecuaciones lineales y no lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas. 2.2. Resolver sistemas de dos

ecuaciones no lineales con dos incógnitas en los que aparecen expresiones de tipo cuadrático, logarítmico, exponencial…

3. Expresar en lenguaje algebraico distintos problemas en los cuales intervienen ecuaciones y sistemas, y resolverlos.

3.1. Traducir enunciados de situaciones problemáticas que puedan resolverse con ecuaciones o sistemas, y buscar su solución.



y competencia digital

■ Contenidos • Ecuaciones polinómicas de primer y segundo

grado • Ecuaciones completas e incompletas • Ecuaciones polinómicas de grado mayor que dos • Ecuaciones racionales • Ecuaciones radicales • Ecuaciones logarítmicas y exponenciales • Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos

incógnitas • Sistemas de dos ecuaciones no lineales con dos

incógnitas

• Calcular el número de soluciones de una ecuación de segundo grado según el signo del discriminante

• Resolución algebraica y gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

• Resolver problemas de la vida cotidiana a partir del planteamiento y resolución de ecuaciones y sistemas

• Valoración positiva de la precisión, simplicidad y utilidad de las ecuaciones y sistemas para representar, comunicar o resolver diferentes situaciones de la vida cotidiana

• Utilización adecuada del vocabulario y terminología algebraicos

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■ Orientaciones metodológicas 1. Conocimientos previos Como se mencionó en la introducción, los temas de álgebra de polinomios tratados en los dos primeros cursos de la ESO y en las unidades anteriores de este curso, el dominio de los contenidos allí mostrados, junto con el estudio de las ecuaciones de primer grado y sistemas realizado en 3º de ESO, servirán de punto de partida para el desarrollo de este tema.

2. Previsión de dificultades Se prevén dificultades sobre todo en el estudio de las ecuaciones no lineales, tanto logarítmicas como exponenciales, y en la resolución de sistemas no lineales, los alumnos tendrán dificultades a la hora de elegir la estrategia adecuada para resolver dichos sistemas. Desde el punto de vista de la comprensión, las principales dificultades surgen a la hora de transcribir los enunciados de los problemas al lenguaje algebraico: hay alumnos que todavía tienen problemas para elegir las incógnitas, poner los datos del problema en función de ellas y plantear las correspondientes ecuaciones o sistemas.

3. Vinculación con otras áreas Las ecuaciones y sistemas de ecuaciones son herramientas básicas para la resolución de problemas de todo tipo. Lo anterior hace que se puedan escoger ejemplos de prácticamente todas las áreas curriculares, así como de situaciones relativas a la vida cotidiana y al entorno conocido del alumno.

4. Esquema general de la unidad La unidad comienza haciendo un breve resumen de las ecuaciones de primer y segundo grado, y de las técnicas empleadas para resolverlas. Este contenido es familiar al alumno y no le supondrá ninguna dificultad.

Posteriormente se pasa a estudiar las ecuaciones polinómicas de grado superior a dos, en particular las bicuadradas, las racionales y las ecuaciones con radicales, y finalmente, las exponenciales y logarítmicas. En todas estas se exigirá a los alumnos que pongan en práctica conocimientos matemáticos, como son las propiedades de los logaritmos o las operaciones con polinomios, tratados en unidades anteriores.

La última parte del tema trata de la resolución de sistemas de ecuaciones. Se empieza por los lineales, repasando los métodos de igualación, sustitución y reducción, ya conocidos, así como la resolución gráfica. Por último, se trabajan los no lineales, empezando por aquellos con ecuaciones de segundo grado y finalizando por los sistemas logarítmicos y exponenciales, que, aunque nuevos, si se han comprendido los conceptos anteriores, no deben suponer ninguna dificultad para los alumnos.


Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, el texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividades competenciales finales desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias de comunicación escrita, comunicación en una lengua extranjera y reflexión sobre el lenguaje.




Se trabajan las subcompetencias de conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico al reflexionar sobre el grado de desarrollo tecnológico, y la de medio natural y desarrollo sostenible al preguntarse por las consecuencias de que dicho desarrollo se produzca rápidamente y sin control.


ECUACIONES Y SISTEMAS

Ecuaciones

Polinómic

Resolución de sistemas

De primer grado

De segundo

De grado

Racionale

Con

Exponencial

Logarítmicas

355

El texto de entrada a la unidad y la primera actividad de la sección final de competencias posibilitan trabajar la subcompetencia de desarrollo personal y social, a través de la reflexión sobre la relación entre la expansión de las lenguas y la realidad histórica de los diferentes grupos humanos que las utilizan.


La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabaja así la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información. También se trata el uso de las herramientas tecnológicas, a través de la utilización del programa GeoGebra.




La realización de los trabajos de búsqueda de información y elaboración de conclusiones permite trabajar la subcompetencia de innovación

356

Unidad 4 Inecuaciones y sistemas Al finalizar la unidad, los alumnos deben conocer las inecuaciones, los sistemas de inecuaciones de primer grado con una y dos incógnitas y las técnicas existentes para resolverlos. No solo deben automatizar los cálculos, sino que también deben entender cuál es el significado de una inecuación y el de un sistema de inecuaciones.

Todos estos conceptos son nuevos para ellos; sin embargo, las técnicas utilizadas para resolver los problemas son prácticamente conocidas. El concepto de desigualdad, así como el de intervalo, ya se trató en la primera unidad.. Los alumnos deben apreciar la utilidad del álgebra, y en especial, de las inecuaciones y los sistemas de inecuaciones, para resolver problemas de la vida cotidiana. Por otra parte, la correcta comprensión de las técnicas estudiadas en esta unidad es muy útil para trabajar nuevas unidades, como son las relativas a la geometría, el análisis o la probabilidad y la estadística. Muchos de los procedimientos utilizados en estas unidades tienen una base algebraica. Por ello, comprender bien las técnicas estudiadas en este bloque facilitará la comprensión de los procedimientos utilizados en unidades posteriores. Además, la resolución de inecuaciones y sistemas y, en general, todo el bloque del álgebra son conocimientos utilizados y ampliados en las Matemáticas de Bachillerato, cualquiera que sea la modalidad elegida.


1.1. Reconocer y resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita.

1.2. Aplicar el método de factorización de polinomios para resolver inecuaciones de grado superior a dos racionales.

1. Reconocer las inecuaciones, los conceptos relacionados (primer miembro, segundo miembro, conjunto de soluciones, ecuaciones equivalentes…) y resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones. 1.3. Resolver sistemas de

inecuaciones con una y dos incógnitas.

2. Traducir enunciados de situaciones cotidianas que puedan resolverse con inecuaciones o sistemas de inecuaciones

2.1. Plantear y resolver problemas mediante el planteamiento y la resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones.



y competencia digital • Autonomía e iniciativa

personal

■ Contenidos • Desigualdad • Inecuación • Miembros de una inecuación • Soluciones de una inecuación. • Inecuaciones equivalentes. Cálculo • Inecuaciones de primer grado con una

incógnita • Conjunto solución • Inecuaciones polinómicas de grado igual o

mayor que dos • Inecuaciones racionales • Sistemas de inecuaciones de primer grado con

una incógnita • Sistemas de inecuaciones de primer grado con

una incógnita. Método gráfico de resolución

• Expresar la solución de inecuaciones en forma de intervalo, de desigualdad y gráficamente

• Resolver algebraicamente sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita

• Resolver gráficamente sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas

• Resolver problemas de la vida cotidiana a partir del planteamiento y resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado

• Interés y cuidado a la hora de resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado y hábito por comprobar las soluciones

• Interés al realizar los cálculos para resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones

357

■ Orientaciones metodológicas 1. Conocimientos previos Este es un tema nuevo para los alumnos; no obstante, es deseable que tengan un buen manejo de las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones. De igual modo, es deseable que tengan presentes los conceptos sobre representación de funciones lineales que se han repasado en la unidad anterior, al resolver los sistemas de ecuaciones de modo gráfico.


No es un tema especialmente difícil y no se prevén dificultades; sin embargo, al ser un tema nuevo, el proceso de enseñanza-aprendizaje puede ser un poco lento. 3. Vinculación con otras áreas Como sucede con la mayoría del álgebra, las inecuaciones aparecen en muchas áreas de conocimiento y de la vida cotidiana. Es por ello conveniente que se planteen problemas de situaciones cotidianas, de forma sencilla, en los que se puedan plantear desigualdades e inecuaciones. 4. Esquema general de la unidad El tema comienza recordando el concepto de desigualdad. A través de las desigualdades numéricas se introduce el concepto de desigualdad algebraica y, con ello, el de inecuación. En primer lugar se explican las reglas necesarias para obtener inecuaciones equivalentes. Una vez que los alumnos saben obtener inecuaciones equivalentes, se explica el proceso para obtener las soluciones de una inecuación de primer grado con una incógnita. Después, utilizando como base la factorización de polinomios, se trata la resolución de inecuaciones polinómicas de grado mayor o igual que dos y de inecuaciones racionales. La unidad finaliza con los sistemas de inecuaciones de primer grado con una y con dos incógnitas. Los sistemas con una incógnita no deben suponer una dificultad si los alumnos han comprendido bien la resolución de inecuaciones de primer grado. En cuanto a la resolución de sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas, se debe razonar el semiplano solución de una inecuación. Los alumnos deben comprender a la perfección por qué y cuál es el semiplano que se toma.


Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, el texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividades competenciales finales desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias de comunicación escrita y de comunicación en una lengua extranjera.


Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores.


Se trabaja la subcompetencia de conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable, al trabajar sobre conceptos básicos relacionados con la dieta.


El texto de entrada permite trabajar la subcompetencia de participación cívica, convivencia y resolución de conflictos, por medio de la reflexión de lo importante que es una buena planificación de los servicios públicos, en este caso, en lo relacionado con el transporte y la distribución. A través de las cuestiones relacionadas con la geografía que se incluyen en la actividad final de competencias, se trabaja la subcompetencia de desarrollo personal y social y, por último, la actividad 57 sobre el comercio justo posibilita la reflexión sobre la subcompetencia de compromiso solidario y democrático con la realidad social.


La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabaja así la subcompetencia de obtención, transformación y

INECUACIONES Y SISTEMAS

Desigualdades e inecuaciones

Inecuaciones de primer grado

Inecuaciones polinómicas de grado superior

Con una incógnita

Inecuaciones racionales

Sistemas de inecuaciones

Con dos incógnitas

358

comunicación de la información. También se trata el uso de las herramientas tecnológicas, a través de la utilización del programa GeoGebra.




