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7 RAZONES TRIGONOMTRICAS
P A R A E M P E Z A R
Utiliza la calculadora para hallar la medida en grados, minutos y segundos de cada uno de los ngulosque resultan al dividir un crculo en:
a) 7 partes iguales b) 13 partes iguales
a) 360 7 51 25 43 b) 360 13 27 41 32
Clasifica los ngulos Ap y Bp de este tringulo y calcula la medida del n-gulo Cp.
El ngulo Ap es agudo, ya que es menor de 90.
El ngulo Bp es obtuso, ya que es mayor de 90 y menor de 180.
El ngulo Cp es: Cp 180 103 57 40 40 10 35 35 51 45, y es agudo.
En un tringulo rectngulo issceles, la hipotenusa mide 10 centmetros. Calcula la medida de los cate-tos y de los ngulos agudos.
Para obtener la medida de los catetos aplicamos el teorema de Pitgoras:
102 x 2 x 2 100 2x 2 x 50 7,07 cm
En un momento de la ascensin al Alpe dHuez, los ciclistas suben por un tramo de carretera que tieneuna inclinacin con la horizontal de 5 3 48. Calcula los ngulos complementario y suplementariode este ngulo.
El ngulo complementario es: 90 5 3 48 84 56 12.
El ngulo suplementario es: 180 5 3 48 174 56 12.
Razones trigonomtricas de un tringulo rectngulo
P A R A P R A C T I C A R
Ejercicio resuelto
a) Calcula los radianes que mide un ngulo de 60 grados.
b) Calcula cuntos grados mide un ngulo de 32 radianes.
a) 3260
6x0 x 2
36600
3
rad
b) 2360 no 32
3260 270
Pasa a radianes los siguientes ngulos expresados en grados.
a) 30 b) 90 c) 135 d) 240
a) 2
36030
6
rad b) 2
36090
2
rad c) 2
360
135
34 rad d)
2360
240
43 rad
Expresa en grados los siguientes ngulos dados en radianes.
a)
4 b)
56 c) d)
2234
a) 45 b) 150 c)
2360 180 d) 172 30
2234 360
2
56 360
2
4
360
2
7.3
7.2
7.1
4
3
2
1
10357'40''
4010'35''A
B
C
32
no
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Completa la siguiente tabla con las medidas de algunos ngulos en grados y radianes.
Para pasar de grados a radianes, se multiplica por 2 y se divide entre 360: 2360
x
.
Para pasar de radianes a grados, se multiplica por 360 y se divide entre 2: x
2360 .
Calcula las razones trigonomtricas de los ngulos agudos de los tringulos rectngulos de la figura.
a) b)
a) Aplicamos el teorema de Pitgoras para hallar la hipotenusa: BC 32 42 5 cm.Las razones trigonomtricas de los ngulos Bp y Cp son:
sen Bp 45
0,8; cos Bp 35
0,6; tg Bp 43
1,3v
sen Cp 35
0,6; cos Cp 45
0,8; tg Cp 34
0,75
b) Aplicamos el teorema de Pitgoras para hallar el cateto desconocido: AB 132 122 5 cm.Las razones trigonomtricas de los ngulos Bp y Cp son:
sen Bp 11
23 0,9231; cos Bp
153 0,3846; tg Bp
152 2,4
sen Cp 153 0,3846; cos Cp
1123 0,9231; tg Cp
152 4,16v
Ejercicio resuelto
Con ayuda de la calculadora, halla el valor de x en los siguientes casos.
a) sen 40 x c) cos x 0,5469
b) cos 55 x d) tg x 1
a) x 40 0,6428 c) x 0,5469 56,8454 56 51
b) x 55 0,5736 d) x 1 45
Utilizando la calculadora, halla el valor de las siguientes razones trigonomtricas.
a) sen 74 c) tg 20 e) tg 13
b) cos 65 d) cos 59 f) sen 35
a) sen 74 0,9613 c) tg 20 0,364 e) tg 13 0,2309
b) cos 65 0,4226 d) cos 59 0,515 f) sen 35 0,5736
7.7
TAN1COS
COS1SEN
7.6
7.5
7.4
25
Grados 45 180 270
Radianes
6
3
2 2
Grados 30 45 60 90 180 270 360
Radianes 6
4
3
2
34 2
3 cm
4 cmA C
B
13 cm
12 cmA C
B
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Con ayuda de la calculadora, halla la medida de:
a) El ngulo cuyo seno vale 0,5. b) El ngulo cuyo coseno vale 0,5.
a) Ap 0,5 30 b) Bp 0,5 60
P A R A A P L I C A R
Problema resuelto
Calcula la altura aproximada de la antena.
La razn trigonomtrica que relaciona el ngulo con los catetos es la tangente:
tg 35 ccaatteettoo
coopnuteigsutoo
2x0 0,7002 x 20 0,7002 14,004
La antena mide aproximadamente 14 metros.
