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Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey
Campus Estado de México
División de Ingeniería y Arquitectura
Departamento de Ciencias Básicas
Guía de estudios de Física
Esta guía de estudios te ayudará a prepararte en los temas de Física que tienes que
conocer para presentar el examen de Física y Matemáticas.
En la primera parte de esta guía encontrarás 11 ejemplos de los siguientes temas:
Vectores, Cinemática lineal, Equilibrio, Leyes de Newton, Trabajo, Cinemática angular,
Máquinas Simples, Gravitación, Hidrostática y Termodinámica. En la segunda parte se
presentan dos versiones de exámenes de física de opción múltiple donde esta marcada la
respuesta correcta con dos asteriscos.
1.- Una espeleóloga está explorando una cueva; sigue un pasadizo 180 m al oeste,
luego 210 m 45° al este del sur, después 280 m 30° al este del norte. Tras un cuarto
desplazamiento vuelve al punto inicial. Determine ese cuarto desplazamiento.
Tomando la dirección al este como el eje positive de las x y la dirección al norte como
la dirección positiva de las y. Para los primeros tres desplazamientos
m, 0.9430 cos m 28045 cos m 210
m, 10830sin m 28045sin m 210m 180
El desplazamiento resultante de los primeros tres desplazamientos es:
.9.40m 108
m 94arctan m, 144m 0.94m 108
22
El cuarto desplazamiento debe tener una magnitud de 144 m en una dirección 9.40 al
sur del oeste, para regresar así al punto de partida.
2.- Dos corredores parten simultáneamente del mismo punto de una pista circular
de 200 m y corren en la misma dirección. Uno corre con una rapidez constante de
6.2 m/s, y el otro, con rapidez constante de 5.5 m/s. ¿Cuándo alcanzará el más
rápido al más lento (sacándole una vuelta) y qué distancia desde el punto de salida
habrá cubierto cada uno?
En el tiempo t el corredor más rápido ha viajado 200 m más que el corredor más
lento, entonces:
.
(5.50 m/s)t + 200 m = (6.20 m/s)t, entonces t = 286 s.
El corredor más rápido ha recorrido m.1770)sm20.6( t
El corredor más lento ha recorrido m.1570)sm50.5( t
3.- Dos pesos de 25 N cuelgan de extremos opuestos de una cuerda que pasa por
una polea ligera sin fricción sujeta a una cadena fija en el techo. Si el sistema está
en equilibrio. A) ¿qué tensión hay en la cuerda? B) ¿Y en la cadena?
a) La tensión en la cuerda debe ser igual a cada peso suspendido 25.0 N. b) Si la
masa de la polea es despreciable, la fuerza total sobre la polea es la suma de los
dos pesos, la tensión en la cadena es 50.0 N.
4.- Imagine que empuja su libro de física 1.50 m sobre una mesa horizontal con
una fuerza horizontal de 2.40 N. La fuerza de fricción opuesta es de 0.60 N. a)
¿Cuánto trabajo efectúa la fuerza de 2.40 N sobre el libro? B) ¿Y la fricción? C)
¿Qué trabajo total se efectúa sobre el libro?
a) J60.3)m5.1( )N40.2(
b) J900.0)m50.1)(N600.0(
c) J70.2J720.0J60.3 .
5.- Un saco de 5 kg de harina se levanta 1.5 m verticalmente con rapidez constante
de 3.5 m/s. a) ¿Qué fuerza se requiere? B) ¿Cuánto trabajo realiza esa fuerza sobre
el saco? C) ¿Qué pasa con dicho trabajo?
a) Si la rapidez es constante la fuerza total es cero, la fuerza requerida para subirla es,
N. 49)sm kg)(9.80 00.5( 2
b) Como la fuerza y el desplazamiento están en la misma dirección, el trabajo es
J; 735m)(15.0 N) 00.49(
c) El trabajo se convierte en energía potencial
6.- A) ¿Qué ángulo en radianes es subtendido por un arco de 1.5 m en la
circunferencia de un círculo de 2.5 m de radio? B) Un arco de 14 cm de longitud en
la circunferencia de un círculo subtiende un ángulo de 128°. ¿Qué radio tiene el
círculo?
Recuerde que s = r (longitud de arco es igual al radio por el ángulo en radianes)
a) = s/r = .34.4rad 60.0m 502
m 50.1
.
b) r = s/ cm. 27.6)180rad)((128
cm) 0.14(
π
7.- Un satélite de 2150 kg empleado en una red de teléfonos celulares está en una
órbita circular a una altura de 780 km sobre la superficie terrestre. ¿Qué fuerza
gravitacional actúa sobre él?
G = 6.673 x 10 – 11
N.m2/kg
2 y mtierra = 5.97 x 10
24 kg
N. 1067.1m) 106.38m 10(7.8
kg) 2150)(kg 1097.5()kgmN 10673.6( 4
265
242211
2
21g
r
mmGF
8.- Una muestra de mineral pesa 17.5 N en el aire pero, si se cuelga de un hilo
ligero y se sumerge por complete en agua, la tensión en el hilo es de 11.2 N. calcule
el volumen total y la densidad de la muestra.
La fuerza boyante es
B = 17.5 N – 11.2 N = 6.3 N
.m 1043.6)sm 80.9)(mkg 1000.1(
N) 30.6( 34
233
water
gρ
BV
La densidad es:
.mkg 1078.230.6
50.17)mkg1000.1( 333 3
water
water
B
wρ
gρB
gw
V
mρ
9.- Un barril contiene una capa de aceite (densidad de 600 kg/m3) de 0.12 m de
espesor sobre 0.25 m de agua. A) ¿Qué presión manométrica hay en la interfaz
aceite –agua? B) ¿Qué presión manométrica hay en el fondo del barril?
Presión manométrica P = gh
a) Pa.706m12.0 sm80.9 mkg600 23 ρgh
b) Pa.1016.3m250.0 sm80.9 mkg1000Pa706 323
10.- Imagine que trabaja en un laboratorio de prueba de materiales y su jefe le
dice que aumente la temperatura de una muestra en 40° C. El único termómetro
que encuentra en su mesa de trabajo está graduado en ° F. Si la temperatura
inicial de la muestra es de 68.2° F, ¿qué temperatura deberá tener en ° F una vez
que se haya efectuado el aumento pedido?
Recuerde que 1° C = (9/5)° F entonces 40 = 72° F
F140.2F 0.7012 TT
11.- Un centavo de dólar tiene 1.9 cm de diámetro a 20° C y está hecho de una
aleación con un coeficiente de expansión lineal de 2.6 x 10- 5
° C- 1
a) ¿Qué diámetro
tendría en un día caluroso a 48° C?
a) cm,101.4C)(28.0cm)90.1)()C(106.2( 315
0
TαD
el diámetro sería de 1.9014 cm
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Examen Tipo A
1.- Las tres fuerzas siguientes actúan simultáneamente sobre el mismo objeto: FA = 300
N, 30° al Norte del Este, FB = 600 N, 270° y FC = 100 N hacia el este. Halle la fuerza
resultante.
a) 576 N, 51.4° S del E **
b) 452 N, 53.7° S del W
c) 422 N, 53.7° S del E
d) 402 N, 38.5° S del W
e) 385 N, 27.7° N del W
2.- Un cable esta tendido entre dos postes colocados con una separación de 10 m. A la
mitad del cable se cuelga un letrero que provoca un pandeo, por lo cual el cable
desciende verticalmente una distancia de 50 cm. Si la tensión en cada segmento del
cable es de 2000 N. ¿Cuál es el peso del letrero?
