Medida de ángulos Ejercicio nº 1.- a� Pasa a radianes los siguientes ángulos: 210q y 70q

rad53, yrad6

7 :ángulos los grados a Pasab) S

Ejercicio nº 2.- Completa la siguiente tabla:

Ejercicio nº 3.-

3 y6

5:radianes en dados ángulos siguientes los grados en Expresa a) S

b� Expresa en radianes los ángulos: 225q y 100q Ejercicio nº 4.- Completa la tabla:

Ejercicio nº 5.- a� Pasa a radianes los siguientes ángulos: 60q y 125q

rad 52, yrad 5

2 ángulos los grados a Pasa b) S :

Razones trigonométricas

Ejercicio nº 6.- Calcula las razones trigonométricas de 140q y de 220q, sabiendo que:

0,844077;0,4064;0,40 $$$ tgcossen

Ejercicio nº 7.- Sabiendo que sen 50q 0,77, cos 50q 0,64 y tg 50q 1,19, calcula �sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora�:

$$$$ 310 d)230 c)310 b)130 a) sencostgcos

Ejercicio nº 8.- Sabiendo que sen 25q 0,42, cos 25q 0,91 y tag 25q 0,47, halla �sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora� las razones trigonométricas de 155q y de 205q. Ejercicio nº 9.- Si sen D 0,35 y 0q < D < 90q halla �sin calcular D�:

� � � �αcosαsen �� $$ 180 b)180 a) Ejercicio nº 10.-

:)hallar (sin calcula cuadrante, primer el en está que ángulo un esy31Si αααtg

� � � � � � � �αtgαtgαtgαtg ���� $$$$ 360 d)360 c)180 b)180 a)

Expresiones trigonométricas Ejercicio nº 11.- Demuestra que:

xsenxsenxcos

xsenxcos

xcosxsen

22441

1 ��

�

��

Ejercicio nº 12.- Demuestra la igualdad:

xcosxcosxsen

x2tgxsen 2

�2

Ejercicio nº 13.- Demuestra que:

12

2 2 �xsenxcos

Ejercicio nº 14.- Demuestra la siguiente igualdad:

� � xsenxsenxcos

xcosxcosxsen 212�

���

Ejercicio nº 15.- Demuestra la siguiente igualdad:

2xtgxsenxcos

xcosxsen21

22 �

Ecuaciones trigonométricas Ejercicio nº 16.- Resuelve la siguiente ecuación:

0xsenxsenxsen � 222

Ejercicio nº 17.- Resuelve la ecuación:

0212 2 �� xsenxcos

Ejercicio nº 18.- Resuelve:

xsenxcosxcosxcos 333 � Ejercicio nº 19.- Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:

xsenxcosxcosxsen 22122 � �� Ejercicio nº 20.- Resuelve la ecuación:

xcosxcos 3124 �

Soluciones Medida de ángulos Ejercicio nº 1.- a� Pasa a radianes los siguientes ángulos: 210q y 70q

rad53, yrad6

7 :ángulos los grados a Pasab) S

Solución:

rad67rad

180210210 a) S

S

� $

rad

187rad

1807070 S

S

� $

$$

2101806

7rad6

7 b) S

�S

S

"7'3220018053rad53 $

$

S

� ,,

Ejercicio nº 2.- Completa la siguiente tabla:

Solución:

rad367rad

1803535 S

S�

$

rad32120120180

32rad

32 S

o S

�S

S $$

$

"30'351141802rad2 $$

S

�

Por tanto:

Ejercicio nº 3.-

3 y6

5:radianes en dados ángulos siguientes los grados en Expresa a) S

b� Expresa en radianes los ángulos: 225q y 100q

Solución:

$$

15018065rad

65 a)

S�

S

S

"14'531711803rad3 $

$

S

�

rad4

5rad180

225225 b) S

S� $

rad

95rad

180100100 S

S

� $

Ejercicio nº 4.- Completa la tabla:

Solución:

rad1813rad

180130130 S

S

� $

$

$

24018034rad

34

S

�S

S

rad

611rad

180330330 S

S

� $

"37'568518051rad51 $$

S

� ,,

Por tanto:

