no se generan frentes de onda con gradientes pronunciados y se puede suponer existe una distribucin hidrosttica de presiones. Consideremos el caso de una expansin abrup-ta desde una anchura B1 hasta una anchura infinita. El anlisis dimensional nos indica

que la variacin de profundidad y, relativa a la profundidad inicial y 1 para la cual existe un nmero Fraude F1, se puede expresar por la relacin funcional

(7.24)

donde x es la coordenada longitudinal medida desde la seccin de salida y, z es la coorde-nada lateral medida desde la lnea de centro del canal. Esta relacin funcional fue desa-rrollada por H. Rouse, Bhoota, B.V.; y Hsu, E. en 1949, y el diagrama adimensional ge-neralizado con valores experimentales se presenta en la Fig. 7.15 en la cual se observa al-gunas desviaciones para los diferentes nmeros de Froude.- De acuerdo con los resultados experimentales la funcin que representa el contorno slido para la expansin ms efi-ciente est dada por

..L 8,

1 =

2 _x __ ) 3/2 + B1 F 1

1

2

15 r--------,----77--r-;r------,-;;;r-------, 1. 5 F, , I

F, = 2

.-. .-.-.-\.0 ........ ==-----t------_i lO

\ \ ...

o

\ o . , E Je de SlmetrlQ

0.5

x

e,F,

.. --- ..

o 2.0

FIG.7.15. Superficie libre generalizada para una corriente con Expansin Abrupta

(7.25)

199

FIG.1.16.

1 5 r---'-":o=:-::-:;~",,------'-------r.~------' 1.5 Valores de 'i/~

F,'l -"-

F,' 2 F,' 4 F,' e

J--1-,., ----1 1 0 1 o f------+------;1Ii"'----"'~-_+' '0'''0.

~.

0,t '" o .

"'.. \ \ \

----'...-!------\.-1 0.5

Generalizacin experimental de la Expansin Gradual ms eficiente.

Esta forma de contorno corresponde aproximadamente a la lnea de corriente que confi-na cerca del 90 % del flujo y elimina la formacin de ondas transversales; sin embargo, el contorno diverge indefinidamente. En los problemas prcticos, las paredes divergentes de la expansin se continuarn usualmente en una transicin abrupta o en una grad ual, ori-ginndose perturbaciories positivas. Cuando las circunstancias lo permitan parece conve-niente establecer un resalto hidrulico en la prximidad de la seccin terminal de la ex-pansin y este puede estabilizarse mediante alguno de los dispositivos estudiados previa-mente. Rouse y sus colaboradores encontraron que las perturbaciones que se originan en

el canal de aguas abajo pueden ser eliminadas mediante una curva que revierte en tal for-ma que las perturb,lciones positivas y negativas se anulen dando lugar a un flujo uniforme completamente restaurado aguas abajo. Las curvas de los'contornos, en la Fig. 7.17 , fue-ron halladas por el mtodo de las caractersticas y permiten una buena aproximacin en el disel10 de expansiones en canales en los cuales la anchura se expande desde una anchura B 1 hasta otra anchura B2.

200

2.5

11 Lrn I _,d 8. , 20 ,~J-c_~. __ b ~. --r

#' I ~ ~; ~

51 l J~

l'

8, I

1.0

05

_L._~ ___ ~J_J O 9 10 Il 12'

f1

vamente.,

7. 4.1.

fluido cerca del fondo tiende a seguir una curvatura mucho mas pronunciada para mante-ner el balance entre las fuerzas centrfugas y las fuerzas de presin. Como se req uiere que exista continuidad en el flujo de las masas del fluido, este fluye hacia arriba a lo largo del contorno convexo mas interno mientras que el luido en la proximidad del contorno cn-cavo mas externo fluye hacia abajo. Las corrientes en espiral inducidas tienden a trans-portar el material erosionado hacia el contorno interno donde se establecen zonas de de-posicin.

a) - VISTA EN PLANTA

o

R

-8- -----

/

FIG. 7.18.

y

I I A 8

b)- ESQUEMA DE LA SECCION TRANSVERSAL

Flujo con Trayectoria en Espiral en una Curva

Si consideramos que el flujo que se aproxima a la curva es irrotacional, lo cual co-rrespondera a una condicin de completa uniformidad en la entrada, podernos suponer que la ecuacin del movimiento irrotacional sigue siendo vlida para una partcula en el interior de la curva y por lo tanto la ecuacin de Euler en la direccin normal se puede escribir como

a (P+'Yz) al' (7.26)

donde (p + 'Y z) = 'Yy corresponde a la presin sobre el fondo causada por la profundidad y del callal en el pUllto donde est ubicada la partcula en consideracin y a es la acelera-cil)!l normal, la cual segn la ec. 1.9 est d

p r 'Y

ay a r (7.27)

Suponiendo que la velocidad sea aproximadamente constante, la integracin de la ec. 7.27 conduce a

y= v2

---1n r + C g

(7.28)

donde g.= "1/ p. El valor de C se determina para la condicin hipottica y=y en r=R, I aSl

C = y - (V2/g) lnR, y por lo tanto

r y -y = In R (7.29)

Esta ecuacin nos d la elevacin de la superficie libre relativa a la profundidad nor-mal de aproximacin y para cualquier punto ubicado a una distancia r del centro de giro para un fondo que no haya sido sometido al proceso de erosin. Si se produce erosin y deposicin, entonces en la seccin A de la Fig. 7.18.b aumenta la resistencia con respec-to a B ya que la profundidad es menor que en B y en consecuencia la velocidad en A es menor que en B originando un flujo rotacional al cual no se le pueden aplicar las hipte-sis desarrolladas para un fondo fijo. En el canal estable se puede evitar la sobree1evacin de la su perficie libre diseando un fondo con una curva simtrica a la de la superficie, por debajo del fondo horizontal.

Ejemplo 7.3

Para hallar la diferencia de elevacin entre los dos con tontos laterales de una curva de radio R=500 m., y una velocidad V=l m/s y una anchura en la superficie libre B=200 ill., el Dr. Mamak, en 1964, desarroll una ecuacin con forma logartmica, de forma semejante a la obtenida en este tex,to en la eco 7.29. Mamak hall, con su ecuacin que .6.y=4 cm. Comparar la solucin con la correspondiente a la eco 7.29.

203

contorne):] cnc~\Jo

7 ')0 , ...J /

vi , !

t

f

.1,.,,' . I \ f"~: ~~-_. \- _) I

2 ~--- -{- 1

La~ VJf!~1Cionc:;

COnl1(;rp~a a OCUTl :0;:

7.4J

f) = are tg R+

donde e

(7 31)

repentinamente; la sobreelevacin hasta alcanzar su despus

profundidad el la de la curva.

8=L/ (R+

lYlediante secciones sinl-rectos, producien-

(7,32)

205

R.T. Knapp, en 1949, hall que la mxima sobreelevacin sobre el nivel del flujo de apro-ximacin, en flujo supercrtico era igual a

(7.33)

o

FIG.7.19. Esquema de Perturbaciones en un Canal en Curva Circular

valor que corresponde a dos veces la sobreelevacin que se producira en un flujo subcr-tico con distribucin irrotacional de velocidades. En la seccin transversal CD, donde ocurre el primer mximo, la lnea a'a representa la posicin terica de la superficie de agua si el canal fuera recto, la lnea bb' representa la posicin terica de la superficie li-bre en flujo subcr tico y la lnea cc' la superficie del flujo supercr tico. En la seccin transversal FG, donde se produce la mnima profundidad en el contorno cncavo, la su-perficie libre coincide con

Las perturbaciones que se prolongan aguas abajo de la secclOn tangente de salida

tambin tienen una longitud de onda igual a 2B/tg~, pero como el cambio repentino en la curvatura produce perturbaciones adicionales quc se superponen con las anteriores, de igual longitud de onda, se puede. disear la curva con angulos 28, 48, 68 o siguientes de tal forma que se anulen todas las perturbaciones hacia aguas abajo de la seccin de salida.

EJERCICIOS

F.jercicio 7.1.

Un conducto con una seccin transversal como la mostrada termina en una cada abrupta. Si la seccin terminal en (2) fluye llena hasta la mitad, determinar, despreciando las prdidas:

a. El caudal. b. La mxima elevacin permisible Zo de la seccin (2) para que persista la condi-

cin de su perficie libre en el condu cto, aguas arriba de la seccir. (1)

I y

I I ___

___ r-o

_1-

Ejercicio 7.2.

Disear una transicin entre un canal rectangular de 3,0 m. dc ancho y otro de 1,5 m. La profundidad del agua en el primer canal es Ynl = 0,10 m. y en el segundo es Yn2=

= 1,5 m. El gasto es de 7 m 3/s. Tomar el perfil de parbola que revierte para la superficie libre del agua.

Ejercicio 7.3.

Un canal rectangular de 1,5 m. de ancho tiene una pendiente de 1 por miL El caudal es de 1,8 m 3/s y el factor de rugosidad de Manning es n=0,012. Determinar la profundi-dad del flujo norm,11 y hallar la anchura de una contraccin, en el canal, que produzca flujo crtico. Despreciar las prdidas de energa en la transicin. Obtener el perfil de la superficie libre l lo largo de la seccin que se contrae linealmente desde la anchura dada has ta la ,mch ura crtica.

207

Ejercicio 7.4.

Un flujo super crtico definido por las condiciones F 1 =4, Y 1=0,35 m. pasa a travs

de una seccin que se contrae linealmente con un ngulo de deflexin e, el cual causa un aumento de profundidad del 100,0. La anchura inicial del canal es B=1,42 m. La lon-gitud L de la contraccin se determina por la interseccin de los frentes de onda oblicuos en el eje central del canal. Ms all de este punto el fondo del canal cae abruptamente a un nivel mucho menor. Para la realizacin de los clculos, se puede suponer q tie los fren-tes de onda son verticales.

a. Determinar la longitud L de la transicin. b. Hallar la anchura b de la seccin terminal. c. Establecer el nmero de Froude del flujodeflectado.

Ejercicio 7.5.

Demostrar que la diferencia de elevaciones y de la superficie libre de un canal abierto en flujo sub crtico, en una curva de radio R y con una anchura B en la superficie libre, si se supone gue el flujo es irrotacional a travs de la curva del canal, est

o (1

En r,:::ste

ESPACIALlvIErH'E

8.2.1. Flujo con incrementos de Caud,!l

Si en la Fig. 8.1, el canal fuera horizontal, sin rozamiento, y el caudal entrara en di-reccin perpendicular al movimiento, la cantidad de movimiento Iv! sera la misma en las secciones 1 y 2 separadas entre si por un dx, independientemente del incremento en ,,1 caudal dQ que se produjera emr las dos secciones. La pendiente del canal y el rozamien-to originan una variacin dM en la cantidad de movimiento dada. Considerando el equi-librio de fuerzas en la Fig. 8.1 pur la expresin

fIG.8J.

v --

T o

de Defi Ilicilm

donde 7 0 es el esfuerzo cortante promedio expresin anterior se puede substituir por

donde

1 dM

s =-o

elx A ( - S)

y, Yo 1'= AS.

Por otra parte, se tiene clue

1

dx

donde y la ubicacin

210

el -( dx

cen ero de

(8.1)

el permetro P rea /-1, La

(8.2 )

(8.3 )

del rea transversal; as

1 dM

I dx

2Q dQ

gA dx Q2 dA + d(Ay) ~ gA2 dx dy dx (804)

Haciendo d (Ay)/dy=A en la expresin anterior y combinando las ecs. 8.2 y 8.4- se puede escribir

s -s- 2Q dQ o o-A2 dx dy ::o

dx 1 - p2 (8.5)

en la cual se ha hecho T =dA/dy para anchura constante en la direccin x, y tam-bin p2=Q2T/gA 3.

