Sistemas de medida de ángulos

1) RADIANES:

La relación del radián con la otra unidad de medida para ángulos más ampliamente utilizada, los grados sexagesimales o simplemente grados (º), es la siguiente:

1 vuelta completa de la circunferencia = 360º = 2 · π radianes

Es posible, a partir de lo visto, deducir que la longitud de la circunferencia, está directamente relacionada al radio. Se dice que dicha longitud es directamente proporcional al radio, ya que es 6,28… veces el valor del radio, o dos veces π (Pi). Longitud de la circunferencia = 2. π.r

2) SISTEMA SEXAGESIMAL:

El sistema sexagesimal es un sistema de unidades muy empleado cuyo fundamento es que cada unidad se divide en 60 unidades de una orden inferior, es decir, es un sistema de numeración en base 60. La unidad de medida de ángulos en el sistema sexagesimal es el grado (º), que es el resultado de dividir el ángulo llano en 180 partes iguales. A su vez, cada grado se subdivide en otras unidades inferiores, en concreto, en sesenta partes iguales. De esta manera, cada grado se divide en 60 minutos (1º = 60´) y cada minuto, a su vez,

en 60 segundos (1´ = 60´´). Ejemplo (α = 60º27´34”)

3) SISTEMA CENTESIMAL

Un radián es la unidad de medida de un

ángulo con vértice en el centro de una

circunferencia y cuyos lados delimitan un arco

de circunferencia que tiene la misma longitud

que el radio.

El valor que conocemos de π = 3,14… (número irracional) son en el sistema de

radianes, y equivalen a un ángulo llano (180º). Quiere decir que, una radian entra 3,14…

veces en un ángulo de 180º

El sistema centesimal divide una circunferencia en 400 partes iguales, o bien, un ángulo recto en 100 partes iguales, y a cada una de esas partes se le denomina grado centesimal o gradián, y se simboliza con una «g» minúscula como superíndice del número, por ejemplo 35g. A su vez, cada grado centesimal se subdivide en unidades más pequeñas dividiéndolo en cien partes iguales, y dando lugar al minuto. Así, el minuto (m) en este sistema es la centésima parte del grado (1g = 100m) y el segundo (s) la centésima parte del minuto (1m = 100s). De la misma manera, el segundo se divide en décimas, centésimas, milésimas,... Un ejemplo de un ángulo expresado según el sistema centesimal sería: 40g 30m 10s.

Conversión entre los sistemas de medida de ángulo A partir de la relación: 360º = 2 · π podemos decir que:

𝐺

360°=

𝑅

2.𝜋

Sexagesimal a radian Radian a Sexagesimal

EJEMPLO 1: Pasar 1 radián a grados sexagesimales

𝐺 =1

2.𝜋 .360° = 57,29578° Por tanto, 1 rad = 57,29578º

EJEMPLO 2: Pasar π/4 radianes a grados sexagesimales

𝐺 =1

4.𝜋

2.𝜋 .360° =

1

4: 2.360° =

1

8. 360° = 45°

EJEMPLO 1: Pasar un ángulo de 60º a radianes

𝑅 =60°

360° .2. 𝜋 =

1

6 .2 . 𝜋 =

1

3. 𝜋

EJEMPLO 2: Pasar un ángulo de 60º 18´ 50´´ a radianes En primer lugar, habrá que pasar el ángulo expresado en grados minutos y segundos a decimal. 1º) Los grados se dejan en grados: 60º → 60º

45

G es la medida del ángulo expresada en grados sexagesimales (º) R es la medida del ángulo expresada en radianes (rad)

𝐺 =𝑅

2. 𝜋 .360° 𝑅 =

𝐺

360° .2. 𝜋

1

6

2º) Los minutos se pasan a grados: 18´ → 18´/60 = 0,3º 3º) Los segundos se pasan a minutos, y éstos a grados: 50´´ → 50´´/60 = 0,8333´ → 0,8333´/60 = 0,0139º 4º) Se suman todos los grados obtenidos: 60º + 0,3º + 0,0139º = 60,3139º Por tanto, 60º 18´ 50´´ = 60,3139º

