324 cinemática lineal

Profesor: Lic. Hernn Martn Castro

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Cinemticalineal

Como hemos visto en la unidad anterior (Introduccin a la BiomecnicaDeportiva), la CINEMTICA esaquella ramade lamecnicaqueseocupadelestudiode losmovimientosde loscuerpossinanalizar lainfluencia de las fuerzas como agentes modificadores de stos. Es decir que solamente realiza unadescripcindelmismodesdeunapticacuantitativa.

Si esosmovimientos semanifiestan en lnea recta, esdecirque sonmovimientos linealeso rectilneos,sernabordadosbajolaespecialidaddelacinemticalineal.

Cuandouncuerposedesplazaen lnea recta,decimosquedescribeuna trayectoria linealo rectilnea,siademspodemoscuantificarlascaractersticasdeesemovimientopodremosdecirqueestamoshaciendounanlisisdecinemtica.

Lascaractersticasfundamentalesdelmovimientoestnrepresentadasporeltiempoquetardaelmvilenrecorreresadistancia lineal.Esdecirquetodocuerpoquesedesplazaen lnearecta lohaceduranteuntiempo dado que le demora recorrer un determinado espacio.De estamanera nacen las dos variablesprincipalesdelacinemticalinealquesonelespaciorecorrido(e)yeltiempoempleado(t).

Se entiende como especio recorrido a la diferencia en la posicin de un mvil o de un cuerpo enmovimiento, y se representamediantedichadiferenciadeposicin.A laposicindedondeparte se lallamaposicininicial(e0)yalaposicinendondeterminaelmovimientoseladenominaposicinfinal(ef).

Elespaciorecorridoselorepresentamediantelasiguientefrmula:

e=efe0

Deestaformavemosdichadiferenciadeposicincomounarestaentrelaposicinfinalylaposicininicial,dndonoscuentafcilmentedelespaciorecorridoentrelosdosmomentos.

Portiempoempleadoseentiendea ladiferenciadetiempoquetranscurreentre losmomentosquedanorigenyfinalizacinalmovimientoencuestin.Almomentoinicialodeorigendelmovimientoselollamatiempoinicial(t0)yalmomentoenelcualfinalizaelmovimientoselodenominatiempofinal(tf).

Eltiempoempleadoselorepresentamediantelasiguientefrmula:

t=tft0

Deestaformavemosdichadiferenciadetiempocomounarestaentreeltiempofinalyeltiempo inicial,dndonoscuentafcilmentedeltiempotranscurridoentrelosdosmomentos.

e=efe0

e0ef

t0tf

t=tft0



Enestemomentonacelaideadevelocidaddetraslacin,esdecirquetodocuerpoquesedesplazaenlnearecta lohace conunadeterminada velocidadde traslacin.De estamanerapodemos comprenderqueexisteunarelacinentreelespaciorecorridoyeltiempoempleado,yesatravsdeestaideadevelocidaddetraslacin.

Comonopodemos sabercules lavelocidaddelmvilencadapuntodel recorrido, loquehacemosestomarcomoreferenciaelpromediodelasvelocidadesencadapuntodeltrayecto.Deestamaneraesqueencontramosotracaractersticadelosmovimientosrectilneosquelallamaremosvelocidadmedia.

Seentiendecomovelocidadmediaaltiempoquetardaunmvilenrecorrerunespaciodado,oloqueeslomismo,elespacioqueescapazde recorrerunmvilendeterminado tiempo.Sedeterminamedianteelcomportamientodelespaciorecorridoyeltiempoempleado.

Lavelocidadlinealmediaselarepresentamediantelasiguientefrmula:

vm=e/t=(ef

e0

)/(tf

t0

)

Mientras las caractersticas del movimiento determinen que la velocidad de traslacin permanececonstante,esdecirquenovara,yaqueessiemprelamisma,entendemosqueelmovimientoesuniforme.DeestamanerasurgeelMovimientoRectilneoUniforme(MRU),enelcualserecorrenespaciossiempreigualesempleandosiempreelmismotiempo.

Cuando las caractersticas delmovimiento determinan que la velocidad no semantiene constante, esemovimientopresentaunavariacinenelcomportamientode lavelocidad.Si lavelocidadvaraesporqueexisteunadiferenciadevelocidadentre losdistintosmomentosen losquetranscurreelmovimiento.Deestamaneraencontramosotracaractersticadelosmovimientoslinealesquellamaremosaceleracin.

