3.1. introducciÓn a la transformaciÓn...
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3. SISTEMAS DE REFERENCIA
3.1. INTRODUCCIÓN A LA TRANSFORMACIÓN QD0
En 1929 R. H. Park introdujo un cambio de sistema de referencia que
reemplazaba las variables asociadas al estátor por otras variables asociadas con
arrollamientos ficticios asociados al rótor, revolucionando el análisis de las máquinas
eléctricas. Esta transformación tiene la característica de que elimina todas las
inductancias dependientes del tiempo de las ecuaciones de tensión de la máquina
síncrona originadas bien por movimiento relativo de los circuitos eléctricos, bien por
circuitos eléctricos con reluctancia magnética variable.
En 1938 H. C. Stanley empleó un cambio de sistema de referencia para el
análisis de la máquina de inducción, mostrando que las inductancias dependientes del
tiempo debidas al movimiento relativo de los circuitos eléctricos podían ser eliminadas
de las ecuaciones de tensión mediante la trasformación de las variables asociadas a los
arrollamientos del rótor a unas variables asociadas a unos arrollamientos estacionarios
ficticios.
En 1951 G. Kron usó un cambio de sistema de referencia que eliminaba las
inductancias dependientes del tiempo de una máquina de inducción simétrica mediante
la transformación de las variables asociadas a los arrollamientos tanto del estátor como
del rótor a unos arrollamientos ficticios que girarían solidariamente al campo magnético
rotativo.
En 1957 D.S. Brereton empleó el cambio de sistema de referencia apuntado por
Park en 1929 pero aplicándolo a la máquina de inducción, consiguiendo también
eliminar las inductancias dependientes del tiempo.
Durante unos años se emplearon estos cambios de sistemas de referencia como
si fuesen diferentes unos de otros, hasta que en 1965 P. C. Krause y C. H. Thomas se
dieron cuenta de que todos estos cambios eran casos particulares de un cambio que
elimina las inductancias variables mediante la trasformación de las variables del rótor y
el estátor a un sistema de referencia común que giraría a una velocidad indeterminada,
incluyendo el caso de que dicha velocidad fuera nula, esta transformación es la llamada
transformación qd0.
Por tanto, la transformación qd0 es un tipo de cambio de variables para convertir
un sistema trifásico, sea o no equilibrado, a un nuevo sistema de referencia formado por
dos ejes perpendiculares entre sí, que pueden ser giratorios en el espacio, más una
tercera variable que contiene el promedio de los valores de las tres fases. Esta idea tan
simple conducirá a referir de una forma muy sencilla a referir las variables o magnitudes
asociadas a los devanados del rótor y del estátor a una referencia común que, según
cómo sea elegida, se verá que tiene distintas propiedades.
Este tipo de transformación tiene más aplicaciones aparte de la utilización en el
planteamiento de las ecuaciones de maquinas eléctricas y su simulación por ordenador,
como puede ser el análisis de la influencia de armónicos en una red o su estabilidad y el
análisis de transitorios en la misma. Aún así, este proyecto se va a centrar solamente en
3 Sistemas de referencia
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la máquina de inducción y, dadas las simplificaciones que introduce a la hora de
plantear el sistema de ecuaciones diferenciales, conviene introducir el concepto de la
transformación y su aplicación a las variables eléctricas.
3.2. LA TRANSFORMACIÓN QD0
Supóngase cualesquiera tres variables función del tiempo, representadas por tres
ejes en un plano desplazados 2 3 rad entre ellos y, por el momento, se considerará que
dichos ejes están fijos en el espacio. La principal idea de la transformación qd0 es
convertir los valores de las variables dependientes del tiempo a unas nuevas variables
ubicadas sobre dos ejes de un nuevo sistema de referencia (qd) más una tercera variable
(0) que será el promedio de los tres valores. Los dos ejes mencionados serán
ortogonales y nuestro sistema de referencia podrá ser giratorio o fijo.