𝑅 =60,3139°

360° .2. 𝜋 = 1,0527 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

ACTIVIDAD: Completar la tabla:

Ángulo sexagesimal Ángulo Radianes

30º

1

2 . 𝜋

100º25´13´´

2

5 . 𝜋

12º

1,5 radianes

9

5 . 𝜋

10º

SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS SEXAGESIMALES

Sea: 𝛼 = 35°27´32´´ 𝑦 𝛽 = 124°47´51´´

𝛼 + 𝛽 Sería: 35° 27´ 32´´ 124° 47´ 51´´

𝛽 − 𝛼 Sería: 124° 47´ 51´´ 35° 27´ 32´´

ÁNGULOS ADYACENTES

+

159° 74´ 83´´

El ángulo resultante está bien

sumado, pero mal expresado

+1´ 60´´ 159° 75´ 23´´ +1° 60´

159° 15´ 23´´

El ángulo resultante está bien

sumado y bien expresado

89° 20´ 19´´

-

Ángulos complementarios: Son ángulos adyacentes que al sumarlos obtenemos un ángulo recto (90º)

Ángulos suplementarios: Son ángulos adyacentes que al sumarlos obtenemos un ángulo llano (180º)

Suma y resta de ángulos con calculadora científica. ACTIVIDAD: Utilizando la propiedades de los ángulos adyacentes, calcula.

Son aquellos ángulos que tienen el vértice y un lado en común, se puede decir

también que son consecutivos

Ejemplo: hallar el complemento de α = 38º16´09´´

90°00´ 00´´ 89°59´ 60´´

38°16´ 09´´ 38°16´ 09´´

51°43´ 51´´

Ejemplo: hallar el suplemento de α = 120º41´56´´

180°00´ 00´´ 180°59´ 60´´

120°41´ 56´´ 120°41´ 56´´

60°18´ 04´´

Con la tecla de grado, minuto y segundo, es posible introducir en la calculadora un ángulo. Para ingresar por ejemplo α = 26°56´ 12´´ deberemos ingresar primero 26

y tocar la tecla, luego 56 y volver a tocar la tecla y por último 12 y tocar la tecla. En la calculadora nos

aparecerá 26°56° 12°, porque es como lo puede expresar, pero se toma como grado, minuto y segundo

Luego con ese ángulo se lo puede sumar, restar, etc con otro ángulo.

1) El complemento de los siguientes ángulos:

𝛼 = 70° 𝛽 = 55°46´33´´ 𝛾 = 46°00´25´´ 𝛿 = 78°09´59´´

2) El suplemento de los siguientes ángulos:

𝛼 = 95° 𝛽 = 105°37´52´´ 𝛾 = 27°08´45´´ 𝛿 = 150°48´

3) Hallar los ángulos faltantes de los siguientes triángulos.

a) b)

c)

TRIÁNGULOS – TEOREMA DE PITÁGORAS

Antes de continuar te proponemos hagas una lectura de conocimientos que has

visto en años anteriores para poder ampliarlos en este nuevo curso de

Matemática.

TRIÁNGULOS

Definición de triángulo: un triángulo es un polígono de tres lados. Un triángulo

tiene 3 vértices, 3 lados, 3 ángulos interiores y 3 ángulos exteriores.

Utilizaremos esta nomenclatura

de los vértices, lados y ángulos.

Recordemos que α + β + 𝛾 =180º

Clasificación según sus lados:

triángulo equilátero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados.)

triángulo isósceles si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida y

triángulo escaleno si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

Equilátero Isósceles Escaleno

Clasificación según la amplitud de sus ángulos:

Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90° o 𝜋

2 ).

Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.

o Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).

o Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°. El triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

Rectángulo Obtusángulo Acutángulo

Oblicuángulos

También recordaremos una importante propiedad de los ÁNGULOS de los

TRIÁNGULOS que ya has utilizado y que nos permite conocidos dos ángulos

de un triángulo cualquiera calcular el valor de la amplitud del tercero.

Esta Propiedad dice:

En todo triángulo:

La SUMA de los ÁNGULOS INTERIORES de un TRIÁNGULO es igual a 180º

De forma gráfica:

TEOREMA DE PITÁGORAS

TRIÁNGULO RECTÁNGULO: el triángulo rectángulo es un triángulo

“destacado”.

Como lo indica su nombre es el que tiene un ángulo recto.

En un triángulo rectángulo los lados del mismo tienen nombres especiales.

CATETO: Los lados que forman el ángulo Recto se llaman Catetos. HIPOTENUSA: El lado mayor opuesto al ángulo recto se llama

Hipotenusa.

Y entre ellos existe una relación especial que se expresa en el TEOREMA DE PITÁGORAS.

El Teorema de Pitágoras es válido SOLO para triángulos Rectángulos y dice que:

En todo Triángulo Rectángulo:

El CUADRADO de la HIPOTENUSA es igual a la SUMA de los

CUADRADOS de los CATETOS.

En símbolos:

Conocer esta relación nos permitirá resolver triángulos rectángulos en los que

desconozcamos algún dato.

La imagen de este ejemplo te puede servir para recordar.

Este ejemplo podría expresarse así: En un triángulo rectángulo ABC se conocen los catetos b = 4 m y c = 3 m.

Hallar la hipotenusa del triángulo.

Lo que resolvemos usando la fórmula: a² = b² + c² → a = √𝒃𝟐 + 𝒄² Reemplazando en la misma con los datos del enunciado:

a = √𝒃𝟐 + 𝒄²

a = √42 + 3²

a = √16 + 9 → a = √25 a = 5 Completa la siguiente tabla, sabiendo que los datos corresponden a un triángulo rectángulo. Realiza las operaciones en la hoja aplicando las fórmulas:

a = Hipotenusa b = cateto c = cateto

13 …… 12

20 12 ……

…… 9 12

10 6 ……

…… 20 21

Resuelve:

1. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen la hipotenusa h = 10 m y un cateto C = 8 m. Hallar la medida del otro cateto.

2. Determinar los lados y ángulos de un triángulo equilátero cuyo lado es de 6 cm.

3. Si en un triángulo rectángulo isósceles nos dan un cateto que mide 10

cm, hallar los restantes lados y ángulos.

4. Hallar Perímetro y superficie de la figura escribiendo las fórmulas

aplicadas. Verás que necesitarás hacer uso del Teorema de Pitágoras!!!

5. Calcula la diagonal de un cuadrado cuyo lado es de 4 cm. Plantea y resuelve los siguientes problemas:

6. A qué altura está la cometa de Ana si su cuerda mide L=8 metros y tendría que moverse 6 metros para situarse debajo de ella?

7. Calcular la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3 metros apoyada sobre la pared si la parte inferior la situamos a 70 centímetros de ésta.

8. Al atardecer, un árbol proyecta una sombra de 2,5 metros de longitud. Si la distancia desde la parte más alta del árbol al extremo más alejado de la sombra es de 4 metros, ¿cuál es la altura del árbol?

9. Un coche que se desplaza desde el punto A hasta el punto B recorre una distancia horizontal de 35 metros, mientras se eleva una altura de 12 metros. ¿Cuál es la distancia, en metros, que separa a los puntos A y B?

10. La altura de un arco de fútbol reglamentario es de 2,4 metros y la distancia desde el punto de penalti hasta la raya de gol es de 10,8 metros. ¿Qué distancia recorre un balón que se lanza desde el punto de penalti y se estrella en el punto central del larguero?

Te sugerimos que veas unos videos que te ayudarán a recordar este importante conocimiento ya que en el siguiente Trabajo Práctico seguiremos utilizando estos temas que son de repaso de años anteriores.

https://www.youtube.com/watch?v=ZrFBj5hN_a8

https://www.youtube.com/watch?v=EaxXNB2I2v4