Laaceleracinsemanifiestacomoeltiempoquedemoraunmvilenmodificarsuvelocidaddeunaformadada,o loque es lomismo la variacinde la velocidadque es capazde experimentar unmvil en undeterminadotiempotranscurrido.

Comonopodemossabercules laaceleracindelmvilencadapuntodelrecorrido, loquehacemosestomar como referencia el promedio de las aceleraciones en cada punto del trayecto. Es as comoconstruimoslaideadeaceleracinmedia.

Laaceleracinlinealmediaselarepresentamediantelasiguientefrmula:

am=v/t=(vf

v0

)/(tf

t0

)

deestaformavemosesaideadecuntocambialavelocidadendeterminadotiempo.

Mientras lascaractersticasdelmovimientodeterminenque laaceleracinpermanececonstante,esdecirquenovara,yaqueessiempre lamisma,entendemosqueelmovimientomodificasuvelocidadsiemprede lamismamanera, ya sea incrementndola o disminuyndola.De estamanera surge elMovimientoRectilneoUniformementeVariado (MRUV),enelcualseexperimentanvariacionesdevelocidadsiempreigualesdurantesiempreelmismotiempoempleado.



Aligualqueelrestodelasvariablesmecnicas,lasvariablescinemticas,debensermedidasenbaseaundeterminado sistema, siendo este un sistema escalar o vectorial, y adems deben expresarse para sucorrectacomprensinsusvaloresyunidades.

Alhablardeunidades,debemosremitirnosalSistema InternacionaldeUnidades,elcualestableceenqu unidades debemedirse cada variable.Dicho sistema, al que debemos remitirnos, establece que launidad fundamentalparamedirelespacioo las longitudeseselmetro [m]y la correspondienteunidadparamedir el tiempo es el segundo [s].De ah enms se estableceque la velocidad lineal semida enmetrossobresegundo[m/s]ylaaceleracinlineallohagaenmetrossobresegundoalcuadrado[m/s2].

e=[m]e=[m] vm=[m/s] v=[m/s] am

=[m/s/s]=[m/s2]

t=[s]t=[s]

Recordemos:

Laideadeespaciorecorridocomocantidaddemetrosdesplazadosdesdelaposicininicialhastalaposicinfinal.

Lanocinde tiempo empleado como la cantidad de segundos transcurridosdesde elmomentoinicialhastaelmomentofinaldelmovimiento.

Elconceptodevelocidadmediacomocantidaddemetrosrecorridosporcadasegundodetiempoempleado.

El significadodeaceleracinmedia como la cantidaddemetrospor segundoque semodifica lavelocidadporcadasegundoquetranscurredemovimiento.

Porltimoesnecesariocomprenderqueelsistemademedicindelasvariablesmecnicasdifieresegndequvariablesetrate.

Porejemplo alenunciarquehuboun tiempo transcurridoentreel inicio yel finaldelmovimiento (t),bastacondecirqucantidaddesegundosseempleendichomovimiento,yconesosloessuficiente.Estoesasporqueeltiempoesunavariableescalar,esdecirqueeltiempotranscurresimplementedesdeunmomentohastaotro,ylohaceparatodosloscuerposytodoslosmovimientosdelamismaforma.

Encambiocuando seexponeque se recorrideterminadoespacio (e)noes suficiente conexpresar lacantidaddemetrosdesplazados,yaquenoeslomismomoversehaciaunlugarohaciaotro.Estotienesufundamentoenqueelespaciorecorridoesunavariablevectorial,oseaqueserepresentarmedianteunvector (quesegraficarcomoun flecha),yesporestoquesedebenexpresarcuatrocaractersticasquedefinanelcomportamientodeesevector.

1. Magnitud,mdulo,valoromedida.Representalacantidaddemetrosrecorridosydefineellargodeesaflecha.

2. Puntodeaplicacinuorigen.Representaelpuntodondenaceocomienzaesaflecha.

3. Direccin.Representalalneaporlacualviajaesaflecha.



4. Sentido.Representaellugarhaciadondeapuntaesaflecha.

magnituddireccinpuntodeaplicacin sentido

Comoenunmismomovimientoestnrepresentadastodaslasvariablesesnecesarioestablecerunsistemadereferenciaquedetermineelcomportamientodeesosvectores.