a) 200 N
b) 400 N **
c) 1200 N
d) 2000 N
e) 4000 N
3.- Una máquina con 25% de eficiencia realiza un trabajo externo de 200 J. ¿Qué
trabajo de entrada requiere?
a) 50 J
b) 400 J
c) 800 J **
d) 4000 J
e) 5000 J
4.- Un pistón de 20 kg descansa sobre un gas en un cilindro de 8 cm de diámetro. ¿Cuál
es la presión manométrica sobre el gas?
a) 97.48 Pa
b) 389.93 Pa
c) 3978.86 Pa
d) 9748.22 Pa
e) 38992.87 Pa **
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Examen Tipo B
1.- Un automóvil de 1200 kg tiene una rapidez de 25 m/s. ¿Qué fuerza resultante se
requiere para detenerlo en 70 m en un terreno horizontal?
a) 2734 N
b) 3182 N
c) 4659 N
d) 5357 N **
e) 6241 N
2.- Una rueda gira inicialmente a 6 rev/s y después se le da una aceleración angular
constante de 4 rad/s2. ¿Cuántas revoluciones completará la rueda después de 5 s?
a) 37.9 rev **
b) 51.3 rev
c) 82.7 rev
d) 163.6 rev
e) 238.5 rev
3.- Un cilindro de 2 kg tiene un radio de 20 cm. Rueda sin deslizarse a lo largo de una
superficie horizontal a una velocidad de 112 m/s. ¿Cuál es su energía cinética total?
a) 72 J
b) 144 J
c) 216 J **
d) 318 J
e) 428 J
4.- Un trozo de carbón vegetal que estaba inicialmente a 180° F experimenta una
disminución de temperatura de 120 ° F. ¿Cuál es la temperatura final en la escala
Celsius?
a) 15.6° **
b) 37.3°
c) 48.9°
d) 66.7 °
e) 82.2°
Bibliografía
1.- Tippens. Paul. E.; Física Conceptos y Aplicaciones, Séptima Edición, 2007, Mc
Graw Hill Interamericana
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Guía de estudios de Matemáticas
Esta guía de estudios te ayudará a prepararte en los temas de Matemáticas que tienes que
conocer para presentar el examen de Física y Matemáticas.
Primera Unidad: Funciones
Dominio y rango
1. Determina el dominio e imagen de 3-2x
23x )(
xf
Para el dominio, debemos tener cuidado de no realizar divisiones entre cero,
entonces:
2x – 3 > 0
2x > 3
x > 3/2
Por lo tanto Df = R – {3/2}
Para hallar la imagen debemos determinar para qué valores de y existe un x Df
tal que 3-2x
23x )(
xfy se cumpla. De esta ecuación se tiene que:
2xy – 3y = 3x + 2
x (2y - 3) = 3y + 2
Despejando la variable x,
x = 3-2y
23y
que tendrá sentido siempre y cuando y ≠ 2
3 De aquí concluimos que If = R – {
3/2}
2. Determina el dominio e imagen para g(x) = -2 + 12)-(x 2
Respecto a el dominio, requerimos que (x - 2)2 – 1 ≥ 0, de lo cual resulta que x ≤ 1
o x ≥ 3. En conclusión: Dg = (-∞, 1] U [3, +∞)
En cuanto a la imagen, 12)-(x2 2 ≥ 0, por lo cual:
g(x) = -2 + 12)-(x 2 ≥ -2, para todo x Dg
De aquí resulta que Ig = [-2, +∞)
Inyectivas, suprayectivas y biyectivas
1. Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: g(x) = 1 – x3.
Elaboramos una tabla de pares ordenados y luego graficamos.
x g(x)
-2 9
-1 2
0 1
1 0
2 -7
Gráfica de una función
1. Grafica la siguiente función: V(x) = x2
La función V(x) no tiene una estructura simple, así que elaboramos una tabla para
conocer algo más de ella. En la tabla se muestran los resultados obtenidos.
Observando la tabla y la gráfica puede intuirse que, con el valor de x ç= 4 se
obtendrá el máximo valor para V.
x V(x) = y
0.0 0.0
0.5 3,16228
1.0 11,92570
1.5 25,09980
2.0 41,31180
2.5 58,92560
3.0 75,89470
3.5 89,46140
Función inversa
1. Dada f(x) = , determina f-1
en caso de que exista.
Despejamos a x de y = :
y(2x - 1) = 3x + 2
2xy – y = 3x +2
2xy – 3x = 2 + y
x(2y - 3) = 2 + y
x = =
Al intercambiar las variables x y y, concluimos que f-1
(x) = = .
Observa que Df-1 = R – {3/2}, mientras que la imagen es If-1 = R – {
1/2}.
2. Si existe, determina la función inversa de f(x) = x2 + 2x 2, x ≥ -1.
4.0 95,40560
4.5 85,38150
5.0 0.0
Si escribimos y = f(x), requerimos despejar a x de la ecuación y = x2 + 2x + 2. De
manera equivalente, la ecuación anterior es x2 + 2x + (2 - y) = 0. Esta ecuación es
una ecuación de segundo grado para la variable x, por lo tanto,
x = = = -1 ±
Como x ≥ -1, concluimos que el signo (-) en el resultado anterior debe descartarse,
por ello, el despeje final queda como x = -1 + . Al intercambiar las variables
x y y, concluimos que f-1
(x) = -1 + .
Observa que sino se hubiera restringido el dominio de la función, f no sería
inyectiva y, en consecuencia, no tendría inversa.
Segunda Unidad: Funciones trigonométricas.
Razones trigonométricas
1. Evalúa las seis funciones trigonométricas para el ángulo que está a 225o, sin usar
calculadora.
El ángulo de referencia del ángulo 225o es 45
o, en tanto que 225
o se encuentra en el
cuadrante III.
sen 225o = -sen 45
o = -
cos 225o = -cos 45
o = -
tan 225o = tan 45
o = 1
csc 225o = = -
sec 225o = = -
cot 225o = = 1
2. Evalúa las seis funciones trigonométricas para el ángulo que forma sin
usar calculadora.
El ángulo de referencia es , en tanto que se encuentra en el cuadrante III.
sen = -sen = -
cos = -cos = -
tan = tan =
csc = = -
sec = = -2
cot = =
Resolución de triángulos rectángulos
1. Resuelve para x
Tan 60o =
=
x = = = 14.43
Ley de senos
1. Si: a = 12 α = 20o
b =? β = 50o
c =? γ = ¿
Resolver el triángulo
Como α + β + γ = 180
o, tenemos que: γ = 180 – (20 + 50) = 110
Usando la calculadora tenemos:
sen α = sen 20o = 0.342
sen β = sen 50o = 0.766
sen γ = sen 110o = 0.940
De la ley de los senos, despejando:
b =
= = 26.88
c = = = 34.028
Ley de cosenos
Resolver el triángulo siguiente:
Llamemos a al ángulo de 25° porque está opuesto al lado A; C al lado que mide 12
porque está opuesto al ángulo γ. y B al lado de 9 porque está opuesto al lado β. Lo que
tenemos entonces es: A = ?B = 9C = 12
α = 25°
β= ?
γ= ?