En esta ecuan puede considerarse la falta de uniformidad en la distribucin de ve-locidades a travs de un ~ocficiente de energa O!. el cuztl modificara el denominador de la ee. 8.5 a la forma 1- O!. Q2T /gA 3. Cuando dQ/dx= O, la ee. 8.5 se convierte en laecuacin dinmica del flujo gradualmente variado con caudal constante. W.H. Li, en 1955, presen-t un anlisis de la eco 8.5 por integracin numrica para cuatro condiciones de flujo dis-tintas definidas por diferentes relaciones entre P , y, G=S L/y , donde el subndice n non representa el flujo en condiciones normales y L es la longitud del tramo en estudio.

8.2.2. Flujo con Disminucin de Caudal

Para el anlisis de este tipo de flujo, la ecuacin de energa es aplicable directamente. La energa total en la seccin 1 de la Fig. 8.1 es

H=z+y+ ~-2gA~

donde z es la cota de fondo sobre un datum no indicado en la Fig. 80L con respecto a x, se tiene que

(8.6)

la ee. 8,6

eh . 1 2Q dQ 2Q2 dA dx - dx + d~ + ~(Al ~ - ----;:;- ~) (8.7)

Recordando llue dH/dx = - S, dz/dx = - So y gue para anchura constante

211

la ee iLl se con venir en

-s-

" 1 - F~ (8

ecuaClc'n o En la ee 8 .. 8 el tercer

1l1.0V1J111ento 1 en este caso no se

Las ces. 8 5 Y varfa con la diree-cin x, b

La r el en nos casos

En el caso extrcfD.O y

el

(8. )

La Q=xd )1, A=Ty donde T es la cor d

2

Esta es una ecuacin CUJ'I es mente

2 d>:. )

-, g Y J

-f--[gy-

- --~------ -I~

c1 on cuntofJll) cn (:1

y la

y

x 2 --) =

(;-o

lJ1

E

( ,2 + \ L

1 +

3 e

( ----T eh

e

en lel ee 8.9

(310)

la la es

(R ] 1 )

cnla ce, g 1. 1 ('itnc

8,12)

( O 1 o 'i

(8, 4)

Se observa que F es una forma del nmero de Froude en la salida. Si la cada es h-c

bre, el flujo en la salida es crtico y por consiguiente F c=l. La ecuacin del perfil super -

fcial es

X? 3 (-)~=-. L 2

L _ _ 1 (.--L)3 Y c 2 y c

(8.15)

donde y c corresponde ahora a la profundidad crtica para el caudal total Q. La profundi-dad en el extremo opuesto, cerrado, del canal es y c yTT

Se pueden realizar anlisis semejantes en canales con contornos laterales verticales y fondos irregulares y para canales con paredes laterales inclinadas.

El clso de los aliviaderos laterales presentados en la Fig. 8.2 corresponde a una apli-cacin de la eco 8.8, sin embargo, Q no es una funcin conocida de x ya que el caudal de salida en cada seccin transversal depende de la profundidad del flujo. El caudal, por uni-dad de longitud, q, para cierta elevacin h sobre la cresta del vertedero puede aproximar-se por la expresin convencional

214

- e 10"::'2 !, 3/2 q - v "'g .

1- L 1

fl---~--~----'n=l1

donde C es un coeficiente a

dimensional igual a 0,511 seg

n indica P. Ackers, en 1957

, pa-

ra valores de h medidos so

bre la cresta del vertedero. E

s probable qU el coeficiente

e

vare con el nmero de Fro

ude del flujo de aproximac

in pero, para los efectos p

rcti-

cos, el coeficiente de Ackers

parece ser suficientemente p

reciso en flujo sub crtico de

ba-

ja velocidad.

Se puede que la superfic

ie libre se eleva o cae en flu

jo subcrtico y super-

crtico, respectivamente, com

o se indica en la Fig. 8.2. Par

a un canal rectangular con u

n

valor supuesto de e constan

te y para So =S=o, lo cual e

s acertado ya que el aliviad

ero

""tc es relativamente corto,

G. de Marchi, en 1934, enc

ontr la solucin expl-

cita de

dQ -rx

(8.17 )

donde Q es el caudal en el cana

l principal. En cualquier sec

cin, el caudal est dado por

Q= 1/

,;2g(E-y) "'"

donde E es la energa especfic

a, constante, en el aliviadero.

La substitucin de estas expr

esiones en la ee. 8.8, para S o

=S=O, conduce a

~_ 2e

dx T

(E - y) (y - W ) 3 '

( 3y - 2 E)

la cual fue integrada por de M

archi, obteniendo

T

_2_E __ 3_W_ j __ E_---'--y __

E W y W

j . E- Y 3arcsen

+ el y-W

xC

(8.18)

(8.19)

(8.20)

donde el es una constante que d

epende de las condiciones de

contorno. En flujo subcr-

tico no se puede iniciar el c

lculo en la seccin de aguas

abajo ya que en ella no se c

onoce

Q, hacindose necesario en

consecuencia, un proceso

de tanteos. El flujo no pued

e ser

215

FlG.8.:t

j.

I,! lJOr

16

una cantidld fmita y dQ/dx=t, (~n la ce 8.0 se ele C'11lLl-

l~ () l(l

h preCl-

Espacialmente Variado :m Salid

Pa LI U 11~\ en

dy eh

especfica E constante, es decir para dE/dx=o se tiene

dQ Qy (-~)

donde -dQ/eh es el c1Ulbl alivi~ldo por el fondo en una longitud dx.

( 8.22)

~\. P~lr~1 fluJo verti~';] en b rejilla con orificios continuos y longitudinales:

El clUcbl aliviado es

dQ eh

K C T V 2g El (8.23)

cl(l]Jcte K es h Jilb en el

un entre el 8'ca de los orifIcios y el rea total de la re-l). El Cl segn la ee. 8.'18 (J de la ee. 8.21 es

Q= ./ 2g (E-y)

/ I trllcl 11 eiencl u est;l l' x preSlOl1 del Cl eando se ubtiene

ellns de la ce. 8.23 en la ee. 8.22 y simplifi-

2 K C .JE(l:,--=-V1 3y- E

b ce. B.24

-y-KC

escribir que

Gonete el se determina ele b cUllclici'~)l1 y = Y1' P;Wl x = (L

Asi se puede l'std en Cjue

(8

(B.25 )

21

x= KC (Y1 - y (8,26)

Si para y=O se h~ICC x=Lll' cn J;, ce. 0.26 sc puede obtcner h lungitud IlCCCSdrla para divertir todo el g;lstu por cl fondo, as

Y1 L =~--q KC

y rccmpbzandu y 1 dc]; ce. S.18 se obtienc

L = q KCT

dunde Q] es el caudal que entra por el cual se corresponde con cl caud;d divcrtido l tr;lvs

b. Par;l flujo inclinado en b cn b longitud dx, es

dQ

d v A KCT

con clones: El

(8,27)

seccim h cl

en este C1SO,

(8.20)

Substituycndu -dQjdx, do, se obtiene

la ce. 8.29" y Q de b ce. 8.1 S, en la ce 8,22 y

218

2 KC ',/y- (E- );) -2E

Cimeri() Nosed;l, en 1955, jntegre> la ce. S.30 "'.ra obtener t" L

E

KC j

f -- arccos 2

+ (8 31)

donde C2 se puede obtener de la condicibn Y=Yl para x=O.

Para que todo el caudal que entra sea desviado por e! fondo se requiere una longitud L la cual corresponde a x para y = dada por

L q

E 3 j Yl Yl 1 2Yl 7T L = - [ - - (1 - --) - - arcsen (1 - -) + -]

q KC 2 E E 4 E 8 (8.32)

Para una longitud L, menor que Le' con una profundidad Y2 en el extre-mo de aguas abajo, el GlUdal Qw 1 que se divierte por el fondo tal que

Ql -Qw =Q2' donde Q2 es e! caudal que permanece en el canal de haber

pasado por la rejilla, est dado por

Q =C ~T (1-w y ~tJ Y2 yE - Y2' ______ ) E3/ 2

Yl V E -Yl' (8.33)

EJERCICIOS

Ejercicio 8.1.

Sobre el pavimento de un callej6n sin salida. de pendiente So =0,01 y rugosidad de Manning n=0,020, se produce una precipitacin con intensda'd de 100 mm/hora. Al final de! pavimento se produce una cada libre con profundidad crtica. El callejn tiene 100 m. de longitud. Despreciando la cantidad de movimiento de las gotas:

a. Calcular y graficar el perfil superficial suponiendo que la pendiente es nula.

b. Desarrollar un procedimiento para obtener valores numricos de profundidad para So =1=0 Y aplicarlo el caso dado graficando el perfil a la misma escala que en el punto anterior. Comparar los resultados.

219

l:jercico 8.2.

Un canal de concreto con una rugosidad n=O,.Ol 5 y una pendiente S )=0,0009 tiene una seccin rectangular con una anchura T=4, Om. El canal conduce, en flujo unirorme, un caudal Q=10,0 m 3/s. En cierta seccin, el fondo del canal est interrumpido por una rejilla de piso consistente en barras de acero longitudinales de 7,5 cm. de espesor separa-das 2,5 cm. entre s.

Obtener una ecuacin que exprese el gasto relativo desviado con respecto al gasto de entrada Qw/Q l como una funcin de la longitud de b rejilla de fondo. Determinar la longitud total Lq necesaria para la diversin de todo el gasto.

220

CAPITULO 9

EL FLUJO NO PERMANENTE EN CANALES ABIERTOS

9.1. El Problema del Flujo 11.0 Permanente

El tipo de flujo no permanente, o impermanente, mas comunmente encontrado en canales se refiere a la traslacin de ondas de gravedad que producen un desplazamiento apreciable de las partlculas del fluido en la direccin del movimiento. El flujo imperma -nentese puede dividir, para los efectos de estudio, en flujo gradualmente variado y flujo rpidamente variado. El flujo impermanente gradualmente variado se caracteriza por una curvatura suave en el perfil de la onda, por cambios graduales en la profundidad y con-secuentemente por una aceleracin vertical de las partculas despreciable en relacin con la aceleracin en la direccin del movimiento. Este tipo de flujo en el que la friccin cons-tituye una fuerza de primordial importancia se presenta comunmente en ros y canales por los que transitan avenidas o crecientes y en canales en donde se operan compuertas y controles que alteran las secciones de flujo en forma gradual.

En el flujo impermanente rpidamente variado la curvatura del perfil superficial es muy pronunciada, llegando a constituir olas de perfil discontinuo. La aceleracin vertical de las partculas de fluido es muy importante pero lasfuerzas de fricci~m se hacen despre-ciables en relacin a los efectos dinmicos del flujo. Este tipo de flujo se puede producir

en el movimie'nto i~'icial de una onda alt~ generada por lan;pt'ur~ de u~ dique o tambin en el movimiento de olas causadas por la operacin de las estructuras de control. Los es-tudios que se realizan en este captulo estn orientados principalmente hacia el trata-miento de los problemas de flnjo impermanente gradualmente variado pero en ocasiones se mencionan y estudian explcitamente problemas de flujo rpidamente variado .

. . En general, la ecuacin de continuidad, eco 1.4., desarrollada previamente puede ad-q.~1r1r algunas formas especiales. Si al canal de anchura T en la superficie libre, es de sec-Clan rectangular, la citada ecuacin se puede escribir como

a q a v -+--' ax at o (9.1)

221

donde q es e' caudal por unidad de ancho, x es b direccin del movimiento, y es la pro-fllndid;d y t es el tiempo. Alternativamente, expandiendo el trmino aQ/ax=a (AV) / ax se obtiene

av A ~+ V a x

aA

a x +T ay o (9.2) at

donde A, V representan el re; transversal y la velocid;d media de la SCCClon ubicada a una distancia x del origen.