Mientras elmovimiento se desarrolla, seguramente transcurre un determinado tiempo, que al ser unavariableescalarnoimportahaciadondenienqudireccin.Peroseguramenteesemovimientoimplicaelrecorridodeunespacio,aunadeterminadavelocidadlinealysiestanoesconstanteestimplcitoqueelmvil en cuestin trae aparejada una correspondiente aceleracin lineal. En el caso que durante elmovimientoanalizadolavelocidadaumente,decimosqueesaaceleracinespositiva.Estoesasdebidoaque ladiferenciaovariacindevelocidad (v)espositiva,yaque lavelocidad final (vf)es superiora lainicial(v0).Siporelcontrario lavelocidaddisminuyeduranteeltranscursodelmovimiento,establecemosquelaaceleracinesnegativa,debidoaqueladiferenciaovariacindevelocidad(v)esnegativa,yaquevelocidadfinal(vf)esinferioralainicial(v0).

Elvectorque representaelespacio recorrido, coincide conelque representa lavelocidad,en todas suscaractersticasmenosen lamagnitud;yconelquerepresenta laaceleracin,ensupuntodeaplicacinydireccinperonoensumagnitud,ycoincidirconsusentidocuandolaaceleracinseapositiva,sinosercontrario.

evaa+

Cabeaclararqueelmovimientoanalizadopuedeserdeunjugador,unapelota,deunamanoolapuntadelpalo de un jugador, etc. Slo hay que encontrar la forma demedir esas variables segn cul sea elmovimientoencuestin.

Cinemticaangular

Comohemosvistoenlasunidadesanteriores,laCINEMTICAesaquellaramadelamecnicaqueseocupadel estudio de losmovimientos de los cuerpos sin analizar la influencia de las fuerzas como agentesmodificadores de stos. Es decir que solamente realiza una descripcin delmismo desde una pticacuantitativa.

Siesosmovimientossemanifiestanmedianteunarotacin,esdecirquesonmovimientosrotacionalesocirculares,sernabordadosbajolaespecialidaddelacinemticaangular.

Cuandouncuerpogiraatravsdeunejederotacin,entornoaunplanodegiro,decimosquedescribeunatrayectoriacircularobienenalgnpuntosedesarrollaunmovimientoquesemanifiestaatravsdeun



arco de circunferencia. Si adems podemos cuantificar las caractersticas de esemovimiento podremosdecirqueestamoshaciendounanlisisdecinemtica.

Lascaractersticasfundamentalesdelmovimientoestnrepresentadasporeltiempoquetardaelmvilenrecorreresatrayectoriaangular.Esdecirquetodocuerpoquegiraatravsdeunejederotacinyentornoaunplanodegiro, lohaceduranteun tiempodadoque ledemora recorrerundeterminadongulo.Deestamaneranacenlasdosvariablesprincipalesdelacinemticaangularquesonelngulorecorrido()yeltiempoempleado(t).

Seentiendecomongulorecorridoaladiferenciaenlaposicindeunmvilodeuncuerpoenmovimientocircular,yse representamediantedichadiferenciadeposicin.A laposicindedondepartese la llamaposicininicial(0)yalaposicinendondeterminaelmovimientoseladenominaposicinfinal(f).

Elngulorecorridoselorepresentamediantelasiguientefrmula:

=f0

Deestaformavemosdichadiferenciadeposicincomounarestaentrelaposicinfinalylaposicininicial,dndonoscuentafcilmentedelngulorecorridoentrelosdosmomentos.

Portiempoempleadoseentiendea ladiferenciadetiempoquetranscurreentre losmomentosquedanorigenyfinalizacinalmovimientoencuestin.Almomentoinicialodeorigendelmovimientoselollamatiempoinicial(t0)yalmomentoenelcualfinalizaelmovimientoselodenominatiempofinal(tf).

Eltiempoempleadoselorepresentamediantelasiguientefrmula:

t=tft0

Deestaformavemosdichadiferenciadetiempocomounarestaentreeltiempofinalyeltiempo inicial,dndonoscuentafcilmentedeltiempotranscurridoentrelosdosmomentos.

