ÉEL SISTEMA ATMOSFÉRICO

Conceptos generales.Cinemática del viento horizontalCinemática del viento horizontal

(Cinemática: Voz griega para “movimiento”, una descripción del movimiento de un campo determinado sin tener en cuenta como semovimiento de un campo determinado sin tener en cuenta como se 

produce ni de donde viene)

En Dinámica de la atmósfera no trataremos el fluido como un

conjunto de moléculas, sino que lo haremos como un medio

continuo en el que cada punto es un elemento de volumen muy

pequeño comparado con el volumen total del fluido pero que

contiene un gran número de moléculas.

Este volumen recibe el nombre de volumen de control, partícula

fluida o burbuja.

Las propiedades de este volumen de aire describen el estado de

la atmósfera

2

Leyes de conservación básicas:

Las leyes que gobiernan los movimientos atmosféricosLas leyes que gobiernan los movimientos atmosféricos son:

Conservación de la masa (Ecuación de continuidad)Conservación de la masa (Ecuación de continuidad)

Conservación de la cantidad de movimiento (y del t l 2ª l d N t )momento angular, 2ª ley de Newton)

Conservación de la energía (1er principio de la termodinámica)

3

Volumen de control:

L l i t áti t lLas relaciones matemáticas que expresan estas leyes se

pueden obtener estableciendo el balance de masa,

cantidad de movimiento y energía en la partícula fluida

(volumen de control).

En dinámica de la atmósfera se usan normalmente dos

tipos de enfoque para estudiar estos balances: Euleriano ytipos de enfoque para estudiar estos balances: Euleriano y

Lagrangiano.

4

Enfoque LagrangianoEnfoque Lagrangiano

Cambio en el volumen de

Au Bucontrol lagrangiano (zona sombreada) debido al movimiento paralelo al eje x

δAu t δBu t

El volumen de control se mueve siguiendo el movimiento del fluido conteniendo siempre el mismo número de partículasconteniendo siempre el mismo número de partículas.

5

Enfoq e E lerianoEnfoque Euleriano

E l i t d f iEn el sistema de referencia Euleriano el volumen de control es un paralelepípedo de aristasδ es un paralelepípedo de aristas δx, δy, δz, cuya posición es fija respecto al origen de B A

( )=0 0 0 0, ,p p x y z

δ z

coordenadas.

Los balances de masa, cantidad d i i t íy

z

δ x

δ y

de movimiento y energía dependen del flujo del fluido a través de los límites del x

y δ x

volumen de control.6

Combinando los enfoques Lagrangiano y E l iEuleriano

Las leyes de conservación que vamos a encontrar contendránexpresiones para los cambios de las distintas magnitudes siguiendoel movimiento de partículas fluidas concretas.

El sistema Lagrangiano es particularmente útil para obtener lasg g p pleyes de conservación.

Sin embargo, las observaciones tienen lugar casi siempre en lugarestconcretos.

Las leyes de conservación se aplican con frecuencia en el sistemaeuleriano

Por tanto, es necesario encontrar relaciones entre las variacionesde las variables de campo siguiendo el movimiento (derivadastotales, enfoque lagrangiano) y los cambios de las variables en un

7

totales, enfoque lagrangiano) y los cambios de las variables en unpunto (derivadas parciales, enfoque euleriano)

Enfoques Lagrangiano y Euleriano

El punto de vista Euleriano del campo de flujo es pues, uncamino que enfoca su atención en un punto específico del

i t é d l l l fl id ( fl )espacio a través del cual el fluido pasa (o fluye).El punto de vista Lagrangiano del campo de flujo es pues,un camino que enfoca su atención en el seguimiento del

i i t d l tí l fl id l ió d d fi i iómovimiento de las partículas fluidas en la región de definicióndel campo y en el transcurso del tiempo.

Para aplicar las leyes de conservación con el enfoque eulerianoes necesario encontrar la relación entre el ritmo de cambio de lasvariables de campo siguiendo el movimiento y su ritmo decambio en un punto fijo. ↓

↓ Derivada total

o substancialddtφ⎧

⎨⎩Derivada local

φ∂∂

8

t∂

Relación entre los enfoques Lagrangianoy Eulerianoy Euleriano

Consideremos una variable de campo que varía con la posición y en el tiempo φ=φ(x,y,z,t)

y supongamos su valor conocido en un punto (x0 y0 z0) y en un instante t0 En ely supongamos su valor conocido en un punto (x0, y0, z0) y en un instante t0. En el

transcurso de un tiempo δt la partícula fluida se desplaza a otro punto de coordenadas (x0

+δx, y0+ δy, z0 +δz)