En la figura 3-1 se aprecian en color negro los tres ejes abc, de momento fijos en
el espacio, donde estarán representadas las tres variables origen, mientras que en color
rojo están representados los ejes ortogonales qd, que giran a una velocidad angular ω
que es, en principio, cualquier función del tiempo. Entre el eje a y el eje q se forma un
ángulo que, al ser el sistema qd giratorio, será función del tiempo. La transformación
qd0, o lo que es lo mismo, de las variables abc en las nuevas variables qd, será la suma
de sus proyecciones ortogonales según los ejes q y d para cada instante dado, más la
tercera variable (0) promedio de los tres valores comentada anteriormente.
a
b
c
d
q
θ
θ0
ω
dt
3-1 Sistemas de referencia abc y qd0
3 Sistemas de referencia
23
En la figura 3-2 se ilustra la transformación de las tres variables mediante la
proyección ortogonal según el eje q.
q
θ
ω
2π/3+θ
2π/3-θ2
cos 3cf
b
2cos -
3f
cosaf
dt
0
bf t
cf t af t
3-2 Proyección sobre eje q de las variables a b y c.
De una manera análoga se realiza la proyección sobre el eje d. En la
transformación a ejes qd que se va a realizar, los resultados sobre dichos ejes se
multiplican por un factor de 2/3. Esta trasformación [1] con este factor resulta bastante
controvertida, ya que la formula de la potencia no es invariante con la trasformación del
sistema abc al sistema qd0, y aunque hay otros posibles factores para la transformación
y otras transformaciones utilizadas, incluyendo la que origina que la formula de la
potencia sea invariante, no es objeto de este proyecto el analizar todas ellas. Así pues,
escogiendo esta transformación por ser la más extendida en la literatura y centrándonos
en el caso referido, la matriz de transformación resultante es:
2 2cos cos cos
3 3
2 2 2
3 3 3
1 1 1
2 2 2
s sen sen sen
K (3-1)
El ángulo girado por el sistema de referencia qd0 en función del tiempo no tiene
ninguna restricción y por tanto puede ser una función del tiempo cualquiera. Este ángulo
se puede expresar en función de la velocidad angular de dicha referencia de la
siguiente manera:
0
(0)
t
t dt (3-2)
Esta matriz de transformación va a permitir realizar el cambio de variables
mediante la siguiente expresión:
0 ·qd s s abcsf K f (3-3)
Donde
3 Sistemas de referencia
24
as
abcs bs
cs
f
f
f
f (3-4)
0
0
qs
qd s ds
s
f
f
f
f (3-5)
Una vez llegado a este punto hay que indicar que la notación utilizada es la
misma que la empleada en [1], de modo que el subíndice s indica que el sistema de
referencia origen es el estacionario. Análogamente, mediante un superíndice, se indica
el sistema al que se realiza la transformación qd0. Cuando se usa un sistema de
referencia general o arbitrario como destino de la transformación no se emplea dicho
superíndice.
En estas ecuaciones las variables , yas bs csf f f pueden ser tanto las tensiones,
como las intensidades, los flujos magnéticos, las cargas eléctricas o cualesquiera
variables asociadas a los componentes eléctricos de cualquier circuito. Los subíndices y
superíndices pueden ser s, e y r, que indican, respectivamente, estacionario (o sea, fijo
en el espacio con ω = 0), síncrono (indica que el sistema qd0 gira a la velocidad de la
red eléctrica), y rotórico (el sistema qd0 gira solidariamente con el rótor, para el caso de
motores). Esta transformación de variables no tiene restricción alguna y por tanto puede
ser aplicada a cualquier tipo de funciones del tiempo y con cualquier tipo de secuencia.