0t0=f0 t=tf

t0

tf f

Enestemomentonacela ideadevelocidadderotacin,esdecirquetodocuerpoquegiraatravsdeunejederotacin,yentornoaunplanodegiro,lohaceconunadeterminadavelocidadderotacin.Deestamanerapodemoscomprenderqueexisteunarelacinentreelespaciorecorridoyeltiempoempleado,yesatravsdeestaideadevelocidaddetraslacin.

Comonopodemos sabercules lavelocidaddelmvilencadapuntodel recorrido, loquehacemosestomarcomoreferenciaelpromediodelasvelocidadesencadapuntodeltrayecto.Deestamaneraesqueencontramosotracaractersticadelosmovimientoscircularesquelallamaremosvelocidadmedia.



Seentiendecomovelocidadmediaaltiempoquetardaunmvilenrecorrerunnguloderotacindado,olo que es lomismo el ngulo que es capaz de rotar unmvil en determinado tiempo. Se determinamedianteelcomportamientodelngulorecorridoyeltiempoempleado.

Lavelocidadangularmediaselarepresentamediantelasiguientefrmula:

m=/t=(f

0)/(tf

t0

)

Mientraslascaractersticasdelmovimientodeterminenquelavelocidadderotacinpermanececonstante,esdecirquenovara,yaqueessiempre lamisma,entendemosqueelmovimientoesuniforme.Deestamanera surge elMovimiento CircularUniforme (MCU), en el cual se recorren ngulos siempre igualesempleandosiempreelmismotiempo.

Cuando las caractersticas delmovimiento determinan que la velocidad no semantiene constante, esemovimientopresentaunavariacinenelcomportamientode lavelocidad.Si lavelocidadvaraesporqueexisteunadiferenciadevelocidadentre losdistintosmomentosen losquetranscurreelmovimiento.Deestamaneraencontramosotracaractersticadelosmovimientoscircularesquellamaremosaceleracin.

Laaceleracinsemanifiestacomoeltiempoquedemoraunmvilenmodificarsuvelocidaddeunaformadada,o loque es lomismo la variacinde la velocidadque es capazde experimentar unmvil en undeterminadotiempotranscurrido.

Comonopodemossabercules laaceleracindelmvilencadapuntodelrecorrido, loquehacemosestomar como referencia el promedio de las aceleraciones en cada punto del trayecto. Es as comoconstruimoslaideadeaceleracinmedia.

Laaceleracinangularmediaselarepresentamediantelasiguientefrmula:

m=/t=(f

0

)/(tf

t0

)

deestaformavemosesaideadecuntocambialavelocidadendeterminadotiempo.

Mientras lascaractersticasdelmovimientodeterminenque laaceleracinpermanececonstante,esdecirquenovara,yaqueessiempre lamisma,entendemosqueelmovimientomodificasuvelocidadsiemprede lamismamanera, ya sea incrementndola o disminuyndola.De estamanera surge elMovimientoCircularUniformemente Variado (MCUV), en el cual se experimentan variaciones de velocidad siempreigualesdurantesiempreelmismotiempoempleado.

Aligualqueelrestodelasvariablesmecnicas,lasvariablescinemticas,debensermedidasenbaseaundeterminado sistema, siendo este un sistema escalar o vectorial, y adems deben expresarse para sucorrectacomprensinsusvaloresyunidades.

Alhablardeunidades,debemosremitirnosalSistema InternacionaldeUnidades,elcualestableceenqu unidades debemedirse cada variable.Dicho sistema, al que debemos remitirnos, establece que launidadfundamentalparamedirelnguloeselradin[r]ylacorrespondienteunidadparamedireltiempoeselsegundo[s].Deahenmsseestablecequelavelocidadangularsemidaenradianessobresegundo[r/s]ylaaceleracinangularlohagaenradianessobresegundoalcuadrado[r/s2].



=[r]=[r]m=[r/s]=[r/s]m

=[r/s/s]=[r/s2]

t=[s]t=[s]

Cabedestacarquesibienconocemosalosgrados[]comounidadfundamentalparalamedicindelosngulos,existeunaequivalenciadirectaentre1gradoy1radin.Larelacinmsfcilderecordaresque360equivalena2radianes,esdecirque360=6,28r.Siendo1r=57,3y1=0,017r.

Recordemos:

Laideadengulorecorridocomocantidadderadianesdesplazadosdesdelaposicininicialhastalaposicinfinal.