La realización de actividades que exigen el análisis previo de diferentes posibilidades permite tratar con la subcompetencia de planificación y realización de proyectos

359

Unidad 5 Semejanza En los cursos anteriores ya se han estudiado las primeras nociones de geometría, y al llegar a este nivel, los estudiantes conocen bien los polígonos, los poliedros, la circunferencia, el círculo, el cilindro, el cono y la esfera; incluso saben determinar superficies y volúmenes. Han visto ya los movimientos en el plano como la traslación, la simetría y el giro, e incluso conocen desde 2.º de ESO la semejanza.

En este curso se estudiará la geometría desde un punto de vista más algebraico, determinando ecuaciones de rectas, manejando vectores con sus relaciones y operaciones, y haciendo uso de las razones trigonométricas para calcular longitudes, áreas y volúmenes.

Con esta unidad se inicia el bloque de geometría, y en ella se abordará la relación que existe entre las dimensiones de las figuras con igual forma, así como el teorema de Tales y dos teoremas importantes: el de la altura y el del cateto. También, cuando tratamos de hacer representaciones tanto del mundo microscópico como del macroscópico, tenemos la necesidad de utilizar la semejanza para poder apreciar su verdadera magnitud, lo que da lugar al estudio de los mapas, planos y sus escalas.


1.1. Identificar y representar gráficamente figuras semejantes aplicando, cuando sean necesarios, los criterios de semejanza de triángulos.

1. Entender los conceptos relacionados con la semejanza, la razón de semejanza, la razón de las áreas y la razón de los volúmenes de las figuras semejantes, y valorar la utilidad de las relaciones de semejanza. Resolver problemas relacionados con el mundo físico que nos rodea.

1.2. Expresar el concepto geométrico de semejanza como una proporción de magnitudes, mediante la constante de proporcionalidad o razón de semejanza.

2.1. Conocer y aplicar convenientemente el teorema de Tales para resolver problemas de triángulos.

2. Representar gráficamente de manera clara y precisa las situaciones que surgen en los problemas de geometría para poder apreciar las relaciones de semejanza y expresar algebraicamente las relaciones entre las magnitudes del problema.

2.2 Relacionar los teoremas de la altura y el cateto con la semejanza de triángulos.


físico • Cultural y artística • Tratamiento de la información


personal

■ Contenidos • Figuras semejantes • Elementos homólogos • Razón de semejanza • Razón de las áreas y de los volúmenes • Escalas numérica y gráfica • Mapas y planos • Teorema de Tales • Triángulos en posición de Tales • Criterios de semejanza de triángulos • Teoremas de la altura y del cateto

• Identificación de cuándo dos figuras son semejantes y cuándo no lo son

• Aplicación de los criterios de semejanza para demostrar que dos triángulos son semejantes

• Utilización de los conocimientos de la semejanza para resolver problemas de geometría

• Determinación de la escala de los planos y mapas

• Interés por la búsqueda de estrategias para la aplicación de la semejanza en la resolución de problemas

360

■ Orientaciones metodológicas 1. Conocimientos previos Aunque se repasan todos los conceptos, es conveniente que los alumnos recuerden el concepto de semejanza y el teorema de Tales, para poder cubrir todos los contenidos y alcanzar la profundidad que se requiere en este curso.

Para las representaciones gráficas es necesario que recuerden los procedimientos básicos de utilización de la escuadra, el cartabón y el compás, y si se opta por la utilización de las TIC, que tengan cierta soltura con programas como GeoGebra.


Las mayores dificultades suelen encontrarse al reconocer dónde se pueden aplicar los teoremas de Tales, de la altura y del cateto, y qué criterio de semejanza es oportuno en cada caso. Por ello hay que trabajar situaciones variadas con triángulos que no estén en la posición habitual. 3. Vinculación con otras áreas Como sucede con toda la geometría, la semejanza aparece en casi todas las áreas de conocimiento y de la vida cotidiana. Es especialmente destacable la aplicación de la semejanza en geografía, arquitectura y artes plásticas, porque permite trabajar de forma natural las competencias de interacción con el mundo físico y cultural y artística. 4. Esquema general de la unidad La unidad comienza con el repaso de la definición de semejanza aplicada a figuras cualesquiera y a polígonos en particular.

También se definen la razón de semejanza de longitudes y su extensión a áreas y volúmenes.

A continuación se recuerdan las escalas numérica y gráfica, y cómo aplicarlas en la lectura de mapas y planos.

Posteriormente se explica el teorema de Tales y el concepto de triángulos en posición de Tales, que será central para la semejanza, y que se aplica a la medición de distancias inaccesibles. A partir de él se desarrollan y demuestran los criterios de semejanza de triángulos.

La unidad termina con los teoremas de la altura y del cateto, que se demuestran de manera sencilla a partir de los criterios de semejanza y terminan de proporcionar las herramientas para la resolución de muchos triángulos.






Se trabaja la subcompetencia de aplicación del método científico en distintos contextos, al emplear las escalas y el teorema de Tales para comprender el entorno.

• Competencia cultural y artística

Esta competencia está muy presente en la unidad, a través del uso de la semejanza en el arte. A lo largo de la unidad hay varias referencias en este sentido, tanto en los márgenes como en las actividades. Se pueden trabajar las subcompetencias de sensibilidad artística y patrimonio cultural y artístico .


SEMEJANZA

Definición Razón de semejanza

Razón de áreas y volúmenes

Escalas Numérica

Gráfica

Teorema de Tales Triángulos en posición de Tales

Criterios de semejanza de triángulos

Gráfica

Teorema del cateto

361

La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabajan las subcompetencias de obtención, transformación y comunicación de la información y de uso de las herramientas tecnológicas asociadas a la geometría.


A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en la sección de “Autoevaluación”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Las actividades de trabajo en grupo desarrollan la subcompetencia de manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento, y las de pensamiento creativo, la de construcción del conocimiento.


La realización de los trabajos de investigación y creativos y su posterior exposición en la clase permiten trabajar las subcompetencias de planificación y desarrollo de proyectos y de liderazgo

362

Unidad 6 Trigonometría La trigonometría es una herramienta matemática que permitirá resolver problemas tanto en el plano como en el espacio. Aunque en este nivel se presenta la trigonometría principalmente como herramienta para resolver triángulos y calcular áreas y volúmenes, en cursos posteriores serán muchas las aplicaciones de la trigonometría. En la segunda parte, que abarca los tres últimos epígrafes, se pretende recordar el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes de figuras planas y espaciales, y completarlo utilizando las herramientas trigonométricas adquiridas en esta unidad, de modo que los alumnos sean capaces de calcular el área y el volumen de casi cualquier cuerpo elemental siempre que dispongan de datos suficientes.


1. Entender las distintas formas de medir ángulos y cómo se transforman de unos sistemas a otros.

1.1. Conocer los sistemas de medida de ángulos y cómo operar con ellos.

2.1. Relacionar los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos mediante las razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras.

2.2 Conocer y utilizar adecuadamente las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos de los triángulos rectángulos.

2.3. Generalizar la definición de las razones trigonométricas de los ángulos agudos en los triángulos rectángulos a cualquier ángulo y conocer sus relaciones y aplicaciones.

2. Comprender las relaciones que existen entre los lados y los ángulos en los triángulos rectángulos, expresar estas relaciones mediante las razones trigonométricas de un ángulo y hacer uso de ellas para resolver triángulos y problemas de geometría.

2.4. Saber hallar los lados y ángulos de cualquier tipo de triángulo cuando se conocen un lado y otros dos elementos del triángulo.

3.1. Aplicar las fórmulas usuales y la trigonometría para calcular longitudes y áreas de figuras planas.

3. Obtener las medidas de ángulos, longitudes, áreas y volúmenes de figuras poligonales planas o de poliedros y cuerpos redondos mediante la aplicación de las fórmulas usuales y de la trigonometría cuando sea preciso.

3.2. Aplicar las fórmulas usuales y la trigonometría para determinar el volumen y la superficie de cuerpos geométricos.


físico • Cultural y artística • Tratamiento de la información


personal

■ Contenidos • Medida de ángulos: el grado y el radián • Razones trigonométricas de los ángulos

agudos • Relaciones entre las razones trigonométricas

de un ángulo. Ecuación fundamental • La circunferencia goniométrica • Razones trigonométricas de un ángulo

cualquiera

• Razones trigonométricas inversas. Ecuaciones trigonométricas

• Resolución de triángulos rectángulos • Teoremas del seno y del coseno • Longitudes y áreas de figuras planas y de

cuerpos geométricos • Volúmenes de cuerpos geométricos

363

■ Orientaciones metodológicas 1. Conocimientos previos Para abordar esta unidad, es conveniente que los alumnos recuerden el concepto de grado sexagesimal, así como los teoremas de Pitágoras y Tales. Para la segunda parte, aunque se repasan brevemente, es recomendable que manejen las expresiones de las longitudes, áreas y volúmenes de las principales figuras y cuerpos geométricos.

Al igual que en la unidad anterior, es necesario que recuerden los procedimientos básicos de utilización de la escuadra, el cartabón y el compás, y si se opta por la utilización de las TIC, que tengan cierta soltura con programas como GeoGebra.

2. Previsión de dificultades Esta unidad es amplia y reviste cierta complejidad, en particular en las demostraciones de igualdades trigonométricas, el cálculo de las razones de ángulos mayores de 90º, la resolución de ecuaciones trigonométricas con más de una solución y la identificación de la mejor estrategia para resolver un triángulo cualquiera.

3. Vinculación con otras áreas La trigonometría es una herramienta de base para los cálculos en todas las ciencias y algunas disciplinas artísticas, y en concreto en física, química, astronomía, topografía, arquitectura y artes plásticas.

4. Esquema general de la unidad Al comienzo de la unidad se recuerda el grado sexagesimal y se define el radián. A continuación se describen las razones trigonométricas de un ángulo agudo, para pasar a establecer las relaciones entre ellas. Después se extienden las razones trigonométricas a ángulos de cualquier cuadrante.

A continuación se dedica un epígrafe a la resolución de las ecuaciones trigonométricas, la definición de las razones inversas y el uso de la calculadora.

Los siguientes dos epígrafes se dedican a la resolución de triángulos: se comienza por los triángulos rectángulos y después, mediante los teoremas del seno y del coseno, se generaliza a cualquier triángulo.

Los últimos tres epígrafes de la unidad se dedican al cálculo de longitudes, áreas y, en su caso, volúmenes de figuras planas y cuerpos geométricos empleando la trigonometría.




Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. En esta unidad se puede considerar que se trabajan fundamentalmente las subcompetencias de resolución de problemas y uso de elementos y herramientas matemáticos.


Se trabaja la subcompetencia de conocimiento y valoración del desarrollo científico y tecnológico, al estudiar la evolución de los instrumentos de medición a través de la trigonometría.


Esta competencia se trabaja mediante lecturas, notas al margen y actividades sobre el desarrollo histórico de la trigonometría y su aplicación a la arquitectura. Se trabaja la subcompetencia de patrimonio cultural y artístico .


TRIGONOMETRÍA

Medida de ángulos

Grado sexagesimal

Radián

Razones trigonométricas y sus relaciones

Seno, coseno y tangente

Relaciones fundamentales

Ecuaciones trigonométricas

Uso de la calculadora

Razones inversas

Razones en ángulos cualesquiera

Resolución de triángulos

Triángulos rectángulos

Teoremas del seno y del coseno

Longitudes, áreas y volúmenes

Figuras planas y cuerpos geométricos

364

La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabajan las subcompetencias de obtención, transformación y comunicación de la información y de uso de las herramientas tecnológicas asociadas a la geometría.


A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en la sección de “Autoevaluación”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Con las actividades de comprobación experimental de resultados matemáticos se desarrolla la subcompetencia de manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento.


La realización de los trabajos de investigación histórica de cierta profundidad permite desarrollar la subcompetencia de planificación y desarrollo de proyectos

365

Unidad 7 Geometría analítica Para completar el bloque de geometría es preciso introducir el concepto de vector, que permitirá trabajar con direcciones y definir el paralelismo y la perpendicularidad a través de una relación algebraica. También se aprenderá a calcular ángulos haciendo uso del producto escalar y de la trigonometría, ya vista en unidades anteriores.

De cara al futuro, esta unidad será la base para los estudios de álgebra lineal y geometría, tanto en el plano como en el espacio tridimensional.

El conocimiento y manejo de las ecuaciones de la recta, que ya se conoce de cursos anteriores como una función polinómica de primer grado, permitirá resolver problemas de lugares geométricos, distancias, áreas, perpendicularidad, proyecciones, etc.


1.1. Distinguir y saber relacionar los vectores fijos con los vectores libres, así como operar con vectores libres.

1.2. Comprender y utilizar los conceptos de dependencia lineal y de combinación lineal de vectores.

1. Manejar adecuadamente las operaciones con vectores para, posteriormente, a través de las operaciones y sus propiedades, expresar vectores como combinación lineal de otros y determinar ángulos. 1.3. Efectuar el producto escalar de

dos vectores y conocer sus aplicaciones.

2. Aprender a expresar de distintas formas la relación que existe entre las coordenadas de los puntos de una recta, para posteriormente ser capaz de determinar ecuaciones de lugares geométricos.

2.1. Conocer y saber hallar las distintas ecuaciones de una recta, pasar de unas a otras y determinar con ellas puntos, el vector director y la pendiente.

3. Saber interpretar los coeficientes en las ecuaciones de la recta y relacionarlos con su posición relativa respecto a los ejes de coordenadas.

3.1. Utilizar las ecuaciones de las rectas de manera conveniente para resolver con ellas problemas de paralelismo, intersección y perpendicularidad.

• Lingüística • Matemática • Social y ciudadana • Cultural y artística • Tratamiento de la información

y competencia digital • Aprender a aprender

■ Contenidos • Vector fijo del plano. Vector de posición • Vectores equipolentes. Vector libre del plano • Coordenadas de un vector • Operaciones con vectores libres • Combinación lineal de vectores libres • Punto medio de un segmento • Módulo de un vector • Producto escalar de vectores • Ángulo de dos vectores • Distancia entre dos puntos • Ecuaciones de la recta • Posiciones relativas de dos rectas

• Expresión de un vector como combinación de dos vectores, tanto gráfica como analíticamente

• Determinación del ángulo de dos vectores mediante el producto escalar y con la ayuda de la calculadora

• Determinación de la pendiente, ordenada en el origen, vector director y puntos de una recta cuando se conoce una cualquiera de sus ecuaciones

• Valoración de la equivalencia entre los métodos gráfico y analítico para operar con vectores

• Reconocimiento de la geometría analítica como herramienta

366

■ Orientaciones metodológicas

1. Conocimientos previos Al comienzo de esta unidad es conveniente que los alumnos recuerden el concepto de vector, así como la expresión de la recta como polinomio de primer grado, que ya conocen de cursos anteriores. También conviene hacer un repaso rápido de las tres posiciones relativas de dos rectas.

Al igual que en las unidades anteriores, es necesario que recuerden los procedimientos básicos de utilización de la escuadra, el cartabón y el compás, y si se opta por la utilización de las TIC, que tengan cierta soltura con programas como GeoGebra.


Aunque han manejado vectores en cursos pasados, los alumnos suelen tener dificultades al formalizarlos. En concreto, el concepto de vector libre como conjunto (en realidad, como clase de equivalencia) les resulta complejo, así como la determinación algebraica de si tres vectores son linealmente dependientes. Por otra parte, el producto escalar es un concepto nuevo y difícil, al igual que lo que se desprende de él: el módulo y el ángulo entre vectores. Hay que procurar que no lo aborden de forma mecánica, sino comprendiendo la intuición geométrica que subyace.

3. Vinculación con otras áreas La geometría analítica es una pieza esencial de las matemáticas que se utiliza en todas las ciencias, especialmente en física, donde se emplea para representar las magnitudes con dirección y sentido. Asimismo, es una herramienta básica en diseño asistido por ordenador (CAD).

4. Esquema general de la unidad La unidad comienza con la presentación de los vectores fijos y la relación de equipolencia, que permite llegar a comprender el concepto de vector libre y operar con ellos analítica y gráficamente. Una vez expuesta la idea de vector, se pasa a las operaciones con vectores: suma y producto, así como a la relación de dependencia o independencia lineal. Posteriormente se introduce el producto escalar de dos vectores, que servirá de base para el cálculo posterior de ángulos y distancias entre puntos. Mediante la relación de dependencia lineal de vectores libres se llega al ecuación de la recta y, desde ahí, a las diferentes formas de determinar los puntos que constituyen la recta afín. Se presentan pues la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas, la ecuación continua y al general, la explícita y la punto – pendiente. El tema termina con una discusión sobre las posiciones relativas de dos rectas en el plano.


Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, el texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividades competenciales finales desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetencia de comunicación escrita. En esta unidad se trabaja, además, la subcompetencia de comunicación en una lengua extranjera.


Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. Esta unidad, aunque de geometría, es fundamentalmente instrumental. Por tanto, se trabajan en mayor medida las subcompetencias de razonamiento y argumentación y uso de elementos y herramientas matemáticos.


Aunque no es central en la unidad, como complemento a las actividades del final de la misma se plantea un debate que permite trabajar esta competencia, y en particular la subcompetencia de desarrollo personal y social.


GEOMETRÍA ANALÍTICA

Combinación lineal

Vectores Vectores fijos y de posición

Equipolencia y vectores libres

Operaciones con vectores

Producto escalar Producto escalar

Módulo

Ángulo entre vectores

Ecuaciones de la recta

Ecuaciones vectorial, paramétricas, continua,

general, explícita y punto - pendiente

Posición relativa de dos rectas

367

En esta unidad se trabaja la competencia artística mediante la relación entre la geometría analítica y las técnicas de dibujo y animación, ya sea por ordenador o a mano. En concreto, se trabaja la subcompetencia de expresión artística a través de la comprensión de la animación como arte y de la creación de dibujos vectoriales y animaciones empleando la geometría analítica.


La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabajan las subcompetencias de obtención, transformación y comunicación de la información y de uso de las herramientas tecnológicas asociadas a la geometría (en algunos casos pasando por la creación artística).


A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en la sección de “Autoevaluación”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Con las actividades de diseño por ordenador y los juegos matemáticos se desarrolla la subcompetencia de construcción del conocimiento

368

Unidad 8 Sucesiones. Límites de sucesiones Las sucesiones ya son conocidas por los alumnos, pero, a diferencia del curso anterior, en el que se centró la atención en su manejo, esta unidad se enfoca hacia la idea de límite de una sucesión. En primer lugar, se recuerda la definición de sucesión y se introduce la idea de límite de una sucesión. Primero se hace de forma intuitiva, y a continuación se propone una definición más rigurosa. Los alumnos deben diferenciar las sucesiones convergentes de las divergentes, para lo que se distingue si el límite de la sucesión es un número real o es ±∞, tanto en la teoría como en diversos ejemplos propuestos a lo largo de la unidad.

La sucesión 1

1n

n +

merece ser estudiada de forma especial debido a su importancia y a la frecuencia con que

aparece. Además, su límite es el número e. Este número, irracional y trascendente, es de vital importancia por su constante aparición en diversas ramas de las matemáticas.


1.1. Caracterizar una sucesión mediante su término general.

1.2. Manejar adecuadamente los símbolos +∞ y –∞.

1.3. Calcular el límite de una sucesión utilizando las operaciones con límites.

1. Comprender el concepto de límite de una sucesión y averiguar su valor.

1.4. Identificar límites indeterminados y resolverlos.

2.1. Utilizar la sucesión 1

1n

n +

para

resolver la indeterminación 1∞. 2. Reconocer la importancia de la

sucesión 1

1n

n +

.

2.2. Reconocer aquellas sucesiones cuyo límite es el número e.


físico • Social y ciudadana • Cultural y artística • Tratamiento de la información

y competencia digital • Aprender a aprender

■ Contenidos • Definición de sucesión • Término de una sucesión. Término general • Límite de una sucesión • Límites infinitos • Sucesiones convergentes y divergentes • Más infinito y menos infinito • Operaciones con sucesiones. Relación entre sus

límites • Límites indeterminados • Cálculo de límites indeterminados • Propiedades de las sucesiones

• La sucesión 1

1n

n +

• El número e

• Reconocimiento de la utilidad de las sucesiones para el estudio de numerosas situaciones de la vida real

• Dadas dos sucesiones de las que se conocen los límites, representación de la sucesión obtenida al operar con ellas. Relación entre su límite y el de las dos sucesiones dadas

• Comprensión del término infinito como un concepto matemático, no como un número

• Valoración crítica ante el uso de las nuevas tecnologías (calculadora, ordenador…) a la hora de estudiar las sucesiones

• Interés y valoración de la importancia del número e en numerosos campos de las matemáticas

369

■ Orientaciones metodológicas 1. Conocimientos previos Aunque todos los conceptos se exponen en la unidad, es conveniente que los alumnos recuerden la definición de sucesión y de término general. Del mismo modo, para comprender las manipulaciones algebraicas que conducen al cálculo del límite es necesario que tengan cierta soltura con las operaciones con sucesiones.