La transformación es reversible y su matriz de transformación inversa resulta ser
la siguiente:
1
cos 1
2 21
3 3
2 21
3 3
s
sen
cos sen
cos sen
K (3-6)
De modo que
1
0·abcs s qd s
f K f (3-7)
Una última consideración a tener en cuenta es que , yas bs csf f f son valores
instantáneos y, por tanto, también lo son sus transformaciones, que han de considerarse
como tales. Para tener una visión más clara de la transformación sólo hay que imaginar
que las variables son los flujos magnéticos instantáneos producidos por las tres bobinas
del estátor de un motor de inducción trifásico de 2 polos.
3 Sistemas de referencia
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3.3. APLICACIÓN A ELEMENTOS DE UN CIRCUITO ELÉCTRICO
3.3.1. EXPRESIÓN DE LA POTENCIA
La potencia total instantánea en un circuito eléctrico debe ser igual en los dos
sistemas de referencia, ya sea el abc o el qd0. Dicha potencia expresada en variables
abc es:
abcs as as bs bs cs csP v i v i v i (3-8)
Expresando las variables abc en función de las variables qd0 mediante la matriz
de transformación inversa se llega a las siguientes expresiones de potencia por cada una
de las fases:
0 0
0 0
0
cos · cos
2 2 2 2cos · cos
3 3 3 3
2 2cos ·
3 3
as as qs ds s qs ds s
bs bs qs ds s qs ds s
cs cs qs ds s qs
v i v v sen v i i sen i
v i v v sen v i i sen i
v i v v sen v i
0
2 2cos
3 3ds si sen i
(3-9)
Sumando los términos y agrupando:
2 2 2
0
2 2 2
2 2
3 3
2 2
3 3
2 2 2 2cos cos cos
3 3 3 3
abcs qd s qs qs
ds ds
qs ds ds qs
P P v i cos cos cos
v i sen sen sen
v i v i sen sen sen
0 0
0 0 0 0
2 2cos cos cos
3 3
2 2 º 3
3 3
qs s s qs
ds s s ds s s
v i v i
v i v i sen sen sen v i
(3-10)
y teniendo en cuenta las siguientes relaciones:
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2cos cos cos 0
3 3 3 3
2 2 3
3 3 2
2 2 3
3 3 2
2 2cos cos cos 0
3 3
2
3
sen sen sen
cos cos cos
sen sen sen
sen sen
20
3sen
(3-11)
3 Sistemas de referencia
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se llega a la siguiente ecuación:
0 0 0
3( 2 )
2abcs qd s qs qs ds ds s sP P v i v i v i (3-12)
Por tanto, aunque las formas de onda de las variables dependen de la velocidad
angular , la forma de onda de la potencia total es independiente del sistema de
referencia utilizado, tal y como se ha impuesto al principio de este apartado siendo su
fórmula igual para cada referencia qd0 elegida.
Por otra parte la potencia reactiva instantánea viene dada por la siguiente
ecuación.
1
3abcs as bs cs cs as bs bs cs asQ v v i v v i v v i (3-13)
Otra vez transformando las variables abc por las qd0 mediante la matriz de
trasformación y simplificando
sen1 2 2
sen cos cos3 33
2 2 2 2cos sen cos
3 3 3 3
2 2sen cos sen cos
3 3
sen
abcs ds qs qs dsQ v vi i
(3-14)
y teniendo en cuenta que sen sen cos sen cos
1 2 4 2sen sen
3 3 3sen
3
1 3 3 3
2 23
abcs ds qs qs ds
ds qs qs ds ds qs qs ds
Q v v
v v v
i i
i i i i v
(3-15)
de forma que tampoco depende del sistema de referencia qd0 escogido.
3.3.2. ELEMENTOS RESISTIVOS
En un circuito resistivo trifásico
abcs s abcsv r i (3-16)
y de la ecuación (3-3)
1
0 0( )qd s s s s qd s
v K r K i (3-17)
Lo normal es que las resistencias sean equilibradas, ya sea en líneas de
transmisión, motores eléctricos, e incluso las cargas monofásicas suelen estar repartidas
3 Sistemas de referencia
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de forma más o menos equilibrada. En ese caso, en el que los elementos diagonales de
la matriz sr son todos iguales y dado que los elementos no diagonales son nulos, la
transformación resulta en la misma matriz sr .