Lanocinde tiempo empleado como la cantidad de segundos transcurridosdesde elmomentoinicialhastaelmomentofinaldelmovimiento.

Elconceptodevelocidadangularmediacomocantidadderadianesrecorridosporcadasegundodetiempoempleado.

El significado de aceleracin angularmedia como la cantidad de radianes por segundo que semodificalavelocidadporcadasegundoquetranscurredemovimiento.

Porltimoesnecesariocomprenderqueelsistemademedicindelasvariablesmecnicasdifieresegndequvariablesetrate.

Porejemplo,alenunciarquehuboun tiempo transcurridoentreel inicioyel finaldelmovimiento (t),bastacondecirqucantidaddesegundosseempleendichomovimiento,yconesosloessuficiente.Estoesasporqueeltiempoesunavariableescalar,esdecirqueeltiempotranscurresimplementedesdeunmomentohastaotro,ylohaceparatodosloscuerposytodoslosmovimientosdelamismaforma.

En cambio cuando seexponeque se recorrideterminadongulo ()noes suficiente conexpresar lacantidadderadianesdesplazados,yaquenoeslomismorotarhaciaunladoohaciaotro,comopuedeseren sentidohorariooantihorario.Esto tiene su fundamentoenqueelngulo recorridoesunavariablevectorial,oseaqueserepresentarmedianteunvector(quesegraficarcomounflecha).Esporestoquesedebenexpresarcuatrocaractersticasquedefinanelcomportamientodeesevector.

5. Magnitud,mdulo,valoromedida.Representalacantidadderadianesrecorridosydefineellargodeesaflecha.

6. Puntodeaplicacinuorigen.Representaelpuntodondenaceocomienzaesaflecha.Coincideconelplanoderotacin.

7. Direccin.Representalalneaporlacualviajaesaflecha.Coincideconelejederotacin.

8. Sentido.Representaellugarhaciadondeapuntaesaflecha.Sedeterminaconlaregladelamanoderecha.



Regladelamanoderecha:

Tambinconocidacomoregladeldestornilladorodelsacacorchos.Cuandosecierralamanocoincidiendoconelsentidodegiroysemantieneelpulgarseparadodelrestode lamano,dichodedorepresentarelsentidode losvectores representantesdelngulo recorridoyde lavelocidadangular.Enelcasoque laaceleracinseapositiva,tambinestardadoelsentidodesuvectorporestaregla.

SentidodegiroOrigenEjederotacinDireccin+

Comoenunmismomovimientoestnrepresentadastodaslasvariablesesnecesarioestablecerunsistemadereferenciaquedetermineelcomportamientodeesosvectores.Mientraselmovimientosedesarrolla,seguramentetranscurreundeterminadotiempo,quealserunavariableescalarnoimportahaciadondenienqudireccin.Peroseguramenteesemovimientoimplicaelrecorridodeunngulo,aunadeterminadavelocidad angular y si esta no es constante est implcito que elmvil en cuestin trae aparejada unacorrespondiente aceleracin angular. En el caso que durante el movimiento analizado la velocidadaumente,decimosqueesaaceleracinespositiva.Estoesasdebidoaque ladiferenciaovariacindevelocidad ()espositiva,yaque lavelocidad final (f)essuperiora la inicial (0).Siporelcontrario lavelocidaddisminuyeduranteel transcursodelmovimiento,establecemosque laaceleracinesnegativa,debidoaqueladiferenciaovariacindevelocidad()esnegativa,yaquevelocidadfinal(f)esinferioralainicial(0).

El vectorque representa el ngulo recorrido, coincide con elque representa la velocidad, en todas suscaractersticasmenosen lamagnitud;yconelquerepresenta laaceleracin,ensupuntodeaplicacinydireccinperonoensumagnitud,ycoincidirconsusentidocuandolaaceleracinseapositiva,sinosercontrario. Por ltimo es importante destacar que los planos de giro, sobre los cuales semanifiesta elmovimiento, son siempreperpendicularesa losejesde rotacina travsde loscuales seproducedichomovimientocircular.Deestamanera,cuandosedebegraficarelsentidodeunvectorsobreelplanodemovimiento,seestablecequesielvectorentraenelplanosedibujauncruz(X)ysielvectorsaledelplanosedibujaunpunto(.).Estanoesotracosaqueloquerealmenteveramossilaflechavieneoseva.

324 cinemática lineal

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