La noción de límite resulta bastante compleja y conviene detenerse lo necesario hasta que no haya dudas. Por otra parte, el concepto de infinito como símbolo con el que se puede operar en ciertas condiciones es muy abstracto y suele confundir a los alumnos. Del mismo modo, la identificación del tipo de indeterminación y las manipulaciones que se requieren para resolverlas sin derivadas son algo artificiosas y requieren muchos ejemplos y, sobre todo, práctica. 3. Vinculación con otras áreas Aunque los límites de sucesiones parecen una herramienta bastante abstracta, se utilizan tanto en otras ciencias, como física o química, como en disciplinas ligadas a la actividad cotidiana, como la economía y las finanzas. En este sentido se propone la actividad sobre el interés continuo en la sección “Pon a prueba tus competencias”. 4. Esquema general de la unidad La unidad comienza con un recordatorio de la definición de sucesión y término, y a continuación se define límite de manera intuitiva y después formal.

A continuación se estudian las sucesiones con límite ±∞, y se distingue así entre sucesiones convergentes y divergentes. Después se analizan en detalle los símbolos ±∞, y cómo se puede operar con ellos, lo que será necesario para el cálculo de límites.

En el siguiente epígrafe se trabajan las operaciones con sucesiones en relación con los límites.

Con las piezas anteriores se pasa a estudiar el núcleo de la unidad: los límites indeterminados y su resolución. A esto se dedican dos epígrafes.

La unidad termina con una propiedad fundamental de los límites (toda sucesión monótona y acotada es convergente), su aplicación a la

sucesión 1

1n

n +

y el número e.


Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, el texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividades competenciales finales desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetencia de comunicación escrita. Asimismo, en las actividades que acompañan al texto de entrada se trabaja la subcompetencia de reflexión sobre el lenguaje.


Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. En esta unidad se trabajan las tres subcompetencias: razonamiento y argumentación, resolución de problemas y uso de elementos y herramientas matemáticos.


Se trabaja la subcompetencia de conocimiento y valoración del desarrollo científico y tecnológico mediante el estudio de la figura de Arquímedes, sus hallazgos científicos, y en particular el cálculo de la longitud de la circunferencia que llevó a cabo.


En la sección “Pon a prueba tus competencias” se trabaja la subcompetencia de desarrollo personal y social a través de la argumentación razonada y crítica sobre el rol de los bancos en la sociedad.

SUCESIONES Y LÍMITES

Concepto de límite

Definición

Convergencia

Divergencia

Símbolos ±∞ Definición

Operaciones

Cálculo de límites Operaciones con sucesiones

Sucesiones polinómicas

Límites indeterminados

El número e

Propiedades de las sucesiones

Crecimiento, acotación y convergencia

370


Aunque en menor medida, la competencia artística se trabaja relacionando la espiral de Arquímedes con el arte y la naturaleza, y en concreto se pone el énfasis en la subcompetencia de sensibilidad artística.


La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabaja la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información.


A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en la sección de “Autoevaluación”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. En la actividad de relación de los límites con los intereses bancarios y la TAE se trabaja también la subcompetencia de construcción del conocimiento

371

Unidad 9 Funciones El concepto de función es el mejor instrumento que los matemáticos han inventado para expresar el cambio que se produce en la variable dependiente cuando la independiente varía. Trataremos de estudiar aspectos importantes de las funciones: cómo se traduce en términos matemáticos lo deprisa o despacio que una función crece o decrece, dónde alcanza sus máximos y sus mínimos, si le podemos aplicar cualquier valor o no… Todos los aspectos que vamos a estudiar tienen su traducción y significación en la vida real. Por eso resulta tan importante saber manejar y entender las funciones: situaciones que a priori nos parecen complejas se vuelven más simples y pueden ser resueltas cuando se modelizan mediante funciones Partiendo del concepto de número, fundamental en matemáticas, en el siglo XIX se comenzó a contemplar las funciones como un elemento simple, y a sumar, restar, multiplicar o dividir funciones igual que se hacía con los números. Así nació el análisis funcional, uno de los campos más actuales de la matemática de hoy.


1.1. Estudiar las características principales de una función a través de su expresión algebraica o su representación gráfica.

1.2. Dadas dos funciones, ser capaz de operar con ellas e interpretar los resultados que se obtienen.

1.3. Estudiar y representar funciones definidas en varios trozos.

1. Interpretar y realizar gráficas de funciones que aparezcan en situaciones sociales, económicas, etc., y obtener informaciones prácticas.

1.4. Transcribir una información a su expresión funcional y extraer conclusiones a partir del análisis matemático de sus propiedades.

2. Extraer información sobre un fenómeno concreto a partir de un modelo gráfico o analítico

2.1. Aproximar e interpretar la tasa de variación a partir de una gráfica, un conjunto de datos o una expresión algebraica.

• Matemática

• Interacción con el mundo físico

• Social y ciudadana


• Tratamiento de la información y competencia digital

• Autonomía e iniciativa personal

■ Contenidos • Concepto de función • Dominio de una función. Restricciones al dominio • Discontinuidad y continuidad de una función • Crecimiento y decrecimiento de una función • Máximos y mínimos • Periodicidad. Funciones periódicas • Función par y función impar • Funciones definidas a trozos • Funciones recíprocas o inversas • Operaciones con funciones

• Visualización del gráfico de una función para comprender la misma

• Relación entre la expresión analítica de una función y su gráfica

• Representación de funciones • Reconocimiento de discontinuidades, de máximos y

mínimos, de intervalos de crecimiento y de periodicidades

• Reconocimiento de la utilidad de la representación gráfica para un estudio rápido de una función

• Apreciar ventajas e inconvenientes que tiene la representación analítica frente a la representación gráfica

• Valoración crítica ante el uso de las nuevas tecnologías (calculadora, ordenador…) a la hora de estudiar las funciones

• Interés y valoración del lenguaje gráfico que aparece en el mundo cotidiano

372

■ Orientaciones metodológicas 1. Conocimientos previos Las ideas reflejadas en este tema no les resultan ajenas a los alumnos, pues ya se trataron en los cursos anteriores; son pues deseables como conocimientos previos los conceptos relativos a las funciones que ya se estudiaron. El alumno debe tener clara la idea de lo que es una función y su representación, el crecimiento y decrecimiento, su discontinuidad, simetría y periodicidad. De forma que al final haya afianzado lo que sabía y profundizado en ello.


Las dificultades que puede presentar el tema son de tipo matemático, principalmente aquellas derivadas de las operaciones con funciones. Es previsible, además, que aparezcan dificultades en la interpretación de las funciones y su traslación a los fenómenos cotidianos, ya que los alumnos están poco acostumbrados a relacionar estos conceptos con lo que les rodea. 3. Vinculación con otras áreas Las funciones están presentes en multitud de problemas y situaciones de la vida cotidiana y de otras materias en las que la evolución de un fenómeno debe ser estudiada. Por tanto, y al igual que en otras unidades, conviene tomar ejemplos de dichos contextos para despertar el interés de los alumnos y alejarles de la idea de que son simples abstracciones matemáticas, mostrándoles su utilidad práctica. 4. Esquema general de la unidad La unidad comienza con el concepto de función y describe los tipos de variables que hay en ella. Se definen también los conjuntos dominio e imagen de una función. Una vez comprendido lo que es una función, se pasa a trabajar con ellas, y se estudian las operaciones de suma, resta, producto y cociente, y, finalmente, composición de funciones y funciones inversas. Seguidamente se describen las propiedades de las funciones, máximos y mínimos, periodicidad y acotación, y simetrías. Propiedades que permitirán analizarlas y obtener conclusiones a partir de ellas. Por último se analizan las funciones definidas a trozos. En todos los epígrafes se parte de la definición del concepto y, a partir de ella, se van desarrollando los ejemplos y ejercicios que permitan comprender dicha definición de manera clara. Al final de la unidad, en el apartado de competencias, se presentan aplicaciones prácticas de las funciones a la vida cotidiana.




Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. En esta unidad se puede considerar que se trabajan fundamentalmente las subcompetencias de razonamiento y argumentación y de uso de elementos y herramientas matemáticos.


Se trata la subcompetencia de conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable.


Las referencias históricas permiten tratar la subcompetencia de desarrollo personal y social. La actividad sobre el IRPF trabaja las subcompetencias de participación cívica, convivencia y resolución de conflictos y de compromiso democrático y solidario con la realidad personal y social.


Las referencias y actividades relativas a la arquitectura trabajan las subcompetencias de sensibilidad artística y de patrimonio cultural y artístico .

FUNCIONES

Correspondencias y funciones

Operaciones con funciones

Función inversa

Función inyectiva

Crecimiento y decrecimiento.

Máximos y mínimos Tasa de variación

Periodicidad y acotación

Simetría

Funciones definidas a trozos

Función par e impar

373


La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabajan las subcompetencias de obtención, transformación y comunicación de la información y de uso de herramientas tecnológicas, a partir del uso de GeoGebra.


A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en la sección de “Autoevaluación”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Las actividades de trabajo en grupo desarrollan la subcompetencia de manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento.


La realización de un trabajo y su posterior puesta en común en clase permiten trabajar las subcompetencias de planificación y desarrollo de proyectos y de liderazgo

374

Unidad 10 Límites de funciones. Continuidad Una vez que en el tema anterior hemos recordado el concepto de función, vamos a abordar ahora dos de los conceptos más importantes en el estudio del cálculo infinitesimal: el límite de una función en un punto y la continuidad de una función en un punto. Ambos conceptos, por la relación que encierran, no pueden estudiarse por separado, de modo que en este tema los estudiaremos de forma enlazada. Aunque es importante hacer ver a los alumnos que, pese a estar relacionados, presentan diferencias entre sí, fundamentalmente el hecho de que cuando estudiamos el límite de una función en un punto, no nos importa el valor de la función en dicho punto, sino su valor cuando estamos cerca de ese punto, y en cambio, al estudiar la continuidad nos interesan ambas cosas. De hecho, deben ser iguales. Podemos explicar a los alumnos que la llegada al estudio del límite de una función partió del estudio de la física experimental, siendo Galileo uno de los pioneros en este tema. Nos servirá a modo de ejemplo, para despertar la curiosidad de los alumnos, el mismo caso que provocó al genial italiano: estando en una iglesia, observaba las oscilaciones de una lámpara que colgaba del techo y comprobó extrañado que, aunque el movimiento se iba amortiguando y cada vez se separaba menos de la vertical, el tiempo que duraba cada oscilación era el mismo. No obstante, el concepto de límite no se desarrolló de forma rigurosa hasta el siglo XIX , aunque antes de este siglo se trabajó con la idea de límite sin tener muy clara una definición del mismo. Nos ayudará para la comprensión de los conceptos de límite y de continuidad una interpretación geométrica de los mismos..


