1ah estudio flujo real.pdf
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UNIVERSIDAD CENTRAL FACULTAD DE INGENIERIA
PROGRAMA DE INGENIERIA AMBIENTAL
1. ESTUDIO FLUJO REAL
HIDRAULICA
I.H.A.S. M.Sc. Doc. ALFREDO RAMOS M. BOGOTA D.C. 2015
1
2
GENERALIDADES DE LOS FLUIDOS Y SUS PROPIEDADES
1.-Definición y propiedades de los fluidos
Magnitudes físicas en Fluidos. Sistema Internacional
2.- Definición y propiedades de los fluidos:
2.1.- Densidad. Peso específico
2.2.- Viscosidad
2.3.- Presión. Compresibilidad
2.4.- Tensión superficial. Capilaridad
2.5 - Presión de saturación. Cavitación
3
Un fluido es un medio que toma la forma del recipiente que lo contiene.
Un fluido es una sustancia que se deforma continuamente cuando se le
aplica un esfuerzo tangencial Ft por pequeño que sea
1.- DEFINICION DE FLUIDO
Hay sustancias plásticas (asfalto, vidrio fundido):
Ft ≥ Fti : hay deformación continua
Ft< Fti: no hay deformación continua
No son fluidos
4
Propiedades de un fluido son aquellas magnitudes físicas cuyos valores definen
el estado en que se encuentra.
• Tienen distinto valor para fluidos diferentes
• Pueden variar para un fluido determinado cuando varía el valor de alguna otra
propiedad
•Son: densidad, peso específico, viscosidad, compresibilidad, tensión
superficial, presión de saturación, etc.
1.- PROPIEDADES FISICAS DE LOS FLUIDOS
Tabla A.1.1 Propiedades físicas de agua en unidades SI
6
2.- PROPIEDADES FISICAS DE LOS FLUIDOS.
2.1.- DENSIDAD. PESO ESPECIFICO
Unidad SI: kg/m³ Agua pura a presión atmosférica y a 4°C: ρ = 103 kg/m³ m= masa V= volumen
- Densidad
ρ = m/V
- Peso Específico Unidad SI: N/m³ Unidad ST: kgf/m³ Agua pura a presión atmosférica y a 4ºC: γ = 9,81· 103 N/m³ = 103 kgf/m³ γ = Fc/V
γ = Fc/V = m g / V = ρ g g= aceleración de la gravedad
- Densidad Relativo ó Peso Específico Relativo
Número adimensional Agua pura a presión atmosférica y a 4°C: d = 1
7
2.2.- VISCOSIDAD
• Resistencia que un fluido opone a su deformación
• Ley de Newton de la viscosidad
• Causas que originan la viscosidad:
En líquidos: cohesión molecular
En gases: intercambio de cantidad de movimiento
Líquidos: la viscosidad disminuye al aumentar la temperatura
Gases: la viscosidad aumenta al aumentar la temperatura
8
2.3.- COMPRENSIBILIDAD
• Variación de volumen por unidad de volumen (ΔV/V), dividida por el
incremento de presión (Δp) que la originó
• Coeficiente de compresibilidad k:
• Módulo de elasticidad volumétrico K:
• Los líquidos tienen una compresibilidad muy
reducida
Valores de K (·10¯⁹) para el agua en N/m²
9
Las moléculas a lo largo de la superficie libre del líquido están sometidas a
una fuerza neta hacia el interior.
Consecuencia física de esta fuerza no equilibrada a lo largo de la superficie:
creación de una „piel‟ o „membrana‟ hipotética.
Tensión superficial σ (sigma): intensidad de la atracción molecular por
unidad de longitud. Unidades en SI: N/m
Es la razón de la ascensión o bajada de líquidos por tubos de diámetro muy
pequeño (capilaridad)
Suele despreciarse en las aplicaciones de Ingeniería de Fluidos (hidráulica).
2.4.- TENSION SUPERFICIAL
10
(a) Se crea una presión como resultado del vapor que se forma
debido a las moléculas de líquido que se escapan
(b) Cuando nº de moléculas que abandonan la superficie
= nº de moléculas que entran en la superficie se alcanza la
condición de equilibrio
(c) Condición de equilibrio:
- Se dice que el vapor está saturado
- Y que la presión ejercida por el vapor sobre la
superficie del líquido se denomina presión de vapor.