Usando la ley del coseno tenemos sustituyendo:
Realizando las operaciones queda: A = 5.4071Para encontrar los ángulos faltantes
usaremos la ley de los senos, :Sustituyendo los datos del problema y el valor de A que
acabamos de encontrar queda: Para encontrar el ángulo b, vamos a fijarnos en la
primera igualdad: de ésta igualdad despeja el ángulo β (una forma rápida de despejar
cuando lo que queremos despejar está abajo, es como sigue: Invierte primero los
quebrados - lo de arriba pásalo abajo y lo de abajo pásalo arriba-: luego, lo que está
dividiendo al sen(β) abajo, pásalo multiplicando arriba del otro lado y así es más
rápido.) haciendo las operaciones nos queda: inviértelo para que quede bien escrito:
sen (β) = 0.7034297712y saca la función inversa del seno (el arcoseno):
β = sen-1
(0.7034297712)
β= 44. 703 = 44° 42'
El ángulo γ es ahora muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de
un triángulo siempre suma 180°. O sea que cuando tengas dos ángulos de un triángulo,
el tercero siempre sale así:
γ = 180° - α – β
Esta fórmula es válida para cualquier triángulo. Así que apréndetela bien o apúntala por
ahí porque la usarás muchísimo en matemáticas. Sustituimos en ésta expresión los
ángulos que nos dan y queda así:
γ = 180° -25°- 44°42' = 180° - 69°42' = 110°17'
γ= 110°17'
y con este resultado ya queda resuelto todo el triángulo.
Razones trigonométricas para un ángulo en cualquier cuadrante.
1. Determinar el valor exacto de las seis funciones trigonométricas del ángulo y el
punto P que se nuestra se encuentra en el lado final.
x = - , y = 1, r = = = 2
sen = =
cos = = -
tan = = - = -
csc = = 2
sec = = - = -
cot = = -
2. Suponer que ángulo se encuentra en posición normal. Determinar el cuadrante
donde se encuentra el ángulo para el que sec < 0 y cot > 0
Se tiene que sec = como r > 0, sec < 0 cuando x < 0 , entonces se puede
encontrar en los cuadrantes II o III. Si se tiene que cot > 0, x & y, deben ser
positivas o negativas a la vez; en este caso, el ángulo puede estar en los cuadrantes I
o III. Por tanto, el lado final de ángulo se encuentra en el cuadrante III.
Círculo trigonométrico.
1. Aplicando la fórmula de longitud de un arco circular resolver el siguiente problema.
Una banda conecta una polea de 2 pulgadas con otra de 5 pulgadas. Si la polea
menor gira 5 radianes, ¿cuántos radianes girará la polea mayor?
Para resolver el problema, primero se hace un esquema:
Cuando la polea menor gira 5 rad., el punto de su circunferencia recorre la misma
distancia (longitud de arco) que la que viaja al punto P de la circunferencia mayor.
Para la polea menor:
= ; s = r * = (2)*(5) = 10 pulgadas
Para la polea mayor:
= = = 2 radianes
Por lo tanto, cuando la polea menor gira 5 rad. La polea mayor gira 2 rad.
2. Aplicando la fórmula del área de un sector circular, determina el área del sector
sombrado de la gráfica.
A = es la fórmula del área de un sector circular.
A = , r = 9 cm, = 120o = rad
A = 84.82 cm2
Funciones trigonométricas directas. Dominio, rango, periodicidad, amplitud,
desfasamiento y asíntotas.
1. Determina la amplitud, el periodo, el ángulo de fase y el valor promedio de la
función f(x) = 4 sen (3x - 7) + 2. Posteriormente, grafica la función.
Primero escribimos la ecuación en la forma general
f(x) = 4 sen[3( x - )] + 2
Identificamos ahora los coeficientes.
- La amplitud es A = 4 > 0.
- El ángulo de fase es xo = 7/3.
- El promedio es B = 2.
De estos resultados deducimos que el periodo es P = . Para construir la gráfica
observamos que un periodo inicia cuando:
3xo -7 = 0
xo =
xo = 2.333
y termina cuando:
3xf – 7 = 2
xf =
xf = 4.42773
Dividimos el intervalo que definen xo y xf en cuatro subintervalos de longitud
igual. Evaluando a continuación la función sinusoidal en los puntos extremos de
estos subintervalos, obtenemos la tabla de valores adjunta. Reuniendo todos estos
elementos, construimos la gráfica de la función.
x f(x)
2.33 2
2,86 6
3.38 2
3.90 -2
4.43 2
2. Determina las regiones de crecimiento y decrecimiento y las ecuaciones de las
asíntotas verticales. Con esa información, construye la gráfica de la función.
f(x) = 2 tan( )
La función f(x) = 2 tan( ) es creciente en su dominio porque el coeficiente
2, que multiplica a la tangente, es positivo. El dominio consta de todos los puntos
donde el argumento es diferentes de ± , ± , ± , …. Estos puntos satisfacen
que:
≠ ± , ± , ± , …
≠ ±2, ±6, ±10, …
≠ 6 ± 2, 6 ± 6, 6 ± 10, …
Es decir,
Df = R – {6 ± 2, 6 ± 6, 6 ± 10, …}
La curva cruza el eje x cuando el argumento de la tangente es n . Es decir, cuando
= n
- 6 = 4 n
= 6 + 4n
Por ejemplo, dos de las asíntotas verticales se obtienen cuando el argumento de la
función es igual a ± /2.
Es decir, cuando
= ±
- 6 = ±2
8
= 6 ±2 = 4
Como la distancia entre dos asíntotas consecutivas es igual al periodo, tenemos que
la función se repite cada cuatro unidades. En conclusión , las ecuaciones de las
asíntotas son x = 4n con n Z.
Con esta información, y tomando como base la gráfica de la función tan(x), se
obtiene la gráfica pedida.
Funciones trigonométricas inversas. Ramas principales. Dominio, rango y gráfica de
las funciones trigonométricas inversas
1. Construye la gráfica de la función f(x) = 5 arctan (x - 2) – 3
La gráfica se obtiene haciendo operaciones de traslación y escala en la gráfica de
arctan(x).
Observemos que:
- La función arctan(x - 2) corta el eje x en el puntos = 2
- El factor 5 reescala el eje y
- El término -3 baja la gráfica en tres unidades, de manera que la imagen es :
(- - 3, -3) = (- 10.854, 4.85398).
En la figura se muestra la gráfica de la función.
2. Dada f(x) = , determina f-1
en caso de que exista.
Despejamos a x de y = :
y(2x - 1) = 3x + 2
2xy – y = 3x + 2
2xy – 3x = 2 + y
x(2y - 3) = 2 + y
x =
Al intercambiar las variables x y y, concluimos que f-1
= .
Observa que Df-1 = R –{3/2} mientras que la imagen es If-1 = Df = R –{1/2}
Tercera Unidad: Funciones exponenciales y logarítmicas.
1. Analiza cuidadosamente la función f(x) = y esboza su gráfica.
Podemos intuir lo siguiente:
a) Como e-x
> 0 para cualquier x R, Df = R lo que significa que la gráfica se
extiende a lo largo de todo el eje horizontal. Además, la función sólo toma
valores positivos menores que 1, por lo cual la gráfica se encuentra entre las
rectas y = 0 e y = 1 (sin tocarlas).
b) Por el lado negativo, al considerar valores hacia la izquierda en el eje x, el
denominador crece, por lo que f(x) “decrece aproximándose” a cero; mientras
que por el lado positivo, al tomar valores hacia el lado derecho del eje x, e-x
se
“acerca” al valor cero y por tanto f(x) se “aproxima” a la recta y = 1.
c) Finalmente notamos que f(0) = ½. El esbozo de la gráfica es:
2. Se invierten $ 50 000.00 a una tasa de3 interés nominal de 12%.
a) ¿Cuál será el monto cinco años más tarde si la capitalización es mensual?
b) ¿Cuál será el monto si la capitalización es continua?
a) Sustituyendo los valores correspondientes en la fórmula K = KO
( , se tiene que:
K = 50 000 (1 + )12 (5)
= 90 835 pesos
b) La fórmula correspondiente a capitalización continua es K =KO*eit, por lo tanto:
K = 50 000*e0.12 (5)
= 91 106 pesos
3. Una población de bacterias se encuentra en un ambiente que le permite crecer
exponencialmente con un tiempo de duplicación de 5 horas. En t = 0 hay 500 mil
bacterias, ¿cuántas habrá 20 horas más tarde?
