1UNIVERSIDAD TECNOLGICA METROPOLITANADEPARTAMENTO DE MATEMTICAProf.:luis orozcofuenzalida

EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMTICAS I MAT62100

GEOMETRA ANALTICA

1.- Hallar todos los puntos que equidistan de y .E# % F # (

Solucin: Sea un punto en cuestin TB C .ET .FT

B # C % B # C (B C %B )C #! B C %B "%C &$

)B 'C $$ !

# # # #

# # # #

#

luego todos los puntos que equidistan de E# % F # ( y , son lospuntos que estn en la recta de ecuacin )B 'C $$ !.

2.- Determine las coordenadas de los tres puntos que dividen al trazo EF, conE# " F $ #y , en cuatro partes iguales. Represente el problema graficamente.

Solucin:

Q EF Q # # punto medio de " "# #

Q EQ Q " # " punto medio de $ "% %

Q Q F Q $ # $ punto medio de ( &% %

23.- Determinar cules de los puntos $ " # $ ' $ $ $ $ " # "estn situados en la recta de ecuacin y cules no lo estn.#B $C $

Solucin: Sea .6 #B $C $$ " 6 # $ $ " $ porque ;# $ 6 # # $ $ & $ porque ;' $ 6 # ' $ $ $ porque ; $ $ 6 # $ $ $ $ porque ;$ " 6 # $ $ " * $ porque ; # " 6 # # $ " ( $ porque ;

4.- Determinar los puntos de interseccin de la recta , de ecuacin ,6 #B &C "! !con los ejes coordenados y dibujar la recta en el plano.

Solucin: Si entonces , luego ,B ! &C "! ! C # el punto de interseccincon el eje es .] ! # Si entonces , luego ,C ! #B "! ! B & el punto de interseccin con eleje es .\ & !

5.- Determine una ecuacin de la recta que pasa por y .E# " F $ #

Solucin: o o7 6 C " 6 C # #" $ $ $$# & & & B # B $EF EF

6 C 6 $B &C " EF EF$ "& &B ! o

6.- Determine una ecuacin general de la recta que pasa por los puntos yQ$ ( R # &.

Solucin: o7 6 C & (& "# "#$# & & B #QR

6 C & 6 C QR QR

B # B"# "# "& & & o

luego una ecuacin general de la recta puede ser 6 "#B &C " QR

!

37.- Determine una ecuacin general de la recta que pasa por los puntos yQ # ) R$ %.

Solucin: o7 6 C ) %) "# "#$# & & B #QR

6 C ) 6 C QR QR

B # B"# "# "'& & & o

luego una ecuacin general de la recta puede ser 6 "#B &C "' QR

!

8.- Determinar una ecuacin general de la recta que pasa por los puntos y .$ " $ $

Solucin: Sean E F 7 $ " $ $ y . Luego EF

$" #$$ $

6 C " 6 C .EF# #$ $B $ B "EF

Es decir; una ecuacin general es

o 6 C " 6 #B $C $ EF EF#$B ! !

9.-Determine las ecuaciones de las rectas que contienen a cada uno de los lados deltringulo, cuyos vrtices estn dados por , y E# $ F & % G! (.

Solucin: 7 7 7 EF EGFG

%$ " (% $ ($ ( !& & !# #; ; .

o ; 6 C $ 6 C % EF EF

B # B &" "( (

6 C % 6 C ( FG FG

$ "& (B & B ! o y

6 C $ 6 C ( EG EG

#B # #B ! o .

10.- Hallar una ecuacin de la recta que pasa por y es paralela a la rectaT" &que pasa por y .E# " F $ #

Solucin: Como la recta solicitada es paralela a 6 7 EF, entonces$& , luego

6 C & 6 C 6 $B &C #) $ $ #)& & &B " B ! o o o .EF EF

11.- Determine la ecuacin principal de la recta, perpendicular al segmento de recta que une lospuntos y y que pasa por el punto medio del mismo.Q# ) R' ) Represente elproblema graficamente.

4Solucin:

7 QR

))'# %,

luego la pendiente de la recta , perpendicular a es: 6 QR

7 "% .

El punto medio del trazo es . De esta manera:QR % !

6 C ! B %"%

o en su forma principal

6 C B ""% .

12- Es posible que dos rectas con pendientes negativas sean perpendiculares?Explique .

Solucin: No es posible, puesto que si las dos pendiente son negativas, el producto deellas es un nmero positivo y para que sean perpendiculares el productodebe ser igual a , que es nmero negativo."

13.- Determine la ecuacin de la recta que pasa por el punto y es paralela E # $a la recta de ecuacin . Dibuje en un sistema de coordenadas ambasB $C &rectas y el punto en cuestin .

Solucin: Sean P "B $C &, la recta solicitada yP C C 7B B

! !

E # $ 6 .

5 P 7 P C $ 7B # P 7 . Adems y "

"

" "$ $, , por lo

que:P C $ B #"$ .