En el caso de que el circuito no fuera simétrico o se considerara una carga
desequilibrada, la transformación conduciría a valores independientes de sólo cuando
el sistema de referencia estuviera fijo al lugar donde se encuentra la descompensación.
3.3.3. ELEMENTOS INDUCTIVOS
En un circuito inductivo trifásico
abcs abcs
d
dtv λ (3-18)
En la ecuación (3-18), la variable abcsλ es el vector de flujos magnéticos de cada
una de las fases a, b y c. Cuando el circuito magnético es lineal se suele expresar los
flujos magnéticos como producto de inductancias por intensidades para la resolución de
circuitos. En este caso, se verá más adelante que es conveniente representar las
ecuaciones directamente en función de los flujos magnéticos.
Transformando la ecuación (3-18):
1
0 0qd s s s qd s
d
dt
v K K λ (3-19)
Desarrollando la derivada del producto:
1 1
0 0 0 qd s s s qd s s s qd s
d d
dt dt
v K K λ K K λ (3-20)
Se puede calcular la derivada de la matriz inversa de la transformación como
1
cos 0
2 2· 0
3 3
2 20
3 3
s
sen
dsen cos
dt
sen cos
K (3-21)
Premultiplicando por sK y utilizando las relaciones dadas en (3-11):
1
0 1 0
· 1 0 0
0 0 0
s s
d
dt
K K (3-22)
Por tanto:
3 Sistemas de referencia
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qs ds qs
dv
dt (3-23)
ds qs ds
dv
dt (3-24)
0 0 s s
dv
dt (3-25)
Estas ecuaciones se convierten en las usuales del sistema abc cuando el sistema
de referencia es estacionario, o sea 0 . Las ecuaciones referidas son independientes
de si el circuito magnético es lineal o no, pero para el caso de que fuera lineal se puede
expresar:
·abcs s abcsλ L i (3-26)
Transformando
1
0 0qd s s s s qd s
λ K L K i (3-27)
Un tipo de matriz de inductancias muy común en equipos trifásicos y
especialmente en motores y generadores es la siguiente:
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
ls ms ms ms
s ms ls ms ms
ms ms ls ms
L L L L
L L L L
L L L L
L (3-28)
Donde lsL es la inductancia de dispersión y msL la de magnetización.
Transformando esta matriz y utilizando las relaciones trigonométricas de (3-11) resulta:
1
30 0
2
30 0
2
30 0
2
ls ms
s s s ls ms
ls ms
L L
L L
L L
K L K (3-29)
De aquí se obtiene una conclusión muy importante: si el sistema magnético es
simétrico (elementos diagonales iguales entre sí y elementos no diagonales también
iguales entre sí) no importa a que sistema de referencia se realice la transformación, que
resultará en un nuevo sistema desacoplado.
3 Sistemas de referencia
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3.3.4. ELEMENTOS CAPACITIVOS
La fórmula que rige el comportamiento de los elementos capacitivos en el
sistema abc es la siguiente:
abcs abcs
d
dti q (3-30)
Donde q es la carga eléctrica almacenada. Transformando análogamente a lo
realizado en los elementos inductivos, resulta lo siguiente.