2.5.- PRESIÓN DE SATURACIÓN O DE VAPOR. CAVITACIÓN
El valor de la presión de vapor depende de la temperatura
• Cuanto menor sea la presión a la que está sometido un líquido, menor
será la temperatura a la que se produce su ebullición
Presión atmosférica (1 atm=1,013 bar) 100 °C
Presión de 0.01 bar 7 °C
Agua
Presión de saturación o de vapor
11
Las burbujas de vapor se rompen con la intensidad suficiente para
provocar importantes daños estructurales.
Instalaciones propensas: turbinas y bombas hidráulicas, válvulas, hélices
marinas, conducciones de agua con riesgo de bajas presiones
Presión ≤ Presión de vapor Presión > Presión de vapor
• Cavitación:
Interior de una
conducción de
fluidos Hélice de
un barco
12
DEFINICION DE FLUJO Y TIPOS DE FLUJO
FLUIDO: Es una sustancia que no puede resistir esfuerzo cortante. Si este se
deforma y continúa deformándose mientras exista el esfuerzo cortante.
FLUJO: Es el movimiento de un fluido con respecto a un sistema inercial de
coordenadas, generalmente ubicado en un contorno sólido. Ejemplos de flujo:
movimiento del agua en el cauce de un río, movimiento del agua subterránea a
través del subsuelo, y movimiento de fluidos en el interior de tuberías.
El flujo en una tubería se puede determinar mediante las siguientes cantidades
físicas:
Desplazamiento de una partícula de fluido.
Velocidad de una partícula de fluido en un punto del campo de flujo.
Aceleración de una partícula de fluido en un punto del campo de flujo.
13
Con relación al espacio, los flujos se clasifican en:
- Uniformes, si las cantidades físicas permanecen constantes en el espacio.
- No uniformes.
Con relación al tiempo, los flujos se clasifican en:
- Permanentes o estacionarios, si las cantidades de flujo permanecen constantes
en el tiempo.
- No permanentes.
Estos cuatros (4) tipos de flujo se combinan así:
Flujo uniforme permanente. Ninguna de las características de flujo (presión y
velocidad) varían en el espacio y/o el tiempo.
Flujo uniforme no permanente. Las características no varían con el espacio
pero sí con el tiempo. Es muy difícil encontrar este tipo de flujo en la
naturaleza, debido a que los cambios tendrían que ocurrir en forma simultánea
a todo lo largo de la tubería.
14
Flujo variado permanente. Las característica del flujo varían con el espacio
pero no con el tiempo. Existen dos subtipos de flujo:
Gradualmente variado. Los cambios en las características del flujo
(presión y velocidades) son graduales a lo largo de la dirección principal
de este. Las contracciones y expansiones suaves en tuberías, el flujo a
través de tubos Venturí, son ejemplos de este tipo de flujo.
Rápidamente variado. Los cambios en las características del flujo son
abruptos a lo largo de la dirección principal de este. Por ejemplo, las
contracciones abruptas en tuberías, el flujo a través de válvulas y los
rotores de bombas se caracterizan por ser flujos rápidamente variados.
Generalmente este tipo de flujo va acompañado de gran turbulencia.
Flujo variado no permanente. Las característica del flujo varían con el
espacio y con el tiempo. Este tipo de flujo no existe. En el caso de las
tuberías, este flujo se denomina golpe de ariete, debido a que está
acompañado por ruidos fuertes, cambios bruscos en presión y velocidad.
15
En flujo uniforme las características del flujo (presión y velocidad
media) permanecen constantes en el espacio y en el tiempo. Por
consiguiente, es el tipo de flujo más fácil de analizar y sus
ecuaciones se utilizan para el diseño de sistemas de tuberías. Como
la velocidad no está cambiando, el fluido no está siendo acelerado.
Luego, según la segunda ley de Newton:
FLUJO UNIFORME
En el flujo en tuberías actúan tres fuerzas:
- Fuerzas de presión
- Fuerzas gravitacionales
- Fuerzas de fricción.
∑ Fx = 0
16
dx
Direccióndel flujo
0
W
(p + dp) A
1
2
0pA
Xz
dz
Volumen de control para el flujo en una tubería. Se
muestran todas las fuerzas que actúan en un fluido
contenido en un volumen de control.
DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN TUBERÍAS CIRCULARES
Si el fluido contenido en el volumen de control mostrado en la figura no se
está acelerando , entonces ∑ Fx = 0. Teniendo en cuenta esto, se obtiene la
siguiente ecuación:
donde:
P = perímetro mojado ( Perímetro interno del tubo ).
W = peso del fluido en el volumen de control.