6.

14.- Dibuje en un mismo sistema de coordenadas la regin encerrada por las rectasde ecuaciones: , y , indicando claramente los puntos deC B #C B B 'interseccin .

Solucin:

15.- Hallar los puntos de interseccin (si los hay) de la pareja de curvas: C % #Be y dibujar sus grficas.C B #

e C % #B C B #

Solucin: ooo

% #B B # % #B B #$B ' % #B # BB # B #

Luego hay slo un punto de interseccin, el cual es . Y su grfica es:# !

616.- Los lados de un tringulo estn sobre las rectas %B $C & B $C ) !B #. Represente el problemaDeterminar las coordenadas de sus vrtices. graficamente.

Solucin:

Hay que resolver los tres siguientes sistemas:

I II III %B $C & %B $C & B #B $C ) ! B # B $C ) !

cuyas soluciones son respectivamente:

W W W M MM MMM "$ $( "!$ * $; y , por lo que los vrtices# " #del tringulo son: , y .E F G "$ $( "!$ * $# " #

717.- Sean etermine el punto de+ , + , y nmeros reales positivos, tal que . Dinterseccin de las rectas de ecuaciones 6 "

B B+ , , +

C C " 6 " y . Haga un#

dibujo.

Solucin: B+ ,C

B, +

C

" +, +, , +

" +, +, + ,,B +C+B ,C

, + B +,, + + , C +,+ , B # # # # y luego e+,+,C W T +, +, +,+, +, +,, .

18.- Determine la distancia del punto yT" & E# " a la recta que pasa por F $ #.

Solucin: La ecuacin general de la recta que pasa y por estE# " F $ #dada por: $B &C " !, por lo que,

.T 6EF

$"& &"

$ & $%

#(

# # ? .

19.- Un pequeo negocio compra una fotocopiadora en $740.000 y despus decuatro aos su valor depreciado ser de $150.000. Suponga que la depreciacin eslineal y escriba la ecuacin de la recta, dando el valor de la fotocopiadora enZtrmino del tiempo .>

Solucin: Si > ! (%!!!!> % "&!!!!

ZZ

7 "%(!!! Z (%!!!! "%(!!!>"&!!!!(%!!!!

%! , luego .

820.- Una fbrica compra una nueva mquina por 225.000 dlares. El valor depreciadoZ > Z ##&!!! #!!!!> ! > ) despus de aos est dado por . Trace la grficade este modelo y determine el ao en que la mquina costar 85.000 dlares.

Solucin:

Z ##&!!! #!!!!>

)&!!! ##&!!! #!!!!>#!!!!> ##&!!! )&!!!#!!!!>

> (

"%!!!!

por lo que a los 7 aos la mquina costar 85.000 dlares.

21.- Un fabricante compra una mquina por valor de UF 20.000. sta se deprecialinealmente, de manera que despus de 10 aos su valor comercial ser de UF 1.000.Exprese el valor de la mquina en trminos de la antigedad y dibujar la grfica.Z >

Solucin: Si entonces y si entonces , luego los> ! Z #!!!! > "! Z "!!!puntos y son puntos de la recta en el plano . De! #!!!! "! "!!! >Zesta manera:

7 Z #!!!!"!!!!"! "*!! 8 #!!!! "*!!> #!!!! y

22. Una empresa de venta de computadores personales ofrece a sus vendedores dosopciones de contrato:

a) Un sueldo fijo de $1.300.000 mensuales.b) Un sueldo fijo de $500.000 mensuales, ms una comisinde $40.000 por cada ordenador vendido.

9Determine la expresin algebraica para cada opcin y represente grficamente lasdos situaciones en los mismos ejes coordenados. A partir de qu nmero decomputadores vendidos le interesa a un vendedor la segunda opcin?

Solucin: Sea W G el sueldo en $ y el nmero de computadores vendidos.En el caso a) se tiene que W "$!!!!! G !.En el caso b) se tiene que .W &!!!!! %!!!!G ! G

Para determinar el nmero de computadores vendidos donde la alternativab) es ms atrayente, resolvemos la ecuacin:

&!!!!! %!!!!G "$!!!!! %!!!!G )!!!!! G #!

luego, a partir de 20 computadores vendidos la segunda opcin comienza ainteresarle a un vendedor.

23.- Las ecuaciones de oferta y demanda semanales de cierto producto estn dadas por: %; "! : $( &; : ; y , respectivamente, donde se mide en dlares y en centenas. Determine la cantidad y el precio de equilibrio.

Solucin:

10

Para determinar la cantidad y el precio de equilibrio resolvemos la ecuacin%; "! $( &; ; $ : ## y obtenemos y . De esta manera el precio deequilibrio es de 22 dlares y la cantidad de equilibrio es de 300 unidades.

Cualquier error que detecte en esta correccin hgamelo saber , yo soy el nicoculpable.