APM

• Historia de la Trigonometría.•Grados sexagesimales y radianes.• Seno de un ángulo agudo.• Coseno de un ángulo agudo.• Tangente de un ángulo agudo.• Ampliación del concepto de ángulo.• Relaciones entre las razones trigonométricas.• Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.• Signos de las razones trigonométricas en los distintos cuadrantes.• Razones trigonométricas de ángulos suplementarios.• Razones trigonométricas de ángulos que difieren en 180º.• Razones trigonométricas de ángulos opuestos.• Razones trigonométricas de ángulos complementarios.• Razones trigonométricas de 0º.• Razones trigonométricas de 90º.• Razones trigonométricas de 180º.• Razones trigonométricas de 270º.• Resolución de triángulos rectángulos.• Ejemplo de resolución de triángulo rectángulo.• Resolución de triángulos no rectángulos. Ejemplo.• Funciones trigonométricas. Función seno.• Función coseno.• Función tangente.

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA. ÍNDICEINTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA. ÍNDICE

La Trigonometría es la parte de las Matemáticas que se encarga del estudio de las relaciones que existen entre los ángulos y los lados de un triángulo. Estas relaciones se aplican para resolver muchas situaciones de la vida cotidiana.

HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍAHISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA

La Trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es “la medición de los triángulos”.

Se deriva del vocablo griego:

τριγωνο <trigōno> “triángulo” + μετρον <metron> “medida”.

Si quieres saber más sobre la historia y aparición de la Trigonometría, puedes acceder a la presentación titulada: HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA.

0º

90º =π /2 rad

180º =π rad

270º = 3π/2 rad

360º =2π rad

La longitud de una circunferencia es de 2πR Tomando como unidad de medida el radio o lo que es lo mismo, Radio = 1, un arco completo de circunferencia mide 2π radios. Por tanto:

• 1 radián = 180º/π = 57º 17' 44,81''• N grados = Nπ/ 180 radianes• n radianes = 180n / πgrados

GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANESGRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES

• Si la hipotenusa mide 1, la medida del cateto opuesto al ángulo B, se llama “seno de B”.

• Se simboliza sen B.

Por semejanza de triángulos se tiene que:

• El seno de un ángulo B es igual al cateto opuesto dividido por la hipotenusa.

SENO DE UN ÁNGULO AGUDOSENO DE UN ÁNGULO AGUDO

sen B b bsen B1 c c

• Si la hipotenusa mide 1, la medida del cateto contiguo al ángulo B, se llama “coseno de B”.

• Se simboliza cos B.

Por semejanza de triángulos se tiene que:

• El coseno de un ángulo B es igual al cateto contiguo dividido por la hipotenusa.

c

acosB:.

c

a

1

cosB=Luego=

COSENO DE UN ÁNGULO AGUDOCOSENO DE UN ÁNGULO AGUDO

• Si la hipotenusa mide 1, la medida segmento ST, se llama “tangente de B”.

• Se simboliza tan B.

Por semejanza de triángulos se tiene que:

tan B b btan B1 a a

• La tangente de un ángulo B es igual al cateto opuesto dividido por el cateto contiguo.

Como ABC y SBT son semejantes:TS sen B sen BTS1 cos B cos B

TANGENTE DE UN ÁNGULO AGUDOTANGENTE DE UN ÁNGULO AGUDO

Sentido negativo

Origen de medida de

ángulos

= 405º

= –105º

Sentido positivo

Ángulo reducido de un ángulo es el ángulo

menor que 360º definido por su misma posición

El ángulo reducido de 405º es el de 45º

AMPLIACIÓN DEL CONCEPTO ÁNGULOAMPLIACIÓN DEL CONCEPTO ÁNGULO

Aplicando el Teorema de Pitágoras:

(sen α )2 + (cos α)2 = sen2 α + cos2 α = 1

Dividiendo en la relación anterior por cos2

2 2

2 2 2

cos sen 1

cos cos cos

212

1tancos

αcos

1

αcos

αcos α22

2

=+sen2

αcos

1

αcos

αcos

αcos

α22

2

2=

sen2

RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

α

α=α

cos

sen tg

Dividiendo por tenemos:2sen

2 2cos 1sen 2 2

2

cos1

sen

sen

2

2 2

cos 11sen sen

RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

2

2 2

cos 11sen sen

y y

y y

x

x x

r

r

r

r

x

ry

rx

xy

=sen α

= cos α

= tg α

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERARAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA

r = 1 u.

r = 1 u.

r = 1 u.

α

αα

r = 1

u.

cos

sen

Cos α

Cos α

Sen α

Cos α

Sen α

sen

0º

90º = /2 rad

180º = π rad

270º =3π /2 rad

360º = 2π rad

Signos del (coseno, seno)en cada cuadrante

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS DISTINTOS CUADRANTESEN LOS DISTINTOS CUADRANTES

(+,+)(- ,+)

(-,-) (+,-)

III

III IV

Si un ángulo mide αsu suplementario mide 180º – α.