Supón que P = P(t) representa el número de bacterias existentes al tiempo t.
Entonces, el crecimiento exponencial de este número se puede determinar por
P = Po bt, donde Po = 500 mil es el número inicial de bacterias. La duplicación en
cinco horas implica 2Po = Po b5, de donde b = . Por lo tanto, el crecimiento de
bacterias queda determinado por P = 500 ( )t o bien P = 500 (2)
t/5, donde P está
expresada en miles de bacterias y t en horas. Para t = 20 el tamaño de la población
será P = 500 (2)20/5
= 8 000 miles de bacterias = 8 millones de bacterias.
4. Indica el dominio y la imagen de f(x) = ln(x), y traza su gráfica.
Puesto que las funciones inversas intercambian dominio por imagen, y como ln(x)
es la inversa de ex, se puede deducir que Dln = (0, +∞) puesto que IExp = R porque
DExp = R. La gráfica de ln(x) es la reflexión especular de la gráfica de ex, tomando a
la recta y = x como el espejo plano.
5. Resuelve la ecuación log(x + 2) - log(x - 1) = log(4).
log( ) = log(4)
= , de donde = 4, o bien x+2 = 4x – 4
Finalmente, x = 2
Cuarta Unidad : Sistemas de coordenadas y algunos conceptos básicos.
1. ¿Qué es (12,5) en coordenadas polares?
Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):
r2 = 12
2 + 5
2
r = √ (122 + 5
2)
r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13
Usa la función tangente para calcular el ángulo:
tan( θ ) = 5 / 12
θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6°
2. ¿Qué es (13, 23 °) en coordenadas cartesianas?
Usamos la función coseno para x: cos( 23 °) = x / 13
Cambiamos de orden y
resolvemos:
x = 13 × cos( 23 °) = 13 × 0.921 =
11.98
Usamos la función seno para y: sin( 23 °) = y / 13
Cambiamos de orden y
resolvemos:
y = 13 × sin( 23 °) = 13 × 0.391 =
5.08
3. Determina la forma punto pendiente y la forma general de la ecuación de la recta que
pasa por los puntos (2, 5) y (4, 8), luego dibuja la gráfica de la misma.
Comenzamos calculando la pendiente:
m = =
Ahora sustituimos en la ecuación punto pendiente con (x1, y1) = (2, 5) (a propósito, es
indistinto cuál de los dos puntos se elija, si se elige (x1, y1) = (4, 8), ¡el resultado es el
mismo!):
y – 5 = (x - 2)
y – 5 = x – 3
Al despejar, obtenemos la forma punto pendiente,
y = x + 2
Si multiplicamos por 2 cada lado de esta ecuación y pasamos los términos con variables
juntos obtenemos la forma general:
3x – 2y = -2
Para la gráfica, basta con dibujar dos puntos. Podemos utilizar los puntos dados
originalmente, (2, 5) y (4, 8). Otra forma consistente en trazar su gráfica a partir de las
intersecciones con los ejes coordenados.
4. En el triángulo GAW , GA // QK ( segmentos paralelos )
AK = 4 , KW = 8 , GQ = 5
Encuentra QW =?
QW
GW
KW
AW
QW
QW
5
8
84
QW * 1.5= 5 + QW
1.5QW – QW = 5
QW = 10
5. Calcular el ángulo formado por las rectas r: y = 3x + 5; y s: y = -2x + 1
m de r m=3 & m de s m = -2
tan α = )2)(3(1
)2(3
´))((1
´
mm
mm = 1 α = 45
Discusión de ecuaciones algebraicas
1. Determina los puntos de intersección con los ejes a partir de la recta y=2x+3
Para sacar la intersección con el eje "y" (ordenada) hacemos x cero
y = 2*0 + 3
y=3
Esta función corta al eje "y" en y= 3
Para sacar la intersección con el eje "x" (abscisa) hacemos y cero
0 = 2x+3
-3 = -2x
x = -3/2
Esta función corta al eje "x" en x = -3/2
W
A G
K Q
2. Determinar el punto simétrico al punto (-2, 3) con respecto del eje x, del eje y y del
origen.
El punto simétrico al punto (-2, 3) con respecto del eje y es el punto con la misma
“altura” que (-2, 3); por lo tanto, su coordenada y es 3. Está a la misma distancia del eje
x, sólo que del lado opuesto de este eje; por lo tanto, su coordenada x es 2. El punto es
(2, 3).
El punto simétrico al punto (-2, 3) con respecto del eje es el punto con la misma
coordenada x que (-2, 3), que es -2. Está a la misma distancia del eje y, sólo que del lado
opuesto de este eje; por lo tanto, su coordenada y es -3. El punto es (-2, -3).
El punto simétrico al punto (-2, 3) con respecto del origen es el punto con coordenadas
(x, y) opuestas, que es (2, -3). Véase al figura 2.74.
3. Determinar el dominio y rango de la siguiente función:
y=
Puesto que, si la variable x tiene un valor menor a 4, el numero dentro de la raiz seria negativo y el resultado
final seria un numero imaginario. con esto , si el valor mas pequeño que puede tener x=4 entonces y=0
después de resolver la ecuación.
Dominio = [4, )
Rango = [ )
4. Calcula la asíntota horizontal y vertical de f(x) =
a) Asíntota horizontal:
Primero debemos identificar n y m:
En este caso el grado del numerador es 0, la n = 0; y el grado del denominador es 1,
la m = 1.
Como n < m. y = 0 por lo que podemos concluir que la asíntota horizontal es el eje x
b) Asíntota vertical:
Debemos simplificar al máximo la función. Luego, igualar el polinomio del
denominador a cero y despejar la variable. Eso será la asíntota vertical, es así que
procederemos a resolver:
f(x) = x – 1 = 0
x = 1
Podemos concluir que la asíntota vertical está en x= 1.
5. En el aeropuerto de una cierta ciudad dos compañías se disputan los clientes interesados
en viajar del aeropuerto a cualquier sitio de la urbe. La compañía “Viaje Seguro” cobra
por kilómetro recorrido 3.50 pesos por kilómetro y 25 pesos de cuota inicial. En cambio,
la compañía “Los Pequeños Aquiles” ofrece un costo por kilómetro recorrido de 2.60
pesos, pero cobra una cuota inicial de 40 pesos. ¿En cuál de las dos compañías
convendrá viajar?
Organizamos la información que se nos proporciona de las dos compañías.
La compañía “Los Pequeños Aquiles” cobra una alta cuota inicial, pero ofrece un menor
costo por cada kilómetro recorrido que la compañía “Viaje Seguro”, que a cambio de
cobrar una cuota superior por cada kilómetro recorrido cobra una menor cuota inicial. Lo
anterior significa que la respuesta a la pregunta de cuál es al compañía en la que
conviene viajar dependerá del número de kilómetros que el usuario necesite recorrer. Si
el pasajero viajará grandes distancias, le convendrá la compañía “Los Pequeños
Aquiles”, porque cobra una menor cuota por kilómetro recorrido y él recorrerá muchos;
en cambio, si el usuario recorrerá una distancia corta, le convendrá usar la compañía que
cobra menor cuota inicial. Para que nuestra respuesta sea consistente, es necesario
ocuparse de contestar qué significa “grandes distancias” y “distancia corta”, es decir, hay
que preocuparse por resolver cuántos kilómetros tendrá que recorrer el usuario para que
la compañía “Viaje Seguro” deje de ser conveniente para él y le convenga usar la
compañía “Los Pequeños Aquiles”.