El peso del volumen de control es:
Luego:
Pero, de acuerdo con la figura:
0 cos ) ( 0
= - - Pdx W A dp p pA
gAdx W =
0 cos = - - Pdx gAdx dpA o
dz dx - = cos
Por consiguiente:
En esta última ecuación dz incluye el signo negativo. Como (p + rgz) = p*, la
presión piezométrica, entonces:
de donde finalmente se obtiene:
(1.1)
)( gdzdpAPdxo =
*)(dpAPdxo =
dx
dp
P
Ao
*=
0=--- PdxgAdzdpA o
Despejando el esfuerzo cortante en la pared de la tubería se obtiene:
Esta ecuación representa la forma más general de las ecuaciones de pérdidas por
fricción en el flujo a través de una tubería. En esta ecuación el término:
Representa la pendiente de fricción del flujo en la tubería, Sf .
Reemplazando A/P por el radio hidráulico R, y el producto de la densidad y la
gravedad por el peso específico del fluido se tiene:
o
(1.2)
gzpdx
d
P
Ao =
= z
g
p
dx
dg
P
Ao
z
g
p
dx
d
fo RS =
EXPERIMENTO DE REYNOLDS
Aparato utilizado por O. Reynolds para establecer el régimen del flujo en
tuberías. Reynolds varió tanto el diámetro de las tuberías como el líquido que
fluía por éstas.
Válvula
Tinta
Boquilla
a) Caudales bajos: La
tinta no se mezcla
b) Caudales intermedios: El
filamento de tinta comenzaba a
hacerse inestable
c) Caudales altos: Mezcla agua-
tinta.
d) Caudales más altos:
Mezcla agua-tinta
Tinta mezcladaTinta mezclada
Tinta Filamento de tinta
Reynolds define los tipos de flujo de la siguiente forma:
Flujo laminar: Cuando la tinta no se mezcla. El flujo se mueve en capas sin intercambio de “paquetes” de fluido entre ellas.
Flujo turbulento: Cuando la tinta se mezcla completamente. Se presenta intercambio de “paquetes” de fluido entre las capas que se mueven a diferente velocidad. Las partículas no tienen un vector de velocidad muy definido. Velocidad promedio (flujo cuasi-permanente).
Flujo en transición: Cuando el filamento de la tinta comienza a hacerse inestable, con un patrón de oscilación manifiesto.
Reynolds fue el primero en introducir el concepto de similaridad dinámica.
Su experimento lo realizó con diferentes diámetros de tubería y fluidos, y encontró que los resultados eran similares. Por lo cual pensó que las leyes físicas que gobernaban éste fenómeno eran similares.
Para reproducir su experimento se debían tener condiciones de velocidad y geometría similares, medidas en sitios similares, también las líneas de corriente debían ser similares como se muestra en la siguiente figura:
Flujos similares alrededor de esferas de diferentes tamaños. Los puntos
homólogos 1 y 1´ y 2 y 2´ deben estar sometidos a fuerzas homólogas.
Triángulos de fuerza para los puntos homólogos 2 y 2' de los flujos alrededor
de esferas similares.
2
1 1’2’
2
FP
FV
F = maI
FP
FV
F = maI
2’
Línea de corriente
Línea de corriente
Teniendo en cuenta los puntos 2 y 2‟ de la figura anterior, por semejanza de
triángulos
Donde las fuerzas inerciales:
(1.3)
'2
'2
2
2
FV
FI
FV
FI=
vv;
v;
dsdtentonces
dt
ds
dt
damaFI ====
Lds
da
2vvv =
3LVm =
22v LFIma =
y las fuerzas viscosas:
(1.4)
(1.5)
dy
ddondeenAFV
v ==
LAdy
dFV v
v=
LL
L
L
F
F
V
I vv
v
v 22
===
'22
vv
=
LL
Número de Reynolds
Reynolds encontró que:
Re < 2000 Flujo Laminar
2000 < Re < 5000 Flujo en Transición
Re > 5000 Flujo Turbulento
Explicó numéricamente el cambio entre los diferentes regímenes de
flujo.
vd
SEGUNDO EXPERIMENTO DE REYNOLDS
Aparato diseñado por Reynolds para estudiar la caída de presión por
unidad de longitud a lo largo de una tubería en función del tipo de flujo.