1. Conocer, bien a partir de su gráfica o de su expresión algebraica, la tendencia de una función en un punto de su dominio o en el infinito.

1.1. Interpretar la tendencia de una función en un punto.

2. Comprender la necesidad del estudio de los límites laterales de una función en un punto y entender el límite de la misma como la coincidencia de los dos laterales.

2.1. Cálculo del límite de una función.

3. Estudiar y comprender el concepto de continuidad en un punto.

3.1. Estudio de la continuidad de una función.

• Matemática




• Aprender a aprender

■ Contenidos • Límite de una función en un punto • Límites en el infinito • Límites finitos e infinitos de una función • Cálculo de límites • Propiedades de los límites • Continuidad en un punto • Determinación de la continuidad de una función en

un punto • Continuidad en un intervalo. Interpretación gráfica de

la continuidad • Discontinuidad • Tipos de discontinuidades

• Interpretación gráfica del límite de una función en un punto

• Cálculo de la tendencia de una función cuando la variable independiente tiende a valores muy grandes o muy pequeños

• Predisposición a la investigación, al rigor y al orden en el momento de determinar la tendencia de una función

• Valoración e interpretación de los resultados que se obtienen al resolver un problema

• Interés por la correcta aplicación de las propiedades de los límites al resolver un problema

• Disposición a crear modelos y realizar abstracciones a partir de problemas concretos

375

■ Orientaciones metodológicas 1. Conocimientos previos Este tema introduce conocimientos que ya se han visto en el tema de las sucesiones, tales como la idea de límite y las indeterminaciones, y otros que, si bien no son del todo nuevos, como la idea de la continuidad, sí que se ven de manera más formal y rigurosa por primera vez. Los conocimientos previos serían, en este caso, las funciones y sus propiedades, así como la idea de función a trozos que se ha visto en el tema anterior. El número e y la idea de límite de sucesiones pueden servir como comienzo para explicar la función exponencial y los límites de funciones, respectivamente.


Al ser un tema nuevo en su parte de límites, se prevén dificultades para la comprensión de los mismos, en concreto de los laterales y los indeterminados. También en la aplicación de los límites laterales a las funciones discontinuas. 3. Vinculación con otras áreas Los límites y la continuidad están presentes en multitud de problemas y situaciones de la vida cotidiana y de otras materias en las que la evolución de un fenómeno debe ser estudiada: en medicina para estudiar la evolución de una plaga, en ingeniería para analizar procesos térmicos y cómo evolucionan. Por tanto, y al igual que en otras unidades, conviene tomar ejemplos de dichos contextos para despertar el interés de los alumnos y alejarles de la idea de que son simples abstracciones matemáticas, mostrándoles su utilidad práctica. 4. Esquema general de la unidad Se comienza el tema con la idea de la tendencia de una función, concepto que ayudará a introducir de una manera más intuitiva la idea de límite. Por tanto, usando como base este concepto, lo siguiente que se hace es definir el límite de una función en un punto, para posteriormente definir los límites laterales cuando nos acercamos a ese punto. Una vez que han quedado claros los conceptos anteriores, se pasa a estudiar los límites tanto infinitos como en el infinito. Cuando ya se tiene una visión de lo que son los límites, se analizan sus propiedades y se muestran las expresiones indeterminadas para posteriormente exponer las distintas estrategias para resolver las indeterminaciones. Se comienza por las racionales para terminar con ∞ − ∞ y 1∞ . En la última parte del tema se aborda el concepto de continuidad de una función y su relación con los límites laterales, y finalmente se analizan las discontinuidades. Al final de la unidad, en el apartado de competencias, se presentan aplicaciones prácticas relacionadas con los transportes y las leyes de la física.




Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. En esta unidad se puede considerar que se trabaja fundamentalmente la subcompetencia de uso de elementos y herramientas matemáticos.


Esta es la competencia que más se trabaja en la unidad, sobre todo en las subcompetencias de aplicación del método científico en distintos contextos y de conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico.


A través de referencias a la historia de la ciencia y la técnica, se puede tratar la subcompetencia de desarrollo personal y social. Asimismo, una reflexión sobre los datos de mortalidad infantil puede servir de base para trabajar la subcompetencia de compromiso democrático y solidario con la realidad personal y social.

LÍMITES DE FUNCIONES.

Límite de una función en un punto

Límites finitos y en el infinito

Tendencia de una función

Propiedades de los límites

Límites laterales

Límites de funciones racionales

Otros tipos de indeterminaciones

Discontinuidad

Expresiones indeterminadas

Continuidad de funciones

376


La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabajan las subcompetencias de obtención, transformación y comunicación de la información y de uso de herramientas tecnológicas a partir del uso de GeoGebra.


A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en la sección de “Autoevaluación”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Las actividades de búsqueda de información y realización de experiencias desarrollan la subcompetencia de construcción de conocimiento.

377

Unidad 11 Funciones elementales Una vez que los alumnos llevan varias unidades familiarizándose con el estudio de las características de las funciones (crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, límite de una función, continuidad…), en este tema estudiarán, de forma concreta, algunas de las funciones que aparecen en las matemáticas de manera más frecuente. Algunas de las funciones de esta unidad ya son conocidas por los alumnos, como son las funciones lineales o las cuadráticas; pero otras no, como pueden ser las exponenciales, las logarítmicas o las trigonométricas. No obstante, alumnos que tengan fluidez en el manejo de las propiedades de las potencias, del logaritmo y de las razones trigonométricas no suelen tener dificultades a la hora de estudiar estas funciones. Es importante que los alumnos relacionen adecuadamente las propiedades de cada uno de los tipos de funciones expuestas, lo que les dará mayor seguridad a la hora de resolver problemas. Baste como ejemplo el análisis de problemas de optimización en los que aparecen parábolas y el estudio de sus máximos. Al hilo de lo anterior, sería conveniente que, cuando presentemos cada una de las funciones, pongamos ejemplos de situaciones en las que dichas funciones aparecen, de manera que los alumnos no olviden que no estamos tratando un tema puramente abstracto, sino que las funciones se utilizan para modelizar aspectos de la vida cotidiana. Así se ha hecho a lo largo de la unidad en distintas actividades, problemas y ejemplos propuestos.


1.1. Reconocer las funciones lineal y cuadrática, y dominar las propiedades que las caracterizan.

1.2. Reconocer las funciones de proporcionalidad inversa y las racionales, y dominar las propiedades que las caracterizan.

1.3. Reconocer las funciones logarítmica y exponencial, y dominar las propiedades que las caracterizan.

1. Conocer las propiedades de los distintos tipos de funciones, saber esbozar su gráfica de forma intuitiva.

1.4. Reconocer las funciones trigonométricas y dominar las propiedades que las caracterizan.

2. Estudiar funciones más complejas descomponiéndolas en otras más simples de las cuales conocemos su comportamiento, su gráfica, etc.

2.1. Construir la gráfica de funciones más complejas a partir de la gráfica de otras más simples.

• Lingüística

• Matemática





■ Contenidos • Funciones lineales • Concepto de pendiente y ordenada en el origen • Funciones cuadráticas • Determinación del eje y el vértice de una parábola • Funciones de proporcionalidad inversa • Funciones racionales • Concepto de asíntota • Asíntotas horizontales • Asíntotas verticales • Asíntotas oblicuas • Funciones exponenciales • La función ex y e–x

• La función exponencial 10x • Funciones logarítmicas • La función logaritmo neperiano • Relación entre las funciones logarítmicas y

exponenciales • Período de una función • Funciones seno y coseno • Función tangente • Obtención de gráficas de funciones a partir de otras

más simples • Valoración del uso de las funciones en la vida diaria

378

■ Orientaciones metodológicas 1. Conocimientos previos Los alumnos deberían haber comprendido los conceptos de los temas previos, principalmente los del tema 9 referidos a las propiedades de las funciones. De igual modo, las funciones lineales y de proporcionalidad directa e inversa ya deberían ser familiares para ellos, pues fueron objeto de estudio en cursos anteriores.


El tema presenta las funciones en orden inverso de dificultad, por lo que es de prever que las dificultades aparecerán con las funciones exponenciales y logarítmicas, ya que son la materia nueva a la que se va a enfrentar el alumno, y la comprensión de conceptos como el logaritmo y la exponencial no suele ser fácil. Lo mismo podemos decir de las funciones trigonométricas, cuya comprensión siempre es difícil al principio. 3. Vinculación con otras áreas Existen multitud de problemas y situaciones de la vida cotidiana y de otras materias, principalmente en el análisis de experimentos científicos. De esta forma, y al igual que en otras unidades, conviene tomar ejemplos de dichos contextos para despertar el interés de los alumnos. 4. Esquema general de la unidad El tema plantea los tipos de funciones en orden creciente de dificultad, por eso se empieza con las funciones lineales, cuadráticas e inversas, ya conocidas por los alumnos. Posteriormente se introducen las funciones racionales, se estudia su dominio y, a partir de él, se estudian las asíntotas. Este estudio se lleva a cabo bien partiendo de la gráfica de la función o bien desde la expresión analítica de la función. Seguidamente se estudian las funciones exponenciales y logarítmicas, haciendo hincapié en las más simples, ex, e–x y 10x en las exponenciales y el logaritmo neperiano en las logarítmicas. Se estudia también la relación que existe entre ellas. El penúltimo punto del tema son las funciones trigonométricas, aquí se aborda el estudio de las funciones seno, coseno y tangente, destacando en su periodicidad. Finalmente, en el epígrafe 8 se muestra cómo se pueden representar funciones complejas partiendo del conocimiento que se tiene de otras funciones más simples, lo que permite encarar con mayor seguridad los problemas en los que aparecen dichas funciones, ya que un conocimiento intuitivo de la gráfica facilita su resolución.


Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, el texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividades competenciales finales desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias de comunicación escrita y oral en diferentes contextos.


Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. En esta unidad se puede considerar que se trabaja fundamentalmente la subcompetencia de razonamiento y argumentación.