Ejercicio nº 5.- a� Pasa a radianes los siguientes ángulos: 60q y 125q

rad 52, yrad 5

2 ángulos los grados a Pasa b) S :

Solución:

rad3

rad1806060a) S

S�

$

rad

3625rad

180125125 S

S

$

$$

7218052rad

52 b)

S�

S

S

"22'1414318052rad52 $

$

S

� ,,

Razones trigonométricas

Ejercicio nº 6.- Calcula las razones trigonométricas de 140q y de 220q, sabiendo que:

0,844077;0,4064;0,40 $$$ tgcossen Solución:

:entonces ,40180220 y 40180140 Como $$$$$$ � �

84040140

77040140

64040140

,tgtg,coscos

,sensen

� �

� �

$$

$$

$$

84040220

77040220

64040220

,tgtg,coscos,sensen

� �

� �

$$

$$

$$

Ejercicio nº 7.- Sabiendo que sen 50q 0,77, cos 50q 0,64 y tg 50q 1,19, calcula �sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora�:

$$$$ 310 d)230 c)310 b)130 a) sencostgcos Solución:

� �� � 1915050360310 b)

64050150180130 a)

,tgtgtg

,coscoscos

� � �

� � �

$$$$

$$$$

� �� � 7705050360310 d)

6405050180230 c)

,sensensen

,coscoscos

� � �

� � �

$$$$

$$$$

Ejercicio nº 8.- Sabiendo que sen 25q 0,42, cos 25q 0,91 y tag 25q 0,47, halla �sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora� las razones trigonométricas de 155q y de 205q. Solución:

:entonces ,25180205 y 25180155 Como $$$$$$ � �

47025155

91025155

42025155

,tgtg,coscos

,sensen

� �

� �

$$

$$

$$

47025205

91025205

42025205

,tgtg,coscos,sensen

� �

� �

$$

$$

$$

Ejercicio nº 9.- Si sen D 0,35 y 0q < D < 90q halla �sin calcular D�:

� � � �αcosαsen �� $$ 180 b)180 a) Solución:

� � 350180 a) ,sensen � DD$

� � D� D� coscos $180 b)

Necesitamos saber cuánto vale cos D:

13501 2222 �o � DDD cos,cossen 87750112250 22 ,coscos, o � DD

)900 pues positivo, (es 94,0 $$ �� DDcos

� � 940180 :tanto Por ,coscos � D� D�$

Ejercicio nº 10.-

:)hallar (sin calcula cuadrante, primer el en está que ángulo un esy31Si αααtg

� � � � � � � �αtgαtgαtgαtg ���� $$$$ 360 d)360 c)180 b)180 a) Solución:

� �31180 a) � � � DD tgtg $

� �

31180tg b) � DD tg$

� �

31360 c) � � � DD tgtg $

� �

31360 d) � DD tgtg $

Expresiones trigonométricas Ejercicio nº 11.- Demuestra que:

xsenxsenxcos

xsenxcos

xcosxsen

22441

1 ��

�

��

Solución:

� �� � �

��

��

� xsenxcosxcosxsen

xsenxcos

xcosxsen

111

1

22

�

��

����

22

21121 22

xcosxsenxsen

xcosxcosxsenxsen

xcoscosxsen

xsenxsenxcos

xsenxsenxcos

xsenxsen

xcos22

44

222

22

22

22�

�

��

�

�

Ejercicio nº 12.- Demuestra la igualdad:

xcosxcosxsen

x2tgxsen 2

�2

Solución:

� �xcosxsen

xcosxsenxsen

xcosxsen

xtgxsen 22

22

22

2

� � �

� �

xcosxsen

xcosxsenxsenxcosxsen

xcosxsen

xsenxcosxsen 2222

22

222

xcosxcosxcos

xcosxsenxsenxcos

xcosxsen

xcosxsenxcos

��

��

2222222

Ejercicio nº 13.- Demuestra que:

12

2 2 �xsenxcos

Solución:

