CONVERSIONES DE RADIANES A GRADOSCmo vimos anteriormente en la conversin de Grados a Minutos y Segundos, en la conversin de Radianes a Grados se aplica el mismo procedimiento.Veamos un ejemplo:

1. Lo describimos de la siguiente manera: Lo que se hizo en ste primer paso, fue convertir los radianes a grados,multiplicando los ( 5 x 180 = 2827.4334) recordemos que se multiplica la funcin en la calculadora o ya que sabemos que es equivalente a

3.1415927. Luego multiplicamos los (22 x = 69.115038). Ahora

dividimos los resultados: 2827.4334 69.115038, teniendo como

respuesta 40.909091. No olvidar las unidades equivalentes. Aqu contamos

con los 40 Grados. 2. Luego utilizando los 40.909091 empezamos a convertirlos en Grados, Minutos y Segundos. As: Seleccionamos la parte decimal .909091 x 60 ' = 54.54 ' Tenemos 54 ' Minutos

3. Teniendo los 54.54 ', nuevamente seleccionamos la parte decimal para pasarlos a segundos. 0.54 ' x 60 '' = 32.4 '' quedando 32 '' Segundos 4.Cmo respuesta tenemos R/ 40 54' 32 '' CONVERSIONES DE GRADOS A RADIANESAhora trabajaremos otro ejemplo diferente:a)Convertir 38 15' 16 '' a Radianes. 1. Primero, pasaremos las cantidades a Grados, contando ya con los 38. 2. Pasamos los 16'' a Minutos,

Ahora sumamos los 0.2666 minutos con los 15 minutos que ya se tienen,

Obteniendo 15.2666 minutos. 3. Ahora trabajamos con los 15.2666 seleccionando los decimales para convertirlos en segundos. Sumamos los 38 + 0.2544 , quedando 38.2544 . 4. Ya teniendo las cantidades en Grados, procedemos a pasar los 38.2544 a Radianes. La respuesta es 0.6676 Radianes, pero tenemos que pasarlo en funcin de Radianes, as que los 0.6676 Radianes lo dividimos por el valor de . 5. Nuestra Respuesta final es R/ 0.2125 .CONVERSIN DE UNIDADESEn la mayora de situaciones y por causa de diversas cantidades con unidades diferentes,se requiere convertir la medicin de una unidad en otra, por lo que mencionamos algunospasos que nos facilitarn el proceso de conversin.1. Primero, debemos escribir la cantidad que deseamos convertir, lo podemos representar para mayor entendimiento por medio de un Diagrama. (Ms adelante

se ejemplifica).

2. Se tienen que definir las unidades a convertir en las unidades requeridas.3. Los factores de conversin tienen que ser recprocos, uno del otro, por lo que siempre existirn dos factores.4. Se multiplicarn las cantidades a convertir por los otros factores (Tanto Numeradores como Denominadores).5. Se dividen los resultados dados en el paso anterior.6. Y por ltimo, se eliminan las unidades, quedando solamente las deseadas.En Mecnica, siendo una de las reas principales de la Fsica, se utilizan ciertas Magnitudes Fundamentales que son indispensables para la mayor parte de las aplicaciones. Empezaremos a estudiar cada una de stas magnitudes, con sus ejemplos

para mayor comprensin.

MAGNITUDES FSICAS FUNDAMENTALES

Desde las Sociedades Primitivas el hombre siempre tuvo la necesidad de medir,por lo que utilizaban partes del cuerpo humano como la pulgada, palmada, pie, brazada; pero amedida que se daba el intercambio econmico entre los pueblos, se presentabael problema de no coincidir con los mismos patrones de medicin, vindose afectadosy obligados a la necesidad de crear un Sistema Internacional de Unidades.El Sistema Internacional de Unidades conocido por sus Siglas (SI)parte de las siguientes Magnitudes Fundamentales:1. La Longitud.2. La Masa.3. El Tiempo.4. La Carga Elctrica.Tambin detallamos un Sistema de Unidades para cada una de las Magnitudes: 1)Sistema M.K.S= Metro, Kilogramo, Segundo.2) SistemaC.G.S= Centmetros, Gramos y Segundo.3)Sistema Ingls= Pie, Libras, Masa, Segundo.4)Sistema Tcnico= Metro, UTM (Unidad Tcnica de Masa), Segundo.Ahora estudiaremos cada uno de las magnitudes con sus respectivos sistemas,aplicando ejercicios de conversin.UNIDADES FUNDAMENTALES DE LONGITUDLa Longitud como Magnitud Fsica se puede expresar por medio de ciertas unidades,las cules poseen sus respectivasequivalencias, describiremos algunas que nos facilitarn a la realizacinde los ejercicios de conversin. Ejemplos:a)Convertir 2593 Pies a Yardas. 1. Antes de empezar, es necesario aclarar que algunas equivalencias no se encuentran en las unidades que se requieren, por lo que es