Es una competencia que se trabaja ampliamente en la unidad. Se tratan las subcompetencias de conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico y de medio natural y desarrollo sostenible.


Se pueden trabajar las subcompetencias de desarrollo personal y social y de compromiso democrático y solidario con la realidad personal y social.


FUNCIONES ELEMENTALES

Funciones polinómicas Funciones lineales

Funciones parabólicas

Asíntotas

Funciones exponenciales,

logarítmicas y su relación

Funciones trigonométricas

Funciones complejas a partir de otras simples

Horizontales

Verticales

Oblicuas

ex, e-–x y 10x

Logaritmo neperiano

Funciones de proporcionalidad

inversa

Funciones racionales

Seno y coseno

Tangente

379

La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se tratan las subcompetencias de obtención, transformación y comunicación de la información y de uso de herramientas tecnológicas, a través del uso del programa GeoGebra.




La puesta en común de trabajos permite trabajar las subcompetencias de planificación y desarrollo de proyectos y de liderazgo.

380

Unidad 12 Iniciación a la derivada En este tema se va a presentar a los alumnos uno de los conceptos más importantes de la matemática aplicada, la derivada, que nos sirve para explicar, por ejemplo, cuál es la velocidad con que varía una función a lo largo de su dominio. Dicho concepto, alrededor del cual gira una parte tan importante de las matemáticas como es el cálculo diferencial, se estudiará en profundidad en Bachillerato.

Los alumnos deben comprender el concepto de derivada tanto desde el campo numérico como desde el geométrico. Para ello partimos de lo que han aprendido en los temas anteriores: la idea de límite es clave en la definición de derivada, y si aprendieron a calcular límites con fluidez, no les costará mucho calcular derivadas partiendo de la definición. Una vez que hayan comprendido el concepto de derivada de la función en un punto y el concepto de función derivada, estudiarán las reglas de derivación y, finalmente, resolverán problemas utilizando derivadas.

En la misma línea y tal y como se ha hecho en otros temas del libro, en la sección “Pon a prueba tus competencias” de la parte final de la unidad se introducen ideas sobre el estudio de epidemias. Buscamos con esto que no vean la opción de derivar como la aplicación de unas reglas de manera mecánica, sin otra finalidad que la del mero cálculo, sino como una potente herramienta para la resolución de problemas de muy distinta índole.


1.1. Análisis de la variación de una función. 1. Comprender el concepto de

derivada. 1.2. Interpretar geométricamente la derivada de una función en un punto.

2. Manejar con soltura las reglas de derivación y calcular con ellas la derivada de suma, diferencia, cociente o producto de funciones.

2.1. Calcular la derivada de una función utilizando las reglas de derivación.

3. Entender la importancia del cálculo diferencial como vehículo para resolver numerosos problemas de la vida diaria.

3.1. Aplicar el concepto de derivada en la resolución de problemas.

• Lingüística

• Matemática






Contenidos • Tasa de variación media • Tasa de variación instantánea • Derivada en un punto • Pendiente de la tangente en un punto • Función derivada • Derivadas de funciones elementales • Derivadas de la suma, producto y cociente • Derivada de la función compuesta. Regla de la

cadena

• Cálculo de la derivada de una función en un punto mediante la definición

• Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto

• Cálculo de la recta tangente a una curva en un punto • Cálculo de la función derivada • Comprensión del interés del cálculo de la TVM y de

la TVI • Interés por la relación entre los conceptos de límite en

un punto, continuidad y derivabilidad • Diferenciación entre derivada en un punto y función

derivada • Reconocimiento de la utilidad del cálculo diferencial

a la hora de resolver problemas

381

■ Orientaciones metodológicas 1. Conocimientos previos Como este es un tema de introducción de contenidos, casi todo es nuevo para el alumno; no obstante, es deseable que los alumnos tengan fluidez en el cálculo de límites, pues eso les será de ayuda para calcular derivadas a partir de la definición.


Sin olvidar que es un tema nuevo y eso entraña una dificultad en sí mismo, prevemos que las mayores dificultades del tema estarán en la comprensión geométrica de la derivada y cuando los alumnos tengan que encontrar un punto de una recta con una pendiente dada. Memorizar las derivadas de funciones elementales será algo que cueste a algunos alumnos. En cuanto a las operaciones, las mayores dificultades las tendrán, seguramente, con la derivada del cociente. 3. Vinculación con otras áreas Como hemos mencionado, las derivadas están presentes en multitud de problemas y situaciones de la vida cotidiana y de otras materias en las que la evolución de un fenómeno debe ser estudiada. Por tanto, y al igual que en otras unidades, conviene tomar ejemplos de dichos contextos para despertar el interés de los alumnos y alejarles de la idea de que son simples abstracciones matemáticas y cálculos repetitivos, mostrándoles su utilidad práctica. 1.1.1 4. Esquema general de la unidad Se empieza con la tasa de variación media y, a partir de ella y su límite, la tasa de variación instantánea. A partir de estos conceptos, se aborda el concepto de derivada de una función en un punto como tasa de variación media en un intervalo cada vez más pequeño y su interpretación geométrica. Una vez comprendido lo que es una derivada, se hará el cálculo de la función derivada, para lo que se empleará el concepto de límite. A partir de este cálculo se muestran las derivadas de las funciones que más frecuentemente aparecen: constante, potencial, logarítmica, seno y coseno, teniendo en cuenta que es importante que los alumnos memoricen las derivadas de estas funciones. Seguidamente se muestran las derivadas de las operaciones con funciones: producto de número por función, suma, resta, producto y cociente de funciones. El tema finaliza con la derivada de la función compuesta mediante el uso de la regla de la cadena como método para simplificar los cálculos.


Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, el texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividades competenciales finales desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetencia de comunicación escrita. Además, la exposición de trabajos en clase trabaja la subcompetencia de comunicación oral.




Se tratan las subcompetencias de conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico y de conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable.


A través de distintas referencias históricas se puede tratar la subcompetencia de desarrollo personal y social. Asimismo, las actividades sobre medidas de seguridad permiten reflexionar sobre la subcompetencia de participación cívica, convivencia y resolución de conflictos.


INICIACIÓN A LA DERIVADA

Tasa de variación media e instantánea

Derivada de una función en un punto

Interpretación geométrica

de la derivada

Ecuación de la recta tangente

Cálculo de derivadas

Regla de la cadena

Función derivada

Funciones elementales

derivada

Suma

Producto y cociente

382

La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se tratan las subcompetencias de obtención, transformación y comunicación de la información y de uso de herramientas tecnológicas, a través del uso de GeoGebra.




La exposición de trabajos en clase desarrolla la subcompetencia de liderazgo

383

Unidad 13 Estadística unidimensional

La estadística no es algo absolutamente nuevo para los alumnos, pues ya han tenido contacto con ella en cursos anteriores. Los alumnos deben ver la estadística como una herramienta con la que gestionar los datos obtenidos en diversos estudios para poder extraer mejor la información que reflejan. La estadística es una de las ramas de las matemáticas que más aparecen en la vida cotidiana. Por ejemplo, en la prensa, en internet o en otros medios de comunicación es frecuente la utilización de gráficos o parámetros estadísticos para mostrar de manera rápida e intuitiva los resultados de un estudio. Tanto en ciencias de la naturaleza y de la salud como en ciencias sociales, la estadística tiene gran importancia, y así se lo mostraremos a los alumnos mediante las diversas actividades planteadas sobre estos temas. El auge de las informaciones estadísticas y la creciente utilización de los métodos estadísticos en los medios de comunicación y en otras disciplinas científicas y sociales pueden servir para dirigir la curiosidad de los alumnos hacia estos temas, investigando la conexión entre diferentes magnitudes y fenómenos del comportamiento humano, a la vez que descubren la conveniencia de presentar esta conexión de forma rápida y sintética a través de las herramientas estadísticas.


1. Representar gráficamente los datos de una variable aleatoria mediante los diversos gráficos (circular, barras…).

1.1. Interpretar en un estudio estadístico la diferente terminología.

2. Calcular los parámetros estadísticos de centralización y de dispersión.

2.1. Calcular e interpretar los distintos parámetros estadísticos.

3.1. Representar los datos de un estudio estadístico mediante un gráfico y extraer información de este.

3. Saber comparar la dispersión existente entre distintas distribuciones mediante el coeficiente de variación. 3.2. Comparar la dispersión de

distintas distribuciones.

• Lingüística

• Matemática






■ Contenidos • Población y muestra. Tamaño muestral • Caracteres estadísticos cualitativos y cuantitativos • Variables estadísticas discretas y continuas • Diagramas de sectores y de barras, histogramas,

diagrama de cajas y bigotes • Parámetros de centralización: media, mediana, moda,

cuartiles • Parámetros de dispersión: rango, varianza, desviación

típica • Coeficiente de variación

• Reconocimiento del tipo de caracteres de una población

• Representación gráfica de un estudio estadístico • Obtención de los parámetros de centralización y de

dispersión de una variable estadística • Uso conjunto de la media y la desviación típica • Utilización del coeficiente de variación para la

comparación de distribuciones • Valoración del uso de la estadística como

instrumento para el estudio de diferentes aspectos de la realidad

• Valoración del uso de la calculadora científica y de las nuevas tecnologías para simplificar el tratamiento de la información

• Actitud crítica en la interpretación de los datos presentados mediante métodos estadísticos

• Gusto por la claridad y la precisión en la elaboración de los trabajos estadísticos

384

■ Orientaciones metodológicas 1. Conocimientos previos Como ya hemos dicho, la estadística no es algo nuevo para los alumnos, por ello es deseable que recuerden lo que han visto en cursos anteriores, de forma que les sea más sencillo aprender los nuevos conocimientos, a la vez que afianzan los anteriormente adquiridos.