Observamos que el número de kilómetros es nuestra variable independiente. El costo de
viaje depende de ello; por lo tanto, se pueden establecer las ecuaciones del costo del
viaje en función del número de kilómetros recorridos para cada compañía:
Para observar mejor la tendencia de las dos compañías, se puede recurrir a una tabla y a
la gráfica de ambas ecuaciones. Observamos que la variable independiente es la
distancia recorrida y la dependiente es el costo del viaje, de modo que la primera irá en
el eje de las abscisas y la segunda en el eje de las ordenadas.
Tanto en la tabla como en la gráfica observamos que el costo por el viaje es superior en
la compañía “Los Pequeños Aquiles”, si la distancia recorrida está entre 0 y 16
kilómetros aproximadamente; a partir de ahí, la compañía “Viaje Seguro” comienza a
ser más cara para el usuario que debe recorrer una distancia mayor a 16 kilómetros
aproximadamente. Es decir, la cuota que buscamos está alrededor de los 16 kilómetros,
pero no la conocemos con exactitud porque la tabla o la gráfica no nos lo permiten.
Podríamos hacer una tabla más precisa, pero también recurrir a una herramienta
matemática.
Observamos que la cuota que buscamos es donde ambas compañías cobran lo mismo, es
decir, donde el costo es igual para las dos, que también es el punto de intersección de las
rectas que describen el comportamiento de ambas. De modo que nos encontramos ante
un sistema de ecuaciones del que queremos conocer el valor de sus variables que hace
que ambas ecuaciones se cumplan. Resolveremos el sistema de ecuaciones por el método
de suma y resta, aunque sabemos que es posible usar cualquier otro método que se nos
facilite.
La ecuación del costo del viaje para La ecuación del costo del viaje para la
la compañía “Viaje Seguro” compañía “Los Pequeños Aquiles” es:
C = 25 + 3.5d C = 40 + 2.6d
Nos conviene eliminar la variable C porque tiene coeficiente 1 en ambas. Basta con
multiplicar por (-1) cualquiera de las dos ecuaciones para eliminar la variable.
Multiplicaremos por (-1) la ecuación de la compañía “Los Pequeños Aquiles” y la
sumaremos con la ecuación de la compañía “Viaje Seguro”.
C = 25 + 3.5d
-C = -40 – 2.6d
0 = -15 + 0.9d
De la ecuación resultante, ya es posible despejar d:
d = = = 16.667
sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales para conocer C:
C = 25 + 3.5 ( )
C = = 83.333
Comprobemos la solución en las ecuaciones originales:
C = 25 + 3.5d C = 40 + 2.6d
= 25 + 3.5 ( ) = 40 + 2.6( )
= 25 + = 40 +
= =
La igualdad se cumple en ambas ecuaciones; por lo tanto, el par ordenado : ( , ) es
la solución al sistema de ecuaciones propuesto.
El resultado es algo que ya esperábamos, porque queríamos una idea de cuál sería la
solución por la tabla y la gráfica que elaboramos, de modo que podemos estar seguros
que esa solución no sólo es correcta desde la perspectiva matemática, sino también en el
contexto del problema.
Por lo tanto, la solución al problema propuesto será:
Si el usuario de los taxis recorre una distancia menor a 16.67 kilómetros, le convendrá
usar la compañía “Viaje Seguro”; en cambio, si el usuario necesita recorrer una
distancia superior a 16.67 kilómetros le convendrá usar la compañía “Los Pequeños
Aquiles”. Cuando el usuario desea recorrer 16.67 kilómetros, le dará lo mismo usar
cualquiera de las dos compañías, ya que ambas le cobrarán lo mismo: 83.33 pesos.
Sexta Unidad: Ecuación de primer grado
1. Determina el significado geométrico de la pendiente de la ecuación lineal
-10x+5x=20
Primero despejamos y:
-10x+ 5y = 20
5y = 20 + 10x
y = 4 + 2x
Veamos de esta forma que la pendiente es m = 2 = 2/1, lo que quiere decir que para
cada avance vertical hacia arriba de dos unidades se tiene un avance horizontal hacia
la derecha de una unidad.
Observa que debido al significado geométrico de la pendiente, si la pendiente es
positiva, la recta se inclina hacia la derecha, mientras que si la pendiente es negativa
la recta se inclina hacia la izquierda.
¿Qué sucede desde le punto de vista geométrico cuando la pendiente de una recta es
0?. La respuesta es simple, si la pendiente es 0, m = 0 = 0/1, por lo que por cada
avance horizontal hacia la derecha, no hay avance hacia arriba, es decir, la recta no
tiene inclinación, es una recta horizontal.
Por cierto, en este caso la forma punto pendiente de la ecuación es y =b. en otras
palabras, no aparece la variable x para la ecuación de una línea horizontal.
Otro caso importante lo constituyen las líneas rectas verticales. Para éstas, la
pendiente no existe y en la ecuación no aparece la variable y. la ecuación es de la
forma x = k con k una constante.
El coeficiente b que aparece en la forma punto pendiente (3), representa la
intersección de la recta con el eje y.
Así como para determinar la pendiente de una línea recta bastan dos puntos, también
para construir su gráfica es suficiente trazar dos puntos por los que pase la recta para
dibujar la misma.
De la misma forma, la ecuación de una recta se puede obtener a partir de dos puntos
por los que pase la recta:
Si (x1, y1) y (x2, y2) son puntos de una recta que no es vertical, entonces su ecuación
está determinada por:
y - y1 = m(x – x1)… (5). Con m =
Por cierto, no importa el orden en que consideren los puntos , esto es, también una
ecuación de la recta es y – y2 = m(x – x2). Por ejemplo, para determinar una ecuación
de la recta con los puntos (2, 5) y (4, 8).
2. Dada la ecuación lineal 2x + 3y = 12, determina la forma punto pendiente, la
pendiente, las intersecciones con los ejes coordenados, tres puntos por los que pase
la recta y dibuja la misma.
La forma punto pendiente se obtiene despejando y:
2x + 3y = 12
3y = 12 – 2x
y = 4 - x
Así la pendiente es m = -2/3, y la intersección con el eje es b = 4 o el punto (0, 4). La
intersección con el eje x la obtenemos al hacer y = 0 y despejar para x:
0 = 4 - x
x = 4
Por lo que obtenemos el punto (6, 0). Podemos utilizar estos puntos para obtener la
gráfica:
Y tenemos dos puntos de la recta, (0, 4) y (6, 0). Para determinar otros puntos,
damos un valor para x y despejamos para y, elegimos, por ejemplo x = 3, entonces y
= 4 –(2/3) (3) = 4 – 2 = 2, es decir, un tercer punto por el que pasa la recta es (3, 2).