necesario hacer dos o ms conversiones para llegar a las unidades deseadas.

Ahora bien, para simplificarlo, lo trabajaremos como regla de tres representndolo de la siguiente manera:

2. Cmo llegamos a sta respuesta? Bueno, como se mencion en el primer paso, empezamos a simplificar por medio de regla de tres, nos damos cuenta que la

primera conversin realizada no se encuentra en las unidades requeridas, por lo que ha sido necesario primero convertir las unidades de pies a metros y por ltimo de metros a yardas, las cuales son las unidades que deseamos.

3. Por medio del Diagrama se van tachando las unidades que no necesitamos hasta llegar las requeridas.

4. Como ltimo paso, se multiplican las cantidades, es decir, los 2593 por la equivalencia 1.094 yardas ambas funcionando como Numeradores; luego multiplicamos

3.281 Pies x 1 Metro, funcionando como Denominadores.

5. Por ltimo dividimos los resultados, el Numerador con el Denominador, es decir el resultado de multiplicar 2593 x 1.094 que es igual a 2836.74 entre el resultado de multiplicar 3.281 Pies x 1 Metro que es 3.281;

obteniendo como resultado los 864.59 Yardas. OJO! En el Diagrama nicamente eliminamos Unidades (pies, metros) no Cantidades, las cantidades se multiplican o se dividen segn sea el caso. Veamos otro ejemplo: b) Convertir 27,356 Metros a Millas

1. Realizndolo por medio del Diagrama y Regla de Tres nos quedara as:

2. Aplicamos el mismo procedimiento, eliminando unidades hasta llegar a las unidades requeridas.

3. Luego multiplicamos las cantidades (27,356 x 1) como Numeradores y (1000 x 1.61) como Denominadores.

4. Procedemos a dividir 27,356 1,610, obteniendo como respuesta 16.99 Millas.UNIDADES FUNDAMENTALES DE MASAAl igual que las unidades de Longitud, tambin existen unidades de Masa.

Ejemplo: a) Convertir 386 Kilogramos a Libras. 1. Cmo en las Conversiones de Longitud, realizamos el mismo procedimiento. Vamos eliminando las unidades, 1 Kilogramo equivale a 1000 Gramos, 1 Libra equivale a 453.6 gramos. 2. Luego multiplicamos Numeradores (386 x 1000) = 386,000 y (1 x 453.6) = 453.6. 3. Por ltimo dividimos los 386,000 453.6, dndonos un resultado de 850.97 Libras.UNIDADES FUNDAMENTALES DE TIEMPOAhora tenemos algunas Unidades de Tiempo:

Ejemplo: a) Convertir 2,352 Segundos a Ao.

En ste caso, las conversiones son ms largas, ya que se tienenque convertir los segundos a minutos, minutos a horas, horas a das y das aaos que son las unidades que necesitamos. 1. Detallamos las Unidades con sus respectivas Equivalencias.

2. Ahora multiplicamos los Numeradores (2,352 x 1 x 1 x 1 x 1) = 2,352.

3. Luego los Denominadores (60 x 60 x 24 x 365.2) = 31, 553,280

4. Ahora dividimos 2, 352 48,833,80

5. Obteniendo como resultadoLa respuesta es un poco diferente, pero an as siemprese puede hacer uso de la Notacin Cientfica.FACTORES DE CONVERSIN PARA REACmo en las dems magnitudes, tambin tenemos unidades para rea,para mejor conocimiento las detallamos a continuacin:

Ejemplo: a) Convertir 1.1 Millas/Hora a Metros/Segundo. 1. Empezamos dibujando el Diagrama para guiarnos mejor

2. Si nos damos cuenta las Unidades estn dividas, es decir (Millas /Horas) por lo que tenemos que eliminar Unidades tanto en Nominadores como en Denominadores.