En est; CCllaClon los tres trminos representan, en orden, el almacenamiento en el prisma o canal, el almacenamiento de la cufia, y la tasa de cambio de profundidad, res-pectiv;l11ente.

La profundidad hidr;ulica media Ym=A/T puede introducirse en la ecuacin ante-rior, considerando que aA=TDy, para obtener

av+V~+~ ax ax at

o (9.3)

Estas expresiones,junto cun LI ee. 1.4.,

aQ ay +T--' o a x a t

constituyen un conjunto de fonnas de la ecuacin de continuidad en flujo impermanente en canales abiertos, LIs cuales, junto con las ecuaciones dinmicas permiten la solucin de los problemas objeto de nuestro estudio.

9.2. ],'cuacioflcs Dinmicas del Flujo 1 mpcrJnuen te en CmlLdcs Abiertos

La ecuaci()!l diferencial en derivadas parciales que representa el flujo impermanente en un canal se plantea considerando, usualmente, que el flujo vara gradualmente de tal forma que se puedan despreciar las aceleraciones verticales de las partculas de fluido y que el esfuerzo resistente obtenido para el flujo uniforme en una seccin transvers;j cual-q lliera es a p [icab le a la misma se cci (1l1 con igual velocidad cuando en ella se presenta un flujo no uniforme e impermanente. En la Fig. 9.1, de acuerdo con la condici(lll dl'

222

/ PENDIENTE DE LA LINEA DE ENCliGIA., S

_.~. SUPERFICIE LIBRE "-

FIG. 9.1 Esquema de Definicin para las Ecuaciones Dinmicas del Flujo Impermanente.

equilibrio de fuerzas segn Newton tenemos que

ah - A Tx eh - 7 0 pdx = p Adx a x (9.4 )

donde el primer trmino representa la componente del peso en la direccin del movimien-to, el segundo representa la fuerza de friccin generada por el esfuerzo cortante prome-dio 70 sobre el ped metro mojado P y el segundo miembro es la masa del cuerpo sometida a la aceleracin a la cuaL segn la ee. 1.10 puede escribirse x

dv a

x dt

a v a v y-+

a x a t (9.5)

De esta forma, substituyendo la ec. 9.5 y la relacin 70 = SR::::')' SA/P y simplifican-do por Adx se obtiene

ah y - s = (); cr b

av -+ dx

1 o-b

av a t (9.6)

donde g=y / p. La pendiente S correspondien Le a la friccin puede expresarse de acuer -do con la ecuacicm de Chzy por S=Y2/ (C2R), en la cual C es el factor de friccin de Ch-zy y R es el radio hiddulico. La eco 9.6 puede reescribirse agrupando trminos en la for-ma_.

(-) y2 (h+ --) +

d x 2g-

av --+ S g a t O (9.7)

223

Pero como

se tiene que

H=h + v2

2g

aH 1 av -+- --+ s=o

dx g a t

Si por conveniencia, se hace Se= - l H I l x, y, Sa =- lV/g lt, emonces,

s =S + S e a

(9.8)

(9.9)

(9.10)

Esta expresin indica que en flujo impermanente gradualmente variado la pendiente de friccin es igual a la suma de la pendiente de la lnea de energa y del llamado gradien-te de accler

el cual permite obtener soluciones explcitas en forma semigrfica. El mt

odo desarrclla-

do en el siglo pasado ha sido presentado de una manera clara y simple por J.U. Stoker, en

1957.

Consideremos, en primer lugar, un canal de seccil>l1 transversal rectan

gular con an-

chura y pendiente constantes. Recordemos que la celeridad c de una ond

a solitaria en un

canal de profundidad y est dada por la expresi>l1 c=v~ Elevand

o esta expresin al

cuadrado, derivando con respecto a x, y substituyendo en la ce. 9.11 se obti

ene

dc ay ay 2c -- + v -- + g (So - S)

dx ax ot (9.12)

En la ce. 9.3 de continuidad, para y=y m' se hace la misma substitucin, la cu

al per-

mite escribir

Oc OV dc 2Y ._+ c--+ 2 --=0

dx. ox at

la suma de las ecs. 9.12 y 9.13 conduce el

ay ay oc ac at+(Y+c) ax+2~+2(Y+c

) ax g(So-S)

y la diferenci] de las ecs. 9.J 2 Y 9.13 conduce a

ay o y o c o c -+(V-c)--2--2 (Y-c

)-=o-(S -S)

dt ox ot ax o o

Recurdemos, de las definiciones del clculo diferencial, que

df

dt af dx ----

l x dt

a f +-a t

(9.13)

(9.14)

(9.15)

(9.16)

donde f es una variable dependiente de x y de t. En la ce. 9.16 se puede interp

retar, f-

sicamente, que un observador que se desplace con una velocidad dx

/dt cae en cuenta de

225

los cambios de la variable f con respecto ;d tiempo s,egn la tasa ex presada por la ce. 9.16. De acuerrto C011 este criterio, bs ecs. 9.14 y 9.15 pueden escribirse en la fornia

d (V+2c) = (v+c)

a (V+2c ) +

a (V+2c) = Cr IS -S) (9.17) dt ox l t tJ \ o

d (V -2c) ~-2c) a (V-2c) (T (S -S) (9.18) (V-c) --+ dt a x a t t'J o

en las cuales se ha hecho dx/dt=v+ c, y, dx/dt=v -c respectivamente. Las derivadas to-tales d (V+2c) / dt, y, d (V-2c)/dt representan las tasas de cambio de las funciones con respecto de observadores que se desplazan con velocidades (V+c) y (V--c). Consideremos en el canal de la Fig. 9.2 los puntos Pa y Pb , para los cuales se conocen las caractersticas hidrulicas en un instante t, situados aguas arrib, y abajo, respectivamente, del punto en donde se trlta etc obtener b informacin hidrulica (ln'respondiente al tiempo t+L1t. Las ecs. 9.14, 9.15, 9.17 Y 9.18 se pueden escribir en diferencias finitas de la forma.

(9.19)

~ (V 2 c) g (So - S) Ll t (9.20)

Las cuales corresponden a trayectorias o caractersticas que pueden seguir dos observado res que intercambian informacin para generar nuevas condiciones.

En las ecs. 9.19 y 9.20 se pueden tomar los valores promedio de V y de e en 1a~ exp,resiones V=(Va + V)/2, c=( ca + c)/2 y tambin \1=( Vb + V)/2, y c=( cb +c)/2 segun el caso.

La solucin mas simpe de las ecuaciones de las caractersticas corresponde a una onda que se propaga en un cmal horizontal sin rozamiento; Esta situac.i,n .hi.p~ttica pa-ra lo cual S =s=o puede representar con buena aproxlmaclOn la condlclon 111lclal del mo-vimiento del agua que se libera cuando se acciona una compuerta creando cC.lIldiciones de inercia mas importantes que las de rozamiento. En este caso en clue las derivadas totales de V 2c son nulas, los observadores que se desplazan con velocidades V c no encontra--(lD cambio alauno en los valores de V2 c. , tJ

226

Or---------------------~--------------------------~ x

t.t:.t

FI G. 9.2 Esquema Grfico para la Solucin de las Ecuaciones de las Caractersticas.

Ejemplo 9.1.

Un canal rectangular con profundidad normal y n =1,5 m., fluye hacia un embalse

con una velocidad de 1,0 mis. Si el nivel inicial del embalse, igual que el nivel de la super-

ficie libre del canal en la seccin terminal desciende 0,6 m. en 3 horas por efecto del va-

ciado originado por la alimentacin de un grupo de turbinas, calcular el tiempo para que

el nivel del canal baje 0,3 m. a una distancia de 1 Km. aguas arriba del embalse. Hasta

dnde ha podido avanzar la perturbacin en ese instante? . Simplificar el problema supo-

niendo pendiente nula y rozamiento despreciable.

Sulucin

Si consideramos positiva la direccin de aguas arriba tenemos que la velocidad y cele-

ridad iniciales estn dadas por

Vo =-1,0 m/s., y, Co =) 1,5 x 9,8'= 3,83 mis.

227

En la Fig. 9 3 el problcl1i: se ndjc el tnlllto B situadu a 1.000 1J1. haci~ aguas arriba el cu;] cUITesponelc , una prufundicbd y=~j ,5-0,3=1,2 l1l. Y , una ce(criebd c=,j 1,2 x 9,8'-=3,43 mis. L cr,lcterstica AB ;1 lo ];rgo ele la cual c=3,43 mis se origina en el puntu A, en la boca del ro, de prufulldjebel 1,2 111. b cual se produce para cl]] ticmpu

t = O,3x3/0,6 = 1,5 huras.

t 4

:3 -

b

~ ----------------------2

(J

A El

I y' 1,2 m.

__ 1_ - -- _ \I_,~::.. ~~7 J5'Tl./J:'f_ - - - - - ::--=;;";;;;.,,;i"f'-"-~~, I I I

2

I ~

y t~1111bin

eh V -= 3c (t) + eh o

2c o

Substituyendo valures en la ec. 9.24 se puede es

cribir

~; = 3 x 3,43 - 1 ,O - 2 x 3,83 = 2,63 mis = 9,47 Km/hr.

(9.24 )

El intervalo de tiempo entre A y B es 1,0 K

m/(9,47 Kmfhr)=0,10s6 hr=6 mino 20 S. El

tiempo total desde la inciacin del descenso del e

mbalse hasta que la pfofundidad en B

haya descendido 0,3 m. es

t B = 1,5 + 0,1056 = 1 hr. 36 mino 2

0 S.

Para t=1.6056 hr. la primera perturbacin, origi

nada en el instante t=O cuando el emb,d~

se l'lllpe'.(l a dl'scender, habr: av'll1'.ado hasta

una distancia xtal que x= (V o +co)x1, 6056;

as 1),lra V +c =-1,0 + 3,83=2.83 111/s=10,1

88 K'n/hr. se tiene oue

r (JO'

-1

x = 10,188 x 1,6056 = 16,35 Km

Las perturbaciones producidas en un canal pu

eden ser positivas tal como las que co-

rresponden "a un increlllento de profundidad,

() negatIvas cuando disminuye la profundi~

dad. Cuando la perturbacin es negativ;l, c (t) s

e hace mas peguei'ia a medida que pasa

el tiempo y en C0l1 SeCl1encia, el valor de dl\fdt dism

llluye a medida que t aumenta. As,

las pendientes de las caractersticas Cl que

se hacen gradualmente mas pronunciadas,

en una posici{n, divergen hacia la derecha del e

je t segn fue ilustrado en el Ejemplo

9.1. Cuando las perturbaciones son posi tiva

s, las caractersticas Cl convergen in tt:rsec-

t,ndose en algn punto. Esta interseccin in

dica que la profundidad tendra dos valores

difercntes en un mismo lugar y a un mismo t

iempo. El fenmello fsico se traduce en una

ond;1 con un frente pronunciado que cOlTcsp

onde a una ola que por traslacin dcl siste~

m

'r.ttriftCClon"l

I 61

T

~ _________ L _______ ~

O x, x

FIG.9.4 Convergencia de las Caractersticas en 1, a Partir de Donde el Frente de la Ola se Hace Pronunciado. La interseccin de un par de caractersticas prximas se puede establecer, en la Fig. 9.4, mediante las relaciones geomtricas

y tambin

Por lo tanto

.6.t sen e .6. e = ----x/ sen () .6.t

2 sen e x

1

7 .6. () = .6. (tg ()) COS~ ()

x = 1

.6.t tg2 ()

.6. (tg e ) d (V+c)/dt

Si se substituye la ee. 9.24 en la cc. 9.25 se obtiene finalmente

x = 1

[3c(t) +Vo -2co ]2

3 dc (t) I dt

(9.25)

(9.26)

La envolvente en el plano x--t seab el contorno a travs del cual no se transmiten las caractersticas ya que en esta se pruduce la prdida de energa correspondiente al re-salto.

230

Volviendo al problema de la onda negativa sin rozamiento, la forma de la onda se puede obtener reempbzando dx/dt=x/t en la ce. 9.24 10 cual es posible si se elige un ori-gen adecu;ldo. As tenemos

x (9.27) t

El perfil instantneo de la onda, segn lo indicado por la eco 9.27 es una par:lbola tangente al fondo del cana1.

Los problemas de flujo impermanente con rozamiento pueden resolverse por medio de grficos similares, con las dificultades ad 1cionales contenidas en los trminos S o y S en

la ecuacim del movimiento. A continuacin se estudian algunos casos particulares de flujo impermanente con rozamiento.

9.4. Trnsito de una Onda de Crecida

Una onda generada en un canal uniforme que avanza con velocidad constante V w

entre una regin de flujo uniforme de profundidad y 1 Y otra regin de profundidad y 2

Y flujo uniforme es una onda de forma estable y recibe el nombre de Onda Monoclinal de Crecida.

El an(lisis de este tipo de onda puede simplificarse tomando un sistema de ejes coordenados que se desplace a la misma velocidad V w de la onda, o en otras palabras, su-mando una velocidad -v w a todo el sistema y convirtiendo el problema en uno de flujo permanente.

FI G. 9.5 Anlisis de una Onda de Crecida por medio del Principio del Movimiento Relativo.

231

Sig;\lllOS el des;no[[u de B.R, Gi1crest. en 19S0. E11 L\ Fig. 9.5, 11;\llle11111S ;\ Qr el g;\stu ficticio corrcspll11diclltl';\ h Iluev;\ situ;\ciJI1 reLtiv;\.

El g;sto Qr estar daclu p()r

( V ~V lA w 2:2 (9 .2S)

d()nde Al v A:2 rcprl'SellL\11 bs Jre;\s cmrcspondicl1tcs;\ las prllfl11ll1ilhdes Y1" Y2 rcspecti-

V;\\llClltC. De la ce. 9.2S se pucdl' obtener l1 U l'

COlllhin;\ndll Lts ccs. 9.21-5 y 9.29 se ubtiellc e1 gasto ficticio relativo, ;\s

~A I =V l' w

FIG. 9.6 Representacin Grfica de la Velocidad de una Onda Estable.

(9.29 )

(9.30)

Es evidente ljUC la velocidad de la ond;\ l'xccde LIS velocidad V1 v V r, va que e > / !.. \lI,l > e r, > el' De hecho. substituyendo V =dQ/dA en un cana] recull!o':ubr y haciendo

.!.. I \-\1 u

Q=AC y1/2 S 1 /2 de ;Icuerdo cun la ecuacillll de Chzy se obtiene llue =3V/2.

232

La forma del perfil se puede obtener mediante una substitucin adecuada en la eco 9.1]. En flujo impermanente gradualmente variado, la onda avanza con una velocidad V w; por 10 tanto en una determinada seccin, la tasa de cambio de la velocidad con res-pecto al tiempo es igual a la velncid ad de la onda por la tasa de cambio de la velocidad con respecto a la distancia, con signo negativo. As, en la igualdad

av av Tt=-Vw(ax)

se puede substituir aV/ax derivando la relacin V = V -Q lA de tal forma que w r

av a-t

(9.31)

(9.32)

donde T es el ancho en la- superficie libre. La substitucin en la eco 9.11 conduce a

de donde

ay s -s o ~

TQ 1 -

g A

V -V

g

')

r 3

w a v a x (9.33)

(9.34)

en la cual Qr tiene el significado correspondiente a la ce. 9.28. El cambio de elevacin del nivel superficial en una determinada estacion, ay/at, es igual l V way/ox; as, la ce. 9.34 permite el clculo del cambio de elevacin en una seccin.

La subsistencia de la onda se puede estudiar a partir de la hiptesis de que la veloci-dad de traslacin de la onda se conoce por el estudio de registros hidrogrficos previos o que esta se puede obtener de la relacin

v w 1 dQ

T ~ (9.35)

233

CUi1l0 curresponde ,] esquel11" de la Fig.9.6. P. Forchheimer. en 1930, desarroll el si-guiente mtodo para la determinacin de la atenuacin de la altura ele la onda en canales rect;lIlgubres anchos: P,r;\ flujo impermanente, empleando L\ ec. de Chzy. se ruede c:s-eribir

Q= AC) /2 (S J o

y derivandu eun respectu ;\ x

_o y _) 1/2 o x

a 1 I? ) Q dV)1/2 l (Av .~ 1/? --=C(S-~ ~-(ACy~) ax u ax lx ?iS :;/:;,1/2 ~ \ u-uy Ux)

pero en b crest;\ se tiene que ay/dx=O y tambin a Ala:: = O. as

AC y 1/2 a2y Qn e,

oQ a..c y a -2s1/2-- --2- 2S ----:--T-x x ax~ Cl ()

(9.37)

(9.3g)

dunde Q = ACv 1/2 S 1/2. Pero. de b ecuacin de cOl1tilluicbel, se puede rccYllJbzar 1 () . - a Q/ax por Ta/at y la ce. 9.38 se transforma en

ay T dt 2S ? o lx~

(9.39)

El c;mbio de prufundiebd en la cresta de la unda cuando elb trdllsit,l hacia aguas abajo, expresada por la derivad" total, e11 trminus de velocidad de b onda, es

~ dt

-~ + at (9.40)

Pero en la cre"sta se tiene c]lIe ay/ax=o y por lo tanto

~_= Qn dt :2TS o

l 2 --~

') ax~

(9.41)

La cresta de la onda que avanza con la velocidad Vw requiere un tiempo

i:1 t=i:1 xl V w

par) recorrer la distancia i:1x; el cambio de profundidad de la cresta es

dy i:1x

i:1y dt V v (9.42)

w w

La derivada l 2t/ox2 se puede reemplazar por otra expresin ms Hcilme

nte disponible

si se toma en cllenta que

y por 10 tanto

aQ lQ ~

ox

lQ

ay

ox

En la cresta se tiene que TV w = lQ/ly, Y que, ly/lx=O, as

y reemplazando en la ee. 9.42 se puede escribir

i:1y Qn

= ~------2T2 S V:2

_l :2Q_ ') i:1 x

l x~ o w

(9.43)

235

Con el [in de determinar el valor de a2Q/d se puede suponer lItle el perfil de la ond,) se curresponde, en la vecindad de la nest,\' con un cIrco de crculo subtendidopor ulla cuerdJ que une dos valores igu,]cs ell el diagLlma de descarg'l. Se puede tomar la longitud L de la cuerda tal que subtienda a la onda para un clllebl correspondiente , la descarga pico Q cn exceso de la descmr

nente, de 250 m3/s. La onda requiere 30 horas

para pasar por la seccin de aguas arriba

del ro y la cresta demora 20 horas en recorrer los

45 Km. del ro. Calcular el descenso

de elevacin de la cresta y la disminucin del cau

dal pico cuando la cresta haya alcanza-

do el extremo de aguas abajo.

Solucin

La velocidad de trnsito, constante, de la onda de

crecida es

45 Y =~O x w _

1000 3600

0,625 mis.

El radio de curvatura del perfil de descarga se p

uede expresar, de acuerdo con la

ec. 9.44, por

r=-

2 (0,625 x 30 x 3600) =

- 2278125 /

8 x 250 s m.

El descenso de la cresta se obtiene de la eco 9.45, as

Vw

-=---=,,-:::-:-:--,.tl"'!. - - - - - - -- - - _l b.y

r ----vw.;;.- - - -:, ~

I I :mlilY/.diih1YMliljMlIw/ ;

I I /t'/AlIll"'W.A1II\iw),{iiilWAiliW.J11i

> ;J1fillf$

~y = Qn ~X

2T2 S y2 O w

r

~y=-1000

45000

2x15002 xO,0004xO,6252 2278125

----- ti" 4~ Km. ------.

~ y =- 0,028 m.

La reduccin en el caudal O1 ximo, de acuerdo con

la eco 9.46 es

__ 4_x_l_0_0_0_x_2_5_0_x_4_50_0_0 ___ = _ 26.34 013

/ s

1500 x 0,0004 x 0,6253 x 302 x 36002

237

I I I I

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

I I I I I I I I I I

I I I I I

I I I

I

I I I I

La reduccin anterior se corresponde evidentemente con la expresin

9.5. Perfil de Avenida por Rupt'ura de un Dique

La ruptura completa de una represa origina la liberaci()J1 repentina del agua en el embalse. Empleando la ecuacin de ehzy se puede determinar el perfil de la a venida co-rrespondiente al flujo si se supone un canal rectangular muy ancho. En este caso especial con referencia a la Fig. 9.5.y a las ecs. 9.28 y 9.29, se tienc que

Al = O ; V1 = O ; Q = O ,y, V = V') r w ~

EmpIcando la ecuacin de ehzy para la velocidad se puede cscribir

V = V = es 1/2 , 1/2 'v 2 o Y2

y tambin

donde

Q = V A - Q = V? Ty w r ~

Substituyendo las expresiones anteriores en la ec. 9.34 se obtienc

~ l x s -s=s o o

Y2 ' []---]

Y (9.47)

Es de anotar que si en lugar de. emplear la ecuacin de resistencia de ehzy se hu-biera empicado la de Manning se habra obtenido

~ a x

238

y') So [ 1 _ (-- ) 4/3 ]

Y (9.48 )

Si se hace la hiptesis q ve E. Naudascher propuso en 1967, de que la fuente de su-ministro permanece constante, se podra emplear la profundidad normal en la cresta de la avenida para L, cual el flujo es prcticamente uniforme. As, para Y2=Yn' la eco 9.47 se puede transformar en

1

" d]( = S- ( l-o

1 ) dy 1 - Y/Yn .

(9.49)

Escogiendo tI punta del frente de la avenida como el origen de coordenadas donde y=O para x=O, la ce. 9.49 se puede integrar entre O e y; as

1 x=--

So

. 1 (1~----- 1-Y/Yn

) dy (9.50)

la cual conduce a

xS __ 0 __ = ~+ In (1-~)

Yn Yn Yn (9.51)

Algunos valores numricos de esta ecuacin se presentan en la Tabla 9.1

TABLA 9.1

Perfil de la Avenida Producida por Ruptura de un Dique

Y/Y n 1,0 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 O

x So/Yn -00 -1,809 -0,507 -0,316 --0,194 -0,110 -0,057 0,020 La ce. 9.51 se presenta tambin grahcada en la Fig. 9.7. Esta indica que la avenida se des-plaza con un frente de agua de pendiente muy pronunciada, casi vertical. Para realizar un anlisis cuan ti tativo en un problema particular, se requiere informacin sobre los valores de v de S .

J o

239

que se pUf ruptura

supone que la la onda negativa se

FIG, 9,1 Grfico P,Jimensional del Perfil de AlJemiclr:t

se

se g

y n d

240

por la ecuacill1

Q =T ( -d)V=T(y -v o

, Diversus forma que el Cl

dQ -1-=0= o

-2\1

1 v= g Yo

por lo tanto el

I Q= ----1'

4 g Yo

en la fig,9,8) se

de [Jrefillil":ilIl pawa la Deternl1nacin de~ Caudal Li~ bemdo,

movimiento,

_'-_J_) V lY b

es

ex muestran q la

(9.52)

es mximo, As para

(9.

es

(9 55)

to

ron

9.6.

1

:2

o en

+1

J ,- L}"t --}-

2

o

g que se

IncrenIentos

+

la C( __ o 9.5 se

2

- Y-J;, - vI o

811

1 + -- 01 t 2 ~

'57 )

En Ulla segunda a prox illla ci on se considera un almacenamien to en "cua" el cual se obtiene midiendo los valores instantneos de los caudales de entrada y salida y se rela-ciona con el almacenamiento de "prisma" representados en la Fig. 9.9.

Almacenamiento en Ilcul'lo" = K X (1-0)

/ Caudal da trabajo

~--L __ ~~"'"-- O -o--~

FI G. 9.9 Representacin de los Almacenamientos en "Prisma" y en "CU~". Suponiendo una relacin line~ll ,lI1loga ;1 la anterior, entre volumen almacenado y caudal de salida para el almacenamiento de "prisma" y otra relacin lineal para el alma-cenamiento en "cua" dependiente de la diferencia 1-0, entonces, el almacenamiento total ser

"V=K [O+X(I-O)] (9.59)

Esta ecuacin es la base del mtodo de Muskingum desarrollado por el U.S. Corps oE Engineers para la cuenca del ro Muskingulll, Ohio. El cambio de almacenamiento en un intervalo de tiempo seleccionado se puede expresar por

(9.60)

Combinando las ecs. 9.56 y 9.60, con el apropiado .cambio de subndices y haciendo Llt= 2KX, se puede obtener

(9.61)

El concepto de caudal de trabajo, o caudal D, representa el flujo permanente que producira igual almacenamiento que el correspondiente a los valores de flujo de entrada 1 y salida O. Se observa en la Fig. 9.9. que

242

de donde

o tambin

KX (I-O) = K (O-O)

0= D - IX

1-X

X O=D- 1 -X (I-X)

(9.62)

(9.63)

(9.64)

A estas expresiones se les pueden asignar los subndices correspondientes a diferen-tes niveles de tiempo para obtener otras expresiones que las presentadas en las ecuaciones anteriores.

El ejemplo que sigue, desarrollado por E. Naudascher, ilustra un pr.oceso de clculo del trnsito de un,l avenida.

Ejemplo 93.

Una avenida con el hidrgrafo de entrada dado en la tabla de abajo, entra hacia un embalse con un rea superficial de 800.000 m 2. La salida del embalse ocurre sobre un aliviadero cuya cresta tiene 60 m. de longitud, adicionalmente a una salida constante de

14 m 3/s. hacia una central hidroelctrica. Determinar el hidrgrafo de salida si el nivel del embalse es igual que el nivel del aliviadero antes de la llegada de la avenida. Para sim-plificar el clculo se supone que la superficie del agua en el embalse es horizontal y que su rea es independiente de la elevacin.

Hidrgrafo de Entrada

Tiempo (Horas) O 2 4 6 8 10 12

Caudal (m3/s) 14 30 78 84 58 28 14

La ecuacin de salida por el aliviadero es = CdBh3/ 2 V2g donde Cd = 0,433.

243

Solucin

Por convemcncw, la solucin numrica para el presenta en la siguiente tabla

de

h ( 1) I 0,03 0,05 0,10 0,20 I 0,30 1 OAO (m3/s) I O -l,29 3,63 10,30 118,99 129,10

en el aliviadero se

0,50 0,60

O 53,50

Con hiptesis indicadas en prrafos anteriores, la relacin de continuidad de la ce. 9.57 es

donde el subndice 111 representa medios de los en el intervalo tiem -po ~ t. El caudal medio de salida es O = (01 + 0 11 ) =01 + O" donde 0 11 es el ca

i 111 m 111 , constante ele 14 111-/S que la central ca. SI el de del embalse el intervalo el e el incremento en almacenamiento se puede corno

ll'\f=Silh

la SImplificacin que supone un rea S constante Con una int,::rvalo de ir = 2 eCLlaciol1ES anteriores se

7200 -O' -1 11.1

800.000 11!

244

Los se en la Tabla de

____ +-__ -24~ ____ +_----~~------~.-----~----~----.-~ ..

2:

4

6

10

-"" ,

14

5" ,o

28

14

lL}

14

14

!imITada !v'!ed ii:l

1m

22

54

71

43

21

14

14

0,

0,066

lO

0.,210

0,270

55

0,011

46

-0,153

27

-OJ80

En la la representaCln grfica de la

0,336

(0,471)

0,606

(0,614)

0,62

0,7 r 140 I

!

0,6 120

0,5 100

E 0,4 ~ SO '" .5

0,3 o

" 60 H

0,2 40

0,1 20

246

r-~~r-~~~~~,-~~,-~~~~~~~~~~~-,~~--.2,S

Tiempo

(hr)

O

2

4

6

8

10

12

14

16

~~~~~7--,~~~~~-.~~~~~~2,4 E "' o

~t--~-t---~ 2, -1,6 ~

N

1,2 ;:j

CAUDAL DE SALIDA O 0,8

o [,-,1

.",L-+-"'~-+~~-----jf---~~l--~--I 0,4

o

Tiempo (Ilr)

flGo EJEMPLO !13 de ~aiido

Tabla de Volmenes

Llc.t LO LO c.t Loc.t (1000m 3) (1000m3 ) (IOOOm3) (IOOOm3)

O O O O

154 101 5 106

547 202 77 279

1132 303 343 646

1642 404 740 1144

1952 505 1070 1575

2102 606 1264 1869

EJERCICIOS

Ejercicio 9.1.

Un ro fluye hacia un estuario con profundidad normal y n =16 m. y una velocidad de 1 mis. Antes de comenzar la subida de la marea el nivel del ro y el del estuario son los mismos. La marea comienza a subir a una rata de 30 cms .. por hora durante 2 1/2 horas. Determinar:

a. Para una distancia de 2 Kms. aguas arriba del estuario, cunto tiempo tardar el nivel del ro en subir 50 cms.

b. A qu distancia hacia aguas arriba se intersectan todas las ondas?

Bjercicio 9.2.

Mostrar que el caudal relativo y la velocidad en una onda monoclinl de crecida en un canal rectangular muy ancho pueden expresarse respectivamente por

y por

Q = r

v =v w 1

donde C es el factor de resistencia de Chzy.

Bjercicio 9.3.

Empleando la ecuacin de resistencia de Manning y tomando en cuenta que V w =

= + ~; segn lo sealado en la seccin 9.4, determinar la relacin entre la velo-cidad de la onda y la velocidad media del flujo en una onda monoclinal de crecida, en

247

,L Un

Un.

rectangular muy ancho,

triangular,

Determinar la velocidad de la onda y el perfil del nivel superficil1 para un flujo im-permanente gradualmente variado en un canal rectangular muy ancho si y 1 =3,00 m.,

Y2=7,5 m.) So=0,0004 y si el factor de resistencia de es C=80 m I / 2 /s.

9.5.

Completar los clculos para el Hidrgrafo de en el Ejcmplo 9.3.

248

10. ( Le

'.' U 11 O

.ex; 1,),

J111110

noce

el

nlJLG 1

DISPERSlON TURBULEl'JTA El\f CANALES

I en Ui

ac ~:- \/ ---- =

a t

nL\llcr~l

del dueto pur 11

1 1

l x

ac x

cC ----) + l( ,

r

p (HU)

:1.] 1, la

CO,.,cct;va de maS;l, elmovJmiento COl1vec-

en tfe la conveccin (en real de

y se

longitudinaL En la Fig. esquemticamente el

el tr-

sustancia

capas

249

tes de fluido se mueven con dlferentes velocidades longitudinales originando una dispersion que se superpone ~1 la propia difusin turbulent,L La dispersin longitudinal resulunte es mucho mas amplia, segn se indica en el grfico de concentraciones en la Fig, 10,1. b,

Sir G,l. or, en 1954, dcmostr en tuberJas, que el coeficiente dc dispersin lon-gitudinal Cll un conductu recto podra c por

Kd = 20,2 R

e

r-v--j

~_. - '"

t 1 1=0 . t= l'

, J

~~~ ~~~~

(10,2)

n Tmb!J!fmta ti

donde R es el radio hidrulico y roes el esfuerzo

cortante promedio en los contornos.

Este valor de Kd es cerca de 200 veces mayor q

ue el valor medio de la difusin turbulen-

ta Kx' Para el caso de una sustancia conservativ

a, en la cual la tasa de produccin r es nu-

la y suponiendo que el coeficiente de dispersin lo

ngitudinal es constante, la eco 10.1 se

puede simplificar en la forma

ac ac a2c -+V-=K --at ax d a 2 x

(10.3)

La solucin de esta ecuacin depende de la esp

ecificacin de las condiciones inicia-

les y de borde; algunos de los problemas posibles

se estudian a continuacin.

10.2 Inyeccin Instantnea en el Origen

Supongamos que en toda la seccin transversal

de una tubera o de un canal se in-

troduce instantnea y uniformemente una can

tidad finita d"e un material trazador pa-

ra x=O, t=O. El material es transportado y se

dispersa en la direccin de aguas abajo,

segn se indica en la Fig. 10.2.

C(f=O)

I*-------------Vl ------------~

v x

o

FIG. 10.2 Distribucin de Concentraciones para una In

troduccin Instantnea de un trazador en

x = o, t = O.

La condicin inicial puede expresarse en t

rminos de la funcin Dirac-delta

o (x) la cual es una funcin matemtica para un impulso in

icial de concentracin intro-

ducido en x=O, t=O y generado por una can

tidad finita de materia. Inicialmente la

concentracin tiende a infinito mientras que e

l espesor del impulso se aproxima a cero

de tal forma que el rea bajo la funcin del imp

ulso, la cual representa la masa total del

trazador, es constante. Esta propiedad puede exp

resarse por

+= f o (x) dx= 1

(10.4 )

251

I I I I I I I I I I I I I I I

I I I I I I I I I I I I I I I I I

I I I I I I I I

I I I I

I I

I

I I I I

don

par,]

()

en

Icin se representa corno

e (x,O) M P A 8 (x) (l..S)

M es la m~\S~l o y A es el ;ln:, de la seccii1

La masa del tL\Lador se conserva, ,1s

+OG J

+-= J e (x,O)dx = vl

pA += f o ( M

pA

contorno se o c uc la conccntracin es en x = = ,lS1 e (=) t ) = o t> O. Para sealadas, h 011 b ce. 1 CU

[vI t -1/2 2 le == ------- ex 1) -(x-(HU) 4

r.1 u e b masCI ora se lnueve en la smtriCl en la L concentr,Ci()jl 111dXl1;\ se mueve COil b ve

L11Cr

el! la dircCCll111 rd-

tI cc. m,yl.'-C'S quc 20,2.en curvas Por el COH rlci,\s realizadas por J. en 1970, que el coc-o b curv;ltur;S SUll de peCJueilo

mientos y otr,15 ,]ter,\ciunes (jLle sc producen () se c un prr)Ccso ex p;r;\ la de-rermln,cillll conccntrac1oncs'J se

el una el istribucill Gaussian

donde x1/2 se define como un medio de la longitud de tubera o canal que contiene

fluido de concentracin mayor que la mitad de la mxima. Por otra parte

donde t so es dos veces el lapso de tiempo u entr'" de un elemento de .volumen con la mitad de la conccntr~'.cin con mxima concentracin,. Substituyendo la ce. 10.9 en Loe ee. despejando se obtiene, siendo X la disLmcia al punto de concentracin

Finalment (2RVi')', donde \1*= V~)P; guc se de terminar, substituyendo por su

de f es el factOl friccin Darcy, mediante la

Kd

2RV", 7,84 R X [1/2

en la R ec; r hiel

En la Fig,j O,} '"

de concentraconc:~

(1 , ~

(JCUO)

( 10,11)

nida en una seccin

cicm, para un nmero Reynolds Re del flujo, hidrulico, aguas abajo del sitio de myec-

= 4VRjv = 71800, Eh dcha Figura, ei tlempo 7 se define por 7 = ( x - X ) IV.

Si en la ce. 10,7 fijamos nuestra atenci(m en el punto de conccntrann mxima Para x =Vt, Se obtiene

Cm = Bt - 1/2 \ 10.12)

dCHide B es una constante si Kd se supone constante.

Dividiendu vdlorcs de concentracin m

0,10

X/R ~ 248

Re =7/800

/' t'\

V \ 0,08

0,06

." ~ '-\,)

I \ I \ I ~o: O 57 se!};? \

0,04

1--- ILl \ IJ \

_1 I I'~ '. 0,02

V 0,00 ./

1,0 0,8 0,6

FiG. HUI

log c,

2 loa

tJ

_""" r--0,2 O 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

248 R.

( 10.13)

Substitu y Xl la ecuacin anterior se en

locy tJ

2

En la 1 .4 se graficl b distancias pa];l un nmero de

l( )cr - tJ

En dicho grfico la seccin 1 se tom ~\ 2 se us) para indicar la seccin

254

cunccn traconcs y una concentr,lCim de

248 R de la seco(m de

(10.14)

const,) ote.

ndice

10 9

8

7

6

5

3

2

1 1

Puntos experimenta/es 11>

r 1\~ =71.800

el --::

/' /'

V 2

fIG.H1.4

..., ~ /

V

~ Ve

, V 1/2 ~ "'"

~

"~ V

5 6 1 8 9 10

20 30 40 50

x,

de de Concentraciones M

ximas.

El nmero de Reynolds del

flujo parece no tener influe

ncia sobre el coeficiente de

dispersin cierta distancia a

guas abajo del sitio de inyec

cin; pero cerca del mismo,

el ~oe

ficiente de dispersin es d

irectamente proporcional al

nn'lero de Reynolds, seg

n se

muestra en la Fig, 10.5,

10,3 Concentracin Const

ante en el

Consideremos el problema de

dispersin originada por la ex

istencia de una concen-

tracin, constante y permane

nte, Ca' en el origen, para x=o, In

icialmente la concen-

I

tracion de la substancia es

nula para cualquier valor p

ositivo de x, En el tiempo

t=O, el

fluido empieza a moverse e

n el dueto, desplazando consig

o la sustancia de concentrac

in

localizada Co' con una velo

cidad media V. Las condicio

nes iniciales y de contorno,

que

se muestran esquemticamen

te en la Fig. 10.6 son

C (o,t)=Co para t) o; C(x,o)

=O para x> o; C( + = It) =0 para

t:? 0,

255

21

19 ;: iJ(: (\ 17 "

I

:') lt>~_a ;

1

e 1 V --= -CXp (--) 2 -

error

,i'" ~ p~""~''''

1#'

","

--~ /1" I

~~/ I I

#,,~,,'&' ~/'

~/ ~~"G_:;

-/

~

?O~OOO

-~I

-:- 1 x - ~Vj-[ - ~ -l (10,15 ; 2

(f) =1 - (13), y la error erf

Esta funcin se encuentra tabulad

a en diversas publicaciones tales c

omo en las Ta-

blas Matemticas de Allen. El val

or medio en la curva de concentracin

C /2 se mueve o

con una velocidad media V.

En el caso especial en que V=O, la ee.

10.15 se reduce a

x x

erfc ( ) = 1 ~ erf (--

---)

2ytK' 2VtK

(10.16)

El grfico de C/Co' de la eco 10.16, en

una escala de probabilidades con

tra valores

de x/-,jt en una escala aritmtj.-~, cor

responde a una lnea recta si Kd es

una constante.

El coeficiente de dispersin coinci

de, en este caso, con el coeficiente Kx

de difusin tur-

bulenta. El valor numrico del coe

ficiente de difusin se puede hallar

teniendo en cuenta

que debe haber un punto para el cual

x/0 =~ En la ee. 10.16 se ti

ene

"hrKx' ~

1 - erf (----) = 1 - erf (

)

2V"K; 2

0,21

As, para C/Co=0,21 se lee el corresp

ondiente valor de x/yt'=V71'K; con

el fin de de-

terminar el valor numrico de K . x

El estudio de la dispersin lateral a

travs del flujo puede adquirir re

levante impor-

tancia en casos como el de la descarg

a de efluentes resid uales en ro y est

uarios. Estos fe-

nmenos de mezcla transversal en

ros y otros flujos con rozamiento

pueden aproximarse

mediante la aplicacin de la ecuaci

n tridimensional de la dispersin. Par

a el caso de con-

taminantes de diferente densidad q

ue la del ro receptor se requieren

consideraciones es-

peciales debido a la circulacin secun

daria temporal que es producida po

r la descarga. En

una recopilacin bibliogrfica efec

tuada por E. Zerpa S., J. Aguirre y M. R

engel, en 1974,

se describen los procesos de disp

ersin transversal sin y con diferen

cia de densidad.

10.4 Dispersin Transversal sin O

ifercncia de Ocnsidad

N. H. Brooks, en 1972, analiz tr

abajos realizados al respecto por ot

ros investigado-

res. ].K. Okoye, en 1970, investig

la expansin transversal de un pen

acho generado en un

257

punto de origen en c.:I flujo uniforme de un canal abierto. Inyect un trazador con flota-cin neutra, continuamente, con la misma velocidad del flujo en el canal, l travs de un orificio dentro del flujo. La concentracin del trazldor se midi in situ en varios puntos aguas abajo empicando sond;ls de conductividad. Los experimentos fueron realizados en un canal inclinado de 40 m. de longitud y 1,10 111. de

Las concentraciones del 'trazador se analizaron en dos fases: En la primera fase se es-tudi la concentracin a tiempos promedios, se determin su distribucin dentro del pe-nacho, y se calcularon lus coeficientes caractersticos de la mezcla transversal.

En la segunda fase se estudi la fluctuacin temporal de la concentracin del traza -dor en tres secciones. En la primera ::;e utiliz la tcnica del factor intermitente para deli-mitar tres regiones de la seccin transversal del penacho, las cuales pueden dividirse en: una interior central donde la concentracin del trazador e fue siempre mayor gue la concentracin ambiente e b ; una regin intermitente donde e fue mayor gue eb sola-mente en forma intermitente; y un;l regin exterior donde e b ilunca fue excedida. Me-diante el empleo del anlisis dimensional se estlblecieron curvas universales para la predic-cin de las caractersticas geomtricas de las tres regiones. En la segunda seccin se trat el penacho completo, para una estacin fija, como una nube fluctuante. Se calcularon y compararon las varianzas gue caracterizaron la fluctuacin del centroide del penacho as como la variacin de su anchura. En la tercera seccin se calcul la intensidad y densidad probable de la concentracin fluctuante, en puntos fijos. Tambin se determin la distri-bucin de la relacin pico a promedio. Finalmente, los resultados de las dos fases fueron nter-relacionados para determinar sus contribuciones el la expansin transversal del pe-nacho.

El coeficiente de mezcla transvers~ll se determin a partir de la distribuci{)!1 av-uas tl abajo de un trazador de naturaleza salina emitido continuamente desde un origen el cual

consi,

Las bases teof]cas para esta relacin en un flujo con mezcla vertical y horizontal son dadas en detalle por Okoye en su trabajo. El coeficiente as definido incluye la difusin turbulenta y la dispersin transversal, asociadas con las corrientes secundarias. El valor de .a2 aumenta ~1 una tasa lineal, con la distancia aguas abajo haciendo de este modo a KZ independiente de x. El coeficiente de dispersin es normalizado dividiendo por el

producto V * byn, as

T 1

y r----- .. - .. - .. -'i~-------~-y".-----------------

PENACHO OIPUSOR

T ti I

.J.~~~~;", ;;;;~~~,~,~r~~~x DISTIUSUCION DE VELOCIDAD L/MIrE DEL F"ONDO (Cerco del origen)

SOLIDO PEflP/L DE CONCENTRACION VERTICAL

0).- SECCION

CONTORNO LATERAL

T T

I

1 bl- PLANTA

FIG.HU de Oefinici(n de !a de un Penacho y sus Ejes Coordenados.

8= (10.18)

,ionde V *b" es la velocidad cortante en el fondo, Yn es la profundidad.

En la Fig. 10.8 se resumen los resultados del estudio de Okoye comparados con otras mediciones de laburatorio y de campo.

259

1,00

~ ~ .. , ,

" 0,40

,

"" ~

0,10

0,04 0,01

, 1',

'L .....

'"' ~ e(~

..-- Bc(~)

.... "l!I. ... ....... .... ..

'''1'' " ~~ ~ ~ ~~ "6 V .... 1"'-r--r--~

'V

0,04 0,10

~ ~ ~

MEDICIONES DE LABORATORIO, e ELOER

'" SULLlVAN ~ KALlNSKE y P/EN W PRYCH

~ Canal S1} I!l . S2 OKOYE

&. .. R2 MEDICIONES DE CAMPO, ee

() yorSUKURA

!!!!I F/SCHER e GLOVER

~ [~ -""" - -...... ~ K

6

0,40

FIG.10.8 Variacin del Coeficiente Adimensional de Dispersin Transversal.

- - r-- - r-- - r-- - r-

- - 1-

- - 1-

- - r-

r-

1,00

Se encontn:l que el valor de e es una funcin de la relacin profundidad--an -cho, yn/T="A Los valores de e tienen un rango que vara desde 0,24 (para "A=0,015) aO,093 (para "A=0.20) en el laboratorio. La pequea parte de valores medidos en el campo por otros investigadores son cerca del doble, presumiblemente debido a las fuertes corrientes secundarias causadas por curvaturas o irregularidades del canal.

Para h~lcer comparaciones puede notarse que el valor de K ;v", Yn el coeficiente normalizado de dispersin vertical es k/6=0,07 (k es la constante di;' von Krman). As en el canal, el coeficiente de dispersin transversal es del orden de 1,3 a 3 veces mayor que el coeficiente de dispersin vertical.

En la segunda fase se estudian los fenmenos asociados con las fluctuaciones en el penacho o pluma. Para un penacho fluctuante, la Fig. 10.9 ilustra el concepto de las re-giones de intermitencia.

260

ORIGEN

v z

L/mite instantneo del penacho

Regin de intermitencia

Centro de registro continuo

:" .. ,' 'c; ,:,,: I Regian de intermitencia

~- -~'-,"-'.~~ '" LImite extremo del borde

del penacho

a) Caracter/sticas geomtricas del modelo f/sico (PLANTA)

\ '~ I '~ Region deIn- Centro de I Region de ",."",'0 "",.,'" f"""""O I Conllfluo r-z -O z

NOTA:

If (x,.;y j z)= Factor de intermitencia para la sec-cion x, y nivel Y

z = Posicin media de lo parte frontal del pe-nacho.

b) Distribucin del factor de intermitencia a travs del penacho

F I G. 10.9 Variacin del Factor de Intermitencia.

Los puntos en el interior de esas regiones estn dentro del penacho durante parte del t i,--mpo; la fraccin del tiem-po en que estn dentro del penacho se denomina factor de intermitencia 1r Dentro de la pluma o penacho ~st un punto para el cual trI, signi-ficando que la regin est siempre dentro del penacho. El crecimiento de esas zonas se muestran en la Fig. 10.1 para un experimento ti pico; W f es el lmite extremo (If= = O) medido desde el eje central; Ll es el borde exterior de la parte externa continua (1f=l); Z es la posicin media del borde del penacho (IFO,S). Para todos los experi-mentos en canales rectangulares anchos, esas anchuras se ajustaron a las siguientes rela-ciones ad imensionalcs:

261

40

~ '3~

I~

-',....;" 1--..-V -~ .-g V ~ .....-V k l--L -' !,-Z ~ ..-

V ~ V

~ ~ ......-

I L L ~ J...,.....( I

V V V ,....-" '-.... ./ lo V .. J.~

V V V M EDICION eo2.

/ ~ Canal 52 (Okoye)

! ~ ,/' '" j...p5,36 cm. V-=. 43,7 cm/uo!

I 1/=2,17 cm/SII9 Re: 1,173 xlO

~ V I O 200 400 600 800 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800

x (cm.)

FIG. 10.10 Crecimiento de las Caractersticas Geomtricas de la Regin de Intermitencia.

y

donde

262

3,6 R (~) W y

11

3,3 Rz (~ ) 2/3 Yn

R = (f /f) 1/4 w s r

v (10.19)

v (10.20)

(10.21)

(10.22)

(10.23)

en las cuales. { el flctor de friccin del lecho liso. f el {actor de fricci

n observado del

, s ' r

lecho, y X el nlor de x corregido ligeramente para el origen virtual de Wf"

10,5 Dispersin '1 'rans1Jc}'sal con D ijere11 cia. de Densidad

Si 10s contaminantos descargados en un ro o en un estuario son

ms pesados o

ms ligeros que el fluido receptor, se introduce un fuerte patrn d

e flujo secundario por

el hundimiento o ascensin de los contaminantcs. Este efecto puede

acelerar la expansin

transversal del cont

264

' . . , .

.

"

:."

f d

L

v

~ DENSIDAD - CIRCULACION SECUNDARIA INDUCIDA

SECCION A-A

x

~~----------------~-z

' ..

PLANTA

FI G. 10.11 Esquema de Definicin en Experimentos con Mezcla Transversal.

EJERCICIOS

l-:jercicio 10. 1

a. Determinar el coeficiente de dispersin lungitudinal Kd en un canal rectangular

de concreto con rugosidad n=0,013 si la anchura del canal es de 1,00 111. Y la profundidad de 0.1 m. la velocidad media del agua a 20 C es de 1,8 mis.

b. Comparar el valor de Kd con el valor de la viscosidad cinemcltica de remulino, promedio, en la seccin transversal del canal (considerar que el cll1al es muy ancho). La viscosidad cinem,tica de remolino E est; d;lda por la expresilln

E= r

p

? dv 1-[--]= [k

dy

dv/dy dv

dy (10.24)

d()nde 1 es la lungitud de mezcb de Prandtl, r es la viscosid;ld dinmica de re-mulino y k es la llamada constallte universal de von K:u'mn.

El esfuerzu cortante T en funcin de la viscosidad cinemtica de remolino esd dada por la expresin

T = P E

1:jercicio 10.2

dv

dy (10.25)

Suponiendo que el cueficiente verticd de difusin turbulenta K , o de dispersin vertical, sea igual a la viscosidad cinem;tica de remolinu, se puede obtenlr que

K O 4 (1 ~y-) V gRS' y = ,y - Yn (10.26)

265

donde y es la elevacin desde el fondo del canal, R el radio hidrulico, S la pendlente'Yn es la profundidad y g la aceleracin de gravedad.

Por otra parte, la ecuacin para la distribucin vertical de sedimento suspendido en flujo turbulento de superficie libre est dada por

w c=- K ~ Y dy

(10.27)

donde c es la concentracin de sedimento suspendido en el agua, y, w es la velocidad de cada del sedimento en agua en reposo.

Determinar la concentracin vertical de sedimento suspendido en funcin de una concen-tracin conocida ca a un nivel a =a y n donde a es cualquier valor numrico tal que O

A.1 de

ALL Propsito'

Hallar admisin inferior.

A1.2. Equipo:

APENDICE A

PRACTICAS DE LABORATORIO

Inferior

caractersticas que determinan el gasto de una compuerta de

Una compuerta de admisin inferior montada en un canal metlico.

AJ.3. Consideraciones Analticas:

En esta que gobiernan

P,/y

fl . A.1

uso de dos de las tres ecuaciones fundamentales flujo. En laFig.)\.lse muestra seccin

admisin inferior.

Esquema de Definicin

Si suponemos que no hay prdida de energa entre las secciones de flujo rectlineo 1 y 2, podemos escribir la ecuacin de Bernoulli como

,,2 v 2 P2

+---=---+z +--'Y 2g 2 'Y

(Al)

269

Pero debido a que el flujo es rectlineo, la distribucin de presiones es hidrosttica y por tanto, para cualquier punto,

Substituyendo estas expresiones en la ee. A.l tenemos

v2 1 --+ 2g 2g

(A.2)

donde y 2 = aCc' en la cual Cc es el coeficiente de contraccin. Adems, aplicando

la ecuacin de continuidad tenemos

(A.3)

Si la eco A3 se introduce en la eCo A.2, y se reemplaza Y2 por aCc' se obtiene

V 2 = (2g Yl aC 2g Y1 ______ c ___ ) 1/2 = ( ____ _

2 2 1 - Cc (a/Y1)

(AA)

ya que q=V2 a C C, donde q es el gasto por unidad de ancho y C es un coeficien~ . c v v te de velocidad, la eco AA se puede transformar en

C C c v q= (A.S)

Si Cc Cv

--------- se denomina Cd (coefici

ente de descarga) tenemos que

(1 + Cc a/Y1)1/2

la

eco A5 se puede escribir como

(A6)

Ya que el caudal q, y las distancias a, Yl e

Y2 se pueden determinar experi-

mentalmente es posible determinar los coeficie

ntes Cc y Cd. Si ello se hace, se pue-

den obtener grficos adimensionales como lo

s que se muestran en la Fig. A2.

Valor terico= 0,611

l,6

Ce

Cd

Cd

""'---0,50 ,0 0,5

fiG. A.2 Coeficientes Experimentales de Contrccin y D

escarga

Al.4. Procedimiento Experimental:

1. Tomar los niveles de fondo del canal y lect

ura de sonda sobre el indi-

cador de la compuerta cuando sta descanse en el

fondo (usar las dos sondas que se

proveen).

2. Subir la compuerta una distancia a.

3, Abrir la llave de alimentacin del canal de f

orma que el agua llegue al

rebose en el depsito de aproximacin y de esta

manera se mantenga un y 1 cons-

tante.

4. Tomar las mediciones que permitan determi

nar YI' a, Y2'

5. Medir el caudal Q mediante un vertedero, a

guas abajo, cuya ecuacin

de calibracin es (A.7)

271

donde Q es el gasto y H el la cresta, Los A y m estn determinados,

por encima de la para el vertedero l

6. el al menos cinco veces, con distintos valores de

AJ.S. Presentacin de

1. Presentar y

2. Presentar curvas Ce y Cd contra aritmticas.

3, ecuacim que se ob

en pl pcl dc an sobre el mismo

calculadas en ubda,

1 tal como en la A,2 en

contra a, y escribir "'a unidades,

con la ee, PL6 y 1 la a pro Xlma-cin con la al la ecuacin

un Vertederu

existente entr'~ la

A.2.2.

Un verter por encnn;

en el Los

otro

de] ?gua que se le

una arista

la cresta

y cronmetro,

uido a es-construir de

la cresta, conta cto sobre una cresta presenta una

)j

El vertedero rect;111gular de cresta aguda tiene una cresta horizontal y la lmin

a de

agu,) se contrae en bs partes superior e inferior, segn se indica en la

Fig. A.3.

H t- ----! w

de Definicin enun Vertedero de Cresta Aguda

La ecuaci()!1 del gasto Q del vertedero rectangular ilustrado la Fig. A.3 se

puede es-

cribir 1 en forma simplificada, como

(A.8)

donde L es el ancho del vertedero, e un coeficiente que se puede hallar experimen-

talmente y H la altura del agua sobre la cresta del 'vertedero medida agu

as arriba en

un,) seccin donde no se produzca contraccin alguna. Se puede o

bservar en la ee.

1',.8 que (J g,lsto para un determinado vertedero dependera solamente d

e H ya que

L y e son factores constantes. Hay un gran nmero de frmulas emp

ricas que dan

el gasto en funcin de H. Una de las ms comunes es la frmula de R

ehbock.

Q 2

3 (0,611 + 0,08 HjW)

(A.9)

en donde L y H son las cantidades mencionadas previamente y W

es la elevacin

de la cresta del vertedero sobre el fondo del canal.

A.2A. Procedimiento Experimental:

1. b sonda de punta en el carro deslizante, sobre la cresta del ver

-

tedero y tomar las lecturas necesarias para obtener L y H.

2 Abrir la llave de aliment

A.3.

4, Cambiar la posicin del bajante de agua hacia el tanque receptor y me-dir una altura inicial accionando simultneamente el cronmetro, Transcurrido un tiempo, por ejemplo 120 segundos, volver el bajante a su posicin inicial.

5. Cuando el agua en el tanque receptor se encuentre tranquila hacer la lectura finaL El rea del tanque y las lecturas aClu obtenidas permiten calcular el gasto Q por medio de la relacin, volumen sobre tiempo.

6. Tomar nuevamente la lectura del nivel superficial en el canal para pro-mediarla con la obtenida anteriormente.

7, Repetir el experimento, al menos cinco veces, con distintas aperturas de la nave de alimentacin del canaL

A2,5. Presentacin de Resultados:

L Elaborar una tabla con los datos y las cantidades que se debe calcular para la realizacin de los grficos que se piden en los puntos siguientes, escribiendo las frmulas se utilicen.

Qy plear.

2. en papel logartmico de 2 por 2 ciclos l

Una compuerta de admisin inferior montada

en un canal metlico y una

compuerta de cierre aguas abajo de la anterior

.

A.3.3. Consideraciones Analticas:

En esta prctica se determinan las relaciones

experimentales de un resalto

hidr ulico y se womparan con los valores te

ricos obtenidos mediante la aplicacin

de las ecuaciones de momentum, energa y co

ntinuidad. En la Fig. A.4 se muestra la

seccin transversal de un resalto hidrulico as

como sus lneas de energa

Si se a plica la ecuacin de la can tidacl de movim

iento, por unidad .de

las secciones 1 y 2 se

2

~lYl (V2 - VI)

g

entre

10)

Como por continuidad se tiene que

formar en

=V 2 Y 2' la ec~acin an terior se puede trans-

2 a

b

Yl (--1)

2

Y si ambos miembros de la ecuacin anterior s

e dividen por y 1 se obtiene

(~-1) Y2

(A.11)

2

En la expresin anterior se reconoce a VI /

(gYl) como el cuadrado de nmero de

Fraude F 1 en la seccin 1. Resolviendo para

y 2/ Y 1 se tiene

275

~--- = - 1 + j 1 + 8 F 21 ' Yl (A,12)

La ecuacin anterior nos dice que el nmero de Fraude es la nica variable indepen-diente que determina los valores de Y2 /Yl y por lo tanto constituye el factor de si-

en este problema (as corno en otros) de su libre. Si se quiere el valor la se puede hacer uso de la ecuacin de Bern en la Fig. =H2 + LlH, Desarrollando se tiene

(A.13)

Si se substituye b ecuacin de continuidad en la ce. A,J 3 Y ambos miembros de esta ecuacin se dividen por Yl se obtiene

1+ y2

1 ?

__ Y_2_ + ( _Y_l_ )2 ~ __ + ~fj"",l:-:c.'-l_ (A.14) Y

En la ce. AJ 4 se tiene q ue V~ I (gy 1) =F~; como

p , l-ln t~\

contra

A.3,LL

ncin rp 1 A,12), entonces en la ee. f'L14 el deF 1 Js,

5 se una en 18 q

F (de

una curva e L

1 sisterna gc

2 la Y ciertas

(A.15)

los

la ce. '1 1)" Sr' i [' ~ '-' Cln adimcns]Undl

est

u

3. Operar la compuerta de aguas abajo con el fin de establecer un resalto cerca de la compuerta de descarga. Una vez que el resalto sea estacionario, medir las alturas y 1 e y 2 usando la sonda que se provee. Determinar tambin la longitud L del resalto.

12r-----,------r-----,------~~--,

11

10~----4_-----+----~----~+_----~

9

v, F'-

I ,fiY,

6 9 10

2'

22

20

1 a

16

" 12

l::.H/v,

10

6

4

O

FIG. A.5 Relaciones fundamentales en un Resalto Hidrulico

4. Medir el caudal Q mediante un vertedero, situado aguas abajo.

5. Repetir el experimento para obtener al menos 5 puntos bien distribu-dos en cada curva de la Fig. A.S. Es conveniente repetir 3 veces la lectura de cada punto. El nmero de Fraude se puede cambiar modificando la apertura de la com-puerta de descarga.

A.3.S. Presentacin de Resultados:

1. Presentar la reduccin de los datos medidos en forma tabulada.

? Representar grficamente las ecuaciones tericas A.12 y A.1S en un grfico semejante al de la Fig. A.S.

3. Marcar sobre el grfico anterior los valores experimentales. Aadir la curva experimental de la reladn medida L/y 2 contra el nmero de Froude.

4. Discutir los resultados. La discusin no deber ser mas extensa que una pgina.

277

.,1.4. Aforador Ballofett

A.4.l. . Propsito:

Determinar la curva de gastos de un canal, mediante un dispositivo que produce flujo crtico.

A.4.2. Equipo:

Un aforador de Ballofett instalado en un canal metlico.

A.4.3. Consideraciones Analticas:

En esta prctica se hace uso de las ecuaciones de Bernoulli y continuidad, as como del concepto de energa especfica mnima para determinar el gasto que circula por un canal en flujo sub crtico.

Un tipo de aforador muy popular entre la gente que se dedica al riego es el aforador Parshall. Este tipo de aforador se basa en los mismos principios que el aforador Ballofett. El procedimiento que se seguir tanto en la deduccin de la ecuacin co-mo en la calibracin prctica del aforador Ballofett puede ser repetido para el Parshall sin mayores modificaciones. En la Fig. A.6 se muestra un aforador de Ba-llofett, el cual consiste en un estrechamiento, tal que en la garganta produzca una condicin de flujo crtico. Si se aplica la ecuacin de Bernoulli entre las secciones J y 2 de velocidades y l' Y 2 Y profundidades y l' Y 2 se tiene

y2 V2 ] 2

-2--+ Y1 = -2-+ Y2 g g

(A.16)

2

FI G. A.S Esquema de Definicin del Aforador Ballofetl

donde las cotas del fondo en 1 y 2 son iguales. Cuando en la seccin 2 se produce

flujo crtico, se puede escribir

3 2

(A.17)

Debido a l1ue V1==Q/ (YI B), substituyendo la eco A.17 en la ce. A.16, se puede

obtener

3

2 (A.18)

La ce. A.18 es una ecuacin de tercer grado Gn Q2. En una aproximacin prctica,

la solucin se puede enfocar desde dos puntos de vista diferentes. En el primero se

considera que la velocidad de aproximacin VI es despreciable o en otras palabras

Q2/ (B 2 2gyi) se puede eliminar de la ee. A.18, en cuyo caso

Q = K b (2g) 1/2 yi/2 (A.19)

donde K es un coeficiente numrico adimensionaL El segundo, seguido por el pro-

fesor Ballofett consiste en resolver la ecuacin de tercer grado original. La raz real

gue corresponde a las condiciones del problema tambin tiene como solucin la ex-

presin

Q = K b (2g) 1/2 yi/2 Para la condicin de calibracin, se cumplir con la condicin de que el flujo

en la

garganta sea crtico ( o que aguas abajo sea supercrtico) y que el resalto que se for-

ma no ah,)gue la salida del aforador. Si nos valemos de una calibracin volumtrica

haciendo uso de un cronmetro se puede determinar el gasto Q que corresponde a

cada lectura y l' por lo tanto tambin se puede hallar el valor del coeficiente K. Se

II

observa que la eco A.19 tiene la forma Q = ey tan frecuente en las expresiones em-

pricas que dan los gastos experimentales plra diferentes tipos de aforadores. En la

Fr. A.7 se presenta una curva de calibracin tpica.

279

280

40

I v V /' 30

20

l " ,.-

10

/ V

/

/ V

V I O 10 20 30 40 50 60

Q(lh./ug.l

FI G. A.7 Curva de Calibracin en un Aforador de Flujo Crtico

A.4.4. Proced imie nto Ex perimen tal:

1. Comprobar que la bomba del sistema general est funcionando.

2. Abrir la llave que alimenta el canal cuyo gasto se va a determinar.

3. Medir el nivel y l' usando una sonda piezomtrica y determinar el gasto volumtricamente, usando un tanque calibrado y un cronmetro.

4. Repetir el experimento para determinar por lo menos 5 puntos bien distribudos e11 la Fig. A. 7. Es conveniente repetir 3 veces la lectura de cada pu nto.

A.4.5. Presentacin de Resultados:

1. Presentar la reduccin de los datos medidos en forma tabular.

2. Presentar un grfico de V 1 con~ra el valor K determinado de la ec. A.19. A'jadir otra escala en que V1 se reemplace por el nmero de Fraude

con el fin de ex presar el grfico en forma ms general y y h~l c~rlo ad imensional.

4. Los valores de C y 11 en la ecuacin Q=C y~ se pueden encontrar senci-llamente si los valores medidos de Q e YI se grafican en un papel logartmico de

ordenadas Q y abscisas y 1 .

Los puntos deben caer en una lnea recta de pendiente n que cortar el eje de las ordenadas cuando y 1 =1 en un valor Q=C. Hacer el grfico correspondiente y deter-

minar la ecuacilllL

.5. Discutir los resultados. La discusin no deber ser mas extensa que una p~lgina.

A. S. Flujo Cradua lmente Variado.

A.5.1. Prop{lsito:

Comparacifll1 entre los resultados obtenidos mediante la aplicacin de las ecuaciones de flujo gradualmente variado y los medidos en el Laboratorio.

A.5.2. Equipo:

Un canal metlico con fondo de gran rugosidad relativa, constitudo por piedras sueltas. Un par de compuertas de regulacin, la una de admisin y la otra de cob. Una S()nd~l par~l la medicin de profundidades. Un vertedero de afarq.

Consideraciones Analticas:

Si en la Fig. A.8, que representa un corte longitudinal en la direccin del flujo en un canal, se aplica la ecuacin de Bernoulli entre las secciones 1 y 2 de pro-fundidades y l' Y 2 Y velocidades y l' Y 2 respectivamente se obtiene

y2 y2 ,12

1 1 + Y 1 + ~ = z2 + y 2 + ~ + S ~ X b b

(A.20)

donde zl' z2 son las cotas del fondo en las secciones 1 y 2 respectivamente y

S, S = (zl - z') I ~ x, las pendientes de la lnea de energa y del fondo res-o ~ pectivamente.

Agru pando trminos en la ee. A.2 O Y dividiendo por Ll.X se tiene que

281

2--- S

V1 / 2g -----_ ~'' --- ---~-v,

IV: 12 9 -:.:=--

z,

FIG. A.S Esquema de Definicin para el cillculo del Flujo Gradualmente Variado

Z2 -- zl v~ _ V2 1 + +s

,c,x 2g ,c,x

Pero V~ - Vf es el incremento del cuadrado de la velocidad ,c,(V2): as

1 ,c, V 2 =-s +-- +S o 2g ,c, x

. .., I\(V2) iI( 2/2)_ ?( 2/ 3) EnunapnmeraaprOXll11

Por tanto

Y2 -Y1 So - S

==

(~.22)

Clx q2

1 -ay3 b m

En la eco A.22, q 2/g es el cubo de la profundid

ad crtica y c; adems, se puede supo-

ner que S es la pendiente de la lnea de ener

ga producida por un flujo uniforme

donde la profundidad sea y Esta pendiente pue

de escribirse, empleando la ecua-

m.

cin de Chzy, para un canal de gran anchura e

n que el radio hidrulico coincide con

la profundidad, como

S= (A.23)

donde e es el coeficiente de Chzy.

El gasto q se producira con una pendiente del

terreno So paralela a la lnea de ener-

ga en condiciones de flujo uniforme auna pro

fundidad normal y n' as

(A.24)

Despejando q de la ee. A.24, y substituyendo en

la ee. A.23, se tiene

S 3

o Yn S=

(A.25)

3 Ym

283

Si se substituye la ee. A.25 en la ce. A22 se puede obtener la ecuacin de flujo gradualmente variado para canales de gran anchura, en la forma

Y2 - Y1 ------=S

YI1 3 1-(-)

L1;.; o y 1_(_c_)3

Ym

(A26)

Es de ;ldvertir que en el desarrollo de la ecuacin de flujo gradualmente variado pa-ra dist;mcias finitas, frecuentemente se toma la direccin Xi lo largo del fondo del canal. En tal caso S y So se tomall igual l los senos de los ngulos de inclinacin de las l l1eas de energa, en 1 ugar de sus tangen tes como en el presente ;milisis. La ecuacin resultante es la misma, y los valores numricos son, para los efectos prc-ticos, idnticos ya que para pequeilos ngulos., el seno, la tangente y el ngulo mismo se confundell. Se podr emplear la ce. A.26 cuando el sea, hidr:wlicamel1te, de gran anchura. En el canal en el que se realizan los experimentos, el fondo est formado por pie-dras cuyo ch~lmetro promedio es 2 cm. y las paredes son de metal liso. El factor de-terminante, pur tanto, es la rugosidad del fondo y la anchura del canal tiene una in-fluencia despreciable sobre el modelo de flujo. En este caso, el canal es, hidrulica-mente, de g-an anchur;\. Esta suposicin conduce a errores no mayores, en los cl-culos, del unu por ciento.

A.SA. Procedi mien to Ex pcrimelltal:

1. Comprobar que la bomba general del sistema est funcionando. 2. Medir la anchura elel c;m;] y esLlblceer un flujo uniforme en la seccin

v 3. Calcular el coeficiente de ChLy C= ------ el R'es el Lidio ,/RSo'

hidrulicu CF1C en el presente CS() cOlncidc con la profundid;d, V h velucidad me-dia del ;gua en el cllla!, determinae]; cxperiml'nt~llmentc mecti;l1lte la medicin del gasto en un vertedero cuy; eCll;lCill1l de descrg~1 es Q=AH Ill , donde H es el nivel SLl-perfici~l] de flujo unifurme sobre la cresLl del vertedero, Q es L descrga del mismo y A es lI(); COllsLII1 te.

284

4. Repetir el experimento ClllCO veces, con diferentes caudales, y hallar

un valur promedio r~ILI C.

5. Con el valor promedio de C se determina el LIctor k de Nikuradse que

segn la ce. 3.8 est dado por la relacill11

e = 2 y0lglug (12 ~ - ) (A.27)

donde k es el di:lmetro del l1l~ltcrial de fondo. Se puede tomar un valor de R pro-

mediu entre los usadus para detennin:lr el valor de C promedio en flujo uniforme.

6. Establecer UIl flujo gradu:!1mente variadu y l11l'dir el caudal correspon-

diente. Establecer dus secciones, sep;lr:das entre s una distancia 6x medir, en las

que se determinan Yl e Y2' Determin:r la prufundidad norm:!1 Yn mediante

la ce. A.24 p:r: el v;]or de So fijad(). El valor de C a usar en dich; ecuacilll1 es el

calculado en el punto ;l1lterior, siempre y cuando Yl e Y2 estn comprendidus entre

los lmites de y medidos en fluju uniforme.

En cas