Este tema no suele tener dificultades más allá de las propias de la interpretación de resultados, que para algunos alumnos puede resultar algo más costoso. Lo que sí se prevé es que algunos problemas sean largos, sobre todo al hacerlos a mano y no con calculadora, ya que exigen gran cantidad de cálculos y pueden llevar al alumno al desánimo o la desidia. 3. Vinculación con otras áreas Como ya se ha mencionado, la estadística está íntimamente relacionada con múltiples aspectos de la vida cotidiana como forma de presentar la información. De esta forma, y al igual que en otras unidades, conviene tomar ejemplos de dichos contextos para despertar el interés de los alumnos. 4. Esquema general de la unidad La unidad comienza recordando los conceptos de población y muestra, para pasar después a calcular parámetros estadísticos como la media aritmética y la moda. Se muestra después el cálculo de la mediana y los cuartiles, y finalmente, el rango, la varianza y la desviación típica. Una vez que se han determinado los parámetros estadísticos, el siguiente punto es la representación gráfica, para lo que se enseñan los diagramas de sectores y de barras, los histogramas, y se introducen como novedad los diagramas de cajas y bigotes. Se indica además al alumno que no todos los gráficos son válidos para todos los estudios estadísticos, y se le dan indicaciones sobre su uso más adecuado. Para concluir la unidad, a partir de la media y la desviación típica se obtienen el coeficiente de variación y los parámetros de centralización y dispersión, así como la distribución normal. En la sección “Desarrolla tus competencias” se presentan ejemplos reales de aplicación de la estadística a dos situaciones como son el sistema electoral español y la tasa de pobreza en el mundo.


Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, el texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividades competenciales finales desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetencia de comunicación escrita. Además, la participación en debates en clase trabaja la subcompetencia de comunicación oral.


Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. En esta unidad se puede considerar que se trabaja fundamentalmente la subcompetencia de resolución de problemas.


Se trabaja la subcompetencia de conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable a través de la reflexión sobre el consumo juvenil de alcohol.


Es la competencia más trabajada en la unidad, desarrollándose actividades que tocan las tres subcompetencias asociadas: desarrollo personal y social, participación cívica, convivencia y resolución de conflictos y compromiso democrático y solidario con la realidad personal y social.



ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL

Términos estadísticos

Parámetros estadísticos

Representaciones

Coeficiente de variación

Media aritmética

Moda y clase modal

Mediana y cuartiles

Rango, varianza y desviación típica

Sectores

Barras

Histograma

Cajas y bigotes

385




La participación en un debate en clase permite trabajar la subcompetencia de liderazgo

386

Unidad 14 Estadística bidimensional Normalmente, cuando realizamos un estudio estadístico no lo hacemos basándonos en una única característica de la población que estamos estudiando. Por ejemplo, no es extraño que cuando queramos medir a los alumnos de una clase recojamos al mismo tiempo la altura y el peso de cada uno. De esa forma, lo que creamos es una variable estadística bidimensional, que es nuestro objeto de estudio en el presente tema.

Obviamente, el estudio de ambas variables no debe limitarse a estudiarlas una por una como si fuesen dos estudios unidimensionales paralelos, sino que además debemos intentar averiguar si ambas características están relacionadas entre sí o si, por el contrario, sus valores son totalmente independientes. En el ejemplo citado en el párrafo anterior, lo más probable es que la gente más alta sea la que más pesa.

Si por el contrario formásemos una variable bidimensional con el número de hermanos de cada alumno y la altura de cada uno, nos daríamos cuenta de que ambos valores no guardan ninguna relación entre sí. Nos basaremos en todo lo aprendido en el tema anterior para hacer que los alumnos manejen variables bidimensionales y, de esta forma, aprendan a discernir cuándo podemos decir que dos variables guardan relaciones entre sí y cuándo no. Los alumnos deben aprender a calcular los parámetros necesarios para trabajar con las variables bidimensionales, como el centro de masa, la covarianza o el coeficiente de regresión. Este cálculo será más rápido y seguro mediante ordenador o calculadora, pero es importante que antes aprendan a calcularlo manualmente. Por último, al igual que el anterior, este tema pertenece a la parte de las matemáticas que tiene una relación más evidente con la sociedad de la información. No es difícil encontrar estudios estadísticos en prensa, en internet o en otros medios de comunicación. Utilizaremos esto para intentar fomentar entre los alumnos el interés por el tema y el gusto por encontrar matemáticas fuera de sus lugares tradicionales: el aula o los libros de texto.


1. Comprender la necesidad de las variables bidimensionales y representarlas mediante la nube de puntos.

1.1. Utilizar y representar las variables aleatorias bidimensionales.

2.1. Calcular parámetros estadísticos de las variables aleatorias bidimensionales.

2.2. Comprender el concepto de recta de regresión y conocer su cálculo.

2. Calcular el centro de gravedad, la covarianza, el coeficiente de correlación y la recta de regresión.

2.3. Resolver problemas utilizando las propiedades de las variables bidimensionales.

• Lingüística

• Matemática






■ Contenidos • Variable estadística bidimensional • Distribución marginal • Diagrama de dispersión (nube de puntos) • Dependencia aleatoria o funcional • Correlación lineal • Recta de regresión

• Cálculo de las distribuciones marginales a partir de una distribución bidimensional

• Representación gráfica de una variable bidimensional mediante el diagrama de dispersión

• Cálculo del centro de gravedad, de la covarianza y del coeficiente de correlación

• Comprensión de la necesidad de las variables bidimensionales

• Interés por el significado de los parámetros estadísticos

• Gusto por el trabajo limpio y ordenado, en especial en las representaciones gráficas

• Reconocimiento de la utilidad de la estadística bidimensional a la hora de tomar decisiones

387

■ Orientaciones metodológicas 1. Conocimientos previos Como se ha mencionado en la introducción, los conocimientos previos deseables son los adquiridos en el tema anterior, pues se parte de estos para desarrollar el presente tema.


Como en el tema anterior, este no suele tener dificultades más allá de las propias de la interpretación de resultados, que para algunos alumnos puede resultar algo más costoso. De nuevo, aunque los problemas se hacen más rápidamente con ordenador o calculadora, es conveniente evitar que los alumnos caigan en la tentación de usarlos sin haber aprendido previamente a hacerlos manualmente, por dos razones: obtener una mayor comprensión de los conceptos y el hecho de que parte de la dificultad del tema se encuentra en los cálculos, en los que deben ser cuidadosos. En cuanto a los conceptos, se prevén dificultades en los dos últimos epígrafes, relativos al coeficiente de correlación lineal y la recta de regresión. 1.1.2 3. Vinculación con otras áreas Ya se ha mencionado que si hay una parte de las matemáticas vinculada de manera especial con otras áreas, es precisamente la estadística. Existen multitud de problemas y situaciones de la vida cotidiana y de otras materias en las que se encuentra presente. De esta forma, y al igual que en otras unidades, conviene tomar ejemplos de dichos contextos para despertar el interés de los alumnos. 4. Esquema general de la unidad La unidad comienza definiendo qué son las variables estadísticas bidimensionales y las tablas de doble entrada o contingencia como forma de mostrarlas. Posteriormente se presenta la forma de representar las variables a través de una nube de dispersión y las relaciones entre las variables unidimensionales: la dependencia funcional y la aleatoria, tanto positiva como negativa o nula. Seguidamente se estudian las variables marginales y las distribuciones marginales. Se estudia el concepto de centro de masas y la covarianza. Por último, se estudian el coeficiente de correlación lineal y la recta de regresión lineal, y tras mostrar lo que es una predicción o estimación, se analiza la fiabilidad de la misma.


Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. El texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividades competenciales finales tratan los descriptores recogidos en la subcompetencia de comunicación escrita. La subcompetencia de comunicación oral se trabaja en las exposiciones y puestas en común de resultados.

• Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. En esta unidad se trabaja más en profundidad la subcompetencia de resolución de problemas.

• Competencia para la interacción con el mundo físico Se trabaja la subcompetencia de conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable, a partir del estudio del efecto placebo y de los llamados “productos milagro” para adelgazar.

• Competencia social y ciudadana Por medio de una referencia histórica, se trata la subcompetencia de desarrollo personal y social. La publicidad engañosa permite trabajar la participación cívica, convivencia y resolución de conflictos, y, por último, el análisis del abandono escolar se relaciona con la subcompetencia de compromiso democrático y solidario con la realidad personal y social.

• Competencia cultural y artística Se puede trabajar la subcompetencia de sensibilidad artística a partir de los gráficos Gapminder.


ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL

Variables estadísticas bidimensionales

Dependencia aleatoria y funcional

Covarianza

Recta de regresión

Positiva

Negativa

Nula

Coeficiente de correlación lineal o de

Pearson

388

Las referencias a la utilización de medios tecnológicos trabajan las subcompetencias de obtención, transformación y comunicación de la información y de organizar y analizar la información, transformándola en esquemas de fácil comprensión.

• Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en la sección de “Autoevaluación”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Las actividades de trabajo en grupo desarrollan la subcompetencia de manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento.

• Competencia de autonomía e iniciativa personal La realización de informes y gráficos y su posterior exposición y puesta en común en clase permiten trabajar las subcompetencias de planificación y desarrollo de proyectos y de liderazgo

389

Unidad 15 Combinatoria En esta unidad se introducen las técnicas de recuento (permutaciones, variaciones y combinaciones) y los conceptos relacionados con ellas (diagrama de árbol, principio general de recuento y números combinatorios). Estos conceptos les resultarán nuevos a los alumnos y probablemente difíciles. Por ello, el desarrollo de la unidad debe tener un carácter eminentemente práctico y, partiendo de ejemplos concretos, introducir las distintas técnicas de recuento. Hay una estrecha relación entre los contenidos de esta unidad y los de la siguiente, relativa al tratamiento de la probabilidad. Es importante que los alumnos dominen las técnicas de recuento, en especial el principio general de recuento y los diagramas en árbol, puesto que se utilizarán constantemente en la unidad posterior. Esta es una unidad con un alto valor formativo; con muy poco razonamiento teórico se consigue una intensa actividad matemática del alumno, por ejemplo, en la búsqueda de soluciones a diversos problemas de la vida cotidiana o al constatar las diversas aplicaciones de las técnicas de recuento.

La necesidad de contar y, por tanto, la utilización de las técnicas de recuento son comunes en las más variadas disciplinas. Por ello, esta unidad invita a la utilización de contextos muy diversos y plantea problemas concretos de la vida cotidiana, lo que hace que resulte atractiva e interesante a los alumnos.


1. Reconocer el principio de multiplicación y el diagrama de árbol como técnicas de recuento.

1.1. Utilizar el principio de multiplicación y el diagrama de árbol como métodos de conteo.

2.1. Distinguir entre variaciones con y sin repetición, permutaciones y combinaciones.

2. Diferenciar entre variaciones con y sin repetición, permutaciones y combinaciones.

2.2. Calcular el número de grupos que se forman mediante variaciones, permutaciones y combinaciones.

3. Conocer y aplicar las propiedades de los números combinatorios y utilizarlas para desarrollar la potencia de un binomio (binomio de Newton).