¸¸¹

·¨¨©

§ �r� �

22

212

22 xcosxcosxsenxcos

112

12 �� ¸¹·

¨©§ �

� xcosxcosxcosxcos

Ejercicio nº 14.- Demuestra la siguiente igualdad:

� � xsenxsenxcos

xcosxcosxsen 212�

���

Solución: � � � � � �

� �� � ��

����

���

xsenxcosxsenxcosxcosxcosxsenxcosxsen

xsenxcosxcosxcosxsen 22

� � � �

���

�

��

xcosxcosxcosxsenxcosxsen

xsenxcosxcosxcosxsen

2222 22

22

2

xsenxcosxsenxcosxsenxcosxsen 2121222 � � �� Ejercicio nº 15.- Demuestra la siguiente igualdad:

2xtgxsenxcos

xcosxsen21

22 �

Solución:

�

� �

�

� xsenxcosxcosxsen

xsenxcos

xcosxsen

xsenxcosxcosxsen

2222222

212

21

xtgxcosxsen 2

21

22

21

�

Ecuaciones trigonométricas Ejercicio nº 16.- Resuelve la siguiente ecuación:

0xsenxsenxsen � 222 Solución:

022 2 �� xsenxsenxsen 022 2 �� xsenxcosxsenxsen

022 22 � xsenxcosxsen � � 012 2 �xcosxsen

°°¯

°°®

­

� o� o �

°̄°®­

�

� o o

kxxcosxcos

kxkx

xsenxsen

$$

$$

$$

360180101

360180

3600002 2

Por tanto, las soluciones son:

Z�¯®­

� k

kxkx siendo

360180360

$$

$

Ejercicio nº 17.-

Resuelve la ecuación:

0212 2 �� xsenxcos

Solución:

021

0212

222

2

���

��

xsenxsenxcos

xsenxcos

0

212 �xcos

212 xcos

22

21

r r xcos

°°°

¯

°°°

®

­

°̄

°®­

�

� o�

�°̄

°®­

�

� o

kx

kxxcos

kkx

kxxcos

$$

$$

$$

$$

360225

360135

22

siendo360315

36045

22

Z

Ejercicio nº 18.- Resuelve:

xsenxcosxcosxcos 333 � Solución:

xsenxcosxcosxcos 333 � 0333 �� xsenxcosxcosxcos

� � 0332 �� xsenxcosxcos � � 0331 2 ��� xsenxsenxcos � � 0232 ��� xsenxsenxcos � � 0232 ��� xsenxsenxcos

°¯

°®

­

��¯®­

� � o

023360270

360900

2 xsenxsenkx

kxxcos$$

$$

°̄

°®­

�

�o

r�

r�

�r�

vale) (no 2

1

213

213

2893

xsen

kxxsen $$ 3602701 � o�

Por tanto las soluciones son:

°̄

°®­

��

� Z siendo

360270

36090k

kx

kx$$

$$

Ejercicio nº 19.- Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:

xsenxcosxcosxsen 22122 � �� Solución:

xsenxcosxcosxsen 22122 � �� xsenxcosxsenxcosxcosxsen 222 212 � ���

0212 222 ����� xsenxcosxsenxcosxcosxsen 012 22 ���� xcosxsenxcosxcosxsen

0112 ��� xcosxcosxsen 02 � xcosxcosxsen

� � 012 �xsenxcos

°°°

¯

°°°

®

­

¯®­

� � o o �

�¯®­

� � o

kxkxxx

kkx

kxx

$$

$$

$$

$$

36015036030

21sen01sen2

siendo 360270

360900cos

Z

Ejercicio nº 20.- Resuelve la ecuación:

xcosxcos 3124 � Solución:

� � xcosxsenxcosxcosxcos

314

312422 � �

�

� � xcosxcosxcosxcosxsenxcos

31144

314422

22

� ��

� �

0538

314442

22

��

� ��

xcosxcosxcosxcosxcos

°̄

°®­

�

r�

r�

�r�

185

16133

161693

1616093

xcos

°°°

¯

°°°

®

­

� o� �

¯®­

� � o

kxxcosk

kxkxxcos

$$

$$

$$

3601801 siendo

360"56'40308360"4'1951

85

Z