3. Determina la forma punto pendiente de la ecuación de la recta que pasa por el punto
(-2, 1) y que es:
a) Paralela a la recta 4x – 2y = 12
b) Perpendicular a la recta 4x – 2y = 12
Al despejar y de 4x - 2y = 12, encontramos que la recta dada tiene pendiente m=2
a) Como nos piden la recta paralela, m = 2 es también la pendiente de la recta que
buscamos.
y – 1 = 2(x + 2)
y = 2x + 5
b) Buscamos ahora la recta perpendicular, si m es la pendiente de esta recta,
entonces m = -1/2 de acuerdo con el teorema anterior. Por lo tanto, la ecuación
es:
y – 1 = - (x + 2)
y = - x
Séptima Unidad: Ecuación general de segundo grado.
1. Grafica la siguiente función e indica su dominio, los intervalos de crecimiento y de
decrecimiento.
1-3x- )( xf
El dominio de la función es x ≤ -1/3 ; como a = -3 < 0, la parábola abre a la
izquierda; luego, es decreciente en todo su dominio y su gráfica es:
2. Un avión sale del aeropuerto de la ciudad de México y vuela a una altura de 3700
pies. El piloto debe comunicarse a la torre de control hasta que la distancia en
diagonal del avión al aeropuerto sea de 7000 pies. El piloto necesita conocer la
distancia horizontal que habrá recorrido el avión en ese momento y la gráfica de la
distancia.
a) Identifica las variables
Sea x la distancia en diagonal del aeropuerto al avión y sea d la distancia
horizontal recorrida por el avión.
b) Expresa todas las cantidades en términos de la variable (diagrama o tabla)
Usando el teorema de Pitágoras, la distancia horizontal es de
d(x)=
c) Establece una función
La función que modela la distancia horizontal recorrida por el avión es:
d(x)=
d) Resuelve el problema y verifica tu respuesta
Hay que encontrar el valor de la distancia horizontal cuando x = 7000 pies;
evaluando, tenemos:
d(x)= = 5942.22 ft
La representación gráfica es la semihipérbola horizontal:
Verificamos nuestra respuesta comparando nuestra gráfica con el resultado que
obtuvimos y observamos que los valores de la función distancia son iguales.
3. Grafica la siguiente función; indica dominio, así como los intervalos de crecimiento
y de decrecimiento.
f(x) = -
El dominio de la función es - ≤ x ≤ ; el semicírculo es decreciente en
- ≤ x ≤ 0 y creciente en 0 ≤ x ≤ , y su gráfica es:
4. La población de San Juan desea construir un puente de un arco de piedra sobre el río
del mismo nombre que vaya de orilla a orilla. El río mide 10 metros de ancho y
desean que bajo el puente pasen botes de 2 metros de alto; por ello, le han sugerido al
arquitecto Luis Fuentes que deje un espacio libre de 1 metro hacia arriba. El
arquitecto desea graficar la función que represente el arco del puente, pero además se
ha enterado de que las embarcaciones miden cuatro metros de ancho y desea saber si
la altura del arco es suficiente para librar un bote que pase exactamente por el centro
del río.
a) Identifica las variables
Si tomamos el centro del río como el origen de coordenadas, tenemos que el
puente debe tener el diagrama siguiente:
b) Expresa todas las cantidades en términos de la variable
De los datos, suponemos que el puente tomará la forma de una semielipse
horizontal; entonces, la forma estándar de la ecuación de la elipse es:
+ = 1
c) Relaciona las cantidades
De los datos, concluimos que el semieje mayor es de cinco metros y el semieje
menor es de tres pulgadas, por lo que la ecuación queda como: + = 1
d) Establece una función
Luego, la función que representa la semielipse es 2x-25
5
3 )( xg
La gráfica que representa esta función es:
e) Resuelve el problema y verifica tu respuesta
Cuando el bote pase exactamente por el centro del río es cuando x = 2; la altura
del arco será:
22-255
3 )2( g = = 2.75 m
luego, el barco tendrá suficiente espacio para cruzar debajo del puente, lo cual
comprobaremos al comparar nuestro resultado con la gráfica obtenida.
Octava Unidad: Circunferencia.
1. Determina la ecuación, centro, radio y la ecuación general de la circunferencia que
tiene centro en C(4, -7) y radio 5.
La ecuación centro radio es:
(x - 4)2 + (y –(-7))
2 = 5
2 ó (x - 4)
2 + (y + 7)
2 = 25
Para obtener la ecuación general, simplemente desarrollamos el paréntesis y
simplificamos:
x2 + y
2 – 8x + 14y + 16 + 49 = 25
De esta forma obtenemos:
x2 + y
2 – 8x + 14y + 40 = 0
2. Bastan tres puntos para determinar la ecuación de una circunferencia.
Determina la ecuación en su forma general de la circunferencia que pasa por los
puntos A(2, -1), B(-4, -3) y C(0, 3).
Tenemos dos métodos de solución. El primero radica en observar que al sustituir las
coordenadas de A, B y C obtenemos respectivamente las ecuaciones
(2)2 + (-1)
2 + D(2) + E(-1) + F = 0 5 + 2D – E + F = 0
(-4)2 + (-3)
2 + D(-4) + E(-3) + F = 0 ó 25 – 4D – 3E + F = 0
(0)2 + (3)
2 + D(0) + E(3) + F = 0 9 + 3E + F = 0
Al resolver este sistema de ecuaciones lineales 3 * 3, obtenemos D = , E = y
F =- , por lo que la ecuación en su forma general es:
X2 + y
2 + x + y - = 0
El segundo método de solución consiste en recordar que la intersección de dos
mediatrices de dos cuerdas no paralelas se intersecan en el centro de la
circunferencia. De esta forma, el centro corresponde a la intersección de las rectas
bisectrices de los segmentos de la recta AB y BC, en tanto que el radio lo calculamos
como la distancia del centro a uno de los puntos A o B o C.
- Calculamos la bisectriz del segmento AB:
El segmento tiene punto medio M( , ) ó M( -1, -2). Por lo que
buscamos una ecuación de la recta que pasa por M y es perpendicular a la recta
que pasa por A y B.
La pendiente de la recta que pasa por A y B es m = , por lo que la pendiente
de la recta que buscamos es -1/m = -3. Finalmente, la ecuación es:
y + 2 = -3(x + 1) ó y = -3x -5
- Calculamos ahora la ecuación de la bisectriz del segmento BC.
La pendiente de este segmento es:
m = =
por lo que la pendiente de la bisectriz es -2/3 (por ser perpendicular al segmento
AC).
El punto medio del segmento tiene coordenadas:
( , ) = (-2, 0)
Al utilizar la fórmula punto pendiente, obtenemos:
y = - (x + 2) ó y = - x +
- Calculamos la intersección de las bisectrices al igualar sus ecuaciones:
-3x – 5 = - x +
de donde obtenemos x = - , y = - , que corresponden precisamente a las
coordenadas del centro de la circunferencia.
- El radio es entonces la distancia del centro al punto A:
R = =
Por lo que la forma punto centro de la ecuación de la circunferencia es:
+ =
3. Determina el centro y el radio de la circunferencia definida por x2 y
2-10x + 2y + 17=
0
Para cambiar de la forma general a la forma centro radio, basta completar el cuadro
para x y para y.
X2 + y
2 – 10x + 2y + 17 = 0
(x2 – 10x) + (y
2 + 2y) + 17 = 0
Para x sumamos 25 a cada lado de la ecuación y para y sumamos 1 a cada lado:
(x2 – 10x + 25) + (y
2 + 2y + 1) + 17 = 25 + 1
(x - 5)2 + (y + 1)
2 + 17 = 26
(x - 5)2 + (y - 1)
2 = 9
Esta ecuación nos indica que el centro es C(5, -1) y el radio es 3.