1
0 0qd s s s qd s
d
dt
i K K q (3-31)
Y desarrollando la diferencial:
1 1
0 0 0 qd s s s qd s s s qd s
d d
dt dt
i K K q K K q (3-32)
La derivada de la matriz de transformación inversa, premultiplicada por la
matriz de transformación está calculada en la ecuación (3-22). Así pues, sustituyendo:
qs ds qs
di q q
dt (3-33)
ds qs ds
di q q
dt (3-34)
0 0 s s
di q
dt (3-35)
Estas últimas ecuaciones son validas para cualquier relación entre la tensión y la
carga eléctrica. En el caso concreto de un sistema capacitivo lineal esta relación viene
dada por:
·abcs s abcsq C v (3-36)
Que transformando al sistema de referencia arbitrario conduce a la siguiente
relación:
1
0 0qd s s s s qd s
q K C K v (3-37)
Análogamente a lo descrito para elementos inductivos, cuando el sistema es
capacitivamente simétrico, la transformación de la matriz de capacidades resulta en una
matriz diagonal con los elementos desacoplados.
3.4. TRANSFORMACIÓN ENTRE SISTEMAS DE REFERENCIA
En algunas ocasiones es útil transformar entre distintos sistemas de referencia
qd0. Se verá en este apartado que la transformación es directa y sencilla.
3 Sistemas de referencia
30
Supóngase que se tienen dos sistemas, uno origen, que viene indicado mediante
x y otro destino, indicado mediante y. En este caso:
0 0 ·y x y x
qd s qd sf K f (3-38)
La transformación original era:
0 ·x x
qd s s abcsf K f (3-39)
Que sustituyéndolo en (3-38):
0 · ·y y x
qd s s
x
abcsf K K f (3-40)
Además, se sabe que la transformación al sistema y desde el sistema estacionario
es:
0 ·y y
qd s s abcsf K f (3-41)
Y despejando se obtiene:
1 ( )x y y x
s s
K K K (3-42)
Operando y utilizando relaciones trigonométricas de ángulos desfasados 2 3
se concluye que:
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
0 0 1
y x y x
x y
y x y x
cos sen
sen cos
K (3-43)
Además, se cumple:
1( ) ( )x y x y T K K (3-44)
Gráficamente se aprecia la trasformación entre sistemas en la figura 3-3, en la
que se observa como las variables según q y d del sistema de referencia x se
descomponen según los ejes qd del nuevo sistema de referencia y, adicionándose según
estos nuevos ejes para dar lugar a las nuevas variables mediante nueva composición. En
la figura se ha copiado la variable y
dsf con trazo de líneas y puntos con objeto de que
quede más clara la composición con una clara similitud con la representación en el
plano complejo. En cuanto al eje de referencia 0, este no varía entre sistemas de
referencia diferentes, como se aprecia en la matriz de trasformación x yK .
3 Sistemas de referencia
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θx
ωxθy
θy-θx
θy-θx
y
qsf
ωy
x
qsf
y
dsf
x
dsf
cos
xqs
y
x
f
sen
yds
y
x
f
sen
xqs
y
x
f
cos
yds
y
x
f
3-3 Transformación entre sistemas de referencia.
3.5. TRANSFORMACIÓN DE UN SISTEMA TRIFÁSICO
EQUILIBRADO
Se dispone de un sistema trifásico equilibrado dado por las siguientes
ecuaciones:
·cosas eff f (3-45)
2
·cos3
bs eff f
(3-46)
2
·cos3
cs eff f
(3-47)
Aquí f puede ser una función cualquiera del tiempo, la única condición que
debe cumplir es que sea común a las tres fases. El ángulo de las variables eléctricas, que
no del sistema de referencia síncrono, ya que puede diferir en un desfase, viene dado
por:
0
(0)
t
ef e eft dt (3-48)
3 Sistemas de referencia
32
Realizando la transformación a un sistema de referencia arbitrario y utilizando
las relaciones trigonométricas entre ángulos desplazados 2 3 rad se llega a:
·cosqs eff f (3-49)
·sends eff f (3-50)
0 0sf (3-51)
Lo cual indica que, dado un sistema trifásico equilibrado en la referencia abc, la
transformación a cualquier referencia qd0 es también un sistema equilibrado, salvo que
es bifásico y su componente 0 es nula. Es más, si el sistema de referencia elegido para la
transformación es el síncrono, el resultado de la transformación al variar ef y e de la
misma manera y no diferir más que en el ángulo inicial, es una constante y, por tanto,
las dos funciones e
qsf y e
dsf varían como lo hace f. Además, si se hacen coincidir los
ángulos iniciales del sistema de referencia síncrono y el sistema eléctrico, siendo las
variables abc equilibradas, resulta lo siguiente:
e
qsf f (3-52)
0e
dsf (3-53)
Por tanto la variable q da la amplitud de las ondas del sistema y la variable d
resulta nula, o si se escoge como origen del sistema de referencia el apropiado resultaría
el contrario, de forma que según el eje q sería nula y según el eje d resultaría la amplitud
de las ondas de las variables del sistema abc.