El cambio δφ podemos calcularlo mediante el desarrollo en serie de Taylor de la forma:

t x y zt x y z

φ φ φ φδφ δ δ δ δ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠terminos de orden superior

t

d

dt t x

δ δφ

φ φ φ

⎝ ⎠

∂ ∂⎛→ = +∂ ∂⎝

dividiendo por y teniendo en cuenta que es el cambio en la propiedad

siguiendo el movimiento dx dy dz

dt y dt z dt

φ φ∂ ∂⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

dt t x∂ ∂⎝

0lim , ,x

dt y dt z dt

d dx dy dz

dt t dt dt dtdd

φ δφδ

φ φ φ φ φ φ→

∂ ∂⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

=

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂

donde y u = v = w =

9

dv

dt t

du v w v

dt t x y z t

φ φ φ φ φ φ φ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + = + ⋅∇ →⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

∂= + ∇∂⎠

⋅

Relación entre los enfoques LagrangianoE l iy Euleriano

Usando la temperatura como variable tendríamosUsando la temperatura como variable tendríamos

T dTv T

t dt∂

= − ⋅∇∂

Donde es el vector velocidad. Al término se le llamaADVECCIÓN térmica y proporciona la contribución al cambio local de

ˆˆv ui v j wk= + + v T− ⋅∇

temperatura debida al movimiento.

Variación de Variación deVariación de temperatura 

temperatura temperatura debidatemperatura  temperatura debida siguiendo a la partícula fluida

en un punto fijo al movimiento

                             

medidas locales leyes de conservación medida locales

10

EjemploEjemploLa presión en superficie decrece hacia el Este 3 hPa por cadaLa presión en superficie decrece hacia el Este, 3 hPa por cada180 km. Un barco que navega hacia el Este mide una caída depresión de 1 hPa cada 3 horas. ¿Cuál será el cambio de presiónen una isla por la que el barco está pasando?en una isla por la que el barco está pasando?El cambio de presión en la isla se puede relacionar con elcambio de presión en el barco por la expresión:

∂ ∂= − ⋅

∂ ∂p dp p

ut dt x∂ ∂

∂ −⎛ ⎞⎛ ⎞= − − = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠1 hPa km 3 hPa 1 hPa

103 h h 180 km 6 h

pt

11

⎝ ⎠⎝ ⎠

y

Nv

vPara deducir expresiones matemáticas para las propiedades cinemáticas del campo de viento 

y

W Exu

utilizaremos el sistema de coordenadas de la derecha. El plano x‐y es en este caso el plano horizontal.

S

x yx, y

Para estimar el viento en un punto arbitrariox,y a partir del valor del viento en un punto cercano x0 y0 utilizaremos el desarrollo en serie x0, y0cercano x0, y0, utilizaremos el desarrollo en serie de Taylor

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Recordemos el desarrollo de Taylor 2D :y

0 0, 0 0( ) ( ) Términos de orden superiorx y

u uu u x x y y

x y∂ ∂

= + − + − +∂ ∂x y∂ ∂

0 0, 0 0( ) ( ) Términos de orden superiorx y

v vv v x x y y

x y∂ ∂

= + − + − +∂ ∂

Para mayor simplicidad , supondremos que  x0, y0 es el origen (0,0) y que podemos obtener una estimación adecuada de u,vreteniendo solamente las primeras derivadas Supondremosreteniendo solamente las primeras derivadas. Supondremos además que  las variaciones de  u y v son lineales. Entonces…

∂ ∂ v v∂ ∂0

u uu u x y

x y∂ ∂

= + +∂ ∂ 0

v vv v x y

x y∂ ∂

= + +∂ ∂

13

yyux

xuuu

∂∂

+∂∂

+= 0 yyvx

xvvv

∂∂

+∂∂

+= 0yx ∂∂ yx ∂∂

Demos un paso más y escribamos cada derivada por ejemplo como: :

xxvx

xvx

xv

∂∂

+∂∂

=∂∂

21

21

yuyuxuxuuu ∂+

∂+

∂+

∂+=

11110Que nos lleva a: (1)y

yy

yxx

xx

uu∂

+∂

+∂

+∂

+22220

yvyvxvxvvv ∂+

∂+

∂+

∂+=

1111

Que nos lleva a: (1)

(2)yy

yy

xx

xx

vv∂

+∂

+∂

+∂

+=22220

( )

14

… (1)yyuy

yux

xux

xuuu

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+=21

21

21

21

0

(2)

yyxx ∂∂∂∂ 2222

yyvy

yvx

xvx

xvvv

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+=21

21

21

21

0

Ah ibi d id id d i id

yyxx ∂∂∂∂ 2222

Ahora escribiremos dos identidades aparentemente sin sentido

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

=vvxvvy

21

210 (3)⎟

⎠⎜⎝ ∂∂

⎟⎠

⎜⎝ ∂∂ yyxxy

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

=uuxuuy

21

210

( )

(4)⎟⎠

⎜⎝ ∂∂⎠⎝ ∂∂ yyxx

y22

Pero, si sumamos (1) y (3) y también, separadamente (2) y (4).  Entonces, , ( ) y ( ) y , p ( ) y ( ) ,arreglando los términos llegamos a…………

15

0

1 1 1 12 2 2 2

u v v u u v v uu u x y x y

x y x y x y x y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + + − − + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠y y y y⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0

1 1 1 12 2 2 2

u v v u u v v uv v y x y x

x y x y x y x y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + + + − − − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠y y y y⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠D                         ζ F1 F2

Divergencia Vorticidad DeformaciónTraslación Deformación de Relativa de estiramiento cizalladura

0 1 2

1 1 1 12 2 2 2

u u Dx y F x F yς= + − + +0 1 2

1 1 1 1v v Dy x F y F xζ= + + − +

Cualquier campo de viento que varíe linealmente puede caracterizarse por estas cinco propiedades También los campos no lineales pueden

0 1 22 2 2 2ς

0 1 22 2 2 2y yζ

por estas cinco propiedades.  También los campos no lineales pueden aproximarse de forma suficiente con estas propiedades.

16

Hemos considerado las posibles sumas de las derivadas parciales de las p pcomponentes horizontales de la velocidad u y v respecto a las direcciones xe y. Recapitulamos e indicamos de nuevo sus expresiones y sus nombres. 

DEFORMACIÓNu v v u ⎧∂ ∂ ∂ ∂2   

DEFORMACIÓNu v v uD  DIVERGENCIA                    F

(Cizalladura)x y x y

DEFORMACIÓNu v v uF VORTICIDADζ

⎧∂ ∂ ∂ ∂+ ≡ + ≡ ⎨∂ ∂ ∂ ∂ ⎩

⎧∂ ∂ ∂ ∂− ≡ − ≡⎨

¿Qué pueden decirnos estas cantidades acerca de las características del movimiento del fluido? 

1 F                      VORTICIDAD   (Estiramiento)x y x y

ζ− ≡ − ≡⎨∂ ∂ ∂ ∂⎩

Podemos utilizar estas expresiones para ver como son físicamente estos

( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 0 2 1

1 1 1 1;

2 2 2 2ζ ζ= + + − − = + + + −u u D F x F y v v F x D F y

Podemos utilizar estas expresiones para ver como son físicamente estos cuatro tipos de movimientos puros.

Aunque haremos el estudio individualmente, en la atmósfera se presentan i ltá t i isimultáneamente casi siempre

17

1 1 1 1u u Dx y F x F yς= + + +

1 1 1 1v v Dy x F y F xζ= + + +0 1 22 2 2 2

u u Dx y F x F yς= + − + + 0 1 22 2 2 2v v Dy x F y F xζ= + + − +

yTraslación

Efecto de la traslación en un elementoEfecto de la traslación en un elemento fluido:

Cambio de localización, sin cambiosx

Cambio de localización, sin cambios en el área, la orientación, la forma …

18

1 1 1 1u u Dx y F x F yς= + + +

1 1 1 1v v Dy x F y F xζ= + + +

1 1;u u Dx v v Dy

0 1 22 2 2 2u u Dx y F x F yς= + − + + 0 1 22 2 2 2

v v Dy x F y F xζ= + + − +

y

Divergencia (D > 0)  Convergencia (D < 0)

0 0;2 2

u u Dx v v Dy− = − =

Efecto de la convergencia en un elemento de fluido: Cambio en el área, sin cambio en orientación, forma o localización.

x,

Ecuación de las líneas de corriente

1 1dx dy dx dy dx dy

= → = → = →1 12 2

ln ln ln( )

u v x yDx Dy

y x cte cte k y kx= + → ≡ = →Familia de rectas que pasan por el origen.

   0 Convergencia;     0 DivergenciaD D< >19

1 1 1 1u u Dx y F x F yς= + + +

1 1 1 1v v Dy x F y F xζ= + + +

1 1;u u y v v xζ ζ− = − − =

0 1 22 2 2 2u u Dx y F x F yς= + − + + 0 1 22 2 2 2

v v Dy x F y F xζ= + + − +

yVorticidad Positiva (ciclónica) (ζ > 0). Vorticidad Negativa (anticiclónica) (ζ < 0)

0 0;2 2

u u y v v xζ ζ− = − − =

g ( ) (ζ )Efecto de vorticidad negativa en un elemento de fluido: Cambio en la orientación,  sin cambios en el área, forma o localización

x

( ) ( )

Ecuación de las líneas de corriente

1 2 1 2dx dy dx dyu v y xζ ζ= → = →

( ) ( )1 2 1 2

0

u v y x

dx dyxdx ydy

y x

ζ ζ−

− = → + = →

2 2 Circunferencias

Sentido de recorrido: signo de 

x y cte

ζ+ = →

20

0 1 2

1 1 1 1u u Dx y F x F yς= + − + + 0 1 2

1 1 1 1v v Dy x F y F xζ= + + − +

0 1 0 1

1 1;u u F x v v F y− = − = −

0 1 22 2 2 2u u Dx y F x F yς+ + + 0 1 22 2 2 2

v v Dy x F y F xζ+ + +

yDeformación de estiramiento E‐W (F1 > 0). Deformación de estiramiento N‐S (F1 < 0). 

0 1 0 1;2 2

y

Efecto de la deformación de estiramiento sobre un elemento de fluido: Cambio en la forma, sin cambios en el área, la orientación o la localización.

E ió d l lí d i tx

1 1

Ecuación de las líneas de corriente

1 12 2

dx dy dx dy dx dyu v x yF x F y= → = → = − →

−2 2

ln ln ln( )

Familia de hipérbolas con los ejes X e Ycomo 

asintotas Sentido de recorrido: Signo de F

x y cte cte k xy k+ = → ≡ = →

1asintotas. Sentido de recorrido: Signo de F  El eje x es el eje de dilatación y el eje y es el eje de contracción21

1 1 1 1u u Dx y F x F yς= + + +

1 1 1 1v v Dy x F y F xζ= + + +

0 2 0 2

1 1;u u F y v v F x− = − =

0 1 22 2 2 2u u Dx y F x F yς= + − + + 0 1 22 2 2 2

v v Dy x F y F xζ= + + − +

yDeformación de cizalladura SW‐NE (F1 > 0). Deformación de cizalladura NW‐SE (F1 < 0). 

0 2 0 2;2 2

y

eje de dilatación eje de contracción

Efecto de la deformación de cizalladura sobre un elemento de fluido: Cambio en la forma, sin cambios en el área, la orientación o la l li ióx localización

Ecuación de las líneas de corriente

dx dy dx dy dx dy= → = → = →

2 2

1 12 2

Familia de hipérbolas con las bisectrices de 

u v y xF y F x= → = → = →

2

los cuadrante como asintotas. 

Sentido de recorrido: Signo de F  22

¿Por qué estamos interesados en estas propiedades?

Divergencia neta en una columna de aire lleva al desarrollo de baja presión en superficieConvergencia neta en una columna de aire lleva al desarrollo de alta presión en superficie

TROPOPAUSA

divergencia convergencia

dconvergencia divergencia

superficieB A23

Vorticidad Vertical  (rotación alrededor de un eje vertical) surge de tres fuentes:Cizalladura horizontal del viento, curvatura, y de la rotación de la tierra.

Vorticidad Relativa: cizalladura y curvatura.

v u∂ ∂

v ux y∂ ∂

−∂ ∂

Vorticidad absoluta: cizalladura, curvatura y rotación de la Tierra.

¡Muy importante!  Habrá que estudiarlo despacio

??v ux y∂ ∂

− +∂ ∂

Norte

0ς >0ς < Norte

ς

PoloNorte

0ς <Cizalladura Curvatura

0ς >Ecuador

24

La vorticidad absoluta permite identificar ondas cortas y zonas de cizalla en la corriente en chorro. Las ondas cortas desencadenan ciclogénesis y pueden ayudar a desencadenar profunda convección en la estación cálidaprofunda convección en la estación cálida. 

25

La advección de vorticidad positiva en un mapa de 500 mb puede usarse como una aproximación de la divergencia mas arriba y esta relacionado con el desarrollo deaproximación de la divergencia mas arriba, y esta relacionado con el desarrollo de superficies de baja presión y movimientos ascendentes.

26

La deformación es fundamental para el desarrollo de frentes

y yTiempo = t Tiempo = t + Δt

T‐ 6DT

T‐ 7DT

T‐ 8DT

T‐ 8DT

x x

T 2DT

T‐ 3DT

T‐ 4DT

T‐ 5DT

T‐ DTT‐ 2DTT‐ 3DTT‐ 4DTT‐ 5DTT‐ 6DTT‐ 7DT

T

T‐ DT

T‐ 2DT TT DT

27

EJEMPLOS DE DEFORMACIÓN

Ejes de Dilatación

28

EJEMPLOS DE DEFORMACIÓN

Ejes de Dilatación

29

FLUJOS CONFLUENTE Y  DIFLUENTE

¿Es convergente este flujo? ¿Es divergente este flujo?

NO:  Las áreas de las dos cajas son idénticas.  El flujo es una bi ió d l ió d f iócombinación de traslación y deformación.

30