L>250d
d V
l
2
h
Control (válvula)aguas abajo
1
Gráfica logarítmica de los resultados del segundo experimento de
Reynolds
Resultados del segundo experimento de Reynolds:
Log l
p
Log vFlujo turbulentoFlujo laminar F. Transición
12
3
4
1
1
1
1
2
1.75
Tubería rugosa
Tubería lisa
De la figura anterior se pueden obtener las siguientes conclusiones:
a) La línea 0-1 presentaba una pendiente de 1 a 1, lo cual implicaba una
variación directa del logaritmo de las pérdidas de presión por unidad de
longitud con respecto al logaritmo de la velocidad. Esto era válido para el
flujo laminar.
b) Si el experimento se hacía abriendo la válvula se alcanzaba a tener flujo
laminar hasta el punto 2 (Re=2500-4000).
c) Si el experimento se hacía cerrando la válvula, el flujo laminar se restablecía
en el punto 1 (Re=2200).
d) En el punto 3 (Re>5000) la variación log(∆p/l) vs. log(v) volvía a ser
aproximadamente lineal con pendientes desde 1.75 para tubos muy lisos,
hasta 2.0 para tubos muy rugosos.
e) La zona de transición se obtenía para 2000≤Re≤5000. En ésta la variación
log(∆p/l) vs. log(v) era muy compleja.
Viscosidad de remolino. Longitud de mezcla
Boussines introdujo el concepto de viscosidad de remolino, teniendo
en cuenta la siguiente figura:
Dos placas de fluido moviéndose a diferente velocidad
dentro de un campo de flujo en una tubería.
dyy
xx
vv
xv
Y
X
Z
Campo de flujo
dy
Intercambio de paquetesde móleculas
Supuso que el intercambio de paquetes de moléculas entre capas de flujo
Turbulento añade momentum acelerando las capas o resta momentum
frenando las capas, esto produce un efecto similar al de viscosidad dinámica µ.
El intercambio de momentum producía un nuevo
esfuerzo cortante, causado por la turbulencia del flujo:
(1.6)
→ propiedad del flujo
η → propiedad del fluido
Por similaridad con la viscosidad cinemática:
-Para flujo laminar: h = 0.
-Para flujo turbulento: 0 ≤ h ≤ 10000.
τyxT = Esfuerzo Cortante Turbulento
(1.7)
yx
yxT
h
v=
yyxx
yx
h
vv=
y
xyx
h
v=
h =
ESFUERZO DE REYNOLDS
Trayectoria seguida por una partícula de fluido en un campo
de flujo turbulento
Reynolds se basó es sus observaciones de flujo turbulento en sus
experimentos y encontró que la trayectoria seguida por una
partícula individual era aleatoria y que ninguna otra partícula
seguiría una trayectoria exactamente igual a la de otra, como se
muestra en la siguiente figura:
1 3 2
4
5 Dirección
del flujo
p
u
Y
X
XV
Trayectoria de la partícula
individual
ESFUERZO CORTANTE DE REYNOLDS
Con el fin de obtener una mejor ecuación que definiera el aumento del
esfuerzo cortante cuando el flujo era turbulento, Reynolds supuso lo
siguiente:
1. La velocidad en el sentido principal del flujo (eje x) está compuesta por
una velocidad media y una variación aleatoria de ésta:
Trayectoria
seguida por
una partícula
de un fluido
En un campo
de flujo
turbulento Y
X
'xxx vvv =
Esfuerzo de Reynolds
2. La velocidad en el sentido vertical del flujo (eje y) está compuesta por:
Trayectoria seguida por una partícula de
fluido en un campo de flujo turbulento
Y
X
yyy 'vvv =
t
vx
vx
Velocidad en X y Y en un punto dado de la tubería
Ancho de banda
para el 95%
Ancho de banda
para el 95%
vy
0
Teniendo en cuenta la suposición para la velocidad en y, Reynolds calculó la tasa
de flujo de volumen Q que pasa de una capa a otra en un determinado intervalo de
tiempo:
Dos placas de fluido dentro de un campo de flujo turbulento mostrando el
caudal instantáneo de la placa inferior a la superior.
Dicho caudal resultó ser: Q = Av'y
dyy
xxx
vv´v
Y
X
Z
xx v´v
dxdz
yv́
Campo de flujo
dy
Luego, la tasa de flujo de masa entre las dos capas es:
Y el momentum transmitido por la placa inferior a la superficie es:
Si se promedian los Mx con respecto al tiempo se obtiene lo siguiente:
Expandiendo el paréntesis anterior se obtiene:
Pero:
y:
yAQTFM 'v ==
xxyx A
t
M'vvv́ =
'xxyA
tvvv
M 'X =
_________________________
'v'vv'v xyxyx AA
t
M =
xyxy v'vv'v______________
=
0'v____
=y
Con lo cual resulta que:
y
Donde:
La ecuación (1.8) es superior a la ecuación (1.6); sin embargo, una correcta
definición de v'x y v'y es difícil de hacer con lo cual también existen limitaciones en
la aplicación de esta forma de determinar el esfuerzo cortante extra causado por la
turbulencia del flujo.