α

x

y

–x

180º – α

y1

1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOSRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

sen (180º – α) =

cos (180º – α) =

tan (180º – α) =

sen α

– cos α

– tan α

sen (180º + α) =

cos (180º + α) =

tan (180º + α) =

Si dos ángulos difieren en 180º y uno mide α el otro mide 180º + α

α

x–x

180º + α

y

–y

1

1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180ºRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º

– sen α

– cos α

tan α

Sen (– α) = sen(360º – α) =

Cos (– α) = cos(360º – α

Si dos ángulos son opuestos y uno mide α el otro mide – α

–y

yα

x–α

1

1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOSRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS

tan (– α) = tan (360º – α) =

– sen α

cos α

– tan α

Si un ángulo mide αsu complementario mide 90º – α

sen (90º – α) = AC / AB =

cos (90º – α) = BC / AB =

A

B

C

tan (90º – α) =

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOSRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

α

90º - α

cos α

sen α

1 / tan α

0º = 0 rad

r=1

cos 0º=1

sen 0º = 0

sen 0º= 0cos 0º=1

tg 0º=01

=0

cos c 0º=10

=No existe

sec 0º=11

=1

cot g 0º=10

=No existe

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º = 0 radRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º = 0 rad

90º = radπ2

r=1

cos 90º = 0

sen 90º = 1

sen 90 º= 1cos 90 º=0

tg 90 º=10

=No existe

cos c 90 º=11

=1

sec 90 º=10

=No existe

cot g 90 º=01

=0

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DERAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE rad 2π=90º

180º = radπ

cos 180º=-1

sen 180º = 0

r=1

sen 180º=0cos 180 º=−1

tg 180º=0−1

=0

cos c 180 º=10

=No existe

sec 180º=1−1

=−1

cot g 180 º=10

=No existe

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DERAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE radπ=º180

270º = 3π2rad

r=1

sen 270º =-1

cos 270º =0

sen 270 º=−1cos 270 º=0

tg 270 º=−10

=No existe

cos c 270 º=1−1

=-1

sec 270º=10

=No existe

cot g 270 º=0−1

=0

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DERAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE rad2π 3=º270

BCa

b c

A

90º

Fórmulas necesarias para resolver un triángulo rectángulo

• A + B + C = 180º B + C = 90º• Teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2

Resolver un triángulo es calcular todos los elementos del mismo (lados y ángulos) a partir de algunos de ellos.

ba

senB ca

cosB bc

tanB

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOSRESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

• Vamos a calcular el lado b.

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. EJEMPLORESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. EJEMPLO

• Vamos a calcular el lado c.  Podemos hacerlo por el teorema de Pitágoras o por razones trigonométricas. Hagámoslo de las dos formas para comprobar que da el mismo resultado.

PRIMERA FORMA: Teorema de Pitágoras.

SEGUNDA FORMA: Razones trigonométricas.

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS. EJEMPLORESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS. EJEMPLO

Pueden resolverse triángulos no rectángulos aplicando correctamente las razones trigonométricas. Veamos un ejemplo. Se trata de calcular la altura h del triángulo de color rosa.

Ahora debemos resolver el sistema de ecuaciones por igualación.

Consideramos el triángulo rectángulo grande. Entonces:

Si consideramos el triángulo rectángulo pequeño, entonces:

Por tanto:

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIÓN SENOFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIÓN SENO

La función seno (sen x) asocia a cada valor de x el valor de sen x. La imagen siguiente muestra inicialmente la función sen x. Se han puesto los valores de x en radianes.

A cada ángulo podemos asociarle el valor de cada una de sus razones trigonométricas. Se definen así las funciones trigonométricas.

Haz clic en el enlace y construye la función seno de forma interactiva.

FUNCIÓN SENO

La función coseno (cos x) asocia a cada valor de x el valor de cos x. La imagen siguiente muestra inicialmente la función cos x. Se han puesto los valores de x en radianes.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIÓN COSENOFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIÓN COSENO

Haz clic en el enlace y construye la función coseno de forma interactiva.

FUNCIÓN COSENO  

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIÓN TANGENTEFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIÓN TANGENTE

La función tangente (tg x) asocia a cada valor de x el valor de tg x. La imagen siguiente muestra inicialmente la función tg x. Se han puesto los valores de x en radianes.

Haz clic en el enlace y construye la función coseno de forma interactiva.

FUNCIÓN TANGENTE 

HASTA PRONTO, CHAVALES. ESPERO QUE HAYÁIS APRENDIDO MUCHO.COMPROBAD VUESTRO APRENDIZAJE CON LAS ACTIVIDADES QUE APARECEN EN LA

PÁGINA WEB. ¡¡¡¡ ADIOS !!!!