Calcula la altura aproximada de los rboles de la figura.
a) tg 65 h8
h 8 tg 65 17,156 m b) sen 25 1h0 h 10 sen 25 4,226 m
Una ONG ha decidido construir un puente sobre un ro para comunicar dos pueblos de las orillas. Calculala longitud aproximada del puente con los datos de la figura.
Si llamamos x a la anchura del ro, tenemos que: cos 50 5x5 x 55 cos 50 35,35 m.
Con ayuda de la calculadora, halla el ngulo aproximado que forman los rayos solares con la superficiedel suelo en el momento en que una estatua de 2 metros de altura proyecta una sombra de 4 metros.
Representamos grficamente la situacin:
La razn trigonomtrica que relaciona el ngulo con los catetos es la tangente.
tg 24
0,5
As tenemos que:
0,5 26,57 26 33 54 TAN1
7.12
7.11
7.10
7.9
COS1SEN1
7.8
26
3520 m
x
25
10mh
8m
65h
50 55 m
2 m
4 m
a) b)
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La siguiente seal de trfico significa que por cada 100 metros que se avanza en la horizontal se subeun desnivel de 13 metros. Con ayuda de la calculadora, halla el ngulo que forma en ese momento lacarretera con la horizontal.
Representamos grficamente la situacin.
La razn trigonomtrica del ngulo Ap que relaciona los datos del enunciado es la tangente: tg Ap 11030
0,13.
Utilizando la calculadora hallamos el ngulo: Ap 0,13 7,407 7 24 25
Relaciones entre las razones trigonomtricas
Ejercicio resuelto
El seno de un ngulo agudo vale 0,32. Calcula el coseno y la tangente de ese mismo ngulo.
Como es un ngulo agudo y sen 0,32, por la primera relacin fundamental:
sen2 cos2 1 0,322 cos2 1 cos2 1 0,1024 0,8976 cos 0,8976 0,9474
Por la segunda relacin fundamental: tg sceons
00,9,34274 0,3378
P A R A P R A C T I C A R
Calcula el seno y la tangente de un ngulo agudo sabiendo que su coseno tiene los siguientes valores.
a) 0,127 b) 0,5 c) 0,2588 d) 0,9135
a) Por la relacin fundamental el seno del ngulo valdr 1 (0,127)2 0,992.
Su tangente valdr tg sceons
00,,919227
7,811.
b) Por la relacin fundamental el seno del ngulo valdr 1 (0,5)2 23
.
3 .
c) Por la relacin fundamental el seno del ngulo valdr 1 (0,2588)2 0,966.
00,,2956868
3,73.
d) Por la relacin fundamental el seno del ngulo valdr 1 (0,9135)2 0,4068.
00,,49016385
0,4453.
Ejercicio resuelto
El coseno de un ngulo agudo vale 35 . Calcula el seno y la tangente de ese mismo ngulo.
Por la relacin fundamental tenemos que: sen2 cos2 1 sen 1 cos2 .
As: sen 1 352 1 59 49 23
Por la segunda relacin fundamental:
tg sceons
2
5
23
35
7.16
23
0,5
7.15
7.14
TAN1
7.13
27
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Calcula el coseno y la tangente de un ngulo agudo sabiendo que su seno tiene los siguientes valores.
a) 16
b) 34
c) 57 d)
23
Da los resultados en forma de expresiones radicales.
a) Por la primera relacin fundamental tenemos que: cos 1 162 1 316 3356 635 .
Obtenemos ahora el valor de la tangente realizando el cociente del seno entre el coseno: tg
1
35 .
b) Por la primera relacin fundamental tenemos que: cos 1 342 1 196 176 47 .
Obtenemos ahora el valor de la tangente realizando el cociente del seno entre el coseno: tg sceons
3
7.
c) Por la primera relacin fundamental tenemos que: cos 1 572 1 275 1285 35 2 .
3
72
.
d) Por la primera relacin fundamental tenemos que: cos 1 232 1 34 14 12 .
3 .
Con ayuda de la calculadora, halla los valores de las expresiones A y B.
A sen 45 sen 45 B sen (45 45)
Explica razonadamente si la siguiente frmula es verdadera o falsa. 2sen sen (2)
Obtenemos el valor de las expresiones:
A sen 45 sen 45 2
22
2 B sen (45 45) sen (90) 1As, si tomamos como 45, tenemos que:
A sen 45 sen 45 2 sen 45 2B sen (45 45) sen (2 45) 1
Por lo que A B, lo que demuestra que la frmula indicada es por lo general falsa.
Comprueba con ejemplos si las siguientes frmulas son verdaderas o falsas.
a) sen sen sen ( ) b) cos cos cos ( )
Ambas son falsas. Basta con considerar, por ejemplo, 30 y 60.
En este caso 90
a) sen 30 sen 60 12
23
1
23 1 sen 90
b) cos 30 cos 60 23
12
3
2 1 0 cos 90
7.19
7.18
23
12
57
3
52
34
47
16
635
7.17
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P A R A A P L I C A R
Problema resu

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