(1.8)
Reynolds de esfuerzo = t yx
__________
'v'v xyyxx
tA
F ==
__________
'v'v xyyxt =
Con el fin de evitar los problemas de definición de v'x y v'y, L. Prandtl
(1925) introdujo su concepto de longitud de mezcla L.
La longitud de mezcla L es la distancia que tiene que viajar un “paquete” de
moléculas típico para perder su momentum extra, cuando se mueve entre
capas de diferente velocidad.
Prandtl supuso que tanto v'x como v'y eran proporcionales a , el
cambio de entre las diferentes capas del flujo:
Longitud de Mezcla
Adicionalmente, supuso que ∆ era proporcional a l, la longitud de la
mezcla, y al gradiente de ∆ con respecto a y:
yx /v
xv
___
v'v xx
xv
xv
___
v'v xy
yl x
x
v v
Teniendo en cuenta que:
Si el factor de proporcionalidad se incluye en L, se obtiene la siguiente expresión:
(1.9)
Adicionalmente, T. Von Kármán, quien en ese momento era alumno de Prandtl,
demostró que L era proporcional a dvx/dy e inversamente proporcional a
d(dvx/dy)/dy:
donde: k = 0.4, la cual se conoce como la constante universal de Prandtl - Von
Kármán.
__________
'v'v xyyxt =
2
2
v
yl x
yxT
=
yyl xx
yxT
v
v 2
22 v
v
y
ykl
x
x
=
Luego:
(1.10)
Estudios posteriores han demostrado que la constante k tiene una variabilidad muy
baja; era la segunda constante de la naturaleza en cuanto a su valor poco variable
para experimentos con condiciones muy diferentes.
222
4
2
/v
/v
y
yk
x
x
tyx
=
INTERACCIÓN FLUJO-PARED SÓLIDA
Siempre que un fluido en movimiento interactúa con una pared sólida, el
esfuerzo cortante que se genera afecta una zona de dicho flujo. Esta zona
recibe el nombre de la capa límite, la cual puede ser laminar o turbulenta.
La pared sólida afecta la distribución de velocidades del flujo. La velocidad es
cero en la superficie sólida y crece a medida que el flujo se aleja de ésta.
Capa límite
Dirección del flujo
A´
A
B´
B
Pared sólida
Interacción flujo-pared sólida
Siempre que un fluido en movimiento interactúa con una pared sólida,
el esfuerzo cortante que se genera afecta una zona de dicho flujo. Esta
zona recibe el nombre de la capa límite, la cual puede ser laminar o
turbulenta.
La pared sólida afecta la distribución de velocidades del flujo. La velocidad es
cero en la superficie sólida y crece a medida que el flujo se aleja de ésta.
Capa límite
Dirección del flujo
A´
A
B´
B
Pared sólida
En el flujo turbulento la superficie sólida impide que cerca a ella ocurran
las vibraciones de v'y en forma libre, razón por la cual se genera una zona
de flujo laminar. Esta se conoce con el nombre de la subcapa laminar
viscosa.
Desarrollo de una capa límite turbulenta mostrando la subcapa
laminar que se genera cerca a la superficie.
´
Capa límite turbulenta
Subcapa laminar viscosa
Capa límite laminar
Direccióndel flujo
Pared sólida
Flujos hidráulicamente lisos e hidráulicamente rugosos.
El espesor de la subcapa laminar es mucho menor que el de la capa límite
(’ << ). El tipo de flujo depende del tamaño relativo entre el espesor de la
subcapa laminar viscosa (δ') y el tamaño de la rugosidad media (ks).
ks
´
´
ks < ´
Flujo hidráulicamente liso
ks > ´
Flujo hidráulicamente rugoso
B
ks
Subcapa laminar Rugosidad media
Para conocer el esfuerzo cortante en las paredes de la tubería (τo) hay que
conocer la caída en la presión piezométrica en una determinada longitud
de la misma tubería y la geometría de ésta.