3. Siguiendo el mismo procedimiento realizamos las conversiones necesarias hasta llegar a las que deseamos. 4. Multiplicamos las cantidades de los Numeradores, nos da un resultado de 1771, y en los Denominadores 3600. 5. Ahora dividimos los resultados 1771 3600, dndonos como respuesta 0.49 Metros / Segundo. FACTORES DE CONVERSIN PARA VOLUMENDescribimos algunas Unidades de Conversin para Magnitud Volumen.

Ejemplo: a) Un motor de un automvil tiene un desplazamiento del mbolo de 1595 cm3 y un dimetro del cilindro de 83 Mm. Expresar stas medidas en Pulgadas Cbicas y en Pulgadas.

1. ste problema es diferente, pero siempre empezamos dibujando el Diagrama como gua. 2. En ste caso primero convertimos los 1595en Pulgadas Cbicas. 3. Eliminamos las unidades y hacemos las respectivas conversiones para empezar a multiplicar. Dividimos respuestas (86,405,616 1000,000). 4. Nos da una respuesta de 86.40 5. Ahora pasamos los 83 mm. a pulgadas. CONVERSIN DE GRADOS A MINUTOS Y SEGUNDOS

Para la Conversin de Grados a Minutos, Segundos y Radianes es necesario definir lo quees la Trigonometra.* TRIGONOMETRA:Es la rama de la Matemtica que estudia las propiedades y medidas de ngulos y tringulos.

Para ello, es necesario apoyarnos con el Instrumento de la Calculadora y saber algunasunidades de conversin, por ejemplo:1 = 60 Minutos ( 60 ')

1 ' = 60 Segundos ( 60 '')

Radianes = 180 ( El smbolo de Pi, utilizado en Matemtica, tiene un valor numricode 3.1415927 aproximadamente de 3.1416En una Calculadora Cientfica, podemos ver ciertas abreviaturas que nos ayudarn a laconversin de las Funciones Trigonomtricas, como por ejemplo:Grados: (D) (DEG)

Radianes: (R) (RAD)

Gradianes: (G) (GRAD)Ahora veamos un ejemplo.a)Convertir 18.4567 a Grados, Minutos y Segundos. 1. Como primer paso, tenemos que el nmero entero es de 18, ste nos equivale a 18. 2. Luego los decimales despus del punto es necesario que los pasemos a minutos, as:

OJO! Eliminamos unidades iguales y dejamos nicamente la que nos interesa, es decir, los minutos. 3. Ahora, tomamos los decimales 402 y los pasamos a Segundos.

0.402 ' x 60 '' (Segundos) = 24.12''

4. Ahora unimos todas las respuestas quedndonos 18 27' 24'', que se lee: 18 Grados, 27 Minutos y 24 Segundos

NOTA: Si nos damos cuenta en cada conversin trabajamos slo con los decimales, mantenindose nicamente el primer nmero entero que corresponde a los Grados. Veamos otro ejemplo a la inversa.

b)Convertir 18 27' 24'' a Grados 1. En ste caso ya no son de Grados a Radianes, sino lo contrario, lo haremos llegar de Segundos, Minutos a Grados. Convertimos los Segundos a Minutos:

2. Ahora los 27 Minutos le adicionamos stos 0.4 minutos y lo convertimos en Grados. 3. Sumamos las Unidades Equivalentes, es decir, los 0.456 +la cantidad entera 18 quedndonos como respuesta18.456 Grados. * Definicin Obtenida de Fsica, Conceptos y Aplicaciones, Segunda Edicin. Autor: Pal E. Tippens.CONVERSIONES DE RADIANES A GRADOSCmo vimos anteriormente en la conversin de Grados a Minutos y Segundos, en la conversin deRadianes a Grados se aplica el mismo procedimiento.Veamos un ejemplo:

1. Lo describimos de la siguiente manera:

Lo que se hizo en ste primer paso, fue convertir los radianes a grados,

multiplicando los ( 5 x 180 = 2827.4334) recordemos que se multiplica la

funcin en la calculadora o ya que sabemos que es equivalente a

3.1415927. Luego multiplicamos los (22 x = 69.115038). Ahora

dividimos los resultados: 2827.4334 69.115038, teniendo como

respuesta 40.909091. No olvidar las unidades equivalentes. Aqu contamos

con los 40 Grados. 2. Luego utilizando los 40.909091 empezamos a convertirlos en Grados, Minutos y Segundos. As: Seleccionamos la parte decimal .909091 x 60 ' = 54.54 ' Tenemos 54 ' Minutos

3. Teniendo los 54.54 ', nuevamente seleccionamos la parte decimal para pasarlos a segundos. 0.54 ' x 60 '' = 32.4 '' quedando 32 '' Segundos 4.Cmo respuesta tenemos R/ 40 54' 32 '' CONVERSIONES DE GRADOS A RADIANESAhora trabajaremos otro ejemplo diferente:a)Convertir 38 15' 16 '' a Radianes. 1. Primero, pasaremos las cantidades a Grados, contando ya con los 38. 2. Pasamos los 16'' a Minutos,

Ahora sumamos los 0.2666 minutos con los 15 minutos que ya se tienen,

Obteniendo 15.2666 minutos. 3. Ahora trabajamos con los 15.2666 seleccionando los decimales para convertirlos en segundos. Sumamos los 38 + 0.2544 , quedando 38.2544 . 4. Ya teniendo las cantidades en Grados, procedemos a pasar los 38.2544 a Radianes. La respuesta es 0.6676 Radianes, pero tenemos que pasarlo en funcin de Radianes, as que los 0.6676 Radianes lo dividimos por el valor de . 5. Nuestra Respuesta final es R/ 0.2125 .TEOREMA DE PITGORASAhora bien, para empezar a estudiar las Funciones Trigonomtricas, es necesariodominar lo que en Matemticas se conoce como el Teorema de Pitgoras, para ello,nos familiarizaremos con algunos de sus trminos descritos acontinuacin:* En un Tringulo Rectngulo el Cuadrado de la Hipotenusa es igual a la suma de los Cuadrados de sus Catetos. Simblicamente se describe as:

Los lados Adyacentes en un Tringulo Rectngulo se denominanCatetos, y el Lado Opuesto al ngulo recto se llama Hipotenusa.

El Teorema de Pitgoras en s, lo utilizamos para encontrar variables desconocidas, y stas pueden ser los Lados Adyacentes o bien, la Hipotenusa. Empecemos a trabajar con un ejemplo sencillo:

1. Se tienen los lados de un Tringulo Rectngulo a = 6 cm. y b = 6.7 cm, lado c = 9 cm.

Cmo nos damos cuenta, tenemos una incgnita que debemos encontrar el valor, sta

ser nuestra variable X. Aplicando el Teorema de Pitgoras, procedemos a utilizar la Frmula: 1. Empezamos por sustituir las cantidades numricas en las variables correspondientes 2. Realizamos las operaciones: 3. Procedemos a despejar la Ecuacin, a modo de dejar sola la variable que queremos

encontrar: 4. Para dejar la Variable sola, pasamos el exponente al otro lado, convirtindolo en Radical.

Obtenemos Raz Cuadrada de 45 dndonos como respuesta 6.70 = X = b * Definicin Obtenida de Aritmtica, Teora Prctica, Autor Aurelio Baldor, Edicin 1978.Trabajemos con otro ejemplo:1. Se tienen los lados de un Tringulo Rectngulo a = X cm. y Aplicamos la Frmula: 1. Sustituimos los valores dados:

2. Resolvemos las fracciones mixtas:

3. Despejamos la Ecuacin y resolvemos los cuadrados: 4. Pasamos el cuadrado al otro lado, convirtindolo en raz cuadrada: 5. Obteniendo como respuesta 2.14 = X = a NOTA: La Hipotenusa siempre debe ser mayor que los catetos. Si cualquiera de los catetos es mayor no es Equivalente, tambin no lo es si la Hipotenusa es igual a los catetos.

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FUNCIONES TRIGONOMTRICASPara las Funciones Trigonomtricas, como se mencion anteriormente,haremos uso del Teorema de Pitgoras y trabajaremos con las Funcionesde Seno, Coseno y Tangente, y sus inversas, adems de apoyarnossiempre con la Calculadora.