Es importante advertir un detalle. Como se indica dos párrafos atrás, la
transformación de un sistema trifásico equilibrado con amplitud constante al sistema de
referencia qd0 síncrono resulta en dos variables que no dependen ni del tiempo ni del
ángulo eléctrico. Esta propiedad es la responsable de que se pueda diferenciar
claramente en las formas de onda según los ejes q y d los transitorios (desequilibrados y
por tanto variables en la referencia síncrona) de los regímenes permanentes
(equilibrados y por consiguiente constantes en la referencia síncrona).
Otro detalle a considerar es que si se adopta el sistema de referencia estacionario
entonces 0 , y por tanto las formas de onda de las variables según q y d son
exactamente iguales, salvo un desfase, a aquellas del sistema de referencia abc cuando
esté último es equilibrado. Además, como se puede elegir el ángulo inicial del sistema
de referencia, se puede imponer que sea 0 0s . Con lo que la transformación resulta
s
qs asf f y s
dsf es la misma onda retrasada 90º.
En cualquiera de los casos, tal y como viene definido en el apartado 3.3.1 la
forma onda de la potencia es exactamente igual sin importar el sistema de referencia
elegido.
Supóngase ahora otro sistema trifásico equilibrado con un desfase α con respecto
al descrito en las ecuaciones (3-45)-(3-47)
3 Sistemas de referencia
33
·cosas efg g (3-54)
2
·cos3
bs efgg
(3-55)
2
·cos3
cs efgg
(3-56)
Realizando la transformación otra vez al sistema de referencia arbitrario y
utilizando las relaciones trigonométricas entre ángulos desplazados 2 3 rad se llega a:
·cosqs efg g (3-57)
·sends efgg (3-58)
0 0sg (3-59)
lo que muestra comparando con las ecuaciones (3-49) - (3-51), que el desfase entre dos
variables distintas se mantiene al realizar la transformación. Además, si escogemos el
sistema de referencia síncrono y si se hacen coincidir los ángulos iniciales del sistema
de referencia síncrono y el sistema eléctrico resultan los siguientes valores constantes,
considerando por supuesto, régimen permanente equilibrado
·cose
qs gg (3-60)
·sene
ds gg (3-61)
Además de las ecuaciones (3-57) y (3-58) se extrae otra conclusión interesante.
Para cualquier sistema de referencia, y para el régimen equilibrado la suma de los
cuadrados de las componentes q y d es el cuadrado de la amplitud de la variable de
alimentación. Es decir:
2 2 2
qs dsg g g (3-62)
3.5.1. RELACIONES FASORIALES PARA RÉGIMEN PERMANENTE
EQUILIBRADO
Para el régimen permanente equilibrado e es constante, de forma que las
ecuaciones (3-45)-(3-47) se pueden escribir de la siguiente forma
02 cos R0 e 2 ef e
j j t
as s e eff F F et e
(3-63)
20
32 cos R2
e3
20ef
ej j t
bs e efsf F Fet e
(3-64)
3 Sistemas de referencia
34
20
32 cos R2
e3
20ef
ej j t
cs e efsf F Fet e
(3-65)
Si la velocidad del sistema de referencia arbitrario es una constante no
especificada, entonces las ecuaciones para los ejes q y d (3-49) y (3-50) resultan
0 0
2 cos 0 0 Re 2 ef ej j t
qs s e ef sf F t F e e
(3-66)
0 0
2 sen 0 0 Re 2 ef ej j t
qs s e ef sf F t j F e e
(3-67)
De la ecuación (3-63) el fasor que representa a la variable de la variable as será
0efj
as sF F e
(3-68)
Para el caso en el que no sea igual a e entonces qsf y dsf serán variables
senoidales y de las ecuaciones (3-66) y (3-67)
0 0efj
qs sF F e (3-69)
0 0efj
ds qs sF jF jF e (3-70)
Aquí sí tienen sentido frecuencias negativas, ya que puede ser mayor que e .