4. Encuentra la ecuación de la circunferencia, de radio 3, que es tangente en el punto
P(2, 3) a la recta L: y = x + 2
Como conocemos el radio, bastará determinar las coordenadas del centro C(h, k).
Puesto que la recta L es tangente a la circunferencia, el centro de la circunferencia se
encuentra sobre la recta que es perpendicular a L y que pasa por el punto de tangencia
P, que llamaremos S. la recta S tiene pendiente m = -2, por lo que su ecuación es:
y – 3 = -2(x-2)
S: y = 7 – 2x
Buscamos, de esta forma, las coordenadas del punto C(h, k), de tal forma que cumpla
dos condiciones: a) que esté sobre la recta perpendicular, S, y b) que su distancia a la
recta tangente, L, sea igual al radio.
Cada condición nos da lugar a una ecuación:
k = 7 – 2h….. a
= 3……….. b
(para la ecuación (b), recuerda que la forma general de L es –x +2y = 4).
Sustituimos la ecuación (a) en la (b) y despejamos el valor de h:
= 3
= 3
= 3
Elevamos cada lado de la ecuación al cuadrado para quitar el valor absoluto:
(10 – 5h)2 = 45
Al resolver esta ecuación cuadrática, obtenemos dos valores para h:
h = 2 + y h = 2 -
Al sustituir cada valor de h en la ecuación (a), obtenemos dos valores para k:
k = 3 - y k = 3 +
De esta forma, obtenemos dos soluciones:
C1 (2 + , 3 - ) y C2 (2 - , 3 + )
Por lo tanto, existen dos circunferencias tangentes a L en el punto P de radio 3:
(x - 2 - )2 + (y - 3 + )
2 = 9 y (x - 2 + )
2 + (y - 3 -
)2 = 9
Es fácil darnos cuenta en la gráfica que efectivamente existen dos soluciones.
5. Determina si la ecuación x2 + y
2 – 4x + 3y + = 0 corresponde a una
circunferencia, una circunferencia degenerada o una circunferencia imaginaria.
Tenemos, D = -4, E = 3 y F = . Así D2 + E
2 – 4F = 4. Esto nos indica que la
ecuación corresponde a una circunferencia de radio 2. Su ecuación centro radio se
obtiene de completar los cuadrados:
(x - 2)2 + (y + )
2 = 4
Novena Unidad: Parábola.
1. Determina la ecuación, en su forma general, de la parábola con vértice en V(2, 3) y
foco en F(2, 1)
Siendo h = 2, k = 3 y k + a = 1, es decir a = -2, la ecuación es:
(x - 2)2 = 4(-2)(y - 3)
Al desarrollar y pasar todos los términos del lado izquierdo de la ecuación,
obtenemos la forma general:
x2 - 4x + 4 = -8y + 24
x2 – 4x + 8y – 20 = 0
2. Determina la longitud del lado recto de la parábola del ejercicio anterior.
El lado recto corresponde al segmento de línea paralelo a la directriz que pasa por el
foco. En este caso, la directriz es horizontal. Por ello, los extremos del lado recto
corresponden a las intersecciones de la recta horizontal y = 1 con la parábola. Tales
intersecciones se obtienen sustituyendo y = 1 en la ecuación
x2 – 4x + 8(1) – 20 = 0
x2 – 4x – 12 = 0
(x + 2)(x - 6) = 0
El lado recto es el segmento de línea que une los puntos (-2, 1) con (6, 1), por lo que
su longitud es de ocho unidades.
3. Encuentra la ecuación, en su forma estándar, así como el vértice y el foco de la
parábola horizontal que pasa por los puntos P(3, 1), Q(0, 3) y R(8, 11)
Como la parábola es horizontal, sustituimos los puntos dados en la ecuación (5) y
obtenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
(1)2 + D(1) + E(3) + F = 0 D + 3E + F = -1
(3)2 + D(3) + E(0) + F = 0 ó 3D + F = -9
(11)2 + D(11) + E(8) + F = 0 11D + 8E + F = -121
Al resolver este sistema, obtenemos D = -10, E = -4, F = 21, por lo que la ecuación
general de la parábola es:
Y2 – 10y – 4x + 21 = 0
Para determinar el vértice y el foco, debemos encontrar la forma estándar de la
ecuación. Para esto, basta escribir los términos en y en el lado izquierdo y los demás
en el lado derecho de la ecuación, así como completar el cuadrado:
y2 -10y = 4x -21
y2 – 10y + 25 = 4x – 21 +25
(y - 5)2 = 4(x + 1)
vemos que el vértice es V(-1, 5) y el foco es F(0, 5)
4. Grafica la siguiente parábola:
y = x2 – 1
1º Como a > 0 a = 1 U
2º Calculamos las coordenadas del vértice:
x = 2
0
2a
b- x = 0
y = 0 – 1 y = -1 V(0, -1)
3º Puntos de corte con los ejes
- Para conocer donde corta en x igualamos y = 0:
x2 – 1 = 0 x = ± 1 (1, 0) y (-1, 0)
- Para conocer donde corta en y igualamos x = 0:
y = -1 (0, -1)
4º Tabla de valores
Procuraremos escoger valores simétricos al valor que tenga la x del vértice:
x y
2 3
1 0
0 -1
-1 0
-2 3
5º Graficar
Empezamos representando el vértice.
Representamos el resto de los puntos.
Unimos y obtenemos la gráfica. Estará
Formada por dos ramas simétricas
respecto al eje de simetría de la parábola.
5. Grafica la siguiente parábola:
y = -x2 - 1
1º Como a > 0 a = -1
2º Calculamos las coordenadas del vértice:
x = 2
0
a
2b-
x = 0
y = 0 – 1 y = -1 V(0, -1)
3º Puntos de corte con los ejes
- Para conocer donde corta en x igualamos y = 0:
-x2 – 1 = 0 x =0 (0, 0)
- Para conocer donde corta en y igualamos x = 0:
y = -1 (0, -1)
4º Tabla de valores
Procuraremos escoger valores simétricos al valor que tenga la x del vértice:
x y
2 -5
1 -2
0 -1
-1 -2
-2 -5
5º Graficar
Empezamos representando el vértice.
Representamos el resto de los puntos.
Unimos y obtenemos la gráfica. Estará
Formada por dos ramas simétricas
respecto al eje de simetría de la parábola.
Décima Unidad: Elipse.
1. Determina los vértices, los focos y la longitud de los lodos rectos; luego, dibuja la
elipse dada por 9x2 + 16y
2 = 144
Dividimos cada lado de la ecuación por 144 para encontrar la forma estándar de la
ecuación:
+ =
+ = 1
Como a = 4 y b = 3, la elipse es horizontal con centro en el origen. Sus vértices son
(4, 0), (-4, 0), (0, 3) y (0, -3).
Para determinar los focos, recuerda que b2 = a
2 – c
2 ó c = , por lo que en
este caso, c = = . De esta forma, los focos son F1(- , 0) y F2( ,
0)
El lado recto mide = = =
2. Encuentra la forma estándar de la ecuación de la elipse dada por 49x2 + 24y
2 – 98x –
96y – 1031 = 0, y grafícala.
Primero complementamos los cuadrados en las variables x y y:
49x2 – 98x + 24y
2– 96y – 1031 = 0
49[x2 – 2x] + 24[y
2 – 4y] – 1031 = 0
49[x2 – 2x + 1 - 1] + 24[y
2 – 4y
+ 4 - 4] – 1031 = 0
49[(x - 1)2 - 1] + 24[(y - 2)
2 - 4] – 1031 = 0
49(x - 1)2 + 24(y - 2)
2 = 1176
Al dividir cada lado de la ecuación por 1176, obtenemos la forma estándar:
+ = 1
Vemos que se trata de una elipse vertical con centro en C(1, 2) y con a = y b = 7
3. Encuentra una ecuación del lugar geométrico de todos los puntos medios de las
ordenadas de la circunferencia x2 + y
2 = 64
Las ordenadas de la circunferencia tienen ecuación y = , por lo que los
puntos tienen ecuación y = ó 2y = . Al despejar,
obtenemos:
+ = 1
4. Determina qué tipo de elipse representa la ecuación 3x2 + 4y
2 – 6x + 4y + 4 = 0
Podemos utilizar el signo de A( )2 + B( )
2 – F, pero preferimos completar los
cuadrados en cada variable:
3[x2 – 2x] + 4[y
2 - y] + 4 = 0
3[x2 – 2x + 1 - 1] + 4[y
2 + y + ¼ - 1/4] + 4 = 0
3[(x - 1)2 - 1] + 4[(y + 1/2)
2 – 1/4] + 4 = 0
3(x - 1)2 + 4(y + 1/2)
2 = 0
Vemos así que la ecuación representa una elipse degenerada; esto es, representa
solamente un punto: (1, -1/2).
5. Determina la excentricidad y las ecuaciones de las directrices de la elipse:
7x2 + 3y
2 + 28x – 6y + 10 = 0
Completamos los cuadrados para determinar la ecuación en forma estándar:
7[x2 + 4x] + 3[y
2 – 2y] + 10 = 0
7[(x + 2)2 - 4] + 3[(y – 1)
2 - 1] + 10 = 0
7(x + 2)2 + 3(y - 1)
2 = 21
Al dividir cada lado por 21, obtenemos:
+ = 1
Es decir, se trata de la elipse vertical con centro en C(-2, 1) y a = , b = y c = 2
De esta forma, la excentricidad es e = = . las directrices se deben trasladar de
acuerdo con el centro de la elipse: y = k ± ; en este caso, y = 1 + = y y =1 -
=-
Décima primera Unidad: Hipérbola.
1. Determina la forma estándar de la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y
focos F1(0, -3) y F2(0, 3), con un vértice en V1(-2, 0).
Se trata de una hipérbola vertical, por lo que b2 = c
2 – a
2 = 9 – 4 = 5:
- = 1
2. Determina una ecuación de la hipérbola con centro en C(2, 3), distancia focal 8 y
vértice en V1(2, 4).
Se trata de una hipérbola horizontal con c = 8/2 = 4, a = 1 y b2 = 16 – 1 = 15, por lo
que al aplicar la formula, obtendremos:
(x - 2)2 – = 1
3. Grafica la hipérbola - = 1
Las asíntotas son y = x y y = - x , que podemos trazar al dibujar el rectángulo con
centro en el origen de largo 6 y altura 4, así como alargar sus diagonales.
4. Grafica la hipérbola - = 1
Se trata de la hipérbola conjugada de la hipérbola del ejemplo anterior. Sus asíntotas
son, por lo tanto, las mismas, pero sus vértices son V1(0, -3) y V2(0, 3) y sus focos
son F1(0, ) y F2(0, - )
5. Traza juntas la hipérbola – = 1 y su conjugada.
La ecuación de la hipérbola conjugada es - = 1; ambas tienen su
centro en C(-1, 2), en tanto que las rectas asíntotas tienen ecuaciones, de acuerdo con
(7),
y = x + y y = - x +
MATEMÁTICAS VI
Límite de una función
1. Supón que f(x) y g(x) son dos funciones polinomiales y x0 es un número real fijo tal
que g(x0) ≠ 0. Calcula el .
Sabemos que = f(x0) y = f(g0) ≠ 0, por lo que una aplicación
de un teorema, nos asegura que = .
Después de los ejemplos tratados en este apartado, se podría pensar que el cálculo
de los límites se reduce simplemente a calcular la función en el punto en el que
deseamos calcular el límite; en realidad, esto será así en un buen número de
ejemplos. Sin embargo, esta situación no siempre se presentará, y será necesario
establecer algunos criterios que nos permitan calcular el valor del límite.
2. Calcula .
Análogamente a los ejercicios anteriores, tenemos que:
= = (1 + x + ) = 3.
3. Calcula el .
Tenemos que cot ( ) = ; de donde = y, por lo tanto,
= = 1.
Estos ejemplos muestran que el cálculo de límites de funciones racionales es
relativamente simple. Todo depende del valor del numerador en el punto donde
queremos calcular el límite. Si numerador y denominador se anulan, entonces se
debe simplificar la expresión antes de calcular el límite.
4. ¿Existirá el ?
Para analizar este caso, notemos que
- 1 si x < 0
x 1 si 0 < x
por lo tanto,
= -1 y = 1.
Observa que, aunque existen los límites laterales, éstos no son iguales y, en
consecuencia, el no existe.
5. Calcula el ln(x)
Para calcular este límite, debemos recordar que la función logaritmo es la inversa de
la exponencial. De ésta sabemos que para valores muy pequeños negativos de x, ex
es positivo y muy cercano a 0; de hecho, mientras más pequeño es x más cercano a
cero es ex. la situación inversa nos conduce a ln(x) = -∞ .
6. Calcula el .
Calculamos primero el límite lateral por la izquierda; en este caso tenemos que:
= - = - = -
∞ .
Para el límite lateral por la derecha, se tiene que:
= = = ∞ .
De donde puedes concluir que el límite no existe.
7. Calcula , si es que existe.
Estos casos también son muy comunes y la recomendación es hacer la división
entre los dos polinomios para escribir = 3x + ; nota que
cuando x tiende a infinito, el primer término tiende a ∞ pero el segundo a 0 y, por
tanto, = ∞. Lo interesante de este ejemplo es que el
comportamiento asintótico de la función cuando x tiende a ∞, es acercarse a la recta
y = 3x.
8. Calcula el .
Las funciones exponencial y logarítmica son crecientes y si N es un número
positivo arbitrariamente grande, sabemos que y, para todo x > lnN, de tal
manera que = ∞ .
La derivada
1. Un vehículo se mueve de acuerdo a la función de posición
x(t) = t2 + 4t + 3
Determina la velocidad media en el intervalo de tiempo (1, 3), y la velocidad
instantánea en el tiempo t = 1.
La velocidad media en el intervalo (1, 3) se calcula usando
v = = = 8 m/s.
Para la velocidad instantánea usamos la definición
v = = = =
= = 6 m/s
2. Determina las derivadas de las funciones siguientes en los puntos indicados. Usa la
definición de razón instantánea de cambio.
a) f(x) = x1/3
en a = 0.
b) g(x) = en a = 3.
c) F(x) = en a = 0.
Directamente de la definición se tiene que:
a) f’(0) = = = ∞ . Es obvio que la derivada no existe, pero la
recta tangente es vertical.
b) g’(3) = = Aplicamos la definición
= Multiplicamos y
dividimos por el
conjugado
= Simplificamos
= = = Calculamos el límite
c) F’(0) = Usamos la
definición
= Simplificamos
= Desarrollamos
= Simplificamos
= = = Calculamos el
límite
Bibliografía
1.- Lehmann, Charles , Geometría Análitica. México, Limusa, 1994
2.- Nichols, Eugene et al., Geometría moderna . México, Cecsa, 1994
3.- Purcell, Edwin J. Limusa, et al., Cálculo Diferncial e Integral. México, Prentice Hall, 1984
4.- Rangel, Luz María, Relaciones y Funciones. México, Reverté, 1988