Las letras minsculas son las que utilizamos en el Teorema de Pitgoras,las letras Maysculas, en ste caso, se utilizarn para referirnos a losngulos del Tringulo.Empezaremos a ver cada una de las Funciones:1. Funcin Seno ( Sen): La Funcin Seno nos describe la relacin existente entre Lado Opuesto sobre la Hipotenusa. Su simbologa es la siguiente: 2. Funcin Coseno ( Cos):

La Funcin Coseno describe la relacin entre Lado Adyacente sobre

Hipotenusa. Su simbologa es la siguiente: 3.Funcin Tangente ( Tan):

sta Funcin nos representa la relacin entre Lado Adyacente sobre

Hipotenusa. Su simbologa es la siguiente:

Tambin tenemos las Funciones que son inversas a las anteriores: 4. Funcin Cotangente ( Cot): Que describe la relacin entre Lado Adyacente con Lado Opuesto: 5. Funcin Secante ( Sec): Relacin entre Hipotenusa sobre Lado Adyacente: 6. Funcin Cosecante ( CsC):

Nos muestra la relacin entre Hipotenusa sobre Lado Opuesto:

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Ahora empecemos a trabajar ejercicios en donde involucre todas las funciones.Dado el siguiente Tringulo, encontrar todas las Funciones Trigonomtricas encada caso que se requiera, o las que hacen falta.

1. Primero encontraremos el valor de la ecuacin que nos hace falta, en ste caso, ya que sabemos que la funcin de Coseno relaciona Lado Adyacente sobre Hipotenusa, ya conocemos dichos valores, nos faltara encontrar Lado Opuesto: 2. Ahora conociendo el valor que nos haca falta (b), empezaremos a encontrar cada una de las funciones que hacen falta:

3. Teniendo todas la Funciones procedemos a graficar:

1. Resolvamos primero la Fraccin Mixta Multiplicamos 2 x 3 y el resultado lo sumamos con el 1 dndonos como resultado 7/2. 2. Ahora encontramos el valor que hace falta:

Sustituimos valores:

3. Ahora conociendo b, encontramos las funciones correspondientes:

4. Seguidamente graficamos: c) Tan A = 2 1. En ste caso, se puede decir que Podemos para convertirlo en fraccin, podemos adicionarle 1 como denominador y no afectar los valores, es decir, que al sustituir en la ecuacinencontraramos siempre una incgnita. 2. Para encontrar el valor que hace falta: Sustituimos valores:

3. Ahora conociendo c, el valor de la Hipotenusa, detallamos las funciones requeridas:

4. Graficamos:

1. Empecemos por simplificar fracciones y radicales:

3. Conociendo c, pasamos a detallar las funciones requeridas: 4. Graficamos: RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOSPara resolver un tringulo rectngulo es necesario encontrar los lados ylos ngulos que se desconocen a travs de los ya conocidos.Recordemos que un Tringulo Rectngulo es aquel queest constituido por dos lados (Opuesto y Adyacente),Hipotenusa y forma un ngulo de 90 grados (90)En el Diagrama se simbologa asignada para cada variable:

El Lado c es opuesto al ngulo (Alfa) El Lado b es opuesto al ngulo (Beta) El Lado a es opuesto al ngulo (Sigma) Veamos un Ejemplo, nos proporcionan la siguiente informacin:

Revisemos la informacin que tenemos: Tenemos un ngulo equivalente a 25 12 ' 42'', por lo que tenemos que pasarlo a Grados; aparte conocemos el lado c = 7 cm. Nos piden encontrar un ngulo y dos lados, que son los que desconocemos. 1. Comenzaremos a pasar los 25 12 ' 42'' a Grados

2. Conociendo , podemos conocer , ya que = 90, as:

3. Ahora, empezaremos a encontrar los lados que nos hacen falta,ya que conocemos , podemos encontrar el lado por medio de las funciones trigonomtricas: Despejemos la Variable:

c Sen 64.79 = Aplicamos por medio de la Calculadora La Funcin Seno de 64.79, que es : 0.9047527, luego dividimos 7 0.9047527 = 7.73 = c. 4. Ahora conociendo el valor de c, podemos aplicar el Teorema de Pitgoras:

5. Quedando finalmente la grfica as: