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CONECTIVOS LGICOSCONECTIVOS LGICOS

1. NEGACIN:No, Nunca, Jams, Es falso que, No es posible que,Es mentira que, No es cierto que, De ninguna forma,Es absurdo que,

*Tabla de verdad:p

2. CONJUNCIN:y, adems, tambin, !!!sin embargo, no

obstante, tal como, al igual que, as" como, incluso!!!, pero, aunque, a la ve#*Tabla de verdad:

p q$%%%

3. DISYUNCIN INCLUSIVA:&,salvo que, a menos que,e'cepto que

*Tabla de verdad:p q$$$

%

4. DISYUNCION EXCLUSIVA:&!!!! o!!!, & bien o bien!, & es que!! o esque!!!,*Tabla de verdad:

p q%$$%

5. IMPLICACIN MATERIAL O CONDICIONAL DIRECTA:Entonces!!!!!, !!por lo tanto!, !por consiguiente!, !luego, !!!!en consecuencia!, !!!!por ello!, !implica

que!, de modo que , es obvio que, etc!*Tabla de verdad:p

q$%$$

6. REPLICA MATERIAL O CONDICIONAL INVERSA:(iempre que , si es que, debido a que, dadoque, puesto que, ya que, porque, etc!*Tabla de verdad:

p

q

$$%$

7. ICONDICIONAL O DOLE IMPLICACIN:(i y solo si, siempre y cuando, es idntico a,

equivale a que, es, !!!!!entonces y solo entonces,siempre que y s)lo cuando,es una condici)n necesaria ysuciente!, etc!*Tabla de verdad:

p q$%%$

!. NEGACIN CONJUNTA:*("mbolo:

(c+eer p q

*-alabras usuales: Noy no, Ni ni

*Tabla de verdad:p q%%%$

*Equivalencia: p q p q

". NEGACIN ALTERNA:*("mbolo:

(c+eer p q

*-alabras usuales: No o no*Tabla de verdad:

p q%$$$

*Equivalencia:p q p q

LEYES DEL #LGERA PROPOSICIONAL

1. L$%$& '$ () +,-,/0,:.!. p p p /0dempotencia1.!2 p q q p /3onmutativa1.!4 /p q1 r p /q r1 /5sociativa1

.!6 p p % /No contradicci)n1

.!7 p $ p

.!8 p % %

2. L$%$& '$ () '/&%,/0,:2!. p p p /0dempotencia12!2 p q q p /3onmutativa12!4 /p q1 r p /q r1 /5sociativa12!6 p p $ /Tercero E'cluido12!7 p $ $2!8 p % p

3. L$%$& '/&//)&:4!. p /q r1 /p q1 /p r14!2 p /q r1 /p q1 /p r1

4. L$% '$ () +,'//+,)(: p q p q

5. L$%$& '$ /+,'//+,)(:

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7!. p q /p q1 /q p17!2 p q /p q1 /p q1

6. L$%$& '$ '/&%. E(&/):8!. p q /p q18!2 p q /p q1 /p q1

7. L$% '$ '+($ ,$)/0,: / p 1 p

!. L$%$& '$ +),:9!. /p q1 p q9!2 /p q1 p q

". L$%$& '$ )&+/0,:!. p / p q 1 p!2 p / p q 1 p!4 p / p q 1 p q!6 p / p q 1 p q

CIRCUITOS LGICOS

CIRCUITO EN SERIE: P 8

P Q

CIRCUITO EN PARALELO: P 8

P

Q

IN9ERENCIAS NOTALES

(on inferencias que por su estructura siempre resultan servlidas!

1. M+'& P+,$,'+ P+,$,& PP;

P Q

P

Q ( P P )

2. M+'& T+(($,'+ T+(($,& TT;

P Q

Q

P (TT )

3. S/(+/&+ D/&%,/+ SD;

P Q P Q

P Q

Q (SD) P (SD)

5. S/(+/&+ /+ S

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4. CUADRO DE LAS OPOSICIN TRADICIONAL

OECIO;:Es un cuadro que resume de una manerasimple las relaciones entre las formas t"picas de lasproposiciones categ)ricas:

SILOGISMO CATEGRICO

1. DE9INICIN: Es una estructura formada por tresproposiciones categ)ricas, donde dos de ellas son llamadas-remisa ?ayor, -remisa ?enor y otra es llamada 3onclusi)n!

2. TRMINOS DE UN SILOGISMO: (on tres:

2.1 T>/,+ M)%+ P;:Es el predicado de la conclusi)ny se encuentra en la -remisa ?ayor!2.2 T>/,+ M$,+ S;:Es el su;eto de la conclusi)n yse encuentra en la -remisa ?enor!2.3 T>/,+ M$'/+ M;: (e encuentra en las dospremisas, pero no est en la conclusi)n!

3. 9IGURAS DEL SILOGISMO: (on las diferentesposiciones en las que encontramos ubicado al Trmino?edio, estas son:

.ra%

2da%

4ra%

6ta%

?ayor

?- -? ?- -?

?enor

(? (? ?( ?(

3oncl! (- (- (- (-

E;m!Ning>n roble es arbusto ytodo roble es un rbol, ning>n rbol es arbusto

?-?((-

E;m!5lg>n m>sico es pianista ytodo artista es m>sico,

cierto pianista es artista!

-??((-

4. MODOS DEL SILOGISMO: Estn constituidos por lasdiferentes formas t"picas de las proposiciones categ)ricas,en el orden antes mencionado, es decir: -remisa ?ayor,

-remisa ?enor y luego la conclusi)n!E;m!Ning>n insecto es vertebrado, y cierto vertebrado no esalado, alg>n alado es insecto!

?odo: E&0

E: corresponde a la premisa mayor&: corresponde a la premisa menor0: corresponde a la conclusi)n

5. 9ORMA DE UN SILOGISMO: Es colocar ordenadamenteel modo y gura de un silogismo!

E;m!Todas las frutas son dietticas, yalgunas frutas son econ)micas,pocas dietticas son econ)micas!

%ig: 4ra?odo: 0 5 0%orma: 0 5 0 @ 4

?-?((-

6. MODOS V#LIDOS DEL SILOGISMO: (e sabe que losmodos posibles que se pueden organi#ar con trestrminos son 86 en total, pero esto es en una sola gura,lo cual indica que en total se puede obtener 278silogismos totalmente diferentes, de los cuales solamente26 son vlidos, de ellos . se les conoce con una nombrelatino con las vocales de las proposiciones categ)ricas,

estos modos vlidos son los siguientes:

1RA 9IGURA 2DA 9IGURAA5BA5B53E

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9! (implicar:

( ) ( )~ p p ~ q q ~p q

a! p q b! q pc! p q d! q p

! (implicar:

( ) ( )p ~q ~ p p ~q

a! p q b! p c!

~

q d!

~

p q

.P! (implicar:

( ) ( )~ p p q ~p ~q

a! % b! - c! q d! $ e!

~

p

..!

( ) ( )C v - A & B & A C B

a! 5 A b! A 3 c! 5 K3d! 5 K3 e! 5 3

.2! (implicar:

( ) ( ){ }p q. r . q r . p p

a!

p

b! p r c!

rq

d!

p.r

e! p

.4! (implicar:

~ (~q p) (~p q)

a! p q b! p q c! pqd! p q e! p q

.6! (implicar:

(~q ~r) (~p q) (p l r)

a! pIq b! T c! % d!

~

rp e! rq

.7! (implicar:

p ~(q p) ~q

a! p

~

q b! p .q c!

~

p q

d!

~

p .

~

q e! p

~

q

.8! (implicar:

~(~p q) ~ (p q) p (~ p.r)

a! % b! $ c!

~

p

d! p

~

q e!

~

q p

.Q! (implicar:

( ) ( ) ( ){ }{ }~ p p r s vt ~p ~r rv s

a! p b! q c!

~

p d!

~

r e!

~

s

.9! (implicar:

~

p /p v

~

q1a! p q b! q p c! p qd! q p e! p q

.! Beducir:

~ ~(p q) ~q) q

a! =

~

q b!

~

p q c! p q d!

~

p e! p q

2P! (implicar:

( ) ( ){ } ( )~p q ~ q p r p q

a! p b!

~

p c! q d!

~

q e! p v

~

q

2.!

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e!

]trrpqp~qp~

2! K3untas armaciones son verdaderasL0! Es idempotente00! Es conmutativa000! % es la identidad de

0$! p q

p v q

a! P b! . c! 2 d! 4 e! 6

CIRCUITOS LOGICOS

4P! El circuito l)gico ms simple de!

Es:

a!

b!

c!

d!

e!

4.! (implicar el circuito:

a! p b! q p c! p q

d! p

~

q e!

~

p q

42! Determinar la proposici)n simplicada de:

a! p U

~

q b!

~

p v q c! p v q

d! p v

~

q e!

~

p U

~

q

44! Beducir el circuito:

a! p U

~

q b! q p c!

~

p U

~

q

d!

~

q

~

p e! p v

~

q

46!

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!

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-41 p WW

r

4! -.1 p

-21 q p

-41 r v q WW

r

6! -.1 p U q

-21 q /r s1

-41 /t r1 v p WW

t s

7! -.1 /p v q1

-21 r /p v q1

-41 r v /s p1 WW

q U s

8! -.1 /p v r1 q

-21 r s

-41 /s v r1 p

-61 s q WW

r t

Q! -.1 /p q1

-21 /q r1 /s U t1

-41 /p U s1 S

-61 X /t U S1 WW

p X

9! -.1 /p q1

-21 /q r1 /s U t1

-41 /p U s1 S

-61 X /t U S1 WW

p X

LOGICA DE CLASES

.! &btenga el equivalente de cada una de las siguientesproposiciones seg>n el cuadro tradicional de la oposici)n!.!.! Todos los musulmanes son ma+ometanos.!2! Ning>n diplomtico es descorts.!4! 5lgunos +roes son militares.!6! 5lgunos novelistas no son pol"ticos.!7! Es falso que ning>n religioso sea gobernante

2! (i es verdadera cada una de las siguientes proposiciones,obtenga las conclusiones que se derivan vlidamenteseg>n el cuadro tradicional de la oposici)n!2!.! Todos los planetas giran alrededor del (ol!2!2! Ning>n pa"s capitalista es subdesarrollado!2!4! 5lgunos mercenarios ganan muc+o dinero!

4! (i es falsa cada una de las siguientes proposiciones,obtenga las conclusiones que se derivan vlidamenteseg>n el cuadro tradicional de la oposici)n!4!.! Todos los mam"feros son acuticos!4!2! Ninguna mquina es peligrosa!4!4! 5lgunos pa"ses productores de cobre son

subdesarrolados!

6! -or conversi)n obtenga la conclusi)n que se derivavlidamente de cada una de las siguientes proposiciones!6!.! Todos los desiertos estn des+abitados!6!2! Ning>n mapa del desierto es sucientemente claro!6!4! Ning>n ser vivo es inorgnico!

7! -or obversi)n obtenga el equivalente de cada una de lassiguientes proposiciones:7!.! Todos los curanderos son pintorescos!7!2! Ning>n auto deportivo es aburrido!7!4! 5lgunas escrituras no son!

8! (i la proposici)n algunos religiosos no son polticos esverdadera, determine respecto de ella si es verdadera,

falsa o indeterminada cada una de las siguientesproposiciones, y por qu!8!.! Ning>n religioso es pol"tico!8!2! 5lgunos religiosos son apol"ticos!8!4! 5lgunos religiosos son pol"ticos!

Q! (i la proposici)n todo deporte es divertidoes verdadera,diga con respecto a ella si es verdadera, falsa o indenidacada una de las siguientes proposiciones, y por qu!Q!.! 5lgo que no es divertido es noYdeporte!Q!2! 5lgo que es deporte no es divertido!Q!4! Ning>n deporte es noYdivertido!Q!6! 5lg>n deporte es divertido!Q!7! 5lgo que no es divertido no es deporte!

SILOGISMO

9! 0ndique a qu modo y gura pertenece c adasilogismo que aparece a continuaci)n! sicos! De a+" que, algunos artistas de cine sonpintores!

9!4! Ninguna ballena es rumiante! Todas las ballenas sonacuticas! n insecto es vertebrado! 5lgunos animales

vertebrados son mam"feros! -or lo tanto, algunosmam"feros no son insectos!

9!7! Ning>n socialista es republicano! 5lgunos economistasno son socialistas! De modo que, algunos republicanosno son economistas!

9!8! Todos los ciudadanos son mayores de .9 aos! Ning>nnio es mayor de .9 aos! n ciudadano esun nio!

9!Q! 5lgunos astronautas no llegaron a la n riesgo es calculado!

9!.2! 5lgunos ;ueces no son des+onestos, puesto quealgunos ;ueces son ;ustos y ning>n des+onesto es;usto!

9!.4! 5lgunos d"as festivos son noYlaborables, en vista deque ning>n d"a laborable es un d"a dedicado al turismo!

9!.6! Es falso que todos los satlites giren alrededor deJ>piter, porque no todos los que giran alrededor deJ>piter giran alrededor de la Tierra!

9!.7! 5lgunos manantiales salen de rocas coloreadas, porlo tanto algunos manantiales no son cristalinos, puesto

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1. +ace tiempo que necesita una pol"tica de generaci)nde empleo para los ms necesitados!

22. En nuestra casa antigua ten"amos varias gatas, unas

nos serv"an para cambiar de llantas a los carros, las otrase'terminaban a los molestosos pericotes!

23. No me gust) lo que +i#o el animal de tu amigo!

24. K3undo vas a de;ar de ser mentirosaL

25. 3uando un gobierno reprime policialmente a los clubesde madres por pedir alimentos para sus +i;os sin aceptarpara nada mtodos racionales

26. =n pa"s imperialista pide a un pa"s pobre queCliberalice su econom"a so prete'to de no concederleprete'to de no concederle prstamo o comprarle su materiaprima

27.

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5*a

*e*i

*o *u

A

*. *2 *4

*6

*7 *8

*Q*9 **.P

E

*g

*s*i

*m*a *t

*a *i

*o

5

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pienso que no se negar porque =d! 3omprender miproblema

43.[G\, los ;abones importados de fragancia e'quisita sonusados por nueve de cada die# estrellas del cine

44. merosnaturales!

4. DETERMINACIN DE CONJUNTOS

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5 _ `'W' = ' 5

E-$=(+:5 _ `6, 9, .P = _ 'W' N 2 ' .2El con;unto: 5 _ `4,7,8,Q,,..

PRACTICA 2

.! En una ciudad al 27 de la poblaci)n no le gusta lacarne y al 7P no le gusta el pescado! Hallar el degente que gusta de carne y pescado si el 7 no gustade ninguna de ellas!

a1 .7 b1 2P c1 27 d1 4P e1 N!5!

2! En una esta donde +ab"an QP personas, .P eran+ombres que no les gustaba la m>sica Csalsa, 2P eranmu;eres que gustaban de esta m>sica! (i el n>mero de

+ombres que gustaba de la m>sica Csalsa es la terceraparte de las mu;eres que no gustan de esta m>sica! K5cuntos les gusta la m>sica CsalsaL

a1 2P b1 26 c1 28 d1 29 e1 4P

4! De un total de 77 alumnos de un sal)n de la 5cademia,42 aprobaron 5ritmtica, 22 lgebra, 67 Oeometr"a, 7aprobaron los 4 cursos! (i 7 alumnos no aprobaronninguno de los 4 cursos, K3untos aprobaron s)lo dosde estos cursosL

a1 .8 b1 27 c1 4P d1 46 e1 4

6! 5 y A son dos con;untos tales que:

n/51 n/A1 _ 94 n/5 A1 _ Q6

3alcular n /5 A1a1 QP b1 9P c1 8P d1 87 e1 Q77! De 9P personas encuestadas sobre el uso de cigarrillos,

se +a obtenido que 2P mu;eres no fuman y de losencuestados 66 son varones! K3untas de lasencuestadas fuman cigarrillosL

a1 2P b1 26 c1 .9 d1 .8 e1 .2

8! De los .PP estudiantes de un sal)n, QP aprobaronmatemticas, 9P aprobaron +istoria y Q9 aprobaroncastellano! (i P aprobaron e'actamente 2 cursos,K3untos aprobaron en los 4 cursosL

a1 . b1 2. c1 .. d1 .4 e1 49

Q! Entre los +abitantes de un distrito se +a reali#ado una

encuesta sobre quienes poseen ciertos artefactos y se+a obtenido los siguientes datos:

9P tienen televisor! P tienen radio! 8P cocina a gas! 2 no tienen ninguno de los artefactos anteriores! 77 tienen los tres artefactos

K3untos personas tienen solamente un artefactoLa1 2P b1 22 c1 .P d1 2. e1 ..

9! (i:

- M _ `a, b, c, d, e- @ M _ d, e - M _ `c

3alcular: n/M Y -1 n/M1

a1 4 b1 6 c1 7 d1 8 e1 Q

! (i:

5 _ `a, b, c, d, e, f, gA _ `f, b, c, +, i, ;3 _ `a, c, e, i, S, lD _ `a, b, d, f, S, i, ;

Hallar: 3 hD @ /5 A1

a1 a, i, ; b1 a, b, c c1 a, i, S

d1 a, ; e1 N!5!

.P! En una encuesta tomada el verano pasado a un grupode 8PP baistas se supo que: 27P usaban tanga, 22Pusaban +ilo dental, .PP usaban tanga e +ilo dental!K3untas no usaban tanga ni +ilo dentalL

a1 .4P b1 24P c1 44P d1 42P e1 4P2

..! (ean 5, A y 3, incluidos en C( tal que:

n/51 _ 66 n/(1 _ .PPn/A1 _ 6. nh5 @ /A 31 _ 2Pn/31 _ 67 nhA @ /5 31 _ .7n/5A31 _ 7 nh3Y/5A1 _ 2Py nh/5 A1 @ 3 _ nh/531 Y A .

Hallar: nh/A 31 Y 5

a1 Q b1 9 c1 d1 .P e1 ..

.2! (i el con;unto potencia de T posee 86 elementos, K3ulde los siguientes puede ser el con;unto TL

a1 `'4W' 8Z ' N b1 ., 2, 4, 6, 7, 8, Q

c1 'W' es una vocal d1 `'\W'6_ .8 '2 _.e1 N!5!

.4! De un grupo de .PP alumnos, 6 no llevan el cursobsico 0 y 74 llevan el curso de f"sica 0! (i 2Q no llevan

ninguno de estos cursos, K3untos llevan uno, y s)louno de los cursosL

a1 62 b1 64 c1 67 d1 6P e1 4

.6! De un grupo de turistas:

4. visitaron el3allao!

2 visitaron Tru;illo! 46 visitaron el

3usco! 49 visitaron s)lo y

nada ms que . lugar! 22 visitaron

e'actamente 2 lugares!

K3untos visitaron los 4 lugares y cuntos eran en totalL

a1 6 y 8P b1 4 y 86 c1 86 y 4d1 6 y 86 e1 86 y 6

.7! De ..P personas que leen por lo menos dos de las tresrevistas 5, A y 3 se observa que 6P leen las revistas 5, Ay 3 se observa que 6P leen las revistas 5 y AZ 7P leen 5y 3Z 8P leen A y 3! K3untas personas leen las tresrevistasL

a1 2P b1 . c1 2. d1 .9 e1 22

.8! En un colegio +ay 79 profesores, de los cuales 49ensean matemtica, .7 +istoria y 2P cienciasnaturales, si +ay 4 profesores que ensean los 4 cursos!

K3untos de ellos ensean por lo menos, 2 de los 4cursosL

a1 6 b1 8 c1 Q d1 9 e1

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.Q! En cierta olimpiada participaron 9QP deportistas en tresdeportesZ f>tbol, bisbol y nataci)n! De ellos 69Pparticiparon en nataci)n, 89P participaron en futbol obisbolZ P participaron en los dos primeros deportespero no en el tercero! K3untos participarone'clusivamente en un solo deporteL

a1 69P b1 6P c1 7PP d1 6QP e1 697

.9! =na cantidad de .PP seoritas rindieron tres e'menespara ocupar una vacante en una instituci)n en lospuestos de mecanograf"a, taquigraf"a y recepcionista!(eg>n el e'amen de selecci)n se obtiene que: 89seoritas aprobaron el primer e'amenZ 9P aprobaron elprimero y segundo e'amen solamente, .8 aprobaron elsegundo y tercero >nicamente! (i se dio la orden de quese contrate a las seoritas que aprueben los trese'menes, K3untas seoritas se puede contratar, siadems s)lo .P seoritas aprobaron el primer y tercere'amen, y que todas aprobaron al menos un e'amenL

a1 4. b1 42 c1 44 d1 46 e1 47

.! De 7PP postulantes a las universidades 5, A y 3, 42P nose presentaron a C5Z 22P no se presentaron a C3Z 28P

no se presentan a CA! los que postulan a una solauniversidad son 42P! K3untos postulan a las 4universidadesL

a1 2P b1 4. c1 . d1 .9 e1 2.

2P! Entre los varones que se alo;an en un +otel 6P sonperuanos y 8P ingenierosZ de los primeros, los j tienencomputadora, de los peruanos con computadora lamitad son ingenierosZ 7 de cada 8 ingenieros tienencomputadora! Hallar cuntos varones con computadorasno son peruanos ni ingenieros, si en el +otel se alo;an 97personas con computadora!

a1 2P b1 2. c1 22 d1 24 e1 26

2.!

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51 42 A1 4P 31 29 D1 28 E1 46

42! En una clase de 7P alumnos, se practica tres deportes:5tletismo, Asquet y %ulbito!

* tbol, .. alumnos que practican tenis, 8alumnos que practican los tres deportes, 2 alumnos quepractican f>tbol y bsquet pero no tenis, . alumno queprctica bsquet y tenis pero no f>tbol, 4 alumnos quepractican solo tenis!

K3untos alumnos practican s)lo un deporteL51 Q A1 7 31 .7 D1 4 E1 .2

4! De un grupo de 67 cac+imbos, se sabe que .6 alumnosno tienen .Q aos, 2P alumnos no tienen .8 aos, 9alumnos y 4 alumnas no tienen .8 ni .Q aos!

K3untas alumnas tienen .8 ) .Q aosL

51 8 A1 .8 31 2Q D1 .2 E1 4

6P! 5 un matrimonio asistieron .7P personas, el n>mero de+ombres es el doble del n>mero de mu;eres!

De los +ombres: 24 no usan relo; pero si tienen terno, y

62 tiene relo;!De las mu;eres: las que no usan minifalda son tantas

como los +ombres que no usan terno ni relo; y 9 tienen

minifalda y relo;!K3untas mu;eres usan minifalda, pero no relo;L51 Q A1 8 31 9 D1 7 E1

6.!

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51 .4 A1 .6 31 .7 D1 .8 E1 .Q

64! En un con;unto de 4P personasZ .8 estudiaron en launiversidad 5Z .. en la universidad A y .8 en launiversidad 3!

(i s)lo 2 personas estudiaron en las universidades 5, A

y 3!K3untos estudiaron e'actamente en una de estas

universidades, considerando que todas las personas

estudiaron al menos en una de dic+as universidadesL51 .8 A1 .Q 31 .9 D1 . E1 2P

66! En una encuesta +ec+a en una urbani#aci)n a un grupode amas de casa sobre el uso de tres tipos dedetergente /5, A y 31 se obtuvieron los siguientes datos!

Del total: =san s)lo 5 el .7Z 5 pero no A el 22Z 5 y 3

..Z A y 3 .4!

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1 : 2 0, , , , ...

4 3 1/

51 PZ . A1 .Z 44W86 31 PZ 44W86D1 44W86 E1 .Z P

77! (ea:

15 05 3A 5 R >5 .

= = +

Hallar la suma de su supremo con su innito si e'iste:

51 9W7 A1 Y. 31 P D1 6W7

E1 El con;unto 5 no tiene supremo ni innito

7Q! (ealar la proposici)n verdadera:

51 Dado 5 N, tal que: 5_`., 2, 4, 6! El n>mero de lossubcon;untos no vac"os de a es .7

A1 Dados tres n>meros naturales consecutivos nunca

uno de ellos es m>ltiplo de 431