ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORALInstituto de Ciencias Matemáticas

I-Término 2008Resolución de la Primera Evaluación de Algebra Lineal (B)

1. Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta

a) Sea un espacio vectorial . Si

Sumamos el inverso aditivo de en ambos lados de la ecuación

wu

OwOu

vvwvvu

vvwvvu

VV

''

''

b) Sea un espacio vectorial. Si y son conjuntos

linealmente independientes, entonces es también linealmente independiente

Sea . Sean y dos conjuntos linealmente

independientes en

, como tiene más elemento que la base de podemos

concluir que este conjunto es linealmente dependiente

Falso

c) Si , entonces , donde es el núcleo de la matriz

Sea la matriz

43

21A

, pero este conjunto es linealmente independiente en y

por tanto constituye una base del espacio renglón de , entonces

Del teorema de la dimensión para matrices:

0dim)(

22)(

)()(

ANAv

Av

nAAv

Ramiro J. Saltos

d) Sean y dos subespacios vectoriales de con bases y 322 ,vvB

respectivamente. Entonces es base del subespacio

Sea . Sean los subespacios y

Podemos notar que los conjuntos generadores de y son linealmente independientes y por tanto constituyen una base de , es decir,

Entonces y una base de la intersección sería

2. Sea . Dados los conjuntos:

a) ¿Cuáles son subespacios vectoriales de ?b) Determine una base y la dimensión de dos de los subespacios obtenidos en , así como de

su intersección

c) Sean y . Determine si pertenece a la unión de los subespacios

hallados en

Sea

El elemento neutro del espacio vectorial por definición pertenece a cualquier subespacio de , entonces:

porque no posee la forma de todo elemento de , es decir, en su cuarta componente debe estar siempre presente la constante , lo cual no ocurre con el vector nulo

no es subespacio de

porque su determinante es igual a y con ello no cumple la condición del conjunto

no es subespacio de

es el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de los

vectores y y por teorema este conjunto es un subespacio de

y además es el menor de todos los subespacios que contienen a los vectores ya mencionados

es un subespacio de

Se han analizado los conjuntos más sencillos, con el último hay que determinar si se cumplen los axiomas de cerradura de la suma y multiplicación por escalar

1.

Sean y

Ramiro J. Saltos

La suma es cerrada en

2.

Sea . Sea

La multiplicación por escalar es

cerrada en

es un subespacio de

Sea

El conjunto generador de es linealmente independiente y por tanto constituye una base para

Sea

Para que esta matriz pertenezca a la unión de ambos subespacios, debe pertenecer ya sea a o a . Si pertenece a debe cumplir su condición

Finalmente hay que determinar si pertenece a y para ello debe ser una combinación lineal de los vectores de su base

Si nos damos cuenta nos queda la igualdad la cual es falsa

Ramiro J. Saltos

3. Sea y y bases de .

Determine:a) La matriz de cambio de base de a

b) El núcleo y la imagen de la matriz obtenida en

Sea

Como es una matriz de cambio de base, su determinante siempre será diferente de cero, esto implica que sus columnas son linealmente independientes en y constituyen además de una base del espacio

también una base para

Para el núcleo utilizamos el teorema de la dimensión:

Como la nulidad es cero, entonces el único elemento presente en el núcleo de es el

4. Sea el espacio vectorial junto con las operaciones:

Determine:a) El neutro de y el opuesto de

b) Si es combinación lineal de y

1.

2.

3. no es una combinación lineal de los vectores mencionados porque

este no pertenece al espacio vectorial

Ramiro J. Saltos