Los fasores rotarán en el sentido contrario a las agujas del reloj para e y en el
sentido de las agujas del reloj para e .
Como se puede escoger 0 , si se hace que sea nula, entonces
qs asF F (3-71)
de forma que en todos los sistemas de referencia asíncronos con 0 0 el fasor que
representa a la variable as es igual que el fasor que representa a la variable qs. De igual
forma es fácil ver que el desfase entre fasores se mantiene con el cambio de sistema de
referencia.
En el sistema de referencia síncrono e y entonces los fasores qs y ds se
convierten en
0 02 cos 0 0 Re 2 ef eje
qs s ef e sf F F e
(3-72)
0 02 sen 0 0 Re 2 ef eje
ds s ef e sf F j F e
(3-73)
y si 0 0e
2 cos 0e
qs s eff F (3-74)
3 Sistemas de referencia
35
2 sen 0e
ds s eff F (3-75)
siendo e
qsf y e
dsf valores constantes que además cumplen
2 e e
as qs dsF f j f (3-76)
de manera que esta última ecuación relaciona dos valores constantes del sistema de
referencia síncrono con un fasor del sistema de referencia abc, de forma que mediante la
ecuación (3-71) también se relacionan los dos valores constantes del sistema de
referencia síncrono con los fasores del resto de sistemas de referencia.
3.6. TRANSFORMACIÓN PARA SISTEMAS NO ESTACIONARIOS.
En un sistema no estacionario, como puede ser el rótor de un motor, la dirección
de las variables abc no es una dirección fija en el espacio, sino que gira alrededor de un
eje. Este caso, que aparentemente introduce una complejidad mayor a la hora de realizar
la transformación, resulta muy sencillo una vez entendida la aplicación a sistemas
estacionarios, además este caso puede ser considerado como la trasformación general
más amplia, siendo la trasformación para sistemas estacionarios un caso particular de la
aquí explicada.
as
d
q
θ
θ0
ωr
rdtθr
ar
br
cr
bs
cs
ω
β=θ-θr
dt
θr(0)
3-4 Transformación para un sistema abc giratorio
Considerando el caso del rótor de un motor, este gira con una velocidad angular
r mientras que el sistema de referencia qd0 arbitrario gira a una velocidad ω. Todas
3 Sistemas de referencia
36
las ecuaciones anteriores son validas, sin más que sustituir θ por β y ω por r ,
siendo en este caso:
r (3-77)
0
(0)
t
r r rt dt (3-78)
Se aprecia en la figura como la transformación del sistema marcado por los
vectores azules según ar br y cr se convierte de la misma manera que en el caso de
sistemas estacionarios en nuestro nuevo sistema de referencia.
Por tanto, la transformación y su matriz quedan de la siguiente forma.
0 0' · 'qd r r qd rf K f (3-79)
2 2cos cos cos
3 3
2 2 2
3 3 3
1 1 1
2 2 2
r sen sen sen
K (3-80)
El subíndice r indica que el sistema de referencia abc origen de la
transformación es solidario al rótor.
Esta trasformación permitirá llevar a una misma referencia dos circuitos
acoplados que se muevan en el espacio a distintas velocidades.