Para tuberías circulares:
Se sabe:
Luego:
(1.9‟)
Adicionalmente, si se aplica un razonamiento similar a un "tubo" de fluido
de radio r<ro se obtendría:
Distribución de Esfuerzos en Tuberías Circulares
(1.11)
2
orA = orP 2=
dx
dp
P
A *0 =
x
pr
x
p
r
r o
o
oo
=
=
*
2
*
2
2
x
prr
=
*
2
Dividiendo esta última ecuación por la ecuación para τo se obtiene lo
siguiente:
Esta última ecuación indica una variación lineal de τ con respecto a r, tal
como se muestra en la siguiente figura:
Distribución lineal del esfuerzo cortante en tuberías
circulares
τo
oo
r
r
r=
Utilizando la ecuación (1.11) se obtiene:
donde:
hf = pérdidas por fricción
L = longitud del tramo de tubería
Nuevamente, para tubos circulares:
Esta última ecuación establece una relación directa entre el esfuerzo cortante
en la pared de una tubería y la caída en la altura piezométrica hf . Luego, es
un primer paso para la deducción de una ecuación de diseño.
L
rgh of
o2
=
(1.12) L
gh
P
A f
o
=
Distribución de Velocidades
(Tuberías Circulares)
Distribución de velocidades
en secciones transversales de
tuberías circulares.
Diferencias entre los tipos de
flujo, para encontrar las
ecuaciones de resistencia
fluida.
Aplicación: Diseño de
sistemas de Tuberías.
En el caso de flujo laminar en tuberías el
esfuerzo cortante está definido por la
ecuación de Newton para fluidos viscosos:
Para tuberías circulares, de acuerdo con la
distribución de esfuerzos, se tiene lo
siguiente:
1. Flujo Laminar
Donde: r < ro
dr
do
v =
o
orr
r
dr
d ==
v
De esta última ecuación se obtiene:
Integrando con respecto al radio r se obtiene la distribución de velocidades:
Para evaluar la constante de integración se utiliza el hecho de que cuando
r = ro, entonces v = 0; luego:
o
o
r
r
dr
d
=
v
==r
o
o rdrr
d0
vv
cter
ro
o
=
2v
2
oo rcte
2-=
Finalmente:
La cual es una distribución parabólica de la velocidad. En flujo laminar la
velocidad sigue esta distribución con su máximo en el centro y su mínimo
(v = 0) en las paredes internas de la tubería.
Distribución de velocidades para flujo laminar en
una tubería de sección circular.
Direccióndel flujo r0 r
0
0
(1.13)
-= o
o
o rr
r2
2v
2. Flujo Turbulento
La presencia de esfuerzos cortantes en las fronteras fluidos-sólidos y entre las
diferentes capas del fluido afecta la distribución de velocidades que en principio,
debería ser uniforme. En flujo turbulento la presencia de la subcapa laminar viscosa
modifica aún más dicha distribución.
0
xy
Direccióndel flujo
Vx
´ Distribución lineal Zona Laminar
Zona de transición
Zona turbulenta
Distribución logarítmica
Distribución potencial
Eje de la tubería
Pared de la tuberia
Distribución de esfuerzos y velocidades para flujo turbulento en una
tubería de sección circular. Se muestra media tubería.
Subcapa laminar viscosa (flujo laminar):
El esfuerzo debe estar gobernado por la ecuación de viscosidad de Newton:
lo cual implica que los gradientes de velocidad en esta zona deben ser muy
grandes. Igualmente, por ser de espesor tan pequeño, en la subcapa laminar
se cumple que:
Luego:
dy
d xo
v =
ydy
d xx vv
yx
o
v =
yy
xxo vv=
=
Ahora, dividiendo por la densidad:
Donde: υ = viscosidad cinemática
La raíz cuadrada del término τo /ρ, localizado en la parte izquierda de
esta última ecuación, tiene las siguientes dimensiones:
yyxxo vv
==
s
mo =
(dimensión es de velocidad)
Por definición:
Luego,
De donde se obtiene la siguiente ecuación:
La ecuación (1.14) indica que la velocidad sigue una distribución lineal con
respecto a y, siempre y cuando y ≤ δ‟, el espesor de la subcapa laminar
viscosa. Esta ecuación ha probado ser válida hasta el siguiente límite:
(1.14)
*v=
o
yx *
*
v
v
v=
yxv
v *2 =
6.11v
v
*
=x
lo cual implica que:
Este último resultado permite establecer una ecuación para el cálculo del espesor de
la subcapa laminar viscosa y así establecer claramente la diferencia entre flujos
hidráulicamente lisos e hidráulicamente rugosos. En el límite y = ‟, lo cual implica
que:
(1.15)
6.11v*
y
*v
6.11'
=
En esta zona el flujo gradualmente deja de ser laminar para convertirse en
turbulento donde las fuerzas viscosas pierden importancia sobre las inerciales. Esta
zona se ubica entre la subcapa laminar y la zona completamente turbulenta, que
se extiende entre los siguientes limites:
En esta zona los esfuerzos cortantes deben seguir la definición de Prandtl dada
anteriormente:
Zona de Transición
v
v70
v
v5 y
2
2 v
=
dy
dL x
yx
De alguna manera l, la longitud de mezcla, debe ser función de y, la longitud
significativa del problema en la zona de transición. Luego:
L = ky
Luego:
Dividiendo por ρ se obtiene:
2
22 v
=
dy
dyk x
o
2
*
2
22 vv
=
=
dy
dyk xo
Simplificando la expresión, se obtiene:
Con el fin de encontrar la distribución de velocidad, se debe integrar la ecuación
anterior:
Lo que resulta en:
(1.16)
y
dy
k
d x 1
v
v
*
=
=y
dy
k
d x 1
v
v
*
cyk
x = ln1
v
v
*
Para evaluar la constante de integración, se supone que en el límite de las
zonas laminar y de transición las ecuaciones (1.14) y (1.16) son válidas al
mismo tiempo:
vl= velocidad en el límite
Aplicando la ecuación (1.14):
se encuentra que el espesor de subcapa laminar viscosa es:
(1.17)
*v
6.11'
= (1.15)
6.11'v
v
v==
l
utilizando la ecuación (1.16):
Se llega a:
Luego, reemplazando la ecuación ( 1.15 ) en la ecuación ( 1.16 ):
(1.19)
(1.18)
ck
l = 'ln1
v
v
*
ck
l =** v
6.11ln
1
v
v
ck
=*v
6.11ln
16.11
Despejando la constante de integración se obtiene:
Luego, reemplazando la ecuación ( 1.16 ) se obtiene:
*v
6.11ln
16.11
kc -=
** v
6.11ln
16.11ln
1
v
v
ky
kx -=
Esta última ecuación se puede transformar en:
Luego, la distribución de velocidades en la zona de transición está definida
por la siguiente ecuación:
(1.20)
Donde:
Ay
kx =
*
*
vln
1
v
v
6.11ln1
6.11k
A -=
47.5=A
47.5v
ln4.0
1
v
v *
*
=
yx
La ecuación (1.20) puede ser graficada en forma lineal escogiendo unos
ejes de coordenadas apropiados. Esto se hace de la siguiente forma:
47.5v
ln4.0
1
v
v *
*
=
yx
bmXY =b
Xy
m
Yx
=
=
=
=
47.5
vln
4.0
1
v
v
*
*
X
Y
m
b
4.0
1
yv*ln
La gráfica de la línea recta sería la siguiente:
5.47
*v
vx
Efecto de la rugosidad de la pared interna de la
tubería en la distribución de velocidades.
5.47
Vx
V*
v
yvln
v
y=
v
v
v x
v
y
k
=
v
v
vx ln1
5.5
5.47
Vx
V*
v
yvln
525.7ln -
v
ksv
B
Rango de datos experimentales
Zona turbulentaCapa viscosade pared
a) Flujo turbulento hidráulicamente
Liso. (Ecuación 1.19)
b) Flujo turbulento hidráulicamente
rugoso comparado con el liso.
Corrimiento hacia la
derecha. (Nikuradse)
Para el FHR J. Nikuradse demostró que la distribución de velocidades seguía
siendo logarítmica pero que dependía de (ks) de la tubería.
Como se muestra en la figura anterior (b), la relación entre y vx/v* se
corría hacia la derecha para lo que Nikuradse encontró:
(1.21)
υ
yvln
01.3v
ln4.0
1 * -=sk
B
Es claro que el valor de la relación vx/v* para un FHR debe ser un B menor
que el valor de la misma relación en un FHL. Es decir:
Byx -= 47.5
vln
4.0
1
v
v *
*
48.8ln4.0
1
v
v
*
=s
x
k
y(1.22)
Algunos autores afirman que la distribución de velocidad en esta zona es similar a la
de la zona de transición, especialmente en el flujo en tuberías. Por lo cual la
distribución logarítmica encontrada antes es aplicable a esta zona.
Otros autores dicen que la distribución es potencial, regida por la siguiente ecuación:
Zona turbulenta
Si el número de Reynolds ( Re ) aumenta, el exponente n empieza a disminuir.
Esta distribución de velocidades se conoce como la Ley de la Potencia 1/7.
= velocidad media = ro = radio total de la tubería n = 1/7 si Re < 100.000
A
QDonde:
n
ox
x
r
y
=
___
v
vxv
P erfiles de Velocidad
Una vez determinados los diferentes perfiles de velocidad para el flujo en tuberías
circulares, es interesante hacer una comparación entre estos para establecer algunas
conclusiones cualitativas que servirán para entender los procesos de diseño. Para
esto se utilizan las ecuaciones que describen los perfiles de velocidad:
Flujo laminar
(Ec.1.13)
Flujo hidráulicamente liso
(Ec.1.20)
Flujo hidráulicamente
Rugoso (Ec.1.22)
-= o
o
o rr
r2
2v
47.5v
ln4.0
1
v
v *
*
=
yx
48.8ln4.0
1
v
v
*
=s
x
k
y
Flujo laminar:
Flujo hidráulicamente liso:
(1.23)
(1.24)
Flujo hidráulicamente rugoso:
(1.25)
-=
2
2
__22
v
v
oo r
y
r
y
72.1v
ln4.0
1
47.5v
ln4.0
1
v
v
*
*
__
=
or
y
73.4ln4.0
1
48.8ln4.0
1
v
v__
=
s
o
s
k
r
k
y
PERFILES DE VELOCIDAD
Velocidad media igual para todos los casos.
La poca uniformidad de velocidades en el flujo laminar, indica que el efecto
viscoso de las paredes de la tubería influye sobre todo el campo de flujo.
El cambio en la distribución de velocidades de flujo laminar a flujo
hidráulicamente liso (Re = 4000) es el más brusco de todos. Esto sugiere que la
generación de turbulencia es un proceso rápido.
En flujo hidráulicamente liso: Número de Reynolds La relación entre velocidad máxima y velocidad media
Consecuencia de que las vibraciones turbulentas de la velocidad hace que las
partículas de fluido choquen con mayor momentum contra la subcapa laminar
disminuyendo su espesor. Sin embargo, los cambios en el perfil son sutiles
comparados con el cambio entre flujo laminar y flujo liso.
Diferencias entre perfiles lisos y rugosos:
En los perfiles lisos el efecto viscoso de la
pared se siente más que en los rugosos.
Los perfiles rugosos son ligeramente más
uniformes que los lisos.
A medida que la rugosidad absoluta de la
tubería disminuye el perfil se achata aún
más. Es decir, el flujo se vuelve cada vez
más uniforme en lo relativo a la
distribución de velocidades.
Perfiles de velocidad para una tubería de concreto (ks = 0.0003 m) con diámetro de 36
pulgadas y transportando agua a una temperatura de 15oC.
Re
Q
(-)
(L/s)
(m/s)
500
0.4094
0.0006234
1000
0.8188
0.001247
2000
1.638
0.002493
4000
3.275
0.004986
100000
81.88
0.1247
150000
122.82
0.1871
200000
163.76
0.250
250000
204.7
0.312
v
Caudales y velocidades medias
En las siguientes gráficas se presenta la evolución de los perfiles de velocidad
desde flujo laminar hasta flujo turbulento hidráulicamente rugoso.
Cambio de los perfiles de velocidad de flujo laminar (Números de Reynolds de 500,
1000, y 2000) a flujo hidráulicamente liso (Número de Reynolds igual a 4000). En este
último, el perfil se vuelve más uniforme reduciendo apreciablemente el efecto viscoso
causado por la presencia de las paredes. Se observa el efecto de la turbulencia sobre los
perfiles.
Perfiles de velocidad. Transición de flujo laminar a
hidráulicamente liso.
Perfiles de velocidad. Transición de flujo hidráulicamente liso a
rugoso.
Perfiles de velocidad correspondientes al cambio desde flujo hidráulicamente liso
(Número de Reynolds de 100.000) a flujo hidráulicamente rugoso (Números de Reynolds
de 150.000, 200.000 y 250.000). El efecto del aumento de la turbulencia es menos
apreciable, aunque sigue disminuyendo la zona de flujo afectada por la presencia de la
pared interna de la tubería.
Efecto de la rugosidad absoluta sobre los perfiles de velocidad
(d = 36” Re = 150000, agua)