3.1. Utilizar las propiedades de los números combinatorios para obtener la potencia de un binomio.

4. Identificar la combinatoria como un instrumento útil para resolver problemas de contar en la vida cotidiana.

4.1. Aplicar la combinatoria para resolver problemas de recuento de distintos niveles.

• Matemática






■ Contenidos • Diagrama en árbol • Principio de multiplicación • Variaciones con y sin repetición de m elementos

tomados de n en n (n ≤ m) • Factorial de un número natural. Permutaciones • Combinaciones sin repetición de m elementos

tomados de n en n (n ≤ m) • Números combinatorios. Triángulo de Pascal • Binomio de Newton • Representar con un diagrama en árbol los posibles

resultados de una situación de recuento y utilizar el principio de multiplicación

• Diferenciar situaciones en las que influye el orden de aparición de los objetos o su repetición

• Identificar la técnica de recuento a utilizar en cada caso

• Utilizar con propiedad el vocabulario y la notación de la combinatoria

• Resolver ecuaciones algebraicas en las que aparezcan los números combinatorios

• Valoración positiva de los métodos de recuento para resolver problemas y situaciones de la vida cotidiana

• Tenacidad y perseverancia en la búsqueda de soluciones a los problemas de conteo

• Gusto por la resolución de situaciones matemáticas usando la combinatoria

390

■ Orientaciones metodológicas 1. Conocimientos previos Es un tema completamente nuevo, por lo que no se requieren conocimientos previos.


Como se ha mencionado, al ser un tema nuevo, aunque se ha intentado que sea eminentemente práctico, los conceptos pueden resultarles difíciles a los alumnos, por lo que el proceso de enseñanza-aprendizaje puede ser un poco más lento de lo esperado. 3. Vinculación con otras áreas Existen multitud de problemas y situaciones de la vida cotidiana y de otras materias en las que la combinatoria está presente. De esta forma, y al igual que en otras unidades, conviene tomar ejemplos de dichos contextos para despertar el interés de los alumnos. 4. Esquema general de la unidad La unidad empieza mostrando los conceptos de diagrama de árbol y el principio de multiplicación como técnicas previas de conteo de un suceso. Posteriormente, y relacionándolas con lo anterior, se introducen las técnicas de recuento, empezando por las variaciones con y sin repetición; se sigue con las permutaciones, donde además se introduce el concepto de factorial de un número, y finalmente, las combinaciones sin repetición, en las que se destaca que la diferencia con las variaciones es que el orden de los elementos no importa. Una vez estudiados estos conceptos, se introducen los números combinatorios y el triángulo de Pascal o Tartaglia. Para terminar el tema, y utilizando el triángulo, se explica el binomio de Newton para el desarrollo de las potencias de un binomio.






El concepto de fotorreceptor y la aplicación de la combinatoria a los mp3 permiten trabajar la subcompetencia de conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico.


Las notas históricas sobre el triángulo de Pascal, Newton y Mozart, así como la localización de países a partir de sus banderas, inducen el trabajo en la subcompetencia de desarrollo personal y social.


Esta es la competencia más presente en la unidad. Se pueden trabajar tres de las cuatro subcompetencias asociadas, las de sensibilidad artística, expresión artística y patrimonio cultural y artístico .


COMBINATORIA

Permutaciones Variaciones

Diagrama en árbol

Técnicas de recuento

Números combinatorios

Principio de multiplicación

Binomio de Newton

Combinaciones

Con repetición Sin repetición

391



A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en la sección de “Autoevaluación”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Las actividades de reconocimiento y composición de piezas musicales desarrollan la subcompetencia de manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento.

392

Unidad 16 Probabilidad Los alumnos tienen ideas previas sobre el azar que resultan muy útiles, pues podemos recurrir a ellos para construir un conocimiento formal y elaborado de la probabilidad. Sin embargo, también tienen ideas falsas y preconcebidas sobre la probabilidad. Hay que aprovechar este hecho para sorprenderles con actividades que pongan de manifiesto las falsas creencias que se tienen sobre la probabilidad, como es el caso de los juegos de azar. Resultará interesante para los alumnos comprobar cómo la probabilidad de acertar en la lotería es mínima y, sin embargo, se trata de una tradición muy extendida dentro y fuera de nuestras fronteras. Uno de los objetivos que se pretende conseguir en la Educación Secundaria es que los alumnos asimilen de forma crítica los elementos básicos de nuestra cultura a lo largo de los tiempos. La necesidad de asegurar este desarrollo hace que el currículo no se limite a lo académico, sino que se incluyan otros aspectos que contribuyan a su desarrollo personal. La probabilidad se utiliza en muchas disciplinas relacionadas con la estadística. Por ello los contenidos transversales deben ser uno de los ejes alrededor de los cuales se organice la actividad de esta unidad. Este bloque es idóneo para fomentar estos aspectos a través de actividades como el análisis de noticias de un periódico, de la televisión…


1. Distinguir los sucesos aleatorios de los que no lo son, y analizar los conceptos básicos con ellos relacionados: espacio muestral, tipos de sucesos, operaciones con sucesos…

1.1. Diferenciar entre experimentos aleatorios y deterministas, y deducir el espacio muestral y los distintos tipos de sucesos vinculados a un experimento de azar.

2.1. Calcular la probabilidad de un suceso.

2. Asignar probabilidades a sucesos utilizando la regla de Laplace y las tablas de contingencia, y hallar probabilidades de sucesos compatibles, incompatibles o contrarios.

2.2. Realizar operaciones con sucesos y calcular sus probabilidades.

3. Resolver problemas de probabilidad condicionada.

3.1. Identificar sucesos dependientes e independientes, y aplicar el concepto de probabilidad condicionada.

4. Obtener la probabilidad de un suceso mediante la probabilidad total y la regla del producto.

4.1. Utilizar la regla del producto y la probabilidad total para calcular probabilidades en experimentos compuestos.

• Lingüística

• Matemática





■ Contenidos • Experimentos aleatorios. Espacio muestral • Tipos de sucesos • Operaciones con sucesos: unión e intersección • Probabilidad de un suceso. Regla de Laplace • Tablas de contingencia • Probabilidad de la unión de dos sucesos • Experimentos compuestos • Sucesos dependientes e independientes • Probabilidad condicionada y total • Analizar la aleatoriedad de un experimento y obtener

el espacio muestral de un experimento aleatorio • Realizar operaciones con los sucesos de un

experimento aleatorio. Calcular sus probabilidades

• Diferenciar tipos de sucesos. Detectar sucesos equiprobables y aplicar la regla de Laplace para calcular su probabilidad

• Utilizar las tablas de contingencia para asignar probabilidades

• Resolver problemas de probabilidad condicionada • Obtener la probabilidad total de un suceso a partir de

diagramas en árbol • Utilizar el vocabulario adecuado para describir y

cuantificar situaciones relacionadas con el azar • Disposición favorable para utilizar la probabilidad en

la resolución de problemas de la vida cotidiana y sentido crítico ante los resultados obtenidos en un problema de cálculo de probabilidades

• Valoración crítica frente a informaciones de carácter probabilístico en los medios de comunicación

Cuarto B E.S.O. Programación Matemáticas. I.E.S. LA SERNA

IES LA SERNA – DPTO. DE MATEMÁTICAS -–programación 2011/2012

393

■ Orientaciones metodológicas 1. Conocimientos previos La probabilidad es un tema que se ha tratado en todos los cursos de la Educación Secundaria; por tanto, es recomendable que los alumnos tengan presentes los conocimientos adquiridos en los cursos anteriores.


Las posibles dificultades de los contenidos planteados en la unidad son fundamentalmente de tipo conceptual, dada la complejidad inherente al concepto de probabilidad y a los problemas que genera en los alumnos el álgebra de sucesos. 3. Vinculación con otras áreas La probabilidad está presente en muchos ámbitos del estudio y de la vida cotidiana, en la física, en la economía, en la medicina, en la biología… Conviene tomar ejemplos cercanos a los alumnos y que estos puedan experimentar fácilmente. Señalar que el álgebra de sucesos tiene una evidente relación con la lógica. 4. Esquema general de la unidad La unidad comienza definiendo los conceptos de experimento aleatorio y espacio muestral, así como los tipos de sucesos. Una vez definidos los sucesos, se describen las operaciones con sucesos, tanto la unión como la intersección, y se definen los sucesos incompatibles. Tras esto, se comienza la probabilidad, comenzando a explicar la regla de Laplace y las tablas de contingencia, para lo que se emplea un ejemplo que permite ilustrarlas visualmente. Tras esto, se explica la probabilidad en la unión de sucesos y la probabilidad en experimentos compuestos. Finalmente, se analiza la probabilidad condicionada, se introduce además la idea de dependencia de sucesos y la probabilidad total.


Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, el texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividades competenciales finales desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetencia de comunicación escrita, a través de la lectura y de la elaboración de informes. En esta unidad también se puede trabajar la comunicación en una lengua extranjera, analizando la importancia de los extranjerismos sobre el propio idioma.

• Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. En esta unidad se puede considerar que se trabajan fundamentalmente las subcompetencias de razonamiento y argumentación y de uso de elementos y herramientas matemáticos.

• Competencia para la interacción con el mundo físico Se trabaja la subcompetencia de conocimiento y valoración del desarrollo científico-

tecnológico.

• Competencia social y ciudadana Los temas del overbooking y los errores judiciales tratan las subcompetencias de participación cívica, convivencia y resolución de conflictos y de compromiso democrático y solidario con la realidad personal y social.

• Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabajan las subcompetencias de

PROBABILIDAD

SUCESOS

Experimentos aleatorios

Espacio muestral

Elemental Compuesto Contrario Imposible Seguro

OPERACIONES

Intersección Unión

PR

OB

AB

ILID

AD

Regla de Laplace

Probabilidad Condicionada y

total

Tabla de contingencia

Cuarto B E.S.O. Programación Matemáticas. I.E.S. LA SERNA.

IES LA SERNA – DPTO. DE MATEMÁTICAS -–programación 2011/2012

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obtención, transformación y comunicación de la información y, reflexionando sobre el fenómeno del spam, la de uso ético y responsable de la información y de las herramientas informáticas.

• Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en la sección de “Autoevaluación”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Las actividades de trabajo en grupo desarrollan la subcompetencia de manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento.

• Competencia de autonomía e iniciativa personal La realización de informes y la presentación de conclusiones sobre el propio trabajo y su posterior exposición en la clase permiten trabajar las subcompetencias de planificación y desarrollo de proyectos y de liderazgo

4 besob.bloques de contenidos11-12enebro.pntic.mec.es/~msardina/depa/pro0809/4esob.pdf ·...

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